7.9欧拉方程
欧拉方程
Байду номын сангаас 其它
应用
泛函形式
推导过程
欧拉方程是泛函极值条件的微分表达式，求解泛函的欧拉方程，即可得到使泛函取极值的驻函数，将变分问 题转化为微分问题。
（1）最简单的欧拉方程是： 设函数F(x,y,y')是三个变量的连续函数，且点(x,y)位于有界闭区域B内，则对形如的变分，若其满足以下 条件： c)在有界闭区域B内存在某条特定曲线y(x)，使泛函取极值，且此曲线具有二阶连续导数。 则函数y、(x)满足微分方程： 上式即为泛函Q[y]的欧拉方程。 （2）含有自变函数高阶导数的泛函的欧拉方程 一般来说，对于下述泛函： 在类似条件下，可以得到对应的欧拉方程为： （3）含有多个自变函数的泛函的欧拉方程
在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动，可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系，这使得计算得以简 化，因为我们如今可以将角动量的变化分成分别描述的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。
在流体动力学中，欧拉方程是一组支配无黏性流体运动的方程，以莱昂哈德·欧拉命名。方程组各方程分别 代表质量守恒（连续性）、动量守恒及能量守恒，对应零黏性及无热传导项的纳维－斯托克斯方程。
欧拉在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程： a x ²D ²y + b x D y + c y = f ( x ) 其 中 a 、 b 、 c 是 常 数 ， 这 是 一 个 二 阶 变 系 数 线 性 微 分 方 程 。 它 的 系 数 具 有 一 定 的 规 律 ： 二 阶 导 数 D ²y 的 系 数 是 二 次 函 数 a x ²， 一 阶 导 数 D y 的 系 数 是 一 次 函 数 b x ， y 的 系 数 是 常 数 。 这 样 的 方 程 称 为 欧 拉 方 程 。 例 如 ： ( x ²D ²- x D + 1 ) y = 0 , ( x ²D ²- 2 x D + 2 ) y = 2 x ³- x 等 都 是 欧 拉 方 程 。 化 学 中 足 球 烯 即 C - 6 0 和 此 方 程 有 关 。
牛顿—欧拉方程(可编辑修改word版)
M Ω b bb 牛顿-欧拉方程欧拉方程(Euler equations)，是欧拉运动定律的定量描述，欧拉运动定律是牛顿运动定律的延伸，在牛顿发表牛顿运动定律超过半个世纪后，于 1750 年，欧拉才成功的用欧拉方程表述了该定律：Ωb = I ‒ 1[M ‒ Ω × ( I Ω )]该方程是建立在角动量定理的基础上的描述刚体的旋转运动时 '刚体所受外力矩 与角加速度 的关系式，大多时候可简写成:Ω' = [M + (I ‒ I )Ω Ω ]/Ix x yy zz y x xx Ω' = [M + (I ‒ I )Ω Ω ]/I y y zz xx x z yy Ω' = [M + (I ‒ I )Ω Ω ]/Ixzzzyyx yzz其中，M x ,M y ,M z 分别为刚体坐标系S b 下三个轴的所受的外力矩， I xx ,I yy ,I zz 分别为刚体三个坐标轴的转动惯量(刚体坐标系下S b )。
欧拉方程通常与牛顿的平移运动方程被一起写出，称为牛顿-欧拉方程(Newton-Euler equations)：F (t ) = ma (t )M b = Ωb × ( I b Ωb ) + I b Ωb这里对牛顿的平移运动方程不赘述，只对欧拉方程进行讨论。
1. 单质点角动量定理 质点旋转时，有动量定理：F =d (mv ) dtr × F = r × d (mv )对两边叉乘质点位置矢量r ：dt b b观察：d (r × mv ) = r × d (mv ) + dr × mv因为：dt dt dt故有：dr× mv = v × mv = 0 dtd (r × mv ) = r × d (mv )dt dtr × F =d (r × mv )dt定义角动量L = r × mv ，可以看出r × F 为外力矩M故有单质点的角动量定理：2. 刚体的角动量定理M =dL dt定义刚体的角动量为：L G =∫L idm其中：L G 下标 G 表示该向量为大地坐标系S G 下的，L i 的下标 i 表示该向量为大地坐标S G 下各个质量元的向量。
eular方程
eular方程欧拉方程是数学中的一种常见方程，也被称为常微分方程。
欧拉方程是一种特殊的二阶线性非齐次微分方程，它是由欧拉提出的，严格的说，这个方程叫做Cauchy-Euler方程。
欧拉方程是一个十分经典的方程，它用于描述物理学中很多自然现象。
如弹簧振动、电路分析、声学等等领域中的问题都可以归纳为欧拉方程的求解。
下面我们将根据欧拉方程的定义和求解方法，来一步步解析欧拉方程。
欧拉方程的标准格式为：$ax^2y''+bxy'+cy=f(x)$。
首先，我们需要知道的是欧拉方程中的各个参数含义是什么，分别是：$a，b，c$和$f(x)$。
其中，$a，b，c$都是常数，$f(x)$是欧拉方程的非齐次项。
接下来，我们来解释一下欧拉方程的求解方法。
Step 1：将欧拉方程的非齐次项$f(x)$化为初等函数。
这是欧拉方程求解的第一步。
由于欧拉方程中的非齐次项是一个函数，所以我们可以将它化为初等函数。
比较常见的情况有三类：常数项，正弦项和余弦项。
Step 2：求出欧拉方程的通解。
欧拉方程的通解有两个部分组成：一个是通解的齐次解，另一个是欧拉方程的非齐次解。
齐次解的求解过程比较简单，我们可以先假设欧拉方程的解是$y=x^r$，然后将这个解代入到欧拉方程中进行求解，得到的解为$r_1$和$r_2$。
我们可以对欧拉方程的非齐次解使用特殊方法，一般采用变易法。
变易法求解欧拉方程的非齐次解的具体步骤如下：Step 3：变易法求非齐次解的特解。
我们可以先设欧拉方程的非齐次解是一个特殊的函数，比如说$y_p=u(x)x^p$。
其中，$u(x)$是一个待求的函数。
Step 4：将$y_p=u(x)x^p$代入到欧拉方程中，求出$u(x)$和$p$的值。
Step 5：将欧拉方程的通解的齐次解和非齐次解合并，得到欧拉方程的最终解。
综上所述，欧拉方程是一种二阶线性非齐次微分方程，其标准格式为$ax^2y''+bxy'+cy=f(x)$。
7.9 欧拉方程
7.9 欧拉方程
d 用 D 表示对自变量 t 求导的运算 , dt 上述结果可以写为
xy Dy,
2 d y dy 2 2 x y 2 ( D D ) y D( D 1) y , dt dt
3 2 d y d y dy 3 x y 3 3 2 2 dt dt dt ( D 3 3 D 2 2 D ) y D( D 1)( D 2) y ,
7.9 欧拉方程 一般地， x k y ( k ) D( D 1)( D k 1) y. 将上式代入欧拉方程，则化为以 t 为自变量
的常系数 线性微分方程. 求出这个方程的解后，
. 把 t 换为 ln x 即得到原方程的解 ， 注： 转化为常系数线性方程:
D n y b1 D n 1 y bn y f (et )
即 dn y d tn b1 d n 1 y dt
t b y f (e ) n n 1
7.9 欧拉方程 例7.40 求欧拉方程
2 2 x y x y 4 xy 3 x 的通解． 3
解 作变量变换 x e t 或 t ln x, : 原方程化为
7.9 欧拉方程
一、欧拉方程 二、内容小结 三、思考与练习
7.9 欧拉方程
一、欧拉方程
形如
x n y ( n ) p1 x n1 y ( n1 ) pn1 xy pn y f ( x )
的方程(其中 p1 , p2 pn 为常数) 叫欧拉方程.
特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同．
7.9 欧拉方程
在数学方面他对微积分的两个领域──微分
欧拉方程的基本原理
欧拉方程的基本原理欧拉方程是一种微分方程，由瑞士数学家欧拉提出。
它是描述物理现象中最常见的方程之一，并在工程、自然科学以及经济学等领域中得到广泛应用。
欧拉方程具有一些特殊的性质，使得它成为求解一些重要问题的有力工具。
在本文中，我将详细介绍欧拉方程的基本原理。
欧拉方程是以欧拉(Euler)命名的，他是18世纪最杰出的数学家之一、欧拉曾经系统地研究了二阶常系数线性微分方程，并提出并解决了一类特殊的微分方程，还研究了更高阶的欧拉方程（即阶数高于二的微分方程）。
\(a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+⋯+a_1(x)y'+a_0(x)y=g(x)\)其中，\(a_n(x),a_{n-1}(x),…,a_1(x),a_0(x)\)是已知的连续函数，称为方程的系数函数；\(y\)是未知函数，代表方程的解；\(g(x)\)是已知的连续函数，称为非齐次项。
基本原理：1.齐次方程齐次方程是指当非齐次项\(g(x)\)为零时的方程，即该时刻纯粹由齐次项的线性组合构成：\(a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+⋯+a_1(x)y'+a_0(x)y=0\)为了求解齐次方程，我们需要找到一个形如\(y=e^{rx}\)的解。
将这个解代入方程，并化简，我们可以得到一个对\(r\)的代数方程。
该代数方程的根决定了齐次方程的解的形式。
根的个数通常等于方程的阶数。
2.非齐次方程非齐次方程是指当非齐次项\(g(x)\)不为零时的方程，即方程的左边与右边都有贡献。
为了求解非齐次方程，我们需要首先找到一个特解，使得方程的左边等于右边。
这个特解可以通过猜测和尝试的方法求解。
特解的形式通常与非齐次项的形式有关。
如果非齐次项是一个多项式函数，我们可以猜测一个多项式解；如果是三角函数或指数函数，我们可以猜测一个相应的解。
特解的形式可以根据经验和观察来确定。
将这个特解代入方程后进行化简，我们可以得到适当的常数值。
欧拉方程的求解
欧拉方程的求解1.引言在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉（Leonhard Euler,1707--1783）.几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用π表示圆周率、e 表示自然对数的底、()f x 表示函数、∑表示求和、i 表示虚数单位以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”.在文献[1]中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如K y x =的解，进而求得欧拉方程的解.但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.2.几类欧拉方程的求解定义1 形状为()1(1)110n n n n n n y a x y a xy a y x ---'++++= （1）的方程称为欧拉方程. （其中1a ，2a ，，1n a -，n a 为常数）2.1二阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）二阶齐次欧拉方程： 2120x y a xy a y '''++=. （2） (其中1a ,2a 为已知常数）我们注意到，方程（2）的左边y ''、y '和y 的系数都是幂函数（分别是2x 、1a x 和02a x ），且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质，我们用幂函数K y x =来尝试，看能否选取适当的常数K ，使得K y x =满足方程（2）. 对K y x =求一、二阶导数，并带入方程（2），得212()0K K K K K x a Kx a x -++=或212[(1)]0K K a K a x +-+=,消去K x ，有 212(1)0K a K a +-+=. （3）定义2 以K 为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程（2）的特征方程.由此可见，只要常数K 满足特征方程（3），则幂函数K y x =就是方程（2）的解.于是，对于方程（2）的通解，我们有如下结论：定理1 方程（2）的通解为(i) 1112ln K K y c x c x x =+, （12K K =是方程（3）的相等的实根） (ii)1212K K x c x y c +=, (12K K ≠是方程（3）的不等的实根) (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（3）的一对共轭复根）（其中1c 、2c 为任意常数）证明 （i ）若特征方程（3）有两个相等的实根: 12K K =，则11K x y =是方程（2）的解, 且设2()u x y =，11()K y x u x =（()u x 为待定函数）也是方程（2）的解（由于21()y u x y =，即1y ，2y 线性无关），将其带入方程（2），得 11122111112[()2]()0K K K x K K u K xu x u a x K u xu a x u ''''-+++++=,约去1K x ，并以u ''、u '、u 为准合并同类项，得22111112(2)[(1)]0x u K a xu K a K a u '''++++-+=.由于1K 是特征方程（3）的二重根，因此21112(1)0K a K a +-+=或112(1)0K a +-=,于是，得20x u ux '''+=或0xu u '''+=,即 ()0xu ''=,故 12()ln u x c x c =+.不妨取()ln u x x =，可得方程（2）的另一个特解12ln K y x x =,所以，方程（2）的通解为1112ln K K y c x c x x =+.（其中1c ，2c 为任意常数）（ii ）若特征方程（3）有两个不等的实根: 12K K ≠，则11K x y =，22K y x =是方程（2）的解. 又2211()21K K K K y x x y x-==不是常数，即1y ，2y 是线性无关的. 所以，方程（2）的通解为1212K K x c x y c +=. （其中1c ，2c 为任意常数）（iii ）若特征方程（3）有一对共轭复根：1,2K i αβ=±（0β≠），则 ()1i x y αβ+=，()2i y x αβ-=是方程（2）的两个解，利用欧拉公式，有()ln 1(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ+===+，()ln 2(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ--===-,显然，12cos(ln )2y y x x αβ+= 和12sin(ln )2y y x x iαβ-=是方程（2）的两个线性无关的实函数解. 所以，方程（2）的通解为12cos(ln )sin(ln )x x x x y c c ααββ=+.（其中1c ，2c 为任意常数）例1求方程20x y xy y '''-+=的通解.解 该欧拉方程的特征方程为(1)10K K K --+=，即 2(1)0K -=,其根为： 121K K ==,所以原方程的通解为12(ln )y c c x x =+.（其中1c ，2c 为任意常数）例2 求方程280x y xy y '''--=的通解.解 该欧拉方程的特征方程为2(11)80K K +---=，即 2280K K --=,其根为： 12K =-，24K =，所以原方程的通解为4122c y c x x=+. （其中1c ，2c 为任意常数）例3 求方程的通解2350x y xy y '''++=.解 该欧拉方程的特征方程为(1)350K K K -++=，即 2250K K ++=,其根为： 1,212K i =-±,所以原方程的通解为121[cos(2ln )sin(2ln )]y c x c x x=+. （其中1c ，2c 为任意常数）2.2二阶非齐次欧拉方程的求解（初等积分法）二阶非齐次欧拉方程：212()x y a xy a y f x ++='''. （4）（其中1a ，2a 为已知实常数，()f x 为已知实函数）为了使方程（4）降阶为一阶线性微分方程，不妨设1121a K K =--，212a K K =, （5）则方程（4）变为212122)(1()K a x y K K xy K y f x +--+='''，即212()()()x xy K y K xy K y f x ---=''', （6）根据韦达定理，由（5）式可知，1K ，2K 是一元二次代数方程 212(1)0K a K a +-+= （3） 的两个根.具体求解方法：定理2 若1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，则方程（4）的通解为 212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=⎰⎰. （7）证明 因为1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，于是方程（4）等价于方程（6），令 2xy K y p '-=,代入方程（6）并整理，得1()K f x p x xp =-' 和 2K p y y x x '-=, 解之，得方程（4）的通解为212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=⎰⎰.由定理2知，只需要通过两个不定积分（当（7）式中的积分可积时）即可求得方程（4）的通解.为了方便计算，给出如下更直接的结论.定理3 若1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，则（i ）当12K K =是方程（2）的相等的实特征根时，方程（4）的通解为 11111[ln ()ln ()]K K K x x f x dx x x f x dx y x -----⋅=⎰⎰, （ii ）当12K K ≠是方程（2）的互不相等的实特征根时，方程（4）的通解为112211121[()()]K K K K x x f x dx x x f x dx K K y ------=⎰⎰, （iii ）当1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根时，方程（4）的通解为 111[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]y x x x x f x dx x x x f x dx αααβββββ----=-⎰⎰ 证明 （ii ）当12K K ≠是方程（2）的互不相等的的实特征根时， 将方程（1）的通解（7）进行分部积分，得21212112212121121111211212112111[()]1[()]1{[()]}1[]()()()K K K K K K K K K K K K K K K K K K K x x x f x dx dx x x f x dx dx K K x x x d x f x dx K K x x K K y x f x dx x f x dx x f x dx -------------------=-===--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（8） （iii ）当1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根时，122K K i β-=， 再由欧拉公式有1ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ+===+, 2ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ--===-, 将其代入(8)式，整理可得方程（4）的通解为111[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]x x x x f x dx x x x f x dx y αααβββββ-----=⎰⎰（i ）的证明和（ii ）类似.例1求方程22234ln y xy y x x x x '''-+=+的通解.解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2440K K -+=， 特征根为 122K K ==,所以由定理3，原方程的通解为23223222232122223212[ln (ln )ln (ln )]111{ln [(ln )ln ][(ln )(ln )]}23211ln [(ln )(ln )]62x x x x x dx x x x x x dx x x x c x x c x x c x x x x y x x c --+-⋅+++-+-+++===⎰⎰ （其中1c ，2c 为任意常数）例2求方程2322x x y xy y x e -+='''的通解.解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2320K K -+=，特征根为 12K =，21K =，所以由定理3，原方程的通解为23323212212()()x x x x x xx x e dx x x x e dxx e c x xe e c c x c x xe y x ---=+---=++=⎰⎰（其中1c ，2c 为任意常数）例3求方程2cos(ln )2x x x y xy y -+='''的通解. 解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2220k k -+=，特征根为 1,21K i =±,所以由定理3，原方程的通解为212122cos(ln )]cos(ln )cos(ln )11sin(ln )cos(ln )cos(ln ))sin(ln )cos(ln )sin(ln )cos(ln )sin(ln )[sin(ln )]{sin(ln )(ln )cos(ln )[ln(cos(ln )]}[][sin(ln )ln x x x x dx dx x x x dx x dx x x x x c x y x x x x x x x x x x c x x c x c x x x ----+===+++=++⎰⎰⎰⎰cos(ln )ln(cos(ln ))]x x （其中1c ，2c 为任意常数）在定理3中，若令()0f x =，则得到二阶齐次欧拉方程（2）的通解.推论 方程（2）的通解为(i)1112ln K K x c x x y c +=, （12K K =是方程（2）的相等的实特征根） (ii)1212K K x c x y c +=, （12K K ≠是方程（2）的不等的实特征根） (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根）（其中1c ，2c 为任意常数）2.3三阶非齐次欧拉方程的求解（常数变易法）三阶非齐次欧拉方程：32123()x y a x y a xy a y f x +++=''''''.（9） （其中1a ，2a ，3a 为常数）（9）对应的齐次方程为321230x y a x y a xy a y +++=''''''. （10） 特征方程为321123(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=.（11）定理4 设1K 是方程（11）的根，2K 是方程22122112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=的根，则（9）的通解为12211211(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=⎰⎰⎰ . （12） 证明 根据条件1K y cx =（c 为任意常数）是方程（10）的解. 设1()K y c x x =是方程（9）的解（其中()c x 是待定的未知数）， 将其代入方程（9），整理得1121111112(3)3231111213()(3)()[3(1)2]()[(3)(2)]()()K c x K a x c x K K a K a x c x K a K a a K a x c x x f x ---+-''''''+++-++++-+-++= （13）因为1K 是（11）的根，则321111213(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=,于是（13）式化为1(3)121111112()(3)()[3(1)2]()()K c x K a x c x K K a K a x c x x f x -+--''''''+++-++=（14）这是以()c x '为未知函数的二阶欧拉方程. 设2K 为（14）对应的齐次方程的特征方程21111112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=, （15）的根，则221121(23)(2)()[()]K K K a K K c x x x x f x dx dx -+++-'=⎰⎰.从而2211211(23)(22){[()]}()K K K a K K a x x x f x dx dx dx c x -++++-=⎰⎰⎰. 故方程（1）的通解为12211211(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=⎰⎰⎰.定理5 设1K 是方程（11）的根，2K 是方程（15）的根，则（i ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的单实根，则（9）的通解为1212121121(2)1(3)(2)121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++=-++-⎰⎰⎰（ii ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的单虚根，则（9）的通解为111(2)(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x xx f x dx x x x f x dx dxy xαααβββββ-++-++-=⎰⎰⎰（其中11132K a α--=，β=(iii ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的重实根，则（9）的通解为121212(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-⋅=⎰⎰⎰,（iv ）当1K 是方程（11）的三重实根，方程（15）变为2210K K ++=，有21K =-，则（9）的通解为111(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K y x x x x f x dx x x f x dx dx -+-+-=-⋅⎰⎰⎰. 证明 （i ）因为2K 是方程（15）的单实根，得（14）的通解为212121121(2)1(3)(2)31211[()()](32)1()K K K K K a K K a x x f x dx x x f x dx K K a c x -++-++++--++-='⎰⎰则（9）的通解为1212121121(2)1(3)(2)3121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++-=-++-⎰⎰⎰（ii ）因为2K 是方程（14）的单虚根，此时方程（15）有一对共轭虚根1,22K =得（14）的通解为11(2)(2)[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]()K K x x x x f x dx x x x f x dx c x αααβββββ-++-++-='⎰⎰则（9）的通解为111(2)(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x xx f x dx x x x f x dx dxy xαααβββββ-++-++-=⎰⎰⎰（其中11132K a α--=，β=（iii ）因为2K 是方程（15）的重实根，得（9）的通解为121212(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-⋅=⎰⎰⎰.（iv ）当1K 是方程（10）的三重实根（1133a K =-），方程（15）变为222210K K ++=，有21K =-，将1133a K =-，21K =-代入（12）式得11(1)11{[()]}K K y x x x x f x dx dx dx -+--=⎰⎰,对上式分部积分得（9）的通解为111(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K x x x x f x dx x x f x dx dx y -+-+-⋅-⋅=⎰⎰⎰.例1 求三阶欧拉方程32366x y x y xy y x -+-=''''''的通解. 解 原方程对应的齐次方程为323660x y x y xy y -+-='''''',其特征方程为3261160K K K -+-=，解得其特征根为1，2，3，取 11K =， 将11K =，13a =-，26a =，代入方程（15），得2220K K -=,解得21K =或0，利用定理5（i ）的通解公式有323212311[]ln 22y x x x dx x dx dx x x c x c x c x --=-=+++⎰⎰⎰. （其中1c ，2c ，3c 为任意常数）例2 求三阶欧拉方程3241313x y x y xy y x ''''''-+-=的通解. 解 原方程对应的齐次方程为32413130x y x y xy y ''''''-+-=,其特征方程为21613()()0K K K -+-=，从而解得特征单实根为11K =，将11K =，14a =-，213a =代入方程（15），得到222250K K -+=，解得 1,2212i K =±. 令212i K =+，则1α=，2β=， 利用定理5（ii ）的通解公式有33213{[sin(2ln )cos(2ln )cos(2ln )sin(2ln )]}211ln [sin(2ln )cos(2ln )]816xx x x dx x x x dx dxx x c x c x c x y x ---=+-+=⎰⎰⎰（其中1c ，2c ，3c 为任意常数）2.4 n 阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）令K y x =是方程（1）的解，将其求导（需要求出y '、y ''(1)n y -、()n y ）代入方程（1），并消去K x ，得 1(1)(1)(1)(1)(2)0n n K K K n a K K K n a K a ---++--++++=. (16）定义3 以K 为未知数的一元n 次方程（16）称为n 阶齐次欧拉方程（1）的特征方程.由此可见，如果选取k 是特征方程（16）的根，那么幂函数k y x =就是方程（1）的解.于是，对于方程（1）的通解，我们有如下结论：定理6 方程（1）的通解为112211n n n n y c y c y c y c y --=++++（其中1c ，2c 1n c -，n c 为任意常数），且通解中的每一项都有特征方程（16）的一个根所对应，其对应情况如下表：例1 求方程4(4)3(3)281550x y x y x y xy '''+++=的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为(1)(2)(3)8(1)(2)15(1)50K K K K K K K K K K ---+--+-+=,整理，得2(22)0K K K ++=，其根为]cos(ln k β120K K ==，3,41K i =-±，所以原方程的通解为3412ln cos(ln )sin(ln )c cy c c x x x x x=+++. （其中1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数）例2 求方程(4)(3)432670x y x y x y xy y ++++='''的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为(1)(2)(3)6(1)(2)7(1)10K K K K K K K K K K ---+--+-++=，整理，得410K +=，其根为1,2K i =-，3,4K i =（即一对二重共轭复根），所以原方程的通解为1234cos(ln )sin(ln )ln cos(ln )ln sin(ln )y c x c x c x x c x x =+++.（其中1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数）3.结束语从前面的讨论过程来看，和教材中的变量变换法相比，本文中的解决办法更直接、更简单.但需要说明的是，本文中的定理和例题都是在0x >范围内对齐次欧拉方程求解的，如果要在0x <范围内对其求解，则文中的所有ln x 都将变为ln()x -，所得的结果和0x >范围内的结果相似.4.致谢经过这好几个月忙碌的学习跟工作，本次毕业论文的写作已经接近尾声了，但这次毕业论文的写作经历让我感受颇多.首先，自己要有很好的专业知识的储备，这也是写作的基础.其次，自己要有严谨的思维逻辑.再次，自己要善于思考，遇到不懂得问题就要勤于思考，查资料，问老师.最后，自己一定要有坚持不懈的精神.毕业论文的写作是一个长期的过程，在写作过程中我们难免会遇到各种各样的过程，但我们不能因此就放弃，而要做到坚持.要相信“有付出就一定会有所收获”的.在这里首先要感谢我的指导老师胡宏昌教授.胡老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文阶段，他都给予了我悉心的指导，细心地纠正论文中的错误并给予指导.如果没有他的大力支持，此次论文的完成将变得非常困难.除了敬佩胡老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也值得我永远学习，并将积极影响我今后的学习和工作.然后还要感谢大学四年来我的所有的老师跟领导，为我们打下了坚实的专业知识的基础.最后祝各位评审老师身体健康，工作顺利！5、参考文献[1]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程[M].第3版.北京：高等教育出版社，2006:142-144.[2]华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].第3版.北京：高等教育出社,1999:87-199.[3]钟玉泉.复变函数论[M].第3版.北京：高等教育出版社，2003:10-11.[4]胡劲松.一类欧拉方程特解的求解.重庆科技学院学报[J],2009,11(2):143-144.[5]胡劲松，郑克龙.常数变易法解二阶欧拉方程.大学数学[J],2005,21(2):116-119.[6]米荣波，沈有建，汪洪波.三阶欧拉方程求解的简化常数变易方法.海南师范大学学报[J]，2008,21(3):260-263.[7]胡劲松.齐次欧拉方程的另一种求解方法.重庆工学院学报[J],2004,18(1):4-748.[8]冀弘帅.认识伟大的数学家----欧拉.数学爱好者[J],2006，10：52-53.[9]卓越科学家欧拉.中学生数理化(北师大版)[J],2007,Z2: 101-102.。
欧拉方程
欧拉方程 (刚体运动)莱昂哈德·欧拉用欧拉角来描述刚体在三维欧几里得空间的取向。
对于任何一个参考系，一个刚体的取向，是依照顺序，从这参考系，做三个欧拉角的旋转而设定的。
所以，刚体的取向可以用三个基本旋转矩阵来决定。
换句话说，任何关于刚体旋转的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵复合而成的。
静态的定义三个欧拉角：() 。
蓝色的轴是xyz-轴，红色的轴是XYZ-坐标轴。
绿色的线是交点线(N) 。
对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。
参考系又称为实验室参考系，是静止不动的。
而坐标系则固定于刚体，随着刚体的旋转而旋转。
参阅右图。
设定 xyz-轴为参考系的参考轴。
称 xy-平面与 XY-平面的相交为交点线，用英文字母（Ｎ）代表。
zxz 顺规的欧拉角可以静态地这样定义:∙α是x-轴与交点线的夹角，∙β是z-轴与Z-轴的夹角，∙γ是交点线与X-轴的夹角。
很可惜地，对于夹角的顺序和标记，夹角的两个轴的指定，并没有任何常规。
科学家对此从未达成共识。
每当用到欧拉角时，我们必须明确的表示出夹角的顺序，指定其参考轴。
实际上，有许多方法可以设定两个坐标系的相对取向。
欧拉角方法只是其中的一种。
此外，不同的作者会用不同组合的欧拉角来描述，或用不同的名字表示同样的欧拉角。
因此，使用欧拉角前，必须先做好明确的定义。
[编辑]角值范围∙值从0 至2π弧度。
∙β值从0 至π弧度。
对应于每一个取向，设定的一组欧拉角都是独特唯一的；除了某些例外：∙两组欧拉角的α，一个是0 ，一个是2π，而β与γ分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。
∙两组欧拉角的γ，一个是0 ，一个是2π，而α与β分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。
[编辑]旋转矩阵前面提到，设定刚体取向的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵合成的：单独分开作用，每个矩阵各自代表绕着其转动轴的旋转；但是，当它们照次序相乘，∙最里面的(最右的) 矩阵代表绕着z 轴的旋转。
欧拉方程
第六节、欧拉方程
因为变系数的二阶及二阶以上的线性微分方程还 没有一般的解法，所以本节介绍一类特殊的变系数的 线性微分方程——欧拉方程，通过变量替换可以化为 常系数的线性微分方程，因而容易求解. 形如 xny(n)+p1xn－1y(n－1)+…+pn－1xy′+pny=f(x) （6-33n为常数.
代入原方程，得 a=1/3,
即 y =1/3x2,
所以欧拉方程的通解为 y=1/3x2+C1/x+C2x.
谢谢聆听
第六节、欧拉方程
欧拉方程的特点是：方程中各项未知函数导数的阶数与其 乘积因子自变量的幂次相同. 当自变量x>0时，作变量替换x=et，则t=ln x，有
第六节、欧拉方程
如果来用记号D表示对自变量t求导的运算d/dt，则上述结 果可表示为
xy′=Dy，
一般的，有 xky(k)=D(D－1)…(D－k+1)y.（6-34）
当自变量x<0时，作变换x=－et，可得类似结果. 将式（6-34）代入欧拉方程，则方程（6-33）化为以t为自变 量的常系数线性微分方程，求出该方程的解后，回代t=ln x， 即得到原方程的解.
第六节、欧拉方程
【例1】
求欧拉方程x2y″+xy′－y=x2的通解. 解 作变换x=et(设x>0),原方程化为
D(D－1)y+Dy－y=e2t, 即
D2y－y=e2t 或
方程（6-35）所对应的齐次方程为
其特征方程为
r2－1=0,
（6-35） （6-36）
第六节、欧拉方程
特征根为 r1,2=±1,
所以齐次方程（6-36）的通解为 Y=C1e－t+C2et=C1x+C2x.
欧拉方程微分方程详解
欧拉方程微分方程详解欧拉方程（Euler's equation）是一类具有特殊形式的二阶常系数线性微分方程。
它的一般形式为：ax^2 y'' + bxy' + cy = 0其中，a、b、c都是常数，且a不等于0。
欧拉方程是一种特殊的微分方程，它的解具有一定的特殊性。
下面我们将对欧拉方程的求解方法进行详细介绍。
首先，我们考虑求解形如x^m的解。
将x^m代入欧拉方程中，得到：a(m)(m-1)x^m + bm*x^m + cx^m = 0化简后得到：am(m-1)x^m + bmx^m + cx^m = 0整理得：am(m-1) + bm + c = 0这是一个关于m的二次方程，可以用求根公式来求解m的值。
当求解得到m的值时，我们就得到了一个形如x^m的解。
接下来，我们考虑求解形如x^m * ln(x)的解。
将x^m * ln(x)代入欧拉方程中，得到：a(m)(m-1)x^m * ln(x) + bmx^m * ln(x) + cx^m * ln(x) = 0将x^m分离出来，得到：x^m * [a(m)(m-1)ln(x) + bm ln(x) + c] = 0由于x不等于0，所以要使上式成立，必须有：a(m)(m-1)ln(x) + bm ln(x) + c = 0这是一个关于m的一次方程，可以用求解一次方程的方法来求解m的值。
当求解得到m的值时，我们就得到了一个形如x^m * ln(x)的解。
最后，我们考虑求解形如x^m * ln^2(x)的解。
将x^m * ln^2(x)代入欧拉方程中，得到：a(m)(m-1)x^m * ln^2(x) + bmx^m * ln^2(x) + cx^m * ln^2(x) = 0将x^m分离出来，得到：x^m * [a(m)(m-1)ln^2(x) + bm ln^2(x) + c] = 0由于x不等于0，所以要使上式成立，必须有：a(m)(m-1)ln^2(x) + bm ln^2(x) + c = 0这是一个关于m的二次方程，可以用求解二次方程的方法来求解m的值。
欧拉方程公式
欧拉方程公式欧拉方程公式，这是一个让人们在数学领域中感到震撼和敬畏的名词。
欧拉方程公式是数学家欧拉在数学领域中提出的一种方程，它具有非常重要的意义和应用价值。
在数学领域中，欧拉方程公式被广泛应用于微积分、数论、物理学等各个领域，可以说是数学中的一颗璀璨明珠。
欧拉方程公式的形式简洁而优美，展现出了数学的神奇之处。
它将自然界中的一些基本常数e、π、i，以及自然对数等数学概念融合在一起，构成了一条具有深刻内涵的等式。
这个等式的美妙之处在于，它将三个看似毫不相关的数学概念融合在一起，展现出了数学的奇妙和神秘。
欧拉方程公式的形式为e^πi + 1 = 0，这个等式看似简单，却蕴含着丰富的数学内涵。
其中，e是自然常数，π是圆周率，i是虚数单位。
这三个数学常数在数学的不同领域有着重要的应用，它们的融合在欧拉方程公式中展现出了数学的统一性和美感。
欧拉方程公式的形式简洁明了，却蕴含着深刻的数学内涵。
这个等式的意义是多方面的，它不仅仅是一条数学公式，更是一种数学思想的体现。
欧拉方程公式将自然界中的一些基本常数融合在一起，展现出了数学的神奇和奥妙。
欧拉方程公式的形式虽简单，却有着无限的魅力。
它的美妙之处在于，它将看似不相关的数学概念融合在一起，展现出了数学的统一性和内在联系。
欧拉方程公式的提出，极大地推动了数学领域的发展，拓展了人们对数学的认识和理解。
欧拉方程公式的形式虽简单，却蕴含着深刻的数学内涵。
它将自然界中的一些基本常数融合在一起，展现出了数学的奥秘和神奇。
欧拉方程公式的提出，不仅仅是一次数学上的突破，更是一种数学思想的体现，它启示了人们对数学的认识和理解。
欧拉方程公式的提出，标志着数学领域的一次伟大的突破。
这个等式的形式虽简单，却蕴含着丰富的数学内涵。
欧拉方程公式的美妙之处在于，它将看似不相关的数学概念融合在一起，展现出了数学的统一性和内在联系。
欧拉方程公式的提出，对数学领域的发展起到了重要的推动作用。
欧拉方程公式的形式简洁而优美，展现出了数学的神奇之处。
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得通解为
y = C1 cos 2t + C2 sin 2t +e−t
1 = C1 cos(2ln x) + C2 sin(2ln x) + x 利用初始条件④得 1 C1 = −1, C2 = 2 故所求特解为 1 1 y = −cos(2ln x) + sin(2ln x) + 2 x
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作业： 习题7-9 作业：P- 349习题 习题 2 ; 6; 8
xn y(n) + p1xn−1y(n−1) +Lpn−1x y′ + pn y = f (x)
令x =e ,
t
则
d y d y dt 1 d y = = d x dt d x x d t
dy x y′ = dt 2 1 d2 y d y d y d 1dy = ( − ) = ( ) 2 2 dt x dt d x2 d x x d t d2 y d y 2 x y′′ = 2 − dt dt d3 y 1 d3 y d2 y d y
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第十节 欧拉方程
欧拉方程
xn y(n) + p1xn−1y(n−1) +Lpn−1x y′ + pn y = f (x)
( pk为 数) 常
令 x = e , 即t = ln x
t
常系数线性微分方程
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欧拉方程的算子解法: 欧拉方程的算子解法
dx
3
=
x
3
(
dt
3
−3
dt
2
+
dt
d3 y d2 y d y 2 x y′′′ = dt3 −3 dt2 + dt
)
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k d d 记 D = , Dk = k (k = 2, 3, L ,则由上述计算可知: ) dt dt x y′ = Dy
x2 y′′ = D2 y − Dy = D(D −1) y
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例1. 解: 则原方程化为
亦即 特征方程 其根
①
则①对应的齐次方程的通解为
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设特解:
y = At + Bt + C
2
∗
代入①确定系数, 得
① 的通解为
换回原变量, 得原方程通解为
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例2. 解: 将方程化为 则方程化为
用归纳法可证 于是欧拉方程
xk y(k) = D(D −1)L(D − k +1) y
xn y(n) + p1xn−1y(n−1) +Lpn−1x y′ + pn y = f (x)
转化为常系数线性方程:
Dn y + b Dn−1y +L+ bn y = f (et ) 1
即 dn y dn−1 y +b +L+ bn y = f (et ) 1 n n−1 dt dt
(欧拉方程)
即 特征根:
②
设特解: y = At 2et , 代入 ② 解得 A = 1, 所求通解为
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例3.
解: 由题设得定解问题 ③ ④
d 令 x = e , 记 D = , 则③化为 dt [D(D −1) + D + 4] y = 5e−t
t
(D2 + 4) y = 5e−t