2.4逆变换和逆矩阵

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矩阵求逆方法大全

矩阵求逆方法大全矩阵的逆在线性代数中是一个非常重要且常用的概念。

逆矩阵存在的前提是矩阵必须是方阵且可逆。

逆矩阵的定义可以简单地表述为：对于一个方阵A，如果存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，那么B就是A的逆矩阵，记作A^-1下面将介绍几种求解矩阵逆的方法。

1.初等变换法：初等变换法是一种最常用的求解矩阵逆的方法。

基本思想是通过一系列初等行变换将原矩阵A转化为单位矩阵I，同时对单位矩阵进行相同的初等变换，得到A的逆矩阵。

具体步骤为：(1)将原矩阵A与单位矩阵I进行横向拼接，形成增广矩阵[A，I]；(2)通过初等行变换将增广矩阵[A，I]变换为[I，B]，其中B即为矩阵A的逆矩阵。

这种方法比较直观，但计算量较大，特别是对于大型矩阵很不方便。

2.列主元消去法：列主元消去法是一种改进的初等变换法，其目的是选取主元的位置，使得计算量减少。

具体步骤为：(1)将原矩阵A与单位矩阵I进行横向拼接，形成增广矩阵[A，I]；(2)选取增广矩阵中当前列中绝对值最大的元素作为主元，通过交换行使主元出现在当前处理行的位置；(3)用主元所在行将其他行消元，使得主元所在列的其他元素都为0；(4)重复以上步骤，直到增广矩阵[A，I]经过一系列的行变换变为[I，B]，其中B即为矩阵A的逆矩阵。

列主元消去法相对于初等变换法来说，计算量会更小，但仍然对于大型矩阵的操作不够高效。

3.公式法：对于一个二阶方阵A，其逆矩阵可以通过以下公式求得：A^-1 = (1/，A，) * adj(A)，其中，A，为A的行列式，adj(A)为A的伴随矩阵。

对于更高阶的矩阵，也可以通过类似的公式求解，但行列式和伴随矩阵的计算相对较为复杂，不太适用于实际操作。

4.LU分解法：LU分解也是一种常用的矩阵求解方法，其将原矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。

逆矩阵的计算可以通过LU分解来完成。

具体步骤为：(1)对原矩阵A进行LU分解，得到下三角矩阵L和上三角矩阵U；(2)分别求解方程LY=I和UX=Y，其中Y为未知矩阵；(3)得到Y后，再将方程UX=Y带入，求解方程UX=I，得到逆矩阵X。

逆矩阵的几种求法与解析很全很经典

6．利用线性方程组求逆矩阵
若n阶矩阵A可逆，则A A -1 =E，于是A -1 的第i列是线性方程组AX=E的解， i=1,2,…,n,E是第i个分量是I的单位向量.因此，我们可以去解线性方程组AX=B，其中B=（b 1 ,b 2 ,…,b n ） T , 然后把所求的解的公式中的b 1 ,b 2 ,…,b n 分别用 E 1 =（1,0,0,…,0）， E 2 =（0,1,0,…,0）， ……，
T -1 2
解
令
( A + 4 E ) T (4 E - A) -1 (16 E - A 2 ) =D
D= ( A + 4 E ) T (4 E - A) -1 (16 E - A 2 ) = (4 E + A) T (4 E - A) -1 (4 E - A)(4 E + A) = (4 E + A)(4 E + A) T = (4 E + A) . 虽然题目中出现了（4E-A） -1 .但是经过化简之后不再出现此式，因此得 D= 4 E - A =22500. 例2 证明已知 n阶矩阵A满足A 2 +2A-3E=0.求证：A+4E可逆并求出A+4E的逆.
5.恒等变形法
4
恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用 AA -1 =E，把题目中的逆矩阵化简掉。
例1
é 1 0 0ù ú 计算（A+4E）（4E-A）（16E-A ）的行列式，其中 A= ê ê- 1 2 0ú ê ë 1 4 1ú û
初等行变换用矩阵表示（A I） ¾¾ ¾¾® 为（I A -1 ），就是求逆矩阵的初等行变换法，

《矩阵与变换》逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量

《矩阵与变换》逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量【考情分析】考试要求 1. 二阶逆矩阵，B 级要求；2. 二阶矩阵的特征值与特征向量，B 级要求；3. 二阶矩阵的简单应用，B 级要求．理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，会利用矩阵求解方程组．掌握矩阵特征值与特征向量的定义，会求二阶矩阵的特征值与特征向量，利用矩阵A 的特征值、特征向量给出A n α的简单表示，并能用它来解决问题．理解矩阵的简单应用．【知识清单】 1. 逆变换与逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1，A －1＝B .(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d (det A ＝ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc－b ad －bc－c ad －bc a ad －bc . (3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n 的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，其中A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc－b ad －bc－c ad －bc a ad －bc . 2．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量．(2)从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量. (3)特征多项式与特征方程设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的一个特征值，它的一个特征向量为X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ，故⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0－cx ＋(λ－d )y ＝0⇔⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤λ－a －b －c λ－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00(*) 则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0.记f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d 为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征多项式；方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0，即f (λ)＝0称为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征方程． (4)特征值与特征向量的计算如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ是特征方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0的一个根．解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝y 1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝y 2，记X 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，X 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2.则AX 1＝λ1X 1、AX 2＝λ2X 2，因此λ1、λ2是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征值，X 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，X 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2为矩阵A 的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量．【课前预习】1. 求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12的特征多项式．解析：f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－21λ－2＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ2－3λ＋4. 2. （选修4-2P 65习题2.4第7题）已知可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 273的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b －2－7a ，求a 、b 的值．解析：由题意，知AA －1＝E ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 273⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b －2－7a＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab －1407b －213a －14＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎩⎪⎨⎪⎧ab －14＝1，7b －21＝0，3a －14＝1，解得a ＝5，b ＝3. 3.（选修4-2P 54例4改编）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，求(AB )－1.解析：因为 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0，设(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，所以 (AB )(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1. 所以 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－c －d 2a 2b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1. 所以 ⎩⎪⎨⎪⎧－c ＝1，－d ＝0，2a ＝0，2b ＝1，故a ＝0，b ＝12，c ＝－1，d ＝0.即(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 012－10. 4. (选修4-2P 73习题第1题改编)求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16－2 －6 的特征值．解析：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－62λ＋6＝(λ＋2)(λ＋3)，令f (λ)＝0，得M 的特征值为λ1＝－2，λ2＝－3.5. 已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.，求矩阵A .解析：由特征值、特征向量定义可知，A α1＝λ1α1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1.同理可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝12，3c ＋2d ＝8，解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1.因此矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1. 【典型例题】目标1 求逆矩阵与逆变换例1求矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 35 6的逆矩阵．解析：（法一）设矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 35 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 5x ＋6z 5y ＋6w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，2y ＋3w ＝0，5x ＋6z ＝0，5y ＋6w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，z ＝53，w ＝－23.故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 153 －23. （法二）注意到2×6－3×5＝－3≠0，故A 存在逆矩阵A －1，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6－3 －3－3－5－3 2－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 153 －23. 【借题发挥】变式1 (2016·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤102－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －122，求矩阵AB .解 B ＝(B －1)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 12202 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 14012. ∴AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120－2·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 14012＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1540 －1. 解：设a b B c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1110120102a b B B c d ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1110220122a c b d c d ⎡⎤--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故1121022021a c b d c d ⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪=⎩，解得114012a b c d ⎧⎪⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩，所以114102B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 因此，151121440210102AB ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 变式2 已知关于直线y ＝2x 的反射变换对应的矩阵为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 4535，切变变换对应的矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－2 1，试求出(AB )－1. 解析：反射变换和切变变换对应的矩阵都是可逆的，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 45 35，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1，(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1021⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 45 35＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45－25115. 【规律方法】求一个矩阵A 的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常用两种解法．法一：待定矩阵法：先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义AB ＝BA ＝E ，应用矩阵相等的定义列方程组求解，若方程组有解，即可求出其逆矩阵，若方程组无解，则说明此矩阵不可逆，此种方法称为待定矩阵法．法二：利用逆矩阵公式，对矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ： ①若ad －bc ＝0，则A 的逆矩阵不存在．②若ad －bc ≠0，则A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc－b ad －bc－c ad －bc a ad －bc . 【同步拓展】(2017·常州期末)已知矩阵，列向量，若AX=B ，直接写出A ﹣1，并求出X ．解析：解法一∵矩阵，∴A ﹣1=，∵AX=B ，∴X=A ﹣1B==．解法二：∵矩阵，∴A ﹣1=，∵AX=B ， ∴=，∴，解得，∴X=．目标2 特征值与特征向量的计算与应用例2 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a21，其中a ∈R ，若点P (1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(－4，0)．(1) 求实数a 的值；(2) 求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．解析：(1) 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0，得2－2a ＝－4⇒a ＝3. (2) 由(1)知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0－2x ＋（λ－1）y ＝0，x ＋y ＝0，∴矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1；当λ＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0－2x ＋（λ－1）y ＝02x －3y ＝0.∴矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.【借题发挥】变式1 已知二阶矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－3，属于特征值3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A .解析：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －3b ＝－1，c －3d ＝3，a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝3，d ＝0.∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13 0. 变式2 （2015·江苏高考）已知R y x ∈,，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0的属于特征值2-的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值.解析：由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 ，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－2，y ＝2，，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，，所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 2 0．从而矩阵A 的特征多项式()()()21f λλλ=+-，所以矩阵A 的另一个特征值为1．【规律方法】1．求矩阵A 的特征值与特征向量的一般思路为：先确定其特征多项式f (λ)，再由f (λ)＝0求出该矩阵的特征值，然后把特征值代入矩阵A 所确定的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0，即可求出特征向量．2．根据矩阵A 的特征值与特征向量求矩阵A 的一般思路：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，根据Aα＝λα构建a ，b ，c ，d 的方程求解．【同步拓展】已知二阶矩阵M 有特征值λ＝3及对应的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(9,15)，求矩阵M .解析：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤915，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝9，－c ＋2d ＝15.联立以上两方程组解得a ＝－1，b ＝4，c ＝－3，d ＝6，故M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 4－3 6. 目标3 根据A ，α计算A n α(n ∈N *)例3 给定的矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32. (1)求A 的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2； (2)求A 4B .解析： (1)设A 的一个特征值为λ，由题意知：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝0，即(λ－2)(λ－3)＝0，∴λ1＝2，λ2＝3. 当λ1＝2时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值2的特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ2＝3时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值3的特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(2)由于B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝α1＋α2，故A 4B ＝A 4(α1＋α2)＝24α1＋34α2＝16α1＋81α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3216＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤8181＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11397. 【规律方法】已知矩阵A 和向量α，求A n α(n ∈N *)，其步骤为：(1)求出矩阵A 的特征值λ1，λ2和对应的特征向量α1，α2. (2)把α用特征向量的组合来表示：α＝s α1＋t α2.(3)应用A n α＝sλn 1α1＋tλn2α2表示A n α.【同步拓展】已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 5β. 解析：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3. 令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.令β＝m α1＋n α2，则m ＝4，n ＝－3.M 5β＝M 5(4α1－3α2)＝4(M 5α1)－3(M 5α2)＝4(λ51α1)－3(λ52α2)＝4×35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3×(－1)5⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤975969.【归纳分析】1.不是每个二阶矩阵都可逆，只有当⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 中ad －bc ≠0时，才可逆，如当A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0，因为1×0－0×0＝0，找不到二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E 成立，故A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0不可逆． 2.逆矩阵的性质：(1)若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是惟一的．(2)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1.(3)已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .3.如果向量α是属于λ的特征向量，将它乘非零实数t 后所得的新向量t α与向量α共线，故t α也是属于λ的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了．4. 由于特征向量的存在，求矩阵幂的作用结果，可以转化成求数的幂的运算结果. 【课后作业】 1．已知矩阵1012,0206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,求矩阵B A 1-. 解析：设矩阵A 的逆矩阵为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1,即⎣⎢⎡⎦⎥⎤-a -b 2c 2d =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1, 故a =-1,b =0,c =0,d =21∴矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 12. 所以B A1-=⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1 -20 3 . 2. 求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 41－1的特征值及对应的特征向量．解析：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－4－1λ＋1＝λ2－λ－6＝(λ－3)(λ＋2)，令f(λ)＝0，得到M 的特征值λ1＝3，λ2＝－2.当λ1＝3时，矩阵M 的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤41；当λ2＝－2时，矩阵M 的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.3. 已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12 －12，求矩阵A 的特征值．解析：因为A －1A ＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1434 12 －12，所以A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.4. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10012，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12001，试求曲线y ＝cos x 在矩阵M－1N 变换下的函数解析式．解析：由M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，得M －1N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12002，即在矩阵M －1N 的变换下有如下过程，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x 2y ，则12y ′＝cos2x ′，即曲线y ＝cos x 在矩阵M －1N 的变换下的解析式为y ＝2cos2x .5. 已知二阶矩阵A 的属于特征值－2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－3，属于特征值2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A .解析：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，即⎩⎪⎨⎪⎧a －3b ＝－2，c －3d ＝6，a ＋b ＝2，c ＋d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，c ＝3，d ＝－1，∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 13 －1. 6. 已知α是矩阵M 的属于特征值λ＝3的一个特征向量，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a m 2b ，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 5，且a ＋b ＋m ＝3，求a ，b ，m 的值．解析：因为α是矩阵M 的属于特征值λ＝3的一个特征向量，所以Mα＝λα，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a m 2 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 5＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 5，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋5m ＝－3，－2＋5b ＝15，由a ＋b ＋m ＝3，解得a ＝16，b ＝175，m ＝－1730.7. (2016·泰州期末)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 n m 1的一个特征值为λ＝2，它对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.(1) 求m 与n 的值； (2) 求A －1.解析：(1) 由题意得：Aα＝λα⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 n m 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎩⎪⎨⎪⎧2＋2n ＝2，m ＋2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝0，m ＝2.(2) 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 02 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝E ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，2b ＝0，2a ＋c ＝0，2b ＋d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝－1，d ＝1，所以 A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120－11. 8. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200－1有特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，相应的特征值为λ1，λ2.(1) 求矩阵M 的逆矩阵M －1及λ1，λ2；(2) 对任意向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，求M 100α.解析：(1) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00－1变换的意义知 M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 0－1，又Me 1＝λ1e 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝λ1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，故λ1＝2，同理Me 2＝λ2e 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝λ2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，故λ2＝－1. (2) 因为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝x e 1＋y e 2，所以M 100α＝M 100(x e 1＋y ·e 2)＝x M 100e 1＋y M 100e 2＝x λ1001e 1＋y λ2100e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2100x y.9. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13 4. (1)求矩阵M 的逆矩阵；(2)求矩阵M 的特征值及特征向量．解析：(1)因为2×4－1×3＝5≠0，所以M 存在逆矩阵M －1，所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 45 －15－35 25. (2)矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－3 λ－4＝(λ－2)(λ－4)－3＝λ2－6λ＋5，令f (λ)＝0，得矩阵M 的特征值为1或5，当λ＝1时，由二元一次方程⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，－3x －3y ＝0，得x ＋y ＝0，令x＝1，则y ＝－1，所以特征值λ＝1对应的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.当λ＝5时，由二元一次方程⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，－3x ＋y ＝0，得3x －y ＝0，令x ＝1，则y ＝3，所以特征值λ＝5对应的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13.10.二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y ＝4，求l 的方程．解析：(1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，从而M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 132－12. (2)设直线l 上任意一点(x ，y )，在变换M 作用下对应直线m 上任意一点(x ′，y ′)，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ，且m ：2x ′－y ′＝4，所以2(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即直线l 的方程为x ＋4＝0.11. 已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换成(－2，4). 求：(1) 矩阵M;(2) 矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系；(3) 直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程．解析：(1) 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－24，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4. 联立以上两方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244. (2) 由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M 的另一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Me 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0. (3) 设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程后并化简，得x ′－y ′＋2＝0，即x －y ＋2＝0. 【提优训练】1．利用逆矩阵的知识解方程MX ＝N ，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5241，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－8. 解析：设M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x yz w，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5241⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5x ＋2z 5y ＋2w 4x ＋z 4y ＋w＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2z ＝1，5y ＋2w ＝0，4x ＋z ＝0，4y ＋w ＝1，解之得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝－13，y ＝23，z ＝43，w ＝－53.所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－132343－53.。

逆矩阵及初等变换

先假设n阶矩阵A, 满足 A ≠ 0，即矩阵A是可逆的
则有下列公式：则有下列公式：
( A | E ) n×2 n ( E | A ) n×2 n →
行初等变换
1
施行初等行变换，即对 n × 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换，当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1 .
例3
6 4 2 * 得 A = 3 6 5 , 所以 2 2 2
1 3 2 1 * 3 5 1 . A = A = 3 A 2 2 1 1 1
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例2 设
1 2 3 1 3 2 1 A = 2 2 1, B = 5 3, C = 2 0, 3 4 3 3 1
1 1 1
(4).若A可逆则A 也可逆且( A ) = ( A ) . , ,
T
T 1
1 T
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例1 解
1 2 3 . 求方阵 A = 2 2 1的逆阵 3 4 3 ≠0，可逆。经计算可得： |A| = 2 ≠0，知A可逆。经计算可得： | 可逆
A11= 2，A21= 6，A31=－4， 2， 6， A12=－3，A22=－6，A32=5， =5， A13= 2，A23= 2，A33=－2， 2， 2，
1 * A = A, A
1
A A . 其中 *为方阵的伴随阵
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由定理1和定理2可得：矩阵由定理1和定理2可得：矩阵A 是可逆方阵的充分必要条件是 |A| ≠ 0 。 | 称为奇异方阵否则称为非奇异方阵，当 |A| = 0 时，A 称为奇异方阵，否则称为非 | 奇异阵。奇异阵。推论），则若 AB = E（或 BA = E），则B = A -1 。（），

逆矩阵的几种求法与解析（很全很经典）

逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容矩阵是线性代数的主要内容,,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷..逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, , , 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一要内容之一..本文将给出几种求逆矩阵的方法本文将给出几种求逆矩阵的方法..1.利用定义求逆矩阵定义定义: : : 设设A 、B B 都是都是都是n n n 阶方阵阶方阵阶方阵, , , 如果存在如果存在如果存在n n n 阶方阵阶方阵阶方阵B B B 使得使得使得AB= BA = E, AB= BA = E, AB= BA = E, 则称则称则称A A 为可逆矩阵可逆矩阵, , , 而称而称而称B B 为A A 的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵..下面举例说明这种方法的应用下面举例说明这种方法的应用. .例1 求证求证: : : 如果方阵如果方阵如果方阵A A A 满足满足满足A k= 0, A k= 0, A k= 0, 那么那么那么EA EA EA是可逆矩阵是可逆矩阵是可逆矩阵, , , 且且（E-A E-A））1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明因为因为E E E 与与A A 可以交换可以交换可以交换, , , 所以所以所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,= 0 ,于是得于是得于是得(E-A)(E-A)（（E+A+A 2+…+…+A +A 1-K ）=E =E，，同理可得（同理可得（E + A + A E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E (E-A)=E，，因此因此E-A E-A E-A是可逆矩阵是可逆矩阵是可逆矩阵,,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明同理可以证明(E+ A)(E+ A)(E+ A)也可逆也可逆也可逆,,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（+…+（-1-1-1））1-K A 1-K .由此可知由此可知, , , 只要满足只要满足只要满足A A K =0=0，就可以利用此题求出一类矩阵，就可以利用此题求出一类矩阵，就可以利用此题求出一类矩阵E E ±A 的逆矩阵的逆矩阵. .例2 设 A =úúúúûùêêêêëé0000300000200010,求 E-A E-A的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵. .分析由于由于由于A A 中有许多元素为零中有许多元素为零, , , 考虑考虑考虑A A K 是否为零矩阵是否为零矩阵, , , 若为零矩阵若为零矩阵若为零矩阵, , , 则可以则可以采用例采用例2 2 2 的方法求的方法求的方法求E-A E-A E-A的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵. .解容易验证容易验证容易验证A 2=úúúúûùêêêêëé0000000060000200， A 3=úúúúûùêêêêëé0000000000006000， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,)=E,所以所以所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=úúúûùêêêëé1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法常用初等变换法常用初等变换法..如果如果A A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵等变换，化为单位矩阵I I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s pp p 21A=I A=I，用，用，用A A 1-右乘上式两端，得：右乘上式两端，得：（（2）s p p p 21I= A 1- 比较（比较（11（）（22）两式，可以看到当）两式，可以看到当A A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵矩阵I I 作同样的初等变换，就化为作同样的初等变换，就化为A A 的逆矩阵的逆矩阵A A 1-.用矩阵表示（用矩阵表示（A I A I A I））¾¾¾®¾初等行变换为（为（I A I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法它是实际应用中比较简单的一种方法..需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换等变换..同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. .例1 求矩阵求矩阵A A 的逆矩阵的逆矩阵..已知已知A=A=úúúûùêêêëé521310132.解 [A I]®úúúûùêêêëé100521010310001132®úúúûùêêêëé001132010310100521® úúúûùêêêëé--3/16/16/1100010310100521®úúúûùêêêëé-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=úúúûùêêêëé-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道在事先不知道n n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法..如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着则意味着A A 不可逆，因为此时表明A =0=0，，则A 1-不存在不存在. .例2 求A=úúúûùêêêëé987654321.解 [A E]=úúûùêêëé100987010654001321®úúûùêêëé------1071260014630001321® úúúûùêêêëé----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为由于左端矩阵中有一行元素全为00，于是它不可逆，因此，于是它不可逆，因此A A 不可逆不可逆. .3.伴随阵法定理 n n阶矩阵阶矩阵阶矩阵A=[a A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是为可逆的充分必要条件是A A 非奇异非奇异..且A 1-=A 1úúúúûùêêêêëénn nnn n A A A A A A A A A ............ (212221212111)其中其中A A ij 是A 中元素中元素a a ij 的代数余子式的代数余子式. .矩阵úúúúûùêêêêëénn nn n n A A A A A A A A A (2122212)12111称为矩阵称为矩阵A A 的伴随矩阵，记作的伴随矩阵，记作A A 3，于是有，于是有A A 1-=A 1A 3.证明必要性：设A 可逆，由A A 1-=I =I，，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ¹0，即A 为非奇异为非奇异. .充分性：充分性：设A 为非奇异，存在矩阵为非奇异，存在矩阵B=A 1úúúúûùêêêêëénn nnn n A A A A A A A A A (21222)1212111，其中其中AB=úúúûùêêêëénn n n n n a a a a a aa a a ............... (2)12222111211´A 1úúúûùêêêëénn nnn n A A A A A A A A A ............... (212)221212111=A 1úúúúûùêêêêëéA A A A ...00.........0...00...0=úúúúûùêêêêëé1...00...1......0...100 (01)=I同理可证同理可证BA=I. BA=I.由此可知，若由此可知，若A A 可逆，则可逆，则A A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循规律可循..因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，只需要将主对角线元素的位置互换，只需要将主对角线元素的位置互换，次对次对角线的元素变号即可角线的元素变号即可. .若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或个或99个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错出现符号及计算的差错..对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I =I来检验来检验来检验..一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查旦发现错误，必须对每一计算逐一排查. .4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题设设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且都是非奇异矩阵，且A A 11为n 阶方阵，阶方阵，A A 22为m 阶方阵阶方阵úûùêëé22110A A úûùêëé--12211100AA 证明因为A =22110A A =11A 22A ¹0, 0, 所以所以所以A A 可逆可逆. . 设A 1-=úûùêëéW ZY X，于是有úûùêëéW ZY X úûùêëé22110A A =úûùêëém nI I 00,其中其中 X A X A 11=I n ， Y A 22=0=0，，Z A 11=0=0，，W A 22=I m .又因为又因为A A 11、A 22都可逆，用都可逆，用A A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0Y=0，，Z=0Z=0，，W= A 122-故 A 21= úûùêëé--1221110A A把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-úúúúûùêêêêëék A A A =úúúúúûùêêêêêëé---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有都是非奇异矩阵，则有1221211-úûùêëéA A A =úûùêëé-----122122121111110A A A A A证明因为因为úûùêëé2212110A A A úûùêëé--I A A I 012111=úûùêëé22110A A两边求逆得两边求逆得1121110--úûùêëé-I A A I 12212110-úûùêëéA A A =úûùêëé--12211100A A 所以所以 1221211-úûùêëéA A A =úûùêëé--I A A I 012111úûùêëé--12211100A A=úûùêëé-----122122121111110A A A A A同理可证同理可证12221110-úûùêëéA A A =úûùêëé-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. . . 是特殊方阵求逆的是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E =E，把题目中的逆矩阵化简掉。

高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组教学案苏教版选修0

λ－2 3λ＋ 5
∴
的最大值为 3.
2λ－ 2 5λ＋ 8
ab
ab
(1)矩阵 A＝
与它的行列式 det(A)＝
的意义是不同的．矩阵 A 不是一个数，
cd
cd
而是 4 个数按顺序排列成的一个数表，行列式 det(A)是由矩阵 A 算出来的一个数，不同的矩
阵可以有相同的行列式的值．
ab
(2)
＝ad－ bc，它是位于两条对角线上的元素的乘积之差．
3 －3
解： (1)因为 D＝－1
＝ 3× 4－(－ 3)×(－ 1)＝ 9≠ 0，此方程组存在唯一解． 4
1 －3
又 D x＝ 3
＝ 1× 4－ (－ 3)× 3＝ 13， 4
31
Dy＝
＝ 3× 3－ 1×(－ 1)＝ 10.
－1 3
D x 13
D y 10
所以
x＝ D ＝ 9
，y＝ D ＝
. 9
cd
ab
(1)首先计算 det(A)＝
＝ ad－ bc，当 det(A)≠ 0 时，逆矩阵存在．
cd
d
det A (2)利用 A－ 1＝
－c
det A
－b det A
a det A
，求出逆矩阵 A－ 1.
3．判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵．
－1 1
1a
a0
(1)
； (2)
； (3)
.
11
01
3x－ 2y mx
即为
＝
，
x－ 4y my
3x－ 2y＝ mx， ∴
x－ 4y＝ my，
3－ m x－ 2y＝0，即

线性代数 2-4 可逆矩阵的逆矩阵

2a c 1, 2b d 0 , a 0, b 1,
又因为
a 0, b 1, c 1, d 2.
AB
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
所以
0 1 A .. 1 2
1
定理2.3 矩阵 A 可逆的充要条件是 1 1 A A , A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
A 0 ，且
证明若 A 可逆，即有A1使AA 1 E .
故 A A1 E 1,
所以 A 0. .
当 A 0时,
例5 证明:若A是可逆的反对称,则 A 1也是反对称矩阵。证明因为
( A1 )T ( AT )1 ( A)1 A1 ,
所以 A 是反对称矩阵。
1
同理可以证明:可逆的对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵。 .
例
设A,B均为n阶可逆矩阵,证明:
(1)
( AB ) B A ;
2.4 可逆矩阵的逆矩阵
一、概念的引入
在数的运算中，当数 a 0 时，有
aa a a 1,
其中 a 1 1 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）； a 在矩阵的运算中，单位阵 E相当于数的乘法运算中的1，那么，对于矩阵 A ，如果存在一个矩阵A1, 使得
1
1
AA1 A1 A E ,
a11 a12 a1n A11 A21 An1 a a22 a2 n A12 A22 An 2 21 AA a A a A a A A 11 12 1 1n 11 12 n a a a A A A n1A n a A nn n a 2 nA A 1 2 nn a

矩阵与变换

对应的矩阵叫做切变变换矩阵。
2.3 变换的复合与矩阵的乘法
2.3.1 矩阵乘法的概念 2.3.2 矩阵乘法的的简单性质
建构数学
规定：矩阵乘法的法则是:
a c
b e g d
f ae + bg af + bh ce + dg cf + dh h
一般地，对于平面上的任意一点（向量） ( x, y ), 若按照对应法则T，总能对应唯一的一个平面点(向量） x, y ), 则称T 为一个变换，简记（为 T： , y ) x, y )， (x （或 x x T： . y y
一般地，对于平面向量的变换T，如果变换规则为 x x ax + by T： y , 坐标变换的形式 y cx + dy 那么，根据二阶矩阵与向量的乘法规则可以改写为 x x a b x T： y y 矩阵乘法的形式 y c d 的矩阵形式，反之亦然（a, b, c, d R ).
建构数学
设矩阵A＝
f (l )
a b R，我们把行列式 c d ，l
l a
c
b
l d 称为A的特征多项式。
l 2 (a + d )l + ad bc
分析表明，如果l是矩阵A的特征值，则f (l)0 x0 此时，将l代入方程组(*)，得到一组非零解 y0 x0 即为矩阵A的属于l的一个特征向量. y0
切变变换
矩阵
1 k 0 1 把平面上的点P(x,
y)沿x轴方向
平移|ky|个单位: 当ky>0时，沿x轴正方向移动；当ky<0时，沿x轴负方向移动；当ky=0时，原地不动. 在此变换作用下，图形在x轴上的点是不动点。

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2.4逆变换和逆矩阵第一课时逆变换与逆矩阵[教学目标]一、知识与技能：会用代数或几何方法判断一个二阶矩阵是否存在逆矩阵，存在情况下，会求逆矩阵二、过程与方法：讲练结合法三、情感态度和价值观：体会问题的探究与深入方法 [教学难点、重点]求二阶逆矩阵 [教学过程] 一、问题情景⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 1T 变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡//y x −−→−2T 变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x （1）这个对应终归是什么对应？ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x（2）这个对应是否一定可以实现？在学过的恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换中，哪些可以实现，那些不能？由此得到能实现此这种变换的条件是什么？（不一定能实现；恒等、伸压、反射、旋转、切变可以实现，投影不能实现；是一一对应的变换可以实现，不是一一对应的不能实现）（3）对应的矩阵如何表示？若T 1对应变换矩阵为A ，T 2对应的变换矩阵为B ，BA=E 二、问题的深入 1、相关定义以上变换T 2、T 1称作对方的逆变换，T 1、T 2称互逆的相应的矩阵A 、B 满足：AB=BA=E ，称A 是可逆的，B 称A 的逆矩阵例1、A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0112,B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2110,C=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2110,问B 、C 是否为A 的逆矩阵？解答：B 不是，C 是思考1：一个矩阵A 存在逆矩阵，逆矩阵唯一吗？从直观角度上看，逆变换是唯一的，逆矩阵也应该唯一；可以进行验证：设A 的逆矩阵为B 1、B 2，则有：B 1=B 1E=B 1（AB 2）=（B 1A ）B 2=EB 2=B 2这样，一个矩阵A 存在逆矩阵，则其逆矩阵唯一，记为A -1思考2：如何判断一个二阶矩阵存在逆矩阵，又如何求呢？从几何角度是一个办法，但不是最家办法，因为许多矩阵不能看出是什么变换。

所以从一般的角度加以考虑。

首先，零矩阵一定没有逆矩阵设二阶非零矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a 的逆矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121y y x x ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121y y x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001 即方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④dy cx ③by ax ②dy cx ①by ax 100122221111 有解，①②组成的x 1,y 1的方程组要有解；③④组成的x 2、y 2的方程组也要有解现用消去法解①②方程组。

①×d 得：adx 1+bdy 1=d ②×b 得：cbx 1+bdy 1=0 两式作差得到(ad-bc)x 1=d,要有解，必须ad-bc ≠0，此时x 1=bc ad d -,将之代入②得y 1=-bcad b-对于③④，实质是将①②中a 与c,b 与d 互换，从而x 2=bc ad a -,y 2=-bcad c-2、结论：一个二阶非零矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a存在逆矩阵的条件是ad-bc ≠0（主对角线积与副对角线积的差不为0），此时⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------bc ad a bc ad c bc ad b bc ad d 与原矩阵比较：分母都是ad-bc ，分子主对角线互换，副对角线变为其相反数即：主角对角积相减，四元分母尽一般；分子主角两相换，副角分子数相反这样判断及求逆矩阵方法有几何法和代数法两个方法例2、判断下列矩阵是否存在逆矩阵，存在条件下，求其逆矩阵 (1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110 (2)⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101 (3)⎥⎦⎤⎢⎣⎡3715 解：（1）存在逆矩阵，⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110-1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110 （2）不存在逆矩阵（3）存在逆矩阵，⎥⎦⎤⎢⎣⎡3715-1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--85878183 思考3：A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001，B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110 求A -1、B -1、(AB)-1及B -1A -1，由此看出什么规律，这个规律是否对一般的情况仍然成立？A -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001,B -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110,(AB)-1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0110-1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0110,B -1A -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0110,(AB)-1=B -1A -1对于一般的⎥⎦⎤⎣⎦⎢⎣⎡−−−←−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡--y x y x y x A A T T BB11//变换，对应矩阵也应有(AB)-1=B -1A -1 这个结论还可以用代数方法证明：(AB)(B -1A -1)=A(BB -1)A -1=AEA -1=AA -1=E ，同理(B -1A -1)(AB)=E根据定义有(AB)-1=B -1A -1例3、求⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡102112001的逆矩阵（⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-210411）例4、A 、B 、C 为二阶矩阵，AB=AC ，A 存在逆矩阵，则B 与C 是否相等，证明你的结论解：AB=AC ⇒A -1AB=A -1AC ⇒EB=EC ⇒B=C这一结论可以回答：矩阵乘法的消去律在有逆矩阵条件下成立练习：A 、B 、C 为二阶矩阵，BA=CA ，A 存在逆矩阵，则B 与C 是否相等，证明你的结论（相等）三、小结：1、一个二阶非零矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a存在逆矩阵的条件是ad-bc ≠0（主对角线积与副对角线积的差不为0），此时⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------bc ad a bc ad c bc ad b bc ad d 2、(AB)-1=B -1A-13、A 存在逆矩阵时，AB=AC 或BA=CA ，则B=C 四、作业：教材P63---1,2,3,6 [补充习题] 1、讨论矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡d b 01存在逆矩阵的条件，当它可逆时求其逆矩阵 2、求⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡01101201的逆矩阵[补充习题答案]1、d=0时不存在逆矩阵；d ≠0时，存在逆矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-d d b 1012、⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0112 [情况反馈]第二课时二阶矩阵与二元一次方程组[教学目标]一、知识与技能：了解二阶行列式的定义，会用行列式和矩阵的方法求二元一次方程组的解，能用变换和映射的观点认识方程组解的意义二、过程与方法：讲授法三、情感态度和价值观：体会不同方法解题的优越性 [教学难点、重点]矩阵法解方程组原理 [教学过程] 一、情景引入消元法二求解元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝mcx ＋dy ＝n 当ad －bc≠0时，方程组的解为⎩⎨⎧x ＝md －bn ad －bc y ＝an －cm ad －bc问题：此结论有什么规律，能否进行简单记忆？二、新课内容1、二阶行列式有关定义定义：det(A) ＝a b cd＝ad －bc因此方程组的解为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝m bn d a b cd y ＝am c n a b cd记：D ＝a b cd，D x ＝m b nd，D y ＝a m cn ，所以，方程组的解为⎩⎨⎧x ＝D x Dy ＝D y D这里D x 是将右边的常数列代替了x 列，D y 是将y 列用常数列代替思考：二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a与二阶行列式a b c d 有什么不同？（矩阵是数表，行列式是一个数值）例1 求方程组⎩⎨⎧=-+=-+06540132y x y x 的解解：[方法一]原方程可以化为⎩⎨⎧=+=+654132y x y x ，D=5432=-2,D x =5631=-13,D y =6412=8所以，方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-====4213DD y D D x yx 分析二：原方程化成⎩⎨⎧=+=+654132y x y x 之后，可以用矩阵表示为AX=B,这样A -1AX=A -1B,X=A -1B[方法二] 原方程可以化为⎩⎨⎧=+=+654132y x y x ,即⎥⎦⎤⎢⎣⎡6432⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡61⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡6432-1⎥⎦⎤⎢⎣⎡61=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--122325⎥⎦⎤⎢⎣⎡61=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-4213，故方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧-==4213y x 说明：方法二的解法为矩阵法，对一般的存在逆矩阵的方程组解法有直接解方法、行列式法、矩阵法，有的还有几何法练习1：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+2321y y x （x=2,y=2）练习2：解方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡1201⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡94 (x=4,y=1) 练习3：在矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡5221对应的变换T M 作用下，求点P(1,0)、Q(0,1)的原象点的坐标例2、给定一个二阶A ，α=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11n m ，β=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22n m ，α≠β 求证（1）若A 可逆，则有A ≠A (2)若A =A ，则A 不可逆，并说明其几何意义证明：(1)假设A =A ，则A -1A =A -1A β，=与已知矛盾，故A ≠A β(2)若A 可逆，设为A -1，则A -1A α=A -1A β，α=β与已知矛盾，故A 不可呢。

几何意义，当一个矩阵将两个不同元素变为同一元素时，必非一一对应，矩阵不可逆例3、研究⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡22的解解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101是将平面上所有的点都垂直于x 轴投影到y=x 上，通过运算也可以得到⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡22，x=2 所以方程组有无数多个解，满足x=2直线上所有点都是其解说明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101不可逆，不能用行列式或逆矩阵方法求解三、小结：方程组解法——直接法、行列式法、逆矩阵法、几何变换法四、作业：教材P63---4,5,7,8,9 [补充习题]1、对于二元一次方程组A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡n m ,其中A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a,若A 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d n b m ,A 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n c m a ,用A 、A 1、A 2的行列式表示方程组的解2、T A 是绕原点旋转600的旋转变换，T B 是切变角为450沿OX 轴方向的切变变换，P −→−A TP /(2,4)−→−BTP //,求P 和P //的坐标3、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡5342=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1021[补充习题解答]1、|A|≠0时，有唯一解x=||||1A A ,y=||||2A A ;|A|=0,|A 1||A 2|≠0时，无解；|A|=0,|A 1||A 2|=0时有无穷多个解2、P(1+23,-3+2),P //(6,4)。