第八章 刚体的基本运动

dw d 2 2 dt dt
匀变速运动:
0 wt w w0 t
w 2 w0 2 2
23
1 2 0 w 0 t t 2
24
a 0
点的运动 加速度 v an a 0 0 v C 0 0 a =C
v v0 at
s
s f ( t ) vt
1 s v0 t at 2 2
dv v v0 tadt a 0 dt
v2
s 0vdt
t
an an

a
a
v2

v C
v v0 at t
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结论: 平动刚体任一瞬时各点的运动轨迹形状、速度、加速度 都相同。 平动刚体的运动可以简化为刚体上任意一个点的运动。
可以是直线 点的轨迹？ 可以是曲线
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§8-2
一 定义
刚体的定轴转动（转动）
刚体运动时，其上或延长部分有一条直线始终不动。这条
不动的线称为转轴。
二 刚体转动的特点 除转轴上，其余各点都在垂直于转轴的 平面上做圆周运动。 三 转角和转动方程
法向，指向圆心
2 2 | a全 || an at | an at r 2 w 4 at r t g 2 2 an w r w
an

at
a
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结论: ① 速度方向 r ,与 r 成正比。 ②各点的全加速度方向与各点转动半径夹角都一致
t
s vt
s v0 t
t
v2
dv v2 at an dt
2 at2 an a 2 t 2 n
1 at t 2 2
s 0vdt 22 a a v v0 0 at dt
刚体定轴转动 转动方程:
f (t )
w
d dt
角速度:
角加速度: 匀速转动:
②

s r 0.3185.4m
③ w w0 t 3 2 3 9 rad/s
vB rw 0.392.7m/s

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④
t = 0 时，
aC a A 1m/s2 , aC n Rw 0 2 0.532 4.5m/s2
⑤ t=3s 时，
vA
vB
多级传动比
i14 i12 i23 i34
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[例2] 已知电动机转速n=1450rpm，各轮齿数为Z1=14，Z2=42， Z3=20，Z4=36。求总的传动比i14=?轴3的转速n3=? 解：1）轮1与轮2 （轴1与轴2）的传动比 n1 z2 i12 n2 z1 轮2与轮3（同轴）的传动比 Z4 i23 1 轮3与轮4（轴2与轴3）的传动比 n2 z4 i34 n3 z3 轮1至轮4 （轴1与轴3）的总传动比
vA vB
aA

aB
各点速度分布图
各点加速度分布图
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[例1] 试画出图中刚体上Ｍ、Ｎ两点在图示位置时的速度和 加速度。 (O1 AO2 B,O1O2 AB)
t aM
aA
vA
aN
vN
n aM
vM
n aN
t aN
aM
vM
vN
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§8-4 绕定轴转动刚体的传动问题 一 齿轮传动
单位:rad/s2 (代数量)
与w方向一致为加速转动，与w 方向相反为减速转动 3 匀速转动和匀变速转动 当w =常数——匀速转动； 当 =常数——匀变速转动。
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§3
转动刚体内各点的速度和加速度 关系？
v
w ， 对整个刚体而言 (各点都一样)
v ， a 对刚体中某个点而言 (各点不一样) 一 线速度 v
1
第八章
刚体的基本运动
§8–1 刚体的平行移动 §8–2 刚体的定轴转动
§8–3 转动刚体内各点的速度与加速度
§8–4 绕定轴转动刚体的传动问题
2
引
言
常见的刚体运动有两种基本运动形式：平动和转动
复杂的刚体运动都可归结为这两种基本运动的组合。
3
§8-1
一 定义
刚体的平行移动(平动)
刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持方向不变， 即其方向始终与原来的方向平行——平行移动（平动）。
Z4 C
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S 1 5 代入上式得1 4rad R 4
（常数）初瞬时速度 v0 1.5m/s [练习题2] 已知重物A的a A 1m/s2 初始转角为零，方向如图示。 R 0.5m, r 0.3m

求：
①滑轮3s内的转数；
②重物B在3s内的行程； ③重物B在ｔ＝3s时的速度； ④滑轮边上C点在初瞬时的加速度； ⑤滑轮边上C点在ｔ＝3s时的加速度。
aC a A 1m/s2 ,aC n Rw 2 0.59 2 40.5m/s2
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点的运动学和刚体的基本运动总结
一.基本概念和基本运动规律及基本公式 1. 基本概念：直线运动，曲线运动 (点) ;
平动，定轴转动 (刚体)。
2. 基本运动规律与公式:
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匀 速 直 匀 at=C 线 变 运 动 变 dv a 速 dt 曲 线 运 动 匀 速 匀 变 变 速 0 at=C
1 Z 2 2 i12 ; i 23 1 2 Z1 3
3 Z 4 4 i34 ; i45 1 4 Z 3 5
i15 i12 i32 i34 i45 Z2 Z4 1 1 Z1 Z3
Z5
A
O Z1 Z3 Z2
Z2 Z4 1 5 Z1 Z 3
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解：① 绳子不可以伸长 aC a A 1m/s2 , aC 1 ）常数 2 rad/s2 （ R 0.5 vC 1.5 vC v A 1.5m/s, w0 3rad/s （ ） R 0.5 1 w0t t 2 18rad , n 2.86( rmp / min ） 2 2
vF vE
vF vE
纯滚动(即没有相对滑动)
rF wF rEwE
定义齿轮传动比
iEF
wE wF
二 传动比：通常称主动轮与从动轮角速度之比
即i1, 2
主动轮 w1 n1 r2 z2 从动轮 w2 n2 r1 z1
转速 半径
齿数
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三 皮带轮系 链轮系传动 适用
Z2 1 Z3 Z1
3
2
n1 i14 i12 i23 i34 ＝5.4 n3
2）轴3转速 n 1450 n3 1 268.5rpm i14 5.4
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[练习题1] 已知各齿数Z1=6，Z2=24，Z3=8，Z4=32，轮5 R=4cm， 当齿条下移1cm时，求指针OA转过的角度φ。 解：设OA转过φ1角 B
门窗的移动
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二 刚体平动的特点
A,B 两点的运动方程式:
rA rA ( t),rB rB (t) rB rA rAB
drB d drA drAB vB (rA rAB ) vA ( 0) dt dt dt dt 2 2 2 d rB d rA d 同理:aB 2 (rA rAB ) aA 2 2 dt dt dt
dS d v r rw dt dt
切向，指向与ω一致
转动角速度
v rw
该点距离转轴的距离
rr
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二 加速度 at an
dv d dw at (wr ) r r dt dt dt
切向，指向与 一致
(wr ) 2 an rw 2 r v2
---转角，单位弧度(rad)
= (t)---转动方程
方向规定: 右手法则
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四 角速度和角加速度
1 角速度
w
d dt
工程中常用单位 n = 转/分(r / min)
则n与w的关系
2n n n w (rad/s ) 60 30 10
8
2 角加速度
dw d 2 f (t ) 2 dt dt