(完整版)选修21空间向量知识点归纳总结

第三章空间向量与立体几何

1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的 向量。

（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一

样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

⑵加法结合律：（a b ） c ⑶数乘分配律：（a b ） 3. 共线向量。

（1） 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量 也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作a 〃b 。

当我们说向量a 、b 共线（或a// b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线 可能是同一直线，也可能是平行直线。

（2） 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （ b 工0 ），a// b 存在实数入， 使a =入b 。 4. 共面向量

（1） 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。r

r

（2） 共面向量定理：如果两个向量a,b 不共线，P 与向量a,b 共面的条件是

存在实数x, y 使p xa yb 。

5. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量P ， 存在一个唯一的有序实数组x, y,z ，使p xa yb zc 。

若三向量ab,c 不共面，我们把｛a,b,c ｝叫做空间的一个基底，a,b,c 叫做基向

2. uuu r OB a b a (b c)

b a

量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设O,代B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个

uuu uuu uuu uuur

有序实数x, y,z，使OP xOA yOB zOC。

i

b

平移前

7. 空间向量的直角坐标系：

(1) 空间直角坐标系中

的坐标：

在空间直角坐标系 O xyz 中，对空间任一点 A ，存在唯一的有序实数组 (x,

y,z)，使OA xi yi zk ，有序实数组(x, y,z)叫作向量A 在空间直角坐标系 O xyz 中的坐

标，记作A(x, y, z)， x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。

(2) 右手直角坐标系：右手握住z 轴，当右手的四指从正向x 轴以90°角度转 向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向；

(3) 若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1,这个基底叫单位正 交基底，用｛i, j,k ｝表示。

(4) )空间向量的直角坐标运算律： ① 若 a (SQ?) , b (Dbb)，则 r r a b (a i b i ,a 2 d),

OB = b (两个向量的起点一疋要相同)

，则叫做向量匕 匸与的夹角，记作

日，且

?— ——

6.空间两向量的夹角：已知两个非零向量^、，在空间任取一点0,作二石,

B

^ = 180°

错误

正确 b

9尸吒

规定—3』＞e 0刘:

0° < <

r r r

a b (a i b i,a2b?,% b s), a (印，a?, a3)( R),

r r

a b a1b l a2b2a3b3,

a//b a i b i,a? b?,a s b s( R)或乞竺冬

b i b2 b3

r r

a b a1b1a2b2 a3t s 0。

卄uuu

②若A(X i,y i,Z i) , B(X2,y2,Z2)，则AB (x? X i, y? y i, z?乙)。

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

r r

(5)模长公式：若a⑻总讒)，b 4,鸟4)，

贝U | a | \ a a a, a^ a3?，| b | . b b b i? b^ b3?

(6)夹角公式：cos'a b 且卑

1 a 1 | b |J a i a

2 a

3 晶b2 bT

(7)两点间的距离公式：若A(x i, y i, Z i)，B(X2,y2,Z2)，则|AB

| .ABF , (x? X i)2(y? y i)2(z? Z i)2，

或d A,B ■(X? X i)2(y? y i)2 (Z? Z i)2

(8 )空间线段P i(x i,y i,Z i), P2(x2, y2, Z2)的中点M (x, y, z)的坐标：

X i x? y i y? N Z?

2 , 2 , 2

(9)球面方程：x2 y2 z2 R2

8. 空间向量的数量积。

(1)空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点O, uuu r uuu r r r r r

作OA a,OB b，贝U AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b ;且规定

r r r r r

0 a,b ，显然有a,b b,a ；若a,b ，则称a与b互相垂直，

2 记作：a b 。

uuu r uur r

(2)向量的模：设OA a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：I a |。

r r r r

(3)向量的数量积：已知向量a,b，则ia 11 b i cos a,b叫做a,b的数量

r r r r

积，记作a b，即a b i a 11 b i cos a, b 。

(4)空间向量数量积的性质：

(5)空间向量数量积运算律：

① a e | a | cos 5,2 。② a b a b 0。③ |a|2 a a =(a)2, |a| (a)2

r r r r r r

①(a) b (a b) a ( b)。

r r

②a b r b a (交换律)。

③a (b C) a b a c (分配律)。

9. 空间向量在立体几何证明中的应用：

AB ⑻总代）,。。（bbb）

uuu uuu

（1）证明AB//CD，即证明AB // CD，也就是证明印b1,a2b2,a3 b3或

a i a 2 a3

D b2 b3

uuu uuur

（2）证明AB CD，即证明AB CD 0，也就是证明a?b2 a s b s 0

uuu uuu （3）证明AB// （平面）（或在面内），即证明AB垂直于平面的法向量或证明

AB 与平面内的基底共面；

uuu uuur

（4）证明AB ，即证明AB平行于平面的法向量或证明AB垂直于平面内的两条相交的直线所对应的向量；

（5）证明两平面〃（或两面重合），即证明两平面的法向量平行或一个面的

法向量垂直于另一个平面；

（6）证明两平面，即证明两平面的法向量垂直或一个面的法向量在另一个面内。

10. 运用向量的坐标运算解题的步骤：

（1）建坐标系，求相关点的坐标

（2）求相关向量的坐标

（3）运用向量运算解题

11. 用向量方法来解决立体几何中的空间角的问题：

（1）两条直线的夹角：r r

设直线l ,m的方向向量分别为a,b，

= cos a,b

两直线l , m所成的角为(0 < < — ), cos r r

2）直线与平面的夹角：

设直线I 的方向向量分别为a ，平面 的法向量分别为u ,

cos Q — ccs < > cosO = -cos <>

法向量的方向：

一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角

直线1

与平面所成的角为（。<

< 2

）

，sin

（3） 二面角：0 ①方向向量法:

] ? |1

.IB CD

②法向量法:

12. 利用“方向向量”与“法向量”来解决距离问题 (1)点与直线的距离：

d AP sin (先求 cos AP, a )

如图A ,空间一点P 到平面 的距离为d,已知平面

uuu r

AP 与n 不共线,

分析：过P 作P0丄于0,连结0A.

uuu uuu

则 d=| P0 |= | PA | cos APO. uuu r uuu r ??? PO 丄，n ，二 PO // n .

uuu r

??? cos /APO=|cos PA,n |.

um r

? d=|PA ||cos PA,n |=^i

|n|

已知a,b 是异面直线,CD 为a,b 的公垂线，n 是直线CD 的方向向量，A, B 分别在直 线a,b 上

的一个法向量为n ,且

d CD

(3)异面直线间的距离：

—

fr n AB

n

n AB d CD |

—— n

b

n

/ 0 i /

丿

/

uur r

(2)点到平面的距离：d=

| P

ua n 1

|n|

(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例)

(7) 面积射影定理

I

S

S -

cos

(平面多边形及其射影的面积分别是 S

、S ',它们所在平面所成锐二面角的

为).

(4)其它距离冋题：

① 平行线的距离(转化为点到直线的距离) ② 直线与平面的距离(转化为点到平面的距离) ③ 平面与平面的距离(转化为点到平面的距离) 13.补充：

(1) 三余弦定理

设AC 是a 内的任一条直线，且BC 丄AC ,垂足为C,又设A0与AB 所成的角 为1 , AB 与AC 所成的角为2 , A0与 AC 所成的角为?则cos cos 1COS 2.

(2) 三射线定理

若夹在平面角为 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 1 ?2

sin 2

,与

sin 2 sin 2

二面角的棱所成的角是B ,则有 1 sin 2

2 2sin 1 sin 2 cos . 2|

180o

点Q 到直线I 距离 (1

2

)(当且仅当 90°时等号成立).

(3)

h 丄J(|a||b|)2 (a b)2 uu u

|a|

(点P 在直线丨上，直线丨的方向向量a=PA ，向量

UJU

b= PQ).

(4) 异面直线上两点距离公式

d

Jh 2 m 2 n 2 m2mncos 匚 -- 2 -------- 2 ------------------------ 广巴uuu 订h m n 2mn cos( EA , AF

J h 2 m 2 n 2 2mn cos ( E AA ' F )

(两条异面直线a 、b 所成的角为B,其公垂线段AA '的长度为h.在直线a 、 b 上分别取两点 E 、F , A

'E m , AF n , EF d).

(5)三个向量和的平方公式

r r r r 2b c 2c a

r b r a 2

2 r c

2

r b

2

r a

2

rc)

(6) h 、

J 、

2

2

l l 2 2

b c 2 | a | |b | cos ：, a,b..： 2| b | |c|cos ：.b,c 长度为丨的线段在三 条两两互 相垂直 l3，夹角分别为1

2

、 3 ,则有

.2 .2 2 2 2 , ? 2

I 2 I 3 cos 1

cos 2 cos 3 1 sin

2 | c| | a | cos. c, a.：:

的直线上的射影长分别为 1

sin 2 2 sin 2 3 2

（8）斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的侧棱长是I,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是C1和S,则

①S斜棱柱侧c i|

②V斜棱柱sj

（9）欧拉定理（欧拉公式）

V F E 2（简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F）.

①E=各面多边形边数和的一半.特别地，若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的关系：E ^nF

2

②若每个顶点引出的棱数为m,贝师点数V与棱数E的关系：.E丄mV

2

（10）球的组合体

①球与长方体的组合体：

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

②球与正方体的组合体：

正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

③球与正四面体的组合体：

棱长为a的正四面体的内切球的半径为—a ,外接球的半径为一6 a .

12 4