w_第五章_弯曲应力02

复习 弯曲正应力
中性层 中性轴 用z表示 表示
y
M σ = y Iz
强度条件： 强度条件：
σ
M = ρ EI z 1
曲率变化量
EIz 抗弯刚度
σ
+ max
M = + ≤ [σ + ] Wz
σ
− max
M = − ≤ [σ − ] Wz
Wz抗弯系数
裂纹发生在枕木的中间 如何解释？ 如何解释？ 力学模型
b(x) =
τmax
b(x)
3 Q 3 F/2 = = ≤ [τ ] 2 A 2 bmin h
3F x 2 [σ ]h 3F bmin = 4[τ ]h
二、若截面宽度b不变： 若截面宽度b不变：
1 2 W(x) = bh (x) 6
h(x)
τmax
3F h(x) = x [σ ]b 3F 3 Q 3 F/2 = = ≤ [τ ] hmin = 4[τ ]b 2 A 2 bhmin
Hale Waihona Puke y = ±h 2: τ = 0
y = 0:τ =τmax 3Q 3Q = = 2bh 2A
二、其它形式截面梁： 其它形式截面梁：
4Q 圆形截面梁： τmax ≈ 3A Q 薄壁圆环截面： τmax ≈ 2 A QS * max Z 工字形截面： τmax = d IZ
Q Q ≈ = A腹板 dh0
σmax
h b
σmax τmax
6Pl 3P , τm = = ax 2 bh 2bh 4l = h
故：对于一般细长梁剪应力可以忽略不计。 但以下一些梁，剪应力不能忽略： ● 木梁、焊接梁； ● 粗短梁； ● 有较大集中力作用在支座附近。
10kN 10kN 10kN
A B 1m Q 1m 15 5 C 1m D 1m
今天作业 5-9 5-11 5-17
M = ≤ [σ ] WZ
支承点不要设在梁的两端； ● 支承点不要设在梁的两端； 集中力尽量作用在支座附近； ● 集中力尽量作用在支座附近； 将集中载荷分解为多个小载荷或分布载荷。 ● 将集中载荷分解为多个小载荷或分布载荷。
qL L/4
3 2 qL 16
q 3L/4 L
1 2 qL 8
q L/5 L
已知： 已知： [σ ] = 160MPa , [τ ] = 40MPa ,
E 求：选择工字钢型号。 选择工字钢型号。
解：1、作内力图
Mmax = 20kNm, Qmax = 15kN
Mmax -5 σmax = ≤ [σ ] WZ -15 Mmax M 20 WZ ≥ = 125cm3 15 15 [σ ] No.16工字钢 工字钢： 选No.16工字钢： W = 141cm3 Z IZ 若用切应力确定： 若用切应力确定： d = 6mm = 13.8cm 3Qmax SZ 2 τ max = ≤ [τ ] ⇒ A ≥11.25cm Qmax SZ A τ max = =18.1MPa < [τ ] d IZ 选择No.10工字钢。 工字钢。 选择 工字钢
q
若弯矩引起的破坏应当 如何？ 如何？ 剪力引起的破坏 剪力的分布——切应力 剪力的分布——切应力 —— M图
Q图
弯曲切应力（剪应力） 5-4 弯曲切应力（剪应力）及强度条件 一、矩形截面梁： b ＜ h 矩形截面梁：
F
h
dx
b
M Q M M+dM
假设同一高度 y 处 τ相等
假设所有的 τ都平行于 y
1 2 qL 40
L/5
1 2 qL 50
二、截面形状的合理设计，使 W／A 增大； 截面形状的合理设计， 增大； 截面形状： ● 截面形状：
优于
若使用塑性材料： ● 若使用塑性材料：
优于
优于
宜采用上下对称的截面； [σ + ] = [σ − ] ，宜采用上下对称的截面； 若使用脆性材料： ● 若使用脆性材料：
[σ + ] < [σ − ] ，宜采用上下不对称的截面； 宜采用上下不对称的截面；
Z y
1
Z
y
1
Z
y
1
y
2
y
2
y
2
y2 [σ + ] = − y1 [σ ]
三、等强度梁的使用； 等强度梁的使用； 当梁发生横力弯曲时， 随截面位置而变化， ● 当梁发生横力弯曲时， M随截面位置而变化，设计时若采 用等截面梁，即抗弯截面模量WZ为常数，此时只有|M|max位置 用等截面梁，即抗弯截面模量W 为常数，此时只有|M| 的横截面上应力达到许用应力[ 的横截面上应力达到许用应力[σ]，而其它截面上应力均小于许 用应力[ 不科学！ 用应力[σ] 。不科学！ ● 可以采用变截面梁，即 WZ随截面位置而变化：弯矩M大时， 可以采用变截面梁， 随截面位置而变化：弯矩M大时， 抗弯截面模量W 亦大；反之亦然。 抗弯截面模量WZ亦大；反之亦然。 等强度梁：梁所有截面上的最大正应力均相等， ● 等强度梁：梁所有截面上的最大正应力均相等，都等于许 用应力[ 用应力[σ]。
2、强度计算
5-5 提高弯曲强度的措施 ● 目的：保证静强度的前提下，尽可能地节省材料 目的：保证静强度的前提下， 思路： ● 思路：重点考虑正应力的强度
σmax
措施： 支承和载荷的合理安排， 减小； ● 措施：一、支承和载荷的合理安排，使M减小； 动画 动画 动画
qL L/2 L/2
1 2 qL 4
τ
Q SZ τ= b IZ
b
h 2
Q z
y
S∗ = ∫
h2
y
b h2 ξ bdξ = ( − y2 ) 2 4
h 2
A∗
y∗
1 h 1 h 或： y = y + ( − y) = ( + y) 2 2 2 2
∗
τmax
dx
b(h − y) ∗ b h2 2 S∗ = A∗ y∗ = y = ( −y ) 2 2 4 b h2 2 Q ( − y ) 6Q h2 τ= 2 4 3 = 3 ( − y2 ) bh bh 4 b 12
M(x) σ (x) = = [σ ] Wz (x)
M( x) Wz ( x) = [σ ]
P
h
已知： 已知：
F, L, [σ ], [τ ]
Q= F 2
L/2
L/2
1 PL 4
求：设计等强度梁的截面尺寸
b
1 解： M(x) = Fx 2 1 W(x) = b(x)h2 6
一、若截面高度h不变： 若截面高度h不变：
三、剪应力强度条件
h h0
d
τmax
τmax ≤ [τ ]
注意：对于受弯曲变形的构 件，一般采用正应力强度条 件进行设计，再采用剪应力 强度条件进行校核。
比较矩形截面悬臂梁的最大正应力和最大剪应力。 比较矩形截面悬臂梁的最大正应力和最大剪应力。
F
l
解： M max = Pl , Q max = P
∑X = 0
N2 − N1 = dQ′
Q
dx
M+dM
dx
z y
τ′ dQ’
N1
ξ
A* y
M M ∗ N1 = ∫ ∗ σ dA = ∫ ∗ ξ dA = SZ A A I IZ Z M + dM ∗ dQ′ =τ ′bdx N2 = SZ IZ
dM SZ τ′ = dx bIZ
∗
σ
N2
τ ′ =τ
∗