人教版八上数学之整式的乘除与因式分解 全章复习与巩固(基础)巩固练习
人教版八年级上数学整式的乘除与因式分解全章复习与巩固(基础)巩固练习
【巩固练习】一.选择题1．下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（ ）．A ．()()22422m n m n m n -=+-B ．()()2111m m m +-=-C ．()23434m m m m --=--D ．()224529m m m --=-- 2．下列计算正确的是( )．A.325a a a +=B.()23624a a -=C.()222a b a b +=+D. 623a a a ÷= 3.若252++kx x 是完全平方式，则k 的值是（ ）A . —10 B. 10 C. 5 D.10或—104. 将2m ()2a -＋()2m a -分解因式，正确的是（ ）A ．()2a -()2m m - B ．()()21m a m -+ C ．()()21m a m -- D ．()()21m a m --5. 下列计算正确的是（ ）A. 23323bx y xy x -÷=-B. ()()2223xyx y y -÷-=- C.()()33223322x y xy x y -÷-=- D. ()()32224a b a b a --÷-=6. 若)5)(3(+-x x 是q px x ++2的因式，则p 为（ ）A.－15B.－2C.8D.27. 2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-因式分解的结果是（） A ．2)5(b a - B ．2)5(b a + C ．)23)(23(b a b a +- D ．2)25(b a -8. 下列多项式中能用平方差公式分解的有（ ）①22a b --； ②2224x y -； ③224x y -； ④()()22m n ---； ⑤22144121a b -+； ⑥22122m n -+． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二.填空题9．化简()2m n a a ⋅＝______． 10．如果229x mx -+是一个完全平方式，那么m ＝______．11．若221x y -=，化简()()20122012x y x y +-＝________． 12. 若2330x x +-=，32266x x x +-＝__________.13.把()()2011201222-+-分解因式后是___________.14.()()()()241111x x x x -++-+的值是________． 15. 当10x =，9y =时，代数式22x y -的值是________.16.下列运算中，结果正确的是___________①422a a a =+，②523)(a a =， ③2a a a =⋅，④()()33x y y x -=-，⑤()x a b x a b --=-+，⑥()x a b x b a +-=--，⑦()22x x -=-，⑧ ()()33x x -=--，⑨ ()()22x y y x -=-三.解答题17.分解因式：（1）234()12()x x y x y ---；（2）2292416a ab b -+；（3）21840ma ma m --.18. 解不等式()()()22232336x x x x +-+->+，并求出符合条件的最小整数解． 19．已知：x y a +=，xy b =，试用a b ，表示下列各式：（1）22x y +；(2)()2x y -；(3)22x y xy +． 20．某种液晶电视由于原料价格波动而先后两次调价，有三种方案：(1)先提价10％，再降价10％；(2)先降价10％，再提价10％；(3)先提价20％，再降价20％．问三种方案调价的最终结果是否一样？为什么？【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ；【解析】因式分解是把多项式化成整式乘积的形式.2. 【答案】B ；3. 【答案】D ；【解析】()2221055x x x ±+=± 4. 【答案】C ；【解析】2m ()2a -＋()2m a -＝2m ()2a -()2m a --＝()()21m a m --．5. 【答案】B ；【解析】233122bx y xy bx -÷=-；()()33223328x y xy x y -÷-=； ()()3222a b a b a --÷-=-.6. 【答案】D ；【解析】2(3)(5)28x x x x -+=+-.7. 【答案】A【解析】2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-＝()()()22325a b a b a b -++=-⎡⎤⎣⎦.8. 【答案】D ；【解析】③④⑤⑥能用平方差公式分解.二.填空题9. 【答案】()22m n m n a a a +⋅=.10.【答案】±3；【解析】()2222293233x mx x x x -+=±=±⨯+. 11.【答案】1；【解析】()()()()()201220122012201222201211x y x y x y x y x y +-=+-=-==⎡⎤⎣⎦. 12.【答案】0；【解析】()3222662362360x x x x x x x x x +-=+-=⨯-=.13.【答案】20112；【解析】()()()()()201120122011201120112221222-+-=--=--=.14.【答案】－2；【解析】()()()()()()()242241111111x x x x x x x -++-+=-+-+ 44112x x =---=-.15.【答案】19；【解析】()()()()2210910919x y x y x y -=+-=+-=. 16.【答案】③⑤⑥⑨；【解析】在整式的运算过程中，符号问题和去括号的问题是最常犯的错误，要保证不出现符号问题关键在于每一步的运算都要做到有根据，能够用定理法则指导运算.三.解答题17.【解析】解：（1）234()12()x x y x y ---＝224()[3()]4()(32)x y x x y x y y x ---=--；（2）22292416(34)a ab b a b -+=-；（3）()()()2218401840202ma ma m m a a m a a --=--=-+. 18.【解析】解：()()()22232336x x x x +-+->+ 2224129636139913x x x x x x x ++-++>+>->- 符合条件的最小整数解为0，所以0x =.19.【解析】解：（1）()222222x y x y xy a b +=+-=-；(2)()()22244x y x y xy a b -=+-=-； (3)()22x y xy xy x y ab +=+=．20．【解析】解：设a 为原来的价格(1) 由题意得：()()110%110%0.99a a +-=（2）由题意得：()()110%110%0.99a a -+=（3）由题意得：()()120%120% 1.20.80.96a a a +-=⨯=. 所以前两种调价方案一样.。
整式的乘法与因式分解单元复习人教版八年级数学上册
整式的乘法与因式分解单元复习人教 版八年 级数学 上册
（2）（a+1）（a+5）+4.
原式＝a2+6a+5+4 ＝（a+3）2．
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20. 求值：
整式的乘法与因式分解单元复习人教 版八年 级数学 上册
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4. 计算： （1）
原式＝-3x3y3+2x2y4+
xy5．
整式的乘法与因式分解单元复习人教 版八年 级数学 上册
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（2）（-2ab）（3a2-2ab-4b2）；
解：原式=x2+6x+9+x2-4-x2-2x-1 =x2+4x+4. 当x2+4x=0时， 原式=x2+4x+4=4．
整式的乘法与因式分解单元复习人教 版八年 级数学 上册
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19. 分解因式：
（1）（x-2y）2+8xy；
原式＝x2-4xy+4y2+8xy ＝x2+4xy+4y2 ＝（x+2y）2．
（1）a3·a5= a8
；
（2）a5÷a3= a2
；
（3）（a3）5= a15
；
（4）（-4a5）3= -64a15 ；
（5）-5a2b·（-3ab2）=
15a3b3
人教版八年级数学上册期末专题复习：《整式的乘法和因式分解》巩固与提升的分类例解
八年级数学上册期末专题复习资料：《整式的乘法和因式分解》巩固与提升的分类例解编制：赵化中学 郑宗平新人教版八年级数学上册的《整式的乘法和因式分解》在初中数学中位置特殊，作用突出，其中的知识点可以串联起初中代数部分的绝大部分内容，与此相关的题也是统考和中考的必考题型，且所占比重较大；下面我就本部分的知识点运用的拓展与提升进行分类例谈，每个小专题附有追踪练习，希望对同学们迎考有所帮助！一.化简求值：例1. 先化简，再求值：()()()214mn 1mn 22mn mn 2⎡⎤--+-÷⎣⎦，其中,.m 4n 05=-=-. 略解：原式 = ()()⎡⎤-+--÷⎣⎦222214m n 8mn 44m nmn 2 = ()-+-+÷222214m n 8mn 44m n mn 2= ()-÷2215m n 8mn mn 2=-10mn 16当,.m 4n 05=-=-，原式=()⎛⎫⨯-⨯--=-= ⎪⎝⎭110416201642例2.已知+-=2a a 30，求()()()2a 12a 1a 1-+--的值.略解：原式 =+---+-222a a 2a 1a 2a 1=+-2a a 2∵+-=2a a 30 ∴+=2a a 3∴原式=+-=-=2a a2321 点评：化简求值是统考和中考的必考题型，例1是常规题，例2整体代入求值也要引起足够的重视.追踪练习：1.2. 已知+-=22x 4x 100，求()()()-+--x 13x 12x 1的值.3. 已知+-=2x 8x20200，求()()()()+---+-22x 32x 34x x 3x 2的值=0 ，先化简()()()--+-2a 2b a 2b a b ，再求值.+2222ab 2b =-26b 5ab+≥≥a 30=+=61521例2. 若+m 1与-+22m 4mn 4n 互为相反数，先化简()()()-+--22m n 2m n 4m n ，再求值.-22224n =25n2互为相反数()++-+=221m 4mn 4n 0()+≥-≥2m 10,m 2n 0)⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2111522=-=511444 .本题目主要是利用整式的乘法化简，同时利用非负数的性质求字母的值，例2利用非负数的性质前还要事先建立等式并局部分解因式.追踪练习：1.若x,y 满足-=x 20 ，先化简()()()+---24x 2y x 2y 2x y ，再求值.2.若-+=2b 2b 10与互为相反数，先化简()()()-+--2a 3b a b a b ，再求值.三.以方程（组）、不等式（组）为载体例1.解方程组()()()()22x 2y 2x y x y x y 6⎧⎪+--=+-⎨-=⎪⎩略解：原方程组为⎧++-+-=-⎪⎨-=⎪⎩2222x 4x 4y 4y 4x yx y 6整理为：+=⎧⎨-=⎩x y 0x y 6①＋②得：=2x 6，解得：=x 3 ；①－②得：=-2y 5，解得：=-x 3；∴原方程组的解为=⎧⎨=-⎩x 3y 3例2.解不等式：()()()()2x 1x 12x 1x 26+--+≤-略解：()()--+--≤222x 12x 4x x 26---+≤222x 22x 3x 26-≤3x 6 ∴≥-x 2点评：以方程（组）、不等式为载体，关键是还是要正确的进行整式的乘法和因式分解，然后整理成普通的方程（组）、不等式来解答.追踪练习：1.解方程组：()()()()⎧⎪--+=+-⎨-=⎪⎩2x 2y y 4x y x y x y 7；2.解方程：()()()---+=2x 1x 1x 36； 3.解不等式：()()()---+≤22x 12x 3x 30；4.若a,b 是自然数，且满足-=22a b 19，分别求a,b 的值.四.拆（添）项配方举例例1.已知x,y 满足-+++=22x 4x y 6y 130，求()+2021x y 的值.略解： ()()-++++=22x 4x 4y 6y 90 ∴()()-++=22x 2y 30 ∵()()-≥+≥22x 20,y 30∴-=+=x 20,y 30； 解得：=x 2，=-y 3 . ∴()()()+=-=-=-202120212021x y 2311例2.求代数式++2a 2a 7的最小值. 略解：原式=()()+++=++22a 2a 16a 16∵()+≥2a 10∴代数式++2a 2a 7的最小值为6.∴()---<2x 140，即代数式-+-2x 2x 5的值恒小于0+-2m 2m 5追踪练习：1.已知a,b 满足-+-+=22a 2ab 4b 50，求()-2021a b 的值.2.已知x,y 满足-+++=225x 4xy y 6x 90，分别求x,y 的值. 3.求代数式++22x 4x 1的最小值. 4.求代数式-++2m 2m 5的最大值. 5.求证：代数式++22x 4x 9的值恒大于0 6.在实数范围内分解因式：--2a 2a 1.五.整体思想运用举例例1.若()()+=-=22a b 7,a b 3，求+22a b 和ab 的值.略解：∵()()+=-=22a b 7,a b 3 ∴++=-+=2222a 2ab b 7,a 2ab b 3∴①＋②得：()()+++-+=+2222a 2ab ba 2ab b 73，合并解得：+=22a b 5 ①－②得：()()++--+=-2222a2ab b a2ab b 73，合并解得：=ab 1.例2.若+=a b 7，=ab 12 ，求++22a 3ab b 的值. 略解：∵+=a b 7，=ab 12 ∴()()++=+++=++=+=222222a 3ab b a 2ab bab a b ab 71261.例3.若a,b 满足()+---=22222x y4x 4y 50 ，求+22x y 的值.略解：原方程可化为：()()+-++--=22222x y4x y 4450，即 ()+-=222x y 29根据平方根的性质可知：+-=22x y 23或+-=-22x y 23 解得：+=22x y 5或+=-22x y 1（不合题意，舍去）∴+=22x y 5. 点评：整体思想是初中数学必考的思想，这类题还经常通过拆（添）项的技巧和非负数联系在一起.例3也可以用狮子相乘法因式分解进行解答.六.其它能力提升题型的举例例1.若△ABC 的三边a,b,c 满足-=-22a acb bc ，判断△ABC 的形状.略解： 原等式化为：--+=22a b ac bc 0，则()()()+---=a b a b c a b 0∴()()-+-=a b a b c 0∵+>a b c ，即+->a b c 0 ∴-=a b 0∴=a b ，即△ABC 为等腰三角形.例2.若△ABC 的三边a,b,c 满足++=++222a b c ab bc ac ，判断△ABC 的形状. 略解：等式两边同时乘以2为：++=++2222a 2b 2c 2ab 2bc 2ac 移项并拆平方项再分组为：()()()-++-++-+=222222a 2ab b b2bc c a 2ac c 0∴()()()-+-+-=222a b b c a c 0 ∵()()()-≥-≥-≥222a b 0,b c 0,a c 0 ∴==a b c ，即△ABC 为等边三角形.例3.已知a,b,c △ABC 的三边，判断式子()+--222222a b c4a b 值的正负性.)++n x = 根据你的猜想进行下列运算： )++++3x ++9922： ++n 2.+n 1x；-1001； ②+++222)-++n 12=+++2221.先观察下列各式后，用n 来表示这一规律正确的是（ ） ①.;223142-=⨯②. ;224243-=⨯③. ;225344-=⨯④.226445-=⨯；A.()22n n 14n --= B.()()22n 1n 4n 1+-=+C.()()22n 2n 4n 1+-=+ D.()()22n 2n 4n 1+-=-⎛⋅⋅- ⎝2119拓展提升这类题也应引起足够重视，由于篇幅有限，这里不再举例2020.12.26。
人教版八年级数学上册 整式的乘法与因式分解知识点总结及同步练习
整式乘除与因式分解一．知识点 （重点） 1．幂的运算性质：a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例：(－2a )2(－3a 2)3 2．()nm a ＝ a mn （m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘． 例： (－a 5)53．()n n nb a ab = （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积． 例：(－a 2b )3 练习：（1）y x x 2325⋅ （2）)4(32b ab -⋅- （3）a ab 23⋅（4）222z y yz ⋅ （5）)4()2(232xy y x -⋅ （6）22253)(631ac c b a b a -⋅⋅4．nm a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）同底数幂相除，底数不变，指数相减． 例：（1）x 8÷x 2 （2）a 4÷a （3）（a b ）5÷（a b ）2（4）（-a ）7÷（-a ）5 （5） (-b ) 5÷(-b )25．零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ． 例：若1)32(0=-b a 成立，则b a ,满足什么条件？6．负指数幂的概念：a －p ＝pa 1 （a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数．也可表示为：ppn m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数）7．单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．例：（1）223123abc abc b a ⋅⋅ （2）4233)2()21(n m n m -⋅-8．单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．例：（1）)35(222b a ab ab + （2）ab ab ab 21)232(2⋅-（3）)32()5(-22n m n n m -+⋅ （4）xyz z xy z y x ⋅++)(23229．多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．例：（1）)6.0(1x x --）（ （2）))(2(y x y x -+ （3）2)2n m +-（ 练习：1．计算2x 3·(－2xy)(－12xy) 3的结果是2．(3×10 8)×(－4×10 4)＝3．若n 为正整数，且x 2n ＝3，则(3x 3n ) 2的值为 4．如果(a n b ·ab m ) 3＝a 9b 15，那么mn 的值是5．－[－a 2(2a 3－a)]＝6．(－4x 2＋6x －8)·(－12x 2)＝ 7．2n(－1＋3mn 2)＝8．若k(2k －5)＋2k(1－k)＝32，则k ＝ 9．(－3x 2)＋(2x －3y)(2x －5y)－3y(4x －5y)＝10．在(ax 2＋bx －3)(x 2－12x ＋8)的结果中不含x 3和x 项，则a ＝ ，b ＝11．一个长方体的长为(a ＋4)cm ，宽为(a －3)cm ，高为(a ＋5)cm ，则它的表面积为，体积为。
人教版 八年级数学上册 第14章 整式的乘法与因式分解 综合巩固训练(含答案)
人教版八年级数学第14章整式的乘法与因式分解综合巩固训练一、选择题1. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是()A．(x＋1)(x－1)＝x2－1B．x2－2x＋1＝x(x－2)＋1C．x2－4y2＝(x－2y)2D．x2＋2x＋1＝(x＋1)22. 今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：－3xy(4y－2x－1)＝－12xy2＋6x2y＋□，□的地方被弄污了，你认为□内应填写()A．3xy B．－3xy C．－1 D．13. 下列计算错误的是（）A．B．C．D．4. 若a2＋ab＋b2＝(a－b)2＋X，则整式X为( )A．ab B．0 C．2ab D．3ab5. 如果a2－2a－1＝0，那么式子(a－3)(a＋1)的值是()A．2 B．－2 C．4 D．－46.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美．现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果．．呈现的密码信息可能是( )A. 我爱美B. 宜昌游C. 爱我宜昌D. 美我宜昌7. 若n为正整数，则(2n＋1)2－(2n－1)2的值( )A．一定能被6整除B．一定能被8整除C．一定能被10整除D．一定能被12整除8. 如果，，是三边的长，且，那么是( )A. 等边三角形．B. 直角三角形．C. 钝角三角形．D. 形状不确定．9. 若是自然数，并且有理数满足，则必有( )A．B．C．D．10. 若，，是三角形三边的长，则代数式的值( )．A.大于零B.小于零C大于或等于零D．小于或等于零二、填空题11. 分解因式：(2a＋b)2－(a＋2b)2＝________．12. (2020·宁波)分解因式：2a2－18＝.13. (2020自贡)分解因式：3a2﹣6ab+3b2＝．14. (2020·成都)已知a＝7﹣3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为．15. （2020·临沂）若，则_________.16. 2018·成都已知x＋y＝0.2x＋3y＝1则式子x2＋4xy＋4y2的值为________．17. 若a－b＝3x－y＝2则a2－2ab＋b2－x＋y＝________．18.根据图①到图②的变化过程可以写出一个整式的乘法公式，这个公式是_______ _____________.三、解答题19. （2020·岳阳）因式分解：．20. 分解因式：21. 分解因式：22. 分解因式：人教版八年级数学第14章整式的乘法与因式分解综合巩固训练-答案一、选择题1. 【答案】D2. 【答案】A[解析] 因为左边＝－3xy(4y－2x－1)＝－12xy2＋6x2y＋3xy，右边＝－12xy2＋6x2y＋□，所以□内应填写3xy.3. 【答案】C【解析】根据积的乘方运算法则，应选C4. 【答案】D5. 【答案】B[解析] 因为a2－2a－1＝0，所以a2－2a＝1.所以(a－3)(a＋1)＝a2－2a－3＝1－3＝－2.6. 【答案】C 【解析】(x2－y2)a2－(x2－y2)b2＝(x2－y2)(a2－b2)＝(x＋y)(x－y)(a＋b)(a－b) ，根据题中的相应式子对应的密码信息可得，结果可能为“爱我宜昌”，故选择C.7. 【答案】 B [解析] 原式＝(4n2＋4n＋1)－(4n2－4n＋1)＝8n，则原式的值一定能被8整除．8. 【答案】A【解析】已知关系式可化为，即，所以，故，，.即．选A．9. 【答案】【解析】由知两数为相反数，且不为0，易得答案10. 【答案】B【解析】又因为，，是三角形三边的长，所以，即，，，二、填空题11. 【答案】3(a＋b)(a－b) 【解析】(2a＋b)2－(a＋2b)2＝[(2a＋b)＋(a＋2b)][(2a＋b)－(a＋2b)]＝(3a＋3b)(a －b)＝3(a＋b)(a－b)．12. 【答案】2(a＋3)(a－3)【解析】本题考查了因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，若能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍就不能分解，因式分解必须进行到不能再分解为止．2a2－18＝2(a2－9)＝2(a＋3)(a－3)．13. 【答案】故答案为：3（a﹣b）2．【解析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键，解：3a2﹣6ab+3b2＝3（a2﹣2ab+b2）＝3（a﹣b）2．因此本题答案为：3（a﹣b）2．14. 【答案】49【解析】先根据完全平方公式变形，再代入，即可求出答案．解：∵a＝7﹣3b，∴a+3b＝7，∴a2+6ab+9b2＝（a+3b）2＝72＝49，故答案为：49．15. 【答案】-1【解析】可以通过因式分解使原式出现，然后代入求值：；16. 【答案】0.36[解析] 因为x＋y＝0.2x＋3y＝1所以2x＋4y＝1.2即x＋2y＝0.6.则原式＝(x＋2y)2＝0.36.17. 【答案】7[解析] a2－2ab＋b2－x＋y＝(a－b)2－(x－y)．把a－b＝3x－y＝2代入得原式＝32－2＝7.18. 【答案】(a＋b)(a－b)＝a2－b2三、解答题19. 【答案】（x+3）（x﹣3）【解析】利用平方差公式分解：原式＝（x+3）（x﹣3）．20. 【答案】【解析】前三项比完全立方公式少l，四、五、六项的和也比立方公式少l．如果把2拆为两个l，那么就可以使两组都成为完全立方，皆大欢喜．于是21. 【答案】【解析】解6项可以分成三组，每组两项．我们把幂次相近的项放在一起，即本例也可以将6项分为两组，每组三项，即将系数为l的放在一组，系数为2的放在另一组．详细过程请读者自己完成．22. 【答案】【解析】。
人教版数学八年级上册第14章【整式的乘法与因式分解】基础巩固训练(一)
【整式的乘法与因式分解】基础巩固训练（一）一．选择题1．计算：（﹣8）101•（﹣0.5）300的结果是（）A．﹣1B．1C．﹣8D．﹣0.52．若关于x的多项式（2x﹣m）与（3x+5）的乘积中，一次项系数为25，则m的值（）A．5B．﹣5C．3D．﹣33．若a2+（m﹣3）a+4是一个完全平方式，则m的值应是（）A．1或5B．1C．7或﹣1D．﹣14．若a2﹣b2＝16，（a+b）2＝8，则ab的值为（）A．﹣B．C．﹣6D．65．已知x2﹣mx+9是某个整式的平方的展开式，则m的值为（）A．3B．±3C．6D．±66．以下关于x的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（）A．x2﹣3x+2B．3x2﹣x+1C．2x2﹣9x﹣1D．x2﹣4x+27．如果x2+kx﹣2＝（x﹣1）（x+2），那么k应为（）A．3B．﹣3C．1D．﹣18．如图，将长方形ABCD的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为24，面积之和为12，则长方形ABCD的面积为（）A．4B．C．5D．69．若x2﹣8x+k是完全平方式，则k的值是（）A．4B．8C．16D．3210．若a x＝2，a y＝3，则a2x+3y＝（）A．108B．54C．36D．31二．填空题11．已知：a+b＝7，ab＝﹣12，则（a﹣b）2的值为．12．已知一个长方形的面积是6a2﹣4ab+2a，且它的一条边长为2a，则长方形的周长为．13．已知25x2+kxy+4y2是一个完全平方式，那么k的值是．14．甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为．15．若多项式A与单项式2a2b的积是8a3b2﹣6a2b2，则多项式A为．三．解答题16．计算下列各式（1）x（2x2y﹣3y）；（2）（x+2y）（x﹣3y）+xy．17．因式分解：（1）ax2﹣9a；（2）b﹣6ab+9a2b．18．甲乙两人共同计算一道整式乘法：（3x+a）（2x﹣b），甲把第二个多项式中b前面的减号抄成了加号，得到的结果为6x2+16x+8；乙漏抄了第二个多项式中x的系数2，得到的结果为3x2﹣10x ﹣8．（1）计算出a、b的值；（2）求出这道整式乘法的正确结果．19．中国古贤常说万物皆自然．而古希腊学者说万物皆数．小学我们就接触了自然数，在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的自然数进行研究，比如奇数、偶数、质数、合数等，今天我们来研究另一种特殊的自然数﹣﹣“欢喜数”．定义：对于一个各数位不为零的自然数，如果它正好等于各数位数字的和的整数倍，我们就说这个自然数是一个“欢喜数”．例如：24是一个“欢喜数”，因为24＝4×（2+4），125就不是一个“欢喜数”因为1+2+5＝8，125不是8的整数倍．（1）判断28和135是否是“欢喜数”？请说明理由；（2）有一类“欢喜数”，它等于各数位数字之和的4倍，求所有这种“欢喜数”．20．阅读材料：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．请仿照上面的方法求解下列问题：（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值．（2）（n﹣2019）2+（2020﹣n）2＝1，求（n﹣2019）（2020﹣n）．（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是15，分别以MF，DF为边长作正方形，求阴影部分的面积．参考答案一．选择题1．解：（﹣8）101•（﹣0.5）300＝（﹣2）303•（﹣0.5）300＝（2×0.5）300×（﹣2）3＝﹣8．故选：C．2．解：（2x﹣m）（3x+5）＝6x2﹣3mx+10x﹣5m＝6x2+（10﹣3m）x﹣5m．∵积的一次项系数为25，∴10﹣3m＝25．解得m＝﹣5．故选：B．3．解：根据题意得：（m﹣3）a＝±2•a•2，则m﹣3＝±4，解得：m＝7或﹣1．故选：C．4．解：∵a2﹣b2＝16，∴（a+b）（a﹣b）＝16，∴（a+b）2（a﹣b）2＝256，∵（a+b）2＝8，∴（a﹣b）2＝32，∴ab＝＝＝﹣6，故选：C．5．解：∵x2﹣mx+9＝x2﹣mx+32是某个整式的平方的展开式，∴﹣m＝±6，解得：m＝±6．故选：D．6．解：A．x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2），此选项不符合题意；B．3x2﹣x+1不能在实数范围内因式分解，此选项符合题意；C．2x2﹣9x﹣1＝2（x﹣）2﹣＝[（x﹣）+][（x﹣）﹣]，此选项不符合题意；D．x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2＝（x﹣2+）（x﹣2﹣），此选项不符合题意；故选：B．7．解：由题意得，x2+kx﹣2＝（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2，则k＝1．故选：C．8．解：设AB＝a，AD＝b，由题意得，8a+8b＝24，2a2+2b2＝12，即a+b＝3，a2+b2＝6，∴ab＝＝＝，即长方形ABCD的面积为，故选：B．9．解：∵x2﹣8x+k是完全平方式，∴k＝42＝16，故选：C．10．解：∵a x＝2，a y＝3，∴a2x+3y＝a2x•a3y＝（a x）2•（a y）3＝22×33＝4×27＝108，故选：A．二．填空题11．解：因为a+b＝7，ab＝﹣12，所以（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝72﹣4×（﹣12）＝49+48＝97．故答案为：97．12．解：∵一个长方形的面积是6a2﹣4ab+2a，且它的一条边长为2a，∴长方形的周长为：（6a2﹣4ab+2a）÷2a＝3a﹣2b+1．故答案为：3a﹣2b+1．13．解：∵25x2+kxy+4y2是一个完全平方式，∴kxy＝±2•5x•2y，解得：k＝±20，故答案为：±20．14．解：因式分解x2+ax+b时，∵甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），∴b＝6×（﹣2）＝﹣12，又∵乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），∴a＝﹣8+4＝﹣4，∴原二次三项式为x2﹣4x﹣12，因此，x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2），故答案为：（x﹣6）（x+2）．15．解：∵多项式A与单项式2a2b的积是8a3b2﹣6a2b2，∴多项式A为：（8a3b2﹣6a2b2）÷2a2b＝8a3b2÷2a2b﹣6a2b2÷2a2b＝4ab﹣3b．故答案为：4ab﹣3b．三．解答题16．解：（1）x（2x2y﹣3y）＝x•2x2y﹣x•3y＝x3y﹣xy；（2）（x+2y）（x﹣3y）+xy＝x2﹣xy﹣6y2+xy＝x2﹣6y2．17．解：（1）ax2﹣9a＝a（x2﹣9）＝a（x+3）（x﹣3）；（2）b﹣6ab+9a2b＝b（1﹣6a+9a2）＝b（1﹣3a）2．18．解：（1）甲的算式：（3x+a）（2x+b）＝6x2+（3b+2a）x+ab＝6x2+16x+8，对应的系数相等，3b+2a＝16，ab＝8，乙的算式：（3x+a）（x﹣b）＝3x2+（﹣3b+a）x﹣ab＝3x2﹣10x﹣8，对应的系数相等，﹣3b+a＝﹣10，ab＝8，∴，解得：；（2）根据（1）可得正确的式子：（3x+2）（2x﹣4）＝6x2﹣8x﹣8．19．解：（1）∵2+8＝10，28不是10的整数倍，∴根据“欢喜数”的概念，28不是“欢喜数”；∵1+3+5＝9，135＝15×9是9的倍数，∴根据“欢喜数”的概念，135是“欢喜数”；（2）①设这个数为一位数a，且a为自然数，a≠0，根据题意可知a＝4a，又a≠0，∴这种情况不存在；②设这个数为两位数，a，b为整数，∴10a+b＝4（a+b），即b＝2a，∴或或或，∴这种欢喜数为12，24，36，48；③设这个数为三位数，a，b，c为整数，∴100a+10b+c＝4（a+b+c），则96a+6b＝3c，又a，b，c为0到9的整数，且a≥1，∴这种情况不存在；④设这个数为四位数，a，b，c，d为0到9的整数，且a≥1，∴1000a+100b+10c+d＝4（a+b+c+d），∴996a+96b+6c＝3d，故没有0到9的整数a，b，c，d使等式成立，由此类推，当这个数的位数不断增加时，更加无法满足等式，∴当一个欢喜数等于各数位数字之和的4倍时，这个数为：12或24或36或48．20．解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，∴（9﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5．（2）设n﹣2019＝a，2020﹣n＝b，则）（n﹣2019）2+（2020﹣n）2＝a2+b2＝1，a+b＝（n﹣2019）+（2020﹣n）＝1，∴（n﹣2019）（2020﹣n）＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝（1﹣1）＝0；（3）有题意得，长方形EMFD的长DE＝a＝x﹣1，宽DF＝b＝x﹣3，则有a﹣b＝2，当x＝6时，ab＝（x﹣1）（x﹣3）＝15，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+60＝64，∴a+b＝8，a+b＝﹣8（舍去）所以阴影部分的面积为：（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝8×2＝16，答：阴影部分的面积为16．。
第十四章+整式的乘法与因式分解+练习+2024-2025学年人教版数学八年级上册
第十四章整式的乘法与因式分解练习一、选择题1．下列计算正确的是（）A．2x2⋅3x3=6x6B．x3÷x3=0C．(2xy)3=6x3y3D．(x3)n÷x2n=x n2．下列各式变形中，是因式分解的是（）A．a2−2ab+b2−1=(a−b)2−1B．x4−1=(x2+1)(x+1)(x−1)C．(x+2)(x−2)=x2−4D．2x2+2x=2x2(1+1x)3．化简(-x)3·(-x)2的结果正确的是（）A．−x6B．x6C．x5D．−x5 4．已知x m=4,x n=6，则x2m−n的值为（）A．9 B．34C．83D．435．如果x2−kxy+9y2是一个完全平方式，那么k的值是（）A．3 B．±6 C．6 D．±36．若x+m与x+2的乘积化简后的结果中不含x的一次项，则m的值为（）A．2 B．-2 C．4 D．-47．用图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为2a+b，宽为a+b的矩形，需要A类卡片，B类卡片，C类卡片的张数分别是（）A．1、2、3 B．1、3、5 C．2、3、1 D．2、3、48．如图所示，将如图一所示的大小相同的四个小正方形按图二所示的方式放置在一个边长为a的大正方形中，中间恰好空出两条互相垂直的宽都为b的长方形，根据图二中阴影部分的面积计算方法可以验证的公式为（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab二、填空题9．分解因式：a2−1 = .10．将代数式(a+2)(a−2)−3a分解因式的结果是.11．如果x2−(m+1)x+1是完全平方式，则m的值为12．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是.（用“＞”连接）13．某农户租两块土地种植沃柑，第一块是边长为am的正方形，第二块是长为(a+10)m，宽为(a+5)m的长方形，则第二块比第一块的面积多了m2．三、计算题14．化简求值：(2x+1)2(3x−2)−(2x+1)(3x−2)2−x(2x+1)(2−3x)，其中x=3215．计算（1）(4a−b2)⋅(−2b)（2）(15x2y−10xy2)÷5xy（3）(−2m−1)2（4）(x+2y−3)(x−2y+3)16．分解因式：（1）x2y−4y；（2）(a−3b)(a−b)+b2．四、解答题17．两位同学将一个二次三项式进行因式分解时，一名同学因为看错了一次项系数而分解成：2(x−1)(x−9)，另一位同学因为看错了常数项而分解成了2(x−2)(x−4) .请求出原多项式，并将它因式分解. 18．如图，在边长为（2m+3）的正方形纸片中剪出一个边长为（m+3）的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，求另一边长．18．某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植(3a−b)株豌豆幼苗，种植了（3a+b）排，正方形实验田每排种植（a+b）株豌豆幼苗，种植了(a+b)排（a>b>0）.（1）长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗多少株？（2）当a=4，b=3时，该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗？19．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1.解：将“x+y”看成一个整体，设x+y=m，则原式=m2+2m+1=(m+1)2.再将x+y=m代入，得原式=(x+y+1)2.上述解题方法用到的是“整体思想”.“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法.请写出下列因式分解的结果：（1）因式分解：1−2(x−y)+(x−y)2=；（2）因式分解：25(a−1)2−10(a−1)+1=；（3）因式分解：(y2−4y)(y2−4y+8)+16.。
人教版八年级上册数学 第十四章 整式的乘除与因式分解 小结和复习训练
人教版八年级上册数学第十四章 整式的乘除与因式分解 小结和复习训练一、知识点梳理：1．合并同类项法则：把同类项中的系数 ， 不变。
（1）8b +2a -5b +3a= ；（2）2x 3-10xy +2x 3+4x 2y -xy 2+2xy -3x 2y= ___2．幂的乘方法则：幂的乘方， 即(a m )n = (m ，n 是正整数)。
（1）(a 4)3= ；（2）(-y 4)3=________; （3）(-103)4×102=________；（4） (-22)·(-2)2=______;3．积的乘方的法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 即(ab)m = (m 是正整数).（1）(ab)3= （2）(-a 2b)3=_________; （3）(0.3a 2b 3)2=4．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘， 即 a m ·a n = (m ，n 是正整数)。
（1）a 3⋅a 2= （2）-24·23=_________（3）x 5·2m x -=___________（4） (-a)5·(-a)4=________. 5．同底数幂的除法法则：同底数幂相除， 。
a m ÷a n = (a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n)。
规定：a 0= （1）m 9÷m 7= （2）（－a ）6÷（－a ）2=（3）a m+2÷a m －1=_______ （4）（－3.14）0=_____ （5）2）0=_______． 6．单项式除法法则：单项式相除， 分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的 ，则连同它的指数作为商的一个因式。
（1）－2x 3y 2z ÷12xy = （2）（27a 8÷9a 2）÷13a 3 = 7．单项式乘法法则：把系数与同底数幂分别相 ，对于只在 含有的字母，则连同它的指数作为 的一个因式。
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) = 4a
( )
⋅ a 9．化简 a m
【巩固练习】 一.选择题
1．下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（
）．
A ． m 2 - 4n 2 = (m + 2n )(m - 2n )
B ． (m + 1)(m -1) = m 2 -1
C ． m 2 - 3m - 4 = m (m - 3)- 4
D ． m 2 - 4m - 5 = (m - 2 )2 - 9
2．下列计算正确的是(
)．
A. a 3 + a 2 = a 5
B. (-2a 3 2
6
C. (a + b )2 = a 2 + b 2
D. a 6 ÷ a 2 = a 3
3.若 x 2 + kx + 25 是完全平方式，则 k 的值是（
）
A . —10 B. 10 C. 5
D.10 或—10
4. 将 m 2 (a - 2)＋ m (2 - a )分解因式，正确的是（
）
A ． (a - 2) (m
2 - m )
B ． m (a - 2)(m + 1)
C ． m (a - 2)(m -1)
D ． m (2 - a )(m -1)
5.（2016·桂林）下列计算正确的是（
）
A ． (xy )3 = xy 3
C ． 3x 2 ⋅ 5x 3 = 15x 5 B ． x 5 ÷ x 5 = x
D ． 5x 2 y 3 + 2x 2 y 3 = 10x 4 y 9
6. 若 ( x - 3)( x + 5) 是 x 2 + px + q 的因式，则 p 为（
）
A.－15
B.－2
C.8
D.2
7. 9(a - b ) 2 + 12(a 2 - b 2 ) + 4(a + b ) 2 因式分解的结果是（
）
A ． (5a - b ) 2
B ． (5a + b ) 2
C ． (3a - 2b )(3a + 2b )
D ． (5a - 2b ) 2
8. 下列多项式中能用平方差公式分解的有（
）
① -a 2 - b 2 ； ② 2x 2 - 4 y 2 ； ③ x 2 - 4 y 2 ； ④ (-m )2 - (-n )2 ； ⑤ -144a 2 + 121b 2 ；
⑥ - 1
2
m 2 + 2n 2 ．
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
二.填空题
2 n ＝______．
10．如果 x 2 - 2mx + 9 是一个完全平方式，那么 m ＝______．
(- x )= - (- x ) ，⑨ (x - y ) = ( y - x ) 3
11．若 x 2 - y 2 = 1，化简 (x + y )2012 (x - y )2012 ＝________．
12. 若 x 2 + 3x - 3 = 0 ， 2 x 3 + 6 x 2 - 6 x ＝__________.
13.把 (-2 )2011 + (-2 )2012 分解因式后是___________.
14. (x - 1)(x + 1)(
x 2 + 1)- (
x 4 + 1)
的值是________．
a 2 +
b 2
15.（2016·雅安）已知 a + b = 8 ， a 2b 2 = 4 ，则 - ab =
．
2
16.下列运算中，结果正确的是___________
① a 2 + a 2 = a 4 ， ② (a 3 ) 2 = a 5 ，
③ a ⋅ a = a 2 ， ④ (x - y )3 = ( y - x )3 ，
⑤ x - a - b = x - (a + b )，⑥ x + a - b = x - (b - a )，⑦ (- x )2 = - x 2 ，
⑧
3
2
2
三.解答题
17.分解因式：
（1） 4 x ( x - y )2 -12( x - y )3 ；
（2） 9a 2 - 24ab + 16b 2 ；
（3） ma 2 - 18ma - 40m .
18. 解不等式 (2 x + 3)2 - (x + 2 )(x - 3) > 3x 2 + 6 ，并求出符合条件的最小整数解．
19．（2015 春•盐都区期中）问题：阅读例题的解答过程，并解答（1）（2）：
例：用简便方法计算 195×205 解：195×205 =（200﹣5）（200+5）① =2002﹣52② =39975
（1）例题求解过程中，第②步变形依据是 （填乘法公式的名称）． （2）用此方法计算：99×101×10001．
20．某种液晶电视由于原料价格波动而先后两次调价，有三种方案：(1)先提价 10％，再降
价 10％；(2)先降价 10％，再提价 10％；(3)先提价 20％，再降价 20％．问三种方案 调价的最终结果是否一样？为什么？ 【答案与解析】 一.选择题
1. 【答案】A ；
【解析】因式分解是把多项式化成整式乘积的形式. 2. 【答案】B ；
()⋅a 9.【答案】a m
【解析】(x+y)2012(x-y)2012=⎡⎣(x+y)(x-y)⎤⎦2012=x2-y2)
3.【答案】D；
【解析】x2±10x+52=(x±5)2
4.【答案】C；
【解析】m2(a-2)＋m(2-a)＝m2(a-2)-m(a-2)＝m(a-2)(m-1)．5.【答案】C；
【解析】解：A、原式=x3y3，故A错误；
B、原式=1，故B错误；
C、原式=15x5，故C正确；
D、原式=7x2y3，故D错误．
故选：C．
6.【答案】D；
【解析】(x-3)(x+5)=x2+2x-8.
7.【答案】A
【解析】9(a-b)2+12(a2-b2)+4(a+b)2＝⎡⎣3(a-b)+2(a+b)⎤⎦2=(5a-b)2.
8.【答案】D；
【解析】③④⑤⑥能用平方差公式分解.
二.填空题
2n=a2m+n.
10.【答案】±3；
【解析】x2-2mx+9=(x±3)2=x2±2⨯3x+32.
11.【答案】1；
(2012
12.【答案】0；
【解析】2x3+6x2-6x=2x
(x2+3x)-6x=2x⨯3-6x=0.
13.【答案】22011；
【解析】(-2)2011+(-2)2012=(-2)2011(1-2)=-(-2)2011=22011.
14.【答案】－2；
【解析】
(x-1)(x+1)(x2+1)-(x4+1)=(x2-1)(x2+1)-(x4+1)
=x4-1-x4-1=-2.
15.【答案】28或36；
=12012=1.
- 2ab = 64
- 2 ⨯ -2 = 36 ；
( )
a 2 +
b 2
(a + b )2 - 2ab
(a + b )2
【解析】解：
- ab =
- ab =
- 2ab ，
2
2
2
∵ a 2b 2 = 4 ，
∴ ab = ±2 ，
a 2 +
b 2
(a + b )2
64 ①当 a + b = 8 ， ab = 2 ，
- ab =
- 2ab =
- 2 ⨯ 2 = 28 ；
2
2
2
②当 a + b = 8 ， ab = -2 ，
a 2 +
b 2
(a + b )2
- ab =
2
2
2
故答案为：28 或 36．
16.【答案】③⑤⑥⑨；
【解析】在整式的运算过程中，符号问题和去括号的问题是最常犯的错误，要保证不出
现符号问题关键在于每一步的运算都要做到有根据，能够用定理法则指导运算.
三.解答题 17.【解析】
解：（1） 4 x ( x - y )2 -12( x - y )3 ＝ 4( x - y )2[ x - 3(x - y )] = 4( x - y )2 (3 y - 2 x ) ；
（2） 9a 2 - 24ab + 16b 2 = (3a - 4b )2 ；
（3） ma 2 - 18ma - 40m = m (a 2 -
18a - 40 )
= m (a - 20 )(a + 2 ) .
18.【解析】
解： (2 x + 3)2 - (x + 2 )(x - 3) > 3x 2 + 6
4 x 2 + 12 x + 9 - x 2 + x + 6 > 3x 2 + 6
13x > -9
x >- 9
13
符合条件的最小整数解为 0，所以 x = 0 .
19.【解析】 解：（1）平方差公式；
（2）99×101×10001=（100﹣1）（100+1）×10001
=（10000﹣1）（10000+1） =100000000﹣1 =9999999
20．【解析】
解：设 a 为原来的价格
(1) 由题意得： a (1 + 10%)(1 -10%) = 0.99a
)(1+10%)=0.99a
（2）由题意得：a(1-10%
)(1-20%)=1.2a⨯0.8=0.96a.（3）由题意得：a(1+20%
所以前两种调价方案一样.。