大学物理教程12.3 薛定谔方程
大学物理薛定谔方程(老师课件)
P2 E U (x , t ) 2m
一般的薛定谔方程：
▽
( r , t ) 2 2 i U ( r , t ) ( r , t ) t 2m
U(x)
n很大
n
2
E2 E1 E0
0
2
2
1 2 0
2
符合不确定关系 概率分布特点:
x
E < U 区有隧道效应
通过扫描可观 测固体表面的 微观结构. 探 针头还可吸附 并搬动原子， 形成人工微结 构.
1986年获诺贝尔物理学奖
显示器
压电 控制 隧道 电流
加电压 反馈传感 器 参考信号
扫描隧道显微镜示意图
某种型号的扫描隧道显微镜
原子搬迁：操纵原子不是梦
“原子书法”
硅单晶 表面直 接提走 硅原子 形成2 纳米的 线条 1994年中国科学院科学家“写”出的
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在 量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是 一样的。 同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基 本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确 性也只能靠实验来检验。
一、自由粒子的薛定谔方程 由自由粒子波函数
i ( Et px) Ψ( x, t ) Ψ e 0
2 2 d 阱外： ( x ) E ( x ) 2 2 m dx 2 2 阱内： d 2 ( x ) E ( x ) 2m dx
2. 求通解 阱外: 根据波函数有限 ( x ) 0 x a , x 0 2mE 2 阱内: 令 k 2 则： ( x ) k 2 (x ) 0 其通解为 (x ) A cos kx B sin kx
薛定谔方程
薛定谔方程薛定谔方程推导薛定谔方程（Schrdinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。
是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。
目录薛定谔方程在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数Ψ（x,t），即波函数（又称概率幅，态函数）来确定，因此波函数成为量子力学研究的主要对象。
力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。
这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程之一，在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。
薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。
简介量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。
薛定谔方程广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。
薛定谔方程仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。
当计及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。
.薛定谔提出的量子力学基本方程。
建立于 1926年。
它是一个非相对论的波动方程。
它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律，它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样，是量子力学的基本假设之一。
设描述微观粒子状态的波函数为Ψ（r，t），质量为m的微观粒子在势场V（r，t）中运动的薛定谔方程为。
在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下，可解出波函数Ψ（r，t）。
由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值（期望值）。
大学物理薛定谔方程
若势能曲线 如图所示：
U
( x) U= U0
有一个有限 E 宽度的“势垒”。 U= 0
U= 0 x
Ⅰ区是波动解， Ⅱ区是指数解，
0a
Ⅰ区 Ⅱ区 Ⅲ区
Ⅲ区也是波动解，但是只有向+x方向的波； 没有向-x方向的反射波了。
可以想见，原来在Ⅰ区的粒子也可以在势垒 的另一边Ⅲ 区出现！这在经典物理是不可想象的！
即可得总波函数 (x, t )。
例.一维自由运动微观粒子的波函数。 电子枪
K
自由运动区
A
U=0
其定态薛定谔方程为
d2
d x2
2m 2
E
0
2 2m
d2
d x2
U
E
……二阶常系数
E 是能量（动能）
常微分方程
令 2mE p2 ，P 是动量。
d2
d x2
2m 2
E
0
得
d2
d x2
p2 2
0
它有两个特解:
量子物理： 粒子有波动性，遵从不确定关系，
粒子穿过势垒区和能量守恒并不矛盾。
只要势垒区宽度 x = a 不是无限大，
粒子能量就有不确定量E 。
p2
2pΔ p pΔ p
E ΔE
2m
2m
m
x = a 很小时，P 很大，使 E也很大 ， 以至
可以有： E U0 E E +E > U0
§2.4 一维谐振子
Ⅱ区：
d2
d x2
2m 2 (E
U0 )
0
令
k22
2m 2
E U0
2 C ek2x D ek2x
2 C ek2x Dek2x
《薛定谔方程》课件
波函数需要满足归一化条件，即 ∫Ψ*(r,t)Ψ(r,t)dV=1，以确保粒 子存在于有限空间内。
时间演化算符
时间演化算符定义
时间演化算符描述波函数的演化过程，通常表示为 U(t)，其中t是时间。
时间演化算符的性质
时间演化算符是幺正算符，即U(t)U*(t)=I，其中I是 单位算符。
时间演化算符的作用
时间演化算符可以将初始时刻的波函数演化到任意时 刻的波函数。
能量算符
能量算符定义
能量算符描述微观粒子的能 量，通常表示为H。
能量算符的性质
能量算符是厄米特算符，即 H=H*。
能量算符的作用
能量算符可以将波函数投影 到能量本征态上，得到粒子 的能量。
边界条件和初始条件
边界条件
描述波函数在边界上的行为，如周期 边界、反射边界等。
原理
通过选取适当的变分函数，将薛定谔方程的 求解问题转化为求变分极值的问题。
步骤
选取合适的变分函数，将薛定谔方程转化为变分问 题，然后利用变分法的基本原理求解该问题。
应用范围
适用于具有某些特殊性质的薛定谔方程，如 具有对称性、周期性等性质的问题。
04
薛定谔方程的经典实例
一维无限深势阱
描述
一维无限深势阱是一个理想化的模型，用于描述粒子在一维空间中的 运动，其中势能只在有限区域内存在。
在生物学中，它可以用来描述生物分子的结构和性质， 如蛋白质的结构和功能等。
02
薛定谔方程的基本概念
波函数
01
波函数定义
波函数是描述微观粒子状态的函 数，通常表示为Ψ(rห้องสมุดไป่ตู้t)，其中r是 位置向量，t是时间。
02
波函数的性质
薛定谔方程
经典力学与量子力学的比较 经典力学
量子力学
研究对象
宏观物体，在一 具有波粒二象性 定条件下可看成 的微观粒子 质点
运动状态描写 坐标（x,y,z） 动量（p）
波函数ψ(x,y,z,t) |ψ(x,y,z,t)|2代表 时刻t在空间某 处的几率。
运动方程即状态 随时间变化规律
牛顿方程
薛定谔方程
三、一维无限深势阱
图3.2.1 无限深势阱
(3.2.3)
(3.2.4)
式中，A，δ为待定常数，为确定A与δ之值，利用ψ的边界条 件及归一化条件。从物理上考虑，粒子不能透过势阱，要求在 阱壁及阱外波函数为零，即
即
上式舍去了n=0和n为负值的情况
(3.2.5)
这个结果表明，粒子在无限高势垒中的能量是量子化的。 又由归一化条件
二、定态薛定谔方程
在势能V不显含时间的问题中，薛定谔方程可以用一种 分离变数的方法求其特解，令特解表为
代入下式，并把坐标函数和时间函数分列于等号两边：
令这常数为E，有
（10）
于是波函数ψ(r,t)可 以写成
与自由粒子的波函数比较，可知上式中的常数E就是能量， 具有这种形式的波函数所描述的状态称为定态.在定态中几 率密度｜ψ(r,t)｜2=｜ψ(r)｜2与时间无关。另一方面， (10) 式右边也等于E，故有
把(1)对t取一阶偏微商 如果自由粒子的速度较光速 小得多，它的能量公式是 p2/2m=E，两边乘以ψ，即得
（2） （3）
（4） （5）
把(3)和(4)代入(5)
得到一个自由粒子的薛定谔方程。 对于一个处在力场中的非 自由粒子，它的总能量等于 动能加势能
两边乘以ψ
自由粒子的薛定 谔方程可以按此式 推广成
大学物理：第20章 薛定谔方程
3. 波函数需要满足的条件
（1） (r) 必须是时空的单值函数
——确定的时间、地点，粒子出现的概率是确定的。
标 准
单值
（2） (r) 必须是有限的——因为粒子出现的概率P≤1
条 有限 件
（3）两个区域的边界处，波函数 1 2 1 2 连续
——在边界处确定点，粒子出现的概率是定值。
（4）粒子在全空间出现的概率=1 归一化条件
)
3 2
2 a
sin
2x
a
exp(
iE2t
)
叠加态的概率分布为：
P (x,t) 2 (x,t)*(x,t)
对非定态的电磁波辐射的频率和概率给出了定量的解释。
h E2 E1
(2) 能量平均值
En
2 2
2ma2
n2
E1
2 2
2ma2
12
E2
2 2
2ma2
22
13 E 4 E1 4 E2 0E3 ...
2 * (x) *(x) (x) 2
定态薛定谔方程
把方程中的 换成 (x,t) (x) exp(i E t)
薛定谔方程一般形式
2
2m
2 x2
U
i
t
Hˆ
2
2m
2 x2
U
Hˆ i
t
一维自由粒子波函数
i Px i Et
(x,t) Ce e
一维薛定谔方程
2
2m
2 x2
U
i
t
i E t
S2
Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是电子的可能状态。
P Ψ
感 光 屏
双缝后的空间找到电子的几率则是：
薛定谔方程
薛定谔方程（Schrodinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。
它是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。
1定义薛定谔方程薛定谔方程（Schrodinger equation）又称薛定谔波动方程（Schrodinger wave equation）在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数Ψ（x,t），即波函数（又称概率幅，态函数）来确定，因此波函数成为量子力学研究的主要对象。
力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。
这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程之一，在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。
薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来确定。
2方程概述量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。
薛定谔方程广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。
薛定谔方程仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。
当涉及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。
.薛定谔提出的量子力学基本方程。
建立于1926年。
它是一个非相对论的波动方程。
它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律，它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样，是量子力学的基本假设之一。
设描述微观粒子状态的波函数为Ψ（r，t），质量为m的微观粒子在势场V（r，t）中运动的薛定谔方程为。
第12章3不确定关系薛定谔方程
2 p2 2 2 x
i E t
（1）
（2）
物理启示:定义能量算符,动量算符和坐标算符
将(4), (5)代入(3)可得势场中一维粒子一般薛定谔方程 2 2Ψ Ψ 对一维情况有： 2m x 2 U ( x, t )Ψ i t
21 这个方程称为含时薛定谔方程
26 v x 5.5 10 m / s 2 m x
超出测量限度，可认为位置、动量可同时确定。
6
该图出自伽莫夫的
《物理世界奇遇记》 这在微观世界里是可 能发生的图象。该图包 含着两个物理内容：
1. 由不确定关系，汽车
在车库中永远不会静止。 2. 物体在有限势阱内 （车库的壁）有一定透 出的概率。
Et 2
能级自然宽度和寿命
5
讨论
xp x 2
yp y 2
zp z 2
1. 不确定关系说明：微观粒子在某个方向上的坐标和 动量不能同时准确地确定，其中一个不确定量越小， 另一个不确定量越大，若 x 为零， p则无穷大。 2. 不确定关系对宏观物体不显现作用。如m=1g的物体， x不超过10-6m（这是可以做到的），
2 1 2 2 E m ω x 2 8m x 2
dE 2 2 Δx m ω 3 d Δx 4m Δx
令 可得
dE 0 d Δx
Δx
2
2m ω
可得最小可能能量为
Emin
1 1 ω 2 2
思考: Emin 0 ?
线性谐振子沿直线在平衡位置附近振动，坐标和 动量都有一定限制，即
2 p 1 2 2 E mω x
2m
2
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按照经典波动理论，波动的物理量满足如下形 式的波动方程：
y y 2 V 2 2 t x
2 2
V 为波速
物质波的波动方程是什么？ 薛定谔方程
——量子力学中的基本动力学方程。
第12章 量子力学
12.3 薛定谔方程
一 薛定谔方程的建立 自由粒子波函数 对波函数微分得
( x, t ) 0e
i
t
ˆ (r , t ) (r , t ) H
第12章 量子力学
12.3 薛定谔方程
说明 薛定谔方程不是推导出来的，而是依据实验事实和 基本假定“建立”的，是否正确则由实验结果检验。
薛定谔方程——描述非相对论实物粒子在势场中的 状态 x
( x, t ) i E ( x, t ) t
2 px E＝ 2m
2 px 2 ( x, t ) 2 ( x, t ) 2 x
2 2 i ( x, t) ( x, t ) 2 t 2m x
其解 Φ(x,y,z) 与粒子所处的外力场U 和边界条件有关。
12.3 薛定谔方程
3）波函数是以上两部分的乘积
( r , t ) ( r ) e
粒子出现在空间的几率：
i Et
i 2 Et 2 (r , t ) (r , t ) | (r ) e | 2 (r )
2
2 U ( x, t ) ˆ 令 H 2m x 2
称为哈密顿算符，则 含时薛定谔方程
ˆ i ( x, t ) H ( x, t ) t
第12章 量子力学
12.3 薛定谔方程
2 2 2 px p y pz
• 推广到三维势场U( r, t) 中 哈密顿算符变为
dT (t ) i ET (t ) dt ˆ (r ) E(r ) H
第12章 量子力学
(1)
(2)
12.3 薛定谔方程
1） 方程（1）是关于变量为t 的微分方程，解为：
dT (t ) i ET (t ) dt
ˆ ( r ) E (r ) H
时间振动因子
T (t ) e
2
i Et
2） 方程（2）是关于变量为x、y、z的微分方程：
[ 2 U ( x, y, z )]( x, y, z ) E( x, y, z) 2m
ˆ (r ) E (r ) H
第12章 量子力学
称为定态薛定谔方 程，又称为能量算 符的本征方程
E＝
2m
U (r , t )
2 2 2 ) U (r , t ) ˆ H ( 2 2m x y 2 z 2
2
ˆ 2 U (r , t ) H 2m
薛定谔方程
2
i j k x y z
自由粒子的薛定谔方程
第12章 量子力学
12.3 薛定谔方程
• 把自由粒子运动算符推广到非自由粒子运动，粒 子所处的势场为U(x,t)，粒子的能量 2 px E＝ U ( x, t ) 2m
则
p2 ( x, t ) E ( x, t ) [ i U ]( x, t ) t 2m 2 2 U ( x, t )] ( x, t i ( x, t ) [ ) 2 2m x t
U r 0
1 e U r 4π 0 r
2
此时，哈密顿算符与时间无关，薛定谔方程 可用分离变量法求解：波函数 可以分离为空间 坐标函数和时间函数的乘积。
第12章 量子力学
( x, t ) [ 2 U ( x)] ( x, t ) 方程： i t 2m x 2
粒子出现在空间的几率与时间无关（定态） 可见，定态问题最后归结为求解定态薛定谔方程。
第12章 量子力学
薛定谔
（Schrö dinger 1887-1961）
奥地利物理学家，提出量子 力学最基本的方程。
1933年薛定谔获诺贝尔物理奖。
第12章 量子力学
12.3 薛定谔方程
二 定态薛定谔方程
若微观粒子处在稳定的势场中，则势能函数U 与时间无关，称这类问题为定态问题。 例如： 自由运动粒子 氢原子中的电子
2
12.3 薛定谔方程
设
(r , t ) ( r ) T (t )
d T(t ) ˆ (r )]T (t ) i (r ) [ H dt d T(t ) 1 1 ˆ i H ( r ) dt T (t ) (r )
E
可得只含变量 t 和只含变量 r 的两个方程：