薛定谔方程的应用
1-4-薛定谔方程应用举例
第一讲第讲主要内容振动和波动量子力学的诞生量子力学的基本原理薛定谔方程应用举例1薛定谔方程的应用举例定态薛定谔方程无限深方势阱中的粒子方势垒的穿透一维谐振子2薛定谔方程的应用举例定态薛定谔方程无限深方势阱中的粒子方势垒的穿透一维谐振子6一维无限深势阱中粒子能级有如下特点：维无限深势阱中粒子能级有如下特点：z能级量子化。
量子力学的普遍规律，束缚态（E <V 0）能级量离子化（离散的，非连续的）。
量子化能量的值要取决于束缚势能的具体情况。
值得指出的是，束缚粒子存在量子化这一事实，可简单和直接的由满足薛定谔方程的波函数应用边界条件就得到了。
z粒子的最低能级，这与经典粒子不同。
这是微观粒子波性的表静的波是有意的从02/2221≠=ma E πh 这是微观粒子波动性的表现，静止的波是没有意义的。
从不确定度关系也可以给予粗略的说明。
211zE ∝n ,能级分布是不均匀的。
CdSe量子点的吸收边和发射峰显著依赖尺寸大小。
可应用于：•生物标记•LED照明•平板显示•太阳能电池12薛定谔方程的应用举例定态薛定谔方程一维自由粒子无限深方势阱中的粒子方势垒的穿透一维谐振子13扫描隧道显微镜20薛定谔方程的应用举例定态薛定谔方程一维自由粒子无限深方势阱中的粒子方势垒的穿透一维谐振子21谐振子能量本征值ωh ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=21n E n ( n = 0,1,2, … )m ω=βz为系统的本征角频率z束缚态，能级量子化。
图1.12 线性谐振子的势能曲线及本征值最低几条能级上的谐振子能量本征函数：122α谐本)(x n ψ)(x n ψ)2exp()(4/10x x απψ−=)21exp(2)(224/11x x x ααπαψ−=1exp(1212222x x x ααα−−=)2p()(2)(4/12πψ29)21exp()132(3)(22224/13x x x x αααπαψ−−=2⏐ψn (x )⏐图1.16 n =10时线性谐振子的几率密度z 实线表示量子谐振子位置概率分布，虚线为经典谐振子的概率分布。
薛定谔方程及其应用
x
y ( x, t ) Re[ Ae
]
1
2、量子力学波函数（复函数） 自由粒子是不受外力作用的粒子，它在运动 过程中作匀速直线运动（设沿X轴），其能量和 动量保持不变。 E h , 对应的德布罗意波的频率和波长： h P 结论：自由粒子的物质波是单色平面波。
波函数为：
对三维空间，沿矢径 r 方向传播的自由粒子的
粒子在0到a/2区域内出现的概率
8
二、薛定谔方程
9
经典力学中，已知力 F 及 x0、 υ 0，可由牛顿方 程求质点任意时刻状态。 在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来 描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。
当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后 时刻粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。
2
方程（1）的解为： f ( t ) ce
i Et
Et
（c为任一常数） 将 f ( t ) ce 代入 ( r , t ) ( r ) f ( t ) ， 并把常数包含在 ( r ) 中，这样 就得到薛定谔方程的特解为：
定态薛定谔方程
( r , t ) ( r )e
0 (0 x a ) U ( x) ( x 0 , x a )
U ( x )
d U E 2 2m dx
2 2
2 d 2 E 2 2m dx
须有
U(x)
0
( x) 0
0 a
边界条件：
(0) (a ) 0
13
若粒子不是在一维空间而是在三维空间的势场 中运动，则其薛定谔方程为：
2 2 2 2 ( r , t ) ( r , t ) ( r , t ) ( r , t ) i [ ] 2 2 2 t 2m x y z U ( r , t ) ( r , t ) ⑥
薛定谔方程及其在量子物理中的应用
薛定谔方程及其在量子物理中的应用量子物理是一门研究微观世界的科学，它描述了微观粒子的行为和性质。
在量子物理中，薛定谔方程是一个非常重要的数学工具，它被用来描述量子系统的演化和态函数的变化。
本文将介绍薛定谔方程的基本原理以及它在量子物理中的应用。
薛定谔方程由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，它是一种描述量子系统的波动方程。
薛定谔方程的基本形式为：iħ∂ψ/∂t = Ĥψ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数的约化常数，t是时间，ψ是系统的波函数，Ĥ是系统的哈密顿算符。
薛定谔方程是一个偏微分方程，它描述了波函数随时间的演化规律。
薛定谔方程的解决了经典物理学无法解释的一系列现象，例如电子在原子中的行为、粒子的干涉和衍射等。
在量子力学中，波函数是描述粒子状态的数学对象，它包含了粒子的位置、动量和能量等信息。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到系统的波函数，从而了解系统的性质和行为。
薛定谔方程在量子物理中的应用非常广泛。
首先，它被用来解释原子和分子的结构。
根据薛定谔方程，我们可以计算出原子和分子的能级和波函数，从而推导出它们的光谱特性和化学性质。
此外，薛定谔方程还被用来研究固体材料的电子结构和导电性质，为材料科学和电子器件的设计提供了理论基础。
其次，薛定谔方程在粒子物理学中也有重要应用。
量子场论是描述基本粒子的理论框架，其中的场满足薛定谔方程。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到场的模式和激发态，从而计算出粒子的质量、自旋和相互作用等性质。
薛定谔方程还被用来研究粒子的散射和衰变等过程，为粒子物理实验的解释提供了理论依据。
此外，薛定谔方程还在量子计算和量子通信等领域有着重要应用。
量子计算利用量子叠加和量子纠缠的特性，可以实现比经典计算更高效的算法。
薛定谔方程提供了描述量子比特演化的数学工具，为量子计算的设计和优化提供了理论基础。
量子通信利用量子纠缠的特性，可以实现更安全和更快速的通信方式。
薛定谔方程被用来描述量子纠缠的产生和传输，为量子通信技术的发展提供了理论支持。
薛定谔方程是干嘛的
薛定谔方程是干嘛的薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一，描述了波粒二象性粒子（如电子、原子等）的运动和行为。
这个方程是由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出的，为量子力学的发展奠定了基础。
薛定谔方程的提出，革命性地改变了我们对微观粒子运动的理解。
它不仅揭示了微观世界的奇特规律，也在许多领域中有着广泛的应用。
描述粒子的波函数薛定谔方程的核心是描述粒子运动的波函数。
波函数是关于时间和空间的函数，可以用来描述粒子在不同位置和不同时间的概率分布。
波函数的平方模的值表示了在某个位置观测到粒子的概率。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子的波函数，从而了解粒子在空间中的行为。
揭示粒子的量子行为薛定谔方程的解揭示了微观粒子的量子行为。
根据薛定谔方程，对于一个束缚在势场中的粒子（如原子），其波函数具有离散的能量量子态。
这意味着粒子只能取得特定的能量值，而不能连续地变化。
这个现象被称为能级分立。
薛定谔方程通过粒子波函数的解，成功地解释了许多实验现象，如光谱的量子化、原子的稳定性等。
预测粒子的行为薛定谔方程不仅可以用来描述粒子的静态性质，还可以预测粒子在不同条件下的动态行为。
通过对薛定谔方程进行数值解，可以获得粒子在时间演化过程中的波函数变化。
进一步，可以计算出粒子的期望位置、动量等物理量的变化情况。
这为研究粒子的运动规律提供了重要工具和方法。
应用于材料科学和化学领域薛定谔方程在材料科学和化学领域中有着重要的应用。
它能够解释材料中的电子结构和性质，为材料设计和性能优化提供理论依据。
例如，通过求解薛定谔方程，可以预测和解释材料的带隙、导电性等电子性质，从而指导新材料的开发。
在化学反应研究中，薛定谔方程的数值解还能提供反应速率常数、反应途径等重要信息，对于理解和控制化学反应过程至关重要。
推动物理学和科学的进步薛定谔方程的提出，极大地推动了物理学和科学的发展。
它不仅改变了我们对粒子运动和行为的认知，也催生了量子力学这一全新的物理学分支。
薛定谔方程在量子力学中的应用
薛定谔方程在量子力学中的应用量子力学是一门研究微观粒子行为的科学，而薛定谔方程则是量子力学的核心方程之一。
薛定谔方程由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，它描述了微观粒子在量子体系中的运动规律。
薛定谔方程的应用涵盖了各个领域，从原子物理到凝聚态物理，从量子化学到量子计算等等。
本文将从几个方面介绍薛定谔方程在量子力学中的应用。
首先，薛定谔方程在原子物理中起着至关重要的作用。
原子是由原子核和绕核运动的电子组成的，而薛定谔方程可以描述电子在原子中的运动。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到电子的波函数，从而了解电子在原子中的分布情况和能级结构。
这对于理解原子的化学性质和物理性质非常重要。
例如，通过求解薛定谔方程，我们可以得到氢原子的波函数，从而解释氢原子的光谱线和能级跃迁现象。
其次，薛定谔方程在凝聚态物理中也有广泛的应用。
凝聚态物理研究的是大量粒子的集体行为，如固体、液体和气体等。
薛定谔方程可以描述凝聚态物质中的电子、声子等粒子的运动。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到凝聚态物质的能带结构和电子态密度等信息，从而解释材料的电导性、磁性和光学性质等。
此外，薛定谔方程还可以用来研究凝聚态物质中的超导性和量子霍尔效应等现象。
薛定谔方程在量子化学中也发挥着重要的作用。
量子化学是研究分子和化学反应的量子力学方法。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到分子的波函数和能级结构，从而计算出分子的性质和反应动力学。
薛定谔方程的应用使得我们能够预测和解释分子的光谱、化学键的形成和断裂、反应速率等。
这对于药物设计、催化剂设计和材料科学等领域具有重要意义。
最后，薛定谔方程在量子计算中也有着重要的应用。
量子计算是利用量子力学的特性进行计算的一种新型计算方法。
薛定谔方程可以描述量子比特的运动和相互作用，从而实现量子计算。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到量子比特的波函数演化和量子门操作，从而进行量子计算。
薛定谔方程的应用使得我们能够解决一些传统计算方法难以解决的问题，如因子分解和优化问题等。
薛定谔方程的应用
n 1,2,3...0 x a
待定系数是由边值条件和归一化条件所决定，与机械波中完 全由初始条件决定所不同,这就体现了物质波是概率波的特点。
5
2 、方程解的物理意义
nx
2 sin n x
aa
n 1,2,3...
1)处在势阱中的微观粒子，其德布罗意波只能是驻波。
这是因为在阱壁处（即 x=0,x=a处）其Ψ(x)=0 ，只能是 波节，因此物质波在阱内运动要能够稳定下来，其在阱壁两端 来回反射,必定形成德布罗意驻波。
2) 最低能量 (零点能) ——波动性
22
E1 2ma2 0
9
n 不能取 0 ，如 n=0 ，则意味着Ψ（ x ）＝ 0 ，即在方 势阱中到处找不到粒子,这显然是没有意义的。
nx
2 sin n x
aa
n 1,2,3...
n ＝ 1 时，称基态能级（零点能）。基态能不为零，是经典
物理不能解释的。
3) 能级间距
E
En1
En
(2n 1)
2 2
2ma 2
(2n 1)E1
可看出，能级间距与粒子质量和阱宽的平方成反比。
对于微观粒子,若限制在原子尺度内运动时，ћ2~ma2，即阱宽 很小时，则能量的量子化是很显著的,因此必须考虑粒子的量子 性;
但即使是微观粒子，若其在自由空间运动 (相当于阱宽无穷
大) ，其能级间距就非常小,则可认为能量的变化是连续的;
一、一维无限深势阱
1 、一维无限深势阱薛定谔方程
U(x)
U(x)
1 ）势函数
0
a
x
阱内: （0＜x＜a) U x 0
阱外: (x<0 & x>a) U x
薛定谔方程可以解释的生活中的问题
薛定谔方程（Schrödinger equation）是量子力学中的基本方程之一，它描述了微观粒子的运动和行为。
虽然其理论极其复杂，但薛定谔方程却可以被用来解释生活中许多奇妙的现象和问题。
本文将围绕薛定谔方程可以解释的生活中的问题展开讨论，以帮助读者更好地理解这一基础物理理论在日常生活中的应用。
一、量子隧穿效应薛定谔方程首次揭示了量子隧穿效应（quantum tunneling effect），即微观粒子可以在经典力学下无法穿越的势垒的情况下通过反常的方式穿越而无需克服这一势垒。
这一效应在生活中有很多应用，例如：1. 在隧道二极管中，量子隧穿效应使电子得以“穿越”势垒，从而帮助二极管正常工作；2. 核聚变反应中，负电子穿越核力垒，帮助实现核聚变；3. 化学反应中的“反常”速率，有时是由于量子隧穿效应引起的。
二、量子纠缠薛定谔方程还描述了量子纠缠现象，即使两个空间分隔较远的粒子，它们的状态仍然会同时发生变化，这种现象被爱因斯坦称为“一种鬼魅的行为”。
量子纠缠的出现在生活中也有许多实际应用：1. 量子计算机中，利用量子纠缠可以实现超越经典计算机的运算速度和处理能力；2. 量子密钥分发技术中的安全传输，依赖于量子纠缠的特性来保证信息的安全传输；3. 量子纠缠还被应用于实现远距离的量子通信，实现了远距离的量子纠缠态转移。
三、量子力学与生活除了上面提到的具体现象外，薛定谔方程的一些概念和原理也对我们日常生活产生了深远的影响：1. 不确定性原理：薛定谔方程提出了不确定性原理，即无法同时准确地确定微观粒子的位置和动量，这一概念改变了人们对于现实世界的理解，并且在科学研究和生活中也有很多应用；2. 双缝实验：薛定谔方程对光子和电子的双缝干涉实验提出了解释，这一实验揭示了微粒子的波粒二象性，为光学技术和电子技术的发展做出了重要贡献；3. 量子力学的数学形式和基本原理也为信息技术、纳米技术、光学技术等领域的发展提供了理论基础。
薛定谔方程及其在量子力学中的应用
薛定谔方程及其在量子力学中的应用量子力学是一门研究微观世界的科学，它描述了微观粒子的行为和性质。
薛定谔方程是量子力学的基石之一，它由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，是描述微观粒子的波函数随时间演化的数学方程。
薛定谔方程的形式为：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m∇²Ψ + VΨ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数的约化常数（ħ=h/2π，h为普朗克常数），Ψ是波函数，t是时间，m是粒子的质量，∇²是拉普拉斯算符，V是势能。
薛定谔方程描述了波函数随时间的演化，通过求解薛定谔方程，我们可以得到波函数的时间演化规律，从而了解微观粒子的行为和性质。
薛定谔方程在量子力学中有广泛的应用。
首先，它可以用来描述粒子的定态和非定态。
定态是指粒子的能量和其他性质都是确定的状态，非定态是指粒子的能量和其他性质都不是确定的状态。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子的定态波函数，从而得到粒子的能量和其他性质。
而非定态波函数则描述了粒子的能量和其他性质在不同状态之间的转变。
其次，薛定谔方程还可以用来解释粒子的波粒二象性。
根据薛定谔方程，波函数Ψ可以表示粒子的概率幅，即波函数的模的平方|Ψ|²表示在某个位置上找到粒子的概率。
这就是波粒二象性，即微观粒子既具有粒子性又具有波动性。
薛定谔方程还可以用来解释量子力学中的量子纠缠现象。
量子纠缠是指两个或多个粒子之间存在着一种特殊的关系，它们的状态是相互依赖的，无论它们之间的距离有多远。
薛定谔方程可以描述量子纠缠现象，通过求解薛定谔方程，我们可以得到纠缠态的波函数，从而了解量子纠缠的本质和特性。
此外，薛定谔方程还可以应用于量子力学中的量子力学力学中的研究。
量子力学力学是一种研究微观粒子运动规律的方法，它可以通过求解薛定谔方程得到粒子的运动轨迹和动力学性质。
总之，薛定谔方程是量子力学的基础方程之一，它描述了微观粒子的波函数随时间演化的规律。
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Hn
&
)
H
' n
dH n d
Hn1 ( ) 2H n ( ) 2nHn1( )
(1.5.6)
由上面的递推公式，可得到厄米多项式的具体地推表达式：
H ( ) 1 0
H ( ) 2 1
H ( ) 4 2 2 2
H ( ) 8 3 12 3
...
(1.5.6)
所求的的一维谐振子的能量本征值为：
此本征值能量称为零点能,是无限深势阱内粒子所具有的最低 能量.
经典理论中粒子的能量可以为零，量子理论认为势阱中的粒子 能量不可能为零。
这是由测不准关系决定的!
•粒子势阱中各处出现的几率
n(x)
2 a
sin(na
x)
En n ( x)
n4
n+1个节点
n x 2
稳定的驻波能级！
E4
4(x)
2 a
sin
(x) 2 dx 1
A2
a
sin 2
n
xdx
1
0
a
由
a
b
sin
m
a
x* sin
n
a
xdx
a
2
mn
A 2 a
2 (x)
2 sin n x
aa
k2
2mE 2
En
22
2ma2
n2
(n 1,2,3,)
可见E是量子化的。
对应于 En 的归一化的定态波函数为
n
(
x,
t
)
2
sin
n
xe ,
nd
(
-
0
2 sin m x)(
aa
2 sin n x)dx
aa
a
0
1 [cos (m a
n)
a
x
cos (m
n)
a
]dx
1
(m n)
(mn) cosudu 0
1
(m n)
(mn)
0
cos v dv
0
所以，不同能级的波函数是正交的。如果把波函 数的正交性和归一性表示在一起，可写为
m * nd mn
4
a
x
a 8
3a 8
5a 7a 88
E3
n3
3(x)
2 a
sin
3
a
x
a 6
a 2
5a 6
E2
n2
2(x)
2 a
sin
2
a
x
a
4
3a 4
E1
0
n 1
a
1(x)
x
2 a
sina
x
0
a/2
aX
说明：1）粒子被限制在势阱中，它的状态称为束缚态， 从物理意义上理解束缚定态方程 的解，是一些驻波。这 些驻波图形,形象地表示出处在某个能量状态的粒 子在 0 < x < a 范围内哪些地方出现粒子的几率最大、最小。
(x) Asin n x n 1.2.3
故波函数:
a
(x,t)
Asin
n
xe
i
Et
a
(x) Asin n x
故波函数:
a
(x,t) Asin
n 1.2.3
n
xe
i
Et
U
k2
2E
2
a
由归一化条件:
0 E ax
2 dx
a
0
(2x ) dx
A2 a 1
2
A
a
( Asin
U
U0
mE
3
x
U
(
x)
U 0
0
0xa x 0, x a
薛定谔方程：
x 0, x a 2 1( x) x 2
2mE 2
1(
x)
0(1)
0 x a 2 2( x) x 2
2m(
E
2
U
0
)
2(
x
)
0
对应的解：
U U0 mE
3
x
U
(
x)
U 0
0
0xa x 0, x a
对应的解：
1( x) Aeik1x Be ik1x 2( x) Ceik2x Deik2x 3( x) Geik1x
当势阱宽度a大到宏观的尺度， E很小，能量量子化不显著
可把能量看成连续，回到了经典理论
例. 电子在原子中，a=10-10m的势阱中，其能量为：En 38n2(eV)
En 76n(eV) ——量子化显著 若电子在a=10-2m的宏观势阱中 En 0.76n1014(eV)
——不可分辨，量子化消失
（2） 一维无限深方势阱中粒子特点：
• 粒子的能级图
En
n2
22
2ma2
(n1,2,)
E
(2n
1)
22 2ma 2
n, E
当 n 时
E 2n 1
0
En
n2
在高能级上可看成能级连续分布
玻尔的对应原理
量子
等价
经典
•势阱中电子最低能量不可能为零
最低能量状态称之为基态,对应于n=1的状态
En
n2
22 2a2
(n 1,2,)
22 E1 2a2 0
（2）束缚定态能级的高低，由驻波的半波数来定， 半波数越多(驻波波长越短)，对应粒子的能级越高。
（3）第 n 个能级,波函数在总区间内有 n+1个节点。 节点处找到粒子的几率为零.
例：n=8 0
a
（4）当 n，粒子在各处出现的几率相同
——量子化消失 （ En En能级连成一片）
二. 势垒穿透和隧道效应
在 0< x < a 的区域中，粒子的定态 薛方程为：0
d 2 (x)
d x2
2 E
2
(x)
0
令k 2
2E
2
d 2 (x) k 2 (x) 0
d x2
X
a
x
2 0
x
0
其通解为： (x) Asin kx B coskx
( x) Ceikx Deikx
(x) Asin(kx )
2m dx2
在各区域的具体形式为
，x 0 U (x) 0， 0 x a
，x a
Ⅰ： x 0
2 2m
d2 dx 2
1
(x)
U
(x)
1
(x)
E
1
(x)
①
Ⅱ0： x a
2 2m
d2 dx2
2
(x)
E
2
(
x)
②
Ⅲ： x a
2 2m
d2 dx 2
3
(x)
U
( x)
3
(x)
E
3
(x)
③
由于(1)、(3)方程中，由于 U (x) 要等式成立，必须
i
En t
aa
0 xa
0,
x 0, x a
例题2 证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数 具有下面的性质
*
1
2d
0
这种性质称为正交性，即不同能级的波函数是互相正交的。
解将m能级的波函数 m 取其复共轭
* ，与n能级的波函数
m
n 相乘并在粒子所能到达的整个空间（在此就是阱区内)
得：
a
m
2 (0) 1(0) ⑤
2 (a) 3 (a) ⑥
2 (0) 1(0) ⑤
2 (a) 3 (a) ⑥
⑤B0
⑥ Asin ka 0
2 (x) Asin kx B cos kx
A0
sin ka 0
ka n (n 1, 2, 3,)
∴
2 (x)
Asin
n
a
x
由归一化条件 (x) 2 dx 1
0
2 a
nx )2 dx
a
1
n(x)
2 sin n x
aa
本征能量En—— 本征函数
n (x)
2 a
sin
n
a
xe
i
Et
n 1.2.3
n (x)
2 sin n
xe
i
Et
a a n 1.2.3
粒子出现 的几率：
2
[ n (x)]2
2 sin 2 a
nx
a
能量公式：
k2
2E
2
k2
2mE 2
(r ,
t)
(r )e
i
Et
能量本征方程 动量本征方程
一维无限深势阱
1 一维无限深势阱中粒子的运动
（1） 求解. 设粒子处在势阱U(x)中
U(x)0 0 xa （定态问题） U(x) x0, xa
解:显然在 x 0, x a 的区域内
U(x)
(x) 0 (0) 0 (a) 0
( n
a
)2
k n
a
En
(n)2
22 2a2
n 1.2.3
一维无限深方势阱中粒子特点：
• 能量是量子化的 量子数 这是解薛方程的必然结果，
En
n2
22 2a2
(n
相邻两能级的间隔：
1,2,)
E (2n
1)
不是玻尔理论中的人为假设
22 n , E 2a2 a , E
当势阱宽度a小到原子的尺度， E 很大，能量的量子化显著