第一讲有理数的定义

第一讲 有理数的定义知识网络】有理数的定义与分类有理数的定义 数轴与相反数绝对值模块一：有理数的定义与分类【引例】1.小明的姐姐在银行工作，她把存入 3万元记作 +3万元，那么支取 2万元应记作 _ ,-4万元表示 _____________ ．2. 向东行进 - 50m 表示的意义是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〖〗A ．向东行进 50mB ．向南行进 50mC ．向北行进 50mD ．向西行进 50m3.任意写出 5个正数： _________________ ；任意写出 5个负数： __________________ 知识导航】1. 正、负数的概念的数叫做正数。

小学算术中学过的数（除了 0）都是正数。

11如：3，0.78 ， 6 ，200％（也可写作 +3，+0.78 ，5如：－ 33，－ 3.141592 ， 4等是负数。

它们都比2. 有理数的分类a。

（数学上， 有理数是两个整数的比， 通常写作 b ，这里 b 不为零。

分数是有理数的通常表达方法，而整数是分母为 1 的分数，当然亦是有理数。

）（1）按整数分数关系分类（2）按正数、负数与 0 的关系分类1） 正数：1116 ）等是正数。

它们都比 0大。

2） 负数：在正数前面加上“－”（读作“负”） 号的数，叫做负数。

正整数、零和负整数统称，正分数和负分数统称 。

整数和分数统称3. 生活中的有理数具有相反意义的两个量规定其中一个用正数表示，另一个量就用负数来表示，到底用正数，还是用负数来表示其中的一个量，只是我们的一种规定，但也常遵守人们的习惯。

比如人们习惯用正数表示零上温度，用正数表示收入等。

1）如果汽车向西行驶150m，记做+150m，那么向东行驶55m，就记做m 。

2）零度以上的气温用表示，零度以下的气温用表示。

3）水面比警戒线高4m，记做+4m，比警戒线低4m，记做m 。

河流沿岸人们关注水位的升降，当水位为一个很大的正数，就要防洪；水位为一个很小的负数，就要抗旱。

【典型例题】例 1.（1）下列说法正确的是（）A. 整数，分数和负数称为有理数B. 有理数分为正有理数和负有理数C. 正整数都是整数，整数都是正整数D. 0 是整数，也是自然数11（2）给出下列各数：-3 ，0，+5， 3 ，+3.1 ，，2004，+2008．其中是负数22的有（）A ．2 个B．3个C．4 个D．5个例 2. 下列说法是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”，并说明理由。

（1）前进2km记作+2km，那么－5km就表示后退－5km。

（）（2）有理数中不是正数的数就是负数。

（）（3）有一种记法，80分以上如88分记为+8，某学生得分为74分，应记为－6分）（4）负整数和非负整数统称为整数。

（例 3. 下列结论中正确的是（）A. 0 既是正数，又是负数。

B. 0 是最小的正数。

C. 0 是最大的负数。

D. 0 既不是正数，也不是负数。

例 4. 数学考试成绩85 分以上为优秀，以85 分为标准，老师将某一小组五名同学的成绩简记为：+9，－4，+11，－7，0，则这五名同学的实际成绩分别为多少？例5．（1）下列说法中正确的是（）A．非负有理数就是正有理数B．零表示没有，不是自然数C．正整数和负整数统称为整数D．整数和分数统称为有理数（2）下列说法中不正确的是（）A．-3.14 既是负数，分数，也是有理数B．0 既不是正数，也不是负数，但是整数C．-2000 既是负数，也是整数，但不是有理数D．O是非正数（3）下列说法正确的是（）A 没有最大的正数，但有最大的负数；B 没有最小的负数，但有最小的正数；C 有最大的负整数，也有最小的正整数；D 有最小的有理数是0。

例 6 ．把下列各数分别填在相应集合中：11，-0.20 ，3 ，325，-789，0，-23.13 ，0.618 ，-2004 ．5正数集合：{ ⋯} ；负数集合：{⋯}；非正数集合：{ ⋯} ；非负数集合：{⋯}．0.03例7. 一种零件的零件直径尺寸在图纸上的表示是30 0.02（单位毫米）表示这种零件的标准尺寸是30 毫米，加工要求最大不超过标准尺寸的毫米例8. 小李到银行共办理了四笔业务，第一笔存入120 元，第二笔支取了85 元，第三笔取出70 元，第四笔存入130 元．如果将这四笔业务合并为一笔，?请你替他策划一下这一笔业务该怎样做．【精练精学】1．在下列四组数13(1)-3 ，2.3，1；(2) 3，440，212；11(3) 131，0.3 ，7；(4)1，1252中，三个数都不是负数的组是（）A．(1)(2) B ．(2)(4)C(3)(4) D．(2)(3)(4)2．给出下列说法：1①0是整数；② 21是负分数；③ 4.2 不是正数；④自然数一定是正数；⑤负分数一3定是负有理数．其中正确的有（）A．1个B．2 个C．3个D．4 个3．同学聚会，约定在中午12 点到会，早到的记为正，迟到的记为负，结果最早到的同学记为＋ 3 点，最迟到的同学记为-1.5 点，?你知道他们分别是什么时候到的吗？最早到的同学比最迟到的同学早多少小时？4．在下表适当的空格里画上“√”号5．1. 把下列各数分别填在相应的大括号内：25， 2 ，－0.91 ，π，3.14 ，－7，80，－50，7 ，9。

（1）整数集合：{ ⋯⋯}（2）分数集合：{ ⋯⋯}（3）正整数集合：{ ⋯⋯}（4）负整数集合：{ ⋯⋯}（5）正分数集合：{ ⋯⋯}（6）负分数集合：{ ⋯⋯}（7）正有理数集合：{ ⋯⋯}（8）负有理数集合：{ ⋯⋯}（9）有理数集合：{ ⋯⋯}6. 下列说法正确的是（）A. 记向东行为正，－20km表示向西－20kmB. 正有理数和负有理数统称为有理数C. 整数和分数统称有理数D. 温度上升 2 度记作+2度，则－3 度表示零下3 度7. 小于4 的负整数有（）A. 无数个B. 3 个C. 2 个D. 4 个8. 某粮店出售的三种品牌面粉，分别标有（2.5 0.1 ）kg，（2.5 0.2 ）kg，（2.5 0.3 ）kg，的字样，现从中任意拿出两个袋，它们的质量最多相差（）A. 0.4kgB. 0.5kgC. 0.6kgD. 0.8kg模块二：数轴与相反数【知识导航】1. 在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴 （number axis ）, 它满足 以下要求 :（1）在直线上任取一个点表示数 0，这个点叫做原点（2）通常规定直线上从原点向右（或向上）为正方向，从原点向左（或向下）为 负方向（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度去一个 点，依次表示为1,2,3 ⋯⋯；从原点向左，用类似方法依次表示 1, 2, 3 ，⋯⋯（4）我们把这种规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴2. 相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数 （opposite number ）（1）一般的， a 和 a 互为相反数。

这里， a 表示任意一个数，可以是正数、负数， 也可以是 0（2）特别的， 0 的相反数是 0 （3）互为相反数的两数之和为 0（4）互为相反数的两数在数轴上的对应点离原点距离相等。

【典型例题】例 1. 如下图所示，数轴中正确的是（ ）－1 0 1－ 1 0 1 －1 0 1A B C D例 2. 把下列各数在数轴上表示出来，并且从小到大用“<”连接起来：例 3. （1）大于－ 5 而不大于 2 的所有的整数是 ___ 。

（2）在数轴上表示数 2 的点与表示数－ 5 的点之间的距离是 ____ 。

（3） 把在数轴上表示－ 1 的点移动 3 个单位长度后，所得到对应点的数是4）数轴上的 A 点与表示－ 3的点距离 4个单位长度，则 A 点表示的数－2，32，0，14，1，411412，512。

为．例 4. 求下列各数的相反数：例 5. 化简下列各数中的符号：例 6 ．下列语句中，正确的是()A. 一个数的相反数比它本身小B. 一个数的相反数肯定与这个数的符号不同C.一个数和它的相反数在数轴上对应的点，一个在原点左边，一个在原点右边D.互为相反数的两个数在数轴上表示它们的点到原点的距离相等 例 7. 下列各数中，互为相反数的是( )C. 4 与 4D. a 与 a例 8. 如图所示(1) 点 A 到点 B 的距离是多少？ (2) 点 M 到 A ，B 的距离之和是多少？(3) 点 M 在 A ，B 之间移动时， M 到 A ，B 的距离之和是多少？【精练精学】1．(1) 下列图中为数轴是(1) 5 ； 1 2；3) 0； 4) 3 ；5) 2b ；6)b ；7) a21)232)5)3)( 7)4)( 3)A. 5 与 5B. 3 与 31 2 1 2(2)在数轴上表示－21和 1 2，并根据数轴指出所有大于-2 1而小于12的整数．2 3 2 32. 数a、b 在数轴上的位置如图，比较a,b, a, b 四个数的大小3. (1)一个点从数轴上表示— 2 的点开始，向右移动4个单位长度，再向左移动 5 个单位长度，说明这时这个点表示的数．(2)数轴上与原点相距 3 个单位长度的点有几个？它们表示的数各是什么？4. (1) 下列各对数中，互为相反数的有( ) 。

+(-3) 与(-3) ，+(+3) 与-3 ，-(-3) 与+(-3) ，-(+3) 与+(-3) ，-(-3) 与+(+3) ，+3与(-3)A.3 对B.4 对C.5 对D.6 对(2) 下列说法正确的是( ) 。

1A.- 1和0.25 不是互为相反数。

B.-a 是负数。

4C. 任何一个数都有它的相反数。

D. 正数与负数互为相反数。

5.(1)-3.85 的相反数是,7.6 是的相反数, 相反数是它本身的数的3)下列说法中正确的是( )A.π的相反数是3.14符号不同的两个数一定是互为相反数B.C.若x 和y 互为相反数，则x y 0一个数的相反数一定是负数D.4) 一个数大于它的相反数，那么这个数是( )A.负数B. 正数C. 非负数D. 非正数（2）借助数轴填写，比 5 小的正整数有；比—5 大的负整数有．6.1 + 2 + 3 + ⋯+ 2013 + （－2）+ （－3） + ⋯+（－2013）7. 已知m、n 互为相反数，试求：2m 2n 2 m n的值．3模块三：绝对值【知识导航】1. 绝对值的定义：一般的，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做a的绝对值（absolu te value），记作a由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

即：a a 0a 0 a 0a a 0互为相反数的两数的绝对值相等。