旅行商问题
nphard问题例子
NP-hard问题是指那些不能保证在多项式时间内找到解，并且即使找到解，也难以在多项式时间内验证的问题。
以下是一些NP-hard 问题的例子：
1. 旅行商问题：给定一组城市和每对城市之间的距离，要求找出一个访问每个城市一次并返回到原点的最短路径。
这是一个著名的NP-hard问题，因为其解的验证复杂度为指数级。
2. 背包问题：给定一组物品，每个物品都有自己的重量和价值，要求在不超过背包总重量的情况下，找出总价值最大的物品组合。
这也是一个著名的NP-hard问题，因为其解的验证复杂度为指数级。
3. 图的顶点覆盖问题：给定一个无向图，要求找出最小的顶点子集，使得图中每条边至少与这个子集中的一个顶点相邻。
这也是一个NP-hard问题，因为其解的验证复杂度为指数级。
这些问题是NP-hard的，因为它们不能保证在多项式时间内找到解，并且即使找到解，也难以在多项式时间内验证。
旅行商问题 Traveling Salesman Problem
• 以下是一次试验的数据统计：
程序运行2个小时，进化到100万代，发生 了16次灾变，最优个体产生于第606722代， 属于第11个进化周期，总行程长度为 17.164006，第一次灾变发生在第49773代， 第一次灾变前最优个体产生于第45523代， 总行程长度为18.029128。
最佳路线图
• 2004 年，一个具有 24978 个城市的旅行商问题的最优路 径由 Applegate, Bixby,Chavátal, Cook 和 Helsgaun 找到。 这是到目前为止精确找到最优解的最大规模的旅行商问题.
• 旅行商问题吸引了越来越多的人对它进行研究。 其中，有数学家，计算机科学家，运筹学家，还 有一些其它领域的研究者。
• 从问题本身的限制条件的强弱，主要有三类： 1、不做任何限制(但是一般都要求城市间的费用不为负数)， 只给出距离矩阵，求最短回路； 2、要求距离间要满足三角不等式； 3、定义在欧氏平面上的 TSP，即 Euclidean TSP，它给 出每个城市在欧氏平面上的坐标，而城市间的距离就是以 它们的欧氏距离来定义。
• 许多实际中出现的问题都可以转化成旅行商问题的模型而 解决。例如还有结晶学中的结构分析问题，车辆调度问题， 计算机布线问题，单个机器上的工序调度问题等等。
旅行商问题的计算复杂性
• 时间复杂性，即随着输入问题规模的增长，算法所需计算 步数的增长速度。
• 计算机科学家们有一个共识：即当输入规模n表示的算法 复杂性函数 f (n)是以多项式为界的，算法才被认为是有效 的。
灾变倒计数处理
• 下一个问题是什么时候进行灾变，换句话说什么时候局部 搜索已经充分了呢？
• 可用了一个灾变倒计数的概念：从500开始递减，每一代递 减一次，如果出现了新的最优值，就从新开始计数，如果 出现新最优值的时候倒计数递减次数的2.5倍已经超过500 则从新的初始值开始倒数。
旅行商问题(TSP)
iS jS
除起点和终点外，各边不构成圈
xij
0, 1
(7 1) (7 2) (7 3)
5
0 8 5 9 12 14 12 16 17 22
8
0
9 15 17
8
11
18
14
22
5 9 0 7 9 11 7 12 12 17
9 15 7 0
lingo解决旅行商问题 model: sets: city/1..6/:u; link(city,city):dist,x; endsets data: dist=99999,702,454,842,2396,1196,
702,99999,324,1093,2136,764, 454,324,99999,1137,2180,798, 842,1093,1137,99999,1616,1857, 2396,2136,2180,1616,99999,2900, 1196,764,798,1857,2900,99999; enddata
C=v1,v2,…,vi,vj,…,vj-1,vi+1,vj+1,…,vm,v1 （3）C0C,重复步骤（2），直到条件不满足为止，最后得 到的C即为所求。
例对下图的K6,用二边逐次修正法求较优H圈.
较优H圈: 其权为W(C3)=192
分析: 这个解的近似程度可用最优H圈的权的下界与
其比较而得出.即利用最小生成树可得最优H圈的一个下界.
设C是G的一个最优H圈，则对G的任一顶点v, C-v是
G-v的生成树.如果T是G-v的最小生成树,且e1是e2与v关联
的边中权最小的两条边,则w(T)+w(e1)+w(e2)将是w(C)
智能优化-TSP-旅行商问题
智能优化实验报告基于遗传算法的TSP问题求解研究一、问题描述1、TSP问题的概述旅行商问题 (Traveling Salesman Problem，简称 TSP) 是一个经典的组合化问题。
它可以描述为：一个商品推销员要去若干个城市推销商品，从一个城出发需要经过所有城市后回到出发地，应如何选择行进路线以使总行程短。
从图论的角度看，该问题实质是在一个带权完全无向图中找一个权值最的小回路。
在寻找最短路径问题上，有时不仅要知道两个指定顶点间的最短路径，还需要知道某个顶点到其他任意顶点间的最短路径。
旅行商问题也是经典的组合数学的问题，生活中随处可见这类组合数学问题。
例如，计算下列赛制下的总的比赛次数:n个球队比赛，每队只和其他队比赛一次。
在纸上画一个网络，用铅笔沿着网络的线路走，在笔不离开纸面且不重复线路的条件下，一笔画出网络图。
一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的街道，他应该选择什么样的路径，这就是著名的“中国邮递员问题”。
一个通调网络怎样布局最节省?美国的贝尔实验室和IBM公司都有世界一流的组合数学家在研究这个问题，这个问题直接关系到巨大的经济利益。
库房和运输的管理也是典型的组合数学问题，怎样安排运输使得库房充分发挥作用，进一步来说，货物放在什么地方最便于存取。
上述的这些例子中，其中一部分就和旅行商问题有关系。
2、TSP问题研究意义解决旅行商问题有着极其重要的理论和现实意义。
从理论层面来讲，解TSP不仅为其他算法提供了思想方法平台，使这些算法广泛地应用于各种组合优化问题；而且经常被用来测试算法的优劣，如模拟退火算法、禁忌搜索、神经网络、进化算法等，都可用旅行商问题来测试。
从实际应用层面来讲，旅行商问题作为一个理想化的问题，尽管多数的研究成果不是为了直接的应用，但却被广泛地转化为许多组合优化问题，最直接的就是其在交通、物流和大规模生产中的应用。
3、TSP问题的解决TSP问题是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式。
数学建模经典问题——旅行商问题
（2）下界b3 为便于描述下界b3，先定义如下符号： T：对称TSP问题； n：结点总个数； w(i,j)：结点i与j之间距离； dmin(i, k)：与第i个结点关联的所有边中第k (k = 1, 2, 3)
长边的长度；
dmin_j(i, k)：与第i个结点关联的所有边中第k (k = 1, 2, 3) 长边的另一个结点的编号(其中一个结点编号为i)；
15
考虑个顶点的完全图Kn ，则解TSP就相
当于在中求一条总长度最短的Hamilton回路。现在，
对每条边ej，定义一个变量xj与之对应，这样，TSP 的一条路线T，即Kn的一条Hamilton回路，就可对应 一个向量X={x1,x2,….xm}，其中，
x j 1, x j 0,
需要到城市2、3、…、n去推销货物，最后返回城
市1，若任意两个城市间的距离已知，则该旅行商 应如何选择其最佳行走路线？
3
TSP在图论意义下又常常被称为最小Hamilton圈问 题，Euler等人最早研究了该问题的雏形，后来由英国的 Hamilton爵士作为一个悬赏问题而提出。但这个能让普通人 在几分钟内就可理解的游戏之作，却延续至今仍未能完全解 决，成了一个世界难题。
iS jS
xij 0, 1
i V j V S V , 2 S n 1
(7 1) (7 2) (7 3)
模型中，为集合中所含图的顶点数。约束
（7－1）和（7－2）意味着对每个点而言，仅有一条边
进和一条边出；约束（7－3）则保证了没有任何子回路
解的产生。于是，满足约束（7－1）、（7－2）和（7
第7章
旅行商问题
1
第7章
目录 旅行商问题
旅行商问题应用题
旅行商问题应用题引言旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一个经典的组合优化问题，其目标是在给定一组城市和城市之间的距离矩阵的情况下，寻找一条最短路径，使得所有城市恰好访问一次且最后回到起始城市。
本文将介绍旅行商问题的应用场景，并讨论如何解决该问题。
应用场景旅行商问题的应用广泛，以下是一些例子：物流配送在物流配送领域，快递员需要按照最短路径依次访问多个客户，以最大程度地减少路程和时间。
通过求解旅行商问题，我们可以确定最优的路线规划，提高物流效率。
电路板布线在电路板布线中，需要在不相互干扰的情况下，将多个元件连接起来。
通过将元件表示为城市，元件之间的连接成本表示为城市之间的距离，可以将布线问题转化为旅行商问题。
求解旅行商问题可以找到最优的布线方案，提高电路板的性能。
DNA测序在生物学领域中，DNA测序是一项非常重要的任务。
通过旅行商问题，可以确定测序机器在测序多个DNA样本时的最短路径，以减少测序时间和成本。
解决方法求解旅行商问题有多种方法，常见的有贪心算法、动态规划算法和遗传算法等。
下面分别简要介绍这些方法：贪心算法贪心算法是一种简单而常用的方法，它通过局部最优的选择来进行整体的优化。
在旅行商问题中，贪心算法每次选择最近的未访问城市进行访问，直到所有城市都被访问。
然而，贪心算法不能保证找到全局最优解，可能会陷入局部最优。
动态规划算法动态规划算法采用自底向上的方式，通过将问题分解为子问题，并使用一个表格来存储已解决的子问题的最优解，从而逐步求解整体问题。
在旅行商问题中，动态规划算法通过填充一个二维表格来记录每个子问题的最优解，最后得到全局最优解。
但是，动态规划算法的时间复杂度较高，不适用于问题规模较大的情况。
遗传算法遗传算法是一种基于生物进化原理的优化算法。
在旅行商问题中，遗传算法通过模拟基因的遗传、交叉和变异过程，生成多个路径方案，并利用适应度函数来评估每个方案的优劣，最终选择适应度较高的方案作为最优解。
旅行商问题
一、 算法分析旅行商问题的各个城市间的距离可以用代价矩阵来表示，就是邻接矩阵表示法。
如果E j i ∉),(，则∞=ij c 。
先说明旅行商问题具有最优解结构。
设s s s s p ,,.....,,21是从s 出发的一条路径长度最短的简单回路，假设从s 到下一个城市1s 已经求出，则问题转化为求1s 到S 的最短路径，显然s s s s p ,,.....,,21一定构成一条从1s 到S 的最短路径，如果不然，设s r r r s q ,,.....,,,211是一条从1s 到S 的最短路径且经过n-1个城市，则s r r r s s q ,,.....,,,,211将是从S 出发的路径长度最短的简单回路且比s s s s s p ,,.....,,,21要短，从而导致矛盾。
所以，旅行商问题一定满足最优性原理。
穷举法：穷举法解决旅行商问题的思路很简单，就是遍历所有可能的情况，然后把符合条件（最短）的路径找到并输出可以了。
动态规划法：假设从顶点i 出发，令)',(V i d 表示从顶点i 出发经过V ’中各个顶点一次且仅一次，最后回到出发点i 的最短路径的长度，开始时，V ’=V-{i}，于是，旅行商问题的动态规划函数为：)({}),()'})}({',(min{)',(i k c k d V k k V k d c V i d ki ik ≠=∈-+=)2()1(下面举个实例说明算法的执行过程。
下图是无向带权图的邻接矩阵表示法：⎢⎢⎢⎢⎣⎡∞=763C323∞ 226∞ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤∞237在上图所示的带权图中，从城市0出发，经城市1，2，3然后回到城市0的最短路径长度为：})}2,1{,3(}),3,1{,2(}),3,2{,1(m in{})3,2,1{,0(030201d c d c d c d +++=这是最后一个阶段的决策，它必须知道})3,1{,3(}),3,1{,2(}),3,2{,1(d d d 的计算结果，而：})}2{,3(}),3{,2(m in{})3,2{,1(1312d c d c d ++=})}1{,3(}),3{,1(m in{})3,1{,2(2321d c d c d ++= })}1{,2(}),2{,1(m in{})2,1{,3(3231d c d c d ++=这一阶段的决策又依赖于下面的计算结果：{}),2(})2{,3({}),,3(})3{,2({}),,2(})2{,1(322312d c d d c d d c d +=+=+= {}),1(})1{,3({}),,1(})1{,2({}),,3(})3{,1(312113d c d d c d d c d +=+=+= 而下面的就可以直接获得（括号中是该策略引起的路径）：)03(7{}),3(),02(6{}),2(),01(3})0{,1(302010>-==>-==>-==c d c d c d向前推导，可以得到：)23(862{}),2(})2{,3()13(633{}),1(})1{,3()12(532{}),1(})1{,2()32(972{}),3(})3{,2()31(1073{}),3(})3{,1()21(862{}),2(})2{,1(323121231312>-=+=+=>-=+=+=>-=+=+=>-=+=+=>-=+=+=>-=+=+=d c d d c d d c d d c d d c d d c d再向前推导有：)23(7}7,11min{})}1{,2(}),2{,1(min{})2,1{,3()32(8}8,12min{})}1{,3(}),3{,1(min{})3,1{,2()21(11}11,11min{})}2{,3(}),3{,2(min{})3,2{,1(323123211312>-==++=>-==++=>-==++=d c d c d d c d c d d c d c d 最后有：})}2,1{,3(}),3,1{,2(}),3,2{,1(m in(})3,2,1{,0(030201d c d c d c d +++=)302010(14}14,14,14min{}77,86,113min{>->->-==+++=or or所以，从顶点0出发的旅行商问题的最短路径长度为14，其中一条路径为01320>->->->-。
TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的几种求解方法及其优缺点一、什么是TSP问题旅行商问题，简称TSP，即给定n个城市和两两城市之间的距离，要求确定一条经过各城市当且仅当一次的最短路线。
其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V为顶点集，A为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。
旅行商问题可分为如下两类：1）对称旅行商问题（dij=dji，Πi，j=1，2，3，?，n）；2）非对称旅行商问题（dij≠dji，?i，j=1，2，3，?，n）。
非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。
若对于城市V={v1，v2，v3，?，v n}的一个访问顺序为T={t1，t2，t3，?，t i，?，t n}，其中t i∈V（i=1，2，3，?，n），且记t n+1=t1，则旅行商问题的数学模型为：minL=。
TSP是一个典型的组合优化问题，并且是一个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准。
因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。
二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插入、最远插入、最近添加、贪婪插入等。
但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为止已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退火算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经网络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略模拟退火算法方法1）编码选择：采用描述TSP解的最常用的一种策略——路径编码。
2）SA状态产生函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SWAP）；②逆序操作（INV）；③插入操作（INS）。
3）SA状态接受函数的设计：min{1，exp（-△/t）}>random[0，1]准则是作为接受新状态的条件最常用的方案，其中△为新旧状态的目标值差，t为”温度”。