余角与补角--方位角
4.3.3 余角和补角
85° 58°
45° 13° 27°37′ (90–x)°
∠α的补角
175° 148° 135° 103° 117°37′ (180–x)°
观察可得结论：锐角的补角比它的余角大_9_0_°__.
探究新知 知识点 2 余角和补角的性质
思考：∠1 与∠2， ∠1 与∠3都互为补角， ∠2 与∠3 的大小有什么关系？
4.3 角
4.3.3 余角和补角
导入新知
如图坝底是由石块堆积而成， 要测出∠1的度数，你有什么简单 的方法吗？
要解决这问题，我们先来学习余角和补角.
素养目标
2. 了解方位角的概念，并能用方位角知识解 决一些简单的实际问题.
1. 了解余角、补角的概念，掌握余角和补角 的性质，并能利用余角、补角的知识解决相 关问题.
AO
B
又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC， 所以∠COD+∠COE = 1∠AOC+ 1 ∠BOC = 1(∠AOC+∠BOC ) =290°. 2
2
所以∠COD和∠COE互为余角，
同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.
巩固练习
如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°． （1）∠AOD的余角是_∠__C_O__E_、__∠__B__O_E_，∠COD的余角是 _∠__C__O_E_、__∠__B__O_E___; （2）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．
1
2
3
= ∠2=180°–∠1
∠3=180°–∠1
结论：同角 (等角) 的补角相等.
类似地，可以得到：同角 (等角) 的余角相等.
七年级数学上册第四章几何图形初步《角：余角和补角(方位角)》
新2024秋季七年级人教版数学上册第四章几何图形初步《角：余角和补角（方位角）》听课记录一、教学目标（核心素养）核心素养目标：1.空间观念：通过余角和补角的概念学习，增强学生的空间想象能力，理解角之间的互补与互余关系。
2.逻辑推理：掌握余角和补角的性质，学会运用这些性质进行角的计算和推理。
3.数学运算：提高学生的数学运算能力，尤其是在处理角的加减运算时能够准确无误。
4.问题解决：能够应用余角和补角的知识解决实际问题，如计算方位角等。
二、导入教师行为：•教师首先展示一个直角，并提问：“同学们，你们知道这个角是多少度吗？”学生回答后，教师继续引导：“如果我们从这个直角中减去一个角，得到的角与原来的角之间有什么关系呢？”•教师引入余角和补角的概念，简要说明它们各自的定义和性质。
学生活动：•学生积极思考并回答教师的问题，对直角有基本的认识。
•认真倾听教师讲解余角和补角的概念，初步理解它们之间的关系。
过程点评：•导入环节通过学生熟悉的直角入手，自然引出余角和补角的概念，激发了学生的学习兴趣和好奇心。
•教师的提问和引导有助于学生建立新旧知识之间的联系，为后续学习打下基础。
三、教学过程（一）余角和补角的概念讲解教师行为：•详细讲解余角和补角的定义，强调“和为90度”与“和为180度”的关键特征。
•通过图示和实例，帮助学生直观理解余角和补角的概念及其在空间几何中的应用。
学生活动：•认真听讲，记录关键信息，尝试用自己的话复述余角和补角的定义。
•观察图示和实例，加深对余角和补角概念的理解。
过程点评：•教师讲解清晰，图文并茂，有助于学生理解和掌握余角和补角的概念。
•学生积极参与，通过复述和观察，进一步巩固了所学知识。
（二）余角和补角的性质应用教师行为：•设计一系列练习题，包括角的加减运算、判断角的余角和补角等，让学生独立完成。
•巡视课堂，及时发现并解决学生在解题过程中遇到的问题。
•邀请学生分享解题思路和答案，进行集体讨论和纠正。
中小学数学课件：余角和补角
课堂检测 3.如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式 中∠α与∠β互余的是 （ A ）
A．图①
B．图②
C．图③
D．图④
4.∠α=35°，则∠α的补角为__1_4_5__度．
课堂检测
5. 如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.
C
(1) 图中有哪几对互余的角？
21
答案：∠A+∠B=90°，∠1+∠B=90°， A
巩固练习
(2)指出图中所有互余和互补的角． 解：互余的角：∠1与∠2；∠1与∠BOE；∠2与 ∠AOF；∠BOE与∠AOF. 互补的角：∠BOE与∠AOE；∠2与∠AOE； ∠AOF与∠BOF；∠1与∠BOF；∠AOC与∠BOC.
探究新知
想一想
∠α
∠α的余角
5° 32° 45° 77° 62°23′ x°(0＜x＜90)
解：OE平分∠BOC，理由如下： 因为∠DOE=90°，所以∠AOD+∠BOE=90°，
D
所以∠COD+∠COE=90°，
所以∠AOD+∠BOE=∠COD+∠COE，
因为OD平分∠AOC,所以∠AOD=∠COD， A O
所以∠COE=∠BOE，所以OE平分∠BOC．
C E
B
巩固练习
如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与 ∠AOC互余的角有_∠__B__O_C__和___∠__A__O__D_.
x + ( 3x+30 ) = 90. 解得 x=15. 故 ∠B 的度数为15°.
探究新知
素养考点 2 余角、补角、角平分线相结合的题目
例2 如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，
4.3.3余角和补角与方位角
2
1
4
3
补角性质：
等角的补角相等
补角性质：等角的补角相等
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如 果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
2
1
4
3
解： 因为 ∠1 +∠2=180°， ∠3 +∠4=180° 所以∠2=180°－∠1 ， ∠4=180°－ ∠3 因为∠1 =∠3 所以180°－∠1 = 180°－ ∠3 即：∠2 =∠4 （这里用到了： 等量减等量，差相等）
∠α的补角 170° 147°45′ 90° 75° 71°37′ 直角的补角是直角 钝角补角是锐角 锐角的补角是钝角
∠α
180° － ∠α
30° ; ①一个角为60°,则它的余角为_______ (90°-X) ②一个锐角为X，则它的余角为_______; 120° ③一个角为60°，则它的补角为_______; (180°-X) ； ④一个角为X，则它的补角为_______
●
北
B
东
点C在点A的北偏西60°方向 点A在点C的南偏东60°方向
40°40° 南
60°
西
C
A
东
60°
点D在点A的南偏西25°方向 点A在点D的北偏东25°方向 D
25°
点E在点A的南偏东60°方向 南点A在点E的北偏西60°方向
E
甲地对乙地的方位角
1. 先找出中心点,然 后画出方向指标 2. 把中心点和目的 地用线连接起來 3.度量向南的射线和 蓝色线之间的角度 乙地
比萨斜塔
2
1
互为余角(互余):
两个角 如果两个角的和是 90°(直角)，那么这两 个角叫做互为余角，其 互为 中一个角是另一个角的 余角。
202年初中数学七年级上册第四单元几何图形初步认识06 图形的认识(6)余角、补角和方位角
4.3.3 余角和补角一、余角和补角（1）如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个互为余角)即其中每一个角是另一个角的余角。
（2）如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个互为补角)即其中每一个角是另一个角的补角。
（3）余角、补角的性质。
同角（等角）的补角相等；同角（等角）的余角相等。
二、方位角；表示方向的角叫方位角。
有时以正北，正南方向为基准，描述物休运动的方向，如“北偏东30°”“南偏东25°”，表示方向的角（方位角）在航行，测绘和工作中经常用到。
概念题二、余角和补角（1）如果两个角的和等于( 角),就说这两个互为角)即其中每一个角是另一个角的角。
（2）如果两个角的和等于( 角),就说这两个互为角)即其中每一个角是另一个角的角。
（3）余角、补角的性质。
同角（等角）的角相等；同角（等角）的角相等。
三、叫方位角。
4.3.3 余角和补角（第一课时）1．探索“互为余角”的概念。
（1）用量角器理出图中的两个角的度数，并求出这两个角的和。
∠1= _ °, ∠2= _°, ∠1+∠2 = °（2）如果两个角的和等于_____度，就说这两个角互为余角。
上题中∠1是∠___的余角，∠2的余角是_____，∠1与∠___互为_____。
（3）说出一副(两块)三角尺中各个角的度数。
一块分别是： °, °, °；另一块分别是: °, °, °.其中：______度的角与______度的角互为余角，______度的角与______度的角互为余角。
（4）一个角是70°39’,那么它的余角的度数是________________。
2.探索“互为补角”的概念。
（1）用量角器理出图中的两个角的度数，并求出这两个角的和。
∠3= °, ∠4= _°, ∠3+∠4 = °（2）如果两个角的和等于_____度，就说这两个角互为补角。
4.3.3余角和补角-方位角(教案)
1.强化概念：通过多种方式（如图片、实物、动画等）展示余角和补角的概念，帮助学生形成直观的认识；
2.熟练运算：通过大量练习，让学生熟练掌握求余角和补角的方法，并能迅速准确地解答相关问题；
3.案例分析：结合实际案例，让学生了解方位角的应用，提高学生的实际操作能力；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调余角、补角的性质和求法，以及方位角的表示方法。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与余角、补角和方位角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用量角器测量角度，这个操作将演示余角和补角的基本原理。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解余角、补角和方位角的基本概念。余角是指两个角的和等于90度的两个角，补角是指两个角的和等于180度的两个角。方位角则表示物体相对于某一方向的角度。它们在几何、导航等领域具有重要应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。例如，在地图上确定某一地点相对于北方的方位角，这个案例展示了方位角在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-余角的定义与性质；
-补角的定义与性质；
-求一个角的余角和补角；
-方位角的定义与表示方法；
-应用：利用余角和补角以及方位角解决实际问题。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的几何直观能力，通过观察、思考和操作，使学生能够理解余角、补角和方位角的概念，形成空间观念；
2.提高学生的逻辑思维能力，让学生在求一个角的余角和补角的过程中，掌握推理和论证方法，发展演绎推理能力；
余角补角方位角
拓展延伸，布置作业
3.（选做题）一个角的余角比这个角的补
角的1 还小10°，求这个角的余角及这个角 3
的补角的度数.（用两种方法求解）
如果两个角的和等于180º（平角），就 说这两个角互为补角，即其中一个角是另一 个角的补角.
理解定义，巩固运用
1.定义中的“互为”是什么意思？
即每一个角都是另一个角的余角（补角）
2.把下图中∠1与∠ADF分离并多次变换位置，如图， 这两角还是互为补角吗？
D
F
1
A
理解定义，巩固运用
（1）若∠1与∠2互补，则∠1＋∠2=__1_8_0_°_. (2) ∠1=90º－∠2,则∠1与∠2的关系
1 2 ∠AOC+
1
ห้องสมุดไป่ตู้
1 ∠BOC 2
＝ 2(∠AOC+ ∠BOC)
＝90°
所以， ∠COD 和∠COE互为余角， 同理， ∠AOD +∠BOE，
∠AOD +∠COE ， ∠COD +∠BOE也互为余角.
推导性质，理解运用
有时以正北、正南方向为基准， 描述物体运动的方向.
表示方向的角（方位角）在航行、 测绘等工作中经常用到.
∴射线OA的方向就是南偏东 ● D 60°，即灯塔A所在的方向。
射 线 OB 的 方 向 就 是 北 偏 东 40°，即客轮B所在的方向。 西
北
●B
45°40°
O
●
东
射 线 OC 的 方 向 就 是 南 偏 西 10°，即货轮C所在的方向。
射 线 OD 的 方 向 就 是 南 偏 西 45°，即海岛D所在的方向。
(2)已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补.若 ∠1＝∠3，那么∠2和∠4 相等吗？为什么？
七年级数学上册 6.3 余角、补角、对顶角 什么是方向角？素材 苏科版(2021年整理)
七年级数学上册 6.3 余角、补角、对顶角什么是方向角？素材（新版）苏科版
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什么是方向角？
难易度：★★★
关键词：角
答案：
（1)方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向。
（2)用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西。
（注意几个方向的角平分线按日常习惯,即东北，东南，西北,西南.）（3）画方位角：以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线。
【举一反三】。