香农公式义PPT课件
471__香农Shannon公式
香农公式的应用比特和波特有何区别？比特和波特是两个完全不同的概念，比特是信息量的单位，波特是码元传输的速率单位。
但信息的传输速率“比特/每秒” 一般在数量上大于码元的传输速率“波特”，且有一定的关系，若使1个码元携带n比特的信息量，则M Baud的码元传输速率所对应的信息传输率为M×n bit/s，但某些情况下，信息的传输速率“比特/每秒” 在数量上小于码元的传输速率“波特”，如采用内带时钟的曼切斯特编码，一半的信号变化用于时钟同步，另一半的信号变化用于信息二进制数据，码元的传输速率“波特”是信息的传输速率“比特/每秒”的2倍。
奈氏准则（奈奎斯特Nyquist）与香农公式在数据通信中的意义是什么？答: 奈氏准则与香农公式的意义在于揭示了信道对数据传输率的限制，只是两者作用的范围不同。
奈氏准则给出了每赫带宽的理想低通信道的最高码元的传输速率是每秒2个码元。
香农公式则推导出了带宽受限且有高斯白噪声干扰的信道的极限信息传输速率C=Wlog2（1+S/N），其中W为信道的带宽（以赫兹为单位），S为信道内所传信号的平均功率，N为信道内部的高斯噪声功率。
奈氏准则1924年，奈奎斯特（Nyquist）就推导出在理想低通信道下的最高码元传输速率的公式：理想低通信道下的最高码元传输速率＝2W Baud其中W是理想低通信道的带宽，单位为赫兹；Baud是波特，即码元传输速率的单位，1波特为每秒传送1个码元。
奈氏准则的另一种表达方法是：每赫兹带宽的理想低通信道的最高码元传输速率是每秒2个码元。
若码元的传输速率超过了奈氏准则所给出的数值，则将出现码元之间的互相干扰，以致在接收端就无法正确判定码元是1还是0。
对于具有理想带通矩形特性的信道（带宽为W），奈氏准则就变为：理想带通信道的最高码元传输速率＝1W Baud即每赫宽带的带通信道的最高码元传输速率为每秒1个码元。
奈氏准则是在理想条件下推导出的。
在实际条件下，最高码元传输速率要比理想条件下得出的数值还要小些。
Ch2 Shannon 理论 PPT课件
再看一下彩票的例子.
例3 设电脑彩票由8个10进制数组成，在开奖之前， 108个可能号码成为特等奖的概率相同,都是10-8.一旦 开奖,我们就知道了特等奖的8个具体号码,因而就获 得了8个十进制数的信息。
我们获得的信息量与开奖前每个可能号码成为 特等奖的概率10-8有何关系?
Байду номын сангаас
明文元素定义了一个随机变量，用x表 示；
密钥也定义了一个随机变量，用k表示； P和K的概率分布导出了C的概率分布，
故可将密文元素看成随机变量。
Pr(y y) Pr(k k) Pr(x dk (y)) { k:yC( k )}
其中， C(k)= {ek(x):x P},
Pr( y)
定理 2.3
假设移位密码的26个密钥都是 以相同的概率1/26使用的，则 对于任意的明文概率分布，移 位密码具有完善保密性。
Shannon完善保密定理
假设密码体制 (P, C, K, E, D)满 足|K|=|C|=|P|.这个密码体制 是完善保密的，当且仅当每个 密钥被使用的概率都是1/|K|, 并且对于任意的x ∈P, y ∈C, 存 在唯一的密钥k, 使得e k( x)=y
•你只知道这个事情的每个结果的发生概率! •所以,我提供的信息量由你事先知道的每个可能结 果的发生概率(即随机事件的概率分布)决定.
随机事件和随机变量
定义1：设一个实验有 A1, A2 , , An 共n个可能
的结果，则每个可能结果都称为一个事件。 这个实验也称为一个随机事件。
性质1：设X是一个离散随机变量，它有n个可
Shannon的保密系统信息理论
1949年， Shannon发表了一篇题为 《保密系统的信息理论》的论文。
香农采样16ppt课件
C (tk ) fk . 复函数
理论中整函数的性质，
我们今天称为频带有限
。
但是他没有在文章中明
确表示 C ( t ) f ( t )，也没有
给出产生该等式的条件
。
Ogura 在 1920 年首先提出在 f (t )他称作频带有限的 条件下，或者 f是一个基数函数时， C (t ) f (t )。 他是首次提出并给出了 该定理的证明的数学家 ， 该定理现在被称为 W hitta ker Kotel ' nikov Shannon 采样定理。
p 2
T
(R
)
f L p ( R ) | f t 2T f t ，
1 p
范数定义为
f L
p 2
T
f : p
T
f ( u ) p du
1/ p
.
T
类似的，定义
L
2
T
(
R
)和
C
2T
(
R
) 及各自的范数
.
f
L
1 2
T
( R )时，其
Fourier
级数为
f
k
cke
jk t / T
lim
n
L2n
f
(t)
2.Fourier分析基础
L p ( R )空间
L p ( R ) f : R C | f直到 p次幂绝对 Lebesgue 可积 ，
1 p
范数定义为
f L p ( R ) :
f
(u )
p du
1/ p
.
L ( R ) f : R C | f可测并且一致有界
采样分析简介
通信基本原理 PPT课件
7.香农公式主要讨论了信道容量、频带宽度和信噪比之间的关系， 是信息传输中非常重要的公式，是目前通信系统设计和性能分析 的理论基础。
第二讲 通信系统简介
一、 数字光纤通信系统
数字光纤通信是以光信号运载数字信息，以光 导纤维为传输媒介的一种通信方式。
1.单向光纤通信系统
数字光纤通信系统由光发送机、光纤和光接收机构成。 光发送机和光接收机统称为光端机。 电端机通常是指PCM基群或高次群设备。
噪比之间的关系。
由香农公式可得到如下结论：
• 在给定B、S/N时，信道的极限传输能力C即确 定。
• 在信道容量C一定时，带宽B和信噪比S／N之间 可以互相调整。
• 增加信道带宽B并不能无限制地增大信道容量。
• 在给定C和S／N的情况下，带宽B与时间T也可以互 相调整。
小结
1.通信系统包括信源、发送设备、信道、接收设备、信宿。 2.信号是信息的载体，可以分为周期信号和非周期信号，连续时 间信号和离散时间信号，能量信号和功率信号等。
扰码电路对发送的信息码流处理，使码流中“0”和“1” 的数量大致相等，破坏过长的连“0”和连“1”码流。经 扰码的码流较好地携带时钟，有利于接收端对时钟信号的 提取，使主从时钟同步；经过扰码，使光源组件发光和不 发光的概率大致相等，较好的保护光源组件。 1.1.6．光发送电路
光发送电路的作用是把电信号变换成光信号，并耦合到 光纤中传输。
3.信道噪声
信道噪声：噪声和干扰的总称。 加性噪声：与有用信号毫无关系，不管有用信 号的有无而独立存在的。 乘性噪声：它与系统的特性有关，与有用信号 相伴而生，是乘法关系。 随机噪声：噪声不可预测，具有随机性。
信道容量公式——香农公式
C
B
香农公式
香农公式香农（Shannon）提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C公式”：C=B log2(1+S/N)。
式中：B是信道带宽（赫兹），S是信号功率（瓦），N是噪声功率（瓦）。
该式即为著名的香农公式，显然，信道容量与信道带宽成正比，同时还取决于系统信噪比以及编码技术种类香农定理指出，如果信息源的信息速率R小于或者等于信道容量C，那么，在理论上存在一种方法可使信息源的输出能够以任意小的差错概率通过信道传输。
该定理还指出：如果R>C，则没有任何办法传递这样的信息，或者说传递这样的二进制信息的差错率为1/2。
香农定理指出，如果信息源的信息速率R小于或者等于信道容量C，那么，在理论上存在一种方法可使信息源的输出能够以任意小的差错概率通过信道传输。
该定理还指出：如果R>C，则没有任何办法传递这样的信息，或者说传递这样的二进制信息的差错率为1/2。
可以严格地证明；在被高斯白噪声干扰的信道中，传送的最大信息速率C由下述公式确定：C=B*log₂（1+S/N) （bit/s)该式通常称为香农公式。
B是码元速率的极限值(由奈奎斯特指出B=H,H为信道带宽，单位Baud)，S是信号功率（瓦），N是噪声功率（瓦）。
香农公式中的S/N为无量纲单位。
如：S/N=1000（即，信号功率是噪声功率的1000倍）但是，当讨论信噪比（S/N）时，常以分贝（dB）为单位。
公式如下：SNR（信噪比，单位为dB)=10 lg（S/N)换算一下：S/N=10^(SNR/10）公式表明，信道带宽限制了比特率的增加，信道容量还取决于系统信噪比以及编码技术种类。
扩频通信从香农公式中还可以推论出：在信道带宽C不变的情况下，带宽B和信噪扩频通信比S/N是可以互换的，也就是说，从理论上完全有可能在恶劣环境（噪声和干扰导致极低的信噪比）时，采用提高信号带宽（B）的方法来维持或提高通信的性能，甚至于可以使信号的功率低于噪声基底。
香农公式讲义PPT
解：
信息/象素= log2123.58bit
信息/每幅图= 2 .2 1 56 0 3 .5 8 .0 1 66 b 0it
Ct Blog21S/N3103log21100029.9103bit/s
R 29.9103bit/s max
QRmax C
12
B
8.06106 T29.9103 4.5m
例：有一显示器终端联接计算机系统，用一条电话 线路连接，电话带宽3000Hz，信噪比为10dB，终 端有128个印刷字符，终端输出字符是相互独立 且等概的，求最大的字符速率是？
解：
Ct
Blog2
1
S N
3000log21110378bit
/
s
H log21287bit /字符
8
B
解：由于每个像素有10个亮度等级，且等概率， 则每个像素包含的信息量为：
log210=3.32bit。 每帧有３×10５个像素 , 每帧的信息量为： 3.32×(3×10５)=9.96×10５ bit 每秒传送30帧，故信息速率为：
R=9.96×10５×30=2.99×107 bit/s
9
B
由香农公式可知，信道信道容量必须大于或等 于R，则所需信道最小的信道容量为：
当噪声功率N０时，信道容量C∞，这意味 着无干扰信道容量为无限大；
增加信道带宽（也就是信号频带）B，并不能 无限地使信道容量增大。
5
B
香农公式的性质及物理意义
当噪声为高斯白噪声时，随着B增大，噪声 功率N＝noB（这里no为噪声单边功率谱密度） 也增大，在极限情况下：
S B li m Ct B li m Blog2(1noB)
信息论第2章(信息量、熵及互信息量)PPT课件
信息论基础
The Basis of Information Theory
主题No2：信息量、熵和互信息量
在上一次课中我们提到香农对信息定性的 定义——事物运动状态或存在方式的不确定性 的描述。事实上，香农对信息不仅作了定性描 述，而且还进行了定量分析。
信源发出的消息常常是随机的，具有不确 定性。如果信源中某一消息的不确定性越大， 一旦发生，并为收信者收到，消除的不确定性 就越大，获得的信息也就越大。同时事件发生 的不确定性与事件发生的概率有关，概率越小， 不确定性就越大。
研究通信系统的目的就是要找到信息传输 过程的共同规律，以提高信息传输的可靠性、 有效性、保密性和认证性，以达到信息传输系 统最优化。
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
I(X;Y)是一个用来衡量信道好坏的 非常好的工具。
计算条件熵的例子
例6 设一个二进制对称信道BSC：
其先验概率为p(0)=p(1)=1/2，试计算条 件熵. [解答]由已知条件得：
由条件熵的定义有：
结果表明，虽然每个字符的错误率只有 0.1，可导致整个信宿对信源的平均不确定 性达到了0.469，将近一半。可见通信系统 对信道的要求非常高。
cdma香 农 公 式 简 介
香农公式简介一、香农简介香农——信息论的奠基人“通信的基本问题就是在一点重新准确地或近似地再现另一点所选择的消息”。
这是数学家香农（Claude E.Shanon）在他的惊世之著《通信的数学理论》中的一句名言。
正是沿着这一思路他应用数理统计的方法来研究通信系统，从而创立了影响深远的信息论。
香农，1816年生于美国密执安州的加洛德。
在大学中他就表现出了对数理问题的高度敏感。
他的硕士论文就是关于布尔代数在逻辑开关理论中的应用。
后来，他就职于贝尔电话研究所。
在这个世界上最大的通信公司（美国电话电报公司）的研究基地里，他受着前辈的工作的启示，其中最具代表性的是《贝尔系统技术杂志》上所披露的奈奎斯特的《影响电报速率的一些因素》和哈特莱的《信息的传输》。
正是他们最早研究了通信系统的信息传输能力，第一次提出了信息量的概念，并试图用教学公式予以描述。
而香衣则创造性地继承了他们的事业，在信息论的领域中钻研了8年之久，终于在1948年也在《贝尔系统技术杂志》上发表了244页的长篇论著，这就是上面提到的那篇《通信的数学理论》。
次年，他又在同一杂志上发表了另一篇名著《噪声下的通信》。
在这两篇文章中，他解决了过去许多悬而未决的问题：经典地阐明了通信的基本问题，提出了通信系统的模型，给出了信息量的数学表达式，解决了信道容量、信源统计特性、信源编码、信道编码等有关精确地传送通信符号的基本技术问题。
两篇文章成了现在信息论的奠基著作。
而香农，也一鸣惊人，成了这门新兴学科的奠基人。
那时，他才不过刚刚三十出头。
二、香农公式香农（Shannon）在其信息论中得到有名公式：其中，B是信道频带宽度（简称带宽）S是信号功率谱密度N是信道噪声功率谱密度C是信道容量香农公式表明了一个无误差地传输信息的能力同存在与信道中的信噪比以及用于传输信息的信道带宽之间的关系。
对于给定的信道容量 C 可以用不同的带宽W 和信噪比S/N的组合来传输信息。
如减少带宽则必须发送较大的信号功率；如有较大的传输带宽，则同样的信道容量能够用较小的信号功率（较小的S/N）来传送，这表明宽带系统表现出较好的抗干扰性。
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例：已知彩电电视图像由5×105个像素组成，设每个像素 有64种色彩，每种色彩有16个亮度等级，试计算：
（1）每秒传送100个画面所需的信道容量； （2）若接收机的信噪比为30dB，求传送彩色图像所需的
带宽。 解：
(1) 每像素信息量 I=log2(64×16)=10bit 每幅图信息量 I=10×5×105=5×106bit 信源信息速率 r =100×5×106 =5×108 bit/s 信道容量 Ct≥ r =5×108 bit/s
香农定理
1
.
1948年，在《通信的数学原理》 (Mathematical Theory of Communication) 一文中，香农博士提出了著名的香农 定理，为人们今天通信的发展垫定了 坚实的理论基础。
2
.
香农公式
在连续信道中，假设输入信道的噪声 是加性高斯白噪声功率为N(W)，信道带 宽为B(Hz)，信号功率为S(W)，该信道的 信道容量为：
由香农公式可知，信道信道容量必须大于或等 于R，则所需信道最小的信道容量为：
C m inR2.99 107bit/s
由题可知，S/N＝30dB=103，可求出最小带 宽为：
B mi nlo2 C (g 1 m iN S n)2 l.9 o2 1 9 g10 70 03.0 1 2160 (H)z
传送黑白电视图像信号所需最小带宽为3MHz。
当噪声功率N０时，信道容量C∞，这意味 着无干扰信道容量为无限大；
增加信道带宽（也就是信号频带）B，并不能 无限地使信道容量增大。
5
.
香农公式的性质及物理意义
当噪声为高斯白噪声时，随着B增大，噪声 功率N＝noB（这里no为噪声单边功率谱密度） 也增大，在极限情况下：
S B li m Ct B li m Blog2(1noB)
三、香农公式只证明了理想系统的“存在性”， 却没有给出这种通信系统的实现方法。因此，理 想系统只能作为实际系统的理论极限。
四、上述公式都在信道噪声为高斯白噪声下得到
的,对于其他类型的噪声,香农公式需要修正。
7
.
香农公式例题（1）
已知黑白电视图像大约由３×10５个像素 组成，设每个像素有10个亮度等级，他们出现的 概率是相等的。要求每秒传送30帧图像，为了满 意地再现图像，需要信噪比为1000倍（30dB）,试 求传输此电视信号所需的带宽。
(2) 30dB=10lgS/N 故 S/N = 1000 由shannon 公式:
11 .
B = Ct /[log 2(1+1000)] ≈ 5×107 = 50 MHz
例：设有一个图象要在电话线路中实现传真传输， 大约 要传输 2.25×106个象素，每个象素有12个亮 度等级，且等概，电话电路具有3KHz带宽，30dB信 噪比，试求在电话线路中传输一张传真图片需要最 少时间？
这一结论为信道编码指出了方向。
14 .
8
.
解：由于每个像素有10个亮度等级，且等概率， 则每个像素包含的信息量为： log210=3.32bit。 每帧有３×10５个像素 , 每帧的信息量为：
3.32×(3×10５)=9.96×10５ bit 每秒传送30帧，故信息速率为： R=9.96×10５×30=2.99×107 bit/s
9
.
解：
信息/象素= log2123.58bit
信息/每幅图= 2 .2 1 56 0 3 .5 8 .0 1 66 b 0it
Ct Blog21S/N3103log21100029.9103bit/s
R 29.9103bit/s max
QRmax C
12
.
8.06106 T29.9103 4.5m
例：有一显示器终端联接计算机系统，用一条电话 线路连接，电话带宽3000Hz，信噪比为10dB，终 端有128个印刷字符，终端输出字符是相互独立 且等概的，求最大的字符速率是？
Ct
B log2
1
S N
3
.
热噪声
由电阻等导体中自由电子的布朗运动引起 的噪声；
电子的这种随机运动会产生一个交流电流 成分，即热噪声；
频谱像白光的频谱在可见光的频谱范围内 一样的均匀分布，又称白噪声。
服从高斯分布，又常称高斯白噪声。
4
.
香农公式的性质及物理意义
Ct
Blog2 1
S N
提高信号与噪声功率比（简称信噪比）S/N， 能增加信道容量；
S no
B li m nSoBlog2(1nSoB)nSo
log2e1.44nSo
由此可见，即使信道带宽无限增大，信道容量仍来自是有限的。6.
香农公式的性质及物理意义
Ct
Blog2
1
S N
一、信道容量一定时，带宽与信噪比S/N之间可以 彼此互换。
二、信道容量C是信道能传输的极限信息速率，通 常把实现上述速率的通信系统称为理想通信系统。
解：
Ct
Blog2
1
S N
3000log21110378bit
/
s
H log21287bit /字符
7rs C
rs 1482字符/ s
13 .
香农在他那篇著名的“通信的数学理论” 论文中还提出了另一条具有十分重要指导意义 的结论：
若信道容量为C，消息源产生信息的速率 为R，只要C≥R，则总可以找到一种信道编码 方式实现无误传输；若 C R，则不可能实现无 误传输。