高中数学(苏教版必修2)：第1章 1.3.2 空间几何体的体积

1.3.2空间几何体的体积1．了解球、柱、锥和台的体积的计算公式(不要求记忆公式)．(重点) 2．会求柱、锥、台和球的体积．(重点、易错点)3．会求简单组合体的体积及表面积．(难点)[基础·初探]教材整理1柱体、锥体、台体的体积阅读教材P56～P58第8行，完成下列问题．柱体、锥体、台体的体积几何体体积柱体V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)，V圆柱＝πr2h(r为底面半径) 锥体V锥体＝13Sh(S为底面面积，h为高)V圆锥＝π3r2h(r为底面半径)台体V台体＝13h(S＋SS′＋S′)(S′，S分别为上、下底面面积，h为高)，V圆台＝13πh(r′2＋rr′＋r2)(r′，r分别为上、下底面半径)1．若正方体的体对角线长为a，则它的体积为________．【解析】设正方体的边长为x，则3x＝a，故x＝a3，V＝39a3.【★答案★】39a32．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方体，则此圆柱的体积为__________．【解析】 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则有2πr ＝2，即r ＝1π，故圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫1π2×2＝2π.【★答案★】 2π3．如图1－3－6，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.图1－3－6【解析】 设三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的高为h ，底面三角形ABC 的面积为S ，则V 1＝13×14S ·12h ＝124Sh＝124V 2，即V 1∶V 2＝1∶24. 【★答案★】 1∶24教材整理2 球的体积和表面积 阅读教材P 58～P 59例1，完成下列问题． 若球的半径为R ，则 (1)球的体积V ＝43πR 3. (2)球的表面积S ＝4πR 2.1．若球的表面积为36π，则该球的体积等于________． 【解析】 设球的半径为R ，由题意可知4πR 2＝36π，∴R ＝3. ∴该球的体积V ＝43πR 3＝36π.【★答案★】 36π2．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为________.【导学号：41292051】【解析】 S 1S 2＝4πr 214πr 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1r 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19.【★答案★】 1∶9[小组合作型]多面体的体积如图1－3－7，已知在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝4，BC ＝3，AC ⊥BC ，点D 是AB 的中点，求三棱锥A 1－B 1CD 的体积．图1－3－7【精彩点拨】 法一：VA 1－B 1CD ＝V 柱－VA 1－ADC －VB 1－BDC －VC －A 1B 1C 1.法二：利用等体积法求解，VA 1－B 1CD ＝VC －A 1B 1D .【自主解答】 ∵AA 1＝AC ＝4，BC ＝3，AC ⊥BC ，∴AB ＝A 1B 1＝5. 法一 由题意可知VA 1B 1C 1－ABC ＝S △ABC ×AA 1 ＝12×4×3×4＝24.又VA 1－ADC ＝13×12S △ABC ×AA 1＝16S △ABC ×AA 1＝4.VB 1－BDC ＝13×12S △ABC ×BB 1＝16S △ABC ×BB 1＝4. VC －A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1×CC 1＝8，∴VA 1－B 1CD ＝VA 1B 1C 1－ABC －VA 1－ADC －VB 1－BDC －VC －A 1B 1C 1 ＝24－4－4－8＝8.法二 在△ABC 中，过C 作CF ⊥AB ，垂足为F ， 由平面ABB 1A 1⊥平面ABC 知，CF ⊥平面A 1B 1BA .又S △A 1B 1D ＝12A 1B 1·AA 1＝12×5×4＝10. 在△ABC 中，CF ＝AC ·BC AB ＝3×45＝125. ∴VA 1－B 1CD ＝VC －A 1B 1D ＝13S △A 1B 1D ·CF ＝13×10×125＝8.几何体的体积的求法1．直接法：直接套用体积公式求解．2．等体积转移法：在三棱锥中，每一个面都可作为底面．为了求解的方便，我们经常需要换底，此法在求点到平面的距离时也常用到．3．分割法：在求一些不规则的几何体的体积时，我们可以将其分割成规则的、易于求解的几何体．4．补形法：对一些不规则(或难求解)的几何体，我们可以通过补形，将其补为规则(或易于求解)的几何体．[再练一题]1．如图1－3－8，在三棱锥P－ABC中，P A＝a，AB＝AC＝2a，∠P AB＝∠P AC＝∠BAC＝60°，求三棱锥P－ABC的体积．图1－3－8【解】∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为正三角形，设D为BC的中点，连结AD，PD，作PO⊥平面ABC.∵∠P AB＝∠P AC且AB＝AC，∴O∈AD.作PE⊥AB于点E，连结OE，则OE⊥AB.在Rt△P AE中，PE＝a sin 60°＝32a，AE＝a2.在Rt△AEO中，OE＝a2tan 30°＝36a.∴OP＝PE2－OE2＝6 3a.又S△ABC ＝12BC·AD＝3a2.∴V P－ABC ＝13·S△ABC·OP＝23a3.旋转体的体积圆台上底的面积为16π cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么圆台的侧面积和体积各是多少？【导学号：41292052】【精彩点拨】解答本题作轴截面可以得到等腰梯形，为了得到高，可将梯形分割为直角三角形和矩形，利用它们方便地解决问题．【自主解答】如图，由题意可知，圆台的上底圆半径为4 cm，于是S圆台侧＝π(r＋r′)l＝100π(cm2)．圆台的高h＝BC＝BD2－(OD－AB)2＝102－(6－4)2＝46(cm)，V圆台＝13h(S＋SS′＋S′)＝13×46×(16π＋16π×36π＋36π)＝3046π3(cm3)．求台体的体积关键是求高，为此常将有关计算转化为平面图形(三角形或特殊四边形)来计算．对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．[再练一题]2.如图1－3－9，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．图1－3－9【解】如图所示，所得的旋转体是两个底面重合的圆锥的组合体，高的和AB＝5，底面半径DC＝AC·BCAB＝125，故S表＝π·DC·(BC＋AC)＝845π，V＝13π·CD2·DA＋13π·CD2·BD＝13π·CD2·(DA＋BD)＝485π.[探究共研型]球的表面积和体积探究1如果两个球的体积之比为8∶27，那么两个球的表面积之比为多少？【提示】V1∶V2＝8∶27＝R31∶R32，∴R1∶R2＝2∶3，S1∶S2＝R21∶R22＝4∶9.探究2一底面边长为4的正六棱柱，高为6，则它的外接球(正六棱柱的顶点都在此球面上)的表面积是多少？【提示】因为正六棱柱的底面边长为4，所以它的底面圆的半径为4，所以球的半径为42＋32＝5，故球的表面积为4πr2＝4π×25＝100π.已知正四面体的棱长为a，四个顶点都在同一个球面上，试求这个球的表面积和体积．【精彩点拨】正四面体的顶点都在同一个球面上，球心和正四面体的中心是同一个点，球心与正四面体各顶点的距离即球的半径．【自主解答】如图所示，设正四面体P－ABC的高为PO1，球的球心为O，半径为R，则AO 1＝33AB ＝33a . 在Rt △PO 1A 中， PO 1＝P A 2－AO 21 ＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＝63a ，在Rt △OO 1A 中，AO 2＝AO 21＋OO 21，即R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫63a －R 2，解得R ＝64a .所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫64a 2＝32πa 2，体积V ＝43πR 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫64a 3＝68πa 3.处理有关几何体外接球的问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总是在几何体的特殊位置，比如中心、对角线中点等．该类问题的求解就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径．[再练一题]3．已知过球面上三点A ，B ，C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC ＝BC ＝6，AB ＝4，求球面面积与球的体积．【解】 如图，设球心为O ，球半径为R ，作OO 1⊥平面ABC 于点O 1，由于OA ＝OB ＝OC ＝R ，则O 1是△ABC 的外心，设M 是AB 的中点，由于AC ＝BC ，则O 1∈CM .设O 1M ＝x ，易知O 1M ⊥AB ，则O 1A ＝22＋x 2，O 1C ＝CM －O 1M ＝62－22－x . 又O 1A ＝O 1C ，∴22＋x 2＝62－22－x ， 解得x ＝724.∴O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝924.在Rt △OO 1A 中，O 1O ＝R2，∠OO 1A ＝90°，OA ＝R ， 由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9242＝R 2，解得R ＝362， 则S 球＝4πR 2＝54π，V 球＝43πR 3＝276π.1．已知一个长方体共顶点的三个面的面积为2，3，6，这个长方体的对角线长是________．【解析】 设ab ＝2，bc ＝3，ac ＝6，则abc ＝6，c ＝3，a ＝2，b ＝1.∴l ＝3＋2＋1＝ 6. 【★答案★】62．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________． 【解析】 设正方体棱长为a ，则a 3＝8，所以a ＝2.所以正方体的体对角线长为23，所以正方体外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π.【★答案★】 12π3．已知正六棱柱的侧面积为72 cm 2，高为6 cm ，那么它的体积为______cm 3.【导学号：41292053】【解析】 设正六棱柱的底面边长为x cm ，由题意得6x ·6＝72，所以x ＝2 cm ， 于是其体积V ＝34×22×6×6＝36 3 cm 3. 【★答案★】 36 34．如图1－3－10，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是________．图1－3－10【解析】 由题目条件可得，旋转体是一个大圆锥去掉一个同底的小圆锥，故其体积为大圆锥体积减去小圆锥体积．∴V ＝13π·AD 2·DC －13π·AD 2·DB ＝13π·AD 2·BC ＝13π×(3)2×32＝32π. 【★答案★】 32π5．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的体积是32π3，求此三棱柱的体积．【解】 由43πR 3＝32π3，得R ＝2，∴正三棱柱的高h ＝4.设其底面边长为a ，则13·32a ＝2，∴a ＝43，∴V ＝34(43)2·4＝48 3.。