2020-2021学年吉林省长春市朝阳区九年级(上)期末数学试卷

2020-2021学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）计算（﹣）2的结果是（）A．﹣6B．6C．±6D．362．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．3．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0根的情况是（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根4．（3分）将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（2，1）C．（1，﹣1）D．（1，5）5．（3分）下列说法正确的是（）A．可能性很小的事情是不可能发生的B．可能性很大的事情是必然发生的C．投掷一枚普通的正方体骰子，结果恰好是“3”是不可能发生的D．投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的数不是奇数便是偶数是必然发生的6．（3分）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条直线分别交于点A、B、C和D、E、F，若AB＝6，BC＝3，DF＝12，则DE的长为（）A．4B．6C．8D．97．（3分）如图，电线杆的高度为CD＝m，两根拉线AC与BC互相垂直（点A、点D、点B在同一条直线上），若∠CAB＝α，则拉线BC的长度可以表示为（）A．B．C．D．m cosα8．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（）A．ac＜0B．b2﹣4ac＞0C．4a+2b+c＞0D．3b＜2c二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）班级联欢会上举行抽奖活动，把写有每位同学名字的小纸条投入抽奖箱，其中男生23人，女生22人，老师闭上眼睛从摇匀的小纸条中随机抽出1张，恰好抽到女同学名字的概率为．10．（3分）一元二次方程x2﹣7x＝0的较大根为．11．（3分）如图，有一个池塘，要测量池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一点O，从点O不经过池塘可以直接到达点A和点B，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使＝＝3，测得CD＝36m，则池塘两端AB的距离为m．12．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，∠ABC的平分线BF交DE于点F，若AB＝4，BC＝6，则EF的长为．13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以点O位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在点O的同侧，点A、B、E在x轴上，其余顶点在第一象限，若正方形BEFG的边长为6．则点C的坐标为．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x的顶点为A，在x轴下方作垂直于y轴的直线BC抛物线于点B、C，连接AB、AC，若点B到x轴的距离是点A到x 轴距离的3倍，则△ABC的面积为．三、解答题（本大题10小题，共78分）15．（6分）计算：﹣2sin60°•tan45°．16．（6分）2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”，如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为A1、A2，正面印有雪容融图案的卡片记为B，将三张卡片正面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的概率．17．（6分）如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米？18．（7分）如图，某班数学小组要测量某建筑物的高度，在离该建筑物AB底部B点18m 的C处，利用测角仪测得其顶部A的仰角∠EDA＝36°，测角仪CD的高度为1.5m，求该建筑物AB的高度．（精确到0.1m）【参考数据：sin36°＝0.59，cos36°＝0.81，tan36°＝0.73】19．（7分）图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，只保留作图痕迹，不要求写出画法．（1）在图①中以AB为边画一个钝角三角形ABC，使tan∠CAB＝；（2）在图②中以AB为边画一个Rt△ABD，使tan∠DAB＝1；（3）在图②中以AB为边画一个△ABE，使tan∠AEB＝．20．（7分）如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图②所建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线对应的函数关系式；（2）通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．21．（8分）如图，AC为▱ABCD的对角线，作∠ABE＝∠ACB，BE交边AD于点E，交AC 于点F．（1）求证：AE2＝EF•BE；（2）若EF＝1，E是边AD的中点，求边BC的长．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第107页的部分内容．结合图①，写出解题过程．【结论应用】（1）如图②，作图①中的△ABC斜边上高CD，求CD的长．（2）如图③，E是图②上线段AD上的点，连结CE，将△ACE沿CE翻折得到△A′CE，使点A的对称点A′落在CD的延长线上，连结A′B，直接写出四边形A′BCE的面积．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线AD﹣DB向终点B运动，当点P不与点D重合时，将线段PD绕着点P顺时针旋转60°得到线段PE，连结DE，设点P的运动时间为t（s）（1）当点P在边AD上时，求PD的长（用含t的代数式表示）．（2）当△PDE与△ABC重叠部分图形是轴对称图形时，求t的取值范围．（3）当直线PE截△ABC所得的四边形是轴对称图形时，求t的值．（4）设F为线段BD上的点（点F不与点D、P重合），当点F在△PDE的对称轴上，且该对称轴将△ABD分成面积比为1：8的两部分时，直接写出DF的长．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴正半轴交于点A，过点A的直线y＝kx+b（k≠0）与该抛物线的另一个交点B的横坐标为2，P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m+1，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使PD＝1，以CD为边作矩形CDEF，设点E的横坐标为2m．（1）求直线AB对应的函数关系式；（2）当点P与点A重合时，求点E的坐标；（3）当点E在该抛物线上时，求抛物线的顶点到EF的距离；（4）当矩形CDEF的一组邻边与该抛物线相交，且该抛物线在矩形CDEF内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．2020-2021学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）计算（﹣）2的结果是（）A．﹣6B．6C．±6D．36【解答】解：（﹣）2＝6，故选：B．2．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、与被开方数不同，不是同类二次根式；B、＝2与被开方数不同，不是同类二次根式；C、＝2与被开方数不同，不是同类二次根式；D、＝2与被开方数相同，是同类二次根式．故选：D．3．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0根的情况是（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根【解答】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．4．（3分）将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（2，1）C．（1，﹣1）D．（1，5）【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），∵向下平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）．故选：C．5．（3分）下列说法正确的是（）A．可能性很小的事情是不可能发生的B．可能性很大的事情是必然发生的C．投掷一枚普通的正方体骰子，结果恰好是“3”是不可能发生的D．投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的数不是奇数便是偶数是必然发生的【解答】解：A、可能性很小的事情是可能发生的，本选项说法错误；B、可能性很大的事情不一定是必然发生的，本选项说法错误；C、投掷一枚普通的正方体骰子，结果恰好是“3”是随机事件，本选项说法错误；D、投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的数不是奇数便是偶数是必然发生的，故本选项说法正确；故选：D．6．（3分）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条直线分别交于点A、B、C和D、E、F，若AB＝6，BC＝3，DF＝12，则DE的长为（）A．4B．6C．8D．9【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝6，BC＝3，DF＝12，∴＝，解得：DE＝8，故选：C．7．（3分）如图，电线杆的高度为CD＝m，两根拉线AC与BC互相垂直（点A、点D、点B在同一条直线上），若∠CAB＝α，则拉线BC的长度可以表示为（）A．B．C．D．m cosα【解答】解：∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD＝，∴BC＝＝，故选：B．8．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（）A．ac＜0B．b2﹣4ac＞0C．4a+2b+c＞0D．3b＜2c【解答】解：A、由抛物线的开口方向向下知a＜0，抛物线与y轴交于正半轴知c＞0，则ac＜0，故本选项结论正确．B、由抛物线与x轴有两个交点知b2﹣4ac＞0，故本选项结论正确．C、由抛物线图的轴对称性质知，抛物线与x轴的另一个交点坐标是点（2，0）的右侧，所以当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，故本选项结论正确．D、由抛物线的轴对称性质知，当x＝3时，y＜0，即y＝9a+3b+c＜0，且对称轴是直线x＝﹣＝1，即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得3b＞2c，故本选项结论错误；故选：D．二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）班级联欢会上举行抽奖活动，把写有每位同学名字的小纸条投入抽奖箱，其中男生23人，女生22人，老师闭上眼睛从摇匀的小纸条中随机抽出1张，恰好抽到女同学名字的概率为．【解答】解：老师闭上眼睛从摇匀的小纸条中随机抽出1张，恰好抽到女同学名字的概率为＝，故答案为：．10．（3分）一元二次方程x2﹣7x＝0的较大根为7．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣7x＝0，即x（x﹣7）＝0，∴解得x1＝0，x2＝7，∴此方程较大根是7，故答案为：7．11．（3分）如图，有一个池塘，要测量池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一点O，从点O不经过池塘可以直接到达点A和点B，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使＝＝3，测得CD＝36m，则池塘两端AB的距离为108m．【解答】解：∵＝＝3，∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∴＝＝＝3，∵CD＝36m，∴AB＝3CD＝108米．故答案为：108．12．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，∠ABC的平分线BF交DE于点F，若AB＝4，BC＝6，则EF的长为1．【解答】解：连接AF并延长交BC于H，∵点D、E分别为边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC＝3，AF＝FH，在△BF A和△BFH中，，∴△BF A≌△BFH（AAS），∴BH＝AB＝4，∵AD＝DB，AF＝FH，∴DF＝BH＝2，∴EF＝DE﹣DF＝1，故答案为：1．13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以点O位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在点O的同侧，点A、B、E在x轴上，其余顶点在第一象限，若正方形BEFG的边长为6．则点C的坐标为（3，2）．【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以点O位似中心的位似图形，相似比为，EF＝6，∴BC∥EF，AB＝BC＝2，∴△OBC∽△OEF，∴＝，即＝，解得，OB＝3，∴点C的坐标为（3，2），故答案为：（3，2）．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x的顶点为A，在x轴下方作垂直于y轴的直线BC抛物线于点B、C，连接AB、AC，若点B到x轴的距离是点A到x 轴距离的3倍，则△ABC的面积为8．【解答】解：由抛物线y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1知，A（1，1）．∵点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍，∴y B＝﹣3．则﹣x2+2x＝﹣3，即x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1．∵BC⊥y轴，∴B（﹣1，﹣3），C（3，﹣3）．∴BC＝4．∴S△ABC＝×4×4＝8．故答案是：8．三、解答题（本大题10小题，共78分）15．（6分）计算：﹣2sin60°•tan45°．【解答】解：原式＝＝2﹣＝．16．（6分）2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”，如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为A1、A2，正面印有雪容融图案的卡片记为B，将三张卡片正面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的概率．【解答】解：画树状图如图：共有9个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有4个，∴P（小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片）＝．17．（6分）如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米？【解答】解：设四周未铺地毯的条形区域的宽度是xm，依题意，得：（8﹣2x）（5﹣2x）＝18，整理，得：2x2﹣13x+11＝0，解得：x1＝1，x2＝．又∵5﹣2x＞0，∴x＜，∴x＝1．答：四周未铺地毯的条形区域的宽度是1m．18．（7分）如图，某班数学小组要测量某建筑物的高度，在离该建筑物AB底部B点18m 的C处，利用测角仪测得其顶部A的仰角∠EDA＝36°，测角仪CD的高度为1.5m，求该建筑物AB的高度．（精确到0.1m）【参考数据：sin36°＝0.59，cos36°＝0.81，tan36°＝0.73】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示：根据题意得：∠EDA＝36°，BE＝CD＝1.5m，DE＝BC＝18m，在Rt△ADE中，∠AED＝90°，，∴AE＝DE×tan36°≈18×0.73＝13.14（m），∴AB＝AE+BE＝13.14+1.5≈14.6（m）．答：建筑物AB的高度约为14.6m．19．（7分）图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，只保留作图痕迹，不要求写出画法．（1）在图①中以AB为边画一个钝角三角形ABC，使tan∠CAB＝；（2）在图②中以AB为边画一个Rt△ABD，使tan∠DAB＝1；（3）在图②中以AB为边画一个△ABE，使tan∠AEB＝．【解答】解：（1）答案不唯一，以下答案供参考．（2）答案不唯一，以下答案供参考．（3）如图所示：20．（7分）如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图②所建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线对应的函数关系式；（2）通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．【解答】解：（1）如图②中，A（4，0），C（0，4），设抛物线解析式为y＝ax2+k，由题意，得，解得：，∴抛物线表达式为．（2）2+＝2.2，当x＝2.2时，y＝﹣×2.22+4＝2.79，当y＝2.79时，2.79﹣0.5＝2.29 （m）．答：该货车能够通行的最大高度为2.29 m．21．（8分）如图，AC为▱ABCD的对角线，作∠ABE＝∠ACB，BE交边AD于点E，交AC 于点F．（1）求证：AE2＝EF•BE；（2）若EF＝1，E是边AD的中点，求边BC的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠ABE，∴∠EAF＝∠EBA，∵∠AEF＝∠BEA，∴△EAF∽△EBA，∴EA：EB＝EF：EA，∴AE2＝EF•BE；（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，∵E是边AD的中点，∴BC＝2AE，∵AE∥BC，∴△EAF∽△BCF，∴＝＝，∴BF＝2EF＝2，∴BE＝3，∵AE2＝EF•BE＝1×3＝3，∴AE＝，∴BC＝2AE＝2．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第107页的部分内容．结合图①，写出解题过程．【结论应用】（1）如图②，作图①中的△ABC斜边上高CD，求CD的长．（2）如图③，E是图②上线段AD上的点，连结CE，将△ACE沿CE翻折得到△A′CE，使点A的对称点A′落在CD的延长线上，连结A′B，直接写出四边形A′BCE的面积．【解答】解：【教材呈现】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理，得AB＝＝＝＝17．sin A＝，cos A＝，tan A＝．【结论应用】（1）在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∵sin A＝，∴CD＝AC•sin aA＝15×＝．（2）60．∵将△ACE沿CE翻折得到△A′CE，使点A的对称点A′落在CD的延长线上，∴AC＝A'C＝15，∠A＝∠EA'C，∴tan∠A＝tan∠EA'C＝，∵CD＝，∴A'D＝A'C﹣CD＝15﹣＝，∴ED＝A'D•tan∠EA'D＝＝，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝∠ACD+∠A＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴tan∠A＝tan∠BCD＝，∴BD＝CD•tan∠BCD＝＝，∴BE＝DE+BD＝＝8，∵BE⊥A'C，∴S四边形A'BCE＝×BE×A'C＝×8×15＝60．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线AD﹣DB向终点B运动，当点P不与点D重合时，将线段PD绕着点P顺时针旋转60°得到线段PE，连结DE，设点P的运动时间为t（s）（1）当点P在边AD上时，求PD的长（用含t的代数式表示）．（2）当△PDE与△ABC重叠部分图形是轴对称图形时，求t的取值范围．（3）当直线PE截△ABC所得的四边形是轴对称图形时，求t的值．（4）设F为线段BD上的点（点F不与点D、P重合），当点F在△PDE的对称轴上，且该对称轴将△ABD分成面积比为1：8的两部分时，直接写出DF的长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，．∴．在Rt△BCD中，∠C＝90°，．∴．∴AD＝2．∴PD＝2﹣2t．（2）如图1中，当点E在边AB上时，PE＝PD＝AP．∴2t＝1．∴．∴当时，△PDE与△ABC重叠部分图形是轴对称图形．如图2中，当点E与点C重合时，AD+PD＝AC．∴2t＝3∴．∴当时，△PDE与△ABC重叠部分图形是轴对称图形．综上所述，当或时，△PDE与△ABC重叠部分图形是轴对称图形．也可以写成：当且t≠1时，△PDE与△ABC重叠部分图形是轴对称图形．（3）如图③，当0≤t＜1时，四边形CPMB为轴对称图形，则CP＝CB．∴．解得．如图④，当1＜t≤2时，四边形CAMN为轴对称图形，则AM＝AC．∴．解得．综上所述，满足条件的t的值为或．（4）如图5中，当DE的垂直平分线经过点F，且S△DPF：S△DAB＝8：9时，可得＝，∴DF＝，如图6中，当DE的垂直平分线经过点F，且S△DPF：S△DAB＝1：9时，可得＝，∴DF＝，如图7中，当DP的垂直平分线经过点F，且S△BFM：S△BDA＝1：9时，可得•BF•FM＝××2×，∴BF•BF＝，∴BF＝，∴DF＝BD﹣BF＝2﹣，综上所述，或或．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴正半轴交于点A，过点A的直线y＝kx+b（k≠0）与该抛物线的另一个交点B的横坐标为2，P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m+1，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使PD＝1，以CD为边作矩形CDEF，设点E的横坐标为2m．（1）求直线AB对应的函数关系式；（2）当点P与点A重合时，求点E的坐标；（3）当点E在该抛物线上时，求抛物线的顶点到EF的距离；（4）当矩形CDEF的一组邻边与该抛物线相交，且该抛物线在矩形CDEF内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）当x＝2时，．∴点B的坐标为（2，），当y＝0时，．解得x1＝﹣1，x2＝3．∵抛物线与x轴正半轴交于点A，∴点A的坐标为（3，0）．由题意，得，解得，∴直线AB对应的函数关系式为．（2）当点P与点A重合时，m+1＝3．解得m＝2．∴2m＝4．∵点D的纵坐标为1．∴点E的坐标为（4，1）．（3）将配方，得．∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）．由题意，得点E的坐标为．∵点E在该抛物线上，∴．解得，．当2m＜1时，即，顶点（1，﹣2）在EF的右边．∵，∴抛物线的顶点到EF的距离为．当2m＞1时，即，顶点（1，﹣2）在EF的左边．∵，∴抛物线的顶点到EF的距离为．综上所述，抛物线的顶点到EF的距离为或．（4）当点F（2m，m﹣3）在抛物线上时，m﹣3＝2m2﹣2m﹣，解得m＝或1，当E在抛物线时时，m＝，当点P与A重合时，m＝2，观察图1，图2，图3可知，当或或m≥2时，矩形CDEF的一组邻边与该抛物线相交．也可以写成：当或m≠1或m≥2时，矩形CDEF的一组邻边与该抛物线相交．。