15.数学第13讲反比例函数的图象和性质(最新整理)

2 0 时，y＝x；②△OPQ 的面积为定值；③x＞0 时，y 随 x 的增大而增大；④MQ＝2PM；⑤∠POQ
可以等于 90°.其中正确的结论是(B)
第 4 题图
A. ①②④ B. ②④⑤ C. ③④⑤ D. ②③⑤
2 【解析】 根据程序图可知，当 x<0 时，y＝－ ，图象是位于第二象限的双曲线；当 x>0
4 针对训练 2 已知点 A(2，y1)，B(1，y2)都在反比例函数 y＝x的图象上，则(A)
A. y1＜y2 B. y1＞y2 C. y1＝y2 D. 不能确定
4 【解析】 ∵k＝4＞0，∴反比例函数 y＝x的图象位于第一、三象限．∵在第一象限内，y 随 x 的增大而减小，且 2＞1，∴y1＜y2.
x
4
时，y＝ ，图象是位于第一象限的双曲线，y x
随
x
的增大而减小．故①③错误．S△OPQ＝S△OPM＋S
2
4
△OQM＝1＋2＝3.故②正确．设点
P，Q
的纵坐标为
a，则
PM＝ ，MQ＝ ，∴MQ＝2PM.故④
a
a
正确．观察图象，点 M 由低向高平移过程中，PQ 的长度逐渐减小，∠POQ 的度数逐渐减小，
第 13 讲 反比例函数的图象和性质
1
{ )x(x＞0)，
1. (2019，河北)如图，函数 y＝ 1
的图象所在坐标系的原点是(A)
－ (x＜0)
x
第 1 题图
A. 点 M B. 点 N C. 点 P D. 点 Q
1
{ )(x＞0)，
x
【解析】 因为函数 y＝ 1
的图象关于 y 轴对称，且 x≠0，y≠0，所以点 M 是
例 4 (2019，雅安)如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝－x＋m 的图象与反比例函 k
数 y＝x(x＞0)的图象相交于 A，B 两点，已知点 A(2，4)． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求点 B 的坐标； (3)连接 AO，BO，求△AOB 的面积．
在图象上，则点 P′(－x，－y)也在图象上．其中正确的是(C)
第 3 题图 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【解析】 ∵反比例函数的图象位于第一、三象限，∴m>0.故①错误．当反比例函数的
1
图象位于第一、三象限时，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小．故②错误．将 A(－1，h)，B(2，k)
k
k
5.∴C(4，4)．将点
C(4，4)的坐标代入
y＝x，得
4＝ .∴k＝16. 4
例 3 答图 2k－3 针对训练 3 已知反比例函数 y＝ 的图象经过点(1，1)，则 k 的值为(D)
x A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
3
【解析】 由题意，得 2k－3＝1.解得 k＝2.
反比例函数与一次函数的综合应用
－ (x＜0)
x
原点．
a
{ ) 2. (2014，河北)定义新运算：a⊕b＝
（b＞0）， b
a
4
4
例如：4⊕5＝5，4⊕(－5)＝5.函数 y＝
－ （b＜0）.
b
2⊕x(x≠0)的图象大致是(D)
A
B
C
D
2
{ )x（x＞0），
2
【解析】 由题意，得 y＝2⊕x＝ 2
当 x＞0 时，反比例函数 y＝x的图象位于
其度数可以等于 90°.故⑤正确．
反比例函数的图象
k 例 1 (2019，安徽)已知点 A(1，－3)关于 x 轴的对称点 A′在反比例函数 y＝x的图象上，
则实数 k 的值为(A)
1
1
A. 3 B. C. －3 D. －
3
3
【解析】 点 A(1，－3)关于 x 轴的对称点 A′的坐标为(1，3)．把 A′(1，3)的坐标代入 y＝ k ，得 k＝1×3＝3. x
x
知双曲线位于第二、四象限，故选项 B 正确．由反比例函数图象的对称性，知反比例函数 y＝－
3
的图象关于直线 x
y＝x
对称，故选项
C
正确．由反比例函数的性质，知Biblioteka k＜0时，在每个象限
内，y 随 x 的增大而增大，不在同一象限内，不具有此性质，故选项 D 不正确．
反比例函数的性质
1 例 2 (2019，毕节)若点 A(－4，y1)，B(－2，y2)，C(2，y3)都在反比例函数 y＝－x的图象
3 针对训练 1 (2019，天门)关于反比例函数 y＝－x，下列说法不正确的是(D)
A. 图象经过点(1，－3)
B. 图象位于第二、四象限
C. 图象关于直线 y＝x 对称
D. y 随 x 的增大而增大
2
3 【解析】 点(1，－3)的坐标满足反比例函数的解析式 y＝－ ，故选项 A 正确．由 k＝－3＜0，
确定反比例函数的解析式
例 3 (2019，山西)如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，菱形 ABCD 的顶点 B k
在 x 轴的正半轴上，点 A 的坐标为(－4，0)，点 D 的坐标为(－1，4)，反比例函数 y＝x(x＞0) 的图象恰好经过点 C，则 k 的值为 16 .
例 3 题图
【解析】 如答图，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，则 AD＝5.∵四边形 ABCD 为菱形，∴CD＝
－ （x＜0）.
x
2 第一象限；当 x＜0 时，反比例函数 y＝－ 的图象位于第二象限．∵反比例函数的图象是双
x
曲线，∴选项 D 符合题意．
m 3. (2013，河北)反比例函数 y＝x的图象如图所示，以下结论：①常数 m＜－1；②在每
一个象限内，y 随 x 的增大而增大；③若点 A(－1，h)，B(2，k)在图象上，则 h＜k；④若点 P(x，y)
m
m
的坐标代入 y＝ ，得到 h＝－m，k＝ .∵m>0，∴h＜k.故③正确．由反比例函数图象的中心
x
2
对称性知④正确．
4. (2011，河北)根据图①所示的程序，得到了 y 与 x 的函数图象，如图②.若点 M 是 y
轴正半轴上任意一点，过点 M 作 PQ∥x 轴交图象于点 P，Q，连接 OP，OQ，则以下结论：①x＜
上，则 y1，y2，y3 的大小关系是(C) A. y1＞y2＞y3 B. y3＞y2＞y1 C. y2＞y1＞y3 D. y1＞y3＞y2 【解析】 ∵k＝－1＜0，∴函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随 x 的增
大而增大．∵点 A(－4，y1)和点 B(－2，y2)都在第二象限，且－4＜－2，∴0＜y1＜y2.∵点 C(2，y3) 在第四象限，∴y3＜0.∴y3＜y1＜y2，即 y2＞y1＞y3.