姚端正《数学物理方法》(第三版)部分勘误表
数学物理方法姚端正CH作业解答.doc
数理方法CH3 作业解答P51习题3.21. 确定下列级数的收敛半径：∞kk（2）∑kz=12k∞（4）∑(k =0k + a )k z kk z k∞kk解：（2）∑kz k=12a k k +1 2k收敛半径为：R lim | | lim | /( ) | lim 2k= = = =k k+1→a 2 2 k +1→∞k ∞k →k ∞ k+1 ∞（4）∑(kk= 0 + a ) k z kk z kka k + ak解：收敛半径为：R lim | | lim | |若|a |≤1，则= = k+1k →a (k +1) + a∞k→∞k +1kk a+lim |→k∞+k (k 1) a+|1=+1若| a |> 1，则k k 1 k - 2-罗比塔法则k a 1 ka k(k 1)a 1罗比塔法则+ + -lim | | lim | | lim | |= =k =k k→∞k +1 k k ka k - 1 a(k 1) a 1 (k 1)a ( 1) |→∞+ + ++→∞+|∞k2.∑akz 的收敛半径为R (0 ≤R < ∞) ，确定下列级数的收敛半径：k=1∞（1）∑kk= 0 n a zkknk a k a k ak n k n k解：) | lim | |收敛半径为：lim | ) |= lim | ( ) | ?| |= lim | ( ?nk (k 1) a k +1 a k 1 a+ + k →∞k k →∞→∞k →∞k+1 k +1 +1kn 而lim |( ) |=1k k +1→∞limk→∞|akak+1|= R所以，所求收敛半径为RP55习题3.311.将下列函数在 z = 0 点展开成幂级数，并指出其收敛范围：（1）(1- 1 z)2解 ： 解法之一 ： 利用多项式的乘法 ：1∞k已知 ∑= z1- z 0k=| z |< 1，(1 1 - 2 z)=∞ ∞kz k(∑0) ?∑z (k = k =0)= 1+ 2z +2 + 3+ + + k+ 3z 4z ... (k 1)z...=∞(∑k= 0k k+1)z解法之二：逐项求导： (1 1 1 = ( )' 2 z - z) 1- 1 则 = 2(1- z)( ∞ ∞ k kz k- 12+ 3 + + k - 1 +z )' 1 2 3 4 ... ...= ∑ = = + z + z z kz∑k =0 k =1由于(1- 1 2 z)在复平面内有唯一的奇点 z =1 ，它与展开中心的距离为1，故该级 数的收敛范围为| z |< 1 （2） 1 az+b k1 a1 1 ∞a ∞ k k k z k解： ∑ ∑= = (- 1) ( z) = (- 1)a k +1 az +b b b 0 b b(1+ z) bk =0 k =a 收敛范围：|z|<1bb 即|z|<||a（5）1+1z+ 2z解：1+11-z1z==-213133 z+z1-z-z-z令1∞3t=z，则∑=t1-t0k=k，故211 ∞3k= z∑3- z 0k =z31- z= ∞3kz∑k= 0+11∞∞3k 3k+1所以，= z ∑- z 收敛范围为| z|<11+ + zz ∑2k =0 k =02. 将下列函数按(z- 1) 的幂展开，并指明其收敛范围：（1）cosz解：cosz = cos[(z - 1) +1] = cos(z - 1) cos1 - sin(z - 1) sin 1=k 2k k 2k∞(- 1) (z - 1) ∞- z 1)( 1) ( -cos1 - sin1∑∑= (2k )! (2k + 1)!k 0 k =0+1收敛范围：| z- 1 |< ∞3.应用泰勒级数求下列积分：sinz （3）=∫Siz0 z zdz解：利用正弦函数的泰勒展开式：sink 2k +1∞(- 1) zz = ，得到∑(2k + 1)!k =0sinzz=k 2k∞(- 1) z∑= (2k + 1)!k 0则k 2k k 2k k 2k +1sin z (- 1) z (- 1) z (- 1) z∞∞∞z z zdz = dz= dz=∫∫∑∑∫∑0 z )! (2 1)!(2 1)0 = ( + 1)! ( k k + k +2k 0 2 +1k 0 k =0 k= 04.函数α(1+ z) 在α不等于整数时是多值函数，试证明普遍的二项式定理：(1( - 1) ( )( 2)2 + - 1 - +αααααααα3+ z) =1 [1+ z+ z z1! 2! 3!...]式中，α为任意复数；αe iαkπ21 =解：(1 + z)α= α( 1+Ln 1 eα[ln( + + e e+ = 1 z 2kπ] = ?z ) i α) iα2 ln(kπez)下面将α在z < 1中作泰勒展开：ln(1+ z)e∞α+z = a z ，其中，ln( 1 ) k记∑f (z) = ekk= 0 ak=f (k ) (0)k!f '(z) = αα+ αln(1 z) f ze = ( )1+ z 1+ z①? f ' (0) = α同时由①式有：(1+ z) f '(z) = αf (z) ②将②式两边再对z求导：(1+ z) f ''( z) + f '( z) = αf ' (z) 得到(1+ z) f ''(z) = (α- 1) f '( z) ③3得f '' (0) = α(α- 1)将③式两边再对z求导得：(1 ( z f z f z ( z f z3) 3)+ z) f ( ) + ''( ) = (α- 1) ''( ) 得到(1+ z) f ( ) = (α- 2) ''( )( 3 = αα- α-)得(0) ( 1) ( 2)f( k =αα- α- α- k +)以此类推，得(0) ( 1)( 2)...( 1)f( k)f (0) 1= = ( - 1) ( - 2)...( - k +1)则akααααk! k!所以∞∞∞1ln( z a z a z1 ) k kα+ = = ke ∑∑( 1) ( 2)...( k 1)z= ∑αα- α- α- + k k k!k 0 k 0 k =0= =∞则kαiα2kπ1+ ∑= αααα(1 z) e ( - 1)( - 2)...( - k +1)zk!k=0( - 1) ( 1)( 2)2 + - - + αααααα3αz <1 = 1 [1+ z+ z z ...]1! 2! 3!5.将Ln(1+ z)在z = 0 的邻域内展开为泰勒级数。
姚端正《数学物理方法》(第三版)部分勘误表
姚端正《数理方法》（第三版）勘误表（部分）P9，“（3）若()f x 在闭区域……”应更正为“（3）若()f z 在闭区域……”P33，中部“任意一条分段光滑的曲线”应更正为“任意一条分段光滑的封闭曲线” P66，习题3.5第2（2）题：“0||z b R <-<”应更正为“||z b R -<”P85，倒数第6行、第7行“1res ()n k f z =∑”应更正为“1res ()nkk f z =∑” P86，例3的计算过程中“||1a <”应更正为“01a <<”，但计算结果仍然对“||1a <”范围成立，即该例题的讨论过程不够完整。
P87，第10行“d[(π)]θ--”应更正为“d(π)θ-”P88，第4行“如图5.4”应更正为“如图5.4（b ）”；第4题需补充条件：01x <<；第5题：“适当围道计算”应更正为“适当围道（图5.4（a ））计算”。
P107，第3行“稳定状态”应更正为“稳恒状态”；“则热量将停止流动”应去掉这段文字。
倒数第3行“F 为单位长度……”应更正为“F 为单位体积……”P108，第6行“通过介面”应更正为“单位时间通过介面”P111，第6行“k h E =”应更正为“k h EA =” P120，第1行“//at x a cat x a c ++--⎰ ”应准确写为“()/()()/()at x a c at x a c ++--⎰ ”P121，第4-5行“则在τ∆这段时间内”应更正为“则在τ∆这段时间以后”；第6行“t τττ<<+∆”应更正为“t τ<”P124，第4大题中“()x ψ”应更正为“(,)x y ψ”；“()x ϕ”应更正为“(,)x y ϕ”；解的表达式应更正为()01(,,)2π1 d 2πM M at at M a t t u x y t a t a τσσστ-⎡⎤∂=+⎢∂⎢⎣⎡⎤+⎢⎢⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰P146，第2行“I 2I u xx u a u =”应更正为“I 2I tt xx u a u =” P271，第1行“2(2)(1)lim lim 1(1)(1)k k k k c k k R c l l k k →∞→∞+++===+-+”应更正为“1k k R ===” P274，习题14.1第2题“0y xy ''-=”应更正为“0y xy ''-=” P280，习题14.2第6题“介电常数为ε”应更正为“相对介电常数为ε”P286，习题14.3第3题（1）”部分习题答案勘误第一篇习题 3.22 （3）k R 应更正为n R ；第二篇习题 6.36 两端受压：“00(2)0t t t u l x u ε==⎧=-⎪⎨=⎪⎩”应更正为“0020t t t u x u ε==⎧=-⎪⎨=⎪⎩” 习题 7.22（3）2132at axt +应更正为2132t xt +； 习题 8.13（3）“…224(21)πek -+…”应更正为“…224(21)πe k t -+…”； 4 1π()sin n n n x a T t l ∞=∑应更正为1π()sin n n n n x a T t l ∞=∑； 10 “...4616πAb ...”应更正为“ (4)664πAb …” 习题 8.23（1）另一形式的答案：32223212(1)ππ()cos sin 6(π)n n A Al n at n x u x l x a n a l l ∞=-=-+∑。
王成优_“数学物理方法”(第4版)勘误表
1 d d 1 dx d d (sin ) ( sin 2 ) sin d d sin d dx dx d d (1 x 2 ) dx dx
d m2 2 d (1 x ) [ l ( l 1) ] 0 dx d 1 x2
2π
[ei x f ( x)] f ( 0 )
0
f (t ) f ( ) (t )d
r
[ei x f ( x)] F ( 0 )
0
f (t ) f ( ) (t )d
( x a) ( x a)
2a
( x a) ( x a)
2x
( x a) ( x a)
2a
删去
，下式符号 δ 函数 1 lim π 2 x 2
，下式符合 δ 函数 1 lim 0 π 2 x 2
2 x lim arctan 0 π 0
G ( )
(1 2rx r 2 ) lr l 1Pl ( x)
l 0
(1 2rx r 2 ) lr l 1Pl ( x)
王成优©山东大学(威海) 数学物理方法
2
WangChengyou © Shandong University, Weihai
梁昆淼 编, 刘法 缪国庆 修订. 数学物理方法(第 4 版)[M]. 高等教育出版社, 2010.01.
F ( )
1
2
[ xJ1 ( x) x] 0
F ( )
1
2
[ xJ1 ( x)] 0
渐进
渐近
a k cos a, b k sin a eikp cos( a )
数学物理方法教学大纲(可编辑修改word版)
《数学物理方法》课程教学大纲（72 学时）（理论课程）一课程说明（一）课程概况课程中文名称：《数学物理方法》课程英文名称：Mathematics physics method课程编码：3910252114开课学院：理学院适用专业/开课学期：物理学/第 4 学期学分/周学时：4 学分/周4 学时《数学物理方法》是物理学本科专业的必修专业主干课，通过该课程的学习，使学生掌握复变函数、数学物理方程和特殊函数的基本理论、建模方法和计算方法，培养学生用数学方法和物理规律解决各类物理实际问题的能力，为后续课程的学习打下良好的基础。
本课程是前期课程《高等数学》的延伸，为后继开设的《电动力学》、《量子力学》等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。
本课程在本科物理学专业中占有重要的地位，本专业学生必须掌握它们的基本内容，否则对后继课的学习将会带来很大困难。
（二）课程目标通过本课程的学习，使学生掌握处理物理问题的一些基本数学方法，为进一步学习后继课程提供必要的数学基础。
要求学生熟悉复变函数(特别是解析函数)的一些基本概念，掌握泰勒级数及洛朗级数的展开方法，利用留数定理来计算回路积分和三类实变函数的定积分；掌握傅立叶变换和拉普拉斯变换的概念及性质，并能运用拉普拉斯变换方法求解积分、微分方程。
了解三种类型的数学物理方程的导出过程，能熟练写出定解问题；掌握用行波法求解一维无界及半无界波动方程，利用分离变量法求解各类齐次及非齐次方程；了解特殊函数的常微分方程，掌握用级数解法求解二阶常微分方程，了解施图姆-刘维尔本征值问题及性质；掌握勒让德多项式、贝塞尔函数及性质，并能利用勒让德多项式求解三维轴对称拉普拉斯方程。
（三）学时分配二教学方法和手段1.本课程课堂讲授约需 72 课时。
2.学生在学习过程中应注重各专题所要求内容的全貌，以掌握基本思想和基本方法为主，培养创新精神。
3.在学习过程中，应以推荐教材为主，适当参考所列出的或其它的参考书，要适应各种不同的教材的编排体系和书写符号等。
数学物理方法第三版答案
数学物理方法第三版答案【篇一：数学物理方法试卷答案】xt>一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ b ） a．微分方程和边界条件. b. 微分方程和初始条件. c．微分方程和初始边界条件. d. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ d）a．存在性和唯一性. b. 唯一性和稳定性. c. 存在性和稳定性. d. 存在性、唯一性和稳定性.??2u?0,?3．牛曼内问题 ??u 有解的必要条件是（ c）??n?f??a．f?0.b．u??0.c．?fds?0. d．?uds?0.???x(x)??x(x)?0,0?x?l4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题??x(0)?x(l)?0的解是（ b ）n?n??n???n??x ).b．( ?x ). a．( ??,cos?,sinllll????(2n?1)?(2n?1)??(2n?1)???(2n?1)??x ).d．( ?x ). c．( ??,cos?,sin2l2l2l2l????22225．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ d ）a．uxx?4uxy?5uyy?ux?2uy?0. b．uxx?4uxy?4uyy?0.c．x2uxx?2xyuxy?y2uyy?xyux?y2uy?0. d．uxx?3uxy?2uyy?0.二、填空题（每题4分，共20分）??2u?2u?2?2?0, 0?x??, t?0?t?x??1．求定解问题?ux?0?2sint, ux????2sint, t?0的解是(2sintcosx).??ut?0?0, utt?0?2cosx, 0?x????2．对于如下的二阶线性偏微分方程a(x,y)uxx?2b(x,y)uxy?c(x,y)uyy?dux?euy?fu?0其特征方程为( a(x,y)(dy)2?2b(x,y)dxdy?c(x,y)(dx)2?0). 3．二阶常微分方程y(x)?或0).4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ ln1（）.r1 ），三维拉普拉斯方程的基本解为r113y(x)?(?2)y(x)?0的任一特解y?（ jx44x1(x) 3225．已知j1(x)?222sinx, j1(x)?cosx，利用bessel函数递推公式求??x?x23j3(x)?（221221dsinx(sinx?cosx)??x()()）. ?xx?xdxx三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题2??2u2?u??t2?a?x2?0, 0?x?l, t?0??u??u?0, ?0, t?0 ??xx?l??xx?0?u?x, utt?0?0, 0?x?l.?t?0?解：第一步：分离变量(4分) 设u(x,t)?x(x)t(t)，代入方程可得x(x)t(x)x(x)t(t)?ax(x)t(t)??2x(x)at(x)2此式中，左端是关于x的函数，右端是关于t的函数。
数学物理方法(第三版)
展望
研究前沿
随着科技的发展，数学物理方法 在各个领域的应用越来越广泛， 如量子力学、金融数学、生物信
息学等。
未来趋势
未来，数学物理方法将继续发展， 与其他学科交叉融合，产生新的理 论和方法。
对读者的建议
读者应保持对数学物理方法发展的 关注，不断学习和探索新的理论和 应用。
THANKS
泛函分析方法
总结词
泛函分析是研究函数空间和算子的数学分支，通 过引入抽象的函数空间和算子，泛函分析为解决 复杂的数学问题提供了有力的工具。
总结词
泛函分析方法的应用不仅限于物理学，还涉及到 其他数学领域如微分方程、实变函数、复变函数 等。通过泛函分析的方法，可以更好地揭示数学 问题本质，推动数学的发展。
感谢观看
详细描述
在物理学中，泛函分析方法被广泛应用于量子力 学、统计物理等领域。通过将物理问题转化为泛 函分析问题，可以更好地理解和求解复杂的物理 现象。
详细描述
为了更好地应用泛函分析方法，需要深入理解其 基本概念和性质，如函数空间、算子、谱理论等 。同时，也需要与其他数学方法结合使用，以解 决各种复杂的数学问题。
积分方程方法的应用案例
积分方程在统计学中的应用
01
积分方程被用来描述概率分布，解决统计学中的各种问题，如
参数估计和假设检验。
积分方程在工程学中的应用
02
在解决结构优化、控制系统设计和信号处理等问题时，积分方
程是重要的数学工具。
积分方程在金融学中的应用
03
积分方程被用来描述金融市场的价格变动，评估投资组合的风
都非常重要。
03
促进学科交叉
数学物理方法是一门跨学科的学科，它促进了数学和物理学之间的交叉
数学物理方法姚端正CH7作业解答
uΙ =
1 x+t sin αdα = sin x sin t 2 ∫x − t 1 t 2 ∫0
t 0
由无界纯强迫振动解的公式，得
u ΙΙ =
∫
x + ( t −τ )
x − ( t −τ )
τ sin αdαdτ =
1 t {cos[ x − (t − τ )] − cos[ x + (t − τ )]}τdτ 2 ∫0
t 0
= ∫ sin x sin( t − τ )τdτ = sin x ∫ sin( t − τ )τdτ = t sin x − sin x sin t
（上式最后一步用了分部积分法） 则 u = u + u = t sin x
Ι ΙΙ
3
utt − a 2u xx = x （3） u ( x,0) = 0 u ( x,0) = 3 t
① ② ③
① 即 f1 ( x) − f 2 ( x) = −ϕ ( x) ②
解：方程 utt = u xx 的通解为： u ( x, t ) = f1 ( x + t ) + f 2 ( x − t ) 将④式代入定解条件②得： f1 (0) + f 2 (2 x) = ϕ ( x )
④
⑤
1
将④式代入定解条件③得：
2
u xx − u yy = 8 （2） u ( x,0) = 0 u ( x,0) = 0 y 解：由冲量原理，原定解问题可转化为以下定解问题： v yy − vxx = 0 v( x,τ ) = 0 v ( x,τ ) = −8 y 由 D ' Alembert 公式，该问题的解为： v( x, y;τ ) = 1 x + a ( y −τ ) − 8dα =8τ − 8 y 2 ∫x − a ( y −τ )
数学物理方法-复变函数与解析函数
2
数学物理方法 课程说明
数学物理方法为2013学年第二学期理工学院12级光信息专业所 开设， 72学时。 本课程在高等数学(一元和多元微积分、幂级数和Fourier级数、 微分方程、线性代数和概率论)和普通物理(力学、热学、电学和 光学)的基础上，以讲授古典数学物理中的常用方法为主，适当 介绍近年来的新发展，为光信息专业后继的基础课程和专业课 程研究有关的数学物理问题作准备，也为今后工作学习中遇到 的数学物理问题的求解提供基础。
R 0 0 0
第一章 复变函数和解析函数
21
y
(z )
z1
z2
o
x
第一章 复变函数和解析函数
22
第一章 复变函数和解析函数
23
例1：用复数方程表示: (1)过两点 z j = x j + i y j (j = 1 , 2 )的直线； (2)中心在点( 0 , - 1 ) 点的表示：z = x + i y <=> 复平面上的点 P ( x , y )
第一章 复变函数和解析函数
19
向量表示法
第一章 复变函数和解析函数
20
计算 arg z (z ≠ 0) 的公式
y arctan x 0, y x π x 0, y argz 2 y arctan π x 0, y x π x 0, y
2
G : w 4, 0 argw π
函数 w = z2(D) 的几何表示
第一章 复变函数和解析函数
34
常见的复变函数
w = z 2 ； u = x 2- y 2， v = 2 x y
第一章 复变函数和解析函数
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姚端正《数理方法》（第三版）勘误表（部分）
P9，“（3）若()f x 在闭区域……”应更正为“（3）若()f z 在闭区域……”
P33，中部“任意一条分段光滑的曲线”应更正为“任意一条分段光滑的封闭曲线” P66，习题3.5第2（2）题：“0||z b R <-<”应更正为“||z b R -<”
P85，倒数第6行、第7行“1res ()n k f z =∑”应更正为“1res ()n
k
k f z =∑” P86，例3的计算过程中“||1a <”应更正为“01a <<”，但计算结果仍然对“||1a <”范围成立，即该例题的讨论过程不够完整。
P87，第10行“d[(π)]θ--”应更正为“d(π)θ-”
P88，第4行“如图5.4”应更正为“如图5.4（b ）”；第4题需补充条件：01x <<；
第5题：“适当围道计算”应更正为“适当围道（图5.4（a ））计算”。
P107，第3行“稳定状态”应更正为“稳恒状态”；“则热量将停止流动”应去掉这段文字。
倒数第3行“F 为单位长度……”应更正为“F 为单位体积……”
P108，第6行“通过介面”应更正为“单位时间通过介面”
P111，第6行“k h E =”应更正为“k h EA =” P120，第1行“//at x a c
at x a c ++--⎰ ”应准确写为“()/()()/()at x a c at x a c ++--⎰ ”
P121，第4-5行“则在τ∆这段时间内”应更正为“则在τ∆这段时间以后”；
第6行“t τττ<<+∆”应更正为“t τ<”
P124，第4大题中“()x ψ”应更正为“(,)x y ψ”；“()x ϕ”应更正为“(,)x y ϕ”；
解的表达式应更正为
()01(,,)2π1 d 2πM M at at M a t t u x y t a t a τσσστ-⎡⎤∂=+⎢∂⎢⎣⎡⎤+⎢⎢⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
P146，第2行“I 2I u xx u a u =”应更正为“I 2I tt xx u a u =” P271，第1行“2(2)(1)lim lim 1(1)(1)
k k k k c k k R c l l k k →∞→∞+++===+-+”应更正为
“1k k R ===” P274，习题14.1第2题“0y xy ''-=”应更正为“0y xy ''-=” P280，习题14.2第6题“介电常数为ε”应更正为“相对介电常数为ε”
P286，习题14.3第3题（1）
”
部分习题答案勘误
第一篇
习题 3.2
2 （3）k R 应更正为n R ；
第二篇
习题 6.3
6 两端受压：“00(2)0t t t u l x u ε==⎧=-⎪⎨
=⎪⎩”应更正为“0020t t t u x u ε==⎧=-⎪⎨=⎪⎩” 习题 7.2
2（3）2132at axt +应更正为2132t xt +； 习题 8.1
3（3）“…224(21)πe
k -+…”应更正为“…224(21)πe k t -+…”； 4 1
π()sin n n n x a T t l ∞=∑应更正为1π()sin n n n n x a T t l ∞=∑； 10 “...4616πAb ...”应更正为“ (4)
664π
Ab …” 习题 8.2
3（1）另一形式的答案：3222321
2(1)ππ()cos sin 6(π)n n A Al n at n x u x l x a n a l l ∞=-=-+∑。
习题 8.5 10 2221212cos sin π2()π(2)(14)
n n n q q q n H k Ha a kn Ha n ρϕϕ∞-=++++-∑应更正为 221212cos 2sin π2()π(2)(14)
n n n q q q n H k Ha a kn Ha n ρρϕϕ∞-=++++-∑； 习题 9.1
10 （2）正确答案为12i ()i ()021112212
e e 1()[]()()t t x t
f ωτωτωωωωωωωω++=+---； （3）正确答案为1212i ()i ()i ()i ()
0121221121221e e e e ()[]()()()()t t t t x t f ωτωτωτωτωωωωωωωωωωωω+--+=+------； 第三篇
习题 14.1 2 311134673(31)n n x y x n n -∞
==+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∑应更正为31
1134673(31)n n x y x n n +∞==+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∑； 习题 14.2
6 印刷有误，“……1(cos )P θ”应更正为“……(cos )l P θ”
； 12 印刷有误，“...6451(cos )16a P r θ...” 应更正为“ (6)
45
1(cos )16a P r θ-…”；
习题 14.3
1 （21,11,12,12,1(,)(,)](,)(,)]Y Y Y Y θϕθϕθϕθϕ----。