大学物理薛定谔方程(老师课件)
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大学物理薛定谔方程(老师课件)
2 2 2 2 2 推广到三维： x 2 x 2 y 2 z 2
P2 E U (x , t ) 2m
一般的薛定谔方程：
▽
( r , t ) 2 2 i U ( r , t ) ( r , t ) t 2m
U(x)
n很大
n
2
E2 E1 E0
0
2
2
1 2 0
2
符合不确定关系 概率分布特点:
x
E < U 区有隧道效应
通过扫描可观 测固体表面的 微观结构. 探 针头还可吸附 并搬动原子， 形成人工微结 构.
1986年获诺贝尔物理学奖
显示器
压电 控制 隧道 电流
加电压 反馈传感 器 参考信号
扫描隧道显微镜示意图
某种型号的扫描隧道显微镜
原子搬迁：操纵原子不是梦
“原子书法”
硅单晶 表面直 接提走 硅原子 形成2 纳米的 线条 1994年中国科学院科学家“写”出的
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在 量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是 一样的。 同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基 本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确 性也只能靠实验来检验。
一、自由粒子的薛定谔方程 由自由粒子波函数
i ( Et px) Ψ( x, t ) Ψ e 0
2 2 d 阱外： ( x ) E ( x ) 2 2 m dx 2 2 阱内： d 2 ( x ) E ( x ) 2m dx
2. 求通解 阱外: 根据波函数有限 ( x ) 0 x a , x 0 2mE 2 阱内: 令 k 2 则： ( x ) k 2 (x ) 0 其通解为 (x ) A cos kx B sin kx
P2 E U (x , t ) 2m
一般的薛定谔方程：
▽
( r , t ) 2 2 i U ( r , t ) ( r , t ) t 2m
U(x)
n很大
n
2
E2 E1 E0
0
2
2
1 2 0
2
符合不确定关系 概率分布特点:
x
E < U 区有隧道效应
通过扫描可观 测固体表面的 微观结构. 探 针头还可吸附 并搬动原子， 形成人工微结 构.
1986年获诺贝尔物理学奖
显示器
压电 控制 隧道 电流
加电压 反馈传感 器 参考信号
扫描隧道显微镜示意图
某种型号的扫描隧道显微镜
原子搬迁：操纵原子不是梦
“原子书法”
硅单晶 表面直 接提走 硅原子 形成2 纳米的 线条 1994年中国科学院科学家“写”出的
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在 量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是 一样的。 同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基 本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确 性也只能靠实验来检验。
一、自由粒子的薛定谔方程 由自由粒子波函数
i ( Et px) Ψ( x, t ) Ψ e 0
2 2 d 阱外： ( x ) E ( x ) 2 2 m dx 2 2 阱内： d 2 ( x ) E ( x ) 2m dx
2. 求通解 阱外: 根据波函数有限 ( x ) 0 x a , x 0 2mE 2 阱内: 令 k 2 则： ( x ) k 2 (x ) 0 其通解为 (x ) A cos kx B sin kx
大学物理课件第20章 薛定谔方程yh201411
Z 也 有 2l + 1 种不同值。
Z
Ag N
B0 B0
用 s 态（l = 0）银原子无论有无磁场应该都只有一条！
实验结果 有磁场时，底板上是呈对称分布的两条纹。
？
2014-12-11
23
斯特恩正在观测
2014-12-11
银原子束通过非均 匀的磁场时，分裂 成了两束
24
2.电子自旋理论（1924年）
A sin 0 0
( ax ) A sin kx
A sin ka = 0
ka = n
En
n2π22 2m a2
k nπ a
n = 1, 2, 3……
2 mEn 2
kn22 π 2 a2
2014-12-11
12
讨论
En
n2π22 2ma2
基态
1(x)
2 sin πx aa
E1
π22 2m a 2
日常生活中豆子总是首 先待在锅底，不加热、 不撞击不会自行出来。
原子核势阱中的核子以很高 的概率位于“底部”，但也有 一定的概率到势阱边缘，甚 至离开势阱———核辐射！
射线
射线
2014-12-11
中子射线
射线
16
扫描隧道显微镜(STM) 1981年IBM公司 ScanningTunnelingMicroscopy
率，不能确定一个粒子一定在什么地方：只能作某种可
能性的判断，不能做绝对确定性的断言
例如：中子的平均半衰期 616秒 ,即N个中子在 616 秒内
有50% 衰变成质子、电子和中微子。在衰变之前，我们
不能断定哪几个中子会衰变，只能说，每个中子在616
秒内都有 50% 的衰变机会
Z
Ag N
B0 B0
用 s 态（l = 0）银原子无论有无磁场应该都只有一条！
实验结果 有磁场时，底板上是呈对称分布的两条纹。
？
2014-12-11
23
斯特恩正在观测
2014-12-11
银原子束通过非均 匀的磁场时，分裂 成了两束
24
2.电子自旋理论（1924年）
A sin 0 0
( ax ) A sin kx
A sin ka = 0
ka = n
En
n2π22 2m a2
k nπ a
n = 1, 2, 3……
2 mEn 2
kn22 π 2 a2
2014-12-11
12
讨论
En
n2π22 2ma2
基态
1(x)
2 sin πx aa
E1
π22 2m a 2
日常生活中豆子总是首 先待在锅底，不加热、 不撞击不会自行出来。
原子核势阱中的核子以很高 的概率位于“底部”，但也有 一定的概率到势阱边缘，甚 至离开势阱———核辐射！
射线
射线
2014-12-11
中子射线
射线
16
扫描隧道显微镜(STM) 1981年IBM公司 ScanningTunnelingMicroscopy
率，不能确定一个粒子一定在什么地方：只能作某种可
能性的判断，不能做绝对确定性的断言
例如：中子的平均半衰期 616秒 ,即N个中子在 616 秒内
有50% 衰变成质子、电子和中微子。在衰变之前，我们
不能断定哪几个中子会衰变，只能说，每个中子在616
秒内都有 50% 的衰变机会
大学物理教程12.3 薛定谔方程
12.3 薛定谔方程
按照经典波动理论，波动的物理量满足如下形 式的波动方程：
y y 2 V 2 2 t x
2 2
V 为波速
物质波的波动方程是什么？ 薛定谔方程
——量子力学中的基本动力学方程。
第12章 量子力学
12.3 薛定谔方程
一 薛定谔方程的建立 自由粒子波函数 对波函数微分得
( x, t ) 0e
i
t
ˆ (r , t ) (r , t ) H
第12章 量子力学
12.3 薛定谔方程
说明 薛定谔方程不是推导出来的，而是依据实验事实和 基本假定“建立”的，是否正确则由实验结果检验。
薛定谔方程——描述非相对论实物粒子在势场中的 状态 x
( x, t ) i E ( x, t ) t
2 px E＝ 2m
2 px 2 ( x, t ) 2 ( x, t ) 2 x
2 2 i ( x, t) ( x, t ) 2 t 2m x
其解 Φ(x,y,z) 与粒子所处的外力场U 和边界条件有关。
12.3 薛定谔方程
3）波函数是以上两部分的乘积
( r , t ) ( r ) e
粒子出现在空间的几率：
i Et
i 2 Et 2 (r , t ) (r , t ) | (r ) e | 2 (r )
2
2 U ( x, t ) ˆ 令 H 2m x 2
称为哈密顿算符，则 含时薛定谔方程
ˆ i ( x, t ) H ( x, t ) t
第12章 量子力学
12.3 薛定谔方程
2 2 2 px p y pz
按照经典波动理论，波动的物理量满足如下形 式的波动方程：
y y 2 V 2 2 t x
2 2
V 为波速
物质波的波动方程是什么？ 薛定谔方程
——量子力学中的基本动力学方程。
第12章 量子力学
12.3 薛定谔方程
一 薛定谔方程的建立 自由粒子波函数 对波函数微分得
( x, t ) 0e
i
t
ˆ (r , t ) (r , t ) H
第12章 量子力学
12.3 薛定谔方程
说明 薛定谔方程不是推导出来的，而是依据实验事实和 基本假定“建立”的，是否正确则由实验结果检验。
薛定谔方程——描述非相对论实物粒子在势场中的 状态 x
( x, t ) i E ( x, t ) t
2 px E＝ 2m
2 px 2 ( x, t ) 2 ( x, t ) 2 x
2 2 i ( x, t) ( x, t ) 2 t 2m x
其解 Φ(x,y,z) 与粒子所处的外力场U 和边界条件有关。
12.3 薛定谔方程
3）波函数是以上两部分的乘积
( r , t ) ( r ) e
粒子出现在空间的几率：
i Et
i 2 Et 2 (r , t ) (r , t ) | (r ) e | 2 (r )
2
2 U ( x, t ) ˆ 令 H 2m x 2
称为哈密顿算符，则 含时薛定谔方程
ˆ i ( x, t ) H ( x, t ) t
第12章 量子力学
12.3 薛定谔方程
2 2 2 px p y pz
量子物理第二章-薛定谔方程ppt课件.ppt
P2 Ψ 2
2 2Ψ
2m
x 2
i Ψ t
E
Ek
P2 2m
一维自由粒子的 含时薛定谔方程
2、一维势场 U (x,t) 中运动粒子薛定谔方程
E
Ek
U
(x,t)
P2 2m
U
(x,t)
Ψ t
i
EΨ
2Ψ x 2
P2 2
Ψ
Ψ t
i
[
P2 2m
U
(x,
t)]Ψ
2
2m
2Ψ x2
P2 Ψ 2m
2 2m
0
波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反映粒子出 现的概率，在这一点上不同于机械波，电磁波!
2、玻恩（M..Born)的波函数统计解释:
概率密度： w Ψ (r,t) 2 ΨΨ*
单位体积内粒子出现的概率! 3、波函数满足的条件
1、单值： 在一个地方出现只有一种可能性； 2、连续：概率不会在某处发生突变； 3、有限 4、粒子在整个空间出现的总概率等于 1
(x) Asin(kx ) ( a x a)
（2）确定常数 A、
2
2
由波函数连续性， 边界条件 (-a/2) = 0 (a/2) = 0
Asin( ka 2 ) 0 ka 2 l1
Asin( ka 2 ) 0
2 (l1 l2) l
ka 2 l2 l
2
1）当 l 0 时 o Asin kx ——奇函数。 2）当 l 1 时 e Acos kx ——偶函数。
3. 薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程, 因此波动形式 解要求在方程中必须有虚数因子 i，波函数是复函数。
4. 只有动量确定的自由粒子才能用平面波的描写。
大学物理课件：23-2波函数与薛定谔方程
2
2m
2
U
r
,t
Ψ
r
,
t
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
称为拉普拉斯算符
i j k x y z
称为梯度算符
2
2m
d2 dx2
U
x
x
E
x
2
2m
2
U
r
r
E
r
x r sin cos
y r sin sin
z r cos
1 r2
r
r 2
r
1
r 2 sin
sin
一般粒子： 在某一时刻，在空间某处发现粒子的概率正比于 该时、该处波函数模的平方。
在 dV 空间内发现粒子的概率： dP 2 dV *dV
概率密度 表示在某处单位体积内发现粒子的概率. Ψ 2 *
某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为:
Ψ
2
dV
1
归一化条件
波函数的标准化条件
1）波函数具有有限性
n 3
E3 9E1
3 (x)
2 sin 3x
aa
(x) 2 sin n π x
aa
n
n4
(x) 2 2 sin2 n π x aa
n 2
16 E1
n3
9 E1
n2 n 1
x0 a 2
a x0 a 2
4 E1
a E1
Ep 0
当量子数n很大时， 量子概率分布就接近经典分布
例：粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为
有限空间内：
Ψ
2
dV
1
2）波函数是连续的
3）波函数是单值的
大学物理量子物理4课件
§16.8 薛定谔方程
薛定谔（Erwin Schrodinger，1887— —1961）奥地利理论物理学家。在德布罗 意物质波思想的基础上，引入波函数来描 述微观客体，提出以薛定谔方程为基础的 波动力学，并建立了微扰的量子理论—— 量子力学的近似方法。他是量子力学的创 始人之一。
• 薛定谔方程的引入
，Py2
h2
2 y 2
，Pz2
h2
2 z 2
即 ih r t h2 2r t
t
2m
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
i
j
k
— —梯度算符
x y z
可以看出：作如下变换即
E
ih
，P
ih
作用到波函数上
t
（二）处于势场中的非自由粒子
它的总能量为 E P2 V r
两边乘以 r，t 2m
Er，t P2 r，tV rr，t
罗意假设，常数 E即为能量。
方程右边
E
1r
h2 2m
2
V
r
r
即
h2 2m
2
V
r
r
E
r
当 V 不显含时间 t 时，能量具有确定值， 能量不随时间变化的状态称为定态。波函数 为定态波函数。上述方程即为定态薛定谔方 程：
Hˆ r E r
求出波函数 r，可得波函数
r，t
r
e
iEt h
r要满足波函数的条件，E不能任意取值， 可以取的E值，称为能量的本征值， r称为
V
E
1x0，xa
h2 2m
d2
dx2
V
E
令
2
V
E
薛定谔（Erwin Schrodinger，1887— —1961）奥地利理论物理学家。在德布罗 意物质波思想的基础上，引入波函数来描 述微观客体，提出以薛定谔方程为基础的 波动力学，并建立了微扰的量子理论—— 量子力学的近似方法。他是量子力学的创 始人之一。
• 薛定谔方程的引入
，Py2
h2
2 y 2
，Pz2
h2
2 z 2
即 ih r t h2 2r t
t
2m
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
i
j
k
— —梯度算符
x y z
可以看出：作如下变换即
E
ih
，P
ih
作用到波函数上
t
（二）处于势场中的非自由粒子
它的总能量为 E P2 V r
两边乘以 r，t 2m
Er，t P2 r，tV rr，t
罗意假设，常数 E即为能量。
方程右边
E
1r
h2 2m
2
V
r
r
即
h2 2m
2
V
r
r
E
r
当 V 不显含时间 t 时，能量具有确定值， 能量不随时间变化的状态称为定态。波函数 为定态波函数。上述方程即为定态薛定谔方 程：
Hˆ r E r
求出波函数 r，可得波函数
r，t
r
e
iEt h
r要满足波函数的条件，E不能任意取值， 可以取的E值，称为能量的本征值， r称为
V
E
1x0，xa
h2 2m
d2
dx2
V
E
令
2
V
E
大学物理13.3波函数薛定谔方程
2 y2
2 z 2
( x,
y, z)
2m 2
(
E
V
)
(
x,
y,
z)
0
若粒子在一维空间运动，则
d2 dx2
(
x)
2m 2
(
E
V
)
(
x)
0
1993年克罗米等人，用扫描隧道显微镜发 现了量子围栏中的驻波，再次直观地证实了电 子的波动性，支持了薛定谔波动力学.
13.3.3 一维无限深方势阱中运动的粒子
假设粒子只能沿x 轴作一维运动，且势能 函数具有如下形式
V ( x) 0 V ( x)
0 xa x 0和x a
V ( x)
o
a
x
由于 V与( x时) 间无关，因此在势阱中运动的 粒子处于定态，可以用一维定态薛定谔方程 求解.
在区域内 x 0和，x a ，V具( x有) 有限能量 的粒子不可能出现.
因此 (x) 0
在区域内 0 x ， a V (因x)此 有0.
薛定谔的波动方程成功地解决了氢原子光 谱等一系列重大问题.
波动力学与矩阵力学是完全等价的，是 同一种力学规律的两种不同表述，而且它们 都属于非相对论性的量子力学.
下面用一类比较简单的问题即粒子在恒定 力场中的运动，由于这种问题中势能函数V 和粒子能量E 与时间无关，这时粒子处于定 态，则粒子的定态波函数可以写成
则 4B3 2xe2Bx 2Bx2e2Bx 0
所以 x， 0 x， 1 B时x，概率密度 有 极值 .( x) 2
而只有二阶导数
d2 dx 2
(x)2
x 1 B
0
所以在 x 处1，B概率密度有最大值，即粒 子在该位置处出现的概率最大.
第二十七章薛定谔方程ppt课件
粒子在x距离内的动量不确定度为
p 2x
2m(U0 E)
粒子进入该区域的速度为
xpx 2
v v p 2(U0 E)
m
m
则粒子进入的时间不确定度为
x
m
t
v 2 2m(U0 E) 2(U0 E) 4(U0 E)
根据能量-时间的不确定关系，粒子能量的不确定度为
E 2t 2(U0 E)
En
pn2 2m
,
k
n
a
x0 a 2
16E1
9E1 4E1 E1
ax
粒子的德布罗意波长
k n
n
h pn
2a n
2
k
a
, n 1, 2,...
波长也是量子化的，为势阱宽度2倍的整数分之一
n与两端固定弦的驻波波 长形式相同（见P158式n=2L/n）
n
n (x) 2
En
L
4 a 2
1 2L 1 2
2.无限深方势阱中粒子的波函数
一维定态薛定谔方程
2
2m
2
x2
U x
E
势阱外：x<0，x>a区域(边界条件)，U=∞，不会有粒子
存在，则
0 , x 0, x a
势阱内：0≤x≤a区域，U=0，则有方程
2
x2
2mE
2
0
令
k2
2mE
2
k
2mE
2
x2
k 2
0
2
x2
k 2
0
与简谐运动方程
d2x dt 2
用波函数来描述微观粒子的运动
经典波的波函数:
机械波 y(x,t) Acos 2π( t x )
p 2x
2m(U0 E)
粒子进入该区域的速度为
xpx 2
v v p 2(U0 E)
m
m
则粒子进入的时间不确定度为
x
m
t
v 2 2m(U0 E) 2(U0 E) 4(U0 E)
根据能量-时间的不确定关系，粒子能量的不确定度为
E 2t 2(U0 E)
En
pn2 2m
,
k
n
a
x0 a 2
16E1
9E1 4E1 E1
ax
粒子的德布罗意波长
k n
n
h pn
2a n
2
k
a
, n 1, 2,...
波长也是量子化的，为势阱宽度2倍的整数分之一
n与两端固定弦的驻波波 长形式相同（见P158式n=2L/n）
n
n (x) 2
En
L
4 a 2
1 2L 1 2
2.无限深方势阱中粒子的波函数
一维定态薛定谔方程
2
2m
2
x2
U x
E
势阱外：x<0，x>a区域(边界条件)，U=∞，不会有粒子
存在，则
0 , x 0, x a
势阱内：0≤x≤a区域，U=0，则有方程
2
x2
2mE
2
0
令
k2
2mE
2
k
2mE
2
x2
k 2
0
2
x2
k 2
0
与简谐运动方程
d2x dt 2
用波函数来描述微观粒子的运动
经典波的波函数:
机械波 y(x,t) Acos 2π( t x )
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e
i En t
n n
2 nπ n sin x a a
i Ent ( x )e
i Ent e
0 x a , x 0
5. 概率密度
* *
( n 1,2,3,) 0 x a 是以x = 0 和x = a为 节点的一系列驻波解。
U0
Ψ1
Ψ2 Ψ3
隧道效应
E
Ⅰ区
0Ⅱ区a
Ⅲ区
x
★ 如何理解？
经典物理：从能量守恒的角度看是不可能的
p2 量子物理：粒子有波动性遵从不确 经典: E 2m 定原理只要势垒宽度x = a不是无 2 p p 限大粒子能量就有不确定量E 量子: E 2m x = a很小时 P和E很大 E U0 E
量子力学解题的一般思路： 1.由粒子运动的实际情况
正确地写出势函数 U(x)
2.代入定态薛定谔方程
3.解方程
4.解出能量本征值和相应的本征函数
5.求出概率密度分布及其他力学量
§ 2 无限深方势阱中的粒子 一、一维无限深方形势阱 势函数
0 (0 x a ) U ( x) ( x 0 , x a )
第27章
薛定谔方程
薛定谔 Erwin Schrodinger 奥地利人 1887-1961 创立量子力学 获1933年诺贝尔物理学奖
目
§1 薛定谔方程
录
§2 无限深方势阱中的粒子 Δ §3 量子隧穿效应 Δ §4 一维谐振子 • 有了德布洛意提出的物质波， 就应有一 个与之对应波动方程。薛定谔对此提出了一 个波方程，这就是后来在量子力学中著名的 薛定谔方程。
U(x)
n很大
n
2
E2 E1 E0
0
2
2
1 2 0
2
符合不确定关系 概率分布特点:
x
E < U 区有隧道效应
一、自由粒子的薛定谔方程 由自由粒子波函数
i ( Et px) Ψ( x, t ) Ψ e 0
( x , t ) 微分，得 i E ( x, t ) t 2 2 p ( x,t) p Ψ ( x , t ) i x ( x,t) 2 Ψ( x, t ) 2 x x 由非相对论粒子能量动量关系式，如自由粒子
x0
处应
已有A=0，要求 即
B 0，只能 sinka 等于零
(n 1,2,3,) 又
2 2
ka nπ,
k2
π 2 能量为：En n 2 2ma
2mE 2
(n 1,2,3,)
讨论
π 2 能量：En n 2 2ma
能量量子化
2 2
(n 1,2,3,)
通解为
(x ) A cos kx B sin kx
3. 由波函数的标准化条件定特解
单值、有限条件已满足；由连续条件定特解：
(0) 0 A 0 解的形式成为 ( x ) B sin kx (2) x a ( a ) 0 Bsin ka 0
(1)
2 2 2 2 2 推广到三维： x 2 x 2 y 2 z 2
P2 E U (x , t ) 2m
一般的薛定谔方程：
▽
( r , t ) 2 2 i U ( r , t ) ( r , t ) t 2m
“扫描隧道绘画”
CO分子竖 在铂片上 分子人高 5nm
一氧化碳“分子人”
“原子和分子的观察与操纵” -- 白春礼 P.151 图7-8
用STM得到的神经细胞象 硅表面STM扫描图象
§4 谐振子
谐振子不仅是经典物理的重要模型,也是量子物理 的重要模型,如固体中原子的振动即可用此模型。
1 2 1 1. 势函数 U ( x ) kx m 2 x 2 2 2 m 振子质量， 固有频率，x 位移 2. 定态薛定谔方程
p2 E＝ 2m
Ψ Ψ 得 i 2 2 m x t
2 2
这就是一维自由粒子(无势场)的薛定谔方程。
？推广到粒子在势场U(x, t) 中运动
三、定态薛定谔方程 用分离变量法： 当势能与时间无关， 即U U ( r )时， 将波函数写成 ( r , t ) ( r ) f ( t )
2 ψ Uψ E ψ 2m
数学上：E 不论取何值，方程都有解。 物理上：E只有取一些特定值,才能使方程的解 满足波函数的物理条件（单值、有限、连续）。
2
•这些特定的E值称为能量本征值
•各E值对应的 E ( r )
叫能量本征函数 本征波
函数 •故该方程又称为：能量本征值方程 i Et •定态波函数: E (r , t ) E (r ) f (t ) C E (r ) e
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在 量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是 一样的。 同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基 本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确 性也只能靠实验来检验。
一、自由粒子的薛定谔方程 由自由粒子波函数
i ( Et px) Ψ( x, t ) Ψ e 0
U0
E
U ( x)
0, x 0, x a
U0 , 0 x a
U0
Ψ1 Ψ2
o
E U0
a x
两块金属或半导体接触处势能隆起，形成势垒
粒子从x = - 处以确定能量E入射
2.隧道效应 从势垒左方 射入的粒子， 在各区域内的 波函数：
Ψ3
隧道效应
E
Ⅰ区
0 Ⅱ区 a Ⅲ区
x
粒子的能量虽不足以超 越势垒 ,但在势垒中似乎有 一个隧道,能使少量粒子穿 过而进入 x a 的区域 , 所以形象地称之为势垒穿透 或隧道效应 。
U= U(x)=0 U=
0
a
x
粒子在0 < x < a范围内自由运动，但不能到达x 0或x a范围。
是实际情况的极端化和简化
U( x )
例：金属内部自由电 子的运动。
U( x ) 0
方势阱
2 二、薛定谔方程和波函数 2 U (r ) 2m ( r ) E( r ) 1. 定态薛定谔方程
2
2 得 B a
于是，波函数(空间部分)
2 nπ 阱内 n ( x ) sin x a a
0
B sin
kxdx 1
( n 1,2,3, ) 0 x a
阱外 ( x ) 0空间、时间部分)
考虑到振动因子
( x, y, z, t ) ( x, y, z ) f (t )
代入薛定谔方程可得：
2
i Et f (t ) e
振动因子
2 ψ Uψ E ψ 2m
该方程不含时间，称为定态薛定谔方程。 定态波函数 Ψ ( x, y, z, t ) ψ
i Et ( x, y, z) e
1 ) 粒子能量只能取特定的分立值 (能级)
2 )最低能量不为零
波粒二象性的必然结果 零点能
π2 2 E1 2 2ma
3 )当n趋于无穷时 能量趋于连续
(3)定常数 B
•由波函数的归一化性质
* ( x ) ( x )dx 1 a
nπ k a
a 2 0
(n 1,2,3,)
2 2 d 阱外： ( x ) E ( x ) 2 2 m dx 2 2 阱内： d 2 ( x ) E ( x ) 2m dx
2. 求通解 阱外: 根据波函数有限 ( x ) 0 x a , x 0 2mE 2 阱内: 令 k 2 则： ( x ) k 2 (x ) 0 其通解为 (x ) A cos kx B sin kx
平均每个字的面积仅百万分之一平方厘米 “原子和分子的观察与操纵” -- 白春礼 插页彩图13
1991年 恩格勒等用STM在镍单晶表面遂个移 动氙原子拚成了字母IBM，每个字母长5纳米，
镶嵌了48个Fe原子的Cu表面的STM照片
48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波。 Fe原子间距：0.95 nm， 圆圈平均半径：7.13 nm
通过扫描可观 测固体表面的 微观结构. 探 针头还可吸附 并搬动原子， 形成人工微结 构.
1986年获诺贝尔物理学奖
显示器
压电 控制 隧道 电流
加电压 反馈传感 器 参考信号
扫描隧道显微镜示意图
某种型号的扫描隧道显微镜
原子搬迁：操纵原子不是梦
“原子书法”
硅单晶 表面直 接提走 硅原子 形成2 纳米的 线条 1994年中国科学院科学家“写”出的
d 2 ψ 2m 1 2 x 2 )ψ ( x ) 0 ( E m ω 2 d x2 2
3. 能量本征值
1 1 En (n )ω (n )hν 2 2
(n 0,1,2,)
4.能量特点：
(1)量子化 等间 距 E h En (2)有零点能
1 E0 ω 0 2
波函数的物理条件 用来描写实物粒子的波函数应满足的物理条件 1.标准条件：单值、有限、连续 因为，粒子的概率在任何地方只能有一个值； 不可能无限大；不可能在某处发生突变。 2.归一化条件 粒子在空间各点的概率总和应为l
*在量子力学中用 薛定谔方程式加上波函数的物理条件 求解微观粒子在一定的势场中的运动问题 (求波函数，状态能量， 概率密度 等)
( x , t ) 微分，得 i E ( x, t ) t 2 2 p ( x,t) p Ψ ( x , t ) i x ( x,t) 2 Ψ( x, t ) 2 x x 由非相对论粒子能量动量关系式，如自由粒子