2.4逆变换和逆矩阵

2.4逆变换和逆矩阵

第一课时 逆变换与逆矩阵

[教学目标]

一、知识与技能：会用代数或几何方法判断一个二阶矩阵是否存在逆矩阵，存在情况下，会求逆矩阵 二、过程与方法：讲练结合法

三、情感态度和价值观：体会问题的探究与深入方法 [教学难点、重点]求二阶逆矩阵 [教学过程] 一、问题情景

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡y x 1

T 变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡//y x −−

→−2

T 变换⎥⎦⎤

⎢⎣⎡y x （1）这个对应终归是什么对应？ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦

⎤⎢⎣⎡y x

（2）这个对应是否一定可以实现？在学过的恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换中，哪些可以实现，那些不能？由此得到能实现此这种变换的条件是什么？（不一定能实现；恒等、伸压、反射、旋转、切变可以实现，投影不能实现；是一一对应的变换可以实现，不是一一对应的不能实现） （3）对应的矩阵如何表示？若T 1对应变换矩阵为A ，T 2对应的变换矩阵为B ，BA=E 二、问题的深入 1、相关定义

以上变换T 2、T 1称作对方的逆变换，T 1、T 2称互逆的

相应的矩阵A 、B 满足：AB=BA=E ，称A 是可逆的，B 称A 的逆矩阵

例1、A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0112,B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2110,C=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-2110,问B 、C 是否为A 的逆矩阵？

解答：B 不是，C 是

思考1：一个矩阵A 存在逆矩阵，逆矩阵唯一吗？

从直观角度上看，逆变换是唯一的，逆矩阵也应该唯一；可以进行验证：设A 的逆矩阵为B 1、B 2，则有：B 1=B 1E=B 1（AB 2）=（B 1A ）B 2=EB 2=B 2

这样，一个矩阵A 存在逆矩阵，则其逆矩阵唯一，记为A -1

思考2：如何判断一个二阶矩阵存在逆矩阵，又如何求呢？

从几何角度是一个办法，但不是最家办法，因为许多矩阵不能看出是什么变换。所以从一般的角度加以考虑。首先，零矩阵一定没有逆矩阵 设二阶非零矩阵⎥⎦⎤⎢

⎣⎡d c b a 的逆矩阵为⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡2121

y y x x ，则

⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121

y y x x =⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡1001 即方程组⎪⎪⎩⎪⎪

⎨⎧=+=+=+=+④

dy cx ③by ax ②

dy cx ①

by ax 100122221111 有解，①②组成的x 1,y 1的方程组要有解；③④组成的x 2、y 2的方程

组也要有解

现用消去法解①②方程组。①×d 得：adx 1+bdy 1=d ②×b 得：cbx 1+bdy 1=0 两式作差得到

(ad-bc)x 1=d,要有解，必须ad-bc ≠0，此时x 1=

bc ad d -,将之代入②得y 1=-bc

ad b

-

对于③④，实质是将①②中a 与c,b 与d 互换，从而x 2=bc ad a -,y 2=-bc

ad c

-

2、结论：一个二阶非零矩阵⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡d c b a

存在逆矩阵的条件是ad-bc ≠0（主对角线积与副对角线积的差不为0），此时⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a -1=⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡

------bc ad a bc ad c bc ad b bc ad d 与原矩阵比较：分母都是ad-bc ，分子主对角线互换，副对角线变为其相反数 即：主角对角积相减，四元分母尽一般；分子主角两相换，副角分子数相反 这样判断及求逆矩阵方法有几何法和代数法两个方法

例2、判断下列矩阵是否存在逆矩阵，存在条件下，求其逆矩阵 (1)⎥⎦⎤⎢

⎣⎡0110 (2)⎥⎦

⎤⎢⎣⎡0101 (3)⎥⎦⎤

⎢⎣⎡3715 解：（1）存在逆矩阵，⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110-1=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡0110 （2）不存在逆矩阵

（3）存在逆矩阵，⎥

⎦⎤⎢⎣⎡3715-1=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--8587

818

3 思考3：A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001，B=⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡-0110 求A -1、B -1、(AB)-1及B -1A -1

，由此看出什么规律，这个规律

是否对一般的情况仍然成立？

A -1

=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡-1001,B -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110,(AB)-1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0110-1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0110,B -1A -1=⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡--0110,(AB)-1=B -1A -1

对于一般的⎥⎦

⎤⎣⎦⎢⎣⎡−−−←−→−

⎥⎦⎤⎢⎣⎡--y x y x y x A A T T B

B

1

1//变换，对应矩阵也应有(AB)-1=B -1A -1 这个结论还可以用代数方法证明：(AB)(B -1A -1

)=A(BB -1

)A -1

=AEA -1

=AA -1

=E ，同理(B -1A -1

)(AB)=E

根据定义有(AB)-1=B -1A -1

例3、求⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡10

211

2001的逆矩阵 （⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣

⎡

-210411） 例4、A 、B 、C 为二阶矩阵，AB=AC ，A 存在逆矩阵，则B 与C 是否相等，证明你的结论

解：AB=AC ⇒A -1AB=A -1

AC ⇒EB=EC ⇒B=C

这一结论可以回答：矩阵乘法的消去律在有逆矩阵条件下成立

练习：A 、B 、C 为二阶矩阵，BA=CA ，A 存在逆矩阵，则B 与C 是否相等，证明你的结论（相等）

三、小结：1、一个二阶非零矩阵⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡d c b a

存在逆矩阵的条件是ad-bc ≠0（主对角线积与副对角线积的差不为0），此时⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a -1=⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡

------bc ad a bc ad c bc ad b bc ad d 2、(AB)-1

=B -1A

-1

3、A 存在逆矩阵时，AB=AC 或BA=CA ，则B=C 四、作业：教材P63---1,2,3,6 [补充习题] 1、讨论矩阵⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡d b 01存在逆矩阵的条件，当它可逆时求其逆矩阵 2、求⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡01101201的逆矩阵

[补充习题答案]

1、d=0时不存在逆矩阵；d ≠0时，存在逆矩阵⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣

⎡

-d d b 101