推迟势
电动力学-第五章-电磁波辐射

频率越高,辐射场强越大。
3)辐射场振幅与R成反比,即辐射场随着R的增加而衰减。这个
衰减并不是介质损耗引起的,而是球面波波阵面的扩张所致。
4)辐射场不仅与距离有关,还随sin变化。在 =00或θ = 1800方
向上,辐射场为零;在 = 900方向上,辐射场有最大值。即
天线辐射具有方向性。
21
物理与电子工程学院 张福恒
物理与电子工程学院 张福恒
电动力学
第五章 电磁波的辐射
电偶极射场有以下特性:
1)辐射场是沿径向方向传播的电磁波,E×H的方向为电磁波
传播方向;电场和磁场在空间各点同相位,且电场与磁场相
互垂直;在R为半径的球面上各点,电场相位相等,磁场相位
也同样相等,因此辐射场是球面TEM波。
2)辐射场强度与频率平方成正比,即在其它条件不变条件下,
电动力学
第五章 电磁波的辐射
§2 推迟势
电磁场的势实际上是四个相似的标量方程组。因此,只要求解 其中一个方程,其它方程的解也即可得到。我们首先求标势方 程的解。标势方程的解可用下面的方法求得。
见5-2附页
A(x,t) 0 J(x,t r / υ) dV
4 V
r
10
物理与电子工程学院 张福恒
d dt
R c
dp t
dt
0 4 Rc
d2 pt
dt
eR
17
物理与电子工程学院 张福恒
电动力学
而,
第五章 电磁波的辐射
E ( x, t )
ic k
B( x, t )
cB(x,t) eR
主这样,我们得到电偶极辐射场计算式:
电动力学习题

电动力学复习题一.填空1.a 、k 及0E 为常矢量,则)]sin([0r k E ⋅⋅∇= , )]sin([0r k E ⋅⨯∇= 。
2.真空中一点电荷电量)sin(0t q q ω=,它在空间激发的电磁标势ϕ为 。
3. 电磁场能流密度的意义是 ,其表达式为 。
4.波矢量αβ i k +=,其中相位常数是 ,衰减常数是 。
5.电容率ε'=ε+i ωσ,其中实数部分ε代表 电流的贡献,它不能引起电磁波功率的耗散,而虚数部分是______电流的贡献,它引起能量耗散。
6. 矩形波导中,能够传播的电磁波的截止频率22,,⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=b n a m n m c μεπω,当电磁波的频率ω满足 时,该波不能在其中传播。
若b >a ,则最低截止频率为 。
7.频率为91030⨯Hz 的微波,在0.7cm ⨯0.4cm 的矩形波导管中,能以 波模传播。
8.爱因斯坦质能关系为 。
如果两事件只能用大于光速的信号进行联系,则这两事件 (填:一定不存在/一定存在/可能存在)因果关系,原因是 是一切相互作用传播的极限速度。
9.电荷守恒定律的微分形式为 ,其物理意义为 ;积分形式为 ,其物理意义为 。
10.a 为常矢量,则=⋅∇)(r a , r a )(∇⋅= 。
12. 磁偶极子的矢势)1(A 等于 ;标势)1(ϕ等于 。
13.B =▽⨯A ,若B 确定,则A ____(填确定或不确定),A 的物理意义是 。
14. 变化电磁场的场量E 和B 与势),(ϕA 的关系是E = ,B = 。
15.库仑规范的条件是 ,在此规范下,真空中变化电磁场的标势ϕ满足的微分方程是 。
16.静电场方程的微分形式为 、 _。
电四极矩有 个独立分量。
17. 半径为0R 、电容率为ε的介质球置于均匀外电场中,则球内外电势1ϕ和2ϕ在介质球面上的边界条件可以表示为 和 。
18.金属内电磁波的能量主要是 能量19.良导体条件为 ;它是由 和 两方面决定的。
电动力学课件 5.2 推迟势

r Qt c r , t 即证明了 4 0 r
10
五、证明 推迟势满足洛伦兹条件
r 证明:令 t t t t , x , x c
A x, t
0 4
V
r J x , t c dV r
0 A x, t 4 0 4
1 2 1 2 r c 2 t 2 0 r 2 r r
2 2 u u u 2u r r 2 r 2 r r r r r r 2 2 u 1 u 因此可得到关于u的一维空间的波动方程 2 2 0 2 r c t
再根据δ函数的性质,当积分包含原点时有
x dV 1
V
因此有
r Q t 2 1 2 1 c Q t x 2 2 c t 4 0 r 0
2 1 1 2 Q ( t ) ( x ) 满足波动方程 2 2 c t 0
r
Q 4 0 r
任一时刻、位于坐标原点处的点电荷所辐射的标势为
r r Q t Q 0, t c c x, t 4 0 r 4 0 r
4
位于x’ 处点电荷的辐射标势为
r Q x , t c x, t 4 0 r
给定
非齐次波动方程
矢势和标势所满足的方程具有对称性,因而具有相同形式的解, 故只需求出标势的方程的解即可通过类比得到矢势的方程的解。
达朗贝尔方程是线性的,反映了电磁场的叠加性,故时变电磁场 中的矢势和标势均满足叠加原理。可将电荷系统分解成许多电荷元, 分别求出每个电荷元的贡献再叠加,最终求得方程的解。
大学物理-波动方程的基本解 推迟势与超前势

X 处δ 所激发的势,其定解问题为 则式 (11.4.5) 可简写为
(11.4.3) (11.4.4) (11.4.5)
(11.4.6)
(2) 求像函数 G (X, t;X' ,t ') 。作变量代换 r = X – X' ,r = | X – X' |
(11.4.7)
原先点源位于 X' ,作变换后,点源位于球坐标 (r, θ , φ) 的原点 (如图11.4.1)。
(11.4.11) (3) 求像原函数 G (X, t;X' ,t ') 。由拉氏逆变换可得
令 p =σ+ iβ,并利用δ 函数的傅里叶展开,上式可写为
(11.4.12)
最后的等式是利用了δ 函数如下性质 f (t)δ(t – t0) = f (t0)δ(t – t0)
现在令
,由易见,再将r = | X – X' | 代入式 (11.4.12),并采用记号 G(±) 与等
利用高斯定理及δ 函数的性质可得: (11.4.10)
将式 (11.4.9) 代入式 (11.4.10) 第一项,作梯度运算后, 利用 dS = r2 sinθdθdφ 可证
将式 (11.4.9) 代入式 (11.4.10) 第二项,利用 可证 将上两式代入式(11.4.10),便有
将
代入式 (11.4.9),得
(11.4.19)
用已知条件表示 u (x,t)。现只讨论 G = G (–) 的情形。由式 (11.4.13) 可得
(11.4.20)
(11.4.21)
为后面计算的方便,引入 r' = x' – x = – r,即 x' = x + r' 显然,r 的端点在 x',终点在 x;而 r' 的端点在 x,终点 在 x' 。但两者的长度相等 r' = |r' |= |– r|= r 。
大学物理-波动方程的基本解 推迟势与超前势例题

n (x)
以此代入(7)式,并利用ka=p,就有
L
n1
p
n*( ) 2 2na
2
n
(
x)e
p
现在对L(p)做拉普拉斯反演。利用
和线性e定 p理 L与1 卷(t积定),理,p可2 1得2na2
L1
1
na
sin
nat
G(t)
n* (
n1
)n
(
)
1
na
sin
nat
*
(t
)
n* (
n1
)n ( )
X
(0)
X
(l)
0
这是一个本征值问题,易于求得其归一化的本征函数为
X
(x)
n (x)
2 l 1
cos n x
这里
n
n
l
l
(n 1,2,)
(5)
(n 0)
由以上,按叠加原理,可将方程(1)的解写为
G(x, t) Ane2na 2t (x)
(6)
其中An由初条件确定。 n0
由初条件(2),有
第十一章 格林函数法
11.3 波动方程的基本解 推迟势与超前势
例1 试求有源波动问题
a2uxx utt f (x,t) (0 x l,t 0)
(1)
u 0, t0
ut t0 0,
(2)
u 0,
u 0,
(3)
的格林函数。x0
xl
解:本问题对应的格林函数满足下面的定解问题:
a2Gxx Gtt f (x,t) (0 x l,t 0) (4)
G(x,t; , )
* n
(
)e
电动力学第五章

k •r
t
)
ei
(
k
•r
t
)
0
A
A ei(k •r t ) 0
ei
(
k
•r
t
)
0
由Lorentz规范条件 • A
ik
•
A
1 c2
(i )
0
1 c2
t
0
得
c2
k
•
A
由此可见,只要给定了 A,就能够拟定单色平面电磁波。
B
A
ik
A
ik
(
A横
A纵
)
ik
V
(r,t R )
c dV
4 0 R
Ar,t
0 4
V
j (r,t R
R) c dV
a) 和 A是分布在有限体积内旳变化电荷和变化电 流在空间任意点激发旳标势和矢势。
b)电荷密度和电流密度中旳时刻是t R c ,而不是 t 这阐明 t R c时刻 r 处电荷或电流产生旳场并不 能在同一时刻就到达r 点,而是需要一种传播时
1 c2
2A t 2
0J
达朗贝尔方程
A
和
分别
满足有源旳波动方程
例:求单色平面电磁波旳势。
单色平面电磁波是在没有电荷、电流分布旳自由空间中传播 旳,因而势旳方程(洛伦兹规范,达朗贝尔方程)变为齐次
波动方程:
2
1 c2
2
t 2
0
2 A
1
2A 0
c2 t 2
其平面波解为:
A
A0ei
(
(r
•
j
•
j)j•ຫໍສະໝຸດ 1 R]dV•
电动力学复习题库02(修改)

三、简答题1. 电磁场理论赖以建立的重要实验及其重要意义。
2. 静电场能量公式12e W dV ρϕ=⎰、静磁场能量公式12m W J AdV =⋅⎰的适用条件。
3.静电场能量可以表示为12e W dV ρϕ=⎰,在非恒定情况下,场的总能量也能这样完全通过电荷或电流分布表示出来吗为什么4. 写出真空中Maxewll 方程组的微分形式和积分形式,并简述各个式子的物理意义。
5. 写出线性均匀各向同性介质中麦克斯韦方程微分形式和积分形式,其简述其物理意义。
6.电象法及其理论依据。
答:镜像法的理论基础(理论依据)是唯一性定理。
其实质是在所研究的场域外的适当地方,用实际上不存在的“像电荷”代替真实的导体上的感应电荷或介质中的极化电荷对场点的作用。
在代替的时候,必须保证原有的场方程、边界条件不变,而象电荷的大小以及所处的位置由Poisson 方程和边界条件决定。
7. 引入磁标势的条件和方法。
|答:在某区域内能够引入磁标势的条件是该区域内的任何回路都不被电流所链环,就是说该区域是没有自由电流分布的单连通区域。
若对于求解区域内的任何闭合回路,都有 则引入φm , 8. 真空中电磁场的能量密度和动量密度,并简述它们在真空中平面电磁波情况下分别与能流密度及动量流密度间的关系。
9. 真空中和均匀良导体中定态电磁波的一般形式及其两者的差别。
10. 比较库仑规范与洛伦兹规范。
11.$12.分别写出在洛仑兹规范和库仑规范下电磁场标势矢势所满足的波动方程,试比较它们的特点。
13. 写出推迟势,并解释其物理意义。
答:推迟势的物理意义:推迟势说明电荷产生的物理作用不能立刻传至场点, 而是在较晚的时刻才传到场点, 所推迟的时间r /c 正是电磁作用从源点x ’传至场点x 所需的时间, c 是电磁作用的传播速度。
14. 解释什么是电磁场的规范变换和规范不变性答:设ψ为任意时空函数,作变换ψ∇+='→A A A ,t∂∂-='→ψϕϕϕ /有B A A =⨯∇='⨯∇,E tAt A =∂∂--∇=∂'∂-'∇-ϕϕ,0d =⋅⎰Ll H 0=⨯∇H mH ϕ-∇=V rc r t t '-'=⎰d )/,(4),(0x J x Απμ即()ϕ'',A 与()ϕ,A 描述同一电磁场。
_推迟势_17p

c
7
辐射场某点的势决定于较早时刻的电 荷电流分布, 荷电流分布,称为推迟势 称为推迟势 一个电荷电流系统 t 时刻, 时刻,在空间x 点的势( 点的势(电磁场) 电磁场)不是决定于某个 时刻的电荷分布 电磁作用传播速度为c,其他一切相互作用都是以有限速 度传播的, 度传播的,不存在瞬时超距作用 推迟势的重要性在于说明了电磁作用是以有限速度 υ = c 向外传播的, 向外传播的,它不是瞬时超距作用。 它不是瞬时超距作用。 1 即: 电荷、 电荷、电流辐射电磁波, 而电磁波以速度 c = µ0ε 0 脱离电荷、 脱离电荷、电流向外传播。 电流向外传播。 这就是推迟势所描写的物理过程。 这就是推迟势所描写的物理过程。
而是需要一个传输时间△ 而是需要一个传输时间△t
源点坐标 r 达朗贝尔方程的解: 达朗贝尔方程的解 ∆t = t − t ′ = t > t′ r r :r c j ( x ′, t − ) r r µ0 c dτ ′ t 时刻的势晚于场源辐射的时刻 t’, A( x , t ) = ∫ r r r 4π V 因此将此时的势称为推迟势 推迟势 因此将此时的势称为 源点坐标 场点坐标 x ′, x r r r ′ ρ x t − ( , ) 表示t 时刻在 x 点的标势和矢势 r 1 c dτ ′ ϕ x t = ( , ) r r ∫ ′ x πε r 4 ′ t = t − 表示 时刻在 处的值 0 V
5
4πε 0 r
r r r Q ( x ′, t − ) 如果点电荷不在原点处, ,而在 x ′点, r 如果点电荷不在原点处 r r c ϕ ( x, t) = 令r 为 x ′点到场点 x 的距离, 的距离,有
可以证明上述解的形式满足达朗贝尔方程 达朗贝尔方程(略) 可以证明上述解的形式满足 5-1 矢势 标势
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
推迟势
王宇,宋炳乾,姚昌园,张兵
摘要:本文讨论了三维无界空间的自由振动,以及受迫振动,推出了推迟势的概念,通过求解电磁场中矢势和标势所满足的达朗贝尔方程,阐明了推迟势的物理概念。
关键词:推迟势,自由振动,受迫振动,矢势,标势
1.三维无界空间的自由波动问题:[1]
M代表空间中任意一点,利用行波法的思想将三维的波动问题化为一维的波动问题.
平均值法:
称为u(M,t)在以为中心,r为半径的球面上的平均值,只是独立变量r,t 的函数,则
对第一个式子两边在球面上积分并乘以常数因子,得
则
在球极坐标系下,
则,即,v(r,t)=r
得:
v(r,t)=
又由v(0,t)=0,
得:
,
则
将两边乘以r在分别对r和t求导得:
相加得
=
故
=
=
上式为泊松公式,给出了三维无界空间波动方程的初值问题的解.
物理意义:泊松公式说明上述定解问题的解在M点t时刻的值是由以M为中心,at为半径的球面上的初始值而确定。
初始扰动限于空间某个区域,d为M点到的最近距离,D为M点与的最大距离,则:
(1).当at d时,u(M,t)=0,表示扰动的“前锋”尚未到达。
(2). 当d at D时,u(M,t)0,扰动正经过M点。
(3). 当at D时,u(M,t)=0,扰动的“阵尾”已经过去了。
2. 三维无界空间的受迫振动
对有零值初始条件的有源空间波动问题
使用冲量定理
又
则
u(M,t)=
令r=a(t-τ),τ=t-r/a
表示以M为中心,at为半径的球体中的变点,积分在球体中进行,称为推迟势。
物理意义:欲求M点处t时刻的波动问题的解,必须把以M点为球心,at为半径的球体内的源的影响都叠加起来。
M点受到源的影响的时刻t比源发出的时刻t-r/a迟了,故称之为推迟势。
[1]
3.电动力学中的推迟势问题
对给定的电荷分布和电流分布,它在空间中产生电磁势,在洛仑兹规范下,标势和矢势所满足的方程形式相同:
此即达朗贝尔方程,为有源波动方程,电荷产生标势的波动,电流J产生的波动。
现取第一个式子,由于标势方程是线性的,在求解时可以把电荷源分割成许多小区域,只要研究某一小区域内的电荷产生的标势,然后采用叠加办法,即可对各个区域求和,则得总的标势。
设在原点有一点电荷源Q(t),其电荷密度=,则它在空间产生的标势满足方程[2]
选择球坐标系
除原点外,满足的方程
令,代入上式得,此即一维空间的波动方程,其通
解为,则,
上式右方第一项代表由原点向外发射的球面波,第二项代表向原点汇聚的球面波,由于要研究的问题是在原点随时间变化的点电荷产生的波(辐射问题),只考虑第一项,则。
则f不论取何种形式,都已满足无源空间方
程的解,至于f应取的具体形式,可以由r=0处的方程确定。
在r=0处,由于函数可能的奇异性,只能通过包围原点的一个小球面内的积分来研究,
对以点(r=0)为中心,半径为a的小球体进行积分。
[2]
则
利用及
,得:
由于,上式第二项积分正比于a,第三、四项积分正比于,当a0时,其均为0,故:
则,.这就是电源Q(t)在整个空间
产生的标势,若电荷源不在源点,而是在处,则。
对于一般的电荷分布
只需把它分割成为许多小体积元,其电荷元为,总的标势等于这些电荷元产生标势的叠加。
[4]
对于矢势,由于它的每一分量所满足的方程在形式上与的相同,则
物理意义:
1.代表给定的电荷、电流分布所激发的电磁势,而且是由各体积元内的电荷、电流的叠加
2.t时刻,r处的A与是由较早时刻t’=t-R/c的电流与电荷分布决定的,即早一些时刻在r’
处所发生的电荷、电流的变化要经过R/c时间之后才影响到r处的场,则电磁扰动是以光速c传播的,因此称之为推迟势[2]
参考文献
[1]. 姚端正, 梁家宝《数学物理方法》科学出版社p130-132
[2]. 虞福春, 郑春开《电动力学》北京大学出版社p161-163
[3]. 罗春容, 陆建隆《电动力学》西安交通大学出版社P163-165
[4]. 汪德新, 《电动力学》科学出版社P239-243。