新课标2019届高考数学一轮复习第四章三角函数基本初等函数Ⅱ4.6三角恒等变换理
sin10° 解：sin50° (1＋ 3tan10° )＝sin50° 1＋ 3×cos10° cos10° ＋ 3sin10° ＝sin50° × cos10° 3 1 2× cos10° ＋ sin10° 2 2 ＝sin50° × cos10° 2sin50° cos50° sin100° cos10° ＝ ＝ ＝ ＝1.故填 1. cos10° cos10° cos10°
(2015· 全国卷Ⅰ)sin20° cos10° －cos160° sin10° ＝( 3 3 1 1 A．－ B. C．－ D. 2 2 2 2
)
1 解：原式＝sin20° cos10° ＋cos20° sin10° ＝sin30° ＝ .故选 ，则 cos2θ ＝( 3 4 1 1 4 A．－ B．－ C. D. 5 5 5 5
(2) 降幂公式： sin2 α ＝ α ＝ ．
； cos2
(3)tanα ±tanβ ＝______________________； tanα －tanβ tanα ＋tanβ tanα tanβ ＝ －1＝1－ . tan（α－β） tan（α＋β） (4)辅助角公式：asinα ＋bcosα ＝ a2＋b2sin(α＋φ)， 其中 cosφ＝ 或 tanφ＝ ， sinφ＝ ，
类型一
非特殊角求值问题
)
3 (1)(2017· 山东)已知 cosx＝ ，则 cos2x＝( 4 1 1 1 1 A．－ B. C．－ D. 4 4 8 8
32 3 1 2 解： 由 cosx＝ 得 cos2x＝2cos x－1＝2× 4 －1＝ . 4 8 故选 D.
(2)(教材复习参考题)sin50° (1＋ 3tan10° )＝________.
π 1 π 解：f(x)＝ sin x＋3 ＋cos x－6 5 1 3 1 1 3 ＝ sinx· ＋cosx· ＋cosx· ＋sinx· 5 2 2 2 2 π 3 3 3 3 ＝ sinx＋ cosx＝ ·2sin x＋3 5 5 5 6 π 6 x ＋ ＝ sin ，最大值为 . 5 3 5 故选 A.
)
1 解：因为 tanθ＝ ，所以 cosθ＝3sinθ，根据同 3 1 2 2 2 角三角函数关系可得 sin θ＋9sin θ＝1，sin θ＝ . 10 4 2 由倍角公式，cos2θ＝1－2sin θ＝ .故选 D. 5
π 1 π (2017· 全国卷Ⅲ)函数 f(x)＝ sin x＋3 ＋cos x－6 的 5 最大值为( 6 A. 5 ) B．1 3 C. 5 1 D. 5
2cos α －1
2
1－2sin α
2
2tanα (3) 1－tan2α
2 α α 2α 2α 4．(1) sin ±cos 2cos 2sin 2 2 2 2 1－cos2α 1＋cos2α (2) (3)tan(α± β)(1∓tanα tanβ ) 2 2 a b b (4) 2 相同 2 2 2 a a ＋b a ＋b
第四章 第一章
三角函数 集合与常用逻辑用语 (基本初等函数(Ⅱ))
4．6 三角恒等变换
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α± β)＝____________________. (2)cos(α± β)＝____________________. (3)tan(α± β)＝____________________. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α ＝______________． (2)cos2α ＝___________＝___________＝___________． (3)tan2α ＝ .
(2016· 上海)方程 3sinx＝1＋cos2x 在区间[0，2π] 上的解为________．
解：3sinx＝1＋cos2x，即 3sinx＝2－2sin2x，所以 1 2 2sin x＋3sinx－2＝0， 解得 sinx＝ 或 sinx＝－2(舍去)， 2 π 5π π 5π 0 ， 2 π ]上的解为6或 6 .故填6或 6 . 所以在区间[
π 1 (2017· 江苏)若 tan α －4 ＝ ，则 tanα ＝________. 6
π π 1 tan α－4 ＋tan ＋1 4 6 π π 7 解：tanα＝tan α－4 ＋4 ＝ ＝ ＝ . π π 1 5 1－ 1－tan α－4 tan 6 4 7 故填 . 5
(3)(福建漳州 2017 届八校联考)已知 tanα ＝2(α∈(0，π))， 5 则 cos 2π＋2α＝( ) 3 4 3 4 A. B. C．－ D．－ 5 5 5 5
解： 由 tanα＝2 得 sinα＝2cosα， sin2α＋cos2α＝1， 5 1 2 2 2 得 4cos α ＋ cos α ＝ 1 ， cos α ＝ ， cos 2π＋2α ＝ 5 π 4 2 cos 2＋2α ＝－ sin2 α＝－ 2sin α cos α ＝－ 4cos α ＝－ . 5 故选 D.
，φ 角所在象限与点(a，
b)所在象限________，φ 角的终边经过点(a，b)．
自查自纠
1．(1)sinα cosβ ±cosα sinβ tanα ±tanβ (3) 1∓tanα tanβ 2．(1)2sinα cosα (2)cos α －sin α
2 2
(2)cosα cosβ ∓sinα sinβ
3．半角的正弦、余弦、正切公式 1－cosα α (1)sin ＝± . 2 2 α 1＋cosα (2)cos ＝± . 2 2 α (3)tan ＝± 2 1－cosα sinα 1－cosα ＝ ＝ . 1＋cosα 1＋cosα sinα
4．几个常用的变形公式 (1)升幂公式：1± sinα ＝ 1＋cosα ＝ ； ；1－cosα ＝ ．
2019版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角函数第五节三角恒等变换实用课件理【优质ppt版本】
变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
tan α＋tan β T(α＋β) tan(α＋β)＝ 1－tan αtan β ；
变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
＝2csoisn1100°°－ssiinn
2100°°＝cos
10°－2sin 2sin 10°
20°
＝cos
10°－2sin30°－10° 2sin 10°
＝cos
10°－2sin
30°cos 10°＋2cos 2sin 10°
30°sin
10°＝
3 2.
[答案]
(1)4sin α
(2)
3 2
[方法技巧]
1．给值求值问题的求解思路 (1)化简所求式子． (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数 名及角入手)． (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
2．给值求角问题的解题策略 (1)讨论所求角的范围． (2)根据已知条件，选取合适的三角函数求值． ①已知正切函数值，选正切函数； ②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的 范围是0，π2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)， 选余弦函数较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦函数较好． (3)由角的范围，结合所求三角函数值写出要求的角．
第五节 三角恒等变换
本节主要包括 2 个知识点： 1.三角函数的求值； 2.三角恒等变换的综合问题.
突破点(一) 三角函数的求值
突破点(二) 三角恒等变换的综合问题
01234
全国卷5年真题集中演练——明规律
2019届高三数学新课标一轮复习课件第四章 三角函数(基本初等函数(Ⅱ))4.2
α ∈π2，π，则 sin(π－2α)＝( )
A.2254
B.1225
C．－1225
D．－2254
解：由 sin2π＋α＝－35得 cosα＝－35，又 α∈π2，π，
则 sinα＝45，所以 sin(π－2α)＝sin2α＝2sinαcosα＝－2254.
故选 D.
(2017·重庆检测)已知 α 是第四象限角，且 sinα ＋cosα ＝
＝
8cos73αco－sαcosα＝87·cos2α－17＝335.故填335.
类型一 利用同角三角函数的基本关系式
进行化简和求值
(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知 a∈0，2π，tanα ＝2， 则 cosα －π4＝________；
(2)已知 sinα ＝13，求 tanα ； (3)已知 sinα ＝m(m≠0，m≠±1)，求 tanα .
的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函
数名称________．“符号看象限”是把 α 当成________时，原三角函数式中
的角如π2＋α 所在________原三角函数值的符号．注意：把 α 当成锐角是指
α 不一定是锐角，如 sin(360°＋120°)＝sin120°，sin(270°＋120°)＝－cos120°，
22＝3
10 10 .
故填3 1010.
(2)因为 sinα＝13，所以 α 是第一或第二象限角．
当 α 是第一象限角时，
cosα＝ 1－sin2α＝ 1－132＝2 3 2，
所以 tanα＝csoinsαα＝ 42；
当 α 是第二象限角时，tanα＝－ 42.
(3)因为 sinα＝m(m≠0，m≠±1)，
2019高考数学一轮复习 第四章 基本初等函数Ⅱ(三角函数)4.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和
§4.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式命题探究解答过程(1)由题设得acsin B=,即acsin B=.由正弦定理得sin Csin B=.故sin Bsin C=.(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-,即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=.由题设得bcsin A=,即bc=8.由余弦定理得b 2+c 2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.故△ABC 的周长为3+考纲解读分析解读 1.了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互化.2.会判断三角函数值的符号;理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式,会用三角函数线解决相关问题.4.理解同角三角函数的基本关系式:sin 2x+cos 2x=1,=tan x,全面系统地掌握知识的来龙去脉,熟悉各知识点之间的联系.2好教育云平台——教育因你我而变2017年高考“最后三十天”专题透析5.本节内容在高考中一般融入三角函数求值、化简中,不能单独考查.五年高考考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式1.(2016课标全国Ⅲ,5,5分)若tan α=,则cos 2α+2sin 2α=( )A. B. C.1 D.答案 A2.(2014大纲全国,3,5分)设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( )A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b答案 C3.(2017北京,12,5分)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=,则cos(α-β)= .答案 -4.(2015广东,16,12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.(1)若m⊥n,求tan x 的值;(2)若m 与n 的夹角为,求x 的值.解析 (1)因为m⊥n,所以m·n=sin x -cos x=0.即sin x=cos x,又x∈,所以tan x==1.(2)易求得|m|=1,|n|==1.因为m 与n 的夹角为,所以cos==.则sin x-cos x=sin=.又因为x∈,所以x-∈.所以x-=,解得x=.教师用书专用(5)5.(2014四川,13,5分)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B,C 的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46 m,则河流的宽度BC 约等于 m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,≈1.73)答案 60三年模拟A 组 2016—2018年模拟·基础题组考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式1.(2018吉林长春一模,6)若角α的顶点为坐标原点,始边在x 轴的非负半轴上,终边在直线y=-x 上,则角α的取值集合是 ( )A. B.C. D.答案 D2.(2018江西阶段性检测,4)已知P 在角β的终边上,且sin β=,则a 的值为( )A.1B.3C.D.答案 A3.(2017河北石家庄二中模拟,3)已知点M在角θ终边的延长线上,且|OM|=2,则点M的坐标为( )A.(2cos θ,2sin θ)B.(-2cos θ,2sin θ)C.(-2cos θ,-2sin θ)D.(2cos θ,-2sin θ)答案 C4.(2017福建四地六校联考,6)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin α的值是( )A. B. C. D.答案 C5.(2017湖北襄阳四校联考,4)若角α的终边在第一象限,则+的取值集合为( )A.{-2,2}B.{0,2}C.{2}D.{0,-2,2}答案 A6.(2016河南天一大联考阶段测试(二),7)已知角α的终边经过P(sin 15°,-cos 15°),则sin2α的值为( )A.0B.C.-D.+答案 D7.(人教A必4,一,1-3A,3,变式)等于( )A.sin 2-cos 2B.cos 2-sin 2C.±(sin 2-cos 2)D.sin 2+cos 2答案 A8.(2018浙江名校协作体考试,13)已知sin·cos=,且0<α<,则sin α= ,cos α= .答案;B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:35分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018河南天一大联考,2)在平面直角坐标系xOy中,角α的终边经过点P(3,4),则sin=( )A.-B.-C.D.答案 B2.(2018四川南充一诊,5)设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,若f(2 017)=-1,那么f(2 018)=( )A.1B.2C.0D.-1答案 A3.(2017河南八市联考,6)已知函数y=log a(x-1)+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,若角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P,则sin2α-sin 2α的值为( )A. B.- C. D.-答案 D4.(2017浙江温州模拟,4)若+=,则sin αcos α=( )A.-B.C.-或1D.或-1答案 A5.(2017河北邯郸联考,8)已知α为锐角,若sin 2α+cos 2α=-,则tan α=( )A.3B.2C.D.32017年高考“最后三十天”专题透析答案 A6.(2016福建四地六校第一次联考,2)设a=sin 145°,b=cos 52°,c=tan 47°,则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.a<c<b答案 A二、填空题(共5分)7.(2018广东惠阳高级中学月考,15)已知α∈,4sin α+3cos α=0,则sin 2α+3cos2α的值为.答案C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 利用三角函数定义解题的方法1.(2017广东省际名校模拟,8)已知角α终边上一点的坐标为P,则角α是( )A. B. C.- D.-答案 D2.(2016河南中原名校第三次联考,4)已知角α的终边经过点A(-,a),若点A在抛物线y=-x2的准线上,则sinα=( )A.-B.C.-D.答案 D方法2 同角三角函数基本关系式的应用技巧3.(2017湖北四地七校联考,3)已知α为第四象限角,sin α+cos α=,则tan的值为( )A.-B.C.-D.答案 C4.(2016浙江杭州五校联盟高三一诊,6)已知倾斜角为θ的直线与直线x-3y+1=0垂直,则=( )A. B.-C. D.-答案 C方法3 利用诱导公式化简求值的思路和要求5.(2018山东临沂临沭第一中学学情调研,3)已知cos=-,则cos+sin=( )A.-B.-1C.0D.答案 C6.(2017江西上饶一模,3)已知sin=,则cos的值等于( )A. B. C.- D.-答案 A好教育云平台——教育因你我而变4。
推荐2019届高三数学(理 新课标)一轮复习课件第四章 三角函数(基本初等函数(Ⅱ))4.5
按五个关键点列表：
π
3π
5π
7π
9π
t
8
8
8
8
8
2t－π4
π
0
2
3π
π
2
2π
2sin2t－4π
0
2
0
－2
0
描点并将它们用光滑的曲线连接起
来，即得 h＝2sin2t－π4(t≥0)在一个周期
的简图，如图所示．
(2)t＝0 时，h＝2sin－π4＝－ 2，即小球开始振动时的位置
3．y＝|sinx|是以______为周期的波浪形曲线．
4．太阳高度角 θ、楼高 h0 与此时楼房在地面的投影长 h 之间 有如下关系：________________.
自查自纠
1．三角函数 2.周期 函数拟合 3.π 4.h0＝htanθ
已知某人的血压满足函数解析式 f(t)＝24sin160πt＋
(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于
5＋6.5＝11.5(米)，即
π 3sin6t
＋10≥11.5，sinπ6t≥12，2kπ＋6π≤π6t≤2kπ＋56π(k∈Z)，0≤t≤24，所以 12k＋
1≤t≤12k＋5(k∈Z)．在同一天内取 k＝0 或 1，则 1≤t≤5 或 13≤t≤17.
所以该船最早能在凌晨 1 时进港，最晚下午 17 时出港，在港口最多停留
三角函集数合(基与本常初用等逻函辑数用(Ⅱ语))
章章
4．5 三角函数模型的应用
1．如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助 ____________来描述．
2．三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学 模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未 来等方面都发挥着十分重要的作用．具体的，我们可以利用搜集 到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行 ____________而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来 解决相应的实际问题．
2019届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4-4三角恒等变换课件文
(2)4cos50°－tan40°＝4sin40°－tan40°
＝4sin40°ccooss4400°°－sin40°＝2sin80°－cossin403°0°＋10°
＝2cos10°－12ccooss1400°°－
3 2 sin10°
＝32cos10c°o－s4023°sin10°
＝ 3 cosc3o0s°4＋0°10°＝ 3. [答案] (1)1 (2) 3
第
四
三角函数 解三角形
章
第四节
三角恒等变换
高考概览 1.巧变角：三角函数式中往往出现较多的差异角，注意观察 角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系，运用角的变换， 化多角为单角或减少未知角的数目，连接条件角与待求角，使问 题顺利获解．对角变换时：(1)可以通过诱导公式、两角和与差的 三角公式等；(2)注意倍角的相对性；(3)注意拆角、拼角技巧，例 如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，β＝α＋2 β－ α－2 β＝(α＋2β)－(α＋β)，α－β＝(α－γ)＋(γ－β)，15°＝45°－30°，
(2)三角函数求值的方法策略
类型
要点
给角 关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角
求值 函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数
类型
要点
给出某些角的三角函数值，求另外一些角的 给值
三角函数值，解题关键在于“变角”，使其 求值
角相同或具有某种关系
给值 实质是转化为给值求值，关键是变角，把所
求角 求角用含已知角的式子表示，由所得的函数
角度 1：给角求值 (1)化简：sin50°(1＋ 3tan10°)＝________.
(2)4cos50°－tan40°＝________. 化成“一角一
(新课标)2019届高考数学一轮复习第四章三角函数(基本初等函数Ⅱ)4.4三角函数的
2π (2017· 全国卷Ⅰ)已知曲线 C1：y＝cosx，C2：y＝sin 2x＋ 3 ，则 下面结论正确的是( ) A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得 π 到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 C2 6 B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得 π 到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 C2 12 1 C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得 2 π 到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 C2 6 1 D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得 2 π 到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 C2 12
π 解：函数 y＝2sin 2x＋6 的周期为 π，将函数 y π 1 π ＝2sin 2x＋6 的图象向右平移 个周期即 个单位， 4 4 π π π 所得函数为 y ＝2sin 2 x－4 ＋6 ＝ 2sin 2x－3 . 故 选 D.
π (南京市、盐城市 2017 届高三一模)将函数 y＝3sin 2x＋3 π 0< φ < 的图象向右平移 φ 2个单位后，所得函数为偶函数，则 φ＝ ________.
π π 2 x ＋ 0< φ < 解：因为 y＝3sin 3的图象向右平移 φ 2个单位后， π π 所得函数为 y＝3sin 2（x－φ）＋3 ，即 y＝3sin 2x＋3－2φ是偶函
π 解： 因为 y＝sinx＋ 3cosx＝2sin x＋3 ， y＝sinx－ 3cosx π 2π π ＝2sin x－3 ＝2sin x＋3 － 3 ，所以函数 y＝sinx－ 3cosx
2019届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第六节简单的三角恒等变换课件文
解析
θ θ θ θ 2 θ 2sin cos 2cos sin cos 2 2 2 2 2 (1)原式= θ 4cos 2 2 2θ 2 θ θ sin cos cos cos θ θ 2 2 2 =cos · = . θ θ 2 cos cos 2 2 θ 因为0<θ<π,所以0< < , 2 2 θ 所以cos >0,所以原式=-cos θ. 2
α α 1-sin α= sin cos . 2 2 α sin α 1 cos α (3)tan = = . 2 1 cos α sin α
2.辅助角公式
2 2 asin x+bcos x= a b sin(x+φ)(φ为辅助角),其中sin φ=③
α 2 2 6 α α ∴cos <0,故cos =- . 2 2 3
1 3
α 2
1 3
α 2 2 3
, 又∵α∈(π,2π),∴ ∈ ,
2sin 2 35 1 2. 的值为 ( D ) cos10 3 sin10 1 1 A.1 B.-1 C. D.- 2 2
b
a 2 b2
,
cos φ=④
a
a 2 b2
.
α 1 1.已知cos α= ,α∈(π,2π),则cos 等于 ( 2 3 3 3 6 6 A. B.- C. D.- 3 3 3 3
B )
答案 B 由cos α= ,得2cos2 -1= , 即cos2 = .
1 2
(2)原式=
2cos 2 x(cos 2 x 1)
2 tan x cos 2 x 4 4
2019届高三数学(理 新课标)一轮复习课件：第四章 三角函数(基本初等函数(Ⅱ))4.6
B．－15
1 C.5
4 D.5
解：因为 tanθ＝13，所以 cosθ＝3sinθ，根据同 角三角函数关系可得 sin2θ＋9sin2θ＝1，sin2θ＝110. 由倍角公式，cos2θ＝1－2sin2θ＝45.故选 D.
(2017·全国卷Ⅲ)函数 f(x)＝15sinx＋π3＋cosx－π6 的
(2015·全国卷Ⅰ)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( )
A．－
3 2
3 B. 2
C．－12
1 D.2
解：原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝12.故选 D.
(2016·全国卷Ⅱ)若 tanθ ＝13，则 cos2θ ＝( )
A．－45
其中 cosφ＝
，sinφ＝
，
或 tanφ＝
，φ 角所在象限与点(a，
b)所在象限________，φ 角的终边经过点(a，b)．
自查自纠
1．(1)sinα cosβ ±cosα sinβ tanα ±tanβ
(3)1∓tanα tanβ
(2)cosα cosβ ∓sinα sinβ
2．(1)2sinα cosα
(1)(2016·四川)cos2π8－sin2π8＝________.
解：
根据二倍角公式有
cos28π－sin28π＝cosπ4＝
2 2.
故填
2 2.
(2)(2015·长沙模拟)sin12°（3t4acno1s22°1－2°3－2）＝________.
解：sin12°（3t4acno1s22°1－2°3－2）
2 3 2.所以 cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2α
2019高考数学一轮复习第四章基本初等函数Ⅱ(三角函数)4.4三角恒等变换练习理
§4.4三角恒等变换考纲解读分析解读 1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题.五年高考考点一两角和与差的三角函数公式1.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=()A.-B.C.-D.答案 D2.(2014课标Ⅰ,8,5分)设α∈,β∈,且tan α=,则( )A.3α-β=B.3α+β=C.2α-β=D.2α+β=答案 C3.(2017江苏,5,5分)若tan=,则tan α= .答案4.(2013课标全国Ⅰ,15,5分)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ= .答案-5.(2016江苏,15,14分)在△ABC中,AC=6,cos B=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos的值.解析(1)因为cos B=,0<B<π,所以sin B===.由正弦定理知=,所以AB===5.(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos Bcos +sin B·sin,又cos B=,sin B=,故cos A=-×+×=-.因为0<A<π,所以sin A==.因此,cos=cos Acos+sin Asin=-×+×=.教师用书专用(6—13)6.(2015重庆,9,5分)若tan α=2tan ,则=( )A.1B.2C.3D.4答案 C7.(2013重庆,9,5分)4cos 50°-tan 40°=()A. B.C. D.2-1答案 C8.(2015江苏,8,5分)已知tan α=-2,tan(α+β)=,则tan β的值为.答案 39.(2015四川,12,5分)sin 15°+sin 75°的值是.答案10.(2014课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为. 答案 111.(2013课标全国Ⅱ,15,5分)设θ为第二象限角,若tan=,则sin θ+cos θ= . 答案-12.(2014江苏,15,14分)已知α∈,sin α=.(1)求sin的值;(2)求cos的值.解析(1)因为α∈,sin α=,所以cos α=-=-.故sin=sincos α+cossin α=×+×=-.(2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2××=-,cos 2α=1-2sin2α=1-2×=,所以cos=coscos 2α+sinsin 2α=×+×=-.13.(2014江西,16,12分)已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈.(1)当a=,θ=时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;(2)若f=0, f(π)=1,求a,θ的值.解析(1)f(x)=sin+cos=(sin x+cos x)-sin x=cos x-sin x=sin,因为x∈[0,π],从而-x∈.故f(x)在[0,π]上的最大值为,最小值为-1.(2)由得由θ∈知cos θ≠0,解得考点二二倍角公式1.(2016课标全国Ⅱ,9,5分)若cos=,则sin 2α=( )A. B. C.- D.-答案 D2.(2016四川,11,5分)cos2-sin2= .答案3.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A= ,b= .答案;1教师用书专用(4)4.(2013浙江,6,5分)已知α∈R,sin α+2cos α=,则tan 2α=( )A. B. C.- D.-答案 C三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一两角和与差的三角函数公式1.(2018云南玉溪模拟,7)下列各式中,值为的是( )A.sin 15°cos 15°B.cos2-sin2C. D.答案 D2.(2017河北冀州第二次阶段考试,8)(1+tan 18°)(1+tan 27°)的值是( )A. B.C.2D.答案 C3.(2016浙江杭州重点中学期中,3)已知α∈,β∈,tan α=,则( )A.α+β=B.α-β=C.α=2βD.β=2α答案 D考点二二倍角公式4.(2018天津实验中学模拟,6)已知sin 2a=,则cos2=( )A. B. C. D.答案 A5.(2017江西抚州七校高三上学期联考,6)若sin=,则tan=( )A. B.± C. D.±答案 D6.(2018江苏常州武进期中,8)已知锐角α的终边上一点P(1+cos 80°,sin 80°),则锐角α= .答案40°7.(2017湖南长沙一模,15)化简:= .答案2sin αB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:45分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018湖北咸宁重点高中联考,9)已知tan(α+β)=2,tan β=3,则sin 2α=( )A. B. C.- D.-答案 C2.(2018湖南永州祁阳二模)已知tan=,则cos2=( )A. B. C. D.答案 B3.(2018湖北八校第一次联考,10)已知3π≤θ≤4π,且+=,则θ=( )A.或B.或C.或D.或答案 D4.(2017陕西榆林二模,8)若cos=,则cos的值为( )A. B.-C. D.-答案 A5.(2017湖南邵阳二模,9)若tancos=sin-msin,则实数m的值为( )A.2B.C.2D.3答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)6.(2018湖南五十校教改共同体联考,15)若α∈,且cos 2α=sin,则tan α= . 答案7.(2017河北衡水中学第三次调研,14)若tan α+=,α∈,则sin+2coscos2α= . 答案0三、解答题(共10分)8.(2018湖北咸宁重点高中联考,17)已知f(x)=sin 2x+cos 2x-1.(1)若f(x)=-3,求tan x;(2)若θ∈, f(θ)=,求sin 2θ的值.解析(1)f(x)=2sin-1,当f(x)=-3时,有sin=-1,所以2x+=2kπ-,k∈Z,即x=kπ-,k∈Z.故tan x=-.(2)因为f(θ)=2sin-1=,所以sin=.因为θ∈,所以2θ+∈,所以cos=-,故sin 2θ=sin=sincos-cos·sin=×-×=.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 三角函数的化简与求值问题1.(2017湖北新联考四模,6)=( )A. B. C. D.1答案 A2.(2017河南百校联盟4月联考,8)已知α为第二象限角,且tan α+tan=2tan αtan-2,则sin等于( )A.-B.C.-D.答案 C3.(2018辽宁沈阳四校协作体联考,14)化简:-= .答案 4方法2 利用辅助角公式解决问题的方式4.(2016北京东城期中,8)函数y=cos2+sin2-1是( )A.周期为的函数B.周期为的函数C.周期为π的函数D.周期为2π的函数答案 C5.(2018江苏南京联合体学校调研测试,8)函数f(x)=sin·sin的最小正周期为.答案2π6.(2017河北冀州第二阶段考试,17)已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x+sinsin.(1)求f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)若x=x0为f(x)的一个零点,求cos 2x0的值.解析(1)f(x)=sin2x+2sin xcos x+sin·sin=sin2x+sin 2x+(sin x+cos x)·(sin x-cos x)=+sin 2x-cos 2x=sin 2x-cos 2x+=2sin+,所以f(x)的最小正周期为π,因为2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,所以kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间是,k∈Z.(2)由题意知f(x0)=2sin+=0,∴sin=-.因为0≤x0≤,所以-≤2x0-≤,又sin<0,所以-≤2x0-<0,所以cos=,所以cos 2x0=cos=×+×=.。
高考理科数学第一轮复习课件 第四章 三角函数(基本初等函数(Ⅱ)) 4.6 正弦定理、余弦定理及其应用
4．6正弦定理、余弦定理及其应用1．正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即．其中R是三角形外接圆的半径．(2)正弦定理的其他形式①a＝2R sin A，b＝____________，c＝____________；②sin A＝a2R，sin B＝，sin C＝；③a∶b∶c＝______________________.2．余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝，b2＝，c2＝.若令C＝90°，则c2＝，即为勾股定理．(2)余弦定理的推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝.若C为锐角，则cos C>0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cos C<0，即a2＋b2______c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角．(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A，类似地，sin2B＝_____________________；sin2C＝________________.注意式中隐含条件A＋B＋C＝π.3．解三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理，只有一解．(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用____________定理，可能有________________________．如在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如表：(3)已知三边，用____________定理有解时，只有一解．(4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解．4．三角形中的常用公式及变式(1)三角形面积公式S△＝______________＝______________＝______________＝______________＝______________．其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半径．(2)A＋B＋C＝π，则A＝__________，A2＝__________，从而sin A＝____________，cos A＝____________，tan A＝____________；sinA2＝__________，cosA2＝__________，tanA2＝__________.tan A＋tan B＋tan C＝____________.(3)若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b＝____________⇔2sin B＝____________⇔2sinB2＝cosA－C2⇔2cosA＋C2＝cosA－C2⇔tanA2tanC2＝13.(4)在△ABC中，a＝b cos C＋ccos B，b＝____________，c＝____________.(此定理称作“射影定理”，亦称第一余弦定理)自查自纠：1．(1)asin A＝bsin B＝csin C＝2R(2)①2R sin B2R sin C②b2Rc2R③sin A∶sin B∶sin C2．(1)b 2＋c 2－2b ccos A c 2＋a 2－2c a cos B a 2＋b 2－2ab cos C a 2＋b 2(2)b 2＋c 2－a 22b c c 2＋a 2－b 22c a a 2＋b 2－c 22ab > <(3)互化 sin 2C ＋sin 2A －2sin C sin A cos B sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cos C3．(1)正弦(2)正弦 一解、两解或无解 ①一解②两解 ③一解 ④一解 (3)余弦 (4)余弦 4．(1)12ab sin C 12b csin A 12a csin B ab c 4R12(a ＋b ＋c)r (2)π－(B ＋C ) π2－B ＋C2 sin(B ＋C )－cos(B ＋C ) －tan(B ＋C ) cos B ＋C 2 sin B ＋C21tanB ＋C 2tan A tan B tan C (3)a ＋c sin A ＋sin C (4)a cos C ＋ccos A a cos B ＋b cos A(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝ ( ) A ．4 2 B.30 C.29 D ．2 5解：因为cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35，所以AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC ·cos C ＝1＋25－2×1×5×⎝⎛⎭⎫－35＝32，所以AB ＝4 2.故选A . (2017·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是 ( ) A ．a ＝2b B ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A 解：sin(A ＋C )＋2sin B cos C ＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，所以2sin B cos C ＝sin A cos C ⇒2sin B ＝ sin A ⇒2b ＝a .故选A.(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝ ( )A.π12B.π6C.π4D.π3 解：由题意sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0， 得sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，即sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝0， 所以A ＝3π4.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得2sin 3π4＝2sin C，即sin C ＝12，得C ＝π6.故选B.(2018·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.解：由正弦定理得a b ＝sin A sin B ，所以sin B ＝27×sin π3＝217， 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2b ccos A ，所以7＝ 4＋c 2－2c ，所以c ＝3(负值舍去)．故填217；3. (2018·全国卷Ⅰ) △ABC 的内角A ，B ，C的对边分别为a ，b ，c ，已知b sin C ＋csin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________． 解：根据题意，结合正弦定理可得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，即sin A ＝12，结合余弦定理可得b 2＋c 2－a 2＝2b ccos A ＝8， 所以A 为锐角，且cos A ＝32，从而求得b c ＝833，所以△ABC 的面积为S ＝12b csin A ＝12×833×12＝233.故填233.类型一 正弦定理的应用(2018·北京)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17. (1)求A ；(2)求AC 边上的高．解：(1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝437.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，7sin A ＝8437，所以sin A ＝32.因为B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝32×⎝⎛⎭⎫－17＋12×437＝3314. 如图所示，在△ABC 中，h ＝BC ·sin C ＝7×3314＝332，所以AC 边上的高为332.点 拨：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．由正弦定理求角，注意利用条件判断角的范围，即确定是一解还是两解．(1)(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.解：在△ABC 中由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.故填2113.(2)(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若2b cos B ＝a cos C ＋ccos A ，则B ＝________.解：由正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ⇒cos B ＝12⇒B ＝π3.故填π3. 类型二 余弦定理的应用(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝ ( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6 解：由题可知S △ABC ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，由余弦定理a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，所以sin C ＝cos C ，因为C ∈(0，π)，所以C ＝π4.故选C .点 拨：正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，根据三角形内角A ＋B ＋C ＝π的隐含条件，结合诱导公式及正、余弦定理，将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角函数与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆与内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法、化边法、面积法、运用初等几何法等．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、化归与转化思想及分类与整合思想．(2017·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知b ＝3，AB →·AC →＝－6，S △ABC＝3，求A 和a .解：因为AB →·AC →＝－6，所以b ccos A ＝－6. 又S △ABC ＝3，所以b csin A ＝6，因此tan A ＝－1. 又0＜A ＜π，所以A ＝3π4.又b ＝3，所以c ＝2 2.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2b ccos A ， 得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝⎛⎭⎫－22＝29，所以a＝29.类型三 正、余弦定理的综合应用(2018·北京)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且C 为钝角，则B ＝________；c a 的取值范围是________．解：因为S △ABC ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝12a csin B ， 所以a 2＋c 2－b 22ac ＝sin B 3，即cos B ＝sin B 3，所以sin B cos B ＝3，即tan B ＝3，所以B ＝π3，则c a ＝sin Csin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A sin A ＝32cos A －⎝⎛⎭⎫－12sin A sin A ＝32·1tan A ＋12， 因为C 为钝角，B ＝π3，所以0<A <π6，所以tan A ∈⎝⎛⎭⎫0，33，1tan A ∈(3，＋∞)． 故c a ∈(2，＋∞)．故填π3；(2，＋∞)．点 拨：①化边的关系为角的关系，和角或差角公式的正向或反向运用，以及多次联用是解决三角形问题的常用技巧；②将边的问题转化为三角函数的问题，或由边的关系结合基本不等式是解决最值(范围)问题的基本方法．(2016·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝ tan A cos B ＋tan Bcos A . (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．解：(1)证明：由题意知2⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin Acos A cos B ＋sin Bcos A cos B，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c.(2)由(1)知c ＝a ＋b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 222ab ＝38⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时等号成立，故cos C的最小值为12.类型四 判断三角形的形状(2018·长春调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos C －2ccos B ＝a ，且B ＝2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 解：因为2b cos C －2ccos B ＝a ，所以2sin B cos C－2sin C cos B ＝sin A ＝sin(B ＋C )，即sin B cos C ＝3cos B sin C ，所以tan B ＝3tan C ，又B ＝2C ，所以2tan C 1－tan 2C＝3tan C ，得tan C ＝33，C ＝π6，B ＝2C ＝π3，A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．故选B.点 拨：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式，一般用到正弦定理；出现边的二次式，一般用到余弦定理．用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意适时缩小角的范围，如本例中由B ＝2C 知C 是锐角．(2016·济南一中检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别为a ，b ，c ，A 为锐角，lg b ＋lg 1c＝lgsin A ＝－lg 2，则△ABC 为( )A ．锐角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解：由lg b ＋lg 1c ＝lg b c ＝－lg 2＝lg 22，得b c ＝22，即c ＝2b .由lgsin A ＝－lg 2，得sin A ＝22， 又A 为锐角，所以cos A ＝22. 由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2b ccos A 得a ＝b ， 故B ＝A ＝45°，因此C ＝90°.故选D .类型五 解三角形应用举例如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m .解：设此山高h(m )，则BC ＝3h ，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠CBA ＝105°，∠BCA ＝45°，AB ＝600(m )． 在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin A ＝ABsin C ，即3h sin30°＝600sin45°，解得h ＝1006(m )．故填100 6. 点 拨： ①解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理学中，有关向量的计算也常用到解三角形的方法．②不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为可解的三角形．(2017·郑州二模)如图，一栋建筑物AB 的高为(30－103)米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ，在它们之间的点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别是15°和 60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角是30°，则通信塔CD的高为________米．解：在Rt △ABM 中，AM ＝ABsin15°＝30－103sin15°＝30－1036－24＝20 6.如右图过点A 作AN ⊥CD 于点N ，在Rt △ACN 中，因为∠CAN ＝30°，所以∠ACN ＝60°.又在Rt△CMD 中，∠CMD ＝60°，所以∠MCD ＝30°，所以∠ACM ＝30°，在△AMC 中，∠AMC ＝105°，所以AC sin105°＝AM sin ∠ACM ＝206sin30°，所以AC ＝60＋203，所以CN ＝30＋103，所以CD ＝DN ＋CN ＝AB ＋CN ＝30－103＋30＋103＝60.故填60.1．已知两边及其中一边的对角解三角形时，要谨防漏解．2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角的关系(注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论)或边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式一般不要约掉，而要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状． 3．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sin A ＝sin(B ＋C )，cos A ＝－cos(B ＋C )，sin A2＝cos B ＋C 2，sin2A ＝－sin2(B ＋C )，cos2A ＝cos2(B ＋C )等． 4．应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤第一步，分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；第二步，建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建立一个解斜三角形的模型；第三步，求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；第四步，检验：检验上述所求得的解是否符合实际，从而得出实际问题的解．1．(2016·郑州一测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 3cos B ＝asin A ，则 cos B ＝ ( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32解：因为b 3cos B ＝asin A ，所以由正弦定理得sin B 3cos B ＝sin A sin A ，所以tan B ＝3，又0<B <π，所以 B ＝π3，所以cos B ＝12.故选B.2．(2016·天津)在△ABC 中，若AB ＝13， BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝ ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解：由余弦定理得13＝9＋AC 2＋3AC ⇒AC ＝1.故选A .3．(北京通州2017届期末)在△ABC 中，a ＝2，B ＝π3，△ABC 的面积等于32，则b 等于 ( )A.32B ．1 C. 3 D ．2 解：由△ABC 面积公式可得S ＝12a csin B ＝32，12×2c ×32＝32，c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2a ccos B ＝22＋12－2×2×1×cos π3＝3，b ＝ 3.故选C.4．(2018·东北三校联考)若两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A ．a km B.2a km C ．2a km D.3a km解：依题意知∠ACB ＝180°－20°－40°＝ 120°，在△ABC 中，由余弦定理知AB ＝a 2＋a 2－2a 2cos120°＝3a (km)，即灯塔A 与灯塔B 的距离为3a km.故选D.5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2， cos A ＝－14，则a 的值为 ( )A ．2B ．4C ．6D ．8解：由cos A ＝－14得sin A ＝154，所以△ABC 的面积为12b csin A ＝12b c ×154＝315，解得b c ＝24，又b －c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2－2b ccos A ＝(b －c)2＋2b c －2b ccos A ＝22＋2×24－2×24×⎝⎛⎭⎫－14＝64，得a ＝8.故选D . 6．(2017·黑龙江、吉林八校期末)已知△ABC三边a ，b ，c 上的高分别为12，22，1，则cos A 等于( ) A.32 B ．－22 C ．－24 D ．－34 解：设△ABC 的面积为S ⇒a ＝4S ，b ＝22S ，c ＝2S ⇒cos A ＝（22）2＋22－422×22×2＝－24.故选C .7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋ccos B ＝2b ，则ab ＝________.解法一：由正弦定理sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，即sin(B ＋C )＝sin A ＝2sin B ，有a b ＝sin Asin B ＝2.解法二：由余弦定理得b ·a 2＋b 2－c 22ab＋c·a 2＋c 2－b 22a c ＝2b ，化简得a ＝2b ，因此，a b ＝2. 解法三：由三角形射影定理，知b cos C ＋ccos B＝a ，所以a ＝2b ，所以ab＝2.故填2.8．(2017·浙江节选)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________．解：取BC 中点E ，由题意，AE ⊥BC . △ABE 中，cos ∠ABC ＝BE AB ＝14，所以cos ∠DBC ＝－14，sin ∠DBC ＝1－116＝154， 所以S △BCD ＝12×BD ×BC ×sin ∠DBC ＝152.故填152. 9．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b . 解：(1)由题设A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )． ①将①两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517. (2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12a csin B ＝417a c. 又S △ABC ＝2，则a c ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2a ccos B ＝(a ＋c)2－2a c(1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.10．(2016·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C所对的边分别为a ，b ，c.已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ； (2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．解：(1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin2B ＝sin B cos B ，因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.11．(2018·安徽合肥模拟)如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2A ＋sin 2C －sin 2B ＝3sin A ·sin C .(1)求角B ；(2)若点D 在线段BC 上，满足DA ＝DC ，且a ＝11，cos(∠BAC －∠C )＝55，求CD 的长． 解：(1)在△ABC 中，由已知及正弦定理可得，a 2＋c 2－b 2＝3a c ， 所以由余弦定理得cos B ＝32. 因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6.(2)由题易知∠BAD ＝∠BAC －∠C ，又cos(∠BAC －∠C )＝55，所以sin(∠BAC －∠C )＝sin∠BAD ＝255，设AD ＝x ，则CD ＝x ，BD ＝11－x ， 在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠BAD ＝ADsin B，即11－x 255＝x12，解得x ＝45－5，所以CD ＝45－5.(2018·河南六市联考)如图，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声检测点，B ，C 到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻B 收到来自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求出x 的值；(2)求P 到海防警戒线AC 的距离． 解：(1)依题意，有P A ＝PC ＝x ， PB ＝x －1.5×8＝x －12. 在△P AB 中，AB ＝20，cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB＝x 2＋202－（x －12）22x ·20＝3x ＋325x. 同理，在△P AC 中，AC ＝50，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .因为cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ，所以3x ＋325x ＝25x ，解得x ＝31.(2)作PD ⊥AC 于D ，在△ADP 中，PD ＝312－252＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．。