指派问题的匈牙利法
最大化指派问题匈牙利算法
最大化指派问题匈牙利算法匈牙利算法，也称为Kuhn-Munkres算法，是用于解决最大化指派问题（Maximum Bipartite Matching Problem）的经典算法。
最大化指派问题是在一个二分图中，找到一个匹配（即边的集合），使得匹配的边权重之和最大。
下面我将从多个角度全面地介绍匈牙利算法。
1. 算法原理：匈牙利算法基于增广路径的思想，通过不断寻找增广路径来逐步扩展匹配集合，直到无法找到增广路径为止。
算法的基本步骤如下：初始化，将所有顶点的标记值设为0，将匹配集合初始化为空。
寻找增广路径，从未匹配的顶点开始，依次尝试匹配与其相邻的未匹配顶点。
如果找到增广路径，则更新匹配集合；如果无法找到增广路径，则进行下一步。
修改标记值，如果无法找到增广路径，则通过修改标记值的方式，使得下次寻找增广路径时能够扩大匹配集合。
重复步骤2和步骤3，直到无法找到增广路径为止。
2. 算法优势：匈牙利算法具有以下优势：时间复杂度较低，匈牙利算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V是顶点的数量。
相比于其他解决最大化指派问题的算法，如线性规划算法，匈牙利算法具有更低的时间复杂度。
可以处理大规模问题，由于时间复杂度较低，匈牙利算法可以处理大规模的最大化指派问题，而不会因为问题规模的增加而导致计算时间大幅增加。
3. 算法应用：匈牙利算法在实际中有广泛的应用，例如：任务分配，在人力资源管理中，可以使用匈牙利算法将任务分配给员工，使得任务与员工之间的匹配最优。
项目分配，在项目管理中，可以使用匈牙利算法将项目分配给团队成员，以最大程度地提高团队成员与项目之间的匹配度。
资源调度，在物流调度中，可以使用匈牙利算法将货物分配给合适的运输车辆，使得货物与运输车辆之间的匹配最优。
4. 算法扩展：匈牙利算法也可以扩展到解决带权的最大化指派问题，即在二分图的边上赋予权重。
在这种情况下，匈牙利算法会寻找一个最优的匹配，使得匹配边的权重之和最大。
指派问题的匈牙利法
任务
人员
A
B
C
D
甲
6
7
11
2
乙
4
5
9
8
丙
3
1
10
4
丁
5
9
8
2
求解过程如下：
第一步，变换系数矩阵：
6 7 11 2 2
(cij
)
4 3
5 1
0 10 5 7 2 √
9 8 0 0 10
0 6 3 6 5 √
√
调整可行解
7 0 2 0 2
4
30
0
0
0 8 3 5 0
11 8 0 0 10
0 4 1 4 3
再圈零划零
7 0 2 0 2
4
300
0
0 8 3 5 0
0 0 3 0 3 1 6 0 2 0 3 2 0 0 3 2 0 2 3 0 0 4 4 0 6
0Ø ◎0 3 0Ø 3 1 6 0◎ 2 Ø0 3 2 0Ø 0◎ 3 2 Ø0 2 3 ◎0 ◎0 4 4 0Ø 6
0 1 0 5
2 0 4 4
2
6
0
0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
15
练习：
费 工作
用
人员
A
B
C
D
E
甲
7
5
9
8
11
乙
匈牙利法求解指派问题
然后划去所在的列的其他0 元素，记作Ø。
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø1 0 0
➢给只有一个0元素的列的0 元素加圈，记。
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø 1 0
然后划去所在的行的其他0元 素，记作Ø
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø 1 Ø
➢给最后一个0元素加圈， 记。
Ø 13 7 6 6 9 5 3 2 Ø 1 Ø
可见m=n=4,得到最优解。
0001 0100 1000 0010
即甲译俄文、乙译日文、丙 译英文、丁译德文所需时间 最少。Z=28小时
例6 分配问题效率矩阵
任务 A B C D E 人员
甲 12 7 9 7 9 乙8 9 6 6 6 丙 7 17 12 14 9 丁 15 14 6 6 10 戊 4 10 7 10 9
12 7 9 7 9 7 89666 6 7 17 12 14 9 7 15 14 6 6 10 6 4 10 7 10 9 4
50202 23000 0 10 5 7 2 98004 06365
➢从只有一个0元素的行开始，给 这个0元素加圈，记
50202 23000
10 5 7 2
98004 06365
然后划去所在的列的其他0元素，记 作Ø。
70202 4 3 000 Ø 8350 11 8 0 0 4 4 1 4 3
➢从只有一个0元素的行开始，给这个0 元素加圈，记
70202 4 3 000 Ø 8 3 5 11 8 0 0 4 4 1 4 3
然后划去所在的列的其他0元素，记 作Ø。
70202 4 3 00Ø Ø 8 3 5 11 8 0 0 4 4 1 4 3
指派问题匈牙利算法最大值
指派问题匈牙利算法最大值
指派问题是一个优化问题，旨在确定如何将 n 个任务分配给 n 个人员，以便完成总成本最小或总利润最大。
匈牙利算法是解决指派问题的经典算法之一，通过寻找增广路径来找到最大权值的匹配。
在指派问题中，我们有一个 n x n 的成本矩阵，其中的每个元素表
示将特定任务分配给特定人员的成本或利润。
问题的目标是找到一种分配方式，使得总成本最小或总利润最大。
匈牙利算法是一种基于图论的算法，它通过构建二分图和寻找增广路径来解决指派问题。
算法的核心思想是通过不断改进当前的匹配，直到找到最优解。
具体来说，匈牙利算法的步骤如下：
1. 初始化一个空的匹配集合。
2. 对于每个任务，找到一个未被分配的人员，并将其分配给该任务。
如果该任务没有未被分配的人员，则考虑将其他任务分配给当前人员，并将当前任务分配给其它人员。
3. 如果存在一个未被匹配的任务，寻找一条从该任务出发的增广路径。
增广路径是一条交替经过匹配边和非匹配边的路径，起点和终点都是未匹配的任务。
4. 如果存在增广路径，则改进当前的匹配，即通过将增广路径上的
非匹配边变为匹配边，并将增广路径上的匹配边变为非匹配边。
5. 重复步骤3和步骤4，直到不存在增广路径为止。
匈牙利算法的运行时间复杂度为 O(n^3)，其中 n 是任务或人员的数量。
该算法可以找到指派问题的最优解，并且在实践中表现良好。
总之，指派问题是一个重要的优化问题，而匈牙利算法是一种解决指派问题的经典算法。
通过构建二分图并寻找增广路径，匈牙利算法可以找到指派问题的最优解。
指派问题的求解方法
指派问题的求解方法嘿，咱今儿就来聊聊指派问题的求解方法。
你说这指派问题啊，就好像是给一群小伙伴分任务，得让每个人都能分到最合适的事儿，这可不容易嘞！咱先来说说啥是指派问题。
就好比有一堆工作，有几个人可以去做，每个人对不同工作的效率或者效果不一样。
那咱就得想办法，怎么把这些工作分配给这些人，才能让总的效果达到最好呀。
那咋求解呢？有一种方法叫匈牙利算法。
这就好比是一把神奇的钥匙，能打开指派问题的大门。
咱就把那些工作和人当成一个个小格子，通过一些计算和摆弄，找到最合适的搭配。
你想想啊，如果随便分，那可能就浪费了某些人的特长，或者让一些工作没被最合适的人去做，那不就亏大啦？用了这个匈牙利算法，就能一点点地把最合适的工作和人配对起来。
就像你去拼图，得找到每一块的正确位置，才能拼成一幅完整漂亮的图。
这匈牙利算法就是帮咱找到那些正确位置的好帮手呀！它能让那些工作和人都找到自己的“最佳搭档”。
还有啊，咱在生活中也经常会遇到类似的指派问题呢。
比如说，家里要打扫卫生，每个人擅长打扫的地方不一样，那怎么分配任务才能又快又好地打扫完呢？这不就是个小小的指派问题嘛。
或者说在公司里，有几个项目要分给不同的团队，哪个团队最适合哪个项目，这也得好好琢磨琢磨，才能让项目都顺利完成，取得好成果呀。
总之呢，指派问题的求解方法可重要啦，就像我们走路需要一双好鞋一样。
掌握了这些方法，咱就能在面对各种指派问题的时候，不慌不忙，轻松应对，找到那个最优解。
你说是不是很厉害呀？所以啊，可别小瞧了这指派问题的求解方法哦，说不定啥时候就能派上大用场呢！。
分配问题指派问题与匈牙利法课件
分派方案满足下述两个条件：
• 任一个工人都不能去做两件或两件以上的工作 1.任一件工作都不能同时接受两个及以上的工人去做
分配问题指派问题与匈牙利法课件
标准形式的分配问题
n个人 n件事
每件事必有且只有一个人去做 每个人必做且只做一件事
5 0 2 0 2
2
3
0
0
0
0 10 5 7 2
9
8
0
0
4
0 6 3 6 5
圈0个数4 < n=5
5 0 2 0 2
2
3
0
0
0
0 10 5 7 2
9
8
0
0
4
0 6 3 6 5
分配问题指派问题与匈牙利法课件
⑥找未被直线覆盖的最小数字k；
⑦对矩阵的每行：当该行有直线覆盖时，令ui=0； 当 该 行 无 直 线 覆 盖 时 ， 令 ui=k 。
⑩再次寻找独立零元素
逐列检验
4 8 7 15 12
7 9 17 14 10
6
9
12
8
7
6 7 14 6 10
6
9
12
10
6
0 3 0 11 8
0 0 6 6 2
0
1
2
1
0
0 0 5 0 4
0
2
3
4
0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0
0
0
0
1
0 0 0 1 0
分配问题指派问题与匈牙利法课件
数学模型
第五章 匈牙利法与最佳指派问题
7 2 2
4
3
8 3 5 3
11 8
4
4 1 4
情况一出现，即得到了最优解，其相应的解矩阵为：
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
xij
1
0
0
0
0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
由此得知最优指派方案为甲完成任务B，乙完成任务
C，丙完成任务A，丁完成任务D，戊完成任务E，最少时
间为
min z 7 6 7 6 6 32
而总的最少时间为32天．
当然，由于方法中的第二步4中的情况二的出现，造成 指派问题的最优解常常是不唯一的，但不同最优解的 最优值总是相同的．
第三节 非标准指派问题
前一节的匈牙利法只适用于目标函数为极小、价值 系数矩阵为方阵且价值系数矩阵中元素均为非负的情况。 当指派问题不满足上述三个条件时，就应先化成标准的 指派问题，然后再用匈牙利法求解．
解：
ABC DEF
甲 16 10 12 15 0 0 8 2
甲 16 10 12 15 0 0
8
2
乙 11 12 10 18 0 0 3 2 3
乙
11
12
10
18
0
0
3
2
3
丙 8 17 13 16 0 0 7 3 1
丙
8
17 13 16
0
0
7
3
1
8 10 10 15
本例经过反复的行、列检验后得到如下矩阵：
5 2 2
2
3
10 5 7 5
9
8
4
6 3 6 2
情况三出现，亦即未得到完全分配方案，求解过程 按以下步骤继续进行。
指派问题匈牙利算法步骤
匈牙利算法是解决二分图最大匹配问题的经典算法。
以下是匈牙利算法的步骤：
初始化：创建一个二分图，并将所有边的匹配状态初始化为未匹配。
选择一个未匹配的左侧顶点作为起始点，开始进行增广路径的寻找。
在增广路径的寻找过程中，首先选择一个未访问的左侧顶点作为当前路径的起点。
针对当前路径的起点，依次遍历与其相邻的右侧顶点。
对于每个右侧顶点，如果该顶点未被访问过，则标记为已访问，并判断该顶点是否已匹配。
如果该右侧顶点未匹配，则找到了一条增广路径，结束路径的寻找过程。
如果该右侧顶点已匹配，将其与之匹配的左侧顶点标记为已访问，并继续寻找与该左侧顶点相邻的右侧顶点，构建新的路径。
如果当前路径无法找到增广路径，则回溯到上一个路径的起点，并继续寻找其他路径。
当所有的路径都无法找到增广路径时，算法结束。
根据最终得到的匹配结果，即可得到二分图的最大匹配。
这些步骤描述了匈牙利算法的基本流程。
具体实现时，可以采用递归或迭代的方式来寻找增广路径，通过标记顶点的访问状态来进行路径的选择和回溯。
算法的时间复杂度为O(V*E)，其中V是顶点的数量，E是边的数量。
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4 0 2 3
5 9 0 1 5 4 0 9 3 7 6 0
4 0 2 3
5 4 0 1 0 4 0 4 3 7 1 0
第二步，试指派： 第二步，试指派：
－5
举例说明 1）表上作业法 2）匈牙利法
例 有四个工人和四台不同的机床，每位工人在不 同的机床上完成给定的任务的工时如表5.12所示， 问安排哪位工人操作哪一台机床可使总工时最少？
任务1 工人1 工人2 工人3 工人4 2 15 13 4
任务2 10 4 14 7
任务3 3 14 16 13
任务4 7 8 11 9
0 0 1 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
例二、 例二、 有一份中文说明书，需译成英、 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种
文字，分别记作A、 、 、 。现有甲、 文字，分别记作 、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四 人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时 间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？ 间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？
再看一例
请求解如下矩阵表达的指派问题
12 7 9 7 9 8 9 6 6 6 7 17 12 14 9 15 14 6 6 10 4 10 7 10 9
Байду номын сангаас
减去最小元素
5 0 2 0 2 2 3 0 0 0 0 10 5 7 2 9 8 0 0 10 0 6 3 6 5
√
调整可行解
7 4 0 11 0
0 2 0 3 0 0 8 3 5 8 0 0 4 1 4
2 0 0 10 3
再圈零划零
7 4 0 11 0
0 3 8 8
0 2 0 0 5 0 0 10 4 1 4 3 2 0 3 0
最小时间（成本）min z=32
匈牙利算法示例
）、解题步骤 解题步骤： （二）、解题步骤： 指派问题是0-1 规划的特例，也是运输问题的特例， 指派问题是 规划的特例，也是运输问题的特例， 当然可用整数规划， 当然可用整数规划，0-1 规划或运输问题的解法去求 解，这就如同用单纯型法求解运输问题一样是不合算 利用指派问题的特点可有更简便的解法， 的。利用指派问题的特点可有更简便的解法，这就是 匈牙利法， 匈牙利法，即系数矩阵中独立 0 元素的最多个数等于 能覆盖所有 0 元素的最少直线数。 元素的最少直线数。 第一步： 变换指派问题的系数矩阵（ 第一步 ： 变换指派问题的系数矩阵 （ cij ） 为 (bij)， 使 ， 的各行各列中都出现0元素 在(bij)的各行各列中都出现 元素，即 的各行各列中都出现 元素， (1) 从（cij）的每行元素都减去该行的最小元素； 的每行元素都减去该行的最小元素； (2) 再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最 小元素。 小元素。
1, 第i个工人做第j件事 xij = 0， 第i个工人不做第j件事
则数学模型如下
min z = ∑∑ cij xij
j =1 i =1
n
m
n ∑ xij = 1, i = 1,2, L , m = jm1 ∑ xij = 1, j = 1,2, L , n i =1 xij = 0,1; i = 1,2, L , m; j = 1,2, L , n
(4)重复 ，(3)直到得不出新的打 号的行、列为止； 重复(2)， 直到得不出新的打 号的行、列为止； 直到得不出新的打√号的行 重复 (5)对没有打 号的行画横线 ， 有打 号的列画纵线 ， 对没有打√号的行画横线 号的列画纵线， 对没有打 号的行画横线， 有打√号的列画纵线 这就得到覆盖所有0元素的最少直线数 应等于m， 这就得到覆盖所有 元素的最少直线数 l 。l 应等于 ， 若不相等，说明试指派过程有误，回到第二步(4)， 若不相等 ， 说明试指派过程有误 ， 回到第二步 ， 另 行试指派； 行试指派；若 l＝m < n，须再变换当前的系数矩阵， ＝ ，须再变换当前的系数矩阵， 以找到n个独立的 元素，为此转第四步。 个独立的0元素 以找到 个独立的 元素，为此转第四步。 第四步：变换矩阵(b 以增加 元素。 以增加0元素 第四步：变换矩阵 ij)以增加 元素。 在没有被直线覆盖的所有元素中找出最小元素， 在没有被直线覆盖的所有元素中找出最小元素，然后 各行都减去这最小元素； 打√各行都减去这最小元素；打√各列都加上这最小元 各行都减去这最小元素 各列都加上这最小元 素（以保证系数矩阵中不出现负元素）。新系数矩阵 以保证系数矩阵中不出现负元素）。新系数矩阵 ）。 的最优解和原问题仍相同。转回第二步。 的最优解和原问题仍相同。转回第二步。
获得初始解：圈零/划零操作
将时间矩阵C的每一行都减去相应行的最小元素 和每一列都减去相应列的最小元素，使每一行 和每一列都含有零； 从最少零数的行或列开始，将“零”圈起来， 并划去它所在行和所在列的其它零； 反复做2），直到所有零被圈起或被划掉为止。 得到初始解。 判断是否为最优解：圈起的零的个数是否等于n。
调整可行解的方法
在调整行中寻找最小的元素，将它作为调 整量； 将调整行各元素减去调整量，对调整列中 各元素加上调整量。 再次执行“圈零”和“划零”的操作，并 循环以上的步骤，直到圈起的零数等于n 为止。
匈牙利法解例3.3
时间矩阵
2 10 3 7 15 4 14 8 13 14 16 11 4 7 13 9 各行各列减去最小元素后得 0 11 2 0
(4)若仍有没有划圈的 元素 ， 且同行 列 )的 0元素至 若仍有没有划圈的0元素 且同行(列 的 元素至 若仍有没有划圈的 元素， 少有两个，则从剩有0元素最少的行 元素最少的行(列 开始 开始， 少有两个 ， 则从剩有 元素最少的行 列 )开始， 比较这 行各0元素所在列中 元素的数目，选择0元素少的那列 元素所在列中0元素的数目 行各 元素所在列中 元素的数目，选择 元素少的那列 的这个0元素加圈 表示选择性多的要“ 礼让” 元素加圈(表示选择性多的要 的这个 元素加圈 表示选择性多的要 “ 礼让 ” 选择性 少的)。 然后划掉同行同列的其它0元素 可反复进行， 元素。 少的 。 然后划掉同行同列的其它 元素 。 可反复进行 ， 直到所有0元素都已圈出和划掉为止 元素都已圈出和划掉为止。 直到所有 元素都已圈出和划掉为止。 （5）若◎ 元素的数目 等于矩阵的阶数 ，那么这指 元素的数目m 等于矩阵的阶数n， ） 派问题的最优解已得到。 则转入下一步。 派问题的最优解已得到。若m < n, 则转入下一步。 第三步：作最少的直线覆盖所有0元素 元素。 第三步：作最少的直线覆盖所有 元素。 (1)对没有◎的行打 号； 对没有 的行打√号 (2)对已打 号的行中所有含 元素的列打 号； 对已打√号的行中所有含 元素的列打√号 对已打 号的行中所有含Ø元素的列打 (3)再对打有 号的列中含◎ 元素的行打 号； 再对打有√号的列中含 元素的行打√号 再对打有
第二步：进行试指派，以寻求最优解。 第二步：进行试指派，以寻求最优解。 中找尽可能多的独立0元素 中找尽可能多的独立 元素，若能找出n个独 在(bij)中找尽可能多的独立 元素，若能找出 个独 元素， 个独立0元素对应解矩阵 立 0元素， 就以这 个独立 元素对应解矩阵 ij)中的元 元素 就以这n个独立 元素对应解矩阵(x 中的元 素为1，其余为0，这就得到最优解。找独立0元素 元素， 素为 ，其余为 ，这就得到最优解。找独立 元素，常 用的步骤为： 用的步骤为： (1)从只有一个 元素的行 列)开始，给这个 元素加 从只有一个0元素的行 开始， 从只有一个 元素的行(列 开始 给这个0元素加 所在列(行 的其它 元素， 的其它0元素 圈，记作◎ 。然后划去◎ 所在列 行)的其它 元素，记 这表示这列所代表的任务已指派完， 作 Ø ； 这表示这列所代表的任务已指派完 ， 不必再考 虑别人了。 虑别人了。 (2)给只有一个 元素的列 行)中的 元素加圈，记作 给只有一个0元素的列 中的0元素加圈 给只有一个 元素的列(行 中的 元素加圈， 所在行的0元素 记作Ø 元素， ◎；然后划去◎ 所在行的 元素，记作 ． (3)反复进行 ，(2)两步，直到尽可能多的 元素都 反复进行(1)， 两步 直到尽可能多的0元素都 两步， 反复进行 被圈出和划掉为止。 被圈出和划掉为止。
指派问题
指派问题是一种特殊的整数规划问题 一、问题的提出 设有m个工人，能做n件事，但效率不 同，并规定每个工人做且只能做一件事， 每件事有且只能有一个工人做，问应该如 何安排他们的工作，使花费的总时间（成 本）最少或效率最高？
二、指派问题的数学模型
设第i个工人做第j件事的时间是 c ij ，决策 变量是
得最优解
0 0 (x ( xij ) = 0 0 1
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
另一最优解
0 0 ( xij ) = 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
任务
人员
A 6 4 3 5
B 7 5 1 9
C 11 9 10 8
D 2 8 4 2
甲 乙 丙 丁
求解过程如下： 求解过程如下：
第一步，变换系数矩阵： 第一步，变换系数矩阵：
6 4 (cij ) = 3 5 7 11 2 − 2 5 9 8 − 4 1 10 4 − 1 9 8 2 − 2
圈零划零
5 0 2 0 2 2 3 0 0 0 0 10 5 7 2 9 8 0 0 10 0 6 3 6 5
打勾划线确定调整行和列
5 0 2 0 2 2 3 0 0 0 0 10 5 7 2 √ 9 8 0 0 10 0 6 3 6 5 √