2013数值分析课件
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数值分析第一章ppt
s 某商品标注重量为 27±0.5kg, 实际重量是多少？
}
1.2.2 相对误差和相对误差限
x*的相对误差
r
x x x
在不同近似值中，|εr (x)|越小，x*的精确度越高。
r(x)
| ( x) | |x|
x x x
——x*的相对误差限
常用计算公式： r ( x)
( x)
x*Βιβλιοθήκη x x* x* ,}
（2）相对误差：
r ( x1
x2 )
( x1 x2 )
x1 x2
( x1 ) ( x2 )
x1 x2
x1 x1 x2
( x1 )
x1
x2 x1 x2
(x2 )
x2
x1
x1
x2
r
(
x1
)
x1
x2
x2
r
(
x2
)
当x1≈x2时, x1 – x2 ≈0,所以相近两数之差的相对误差将很大 。
}
1.2 误差的基本估计方法
= 1.2.1 绝对误差和绝对误差限 = 1.2.2 相对误差和相对误差限 = 1.2.3 有效数字 = 1.2.4 算术运算的误差
}
1.2.1 绝对误差和绝对误差限
设某准确值x近似值为x*。 x*的绝对误差 ε(x)=x–x*
在同一量的不同近似值中，|ε(x)|越小，x*的精确度越高。
sin x x x3 x5 x7 , x 3! 5! 7!
用近似计算公式 sin x x
截断误差 sin x x x3 x5 x7 cos x3
3! 5! 7!
3!
sin x x 1 x 3 6
数值分析第一章PPT
1.1.2 计算数学与科学计算 现代科学的三个组成部分: 科学理论, 科学实验, 科学计算 科学计算 的核心内容是以现代化的计算机及数学软件 （Matlab, Mathematica, Maple, MathCAD etc. ）为工具，以数学 模型为基础进行模拟研究。
一些边缘学科的相继出现：
计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等
取 0 e
1
x2
dx S4 ,
S4
R4
/* Remainder */
1 1 1 1 由留下部分 称为截断误差 /* Truncation Error */ 4! 9 5! 11 /* included terms */ 1 1 这里 R4 引起.005 0 由截去部分 4! 9 /* excluded terms */ 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 0 .743 引起 3 10 42 | 舍入误差 /* Roundoff Error */ | 0.0005 2 0.001
数值分析
第1章
数值分析与科学计算引论
§1.1 数值分析的对象、作用与特点
1.1.1 什么是数值分析 数值分析是计算数学的主要部分,计算数学是数学 科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的 数值计算方法及其理论与软件实现.这门课程又称为(数 值)计算方法、科学与工程计算等。
•
在电子计算机成为数值计算的主要工具的今天， 需要研究适合计算机使用的数值计算方法。使用计 算机解决科学计算问题时大致要经历如下几个过程:
造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
数值分析课件 第一章 绪论
1 e 0 1 x n e 0 d I n x 1 e 0 1 x n e 1 d x e 1 1 ( ) I n n n 1 1
公式一：I n 1 e [ x n e x 1 0 n 0 1 x n 1 e x d x ] 1 n I n 1
I01 e 01exdx11 e0.63212 记为0I5 0* 6 此公式精确成
初始的小扰动 |E 0|0.51 0 8迅速积累，误差呈递增趋势。 造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
公式二： I n 1 n I n 1 I n 1 n 1 ( 1 I n )
方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n << N )。 注 意在e此理(N 公论1 式上1)与等公价IN 式。一N 1 1
)
0 .0 6 6 8 7 0 2 2 0
I
12
1 (1 13
I
13
)
0 .0 7 1 7 7 9 2 1 4
I
11
1 (1 12
I
12
)
0 .0 7 7 3 5 1 7 3 2
I
10
1 11
(1
I
11
)
0 .0 8 3 8 7 7 1 1 5
I
1
1 2
(1
I
2
)
0 .3 6 7 8 7 9 4 4
0
2! 3! 4!
11/1e111 e1 x 2d1x11 1 3 2! 50 3! 7 4! 9
取 01ex2dxS4 ,
S4
R4 /* Remainder */
则 R 44 1 !1 9 由 留5 1 !下1 部1 分1 称为截断误差 /* Truncation Error */
数值分析课件CH2_赖志柱201303
Numerical Analysis
2.2.1 Lagrange插值多项式
20
数值分析
Numerical Analysis
21
数值分析
Numerical Analysis
22
数值分析
Numerical Analysis
23
数值分析
Numerical Analysis
24
数值分析
Numerical Analysis
8
数值分析
Numerical Analysis
2.1.2 多项式插值
9
数值分析
Numerical Analysis
• 求插值函数 P( x) 的方法称为插值法，插值点在插 值区间内的叫内插值，否则称为外插值。
10
数值分析
Numerical Analysis
• 若 P( x) 为分段的多项式，就称为分段插值。 • 若 P( x) 为三角多项式，就称为三角插值。 • 若 P( x) 为有理分式(函数)，就称为有理插值。
• 为函数 f 在 xi 上的零阶均差(差商)，称
f [ xi , x j ]
f [ xi ] f [ x j ] xi x j
,(i j )
• 为 f 在 xi , x j 上的一阶均差(差商)，称
47
数值分析
Numerical Analysis
f [ xi , x j , xk ]
25
数值分析
Numerical Analysis
26
数值分析
Numerical Analysis
27
数值分析
Numerical Analysis
28
《数值分析教程》课件
总结词
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
2013年最新西安交通大学《数值分析》ppt课件合集
1.1 具有理论和技术的二重性
数值分析是相对于数学分析的一种数学方法，它不同于纯 数学那样只研究数学本身的问题，而是着重研究数学问题的数 值解法及其相关理论，但仍然以一定的数学理论为基础进行数 值计算，获得近似解。
1.2 计算过程面向计算机
计算过程是面向计算机还是面向人工计算，对算法要求存 在巨大差别。随着计算机的迅速发展，数值计算方法得到了长 足发展和广泛应用。
1 e x 2 dx
1
(1
x2
x4
x6
x8
) dx
0
0
2 ! 3! 4!
1 1 1 1 1 1 1 1 3 2! 5 3! 7 4! 9
取
1e x 2 dx
0
S4
,
S4
R4 /* Remainder */
则
R4
1 4!
19由留51!下 11部1 分
称为截断误差
/* Truncation Error */
公式
I n 1 n I n1
一：I0
1 e
1 e xdx 1 1 0.63212056
0
e
记为 注I0* 意此公式精确成立
则初始误差
E0
I0
I
0
0.5108
1
e
1 0
xn
e0
dx
In
1 e
1 x n e 1 dx
0
1 e(n 1 )
In
1 n1
I* 1
1
1
I* 0
0.36787944
2.2 Error and Significant Digits
相对误差 /* relative error */
数值分析大纲(2013)
附件四：西北大学研究生课程教学大纲模板课程大纲格式与要求1、课程大纲一律采用本格式进行录入和编辑；2、文件格式，版面大小采用A4版面，上、下、左、右边距为：2.5cm 。
字体大小：小四号字体。
3、课程简介的叙述必须简明扼要，字数控制300字以内。
4、课程主讲人职称一般应为副教授及以上(含相当职称)。
鼓励多个教师共同承担一门课程的教学。
5、本次培养方案中所有课程均需重新修订与编写课程教学大纲(含中英文)。
西北大学研究生《数值分析》课程教学大纲一、课程名称（中文）：数值分析课程编码：[由各开课单位统一编号]课程名称（英文）：Numerical Analysis二、学时学分：54学时，3学分三、适用的学位类型(博士或硕士)：硕士四、适用学科及专业：1、通信与信息系统；2、信号与信息处理；3、电路与系统；4、微电子与固体电子学；5、电子与通信工程；6、集成电路工程；7、计算机技术五、先修课程：1、高等数学；2、线性代数；3、C语言六、使用教材(讲义)：《数值分析原理》，科学出版社，封建湖等编著主要参考书目(文献)：(需列3-5种)1、《数值计算原理》，清华大学出版社，李荣华等。
2、《数值分析》，高等教育出版社，胡祖轵等。
3、《数值计算方法》，西北工业大学出版社，聂铁军等。
4、《应用数值分析》，机械工业出版社，Curtis F.Gerald, Patrick O. Wheatley。
5、《数值分析》（第7版），高等教育出版社，Richard L.Burden，J.Douglas Fairs。
七、开课单位及授课人员：西北大学信息学院，赵健，王宾。
八、课程简介(性质、目的、任务、基本要求)：(200-300字)《数值计算方法》（或称《数值分析》）是一门应用性很强的基础课，它以数学问题为对象，研究适用于科学计算与工程计算的数值计算方法及相关理论，它是程序设计和对数值结果进行分析的依据和基础，是用计算机进行科学计算全过程的一个重要环节。
数值分析精品PPT课件
所以 x x 10m (a1 1) 10n1 1 10mn1
2(a1 1)
2
x至少有n位有效数字.
1.2.3、数值运算的误差估计
(1).
( x1
x
2
)
( x1 )
(
x
2
)
(2).
(
x1
x
2
)
x1
(
x
2
)
x
2
(
x1
)
(3).
x1
x
2
x1
(
x
2
)
x
2
(
x1
)
x
2
1.2.2、误差与有效数字
1.误差
定义1、(误差的定义 ) 设x 精确值, x 近似值,称e x x为 绝对误差(误差).
当e 0时称为强近似, 当e 0时称为弱近似.
如果 e x x ,( ( x )),那么称 为
绝对误差限 .
若
称er
e
x
e
x
r
,
(
r
x x
定义2、
若x的近似值x的误差限是某一位的半 个单位, 该位到x的第一位非零数字共有 n位,就说x有n位 有效数字.它可表示为 x 10m (a1 a2 101 a2 102 ... an 10n1 ) 其中ai (i 1，2，3，..., n)是0到9中的一个数字, a1 0, m为 整数, 且 x x 1 10mn1.
x 10mn1 a1a2a3 ...an 10m a1 • a2a3 ...an .
称x有n位有效数字, a1 , a2 ,..., an是x的有效数字.
总之,当 x x 1 10mn1时, x有n位有效数字.
《数值分析》》课件
基于函数梯度的方法，通过迭代逼近最优解。
遗传算法
模拟生物进化过程的搜索算法，通过优胜略汰 的方式找到最优解。
模拟退火法
模拟金属退火过程的搜索算法，通过随机性和 温度控制来逼近最优解。
粒子群优化
模拟粒子群行为的算法，通过粒子之间的合作 和个体经验找到最优解。
截断误差
使用有限项进行级数展开时未考虑所有无穷项导致的误差。
舍入误差
由于数学运算符的近似计算和截取，导致了计算结果与真实结果之间的差距。
插值和拟合方法
插值和拟合方法是数值分析中常用的技术，用于根据已知数据点推导出未知数据点的值或找到拟合曲线或曲面。
插值方法
利用已知数据点之间的关系推导出处于数据点之间 位置的值。
2 物理学
求解量子力学方程、天体力学模拟和粒子物 理实验结果分析。
3 金融
风险评估、期权定价和投资组合优化。
4 医学
数值模拟手术、疾病预测和药物研发。
数值分析的历史和趋势
数值分析起源于古代文明对数学问题的解决方案。如今，随着计算机技术进步，数值分析在各个领域的 应用呈指数级增长。
1
古代
古埃及的巴比伦人使用分段直线插值法求解方程。
《数值分析》PPT课件
本课程介绍《数值分析》的学习目标，定义和应用领域。深入探讨数值分析 的历史、发展和误差分析。了解插值和拟合方法，数值微积分和数值积分。
数值分析的应用价值
数值分析在工程、物理学、金融等领域扮演着重要角色。通过数值模拟和优化算法，我们能够解决复杂问题并 做出准确的预测。
1 工程
计算结构力学、流体力学和电磁场分析，优 化设计和仿真。
2
20世纪
计算机的发明使数值分析成为可能，并发展了更高精度和快速的算法。
遗传算法
模拟生物进化过程的搜索算法，通过优胜略汰 的方式找到最优解。
模拟退火法
模拟金属退火过程的搜索算法，通过随机性和 温度控制来逼近最优解。
粒子群优化
模拟粒子群行为的算法，通过粒子之间的合作 和个体经验找到最优解。
截断误差
使用有限项进行级数展开时未考虑所有无穷项导致的误差。
舍入误差
由于数学运算符的近似计算和截取，导致了计算结果与真实结果之间的差距。
插值和拟合方法
插值和拟合方法是数值分析中常用的技术，用于根据已知数据点推导出未知数据点的值或找到拟合曲线或曲面。
插值方法
利用已知数据点之间的关系推导出处于数据点之间 位置的值。
2 物理学
求解量子力学方程、天体力学模拟和粒子物 理实验结果分析。
3 金融
风险评估、期权定价和投资组合优化。
4 医学
数值模拟手术、疾病预测和药物研发。
数值分析的历史和趋势
数值分析起源于古代文明对数学问题的解决方案。如今，随着计算机技术进步，数值分析在各个领域的 应用呈指数级增长。
1
古代
古埃及的巴比伦人使用分段直线插值法求解方程。
《数值分析》PPT课件
本课程介绍《数值分析》的学习目标，定义和应用领域。深入探讨数值分析 的历史、发展和误差分析。了解插值和拟合方法，数值微积分和数值积分。
数值分析的应用价值
数值分析在工程、物理学、金融等领域扮演着重要角色。通过数值模拟和优化算法，我们能够解决复杂问题并 做出准确的预测。
1 工程
计算结构力学、流体力学和电磁场分析，优 化设计和仿真。
2
20世纪
计算机的发明使数值分析成为可能，并发展了更高精度和快速的算法。
数值分析课件第一章
４.减少运算次数 减少运算次数可以不但节省时间，而且减少舍入误差. 例10 计算多项式的值
Pn ( x) an x n an1x n1 a1x a0 .
秦九韶算法：
S n an , S k xS k 1 ak , (k n-1,,0) P ( x) S . n 0
例： x 3.1415926 , 取三位 取五位 1 * * x3 3.14, | e3 | 0.0015926 0.005 10 2 , 2 1 * * x5 3.1416 | e5 | 0.0000073 0.00005 10 4 . , 2
I 0 1 e1.
* I 9 0.0684, I 0 0.6321, ( A) I n 1 nI n1, n 1,2,. ( B) * * I n1 1 (1 I n ), n 9,8,,1. n 1 1 e1 ( I 9 ( ) 0.0684) 2 10 10
* *
§3 误差定性分析、避免误差危害
一、算法的数值稳定性
定义3 一个算法若输入数据有 误差, 而在计算过程中舍入 误差不增长, 则称此算法是数值稳定 的, 否则是不稳定的.
例5
1 1 n x 计算I n e x e dx, n 0,1,, 0
并估计误差.
I n 1 nI n1 , n 1,2,,
数值分析
数学学院 李胜坤
第1章
一、什么是数值分析
引论
§1 数值分析的研究对象与特点
数值分析是计算数学的一个主要部分,计算数学是数 学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题 的数值计算方法及其理论与软件实现. 步骤：实际问题→数学模型→数值计算方法 →程序设计→上机计算求出结果
Pn ( x) an x n an1x n1 a1x a0 .
秦九韶算法：
S n an , S k xS k 1 ak , (k n-1,,0) P ( x) S . n 0
例： x 3.1415926 , 取三位 取五位 1 * * x3 3.14, | e3 | 0.0015926 0.005 10 2 , 2 1 * * x5 3.1416 | e5 | 0.0000073 0.00005 10 4 . , 2
I 0 1 e1.
* I 9 0.0684, I 0 0.6321, ( A) I n 1 nI n1, n 1,2,. ( B) * * I n1 1 (1 I n ), n 9,8,,1. n 1 1 e1 ( I 9 ( ) 0.0684) 2 10 10
* *
§3 误差定性分析、避免误差危害
一、算法的数值稳定性
定义3 一个算法若输入数据有 误差, 而在计算过程中舍入 误差不增长, 则称此算法是数值稳定 的, 否则是不稳定的.
例5
1 1 n x 计算I n e x e dx, n 0,1,, 0
并估计误差.
I n 1 nI n1 , n 1,2,,
数值分析
数学学院 李胜坤
第1章
一、什么是数值分析
引论
§1 数值分析的研究对象与特点
数值分析是计算数学的一个主要部分,计算数学是数 学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题 的数值计算方法及其理论与软件实现. 步骤：实际问题→数学模型→数值计算方法 →程序设计→上机计算求出结果
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三、数值运算的误差估计 1、四则运算
两个近似数 x1 与 x2，其误差分别为 * ( x1 ) 及 * ( x2 )，它们进行
加、减、乘、除运算得到的误差分别为
工科研究生公共课程数学系列 机动
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结束
( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 ); ( x1 x2 ) x1 ( x2 ) x2 ( x1 ); x1 ( x2 ) x2 ( x1 ) x1 ( ) 2 x2 x 2
初学可能仍会觉得公式多，理论分析复杂。给出如下的 几点学习方法。 • 认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本任务，主 动适应公式多和讲究理论分析的特点。 • 注重各章节所研究算法的提出，掌握方法的基本原理和思 想，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合。 • 理解每个算法建立的数学背景、数学原理和基本线索，而 且对一些最基本的算法要非常熟悉。 • 要通过例子，学习使用各种数值方法解决实际计算问题。 • 为掌握本课的内容，还应做一些理论分析和计算练习。
2、函数误差 当自变量有误差时计算函数值也产生误差，可以利用 函数的泰勒展开式进行估计。
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结束
设 f ( x) 是一元函数，x 的近似值为 x，以 f ( x ) 近似 f ( x)，其 误差界记作 ( f ( x ))，可用泰勒展开并取绝对值得 f ( ) 2 f ( x) f ( x ) f ( x ) ( x ) (x ) 2 假定 f ( x ) 与 f ( x ) 的比值不太大，可忽略 ( x ) 的高阶项，
r m
1 x x x (a1 1) 10 10 n 1 2(a1 1) 1 10m n 1 2 故 x 至少有 n 位有效数字。
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定理证毕。
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例1-1 要使 20 的近似值的相对误差限小于 0.1%，至少要取几位 有效数字？
例 1- 2 若电压 V 220 5V，电阻 R 300 10, 求电流 I 并计算其误差限及相对误差限。
V * 220 解： I * 0.7333( A) R 300 V ( R ) R (V ) (I ) 2 （R） 220 10 300 5 0.0411( A) 90000 所以 I 0.7333 0.0411( A)
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机动
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1.2 数值计算的误差
一、误差的来源 在运用数学方法解决实际问题的过程中，每一步都可能带 来误差。 1、模型误差 在建立数学模型时，往往要忽视很多次要因素， 把模型“简单化”，“理想化”，这时模型就与真实背景有了 差距，即带入了误差。
2、测量误差 数学模型中的已知参数，多数是通过测量得到。 而测量过程受工具、方法、观察者的主观因素、不可预料的随 机干扰等影响必然带入误差。
注：近似数 x 表示为 x 10m (a1 a2 101 al 10(l 1) )
证明： 由（ ）可得 1 a1 10m x (a1 1) 10m , 当 x 有 n 位有效数字时 x x x
r
反之，由
0.5 10m n 1 1 10 n 1 ; a1 10m 2a1
2、相对误差与相对误差限
定义2 近似值的误差 e 与准确值 x 的比值 e x x x x 称为近似值 x 的相对误差，记作 er。
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在计算中，由于真值x总是不知道的，通常取 e x x e 。 x x 相对误差限 相对误差绝对值的上界，记作 r , 即
工科研究生公共课程数学系列
数值分析电子课件
辽宁科技大学 理学院 任 课 教 师：熊 焱
第1章 绪 论
内容提要： 1.1 数值分析研究对象与特点 1.2 数值计算的误差
1.3 误差定性分析与避免误差危害
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1.1 数值分析研究对象与特点
一、数值分析研究对象 计算机解决科学计算问题时经历的过程 实际问题
于是可得计算函数的误差限 （ f ( x )） f ( x ) x） （ .
例1-4 设x 0,x 的相对误差限为 ，求 ln x 的误差限。 1 , 即有 解： ( ln x) x 1 (ln(x )) ( x ) r ( x ) x
模型设计
算法设计
程序设计 实例 求
2
上机计算
问题的解 牛顿法
方程求根 x 2
2
1 2 xk 1 ( x K ) 2 xK
程序设计
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上机计算
解 x0 1 , x1 1.5, x3 1.417,
机动
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数值分析的内容包括函数的数值逼近、数值微分与数值积 分、非线性方程数值解、数值线性代数、常微和偏微数值解等。 数值分析研究对象以及解决问题方法的广泛适用性，著名流行 软件如Maple、Matlab、Mathematica等已将其绝大多数内容设 计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。 但由于实际问题的具体特征、复杂性, 以及算法自身的适 用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算 法，因而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。 本课程内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方法， 必须掌握这几门课程的基础内容才能学好这门课程。
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对于一般情形 x x , 即 x x x 工程中常表示为 x x 例如，有两个量x 10 1, y 1000 1, 则
x 10, x 1; y 1000, 1。 y
定义1 设 x 为准确值，x 为 x 的一个近似值，称 e x x 为近似值 x 的绝对误差，简称误差,记为 e。
误差是有量纲的量，量纲同 x，它可正可负。 误差一般无 法准确计算，只能根据测量或计算情况估计出它的绝对值的一
个上界，这个上界称为近似值 x* 的误差限，记为ε*。
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解：
* 设取 n 位有效数字，由定理1， r
1 10 n 1。 2a1
由于 20 4.4 , 知 a1 4, 故只要取 n 4, 就有
r 0.125 103 103 0.1%
即只要对 20 的近似值取 4 位有效数字，其相对误差限就小 于 0.1%。
r
1 10 ( n 1) 2a1
（1） 1 10 ( n 1)，则 x 至少具 2(a1 1)
反之，若 x 的相对误差限 r 有 n 位有效数字。
定理说明有效数位越多，相对误差限越小。定理也给出了
相对误差限的求法。
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近似数 x 表示为 x 10 m (a1 a2 10 1 an 10 ( n1) ) 具有 n 位有效数字，则 x x 1 10 m n1 2
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有效数字与相对误差限
定理1 设近似数 x 表示为 x 10m (a1 a2 101 al 10 (l 1) ) 其中 ai (i 1, 2, , l ) 是 0 到 9 中的一个数字，a1 0, m为整数。 若 x 具有 n 位有效数字，则其相对误差限为
r
| x x | r * | er | |x | | x* | 上例中
x
x
10%与
y
y
0.1%分别为x与y的对误差
限，可见y 近似y的程度比x近似x的程度好。
3、有效数字 定义3 如果近似值x*的误差限是它某一数位的半个单位， 我们就说 x *准确到该位，从这一位起直到前面第一个非零 数字为止的所有数字称 x 的有效数字.
解： 由误差限乘法公式
( s ) l (d ) d (l )
110 (0.1) 80 (0.2) 27( m 2 ) 故
r ( s )
( s )
s
( s )
l d
27 0.31% 8800
• 要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间 复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题， 它关系到算法能否在计算机上实现。 • 要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述 三点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。
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首页结束三、Fra bibliotek值分析的学习方法
4、舍入误差 计算机只能处理有限数位的小数运算，初始参
数或中间结果都必须进行四舍五入运算，这必然产生舍入误 差。 例如：用3.14159 近似代替，产生的误差 R 3.14159 0.0000026
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误差分析是一门比较艰深的专门学科。在数值分析中主要 讨论截断误差及舍入误差。但一个训练有素的计算工作者， 当发现计算结果与实际不符时，应当能诊断出误差的来源， 并采取相应的措施加以改进，直至建议对模型进行修改。 二、绝对误差、相对误差与有效数字 1、绝对误差与绝对误差限