固体物理学 1-5-薛定谔方程应用举例II
1-4-薛定谔方程应用举例
第一讲第讲主要内容振动和波动量子力学的诞生量子力学的基本原理薛定谔方程应用举例1薛定谔方程的应用举例定态薛定谔方程无限深方势阱中的粒子方势垒的穿透一维谐振子2薛定谔方程的应用举例定态薛定谔方程无限深方势阱中的粒子方势垒的穿透一维谐振子6一维无限深势阱中粒子能级有如下特点：维无限深势阱中粒子能级有如下特点：z能级量子化。
量子力学的普遍规律，束缚态（E <V 0）能级量离子化（离散的，非连续的）。
量子化能量的值要取决于束缚势能的具体情况。
值得指出的是，束缚粒子存在量子化这一事实，可简单和直接的由满足薛定谔方程的波函数应用边界条件就得到了。
z粒子的最低能级，这与经典粒子不同。
这是微观粒子波性的表静的波是有意的从02/2221≠=ma E πh 这是微观粒子波动性的表现，静止的波是没有意义的。
从不确定度关系也可以给予粗略的说明。
211zE ∝n ,能级分布是不均匀的。
CdSe量子点的吸收边和发射峰显著依赖尺寸大小。
可应用于：•生物标记•LED照明•平板显示•太阳能电池12薛定谔方程的应用举例定态薛定谔方程一维自由粒子无限深方势阱中的粒子方势垒的穿透一维谐振子13扫描隧道显微镜20薛定谔方程的应用举例定态薛定谔方程一维自由粒子无限深方势阱中的粒子方势垒的穿透一维谐振子21谐振子能量本征值ωh ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=21n E n ( n = 0,1,2, … )m ω=βz为系统的本征角频率z束缚态，能级量子化。
图1.12 线性谐振子的势能曲线及本征值最低几条能级上的谐振子能量本征函数：122α谐本)(x n ψ)(x n ψ)2exp()(4/10x x απψ−=)21exp(2)(224/11x x x ααπαψ−=1exp(1212222x x x ααα−−=)2p()(2)(4/12πψ29)21exp()132(3)(22224/13x x x x αααπαψ−−=2⏐ψn (x )⏐图1.16 n =10时线性谐振子的几率密度z 实线表示量子谐振子位置概率分布，虚线为经典谐振子的概率分布。
薛定谔方程及其简单应用
75.5neV
当n>>1时，能量相对间隔
En En
21 nn
当
n 时
E E 量子化不显著。
n
n
经典物理可看成是
n 时量子物理的特殊情况。
H
26
a =102 m时：
E
n 2h 2 8ma 2
8n29(.61.61301310314)024
3.7 810 1n 52ev
显然电子在宏观尺度上运动时其能级差是很小的。
H
24
经典理论中，处于无限深方势阱中粒子
的能量为连续值，粒子在阱内运动不受限制， 各处概率相等。
| |2
n4
随着能级的升高，几率密度的峰值增多，
当
时，粒子在势阱内各处出现的概率
n 相等，量子力学的结果过渡到经典力学的情
况。
n3 n2
0
a/2
n1 a
从以上分析可知：对于无限深势阱来说，粒子只能在势阱U=0的区域能运 动。。
2 m 2d2d 32 (x x)E 3(x), xa
aa
n 很大时，相邻波腹靠得很近，接近经典 力学各处概率相同。
H
3x
E3
2x
E2
1x E 1
o
n+1个
x a节点
稳定的驻波能级23
一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度
n4
| |2
4
16E1
3
n3
9E1
n2
n1 0
a/2
2
1 a0
a/2
4E1 E1 a Ep 0
对于不同的量子数，在阱内某一特定的点，粒子出现的几率是不同的。
粒 r 处 子 的 在 2 （ 几 r ,t) （ *r ,t 率 )
【大学物理】第二讲 薛定谔方程
一、薛定谔方程的建立
1、自由粒子的薛定谔方程
自由粒子平面波函数方程
i 2 ( Et px)
(x,t) 0e h
对x取二阶偏导数 对t取一阶偏导数 由于 E p2 可得
2m
2 p2
x2
2
i E
t
2 2
2m
x2
i
一维自由粒子含时 的薛定谔方程
t
2、在势场中粒子的薛定谔方程 势场中粒子的总能量 E p2 U (x，t)
代入薛定谔方程，采用分离变量，得到:
2
2m
2
(x,
y,
z)
U (x,
y,
z)
( x,
y,
z)
1 (x, y,
z)
i f (t) 1 t f (t)
令等式两端等于同一常数
i f (t) 1 E t f (t)
2
2m
2
(x,
y,
z)
U (x, y,
i Et
z)
(x,
y,
z)
1 (x, y,
a
Ep
o ax
(x) Asin nπ x
a
归一化条件
2
dx
0a
*dx
1
A2 a sin2 0
nπ a
xdx
1
A 2 a
(x) 2 sin n π x, (0 x a)
aa
波函数
(x)
0, (x 0, x a)
2 sin n π x, (0 x a) aa
讨论： （1） 粒子能量量子化
aa
例如，当 n =1时， 粒子在 x = a /2处出 现的概率最大。
薛定谔方程及简单应用
d2
d x2
k22
0
(0 x a)
1
A1eik1x
B eik1x 1
(x 0)
通解：
2
A2eik 2 x
B eik2x 2
(0 x a)
乘e
i
Et
3 A3eik1x B3eik1x ( x a)
第一项： 向x方向传播的波
[例
A e ] i
(
k1
x
E
t
)
1
第二项： 向-x方向传播的波
入射波+反射波
U0 透射波
o
a
x
隧道效应： 总能量E小于势垒高度U0的粒子也 有可能贯穿势垒，到达另侧
贯穿系数：
T |
2
| e 3 xa
2a 2m(U0 E )
|1 |2x0
a
T
U0
应用举例
1. 解释放射性 衰变
E
4 He
4 He 的 结 合 能 比 较 大 ， 核 内两 个 质 子 和 两 个 中 子
1. 写出具体问题中势函数U(r)的形式代入方程 2. 用分离变量法求解
3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数 只有E取某些特定值时才有解
本征值
本征函数
4. 讨论解的物理意义，
即求| |2，得出粒子在空间的概率分布。
一、一维无限深势阱
模型的建立：微观粒子被局限于某区域中，并在该
区域内可以自由运动的问题 简化模型。
0
0a
a
n=1
x
o a/4
a
a
42 a sin2 x d( x)
0a
aa
a
2
薛定谔方程可以解释的生活中的问题
薛定谔方程（Schrödinger equation）是量子力学中的基本方程之一，它描述了微观粒子的运动和行为。
虽然其理论极其复杂，但薛定谔方程却可以被用来解释生活中许多奇妙的现象和问题。
本文将围绕薛定谔方程可以解释的生活中的问题展开讨论，以帮助读者更好地理解这一基础物理理论在日常生活中的应用。
一、量子隧穿效应薛定谔方程首次揭示了量子隧穿效应（quantum tunneling effect），即微观粒子可以在经典力学下无法穿越的势垒的情况下通过反常的方式穿越而无需克服这一势垒。
这一效应在生活中有很多应用，例如：1. 在隧道二极管中，量子隧穿效应使电子得以“穿越”势垒，从而帮助二极管正常工作；2. 核聚变反应中，负电子穿越核力垒，帮助实现核聚变；3. 化学反应中的“反常”速率，有时是由于量子隧穿效应引起的。
二、量子纠缠薛定谔方程还描述了量子纠缠现象，即使两个空间分隔较远的粒子，它们的状态仍然会同时发生变化，这种现象被爱因斯坦称为“一种鬼魅的行为”。
量子纠缠的出现在生活中也有许多实际应用：1. 量子计算机中，利用量子纠缠可以实现超越经典计算机的运算速度和处理能力；2. 量子密钥分发技术中的安全传输，依赖于量子纠缠的特性来保证信息的安全传输；3. 量子纠缠还被应用于实现远距离的量子通信，实现了远距离的量子纠缠态转移。
三、量子力学与生活除了上面提到的具体现象外，薛定谔方程的一些概念和原理也对我们日常生活产生了深远的影响：1. 不确定性原理：薛定谔方程提出了不确定性原理，即无法同时准确地确定微观粒子的位置和动量，这一概念改变了人们对于现实世界的理解，并且在科学研究和生活中也有很多应用；2. 双缝实验：薛定谔方程对光子和电子的双缝干涉实验提出了解释，这一实验揭示了微粒子的波粒二象性，为光学技术和电子技术的发展做出了重要贡献；3. 量子力学的数学形式和基本原理也为信息技术、纳米技术、光学技术等领域的发展提供了理论基础。
20 第二十讲 波函数与薜定谔方程、薜定谔方程应用举例
2.粒子在势阱中的概率分布 ◆概率分布不均匀，具有量 子化效应。 ★在两端出现的概率为零。 ★概率密度峰值的个数随n 的增大而增多，峰值间距随 之缩小。 ★ n→∞，峰值个数也为无 穷，峰值间距趋于零，概率 密度几乎各处均等，过渡到 经典理论的结果。
2 2 nπ x ρ = ψ = sin a a
概率密度： ρ ( x, t ) = ψ ( x, t )
2
在区间(-b/2, b/2) 以外找不到粒子。
( x < −b / 2, x > b / 2) ⎧0 ⎪ ρ ( x, t ) = ⎨ 2 2 π x ⎪ b cos ( b ) (−b / 2 ≤ x ≤ b / 2) ⎩
7
§26-3 薛定谔方程
0
E
a
x
ψ ( x ) = A sin( kx + ϕ )
13
ψ ( x ) = A sin( kx + ϕ )
由边界条件和归一化条件来确定待定常数ϕ 和 A:
ψ (0) = A sin ϕ = 0
ka = nπ
ϕ =0
ψ (a) = A sin(ka + ϕ ) = A sin ka = 0
nπ k= , a
29
扫描隧道显微镜
◎扫描隧道显微镜（STM）是20世纪80年代初期出现 的一种新型表面分析工具。其基本原理是基于量子力 学的隧道效应和三维扫描。 ◎它是用一个极细的尖针（针尖头部为单个原子）去 接近样品表面，当针尖和样品表面靠得很近，小于1纳 米时，针尖头部的原子和样品表面原子的电子云发生 重叠。此时若在针尖和样品之间加一个偏压，电子便 会穿过针尖和样品之间的势垒而形成纳安级（10-9A） 的隧道电流。通过控制针尖与样品表面间距的恒定， 并使针尖沿表面进行精确的三维移动，就可将表面形 貌和表面电子态等有关表面信息记录下来。
薛定谔方程及其应用
薛定谔方程及其应用薛定谔方程是量子力学的基础方程之一，描述了微观粒子的行为和性质。
它由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出，被广泛应用于原子物理、分子物理、凝聚态物理等领域。
本文将介绍薛定谔方程的基本原理以及其在量子力学研究和实际应用中的重要性。
薛定谔方程是描述量子力学体系中粒子的波动性质的基本方程。
它的一般形式为：iħ∂Ψ/∂t = ĤΨ其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，Ψ是波函数，t是时间，Ĥ是哈密顿算符。
薛定谔方程是一个偏微分方程，描述了波函数随时间的演化规律。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子的波函数，从而计算出粒子的能量、动量、位置等物理量。
薛定谔方程的解可以用波函数表示，波函数的模的平方表示了粒子存在于不同位置的概率。
波函数的具体形式取决于体系的边界条件和势能场。
对于自由粒子，波函数可以用平面波表示；对于束缚态，波函数则由边界条件和势能场决定。
薛定谔方程的解可以通过数值计算或近似方法求得。
薛定谔方程在量子力学的研究中起着重要的作用。
它可以用来描述原子和分子的电子结构，解释化学反应的机理，预测材料的性质等。
在原子物理中，薛定谔方程被用来计算原子的能级和光谱线；在分子物理中，薛定谔方程可以用来研究分子的振动和转动；在凝聚态物理中，薛定谔方程被用来描述电子在晶体中的行为和导电性质。
除了用于研究基本粒子和物质的性质，薛定谔方程还被应用于量子计算和量子通信等领域。
量子计算是一种基于量子力学原理的新型计算方法，利用量子叠加和量子纠缠的特性，可以在某些情况下比传统计算方法更高效。
薛定谔方程提供了描述量子比特（qubit）行为的数学工具，为量子计算的实现提供了理论基础。
此外，薛定谔方程还被应用于量子力学中的一些基本现象的研究，如量子隧穿效应、量子干涉和量子纠缠等。
这些现象在实验室中已经得到了验证，并且在量子信息科学和量子技术的发展中发挥着重要作用。
总之，薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，描述了微观粒子的波动性质。
第3章薛定谔方程及应用简例1(薛定谔方程)
2
∂ ˆ 薛定谔方程为 iℏ Ψ (r , t ) = H Ψ (r, t) ∂t
9
四、定态薛定谔方程 有势场中粒子的薛定谔方程是
∂ ˆ iℏ Ψ (r ,t ) = H Ψ (r,t) ∂t ℏ2 2 ˆ H = − ∇ +U (r ,t ) 哈密顿量 2m
物理上通过解方程得到波函数 下面需要回答的问题是: 下面需要回答的问题是 怎么解薛定谔方程 物理上波函数一般形式 怎么解薛定谔方程?物理上波函数一般形式 薛定谔方程 物理上波函数一般形式?
2
7
2.三维有势场中粒子的薛定谔方程 三维有势场中粒子的薛定谔方程
∂Ψ ℏ2 ∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ = − ( 2 + 2 + 2 ) + U (r , t )Ψ iℏ ∂t 2m ∂x ∂y ∂z
利用
∂2 ∂2 ∂2 2 ∇ = + 2 + 2 2 ∂x ∂y ∂z
2 ∂ 2 写为 iℏ Ψ (r,t) =[− ℏ ∇ +U(r,t)]Ψ (r,t) ∂t 2m
i − Et (r ) e ℏ
18
一维定态薛定谔方程： 一维定态薛定谔方程：
ℏ d + U ( x)Φ ( x) = EΦ ( x) − 2 2m dx
2 2
例：求描述自由粒子的波函数 解：因为 U = 0 所以薛2 2 m dx
19
得解为 Φ ( x) = B e 0
注意到
∂ iℏ ↔ E ∂t
∂Ψ ( x,t ) i = PxΨ ( x, t ) ∂x ℏ
∂ −iℏ ↔P x ∂x
∂2 −ℏ2 2 ↔P2 x ∂x 替换关系
∂ 2Ψ ( x,t ) Px2 = − 2 Ψ ( x, t ) 2 ∂x ℏ
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薛定谔方程应用举例II---原子系统
¾ 氢原子 ¾ 电子自旋 ¾ 多电子原子
1
氢原子的定态薛定谔方程
•原子由一个原子核和核外电子构成，属于多粒子体系。
多粒 子体系的总能量等于每一个粒子的能量与粒子间相互作用能量 之和。
•氢原子包括一个原子核和电子，库仑场是各向同性的，哈密 顿量可记作（绝热近似）：
Hˆ
=
−
h2 2me
∇2
+
qeU(r)
me为电子质量，qe是电子电荷。
U(r)为原子核静电场中的库 仑势，记作：
U(r) = − Zqe = − Z h2
4πε0r a1meqer
Z为核的电荷数，a1 = 4πε0ħ2/(meqe2) = 0.529Å，为氢原子的第
一波尔轨道半径。
2
⎡⎢− ⎣
h2 2me
∇2
−
Zh 2 a1meqer
⎥⎤ψ
⎦
(r)
=
E
⋅ψ
(r)
中心力场问题，采用球坐标，薛定谔方程为：
⎡ ⎢− ⎢⎣
h2 2me
⋅
⎝⎛⎜⎜
1 r2
∂ ∂r
r2
∂ ∂r
−
Lˆ2 r2
⎟⎟⎠⎞ −
Zh2
⎤
⎥ψ (r,ϕ,θ ) =
a1mer ⎥⎦
E ⋅ψ (r,ϕ,θ )
用分离变量法求解，令：
ψ (r,θ ,φ) = R(r) ⋅Y (ϕ,θ )
分别求解径向波函数R(r)和角向波函数Y(ϕ,θ)。
3
氢原子电子能级
•能量本征值： En
=
−
Z2h2 2me a12 n2
n=1, 2, 3,……，称为主量子数
•电子能级量子化（仅通过数学求解薛定谔方程即可获得）。
•基态能量用E1表示，记作：
E1
=
−
Z2h2 2me a12
氢原子的电离能Ei = −E1 = 13.6 eV，也称里德伯常 数。
•氢原子电子能级仅与主量子数n有关，多电子原子则不然。
4
氢原子电子的径向密度分布函数
•径向波函数：
Rn,l
(r)
=
N n,l
(
2Z na1
r
)l
−
e
Z na0
r
L ( 2l+1 n−l −1
2Z na1
r)
l = 0, 1, 2, …, n−1，共n个取值，称为角量子数。
（n、l确定径向波 函数。
）
• 原子波函数表示电子在原子核周围有概率分布。
这种电子 的概率分布，被形象地称为电子云。
径向波函数决定电子在 径向的分布情况。
•氢原子内，在半径为r到r + dr的球壳内电子出现的几率用 wn,l(r)dr表示。
wn,l(r)称为电子径向密度分布函数。
wn,l (r) = Rn,l 2 r 2
5
氢原子中的电子径向 密度分布
6
氢原子电子的角度分布
•角向波函数：
Yl ,m
(θ
,ϕ)
=
e N imϕ l ,m
P|lm|(cosθ
)
m=0，±1， ±2，…， ±l，共2l+1个取值，称为磁量子数。
角度波函数有l， m两个量子数确定。
•角向分布几率：
wl,m (θ
,ϕ)
=
Yl∗,m (θ
,ϕ) ⋅ Yl,m(θ
,ϕ)
=
N
2 l ,m
⋅
Plm(cosθ )
2
角向几率密度分布与φ无关。
•氢原子电子的完整波函数：
ψ n,l,m (r ,θ ,φ ) = Rn,l (r) ⋅ Yl,m (ϕ ,θ )
由一组量子数n, l, m确定波函数，来表示氢原子电子的一种运动状态。
通常也把三个量子数都确定的波函数称为原子轨道。
（但必须注意，此 轨道与宏观物体的运动轨道完全不同。
）
7
s壳层 p壳层 d壳层
s, p, d, f 电子云角度分布剖面
f壳层
8
电子自旋
•电子除了作轨道运动外，还存在自旋运动。
人们对电子的结 构尚不了解，因此尚不清楚电子自旋的起源。
•人们采用自旋量子数s和自旋磁量子数ms来描述自旋运动状 态。
•s只有一个取值，s=1/2.
•ms有两个取值，ms=-1/2和1/2，表示自旋的两个不同方向， 通常用向上和向下的两个箭头表示，即“↑”和“↓”。
•因为s只有一个取值，所以有的书也会不严格称ms为自旋量 子数。
•因此，描述原子中一个电子状态，需要n、l、m、ms四个量
子数
9
薛定谔方程应用举例II---原子系统
¾ 氢原子 ¾ 电子自旋 ¾ 多电子原子
10
四个量子数
•氢原子的薛定谔方程可以严格求解，但多电子原子的薛定谔方程数学求解非常困难。
但可以基于氢原子的量子力学结果近似考虑，来讨论多电子原子的外层电子结构。
•原子外单个电子的状态仍由n，l，m，m
四个量子数描述。
s
•主量子数n，取值1,2,3,…直至无穷大。
决定电子在核外出现概率最大区域离核的平均距离。
n值越大，离核平均距离越远，能量越高。
主量子数可用以下代号表示：
n123456
代号K L M N O P
•角量子数l，取值0,1,2,…,n-1。
描述电子云的不同形状。
其数值常用光谱符号表示：l=0，s电子，电子云球形；l=1，p电子，电子云哑铃状；l=2，d电子，花瓣状。
l01234…
代号s p d f g…
•磁量子数m，取值-l到l的整数值，包括0。
角量子数相同的电
值l到l的整数值包括0角量子数相的电子，具有确定的电子云形状，但空间伸展方向不同。
磁量子描述在空间的伸展方向。
l确定后有2l+1个m值。
如l=1，m=1，述在空间的伸展方向。
l确定后有2l+1个m值。
如l=1m=-1
0，1，分别由三种取向，沿x、y、z方向，分别称为p x、p y、p z。
•自旋磁量子数m
，取值-1/2到1/2，对应自旋向下和向上。
s
多电子原子的能级
•多电子原子能级与主量子数n和l均有关。
所以，通常说1s，3d 子等等
电子等等。
•鲍林根据光谱实验总结多电子原子中个轨道能级的相对高低：
核外电子排布规则
1. 能量最低原理：电子填充按照
能的顺序有底到高填充
能级的顺序有底到高填充。
2. 泡利不相容原理：同一原子，
不可能有两个电子具有完全相同
状态（及四个量子数相同）。
n=1电子层，最多容纳2个电子
n=1电子层最多容纳2个电子
n=2电子层，最多容纳8个电子
3. 洪特规则：在同一亚层的各个轨道上，电子排布尽可能占据不同轨道，并且自旋方向相同。
•量子力学对元素周期表的排列提供了理论解释。