正余弦定理练习题 (1)

合集下载

正余弦定理(精讲)(解析版)

考法二正弦定理
【例 2】（1）（2020·辽宁锦州市·高一期末）在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，a 2 ，
c 2 3 ， A 30 ，则角 C 为（）
A．60°
B．60°或 120°
C．45°
D．45°或 135°
3 / 11
（2）（2020·湖北黄冈市·高一期末）在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a ，b，c，已知 cos A 3 ， 5
A． 3
B． 2 2
C． 2 3
D． 5
（3）（2020·全国高一课时练习）已知钝角三角形的三边长分别为 k, k 2, k 4 ，则 k 的取值范围是（）
A．(-2,6)
B．(0,2)
C．(0,6)
D．(2,6)
【答案】（1）A（2）D（3）D
【解析】（1）在 ABC 中, a 1, b 2 , C 60 ,由余弦定理得 c2 12 22 2 1 2 cos 60 3 ,
2 / 11
（3）由题：钝角三角形的三边长分别为 k、k 2、k 4，
k k
k
2
k
2k4
22 k
4 2
解得：
k
2, 6
.故选：D
【一隅三反】
1．（2020·全国高一）在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，右 a=1，c=2，∠B=600，则 b=（）
A．1
，所以
B
6
．故选：B．
b c a 3 （3）A＝60°，a 3 ，由正弦定理可得， sinB sinC sinA 3 2，
2 ∴b＝2sinB，c＝2sinC，则 b c 2．故选：D．

正余弦定理练习题

正余弦定理练习题正余弦定理练习题在初中数学中，我们学习了许多几何定理，其中正余弦定理是一个非常重要且实用的定理。

正余弦定理可以帮助我们计算三角形的边长和角度，解决实际问题。

在本文中，我们将通过一些练习题来巩固对正余弦定理的理解和运用。

练习题1：已知一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，角A的度数为α。

根据正余弦定理，我们可以得出以下公式：a² = b² + c² - 2bc * cosα现在，我们假设a=5cm，b=7cm，c=8cm，α=30°，请计算出角B和角C的度数。

解答：根据正余弦定理，我们可以得到以下两个公式：b² = a² + c² - 2ac * cosβc² = a² + b² - 2ab * cosγ代入已知条件，我们可以得到：7² = 5² + 8² - 2 * 5 * 8 * cosβ8² = 5² + 7² - 2 * 5 * 7 * cosγ通过计算，我们可以得出：cosβ ≈ 0.42，cosγ ≈ 0.71由于0°< β, γ < 180°，我们可以使用反余弦函数来计算角度：β ≈ arccos(0.42) ≈ 64.6°γ ≈ arccos(0.71) ≈ 44.4°因此，角B的度数约为64.6°，角C的度数约为44.4°。

练习题2：现在，我们来解决一个实际问题。

假设你正在参加一个登山活动，你站在山脚下，想要测量山顶的高度。

你找到了一棵高大的树，树的高度为10m。

你站在树的底部，向上仰望山顶，测得角度为30°。

然后，你向上走了100m，再次测量角度，发现角度变为15°。

请计算山顶的高度。

解答：我们可以将问题抽象成一个三角形，树的高度为a，你站在树底部的位置为B，你站在树顶的位置为A，山顶的位置为C。

正余弦定理 15道经典基础例题

正余弦定理 15道经典基础例题例1、（共5分，2分钟）在∆ABC 中,若∠A =60°,∠B =45° ,BC =3√2 ,则AC=（）A ．4√3B ．2√3C ．√3 D.√32解答:由正弦定理,可得AC sin45°=BCsin60° 所以AC =3√2√32×√22=2√3可得答案B考点: 考点：正弦定理, 难度：★☆☆☆☆☆例2、（共5分，2分钟）在∆ABC 中，角A,B,C 所对边长分别为a,b,c ，若a 2+b 2=2c 2，则sin C 的最小值为（）A. √32 B. √22 C. 12 D. −12 解答：cos C =a 2+b 2−c 22ab=2c 2−c 22ab≥c 2a 2+b 2=12可得答案C考点：余弦定理，基本不等式，难度：★☆☆☆☆☆ 例3、（共5分，3分钟）在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°,则BC 边上的高等于( )． A.32B.332C.3＋62D.3＋394解答：设AB ＝c ，BC 边上的高为h .由余弦定理，得AC 2＝c 2＋BC 2－2BC ·c cos 60°，即7＝c 2＋4－4c cos 60°，即c 2－2c －3＝0，∴c ＝3(负值舍去)．又h ＝c ·sin 60°＝3×32＝332，故选B.可得答案B考点：余弦定理，难度：★☆☆☆☆☆例4、（共5分，3分钟）在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a,b,c ，已知8b =5c,C =2B ，则cos C = ( ) A.725 B.−725 C.±725 D.2425 解答：由8b =5c,C =2B 及正弦定理得， 8sin B =5sin C,sin C =sin 2B ,又由正弦公式知sin 2B =2sin B cos B ,整理可得 8sin B =10sin B cos B ,cos B =45,sin B =35， cos C =cos 2B =cos 2B −sin 2B =725 可得答案A考点：正弦定理，二倍角公式，难度：★★☆☆☆☆例5、（共5分，2分钟）在∆ABC 中，AB =√6,∠A =75°,∠B =45°，则AC= .解答:由正弦定理可知：ABsin [180°−(75°+45°)]=ACsin 45°⇒√6sin 60°=ACsin 45°⇒AC =2可得答案:AC=2考点：正弦定理,难度：★☆☆☆☆☆例6、（共5分，2分钟）在∆ABC 中，a=4，b=5，c=6，则sin 2A sin C= .解答：sin2Asin C =2sin A cos Asin C=2ac∙b2+c2−a22bc=1可得答案sin2Asin C=1考点：正弦定理、余弦定理，难度：★☆☆☆☆☆例7、（共5分，3分钟）若锐角∆ABC的面积为10√3，且AB=5，AC=8,则BC 等于________．解答：由已知得的∆ABC面积为12AB∙AC sin A=20sin A=10√3，∴sin A=√32，A∈(0，π2)，可知A=π3由余弦定理得AB2+AC2−2AB∙AC cos A=49，解得BC=7可得答案BC=7考点：三角形面积公式，余弦定理，难度：★☆☆☆☆☆例8、（共5分，2分钟）设∆ABC的内角A，B,C的对边分别为a,b,c若a=√3，sin B=12,C=π6，则b= .解答：由sin B=12且B∈(0，π)∴B=π6或5π6，又C=π6，则B=π6可得A=π−B−C=2π3，又a=√3由正弦定理asin A =bsin B,代入可得b=1可得答案b=1考点：正弦定理，难度：★☆☆☆☆☆例9、（共5分，2分钟）设∆ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a,b,c,若(a+b−c)(a+b+c)=ab，则角C= .解答：由(a+b+c)(a+b−c)=a2+b2−c2+2ab=ab得a2+b2−c2=−ab由余弦定理cos C=a2+b2−c22ab =−ab2ab=−12,C=2π3可得答案C=2π3考点：余弦定理，难度：★☆☆☆☆☆例10、（共5分，2分钟）在∆ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c..已知b−c=14a,2sin B=3sin C,则cos A的值为 .解答：由正弦定理知2b=3c,解得b=3c2,a=2c.则由余弦定理知cos A=b2+c2−a22bc =−14可得答案cos A=−14考点：三角形面积公式，余弦定理，难度：★☆☆☆☆☆例11、（共5分，3分钟）在∆ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知∆ABC的面积为3√15,b−c=2,cos A=−14,则a的值为 .解答：因为0<A<π，所以sin A=√1−cos2A=√154,又S∆ABC=12bc sin A=√158bc=3√15，∴bc=24解方程组{b−c=2bc−−24得b=6,c=4由余弦定理得a2=b2+c2−2bc cos A=64, 所以a=8可得答案a=8考点：同角三角函数关系，三角形面积公式，余弦定理，难度：★☆☆☆☆☆例12、（共5分，3分钟）在∆ABC中，B=120°，AB=√2，A的角平分线AD=√3,则AC=_______.解答：由正弦定理得ABsin∠ADB =ADsin B,即√2sin∠ADB=√3sin120°,解得sin∠ADB=√22，∠ADB=45°，从而∠BAD=15°=∠DAC , 即C=30° ,|AC|=2|AB|cos30°=√6.可得答案AC=√6考点：正弦定理, 难度：★☆☆☆☆☆例13、（共12分，8分钟）∆ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m⃗⃗⃗ =(a,√3b)与n⃗=(cos A，sin B)平行，（I）求A;（II）若a=√7，b=2，求∆ABC的面积．解答：（I）由m⃗⃗⃗ 与n⃗平行，则a sin B−√3b cos A=0,由正弦定理，得sin A sin B−√3sin B cos A=0又sin B≠0 ,从而tan A=√3由于0<A<π ,所以A=π3(II)由余弦定理，得a2=b2+c2−2bc cos A,而a=√7,b=2,A=π3, 得7=4+c2−2c因为c>0所以c=3故∆ABC的面积为12bc sin A=3√32可得答案（I）π3;（II）3√32.考点：平行向量的坐标运算，正弦定理，3、余弦定理，4、三角形的面积公式，难度：★☆☆☆☆☆例14、（共12分，8分钟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点(a，b)在直线x(sin A－sin B)＋y sin B＝c sin C上．(1)求角C 的值；(2)若a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，求△ABC 的面积．解答:(1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理，得a (a －b )＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝12，结合0<C <π，得C ＝π3.(2)由a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，得(a －3)2＋(b －3)2＝0，从而得a ＝b ＝3，所以△ABC 的面积S ＝12×32×sinπ3＝934.可得答案(1) C ＝π3,(2)S ∆ABC =9√34.考点：正弦定理,余弦定理,三角形面积公式, 难度：★☆☆☆☆☆例15、（共12分，8分钟）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c 。

正余弦定理练习题(含答案)[1]

在“ABC 中，0, b, c 分別是角4 8. C 所对的边，若^ = 105% 8=45% 则c=（A. 1C. 2在茲 ABC 中，已知 a=3y[2. cosC=j, Sg=4品则 b= ____________. 在茲ABC 中，b=4{i, C=30。

，c=2,则此三角形有 ________组解. 如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140。

的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110% 航行半小时后船到达C 点，观测灯塔人的方位角是65。

・则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少18. ii ：A ABC 中，0、b 、c 分別为角 A 、8. C 的对边•若 a=2晶 sin|cos|=^r sin Bsin C=cos^.求 A 、 6 及 b 、c.19. （2009年高考四川卷）^A ABC 中，久B 为锐角•角久B 、C 所对应的边分別为6 b 、c,且cos 2A= sin ⑴求 A+B 的值：（2）若 o —/?=匹一1,求 a, b, c 的值.20. 'ABC 中，0b=65/5，sin fi=sinC △ ABC 的面枳为 15 羽，求边 b 的长.在AAfiC 中，Z&=45°, ZB=60°, a=2.2. 3. 已知 0=8, S=60°, C=75°, B ・ 45/3 C. 角A 、B 、C 的对边分別为a 、 B ・ 135" 正弦定理练习题则b 等于（）D. 2& 则b 等于（）4& b. G &=60。

，0=4羽，b=4品则角 5为（ D.以上答案都不对 4. 在△ ABC 中， A. 4迈在△ ABC 中， A. 45°或 135° B ・ 135" C・ 45° 在 A ABC 中，o: b ： c=i: 5 : 6.贝 IJsiM: sinB : sinC 等于（） A. 1:5:6 B. 6:5:1 C. 6:1:5解析J 选 A.由正弦定理知 siM : 5in8 : sinC=o : b : c=l : 5 : 6.D-不确泄5. 6. 8.9.10. 在^ ABC 中，若签?=夕，则^ ABC 是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形己知A ABC 中，AB=E AC=1, Z 8 = 30% 则A ABC 的面积为（）或或誓'ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b. c •若c=迈，b=E S=120\则o 等于（ B ・ 2 c"在4 ABC 中，角久B 、C 所对的边分別为6 b 、G 若0=1, c=Ql C 岭则A=_ 已知 a=響,fa=4,4 = 30% 则 sin8= _____________________________________ .li:A ABC 中,11. 12. 在茲ABC 中, 在4 ABC 中, 已知ZA=30°, Z S = 120\ 6=12,贝I] o+c=o=2facosC,贝ijA^fiC 的形状为 ________ • 13.14- 在△AB C 中，人= 60°, O = 6A /3, 6=12, S“8c=18 羽，则;;活三篇行花a — 2b + cc —已知"阮中，ZA ：ZB ：Z C=l: 2:3. a-1,则 sM_2sinB+sinC15. 16. 17.2.3. 4. 5. 6- 1. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14- IS 16. 17. 余弦定理练习题在“ABC 中，如果BC=6, AB=4, cosB=p 那么AC 等于（ A. 6 B. 2& C ・ 3yf6 在A ABC 中，0=2, C=30\ 则 c 等于（ D. 2 在AAfiC 中，Q2=b2+s+羽be.则ZA 等于（） A. 60° B ・ 45° C ・ 120° 在4 ABC 中，厶A 、Z 8、ZC 的对边分别为6 b 、c, T 、5n 2n riv tfV 以6 以3 在A ABC 中，0、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cosB+bcosA 等于（ A. o B. b C ・c D.以上均不对D. 150" 若（a^+c^—b2）tanB=dlac,则Z B 的值为（如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（） A-锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D ・由增加的长度决；4^ 已知锐角三角形A3C 中，I 為1=4, I 為1=1., A- 2 B. -2 C. 4在4 ABC 中，b=y[3, c=3, 0=30。

正余弦定理练习题(含答案)[1]

正弦定理练习题1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )D ．262．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 63．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. \5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 C ．26．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )或 3 或328．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )B ．2 C. 39．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.10．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 、11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________.14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .~19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．余弦定理练习题`1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．3 6D ．46 2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )D ．2 3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( )A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )或5π6 或2π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对 *6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4 8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )B ．2 3 或2 3 D ．29．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________． 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________． 12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 《13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.14．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．)19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．\正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )D ．26解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin Bsin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) —A ．4 2B ．4 3C ．4 6解析：选＝45°，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝4 6.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°. 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) }A ．1 C ．2解析：选＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A ， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2.7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )或 3 或32 <解析：选＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ，∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积．8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )B ．2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C ，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2. )9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________. 解析：由正弦定理得：a sin A ＝csin C ，所以sin A ＝a ·sin C c ＝12.又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6.答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32.答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. /解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3. 答案：8312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得 2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ， ,化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 6[14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin Csin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2.答案：215．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43，解得b ＝2 3. 答案：23 &16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2， ∴c <b sin C ，∴此三角形无解．答案：0 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°， ~由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A ＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6.由sin B sin C ＝cos 2A2，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]， ?即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝c ＝a sin Bsin A ＝23×1232＝2. 故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2.19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010， !∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010.又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4.(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22.由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C 得5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5. ￥20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ，∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°. 又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C .当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝bsin B ，∴b ＝215. 当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)．故边b 的长为215.余弦定理&1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( ) A ．6 B ．26 C ．3 6 D ．46 解析：选A.由余弦定理，得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝ 42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )D ．2解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C（＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2， ∴c ＝ 2.3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°解析：选∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32， ∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°. 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( ) 。

(完整版)正弦定理和余弦定理练习题

【正弦定理、余弦定理模拟试题】一. 选择题：1. 在∆ABC 中，a b B ===︒232245，，，则A 为（）A B C D ....60120603015030︒︒︒︒︒︒或或2. 在∆AB C A a B bB 中，若，则sin cos =∠=（） A BCD ....30456090︒︒︒︒3. 在∆ABC 中，a b c bc 222=++，则A 等于（）A B C D ....604512030︒︒︒︒4. 在∆ABC 中，||||()()AB BC AB BC AB BC →=→=→+→⋅→+→=+12523，，，则边||AC →等于（） A B C D ....5523523523--+5. 以4、5、6为边长的三角形一定是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角或钝角三角形6. 在∆ABC 中，b A a B cos cos =，则三角形为（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形7. 在∆ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则∆ABC 是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 正三角形8. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程57602x x --=的根，则三角形的另一边长为（）A. 52B. 213C. 16D. 4二. 填空题：9. 在∆ABC 中，a b A B +==︒=︒126045，，，则a =_______，b =________10. 在∆ABC 中，化简b C c B cos cos +=___________11. 在∆ABC 中，已知sin :sin :sin ::A B C =654，则cosA =___________12. 在∆ABC 中，A 、B 均为锐角，且cos sin A B >，则∆ABC 是_________三. 解答题：13. 已知在∆ABC 中，∠=︒==A a c 4526，，，解此三角形。

正弦定理余弦定理练习题

正弦定理余弦定理练习题在平面几何中，正弦定理和余弦定理是解决三角形相关问题的重要定理。

熟练掌握这两个定理的使用方法，对于解题非常有帮助。

本文将通过一些练习题，进一步巩固并应用正弦定理和余弦定理。

一. 练习题一已知三角形ABC，∠BAC = 35°，BC = 10cm，AC = 8cm。

1. 求∠ABC和∠ACB的度数。

2. 求∠BAC的正弦值和余弦值。

3. 求∠BAC的弧度值。

解答：1. 由三角形内角和定理可知∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°，故∠ABC + 35° + ∠ACB = 180°。

化简可得∠ABC + ∠ACB = 145°。

又因为∠ABC和∠ACB为三角形内角，故它们的度数之和小于180°，可知∠ABC和∠ACB的度数为(0, 145°)。

2. 根据正弦定理可得 sin(∠BAC) = BC/AC = 10/8 = 1.25。

因为∠BAC是锐角，故其正弦值为1.25。

根据余弦定理可得 cos(∠BAC) = (AB² + AC² - BC²) / (2 * AB * AC) = (AB² + 8² - 10²) / (2 * AB * 8) = (AB² + 64 - 100) / (16 * AB) = (AB² - 36) / (16 * AB)。

因为∠BAC是锐角，所以其余弦值小于1，得到 AB² - 36 < 16 * AB。

将 AB 换成 x，得到 x² - 16x - 36 < 0。

解这个不等式可得 4 < x < 9，所以 AB 的长度为 (4, 9)。

3. 弧度值可以通过将度数除以180°，再乘以π来计算。

所以∠BAC 的弧度值为35° * (π /180°) ≈ 0.6109。

高中正余弦定理经典例题

正余弦定理1.在锐角∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB=b ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求∆ABC 的面积．2.在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知．（1）求的值；（2）若cosB=，∆ABC 的周长为5，求b 的长．3.在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边是a ，b ，c ，已知3acosA=ccosB+bcosC（1）求cosA 的值（2）若a=1，，求边c 的值．4．在∆ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ．已知．（1）若∆ABC 的面积等于，求a ，b ；（2）若sinC+sin （B ﹣A ）=2sin2A ，求∆ABC 的面积．5．∆ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且cosB=．（1）求C anA tan 1t 1+的值；（2）若•=，求a+c 的值．6．已知∆ABC 的面积为S ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，．（1）求cosA 的值；（2）若a ，b ，c 成等差数列，求sinC 的值．7．在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设S 为∆ABC 的面积，满足．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若，且，求c 的值．8. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cosC+（cosA ﹣sinA ）cosB=0．（1）求角B 的大小；（2）若a+c=1，求b 的取值范围．9．在锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a ﹣2csinA=0．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若c=2，求a+b 的最大值．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知a 2+c 2=2b 2．（Ⅰ）若，且A 为钝角，求内角A 与C 的大小；（Ⅱ）若b=2，求∆ABC 面积的最大值．11．已知∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．（1）求角A ；（2）若a=1，求∆ABC 的面积S 的最大值．12．在∆ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求bc 的最大值． 13．在锐角∆ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边依次为a ，b ，c ，设m =（sin （﹣A ），1），n =（2sin （+A ），﹣1），a=2，且m •n=﹣．（1）若b=2，求∆ABC 的面积；（2）求b+c 的最大值．14．己知在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m =（a 2+b 2﹣c 2，ab ），n =（sinC ，﹣cosC ），且⊥m n ．（I ）求角C 的大小；（II ）当c=1时，求a 2+b 2的取值范围．15．在锐角∆ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．且．（1）求角A 的大小及角B 的取值范围；（2）若，求b 2+c 2的取值范围．。

(完整版)正弦定理、余弦定理综合训练题含答案

正弦定理、余弦定理综合训练题1．[2016·全国卷Ⅰ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．3[解析] D 由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D. 2．[2016·全国卷Ⅲ] 在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( ) A.310 B.1010 C.55 D.31010[解析] D 作AD ⊥BC 交BC 于点D ，设BC ＝3，则有AD ＝BD ＝1，AB ＝2，由余弦定理得AC ＝ 5.由正弦定理得5sin π4＝3sin A，解得sin A ＝3×225＝31010. 3．[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2 A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5[解析] D 由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得25cos 2A ＝1.因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＝15.在△ABC 中，根据余弦定理，得49＝b 2＋36－12b ·15，即b 2－125b 4．[2016·全国卷Ⅱ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．[解析] 因为cos A ＝45，cos C ＝513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365.又因为a sin A ＝b sin B ，所以b ＝a sin B sin A ＝2113. －13＝0，解得b ＝5或b ＝－135(舍去)． 5．[2015·全国卷Ⅰ] 已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C.(1)若a ＝b ，求cos B;(2)若B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac .又a ＝b ，所以可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14. (2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，所以由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2.故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝2，所以△ABC 的面积为1.6．[2015·全国卷Ⅱ] △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2D C.(1)求sin ∠B sin ∠C； (2)若∠BAC ＝60°，求∠B.解：(1)由正弦定理得AD sin ∠B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin ∠C ＝DC sin ∠CAD. 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以sin ∠B sin ∠C ＝DC BD ＝12. (2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°，所以sin ∠C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos ∠B ＋12sin ∠B. 由(1)知2sin ∠B ＝sin ∠C ，所以tan ∠B ＝33，即∠B ＝30°. 7．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解：(1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C＝13－12cos C ，①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7. (2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2sin 60°＝2 3. 8.[2016·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.3π4B.π3C.π4D.π6[解析] C ∵b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，∴2b 2sin A ＝b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝2b 2cos A ，∴tan A＝1，即A ＝π4. 9.[2015·广东卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( ) A ．3 B ．22 C ．2 D. 3 [解析] C 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋(23)2－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4.因为b <c, 所以b ＝2.10.[2016·上海卷] 已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________．[解析] 利用余弦定理可求得最大边7所对角的余弦值为32＋52－722×3×5＝－12，所以此角的正弦值为32.设三角形外接圆的半径为R ，由正弦定理得2R ＝732，所以R ＝733. 11.[2016·北京卷] 在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则b c＝________．[解析] 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得，3c 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，整理得b c 2＋b c－2＝0，解得b c ＝1或b c＝－2(舍去)．12.[2016·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若cos B ＝23，求cos C 的值．解：(1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B.(2)由cos B ＝23得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，故cos A ＝－19，sin A ＝459，cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2227.。

正余弦定理典型例题

正余弦定理典型例题一、正弦定理典型例题1. 例题1：已知两角和一边，求其他边和角题目：在△ ABC中，已知A = 30^∘，B = 45^∘，a = 2，求b，c和C。

解析：根据三角形内角和C=180^∘-A B，所以C = 180^∘-30^∘-45^∘=105^∘。

由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，已知a = 2，A = 30^∘，B = 45^∘，则b=(asin B)/(sin A)。

因为sin A=sin30^∘=(1)/(2)，sin B=sin45^∘=(√(2))/(2)，所以b=(2×frac{√(2))/(2)}{(1)/(2)} = 2√(2)。

再根据正弦定理(a)/(sin A)=(c)/(sin C)，sin C=sin105^∘=sin(60^∘+45^∘)=sin60^∘cos45^∘+cos60^∘sin45^∘=(√(3))/(2)×(√(2))/(2)+(1)/(2)×(√(2))/(2)=(√(6)+√(2)) /(4)。

所以c=(asin C)/(sin A)=(2×frac{√(6)+√(2))/(4)}{(1)/(2)}=√(6)+√(2)。

2. 例题2：已知两边和其中一边的对角，求其他边和角（可能有两解）题目：在△ ABC中，a = 2√(3)，b = 6，A = 30^∘，求B，C，c。

解析：由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，可得sin B=(bsin A)/(a)。

把a = 2√(3)，b = 6，A = 30^∘代入，sinB=frac{6×sin30^∘}{2√(3)}=(6×frac{1)/(2)}{2√(3)}=(√(3))/(2)。

因为b > a，A = 30^∘，所以B = 60^∘或B = 120^∘。

当B = 60^∘时，C=180^∘-A B=180^∘-30^∘-60^∘=90^∘，再由(a)/(sinA)=(c)/(sin C)，c=(asin C)/(sin A)=frac{2√(3)×sin90^∘}{sin30^∘} = 4√(3)。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

正余弦定理练习题
1.已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为（）
A ．2 2
B ．8 2
2. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )
3. 满足A ＝45°，c ＝6，a ＝2的△ABC 的个数记为m ，则a m 的值为( )
A ．4
B ．2
C ．1
D ．不确定
4. 在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c
，(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形
5. 在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A 、B 、C 的度数依次是________．
6. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.
7. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c .已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，求b .
8. 在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .
(1)求AB 的值；(2)求sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2A －π4的值．
9. 设△ABC 的角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc .
(1)求sin A 的值；(2)求A
C B A 2cos 214sin 4sin 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ的值．
10. 在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos2A ＝35，sin B ＝1010
.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．
11. 在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝13
. (1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．。