2020年八年级数学 一次函数的图象和性质(基础)知识讲解
八年级第十七章《函数及其图象》知识点
.精品文档.八年级第十七章《函数及其图象》知识点八年级第十七《函数及其图象》知识点（2）一、一次函数（一）一次函数的概念：形如y=kx+b （其中k工0）,两个特征：①k工0，②x的次数为1正比例函数的概念：当b=0时的一次函数成为正比例函数，此时称y与x成正比例【注意】两个变量成正比例，即y=kx.例题1、若函数y=（-1）x|| 是一次函数，则=.2、若y-1与x+3成正比例，且当x=1时，y=2，求y与x 的函数关系式.（二）一次函数的图象及其性质：y=kx+b （" 0）1、一次函数的图象是一条直线，故使用待定系数法求直线解析式时一般需要两个点.特殊直线：直线y=x或直线y= -x上的点到两坐标轴距离相等.2、一次函数的性质（与系数k、b相关）① k决定着函数的增减性当k > 0时，y随x的增大而增大（增函数），必过第一三象限当k v 0时，y随x的增大而减小（减函数），必过第二四象限② b决定着直线与y轴交点的位置：在原点的基础上“上加下减”当b=0时，必过原点；当b>0时，沿y轴向上平移；当b v 0时，沿y轴向下平移.补充口诀：上加下减改变b, y=kx+b —y=kx+b+左加右减改变x, y=kx+b —y=k（x+）+b③斜率k的性质：平移k不变；|k|越大，直线的倾斜程度越大；k=【可用于待定系数法求解析式中的k 1④截距b的性质：与y轴交点（0, b）,与x轴交点（, 0）⑤四种特殊位置关系的直线：两直线平行k相等；两直线相互垂直--> k1 • k2= -1 ；两直线关于x轴对称--> k与b均互为相反数；两直线关于y轴对称k互为相反数，b相等.⑥点（x0, y0）到直线ax+by+=0的距离d公式：d=（三）一次函数的应用1、解题关键：点的坐标，尤其是交点的坐标三种交点：①与x轴交点，y坐标为0,即（x, 0）②与y轴交点，x坐标为0,即（0, y）③两个图象的交点：联立解析式，方程组的解即为交点的x坐标和y坐标2、解题思路：①与三角形全等、直角三角形、面积、周长、线段有关的问题均转化为点的坐标【数形结合很重要，注意运用“全等（含对称）、勾股定理、等面积法（含同底等高）”等知识】②求函数解析式（含求函数值或自变量的值）均用待定系数法，其中k、b注意利用性质求得.【待定系数法思路：几个未知系数，就用几个条件构造方程】③比较大小的三种方法：【含两种方案的比较问题】代入计算法（对函数解析式已知的题目适用）增减性分析法（对k的符号已知的适用）图象分析法（对能画出大致图形的适用，借助交点和坐标轴分析）④最值问题（如最大利润）：先求出自变量的取值范围（常以“有几种方案”的问题出现，需根据题意列不等式组求出）；再列出关于利润的函数表达式（要化简整理成y=kx+b 的形式），最后根据增减性结合具体方案（自变量取值范围），找出最值.⑤行程问题（常以两车同向或相向为背景）图象交点的意义：两车相遇(或追上)两车的距离即为：s=y1-y2例题1、已知直线y=(k+2)x+k2-4 的图象经过原点，贝U k=.2、若一次函数y=(k+2)x-2k+3的图象不经过第四象限，则k的取值范围是.3、已知直线平行于直线y=2x，且与y轴交点到原点的距离为2,则该直线的解析式是.4、把直线y=-x+3向上平移个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则的取值范围是.5、函数y=ax-2与y=bx+3的图象交于x轴上的一点，则=.6、一次函数y=(3a-7)x+a-2 的图象与y轴交点在x轴上方，且y随x的增大而减小，求a的取值范围.7、正比例函数y=-kx的图象经过第一三象限，在函数y=(k-2)x 的图象上有三个点(x1 , y1 )、(x2, y2)、(x3, y3), 且x1 >x2 > x3时，贝» y1、y2、y3的大小关系为.&若直线y=kx+b交坐标轴于(-2,0) 、(0,3)两点，则不等式kx+b > 0的解集是.9、函数y= -x+3，当图象在第一象限时，x的取值范围是；当-1 < x < 3时，函数的最小值是.10、直线AB过点A (0,6 )、B (-3,0 ),直线D与直线AB相互垂直，且过点（0,1 ）.（1）求两直线的解析式；（2）求直线D与x轴的交点D 的坐标；（3）求直线AB上到y轴距离等于4的点的坐标；（4）求两直线的交点P的坐标；（5）求厶PAD的面积；（6）在y 轴上的是否存在点，使得S A PA=S^ PAD.11、点A为直线y=-2x+2上的点，点A到两坐标轴的距离相等，则点A的坐标为.12、把Rt △ AB放在平面直角坐标系中，点A （1,0 ）、点B（ 4,0 ）, / AB=90°, B=5.将厶AB沿x轴向右平移，当点落在直线y=2x-6上时，求线段B扫过的面积.13、某工厂投入生产一种机器，当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x （单位：台）102030y （单位：万元/台）605550（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的50取值范围；(2)市场调查发现，这种机器每月销售量z (台)与售价a (万元/台)之间满足如图所示的函数关系.该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润. (注：利润=售价-成本)14、现从A, B两个蔬菜市场向甲、乙两地运送蔬菜，A, B 两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A地到甲地的运费为50元/吨，到乙地的运费为30元/吨；从B地到甲地的运费为60元/吨，到乙地的运费为45元/吨.(1) 设从A地往甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：运往甲地(单位：吨)运往乙地(单位：吨)AxB(2) 设总运费为元，请写出与x的函数关系式；(3) 共有多少种运送方案？哪种方案运费最少？15、一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1 (k),出租车离甲地的距离为y2 ( k),客车行驶时间为x ( h), y1 , y2 与x 的函数关系图象如图所示：(1)根据图象，求出y1 , y2关于x的函数关系式。
初二数学一次函数知识点总结
初二数学一次函数知识点总结一次函数是中学数学中的重要内容，也是初中数学的基础知识之一。
学好一次函数对于学习高中数学和大学数学都有着非常重要的作用。
下面我们来总结一下初二数学一次函数的知识点。
一、一次函数的定义。
一次函数是指函数y=kx+b（k和b为常数且k不等于0）称为一次函数，其中x是自变量，y是因变量，k称为斜率，b称为截距。
二、一次函数的图像特征。
1. 斜率k的作用。
斜率k决定了一次函数图像的斜率，斜率为正表示图像向上倾斜，斜率为负表示图像向下倾斜，斜率的绝对值大小决定了图像的陡峭程度。
2. 截距b的作用。
截距b决定了一次函数图像与y轴的交点，也就是函数图像的纵坐标偏移量。
三、一次函数的性质。
1. 一次函数的增减性。
当斜率k大于0时，函数图像是递增的；当斜率k小于0时，函数图像是递减的。
2. 一次函数的奇偶性。
一次函数一般情况下是奇函数，即f(-x)=-f(x)，也就是图像关于原点对称。
3. 一次函数的零点。
一次函数的零点就是使得函数值为0的x值，即解方程kx+b=0得到的x值。
四、一次函数的应用。
1. 直线方程的求解。
一次函数可以表示直线的方程，通过斜率和截距可以确定一条直线的位置和特征。
2. 实际问题的建模。
在实际问题中，很多情况下可以利用一次函数对问题进行建模，通过一次函数的分析可以得到问题的解决方案。
以上就是初二数学一次函数的知识点总结，希望同学们能够认真学习，掌握好这些知识点，为以后的学习打下坚实的基础。
同时也希望同学们能够在学习中勇于探索，善于思考，不断提高自己的数学水平。
祝大家学习进步！。
4.3 一次函数的图象(第1课时)正比例函数的图象和性质课件(31张PPT) 北师大版八年级数学上册
y = -3x
y
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 O
-1
-2
-3
-4
y = 2x
这两个函数图
象有什么共同
特征？
1 2 3 4 5 x
归纳总结
y = kx (k 是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线
y = kx (k≠0)
经过的象限
k＞0
第一、三象限
k＜0
两点
作图法
第二、四象限
15 x
，即
解：
（1） y 5
100
（2）列表 x
0
y
0
描点
连线
（3）当 x = 220 时，
.
4
3
y/元
6
5
4
3
2
1
（元）. O
1 2 34 56 7
答：该汽车行驶 220 km 所需油费是 165 元．
x/km
画正比例函数图象的一般
步骤：列表、描点、连线
正比例函
数的图象
和性质
图象：经过原点的直线.
(x2，y2)，若 x1＜x2 ，则 y1 ＞ y2.
2. 正比例函数 y = k1x 和 y = k2x 的图象如图，则 k1 和 k2
y y = k1x
的大小关系是( A )
y = k2x
A. k1＞k2
B. k1 = k2
o
x
C. k1＜k2
D. 不能确定
例3 已知正比例函数 y = mx 的图象经过点 (m，4)，且
y 的值随着 x 值的增大而减小，求 m 的值.
解：∵正比例函数 y = mx 的图象经过点(m，4)，
人教版八年级下数学一次函数的图象和性质(基础)知识讲解
一次函数的图象与性质（基础）撰稿：康红梅 责编：吴婷婷【学习目标】1. 理解一次函数的概念，理解一次函数y kx b =+的图象与正比例函数y kx =的图象之间的关系；2. 能正确画出一次函数y kx b =+的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．【要点梳理】要点一、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数.要点诠释：当b ＝0时，y kx b =+即y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k ，b 的要求，一次函数也被称为线性函数.要点二、一次函数的图象与性质1.函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象是一条直线 ；当b ＞0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向上平移b 个单位长度得到的；当b ＜0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向下平移|b |个单位长度得到的.2.一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象与性质：3. k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势，b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限．4. 两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定：（1）12k k ≠⇔1l 与2l 相交； （2）12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行；【高清课堂：391659 一次函数的图象和性质，待定系数法求函数的解析式】要点三、待定系数法求一次函数解析式一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立条件确定两个关于k ，b 的方程，这两个条件通常为两个点或两对x ，y 的值.要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数y kx b =+中有k 和b 两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k 和b 为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.要点四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.【典型例题】类型一、待定系数法求函数的解析式1、根据函数的图象，求函数的解析式．【思路点拨】由于此函数的图象过（0，2），因此b ＝2，可以设函数的解析式为2y kx =+，再利用过点（1.5，0），求出相应k 的值.【答案与解析】利用待定系数法求函数的解析式.解：设函数的解析式为y kx b =+.它的图象过点（1.5，0），（0，2） 41.50322k b k b b ⎧+==-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩∴∴ ∴该函数的解析式为423y x =-+. 【总结升华】用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k 和b 为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.举一反三：【变式1】已知一次函数的图象与正比例函数2y x =的图象平行且经过(2，1)点，则一次函数的解析式为________．【答案】 23y x =-；提示：设一次函数的解析式为y kx b =+，它的图象与2y x =的图象平行，则2k =，又因为一次函数的图象经过(2，1)点，代入得1＝2×2＋b ．解得3b =-． ∴ 一次函数解析式为23y x =-．【高清课堂：391659 一次函数的图象和性质，例1】【变式2】（1）已知直线(0)y kx b k =+≠，与直线2y x =平行，且与y 轴的交点是（0，2-），则直线解析式为___________________．（2）若直线(0)y kx b k =+≠与31y x =+平行，且同一横坐标在两条直线上对应的点的纵坐标相差1个单位长度，则直线解析式为__________________．【答案】（1）22y x =-；（2）32y x =+或3y x =.提示：（1）因为所求直线与2y x =平行，所以2y x b =+，将（0，－2）代入，解得2b =-，所以22y x =-.（2）由题意得3k =，假设点（1，4）在31y x =+上面，那么点（1，5）或（1，3）在直线3y x b =+上，解得2b =或0b =.所求直线为32y x =+或3y x =.类型二、一次函数图象的应用2、为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司制定了新的用电收费标准，每月用电量x (度)与应付电费y (元)的关系如图所示．根据图象求出y 与x 的函数关系式．【思路点拨】根据函数关系的变化进行分段，分别求出各段的函数解析式．【答案与解析】解：根据图象，当0≤x ≤50时，可设解析式为y kx =，将(50，25)代入解析式，所以12k =，所以12y x =； 当x ＞50时可设解析式为y ax b =+，将(50，25)，(100，70)代入解析式得502510070a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得0.920a b =⎧⎨=-⎩，所以0.920y x =-．所以当0≤x ≤50时函数解析式为12y x =；当50x >时函数解析式为0.920y x =-． ∴ 所求的一次函数解析式为：1(050)20.920(50)x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪->⎩．【总结升华】求分段函数解析式的基本方法是：先分求，后整合.分求某段解析式的方法与求一次函数解析式的方法相同，在整合时要用大括号联结，并在各解析式后注明自变量的取值范围.举一反三：【变式】小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A ，再走下坡路到达点B ，最后走平路到达学校C ，所用的时间与路程的关系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( )A.14分钟B.17分钟C.18分钟D.20分钟【答案】D ；提示：由图象可知，上坡速度为80米/分；下坡速度为200米/分；走平路速度为100米/分.原路返回，走平路需要8分钟，上坡路需要10分钟，下坡路需要2分钟，一共20分钟.类型三、一次函数的性质3、已知一次函数()()243y m x n =++-．（1）当m 、n 是什么数时，y 随x 的增大而增大；（2）当m 、n 是什么数时，函数图象经过原点；（3）若图象经过一、二、三象限，求m 、n 的取值范围.【答案与解析】解：（1）240m +>，即m ＞－2，n 为任何实数时，y 随x 的增大而增大；（2）当m 、n 是满足24030m n +≠⎧⎨-=⎩即23m n ≠-⎧⎨=⎩时，函数图象经过原点；（3）若图象经过一、二、三象限，则24030m n +>⎧⎨->⎩，即23m n >-⎧⎨<⎩． 【总结升华】一次函数y kx b =+的图象有四种情况：①当k ＞0，b ＞0时，函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限，y 的值随x 的值增大而增大；②当k ＞0，b ＜0时，函数y kx b =+的图象经过第一、三、四象限，y 的值随x 的值增大而增大；③当k ＜0，b ＞0时，函数y kx b =+的图象经过第一、二、四象限，y 的值随x 的值增大而减小；④当k ＜0，b ＜0时，函数y kx b =+的图象经过第二、三、四象限，y 的值随x 的值增大而减小．4、下列函数中，其图象同时满足两个条件①y 随着x 的增大而增大②与x 轴的正半轴相交．则它的解析式为（ ）A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．21y x =-D ．21y x =+【答案】C ；【解析】由题可知：解析式中必须满两个条件①y 随着x 的增大而增大②y 与x 轴的正半轴相交．C 中当k ＞0，b ＜0，y 的值随x 的值增大而增大，且与x 的正半轴相交，符合条件．故选C ．【总结升华】根据k ，b 的正负来确定一次函数图象所处的象限.举一反三： 【变式】函数(0)y kx k k =+≠在直角坐标系中的图象可能是（ ）．【答案】B ；提示：不论k 为正还是为负，k 都大于0，图象应该交于x 轴上方，故选B.。
八年级数学《一次函数》知识点总结
八年级数学《一次函数》知识点总结八年级数学下册《一次函数》知识点总结一.常量、变量：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。
二、函数的概念：函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与，并且对于x的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，是x的函数．三、函数中自变量取值范围的求法：（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。
（3）用寄次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。
（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。
（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。
四、函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．五、用描点法画函数的图象的一般步骤1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。
）注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。
2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。
3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。
六、函数有三种表示形式：（1）列表法（2）图像法（3）解析式法七、正比例函数与一次函数的概念：一般地，形如=x(为常数，且≠0)的函数叫做正比例函数.其中叫做比例系数。
一般地，形如=x+b(,b为常数，且≠0)的函数叫做一次函数.当b=0时,=x+b即为=x,所以正比例函数，是一次函数的特例.八、正比例函数的图象与性质：（1)图象:正比例函数=x(是常数，≠0))的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线=x。
一次函数的图象和性质知识讲解
一次函数的图象和性质知识讲解一次函数是数学中最简单的函数之一，通常表示为y = ax + b，其中a和b都是实数且a ≠ 0。
一次函数也被称为线性函数，因为它的图像是一条直线。
1.找到x轴和y轴的交点，并标记为(x1,0)和(0,y1)。
2.连接两个点，得到直线。
如果x1等于0，则直线与y轴平行；如果y1等于0，则直线与x轴平行；如果两个轴的交点都不是原点，则直线会穿过原点。
1.斜率：一次函数的斜率是直线的倾斜程度。
斜率可以通过直线上的两个点计算得出，斜率等于纵坐标的变化量除以横坐标的变化量。
在一次函数中，斜率等于a。
2.y轴截距：一次函数在y轴上的截距是直线与y轴的交点的纵坐标。
在一次函数中，截距等于b。
3.x轴截距：一次函数在x轴上的截距是直线与x轴的交点的横坐标。
在一次函数中，截距等于-x1/a（如果存在）。
4.定义域和值域：一次函数的定义域是所有实数，因为对于任何实数x，一次函数都有对应的y值。
一次函数的值域也是所有实数，因为直线可以无限延伸。
5.单调性：如果a大于0，则一次函数是增函数，意味着随着x的增加，y值也增加。
如果a小于0，则一次函数是减函数，意味着随着x的增加，y值减少。
6.对称性：一次函数的图像在直线y=x/2上对称，这意味着如果一个点(x,y)在一次函数的图像上，则另一个点(y,x)也在图像上。
7.平移：通过改变常数b的值，可以使一次函数的图像平移。
当b大于0时，图像向上平移；当b小于0时，图像向下平移。
8.相关性：一次函数的系数a和b的值决定了直线的斜率和截距。
更具体地说，a决定了直线的倾斜程度，而b决定了直线与y轴的交点的纵坐标。
总结：一次函数是数学中最简单的函数之一，其图像是一条直线，由斜率和截距决定。
一次函数具有很多重要的性质，如斜率、截距、定义域、值域、单调性、对称性、平移和相关性。
熟悉这些性质可以帮助我们更好地理解和分析一次函数的特征和行为。
初二数学一次函数知识点解析
初二数学一次函数知识点解析一、函数的概念和性质函数是一种特殊的关系，它描述了自变量和因变量之间的对应关系。
一次函数是函数中的一种特殊形式，表示为y = ax + b，其中a和b是实数，a称为斜率，b称为截距。
一次函数也被称为线性函数，因为它的图像是一条直线。
二、直线的斜率和截距1. 斜率的定义及计算一次函数的斜率表示了直线的倾斜程度。
斜率的计算可以通过选取直线上两个点，计算它们之间的纵坐标差值与横坐标差值的比值来得到。
具体公式可以表示为：斜率a = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)。
2. 斜率的特征斜率为正时，表示直线是向右上方倾斜；斜率为负时，表示直线是向右下方倾斜；斜率为0时，表示直线是水平的；斜率无定义时，表示直线是垂直的。
三、直线图像的性质1. 平行线和垂直线如果两条直线具有相同的斜率，那么它们是平行的；如果两条直线的斜率相乘为-1，那么它们是垂直的。
2. 直线与坐标轴的交点当直线与x轴相交时，y的值为0，求解方程y = ax + b中的x，即可得到直线与x轴的交点；当直线与y轴相交时，x的值为0，求解方程y = ax + b中的y，即可得到直线与y轴的交点。
四、直线的图像和变化规律1. 图像的特征一次函数的图像是一条直线，可以根据斜率的正负和零来判断图像的走势。
- 当斜率为正时，图像是从左下到右上的斜线；- 当斜率为负时，图像是从左上到右下的斜线；- 当斜率为0时，图像是一条水平的直线；- 当斜率无定义时，图像是一条垂直的直线。
2. 增减性和单调性一次函数在整个定义域上具有相同的增减性，即当斜率为正时，函数递增；当斜率为负时，函数递减。
3. 定义域和值域一次函数的定义域是实数集，即所有实数；值域也是实数集，即所有实数。
五、一次函数的应用一次函数在实际生活中有很多应用。
下面以两个例子说明一次函数的实际应用。
1. 速度和时间的关系假设一个人以恒定的速度v骑自行车，骑行的时间为t小时。
八年级数学《一次函数的性质》PPT课件
分析：只要k相同，直线就平行，一次函数y＝kx＋b(k≠0)是
练习3一次函数y=ax+b与y=ax+c(a>0)在
同一坐标系中的图象可能是（ A
y y y y
）
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
4、一次函数y=kx+b的图象如图所示，则 k < 0,b< 0
y
o
x
正比例函数的性质
1.正比例函数y=kx的图象是 原点(0,0)的一条直线; 经过_________ 一、三 象限 2. 1)当 k >0,y=kx经过______ 二、四 象限. 2)当 k <0,y=kx经过______
一、三、四 k>0,b<0→___ ___ ___
二、四、三 k<0,b<0→___ ___ ___
一次函数y=kx+b有下列性质：
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大， 这时函数的图象从左到右上升； （2）当k＜0时，y随x的增大而减小， 这时函数的图象从左到右下降。
1. 一次函数 y 2 x 4 的图象经过 一、二、四 象限。 y随x的增大而 减小 ,它的图象与x轴、y轴的坐标分别为 （ 2，0） （0，4） 。 ___________________ 增大 2．函数y=(k-1)x+2，当 k＞1时，y随 x的增大而 ______, 减小 。 当k＜1时，y随x的增大而_____
-2
-3 -4 -5 -6
y=2x-3
归纳总结：
k>0 b>0
k>0 b<0 k<0 b>0 k<0 b<0
《一次函数的性质与图象》 知识清单
《一次函数的性质与图象》知识清单一次函数是数学中非常基础且重要的概念，它的性质和图象对于理解和解决许多数学问题都具有关键作用。
下面让我们一起来详细了解一下一次函数的性质与图象。
一、一次函数的定义一般地，形如 y ＝ kx ＋ b（k，b 是常数，k ≠ 0）的函数，叫做一次函数。
当 b ＝ 0 时，即 y ＝ kx，这时称 y 是 x 的正比例函数。
二、一次函数的图象一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象是一条直线。
（一）斜率 k 的影响1、当 k ＞ 0 时，直线从左到右上升，函数 y 随 x 的增大而增大。
2、当 k ＜ 0 时，直线从左到右下降，函数 y 随 x 的增大而减小。
（二）截距 b 的影响1、 b 表示直线与 y 轴的交点纵坐标。
当 b ＞ 0 时，直线与 y 轴交于正半轴；当 b ＜ 0 时，直线与 y 轴交于负半轴；当 b ＝ 0 时，直线经过原点。
（三）图象的画法通常我们采用两点法来画一次函数的图象。
即选取两个点，一般是直线与 x 轴、y 轴的交点。
三、一次函数的性质（一）单调性由前面提到的斜率 k 决定，k ＞ 0 时单调递增，k ＜ 0 时单调递减。
（二）奇偶性一般的一次函数是非奇非偶函数。
但当 b ＝ 0 时，一次函数 y ＝ kx 是奇函数。
（三）定义域和值域一次函数的定义域为全体实数，值域也为全体实数。
四、一次函数图象的平移（一）上下平移y ＝ kx ＋ b 向上平移 m 个单位得到 y ＝ kx ＋ b ＋ m；向下平移 m 个单位得到 y ＝ kx ＋ b m。
（二）左右平移y ＝ k(x n) ＋ b 是 y ＝ kx ＋ b 向右平移 n 个单位得到的；y ＝ k(x＋ n) ＋ b 是 y ＝ kx ＋ b 向左平移 n 个单位得到的。
五、一次函数与方程、不等式的关系（一）与一元一次方程的关系一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象与 x 轴交点的横坐标，就是方程 kx ＋b ＝ 0 的解。
初中数学知识归纳一次函数的性质和像
初中数学知识归纳一次函数的性质和像初中数学知识归纳：一次函数的性质和像一次函数是数学中较为基础和常见的函数类型之一。
它的表达式可以写作y = ax + b，其中a和b都是常数，且a ≠ 0。
本文将归纳一次函数的性质和像，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
1. 第一性质：一次函数的图像是直线一次函数的图像永远是一条直线，不论参数a和b的取值如何。
这意味着当我们绘制一次函数的图像时，得到的线条总是直线而不会出现弯曲或曲线。
2. 第二性质：斜率决定直线的倾斜程度在一次函数中，斜率a决定了直线的倾斜程度。
斜率表示单位变化y对应的x的变化量。
当斜率为正时，直线向上倾斜；当斜率为负时，直线向下倾斜；当斜率为零时，直线平行于x轴。
3. 第三性质：截距决定直线与y轴的交点位置一次函数中的截距b决定了直线与y轴的交点位置。
截距表示当x 为零时，函数值y所对应的点在y轴上的位置。
若截距为正，交点在y 轴上方；若截距为负，交点在y轴下方；若截距为零，交点与y轴相交于原点。
4. 第四性质：在直线上的两点可以得到一次函数的表达式已知一次函数经过直线上的两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以利用这两点间的斜率来求取一次函数的表达式。
斜率k的计算公式为k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
在得到斜率k后，我们可以选择其中一个点，代入一次函数的表达式y = ax + b中，求取b的值。
5. 第五性质：一次函数的图像与平行和垂直关系两个一次函数如果有相同的斜率a，则它们的图像是平行的。
这是因为它们的直线具有相同的倾斜程度。
另一方面，两个一次函数如果斜率互为倒数，即a1 = -1/a2，则它们的图像是垂直的。
这是因为它们的直线互相垂直。
通过对一次函数的性质的归纳总结，我们可以更好地理解和应用这一概念。
一次函数的图像是直线，斜率决定直线的倾斜程度，截距决定直线与y轴的交点位置，已知两点可以求解一次函数的表达式，而斜率则决定了图像之间的平行和垂直关系。
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3. k 、 b 对一次函数 y kx b 的图象和性质的影响：
k 决定直线 y kx b 从左向右的趋势， b 决定它与 y 轴交点的位置， k 、 b 一起决定 直线 y kx b 经过的象限． 4. 两条直线 l1 ： y k1x b1 和 l2 ： y k2x b2 的位置关系可由其系数确定：
要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出
这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数 y kx b 中有 k 和 b 两个待定系数，所 以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以 k 和 b 为未知数），解方程组后
就能具体写出一次函数的解析式. 要点四、分段函数
【答案】（1） y 2x 2 ；（2） y 3x 2 或 y 3x . 提示：（1）因为所求直线与 y 2x 平行，所以 y 2x b ，将（0，－2）代入， 解得 b 2 ，所以 y 2x 2 . （2）由题意得 k 3 ，假设点（1，4）在 y 3x 1 上面，那么点（1，5）或 （1，3）在直线 y 3x b 上，解得 b 2 或 b 0 .所求直线为 y 3x 2 或 y 3x .
【变式 2】（1）已知直线 y kx b(k 0) ，与直线 y 2x 平行，且与 y 轴的交点是（0，2 ），
则直线解析式为___________________．
（2）若直线 y kx b(k 0) 与 y 3x 1 平行，且同一横坐标在两条直线上对应
的点的纵坐标相差 1 个单位长度，则直线解析式为__________________．
一般地，形如 y kx b （ k ， b 是常数， k ≠0）的函数，叫做一次函数.
y kx （ k 为常数，且 k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中 k 叫做比例系数.
要点诠释：当 b ＝0 时， y kx b 即 y kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函 数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数 k ，b 的要求，
（1） k1 k2 l1 与 l2 相交； （2） k1 k2 ，且 b1 b2 l1 与 l2 平行；
要点三、待定系数法求一次函数解析式
一次函数 y kx b （ k ，b 是常数，k ≠0）中有两个待定系数 k ，b ，需要两个独立
条件确定两个关于 k ， b 的方程，这两个条件通常为两个点或两对 x ， y 的值.
将(50，25)代入解析式，所以 k 1 ，所以 y 1 x ；
2
2
当 x ＞50 时可设解析式为 y ax b ，
50a b 25 将(50，25)，(100，70)代入解析式得 100a b 70 ，
解得
a b
0.9 20
，所以
1.5k b 0 ∴b 2
∴k
4 3
b 2
∴该函数的解析式为 y 4 x 2 . 3
【总结升华】用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以 k 和 b 为未知数），
解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.
举一反三：
【变式 1】已知一次函数的图象与正比例函数 yБайду номын сангаас 2x 的图象平行且经过(2，1)点，则一次
函数的解析式为________．
【答案】 y 2x 3 ；
提示：设一次函数的解析式为 y kx b ，它的图象与 y 2x 的图象平行，则 k 2 ，又因为一次函数的图象经过(2，1)点，代入得 1＝2×2＋ b ．解得 b 3 ． ∴ 一次函数解析式为 y 2x 3 ．
【高清课堂：391659 一次函数的图象和性质，例 1】
一次函数也被称为线性函数. 要点二、一次函数的图象与性质
1.函数 y kx b （ k 、 b 为常数，且 k ≠0）的图象是一条直线：
当 b ＞0 时，直线 y kx b 是由直线 y kx 向上平移 b 个单位长度得到的；
当 b ＜0 时，直线 y kx b 是由直线 y kx 向下平移| b |个单位长度得到的.
类型二、一次函数图象的应用
2、为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司制定了新的用电收费标准，每月用电量 x (度) 与应付电费 y (元)的关系如图所示．根据图象求出 y 与 x 的函数关系式．
【思路点拨】根据函数关系的变化进行分段，分别求出各段的函数解析式． 【答案与解析】
解：根据图象，当 0≤ x ≤50 时，可设解析式为 y kx ，
一次函数的图象与性质（基础）
【学习目标】
1. 理解一次函数的概念，理解一次函数 y kx b 的图象与正比例函数 y kx 的图象之间
的关系；
2. 能正确画出一次函数 y kx b 的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与
一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题． 3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题． 【要点梳理】 要点一、一次函数的定义
对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的
解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变 量的取值范围，分段考虑问题.
要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象 上都要反映出自变量的相应取值范围. 【典型例题】 类型一、待定系数法求函数的解析式
1、根据函数的图象，求函数的解析式．
【思路点拨】由于此函数的图象过（0，2），因此 b ＝2，可以设函数的解析式为 y kx 2 ，
再利用过点（1.5，0），求出相应 k 的值.
【答案与解析】利用待定系数法求函数的解析式.
解：设函数的解析式为 y kx b . 它的图象过点（1.5，0），（0，2）