高三数学理试题
2024届江苏省镇江市实验高级中学高三下学期第一次月考(数学试题-理)试卷
2024届江苏省镇江市实验高级中学高三下学期第一次月考（数学试题-理）试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量X 与Y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．02．已知方程1x x y y +=-表示的曲线为()y f x =的图象，对于函数()y f x =有如下结论：①()f x 在()+-∞∞，上单调递减；②函数()()F x f x x =+至少存在一个零点；③()y f x =的最大值为1；④若函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则()y g x =由方程1y y x x +=所确定；则正确命题序号为( ) A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④3．若函数()ln f x x =满足()()f a f b =，且0a b <<，则224442a b a b+-+的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．32D ．4．已知集合{}{}2340,13A x x x B x x =-->=-≤≤，则R ()A B =( )A ．()1,3-B ．[]1,3-C ．[]1,4-D ．()1,4-5．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()22a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．2C D 6．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点为1F ，2F ，且C 上点P 满足120PF PF ⋅=，13PF =，24PF =，则双曲线C 的离心率为A ．102B ．5C ．52D ．57．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k =B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠9．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对10．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（） A ．﹣1﹣2i B ．﹣1+2i C ．1﹣2iD ．1+2i11．为得到的图象，只需要将的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位12．设函数()(1)x g x e e x a =+--（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．,2e⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭B ．(,)e +∞C ．[,)e +∞D ．,2e⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023届四川省泸县第四中学高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2023届四川省泸县第四中学高三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则A B ⋃=（ ）．A ．()2,3-B ．()2,0-C ．()0,2D ．()2,3【答案】A【分析】解绝对值不等式、一元二次不等式分别求集合A 、B ，再由集合并运算求A B ⋃. 【详解】由题设{|22}A x x =-<<，{|03}B x x =<<， 所以(2,3)A B =-. 故选：A2．若复数()()211i z x x =-++为纯虚数（i 为虚数单位），则实数x 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．-1或1【答案】C【分析】根据纯虚数的定义列出方程(组)求解.【详解】由已知得21010x x ⎧-=⎨+≠⎩，解得1x =,故选：C3．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ）A ．0.005a =B ．估计这批产品该项质量指标的众数为45C ．估计这批产品该项质量指标的中位数为60D ．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.5 【答案】C【分析】利用各组的频率之和为1，求得a 的值，判定A ；根据众数和中位数的概念判定BC ；根据频率估计概率值，从而判定D.【详解】()0.0350.0300.0200.010101a ++++⨯=，解得0.005a =，故A 正确； 频率最大的一组为第二组，中间值为4050452+=，所以众数为45，故B 正确； 质量指标大于等于60的有两组，频率之和为()0.0200.010100.30.5+⨯=<，所以60不是中位数，故C 错误；由于质量指标在[50,70)之间的频率之和为()0.030.02100.5+⨯=，可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.5，故D 正确. 故选:C4．若实数x ，y 满足约束条件2301030x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）．A ．1-B ．4C ．5D ．14【答案】B【分析】由题设作出不等式组表示的区域，结合2z x y =+的几何意义即可求出答案. 【详解】作出不等式组表示的区域如下图中阴影部分，直线2z x y =+化为：1122y x+z =-表示斜率为12-的一组平行线，当1122y x+z =-经过点B 有最小值，由302101x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，所以()2,1B ，则2z x y =+的最小值为：224z =+=.故选：B.5．执行下面的程序框图，如果输出的n ＝4，则输入的t 的最小值为（ ）A ．14B ．18C ．116D ．132【答案】C【分析】由已知的程序语句可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运算过程，即可得解.【详解】解：执行下面的程序框图，已知S ＝1，n ＝0，m ＝12； 执行循环体S ＝12，m ＝14，n ＝1；S ＝14，m ＝18，n ＝2；S ＝18，m ＝116，n ＝3；S ＝116，m ＝132，n ＝4； 如果输出的n ＝4，则输入的t 的最小值为116． 故选：C ．6．一个容器装有细沙3cm a ，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，min t 后剩余的细沙量为()3cm bty ae-=，经过8min 后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为（ ）. A ．24min B ．26min C ．8min D ．16min【答案】D【分析】依题意有8b ae -= 12a ，解得ln28b =，得到ln 28t y ae -=，再令8a y =,求解得到t 的值，减去最初的8min 即得所求． 【详解】依题意有8b ae -=12a ，即8b e -= 12，两边取对数得ln281ln28ln ln2,,28t b b y ae --==-∴=∴= ， 当容器中只有开始时的八分之一，则有ln2ln2881188t t ae a e --=∴=， 两边取对数得ln21ln 3ln2,2488t t -==-∴=， 所以再经过的时间为()24816min -=． 故选:D ．7．已知α满足sin()4πα+，则2tan tan 1αα=+（ ）A ．3B ．﹣3C ．49D ．49-【答案】D【分析】首先化简sin()4πα+得到8sin 29α=-，接着化切为弦将2tan tan 1αα+表示成1sin 22α，代入求解即可.【详解】解：∵sin()cos )4a παα+=+，即1sin cos 3αα+=，平方可得112sin cos 9αα+=，∴8sin 29α=-， 故222tan 12sin cos 14sin 2tan 12sin cos 29ααααααα=⨯==-++；故选：D ．【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，选正弦较好．8．已知曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为l ，若l 与222:250C x y ax a +-+-=相切，则实数=a （ ） A ．2或3- B ．2-或3 C ．2 D ．3【答案】A【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即可得到方程，解得即可； 【详解】解：因为322y x x x =-++，当1x =时3y =，又2321y x x '=-+，所以1|2x y ='=，所以曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为()321y x -=-，即210x y -+=，又222:250C x y ax a +-+-=，即()22:5C x a y -+=，即圆心(),0C a ，半径r =因为直线l 与C 相切，所以圆心到直线的距离d ==2a =或3a =-；故选：A9．在5道题中有3道理科试题和2道文科试题．如果不放回地依次抽2道题，则第一次和第二次都抽到理科题的概率是（ ） A ．25B ．12C ．35D ．310【答案】D【分析】根据题意，设A 事件为第一次抽到理科试题，B 事件为第二次抽到理科试题，进而()()()3135210P AB P A P B ==⨯=.【详解】设A 事件为第一次抽到理科试题，B 事件为第二次抽到理科试题，所以第一次和第二次都抽到理科题的概率是()()()3135210P AB P A P B ==⨯=.故选：D.10．已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是（ ） A ．(,3)(0,3)-∞- B ．()3,3-C ．(3,0)(0,3)-⋃D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞【答案】A【分析】根据题目中信息其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->可知，需构造函数2()()f x g x x =， 利用导函数判断函数()g x 的单调性，利用函数()g x 的单调性、奇偶性来解题，当0x > 时，即2()19f x x <，1()9g x <，当0x < 时，即2()19f x x >，1()9g x >. 【详解】构造函数2()()f x g x x=,43'()2()'()2()'()xf x f x xf x f x g x x x x --=⋅= , 当0x > 时，()2()0xf x f x '->，故'()0g x >，()g x 在(0,)+∞ 上单调递增， 又()f x 为偶函数，21y x = 为偶函数， 所以2()()f x g x x =为偶函数，在,0（）-∞ 单调递减. (3)1f -=,则(3)1f =，231(3)(3)39f g g -===（）; ()19f x x x <， 当0x > 时，即2()19f x x <，1()(3)9g x g <=，所以(0,3)x ∈ ； 当0x < 时，即2()19f x x >，1()(3)9g x g >=-，所以(,3)x ∈-∞-. 综上所述，(,3)(0,3)x ∈-∞-⋃. 故选：A【点睛】需对题中的信息联想到构造函数利用单调性解不等式，特别是分为当0x > 时， 当0x < 时两种情况，因为两边同时除以x ，要考虑其正负.11．已知曲线1C ：e x y =上一点11(,)A x y ，曲线2C ：1ln ()y x x m =+-(0)m >上一点22(,)B x y ，当12y y =时，对于任意12,x x 都有e AB ≥恒成立，则m 的最小值为（ ）A ．e 1-BC ．1D ．e 1+【答案】A【分析】根据题中条件，得到()12e 1ln xx m =+-，21e x x -≥，推出()2e 201ln e x x m -<+-≤；证明ln 1x x ≤-，分离参数得2e2ex m x -≥-，构造函数求出2e2ex x --的最大值，即可得出结果.【详解】因为当12y y =时，对于任意12,x x 都有e AB ≥恒成立，所以有：()12e 1ln xx m =+-，21e x x -≥，()2e 201ln e x x m -∴<+-≤，21ex m ∴>+，令()ln 1g x x x =-+，则()111x g x x x-'=-=， 所以当()0,1x ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减； 因此()()10g x g ≤=，即ln 1x x ≤-显然恒成立；因为21x m e->，所以()22ln 1x m x m -≤--，即()221ln x m x m +-≤-；为使()2e21ln e x x m -+-≤恒成立，只需2e2ex x m --≤恒成立；即2e2ex m x -≥-恒成立；令()e e x f x x -=-，则()e1e x f x -=-'，由0f x解得e x <；由()0f x '<解得e x >；所以()f x 在(),e -∞上单调递增；在()e,+∞上单调递减； 所以()()max e e 1f x f ==-；e 1m ∴≥-，因此m 的最小值为e 1-.故选：A12．在三棱锥-P ABC 中，已知2PA AB AC ===，2PAB π∠=，23BAC π∠=，D 是线段BC 上的点，2BD DC =，AD PB ⊥．若三棱锥-P ABC 的各顶点都在球O 的球面上，则球O 的半径为（ ）A ．1 BC D 【答案】D【分析】在ABC 中，由余弦定理，求得BC =得到BD =证得AB AD ⊥，进而证得AB ⊥平面PAB ，得到PA AD ⊥，证得PA ⊥平面ABC ，结合球的截面圆的性质，即可求得球O 的半径.【详解】如图所示，在ABC 中，因为2AB AC ==，23BAC π∠=， 可得222212cos 22222()232BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-=，又因为2BD DC =，所以433BD =， 由6ABC π∠=，2AB =，可得233AD =，可得22BD AB AD =+，所以AB AD ⊥， 又由AD PB ⊥，PB AB B ⋂=且,PB AB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ， 又由PA ⊂平面PAB ，所以PA AD ⊥， 又由2PAB π∠=，即PA AB ⊥，且AB AD A ⋂=，可得PA ⊥平面ABC ，设ABC 外接圆的半径为r ，则24sin BDr A==，可得2r =，即12AO =， 设三棱锥-P ABC 的外接球的半径为R ，可得22222221111()2152PA R AO OO AO =+=+=+=，即5R =. 球O 的半径为5. 故选：D.【点睛】解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解.二、填空题13．已知椭圆22x y 12516+=，则椭圆的焦点坐标是______．【答案】()3,0-，()3,0【分析】通过标准方程确定2a 和2b ，根据,,a b c 的关系，得到焦点(),0c ±． 【详解】由题意得：225a =，216b = 由222a b c =+得：25163c =-= ∴焦点坐标为()3,0±本题正确结果：()3,0-，()3,0【点睛】本题考查了椭圆标准方程的定义和简单几何性质，属于基础题． 14．某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为_______．【答案】63【分析】本题首先可根据正三棱锥正视图绘出原图，然后通过原图得出正三棱锥的侧视图，即可求出结果.【详解】如图，根据正三棱锥正视图可绘出原图，正三棱锥高为22534-=，底面边长为6，结合原图易知，ABC 即正三棱锥的侧视图，BC 为底面三角形的高， 则侧视图的面积1334632S ， 故答案为：6315．已知AB ，CD 是过抛物线28y x =焦点F 且互相垂直的两弦，则11AF BF CF DF+⋅⋅的值为__________. 【答案】116【分析】设直线AB 、CD 的方程联立抛物线，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，应用韦达定理求12x x +、12x x 、34x x +、34x x ，根据抛物线的定义易得12(2)(2)AF BF x x ⋅=++、34(2)(2)CF DF x x ⋅=++，进而求目标式的值. 【详解】由题设，直线AB 、CD 的斜率一定存在，设AB 为(2)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立抛物线方程，可得2222(48)40k x k x k -++=且264(1)0k ∆=+>，∴21224(2)k x x k ++=，124x x =，而1||2AF x =+，2||2BF x =+，∴2121212216(1)(2)(2)2()4k AF BF x x x x x x k +⋅=++=+++=，由CD AB ⊥，设CD 为2xy k-=，33(,)C x y ，44(,)D x y ，联立抛物线，可得22(84)40x k x -++=，同理有23484x x k +=+，344x x =，∴216(1)CF DF k ⋅=+，综上，222111116(1)16(1)16k AF BF CF DF k k +=+=⋅⋅++. 故答案为：116. 【点睛】关键点点睛：设直线方程联立抛物线，结合韦达定理及抛物线的定义求AF BF ⋅、CF DF ⋅，进而求目标式的值.16．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．有下列结论：①203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②若5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； ③关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有4个不相等的实数解；④若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦． 其中所有正确结论的编号为________． 【答案】①②④．【分析】①利用函数()()f a f b =-⇔()f x 关于点(,0)2a b+对称.即可得出答案. ②利用函数()()f a x f x -=⇔()f x 关于2ax =轴对称，再结合①即可得出答案. ③利用函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，即可求出周期的取值范围，当T 取最小值时，实数解最多.求出其实数解即可判断.④利用函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点结合①可得出81033w <≤，再结合()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调时3w ≤，即可得出ω的取值范围. 【详解】①因为73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且73212423πππ+=，所以203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.①正确. ②因为5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以()f x 的对称轴为255162x ππ==, 125=3244TT ππππ-==⇒.②正确. ③在一个周期内()1f x =只有一个实数解，函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调且203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，522)6334(T πππ-=≥.当23T π=时，()sin3f x x =，()1f x =在区间[)0,2π上实数解最多为53,,662πππ共3个.③错误 ④函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，213251325632632222T T w w ππππππ-≤⇒-≤⋅<⋅<，解得81033w <≤；又因为函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调且203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，522)6334(T πππ-=≥，即2233w w ππ⇒≤≥， 所以8,33w ⎛⎤∈⎥⎝⎦.④正确 故填：①②④.【点睛】本题考查三角函数曲线.属于难题.熟练掌握三角函数曲线的性质是解本题的关键.三、解答题17．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=． （1）求cos B ； （2）若6a c +=，ABC 面积为2，求b ．【答案】（1）1517；（2）2． 【详解】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简()sin A C +，利用降幂公式化简28sin 2B ，结合22sin cos 1B B +=，求出cos B ；（2）由（1）可知8sin 17B =，利用三角形面积公式求出ac ，再利用余弦定理即可求出b . 试题解析：（1）()2sin 8sin2BA C +=，∴()sin 41cosB B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =； （2）由（1）可知8sin 17B =， ∵1sin 22ABCSac B =⋅=，∴172ac =， ∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=， ∴2b =．18．体育中考（简称体考）是通过组织统一测试对初中毕业生身体素质作出科学评价的一种方式，即通过测量考生身高、体重、肺活量和测试考生运动成绩等指标来进行体质评价．已知某地区今年参加体考的非城镇与城镇学生人数之比为1:3，为了调研该地区体考水平，从参加体考的学生中，按非城镇与城镇学生用分层抽样方法抽取200人的体考成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（如图所示），体考成绩分布在[]0,60范围内，且规定分数在40分以上的成绩为“优良”，其余成绩为“不优良”．（1）将下面的22⨯列联表补充完整，根据表中数据回答，是否有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关？类别 非城镇学生城镇学生合计 优良不优良 115合计200（2）现从该地区今年参加体考的大量学生中，随机抽取3名学生，并将上述调查所得的频率视为概率，试以概率相关知识回答，在这3名学生中，成绩为“优良”人数的期望值为多少？ 附参考公式与数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0k2.0722.7063.841【答案】（1）填表见解析，没有；（2）34．【分析】（1）根据题中信息完善22⨯列联表，并计算出2K 的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）记3人中成绩为“优良”的人数为随机变量X ，由条件可知1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布的期望公式可求得结果.【详解】（1）根据题意以及频率分布直方图，因为非城镇与城镇学生人数之比为1:3，且样本容量为200， 所以非城镇学生人数为50，城镇学生人数为150， 故城镇学生优良人数为15011535-=，又因为优良学生的人数为()0.0050.021020050+⨯⨯=，所以非城镇优良学生共为503515-=，则非城镇不优良学生人数为501535-=，代入数据计算()222001511535350.889 2.7065015050150K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关； （2）由题意及频率分布直方图可知，成绩“优良”的概率为5012004p ==， 记3人中成绩为“优良”的人数为随机变量X ，则1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()13344E X =⨯=，故成绩为“优良”人数的期望值为34．【点睛】方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下： （1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知随机变量X 的期望、方差，求(),aX b a b R +∈的期望与方差，利用期望和方差的性质（()()E aX b aE X b +=+，()()2D aX b a D X +=）进行计算；（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.19．如图，在三棱锥-P ABC 中，ABC 为直角三角形，90ACB ∠=，PAC △是边长为4的等边三角形，BC =P AC B --的大小为60，点M 为P A 的中点．（1）请你判断平面P AB 垂直于平面ABC 吗？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由； （2）求CM 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）垂直，证明见解析；（2）3913． 【分析】（1）平面PAB ⊥平面ABC ；分别取AC ，AB 的中点D ，E ，连接PD ，DE ，PE ，则PDE ∠为二面角P AC B --的平面角，即60PDE ∠=，进而根据勾股定理得PE ED ⊥，根据AC ⊥平面PED 得AC PE ⊥，进而可得答案；（2）根据题意，以点C 为原点，CA ，CB 分别为x ，y 轴，过点C 且与PE 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】（1）平面PAB ⊥平面ABC 理由如下：如图，分别取AC ，AB 的中点D ，E ，连接PD ，DE ，PE ，则//DE BC ．因为90ACB ∠=，3BC = 所以DE AC ⊥，3DE因为PAC △是边长为4的等边三角形， 所以PD AC ⊥，23PD =于是，PDE ∠为二面角P AC B --的平面角，则60PDE ∠=，在PDE △中，由余弦定理，得222cos603PE PD DE PD DE =+-⋅=， 所以222=PD PE ED +， 所以PE ED ⊥．因为ED AC ⊥，PD AC ⊥，ED PD D =， 所以AC ⊥平面PED ， 所以AC PE ⊥． 又ACED D =，所以PE ⊥平面ABC因为PE ⊂平面ABC ． 所以平面PAB ⊥平面ABC ．（2）以点C 为原点，CA ，CB 分别为x ，y 轴，过点C 且与PE 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,23,0)B ，(4,0,0)A ，3,0)E ，3,3)P ，33)2M 332CM →⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,23,0CB →=，()3,3CP →=．设平面PBC 的一个法向量为()111,,n x y z →=， 则00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1111230,2330x y z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 取13x =，则()3,0,2n →=-．所以CM 与平面PBC 所成角的正弦值sin cos,CM nθ→→===【点睛】本题考查面面垂直的证明，线面所成角的求解，考查空间想象能力，逻辑推理能力，数学运算能力，是中档题.本题第一问在探究过程中，先假设平面PAB⊥平面ABC，再根据逻辑关系推理论证，关键在于分别取AC，AB的中点D，E，连接PD，DE，PE，构造辅助线.20．已知椭圆()222210x ya ba b+=>>F，上顶点为A，左顶点为B，且||||10FA FB⋅=+（1）求椭圆的方程；（2）已知()4,0C-，()4,0D，点P在椭圆上，直线PC，PD分别与椭圆交于另一点M，N，若CP CMλ=，DP DNμ=，求证：λμ+为定值.【答案】（1）221105x y+=；（2）证明见解析.【分析】（1）先表示出,FA FB，然后计算出FA FB⋅，结合离心率公式cea=和222a b c=+求解出22,a b的值，则椭圆方程可求；（2）设出,,P M N的坐标，通过将向量共线表示为坐标关系可得到,λμ的关系式①，再通过点差法分别求得,λμ满足的关系式②和关系式③，通过将关系式②和③作差可得,λμ的关系式④，再结合关系式①可证明λμ+为定值.【详解】解：()1设(),0F c.由题意得||FA a=，||FB a c=+，ca=，222a b c=+，()||||10FA FB a a c∴⋅=+=+解得210a=，25b=.∴椭圆的方程为221105x y+=.()2设()00,P x y，()11,M x y，()22,N x y.由CP CMλ=，DP DNμ=，得()()00114,4,x y x yλ+=+，()()00224,4,x y x yμ-=-，()010141,,x xy yλλλ⎧-=-∴⎨=⎩，()020241,,x xy yμμμ⎧-=-⎨=⎩()1284x xλμλμ∴-=-+，①又点P ，M ，N 均在椭圆上，由220022222111,105,105x y x y λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且01,y y λ=得()()01012110x x x x λλλ-+=-， ()01512x x λλ∴+=-+.②同理，由220022222221,105,105x y x y μμμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且02,y y μ=得()()22002110x x x x μμμ-+=-()02512x x μμ∴+=+.③ 联立②③得()12552x x λμλμ-=-+-.④ 联立①④得263λμ+=， λμ∴+为定值263. 【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于对于向量共线的坐标表示以及点差法求解参数与坐标之间的关系，每一步都是通过构建关于,λμ的方程，结合联立方程的思想完成证明. 21．已知函数()ln a xf x bx x=+在1x =处的切线方程为1y x =-. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）若不等式()f x kx ≤在区间()0,∞+上恒成立，求实数k 的取值范围； （3）求证：444ln 2ln 3ln 1232n n e+++<. 【答案】（1）()ln x f x x =；（2）1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）证明见解析. 【分析】（1）求得函数()y f x =的导数，由题意得出()()1110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数()y f x =的解析式； （2）利用参变量法得出2ln xk x ≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，构造函数()2ln x g x x=，利用导数求得函数()y g x =在区间()0,∞+上的最大值，即可得出实数k 的取值范围； （3）由（2）可知，当x >()ln 2x x f x x e =≤，变形得出42ln 112x x e x≤⋅，利用放缩法得出()42ln 111112221n n n e n e n n ⎛⎫≤⋅<-≥ ⎪-⎝⎭，依次得到4ln 2111222e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，4ln 31113223e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，，()4ln 111221n n n e n n ⎛⎫<-≥ ⎪-⎝⎭，利用不等式的可加性即可证得所证不等式成立. 【详解】（1）()ln a xf x bx x =+，该函数的定义域为()0,∞+，()()21ln a x f x b x -'=+， 由题意可知，点()()1,1f 在直线1y x =-上，()10f ∴=， 由题意得()()1011f b f a b ⎧==⎪⎨=+'=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，()ln x f x x ∴=；（2）对任意的()0,x ∈+∞，由()f x kx ≤，得ln x kx x≥，即2ln xk x ≥，令()2ln xg x x =，其中0x >，则()max k g x ≥， ()312ln xg x x -'=，令()0g x '=，可得x =所以，函数()y g x =在x ()max 12g x g e==. 12k e ∴≥，因此，实数k 的取值范围是1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）由（2）可知，当x >()ln 2x x f x x e =≤，则42ln 112x x e x≤⋅， 当2n ≥时，42ln 11111221n n e n e n n ⎛⎫<⋅=- ⎪-⎝⎭， 4ln 2111222e ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，4ln 31113223e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，，4ln 11121n n e n n ⎛⎫<- ⎪-⎝⎭， 上述不等式全部相加得444ln 2ln 3ln 11112322n n e n e⎛⎫+++<-<⎪⎝⎭. 因此，对任意的2n ≥，444ln 2ln 3ln 1232n n e+++<. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求函数解析式、利用导数研究不等式恒成立问题，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查运算求解能力与推理能力，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是()sin ρθθ=:3OM πθ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2【分析】（1）先由圆的参数方程消去参数，得到圆的普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出圆的极坐标方程；（2）由题意，先设,P Q 两点的极坐标为：1(,)ρθP ，2(,)ρθQ ，将3πθ=代入直线l 的极坐标方程，得到2ρ；将3πθ=代入圆的极坐标方程，得到1ρ，再由12ρρ=-PQ ，即可得出结果.【详解】（1）因为，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），消去参数可得：()2211x y -+=；把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入()2211x y -+=，化简得：2cos ρθ=，即为此圆的极坐标方程； （2）设,P Q 两点的极坐标为：1(,)ρθP ，2(,)ρθQ ，因为直线l的极坐标方程是()sin ρθθ=:3OM πθ=，将3πθ=代入()sin ρθθ=12ρ⎫=⎪⎪⎝⎭23ρ=； 将3πθ=代入2cos ρθ=得12cos13πρ==，所以122PQ ρρ=-=．【点睛】本题主要考查圆的参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标下的两点间距离，熟记公式即可，属于常考题型. 23．设()|1||3|f x x x =+--．（1）对一切x R ∈，不等式()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围；（2）已知0,0,()a b f x >>最大值为M ，(2)2a b M ab +=，且224128a b +≤，求证：216a b +=． 【答案】（1）(,4]-∞-；（2）证明见解析.【分析】（1）由零点分段法可得4,1()22,134,3x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩，求得()f x 的最小值后，即可得实数m 的取值范围；第 21 页 共 21 页 （2）由题意转化条件得2(2)1a b ab+=，利用基本不等式可得216a b +≤、216a b +≥，即可得证. 【详解】（1）由题意4,1()1322,134,3x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=--<<⎨⎪≥⎩, 所以[]min ()4f x =-，所以，实数m 的取值范围是(,4]-∞-；（2）证明：由（1）知，4M =，由(2)2a b M ab +=得2(2)1a b ab+=，224128a b +≤，所以216a b +≤≤=，当且仅当2b a =，且224128a b +=，即4a =，8b =时，等号成立；2(2)42(2)242416a b a b a b a b ab b a ⎛⎫+⎛⎫+=+⋅=++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4a b b a =，且2(2)1a b ab+=，即4a =，8b =时，等号成立； 综上所述，216a b +=．【点睛】本题考查了绝对值不等式恒成立问题的解决，考查了利用基本不等式证明不等式的应用及运算求解能力，属于中档题.。
【高三数学试题】高三数学试题1(理科)及参考答案
高三数学试题1(理科)一、选择题1、设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．82、若集合{|3},{|33}xM y y P x y x ====-，则M P I =（ ） A {|1}x x > B {|1}y y ≥ C {|0}y y > D {|0}x x ≥3、已知命题p ：若,022=+y x 则x 、y 全为0；命题q ：若a b >，则11a b <．给出下列四个命题：①p 且q ，②p 或q ，③p 的逆否命题，④ q ⌝，其中真命题的个数为（ ）()A 1()B 2 ()C 3 ()D 44．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）.5、已知集合A ＝{(x ，y)|32y x --=1，x ，y ∈R}，B={(x ，y)|y=ax+2，x ，y ∈R}，若A ⋂B ＝∅，则a 的值为（ ）A ．a ＝1或a ＝32B ．ａ＝１或a ＝12 C ．a ＝2或a ＝3 D ．以上都不对 6、若函数)(212)(为常数a k k x f xx⋅+-=在定义域上为奇函数，则的值为k （ ）A ． 1 B. 1- C. 1± D. 07、若函数()(2)()[1,1]()||,()f x f x f x x f x x y f x +=∈-==满足且时则函数的图象与 函数||log 3x y =的图像的交点个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．多于4x y 0-2 2x y 0 -2 22 xy 0 -2 22 xy 0 -2 2 2A. B. C . D.8、已知函数2()24(03),f x ax ax a =++<<若1212,1,x x x x a <+=-则（ ）A ．12()()f x f x >B ．12()()f x f x <C ．12()()f x f x = D ．1()f x 与2()f x 的大小不能确定二、填空题9、设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1[()]2g g =__________．10．已知函数22(),1x f x x R x =∈+，则1()()f x f x += ；11、设0)1)((:;1|34:|≤---≤-a x a x q x p ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 .12、若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）。
高三数学(理)联考试卷
2023届高三年级11月联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{（x ，y ）｜x －y ＝0}，B ＝{（x ，y ）｜x －y 2＝0}，则A ∩B ＝A ．{0，1}B ．{（0，1）}C ．{（0，0），（1，1）}D ．∅2．若a ＞b ＞0＞c ，则A ．（a －b ）c ＞0B ．c a ＞cb C ．a －b ＞a －cD ．1a c ＋＜1b c＋3．已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且n a ＞0，则6328S S a a －＋＝A ．2B ．32C ．1D ．124．已知α为第三象限角，且1cos23α＝，则cos α＝A．－3B．－3C．3D．35．已知数列{n a }是1a ＞0的无穷等比数列，则“{n a }为递增数列”是“k ∀≥2且k N *∈，k a ＞1a ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知非零向量a ，b的夹角正切值为，且（a ＋3b ）⊥（2a －b ），则ab＝A ．2B ．23C ．32D ．17．已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ：b ：c ＝2：3：4，则△ABC的面积为A ．21512a B ．21512b C ．212a D ．212b 8．已知函数f （x ）＝x 3＋bx 2＋cx ，不等式()f x x＜0的解集为（(312，0）∪（0，()312），则不等式f （x ）≤－27的解集为A ．{x ｜x ≤－3或x ＝3}B ．{x ｜x ≤3}C ．{x ｜x ≥－3}D ．{x ｜x ≥3或x ＝－3}9．若2a ＝3b ＝6c 且abc ≠0，则A ．a c －a b＝1B ．b a －bc ＝1C ．a c －b c＝1D ．a b －b c＝110．已知函数f （x ）＝sin 3x πω⎛⎫⎪⎝⎭－（ω＞0）的最小正周期为π，则A ．f （2）＜f （0）＜f （－2）B ．f （0）＜f （－2）＜f （2）C ．f （－2）＜f （0）＜f （2）D ．f （0）＜f （2）＜f （－2）11．对任意实数x ，定义[x]为不大于x 的最大整数，如[0．2]＝0，[1．5]＝1，[2]＝2．已知函数f （x ）＝[x]·sin x π，则方程｜f （x ）｜＝3－50x在（0，＋∞）上的实根个数为A ．290B ．292C ．294D ．29612．已知点P 在曲线y ＝－1x（x ＞0）上运动，过P 点作一条直线与曲线y ＝e x 交于点A ，与直线y )1x －交于点B ，则｜｜PA ｜－｜PB ｜｜的最小值为A ．1B ＋1C D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在等比数列{n a }中，3a ＝2，5a ＝4，则11a ＝__________．14．在平行四边形ABCD 中，AE ＝AD λ ，AF＝AB μ ，λμ＞0，且E ，C ，F 三点共线，则λ＋μ的最小值为__________．15．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，满足f （2π＋x ）＝f （2π－x ），f （2π）＝3，且()sin f x x '＋f （x ）cosx ＞0在（0，2π）内恒成立（()f x '为f （x ）的导函数），若不等式f （4π＋x ）sin （3π－x ）≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为__________．16．设－1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公差为d 的等差数列，a 2，a 4，a 6成公比为3的等比数列，则d 的最小值为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在直角坐标系xOy 中，角α，β，γ（α，β，γ∈（0，2π））的顶点在原点，始边均与x 轴正半轴重合，角α的终边经过点A （－1，2），角β的终边经过点B （3，4）．（Ⅰ）求tan （α－β）的值；（Ⅱ）若角γ的终边为∠AOB （锐角）的平分线，求2sin γ的值．18．（12分）已知数列{n a }的各项均不为0，其前n 项的乘积n T ＝12n －·1n a ＋．（Ⅰ）若{n a }为常数列，求这个常数；（Ⅱ）若1a ＝4，设n b ＝2log n a ，求数列{n b }的通项公式．19．（12分）如图所示，在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝2π，∠BCD ＝4π，5BC ＝CD ，AB，AD ＝3．（Ⅰ）求tan ∠BDC 的值；（Ⅱ）求BD ．20．（12分）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a ＝1，1n S ＋＝4n a ．（Ⅰ）证明：数列{12nn S －}为等差数列；（Ⅱ）求数列{n S }的前n 项和n T ．21．（12分）已知函数f （x ）＝2x －1＋x ae的最小值为1．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f （x ）没有公共点，求实数k 的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝ln x＋x（x－3）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若存在x1，x2，x3∈（0，＋∞），且x1＜x2＜x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），求证：2x1＋x2＞x3．。
2024学年湖北省荆门市龙泉中学高三下期中考试(数学试题理)试题
2024学年湖北省荆门市龙泉中学高三下期中考试（数学试题理）试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<2．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42B ．21C ．7D ．33．定义,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（ ） A ．23B ．1C ．43D ．24．已知函数2,0()2,0x xx f x ex x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩若函数1()()()2g x f x k x =-+在R 上零点最多，则实数k 的取值范围是（ ） A ．2(0,)3eB ．2(,0)3e-C．( D．5．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( )A．3B．3-C．3±D ．136．若集合{}|sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．A B A ⋃=B ．R RC B C A ⊆C ．AB =∅D ．R R C A C B ⊆7．已知函数()(),12,1xe xf x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()10f x mx --=恰有两个不同实根，则正数m 的取值范围为（ ）A ．()1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭B ．(]1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭D ．(]1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭8．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>满足以下条件：①双曲线E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点F 重合；②双曲线E 与过点(4,2)P 的幂函数()f x x α=的图象交于点Q ，且该幂函数在点Q 处的切线过点F 关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ） A ．312+ B ．512+ C ．32D ．51+9．设复数z 满足31ii z=+，则z =（ ）A ．1122i + B ．1122-+i C ．1122i - D ．1122i -- 10．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对11．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()22lg lg f x x <的解集为（ ）A ．10,10⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,10,10C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()10,+∞ 12．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x xf xg x a a -+=-+（0a >且1a ≠），若(2)g a =，则函数()22f x x +的单调递增区间为（ ） A ．(1,1)-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届陕西省渭南市富平县高三第一次(5月)联考数学试题理试题
2024届陕西省渭南市富平县高三第一次（5月）联考数学试题理试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．使得()13nx n N x x +⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．72．已知3log 5a =，0.50.4b =，2log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>3．在ABC 中，D 为BC 边上的中点，且||1,|2,120AB AC BAC ==∠=︒，则||=AD （ ）A ．32B ．12C ．34D ．744．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若E F ，分别是棱1BB CC，上的点，且1BE B E =，1114C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A ．210B ．2613C ．1313D ．13105．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=）6．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ） A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆7．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）A ．4πB ．16πC ．36πD ．643π8．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x 的值为（ ）A ．64 B ．32 C ．8 D ．169．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ） A ．B ．C ．D ．10．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．53πB ．43π C ．223π+D ．243π+12．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动， 且AB 总是平行于x 轴， 则FAB ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省遂宁市2024届高三一模数学(理)试题
一、单选题1.如图，在正方体中，在线段上运动，则下列直线与平面的夹角为定值的是（）A．B．C．D．2. 下列函数中是减函数的为（ ）A．B．C．D．3. 黄瓜是日常生活中非常受欢迎的一种蔬菜．某地引进结果多且市场销售快的甲、乙两种黄瓜品种，为了进一步了解两个品种，农业科技人员各随机选择5棵，将其结果数进行统计，如图．由图可知，以下结论正确的是（）A ．甲品种的平均结果数高于乙品种的平均结果数B ．甲品种结果数的中位数大于乙品种结果数的中位数C ．甲品种结果数的方差小于乙品种结果数的方差D ．甲品种结果数不少于30的概率是0.4，乙品种结果数不少于30的概率是0.64. 若复数，，在复平面上对应的点在第四象限，则（ ）A ．6B ．4C．D．5.函数在区间上的值域是（ ）A．B．C．D．6.已知集合，，则（ ）A．B．C．D．7. 为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是A ．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B ．是否倾向选择生育二胎与性别有关C ．倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同D ．倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数8. 已知定义在R 上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ）四川省遂宁市2024届高三一模数学（理）试题四川省遂宁市2024届高三一模数学（理）试题二、多选题三、填空题四、解答题A．B．C．D．9. 若，则下列不等关系中，一定成立的是（ ）A．B．C．D．10.设函数的图象与的图象关于直线对称，且当时，恒成立，求满足条件的的值可以为（ ）（参考数据：）A ．0B ．1C ．2D ．311.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A．函数的最小正周期是B ．，使C．在内有4个零点D ．函数的图像是中心对称图形12.已知双曲线上一点A 到其两条渐近线的距离之积为，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．13.在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，则______．14.已知函数是奇函数，定义域为，且时，，则满足的实数的取值范围是 __________．15. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，M 是边BC 中点.若，，则_______，的面积是_______.16.已知在中，，且．(1)若，求；(2)若，且，求，．17. 已知函数，．(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)若，关于x 的方程有三个不等的实根，求a 的取值范围．18. 现有标号依次为1，2，…，n 的n 个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n 号盒子为止．(1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率；(2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列；(3)记n 号盒子中红球的个数为，求的期望．19. 如图所示，在多面体BC －ADE 中，△ADE 为正三角形，平面平面ADE ，且，∠BAD ＝60°，∠CDA ＝30°，AB ＝BC ＝2．(1)求证：AD⊥CE；(2)求直线CD与平面BCE所成角的正弦值．20. 已知函数．(1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围；(2)若函数有三个不同的极值点，，，且，求实数a的取值范围．21. 已知.(1)求的单调区间；(2)若方程有4个不同实数根，求的取值范围；(3)若存在正实数且，使得不等式成立，求的解集.（其中是自然对数的底数）。
四川省乐山市2024届高三第一次调研考试数学(理)试题
一、单选题二、多选题1.在一组数据为，，…，（，不全相等）的散点图中，若这组样本数据的相关系数为，则所有的样本点满足的方程可以是A．B．C．D．2.展开式中的系数为（ ）A．B．C．D．3. 设集合S={x|x ＞﹣2}，T={x|x 2+3x ﹣4≤0}，则（∁R S ）∪T=（ ）A ．（﹣2，1]B ．（﹣∞，﹣4]C ．（﹣∞，1]D ．[1，+∞）4. 踢毽子是中国民间传统的运动项目之一，是一项简便易行的健身活动．某单位组织踢毽子比赛，有4名男员工和6名女员工参加．其中男员工每人1分钟内踢毽子的数目为；女员工每人1分钟内踢毽子的数目为．则从这10名员工中随机抽取2名，他们1分钟内踢毽子的数目大于50的概率是（ ）A．B．C．D．5. 意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线.直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案.1691年他的弟弟约翰·伯努利和莱布尼兹､惠更斯三人各自得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式为双曲余弦型函数：（，为自然对数的底数）.若，，，则（）A．B．C．D．6. 设a，，则“”是“”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7. 在中，，为上一点，若，则实数的值A．B．C．D．8.若，且，函数，则不等式的解集是（ ）A．B．C．D．9.已知数列的前n项和为，且，，则（ ）A ．当时，B．C．数列单调递增，单调递减D ．当时，恒有10.已知的展开式的第项与第项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为，则下列说法正确的是（ ）四川省乐山市2024届高三第一次调研考试数学（理）试题三、填空题四、填空题五、填空题六、解答题七、解答题A．展开式的奇数项的二项式系数的和为B．展开式的第项的系数与二项式系数相等且最大C ．展开式中不存在常数项D ．展开式中含项的系数为11. 如图，在长方形中，，，为的中点，为线段(端点除外)上一动点.现将沿折起，使平面平面.在平面内过点作，为垂足.设，则的取值可以是（）A．B．C．D ．112. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，0)，B (5，0).若圆M ：(x －4)2＋(y －m )2＝4上存在唯一的点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为________.13. 向量在向量方向上的投影为______．14. 已知函数，现有以下命题：①是偶函数；②是以为周期的周期函数；③的图像关于对称； ④的最大值为．其中真命题有________．15. 已知随机变量的分布列为012则________；若，则_______．16.已知数列的前项和为，且，记，则________；若数列满足，则的最小值是________．17. 直线与轴交于点，交圆于，两点，过点作圆的切线，轴上方的切点为，则__________；的面积为__________．18. 已知函数，，.（1）将函数化简成，（，，），的形式；（2）求函数的值域.19.已知函数(1)若在时取得极小值，求实数k 的值；八、解答题九、解答题十、解答题(2)若过点可以作出函数的两条切线，求证：20. 已知在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 、F 、G 分别是PA 、PB 、BC 的中点．（I ）求证：EF ⊥平面PAD ；（II ）求平面EFG 与平面ABCD所成锐二面角的大小．21. 某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第个月的利润是（单位：万元），记第个月的当月利润率为，例.（1）求第个月的当月利润率；（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率.22.函数．(1)讨论的单调性；(2)当在上单调递增时，证明：对任意且．。
2023届四川省成都市第七中学高三下学期入学考试数学(理)试题(解析版)
2023届四川省成都市第七中学高三下学期入学考试数学（理）试题一、单选题1．集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,4,5}S =，{2,3,4}T =，则()US T 等于 （ ）A ．{1,4,5,6}B ．{1,5}C ．{4}D ．{1,2,3,4,5} 【答案】B【分析】先计算出U T ，再由交集定义计算． 【详解】由题意{1,5,6}U T =所以(){}1,5US T =．故选： B【点睛】本题考查集合的综合运算，掌握并理解集合运算“交并补”是解题关键． 2．已知i 52i z ⋅=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】先利用复数的四则运算求出z ，然后根据复数的几何意义判断即可. 【详解】由题意得()252i i52i 25i i i z --===--， 所以复数z 在复平面内对应的点为()2,5--，位于第三象限， 故选：C3．在手工课上，老师将蓝、黑、红、黄、绿5个纸环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（ ）． A ．对立事件 B ．不可能事件 C ．互斥但不对立事件 D ．不是互斥事件【答案】C【分析】根据互斥事件和对立事件的概念求解即可.【详解】甲、乙不可能同时得到红色，故这两件事是互斥事件.又因为甲、乙可能都拿不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件， 所以这两件事不是对立事件.故选：C 4．函数4x xxy e e -=+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性排除B,D ，再根据f(1)排除C 得解. 【详解】由题得4()()xxxf x f x e e ---==-+，所以函数是奇函数，排除选项B,D.由题得14(1)0f e e -=>+，所以排除选项C. 故选A【点睛】本题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5．若实数x ，y 满足约束条件2303204120x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值为（ ）．A ．6B ．5C ．3D ．2【答案】D【分析】根据题意作出可行域，进而根据z 的几何意义求得答案.【详解】如图，作出不等式组对应的可行域，得三角形ABC ，当且仅当动直线y x z =-+经过点A 时，z 取得最小值，联立32012301x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，此时min 112z =+=．故选：D.6．函数()sin 2f x x =-在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是（ ）A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增【答案】B【分析】整体法得到ππ2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，数形结合得到函数的单调性.【详解】ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则ππ2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，因为sin y z =-在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()sin 2f x x =-在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数.故选：B7．已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是矩形，SA ⊥底面ABCD ，其三视图如图所示，则二面角B SAC --的正弦值为（ ）A ．12 B ．1 C 25D 6【答案】C【分析】画出四棱锥S ABCD -的直观图,根据条件知BAC ∠为二面角B SA C --的平面角，再求其正弦值即可.【详解】由三视图得四棱锥S ABCD -的直观图如下图:SA ⊥底面ABCD ，AB ⊂底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，故,,SA AB SA AC ⊥⊥又面SAB面SAC SA =，故BAC ∠为二面角B SA C --的平面角，由题意知:1,2AB BC == ， 在Rt ABC △中, 22225sin 521BC BAC AC ∠===+， 二面角B SA C --的正弦值为255， 故选:C8．某保险公司为客户定制了A ，B ，C ，D ，E 共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（ ）． A ．57周岁以上参保人数最少 B ．18～30周岁人群参保总费用最少 C ．C 险种更受参保人青睐D ．31周岁以上的人群约占参保人群80％ 【答案】B【分析】根据扇形图、散点图、频率图对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A 选项，57周岁以上参保人数所占比例是10%，是最少的，A 选项正确. B 选项，“18～30周岁人群参保平均费用”比“57周岁以上人群参保平均费用”的一半还多，而18～30周岁人群参保人数所占比例是57周岁以上参保人数所占比例的两倍， 所以57周岁以上参保人群参保总费用最少，B 选项错误. C 选项，C 险种参保比例0.358，是最多的，所以C 选项正确.D 选项，31周岁以上的人群约占参保人群30%40%10%80%++=，D 选项正确. 故选：B9．已知数列{}n a 中，()25e nn a n n =-（e 为自然对数的底数），当其前n S 项和最小时，n 是（ ）A ．4B ．5C ．5或6D ．4或5【答案】D【分析】根据已知分析数列{}n a 中当5n ≤时，0n a ≤，且50a =，即可根据数列前n 项和的定义得出答案.【详解】e 0n >，25n n -在5n ≤时，250n n -≤，且5n =时，250n n -=， 则数列{}n a 中当5n ≤时，0n a ≤，且50a =， 123n n S a a a a =++++，则当其前n S 项和最小时，n 是4或5， 故选：D.10．已知函数()[]4ln 33f x x x =-+，其中[]x 表示不大于x 的最大整数（如[]1.61=，[]2.13-=-），则函数()f x 的零点个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据题意将函数()f x 的零点问题转化为4ln 3y x =与[]1y x =-的交点问题，有图形可得当05x <<时，()f x 有3个零点，再根据当5x ≥时，则()4ln 36f x x x ≤-+，结合导数证明当5x ≥时，()f x 无零点，即可得结果.【详解】令()[]4ln 330f x x x =-+=，则[]4ln 13x x =-，故函数()f x 的零点问题转化为4ln 3y x =与[]1y x =-的交点问题，且3e 16>，即34e 2>，如图所示：由图可得；当05x <<时，4ln 3y x =与[]1y x =-有3个交点，即当05x <<时，()f x 有3个零点；当5x ≥时，则()[]()4ln 334ln 3134ln 36f x x x x x x x =-+≤--+=-+， 构建()()4ln 365g x x x x =-+≥，则()430xg x x-'=<当[)5,x ∈+∞上恒成立， 则()g x 当[)5,+∞上单调递增，故()()962554ln 59ln0e g g x ≤=-=<， 可得：当5x ≥时，则()()0f x g x ≤<，即当5x ≥时，()f x 无零点； 综上所述：函数()f x 有3个零点. 故选：C.11．过椭圆C ：2cos 3x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则11m n+的值为 A ．23B ．43C ．83D ．不能确定【答案】B【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线l 的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得11m n+的值. 【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为22143x y +=，故焦点()1,0F ，设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），代入椭圆方程并化简得()223sin 6cos 90t t αα++⋅-=.故1212226cos 9,03sin 3sin t t t t ααα+=-⋅=-<++（12,t t 异号）.故11m n m n mn ++=()212121212124t t t t t t t t t t +--==⋅⋅43.故选B.【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12．关于x 方程()(log 0,1m x k m m =>≠的两个根为a ，b ，且2a b a <<，则以下结论正确的个数是（ ）（11a <<；（2）2a b <+<；（3）()1log 11a bb a a a ++-<-；（4）()()1441b a a b +++<+． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【分析】根据题意结合对数分析可得01a b <<<，且1b a =，对（1）：解不等式12b a a=<即可得结果；对（2）：由1a b a a+=+，根据1y x x =+的单调性分析运算即可；对（3）：()()11log 11log 1log a b a b b b b a a a a a b a +++-<-⇔+-<-，构建()log x b g x x a =-，结合()g x 的单调性分析判断；对（4）()()()()14ln 4ln 11414b a a b a b a b +++<++++⇔+<，构建()ln xh x x =，结合()h x 的单调性分析判断.【详解】由题意可得：log log m m a b k ==，则log log log 0m m m a b ab +==，故1ab =， ∵a b <，故01a b <<<，且1b a=，对（1）：由2b a <，即12a a <，解得a >a <∵01a <<(11,a b a<<=∈，（1）正确；对（2）：∵1a b a a +=+，且1y x x =+在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减，∴2a b <+<，（2）正确；对（3）：构建()11f x x x =-+，则()f x 在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，故()10f x f >=>⎝⎭， 可得110a a-+>，即11a b a +>=，∵()()1log 11log 1log a b b b b a a b a a ++-=+-<-，等价于()1log 1log a b b b a a b a ++-<-，构建()log xb g x x a =-，1a b <<，则()g x 在定义域内单调递增， ∴()()1g a g b +>，即()1log 1log a b b b a ab a ++->-，C 错误；对（4）：由（1）得(44,12,1a b ⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，且41a b +>+，由()()1441b a a b +++<+，等价于()()()()44ln n 11l a b a b +<+++，等价于()()ln 44l 11n a a b b ++<++， 构建()ln x h x x=，则()21ln xh x x -'=，令()0h x '>，则0e x <<，故()h x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，且()()(ln 2ln 424124h h h ===<，∴()()()24h x h h >=在(2,1上恒成立，即()()1n 4l 1h b b >++，又∵()h x 在()e,+∞上单调递减，则()()442h h h x ⎛>+> ⎝⎭在4⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上恒成立，即()()4ln 44a h a +>+，故()()ln 44l 11n a a b b ++<++，（4）正确.故选：C.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数h (x )；（3）利用导数研究h (x )的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．二、填空题13．已知向量()1,3a =，()3,4b =，若()()ma b a b -⊥+，则实数m =__________．【答案】85【分析】首先求出ma b a b -+,的坐标，然后根据向量垂直的坐标表示建立方程求解. 【详解】由题意得()()4,7,3,34a b ma b m m +=-=--， 因为()()ma b a b -⊥+，所以()()437340m m -+-=，解得85m =. 故答案为：85.14．()62x +展开式中含3x 项二项式系数为__________．【答案】20【分析】根据二项式系数的定义运算求解.【详解】()62x +展开式中含3x 项二项式系数为36C 20=.故答案为：20.15．已知二次函数()f x 满足条件：（1）()f x 的图象关于y 轴对称；（2）曲线()y f x =在1x =处的导数为4，则()f x 的解析式可以是__________．【答案】()221f x x =+（答案不唯一）【分析】取()221f x x =+，确定函数为偶函数，()4f x x '=，()14f '=，满足条件，得到答案.【详解】取()221f x x =+，则()()221f x x f x -=+=，函数为偶函数，关于y 轴对称；()4f x x '=，()14f '=，满足条件.故答案为：()221f x x =+（答案不唯一）16．已知函数π2sin (0)6y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移π02φφ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位，可得到函数sin 2cos 2y x a x =-的图像，则φ =___________.【答案】π4【分析】根据平移后的解析式利用三角恒等变换确定2,3a ω==3a =3a =根据平移后的解析式结合π02φ<<，即可求得φ的值. 【详解】解：函数π2sin (0)6y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移φ个单位得到函数()ππ2sin 2sin 66y x x ωφωωφ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，即函数sin 2cos 2y x a x =-又函数()2sin 2cos 212y x a x a x ϕ=-+-， 所以2212a ω⎧⎪=+⎨=⎪⎩3,2a ω==.当3a =13ππsin 2322sin 222sin 22sin 22236y x x x x x x φ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则ππ22π,Z 63k k φ-+=-+∈，所以ππ,Z 4k k φ=+∈，又π02φ<<，所以π4φ=；当3a =13ππsin 2322sin 222sin 22sin 22236y x x x x x x φ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ππ22π,Z 63k k φ-+=+∈，所以ππ,Z 12k k φ=-+∈，又π02φ<<，所以无解；综上，π4φ=. 故答案为：π4.三、解答题17．已知等差数列{n a }的前三项和为15，等比数列{n b }的前三项积为64，且112a b ==. (1)求{n a }和{n b }的通项公式;(2)设,n n a n c n ⎧⎪=为奇数为偶数，求数列{n c }的前20项和.【答案】(1)31n a n =-，2nn b =(2)2336【分析】（1）根据等差，等比数列的性质，分别求公差和公比，即可求得通项公式； （2）根据（1）的结果求数列{}n c 的通项公式，再利用分组求和法，求数列{}n c 的前20项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由条件可知，1232315a a a a ++==，得25a =，213d a a =-=， 所以()21331n a n n =+-⨯=-，等比数列中，2123364b b b b ==，则24b =，212b q b ==， 所以1222n nn b -=⋅=；（2）231,2,nn n n c n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数, 对数列{}31,n n -为奇数时，()()321316n n +---=， 所以数列{}n c 的奇数项是首项为2，公差为6的等差数列，对数列22,n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为偶数，222222n n +=， 所以数列{}n c 的偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列{}n c 的前20项和为：()()1232013192420.........c c c c c c c c c c ++++=+++++++()()101111212102562902222882336212-+=+=+-=+=-.18．随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高．某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图）解决下列问题．组别 分组频数 频率 第1组[)50,60 140.14第2组[)60,70 m第3组 [)70,80 36 0.36第4组 [)80,900.16第5组 [)90,1004 n合计(1)求m ，n ，x ，y 的值；(2)若将满意度在80分以上的人群称为“美食客”，将频率视为概率，用样本估计总体，从该地区中随机抽取3人，记其中“美食客”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】(1)30m =，0.04n =，0.03x =，0.004y =(2)分布列见解析，数学期望为35【分析】（1）根据频率分布表和频率分布直方图的定义列式求解即可.（2）ξ服从二项分布，即可根据公式求二项分布概率公式及期望公式求得结果. 【详解】（1）由题意可得第四组的人数为1000.1616⨯=， 所以100143616430m =----=，40.04100n ==， 又[)60,70内的频率为300.3100=，所以0.30.0310x ==， [)90,100内的频率为0.04，所以0.040.00410y ==．（2）由频率分布表可得该地区抽取“美食客”的概率为0.160.040.2+=， 由题意ξ可取0，1，2，3，且13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以()030314640C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()121314481C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()212314122C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331413C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以ξ的分布列为：ξ0 12 3P 64125 48125121251125()13355E ξ=⨯=．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AD BC ，AD BA ⊥，3AD =，2AB BC ==，PA ⊥平面ABCD ，且3PA =，点M 在棱PD 上（不包括端点），点N 为BC 中点．(1)若2DM MP =，求证：直线MN 平面P AB ；(2)求二面角N PC D --的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)71339-【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明 （2）建系，利用空间向量求二面角.【详解】（1）取P A 的点Q ，满足2=AQ PQ ，连接MQ ，QB ，因为2DM MP =，所以MQ AD 且113QM AD ==， 又因为BC AD ，且2BC =，点N 为BC 中点，即BN AD ，且1BN =，所以MQBN 且BN MQ =，则四边形MQBN 为平行四边形，则MN BQ ∥，MN ⊄平面P AB ，BQ ⊂平面P AB ， 所以直线MN平面P AB ．（2）如图所示，以点A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，以AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,3,0D ，()0,0,3P ， 又N 为BC 的中点，则()2,1,0N ，所以()0,3,3PD =-，()2,1,0CD =-，()2,1,3PN =-，()2,2,3PC =-， 设平面CPD 的法向量为()1,,n x y z =，则1120330n CD x y n PD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，则()11,2,2n =，设平面CPN 的法向量为()2,,n a b c =，则222230230n PC a b c n PN a b c ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令3a =，则()23,0,2n =，所以121212cos ,1n n n n n n ⋅===+ 由题意可得：二面角N PC D --的平面为钝角，故其余弦值为 20．椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12，右顶点为A ，设点O 为坐标原点，点B 为椭圆E 上异于左、右顶点的动点，OAB (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线:l x t =交x 轴于点P ，其中t a >，直线PB 交椭圆E 于另一点C ，直线BA 和CA 分别交直线l 于点M 和N ，若O 、A、M 、N 四点共圆，求t 的值． 【答案】(1)22143x y += (2)6【分析】（1）由离心率为12可得b =，又OAB 面积的最大值为12ab =得答案；（2）设直线BC 方程为x my t =+，与椭圆方程联立，由韦达定理可得21212226312,3434mt t y y y y m m -+=-=++，又11(2)2M y t y x -=-，22(2)2N y t y x -=-，当O 、A 、M 、N 四点共圆，由相交弦定理可得PA PO PM PN ⋅=⋅，即(2)M N t t y y -=，根据韦达定理化简可得()()21212(2)3(2)(2)224M N y y t y y t t x x -==+---，从而即可求解.【详解】（1）解：由题意，设椭圆半焦距为c ，则12c a =，即2222114c b a a =-=，得b =，设()1111,,2OAB B x y S a y =，由1y b ≤，所以OAB S的最大值为12ab，将b=代入12ab =2=2,a b ==， 所以椭圆的标准方程为22143x y +=； （2）解：设()22,C x y ，因为点B 为椭圆E 上异于左、右顶点的动点，则直线BC 不与x 轴重合，设直线BC 方程为x my t =+，与椭圆方程联立得()2223463120m y mty t +++-=，()()222236123440m t m t ∆=-+->，可得2234t m <+，由韦达定理可得21212226312,3434mt t y y y y m m -+=-=++，直线BA 的方程为11(2)2y y x x =--，令x t =得点M 纵坐标11(2)2M y t y x -=-，同理可得点N 纵坐标22(2)2N y t y x -=-，当O 、A 、M 、N 四点共圆，由相交弦定理可得PA PO PM PN =⋅，即(2)M N t t y y -=，()()()()()2221212122212121212(2)(2)(2)2222(2)(2)M N y y t y y t y y t y y x x my t my t m y y m t y y t ---===--+-+-+-++-()()()222222234(2)346(2)34(2)t t m t m t t m t --=---++-()22223(2)(2)3(2)634(2)t t m t m t m t +-=+-++-23(2)(2)3(2)(2)4(2)4t t t t t +-==+--，由2t >，故3(2)(2)(2)4t t t t -=+-，解得6t =．21．已知函数()12e x f x x -=． (1)求函数()f x 的单调区间； (2)求函数()()1f x h x x =+的最小值； (3)若函数()f x 的图象与直线y m =有两个不同的交点()11,A x y 、()22,B x y ，证明：14129e 4e 2AB m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤．【答案】(1)单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)e2(3)证明见解析【分析】（1）根据函数解析式可得定义域为()0,∞+，利用导函数即可判断函数()f x 的单调性得出其单调区间；（2）对函数()h x 求导判断出其单调性即可得()h x 的最小值为()e12h =； （3）通过观察需要证明的不等式特征结合（1）（2）中的结论可知，函数()f x 的图象在两条切线2e e2y x =+和1144e 2e 52y x =-+的上方，即可得出AB 的距离小于等于y m =被两切线截得的线段长.【详解】（1）由函数()12e x xf x x-==可得定义域为()0,∞+，()2e 1x x f x -'=令()0f x '=可得12x =， 当102x <<，()0f x '<，即()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； 当12x >，0f x，即()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；所以，函数()f x 的单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）由题意得()121e x x h x x -=+，其定义域为()0,∞+，()x h x ' 当()0,1x ∈，()0h x '<，即()h x 在()0,1x ∈上单调递减， 当()1,x ∈+∞，()0h x '>，即()h x 在()1,x ∈+∞单调递增； 所以()()min 2e 1h x h ==，即()h x 的最小值是e2．（3）由（2）可知122e e1x x x -≥+，即122e e e 2x x x -≥+，直线2e e 2y x =+为函数()f x 的一条切线，()2e 1x xf x -'14x =，14124e f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，1414e 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以()f x 在14x =处的切线方程1144e 1224e y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即1144e 2e 52y x =-+（下面证明此切线在函数()f x 图像下方）令()111244522e e e x m x x x -=+-，()142e xm x '+， 又令()14e212e x x x ϕ-=，()()5221443e 04x x xxx ϕ-'=-+>恒成立，则()m x '为单调递增函数，又104m ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，当14x <时，()104m x m ⎛⎫''= ⎪⎝⎭<，此时()m x 单调递减，当14x >，()104m x m ⎛⎫''= ⎪⎝⎭>，此时()m x 单调递增，所以()104m x m ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 图像夹在直线1144e 2e 52y x =-+和直线2e e2y x =+之间，直线y m =与直线1144e 2e 52y x =-+的交点为145,2e 4m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与直线2e e 2y x =+的交点为21,e m m ⎛⎫-⎪⎝⎭， 不妨设12x x <，则114412251291e 4e 42e e 2m m AB x x m ⎛⎫=-≤--+=+- ⎪⎝⎭． 【点睛】关键点点睛：在证明不等式14129e 4e 2AB m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤时，关键是利用前两问的结论得出函数()f x 的图象夹在两条切线之间，并找出对应的切线方程即可证明结论.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2(cos sin )ρθθ=-． (1)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； (2)设曲线1C 与曲线2C 交于P 、Q 两点，求||||OP OQ ⋅的值． 【答案】(1)曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=； 即曲线2C 的直角坐标方程为22220x y x y +-+= (2)2【分析】（1）通过消参求得曲线1C 的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程，将曲线2C 的极坐标方程转化为直角坐标方程； (2)利用极径的几何意义求解.【详解】（1）∵12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则1x y +=， ∵cos sin x y ρθρθ==，，曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=； 由2(cos sin )ρθθ=-，得2222x y x y +=-，即曲线2C 的直角坐标方程为22220x y x y +-+=. （2）由2(cos sin )ρθθ=-得 cos sin 2ρθθ-=， ①由()cos sin 1ρθθ+=得1cos sin θθρ+=，②22+①②可得22124p ρ+=， 即42840p ρ-+=设P ，Q 两点所对应的极径分别为12,ρρ， 则()2124ρρ⋅=， ∴12||||2OP OQ ρρ⋅=⋅=.23．已知函数()2123f x x x =+-+. (1)求()f x 的最大值m ;(2)若正数,,a b c 满足abc m =，证明: 111a b c++【答案】(1)1 (2)证明见解析.【分析】（1）由题知()31,2345,121,1x f x x x x ⎧<-⎪⎪⎪=---≤≤-⎨⎪->-⎪⎪⎩，再求解最大值即可；（2）根据基本不等式证明即可.【详解】（1）解：当32x <-时，()322223112f x x x x x =+-+=++--=；当312x -≤≤-时，()2223452123f x x x x x x =----+=-=--+； 当1x >-时，()322223112f x x x x x =+-=+--=-+，所以()31,23212345,121,1x f x x x x x x ⎧<-⎪⎪⎪=+-+=---≤≤-⎨⎪->-⎪⎪⎩因为当312x -≤≤-时，函数()f x 单调递减，32x <-或1x >-时，函数为常函数， 所以，函数()f x 的最大值为1，即1m =（2）解：因为11a b +≥11b c +≥11a c +≥所以111a b c ++≥因为，由（1）知1m =，即1abc =，===所以，111a b c++≥a b c ==时等号成立，所以111a b c++.。
河南省滑县2024学年高三下学期第一次月考(数学试题-理)试卷
河南省滑县2024学年高三下学期第一次月考（数学试题-理）试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．101020212．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅的最大值为（ ） A ．714-B ．24-C ．514-D ．30-3．若复数1a iz i-=+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()0,∞+4．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．16B ．48C ．96D ．1285．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．6．设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( ) A 2B ．2C ．1D 37．(),0F c -为双曲线2222:1x yE a b-=的左焦点，过点F 的直线与圆22234x y c +=交于A 、B 两点，（A 在F 、B 之间）与双曲线E 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，若FA BP =，且23100OA OB c ⋅=-，则双曲线E 的离心率为（ ） A 5B ．52C 5D ．58．已知函数2()4ln f x ax ax x =--，则()f x 在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ）A ．12a >-B ．1016a <<C ．116a >或102a -<< D ．116a >9．已知等比数列{}n a 满足21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（ ） A ．36B ．72C ．36-D ．36±10．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个A ．170B ．10C ．172D ．1211．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中(0,)2πϕ∈，若,()6x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A ．,()36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．2,()3k k k Z πππ⎡⎤+⎢⎥⎣∈⎦ 12．把函数()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()()0g x m m ->是偶函数，则实数m 的最小值是（ ）A ．512π B ．56π C ．6πD ．12π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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河北省邯郸市2013年高三第一次模拟考试理科数学2013.3 本试卷分第I卷(选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第22题-24题为选考题，其他题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整，笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卷面清洁,不折叠，不破损。
5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑第I卷（60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
D. 1A. {x｜-3 <x <－1}B. {x｜-3 <x <0}C. {x｜-3 ≤x <0}D. {x｜x <－3}是f(x)为奇函数”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件4. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为5.在等比数列{a n }中，若a 2a 3a 6a 9a 10 =32,则A.4B. 2C. -2D. -46. 用数字1,2,3,4组成数字可以重复的四位数，其中有 且只有一个数字出现两次的四位数的个数为A, 144 B.120 C.108D.727. 算法如图，若输入m=210,n = 117，则输出的n 为 A.2 B.3 C,7D.118. 函数f (x )= )sin(ϕω+x A(其中A>0, 2||πϕ<)的图象如图 所示，为了得到g(x =cos 2x的图象,则只需将f(x)的图象点，且它们的交点的连线过点F ，则双曲线的离心率为10.已知点G 是ΔABC的重心，A ∠ = 1200，= -2,则的最小值是A.4311.把一根长度为7的铁丝截成任意长的3段，则能构成三角形的概率为12.已知f(x)=⎩⎨⎧≥-<++)0)(1()0(22x x f x x x a ,且函数y=f(x)+x 恰有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是 A. (∞-,l]B. (O,1]C. (∞-,O]D. (∞-,2]第II 卷（90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须做 答。
第22题〜第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5次试验.根据 收集到的数据(如下表），由最小二乘法求得回归方程9.5467.0+=x y现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为______14.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a = -15 ,a 4 + a 6 = - 14,则当S n 取最小值时，n 等于________12=-y 的右焦点为圆心,并与其渐近线相切的圆的标准方程是______16.如图，在平行四边ABCD 中，=90。
,2AB 2 +BD 2 =4,若将其沿BD 折成直二面角 A-BD-C,则三棱锥A —BCD 的外接球的体积为_______.三、解答题..解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分）已ΔABC的内角A,B，C对的边分别为 a,b,c m= (2a,C -26) , n = (cosC,l)，且m丄n.(I)求角A的大小;（I I )若a = 1,求b +c的取值范围.18.(本小题满分12分)某大学体育学院在2012年新招的大一学生中，随机抽取了40名男生，他们的身高（单位:cm)情况共分成五组:第1组[175,180),第 2 组[180,185),第 3 组 [185,190),第 4 组[190,195),第 5 组[195，200) .得到的频率分布直方图（局部）如图所示，同时规定身高在185cm以上（含185cm)的学生成为组建该校篮球队的“预备生”.(I)求第四组的并补布直方图；(II)如果用分层抽样的方法从“预备生”和“非预备生”中选出5人,再从这5人中随机选2人,那么至少有1人是“预备生”的概率是多少？(III)若该校决定在第4,5组中随机抽取2名学生接受技能测试,第5组中有ζ名学生接受测试,试求ζ的分布列和数学期望.19. (本小题满分12分）如图,在三棱锥P -ABC中,点P在平面ABC上的射影D是AC的中点.BC(I )证明：平面PBC丄平面PAC(II)若PD =A-PB-C的平面角的余弦值.20. (本小题满分12分）(I)求椭圆C的方程；(II)若斜率为k的直线过点M(2,0),且与椭圆C相交于A,B两点.试探讨k为何值时,三角形OAB为直角三角形.21. (本小题满分12分）在点（1,f(1))处的切线方程为y = 2.(I)求f(x)的解析式；若对任意的，总存唯一的，使得f(x l),求实数a的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图所示，PA为0的切线,A为切点，PBC是过点O的割线，PA =10,PB =5、(π)求AC 的值.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点O 为极点，(I )求曲线C 的直角坐标方程；(II)设直线l与曲线C 相交于A ,B 两点,当a 变化时,求||AB 的最小值.24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数f (x )=|x -1| +|x-a|,R x ∈.(I )当a =4时,求不等式f (x ) 6)(≥x f 的解集； (I I )若a x f 2)(≥对R x ∈恒成立,求a 的取值范围.邯郸市2013年高三第一次模拟考试理科数学答案一、选择题:每题5分共60分 1-5 DDCBB 6-10 ABDBC 11-12 DA 二、填空题：每题5分，共20分13、68;14、8；15、22(3)1x y -+=；16、43π.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．(12分)解：（I ）由⊥，得2cos 20a C c b +-=，再由正弦定理得：2sin cos sin 2sin A C C B +=……………2分 又sin sin()sin cos cos sin B A C AC A C =+=+所以sin 2cos sin C A C =……………4分1sin 0,cos 2C A ≠∴=又0,3AA ππ<<∴=……………6分（II ）由正弦定理得sin ,sin a B b B c C A ===]sin )sin sin()b c B C B A B +=+=++……8分 12(cos )2sin()226B B B π=+=+……10分 251,(0,),(,)sin()(,1]3366662A B B B ππππππ=∴∈∴+∈∴+∈故b+c 的取值范围为（1，2]. ……12分 18.(12分) 解：（Ⅰ）其它组的频率和为（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.8， 所以第四组的频率为0.2……3分（Ⅱ）依题意“预备生”和“非预备生”的人数比为3:2，所以采用分层抽样的方法抽取的5人中有“预备生”3人，“非预备生” 2人，记从这5人中选2人至少有1人是“预备生”为事件A()1()P A P A ∴=-=222519111010C C -=-=. …………6分（Ⅲ）由频率分布直方图可知，第四组的人数为8人，第五组的人数为4人ξ的所有可能取值为0,1,22821214(0)33C P C ξ===，118421216(1)33C C P C ξ===，242121(2)11C P C ξ=== …………9分ξ∴的分布列为:1416120123333113E ξ∴=⨯+⨯+⨯=（） ………………12分 19．（12分）解：(Ⅰ)证明：点P 在平面ABC 上的射影D 是AC 的中点， ∴PD ⊥平面ABC,PD ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC ………………2分BC ＝2AC ＝8，AB ＝∴222AB AC BC =+，故AC ⊥BC ………4分又平面PAC ⋂平面ABC=AC ，BC ⊂平面ABCBC⊥平面PAC ，又BC ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PAC ………6分(Ⅱ)如图所示建立空间直角坐标系，则C （0，0，0），A （4，0，0），B （0，8，0），P （2，0，，(2,8,23),B P =-=-.………8分设平面PAB 的法向量为111(,,)x y z =n11111280480x y x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 令1111,=2z 3y x ==则，(2,1,3=n 设平面PBC 的法向量为222(,,)x y z =m20CP = （，,(0,8,0)CB =2222080x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 令2y ＝0，2z =1，2x ==m ，………10分ycos ⋅==m n m,n m n ∴二面角A PB C --………12分 20.（12分）解：（Ⅰ）1b c == 2222a b c ∴=+=所以椭圆方程为2212x y +=………4分 （Ⅱ）由已知直线AB 的斜率存在，设AB 的方程为：)2(-=x k y由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12)2(22y x x k y 得0288)21(2222=-+-+k x k x k ，得：212k <，即(,22k ∈- -------6分 设1122(,),(,)A x y B x y ， 22121222882,1212k k x x x x k k -+=⋅=++(1)若O 为直角顶点，则0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=有 ，1212(2)(2)y y k x k x =-⋅-，所以上式可整理得，222282401212k k k k -+=++，解，得k =，满足(k ∈ -------8分（2）若A 或B 为直角顶点，不妨设以A 为直角顶点，1OA k k=-，则A 满足： 1(2)y x k y k x⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，解得2222121k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，代入椭圆方程，整理得，42210k k +-=解得，k =(22k ∈--------10分 ∴5k k =±=时，三角形OAB 为直角三角形. -------12分21. （12分）解: （Ⅰ）222222()22()()()m x n mx mx mx mnf x x n x n +--+'==++ -----------2分由)(x f 在点(1,(1))f 处的切线方程为2y =，得(1)0f '=，2)1(=f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-210)1(2nm n mmn ,解得1,4==n m .故14)(2+=x xx f ----------------4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知22)1()1)(1(4)(++-='x x x x f ，故)(x f 在)1,21(上单调递增，在)2,1(上单调递减,由58)21()2(,2)1(===f f f ，故)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,58 ------6分依题意221()()ax ax axe a x axe ea g x x x --'==，记,2,41⎥⎦⎤⎢⎣⎡=M （ⅰ）当21≤a 时，)(x g '≤0，)(x g 在M 上单调递减，依题意由⎪⎩⎪⎨⎧≥≤2)41(58)2(g g 得516ln2ln 4≤≤-a ，e >516故此时212ln 4≤≤-a ---------------------8分 （ⅱ）当421<<a 时，2>a 1>41当)1,41(a x ∈时，)('x g <0，当)2,1(ax ∈时，)('x g >0．依题意得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥<<58)2(2)41(421g g a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤<<2)2(58)41(421g g a 解得 516ln 21≤<a -----------------------10分（ⅲ）当a ≥4时，a 1≤41，此时)('x g >0，)(x g 在M 单调递增．依题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥≥58)41(2)2(4g g a 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥≥4)52(24a a e e a 此不等式组无解----------11分综上，所求a 取值范围为[4ln - -----12分.选做题22．（10分）解：（Ⅰ）∵PA 为⊙O 的切线，∴ACP PAB ∠=∠，又P ∠P =∠∴PAB ∆∽PCA ∆．∴PCPA AC AB =．…………………4分 （Ⅱ）∵PA 为⊙O 的切线，PBC 是过点O 的割线，∴PC PB PA ⋅=2．又∵10=PA ,5=PB ，∴20=PC ，15=BC …7分由（Ⅰ）知，21==PC PA AC AB ，∵BC 是⊙O 的直径， ∴ 90=∠CAB ．∴225222==+BC AB AC ,∴AC=56 ……………10分 23、（10分）解：（1）由θθρ2sin cos 2=，得θρθρcos 2)sin (2= ∴曲线C 的直角坐标方程为x y 22= …………4分（2）将直线l 的参数方程代入x y 22=，得01cos 2sin 22=--ααt t设A 、B 两点对应的参数分别为,,21t t 则,sin 1,sin cos 2221221ααα-==+t t t t ………7分 ,sin 2sin 4sin cos 44)(||||22422122121αααα=+=-+=-=t t t t t t AB 当2πα=时，|AB|的最小值为2. …………10分24.（10分） 解:(Ⅰ)146x x -+-≥等价于1256x x <⎧⎨-+≥⎩ 或1436x ≤≤⎧⎨≥⎩ 或4256x x >⎧⎨-≥⎩， 解得：12x ≤-或112x ≥． 故不等式()6f x ≥的解集为1{2x x ≤-或11}2x ≥． ……5分 (Ⅱ)因为: ()1(1)()1f x x x a x x a a =-+-≥---=-（当1x =时等号成立） 所以：min ()1f x a =- ……8分由题意得：12a a -≥， 解得31≤a ,∴a 的取值范围]31,(-∞． ……10分。