图像处理三维图形变换解读
计算机图形学第4章图形变换
反射变换
总结词
反射变换是将图形关于某一平面进行镜像反射的变换。
详细描述
反射变换可以通过指定一个法向量和反射平面来实现。法向量垂直于反射平面，指向反射方向。在二 维空间中，反射变换可以将图形关于x轴或y轴进行镜像反射；在三维空间中，反射变换可以将图形关 于某一平面进行镜像反射。
03
复合图形变换
组合变换
01
02
03
04
组合变换是指将多个基本图形 变换组合在一起，形成一个复
杂的变换过程。
组合变换可以通过将多个变换 矩阵相乘来实现，最终得到一
个复合变换矩阵。
组合变换可以应用于各种图形 变换场景，如旋转、缩放、平
移、倾斜等。
组合变换需要注意变换的顺序 和矩阵的乘法顺序，不同的顺 序可能导致不同的变换结果。
矩阵变换
矩阵变换是指通过矩阵运算对图形进 行变换的方法。
常见的矩阵变换包括平移矩阵、旋转 矩阵、缩放矩阵和倾斜矩阵等。
矩阵变换可以通过将变换矩阵与图形 顶点坐标相乘来实现，得到变换后的 新坐标。
矩阵变换具有数学表达式的简洁性和 可操作性，是计算机图形学中常用的 图形变换方法之一。
仿射变换
仿射变换是指保持图形中点与 点之间的线性关系不变的变换。
05
应用实例
游戏中的图形变换
角色动画
通过图形变换技术，游戏中的角 色可以完成各种复杂的动作，如
跑、跳、攻击等。
场景变换
游戏中的场景可以通过图形变换 技术实现动态的缩放、旋转和平 移，为玩家提供更加丰富的视觉
体验。
特效制作
图形变换技术还可以用于制作游 戏中的特效，如爆炸、火焰、水
流等，提升游戏的视觉效果。
THANKS
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规 范 化 观 察 空 间 中 的 三 维 形 体 三 维 裁 剪 裁 剪 后 的 三 维 形 体 正 投 影 二 维 坐 标 系 下 的 图 形 二 维 变 换 输 出 输 出 设 备 上 的 图 形
7.2 三维几何变换
ab c d e f p ' x ' y ' z ' 1 p T x yz1 3 D h i j l mn p q r s
计算机 三维 图形变换
7.1 三维变换的基本概念
7.1.1 三维齐次坐标变换矩阵
T3 D
a d g l
b e h m
c f i n
p q r s
7.1.2 几何变换
• 图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平
移、比例、旋转等变换后产生新的图形。
– 点的矩阵变换
– 线框图的变换 – 用参数方程描述的图形的变换
• 投影变换就是把三维立体（或物体）投射到投影面 上得到二维平面图形。
– 平面几何投影主要指平行投影、透视投影以及 通过这些投影变换而得到的三维立体的常用平 面图形：三视图、轴测图。 – 观察投影是指在观察空间下进行的图形投影变 换。
7.1.3 平面几何投影
• 投影中心、投影面、投影线：
A A ' 投 影 线 投 影 中 心 B ' ( a ) 透 视 投 影 B ( b ) 平 行 投 影 线 段 投 影 中 心 在 投 影 线 无 穷 远 处 B ' A ' A
2. 比例变换
(1)局部比例变换(以坐标原点为参考点)：
a 0 x' y' z' 1 x y z 1 T x y z 1 s 0 0 x e y i z 1 a 0 0 0 e 0 0 0 i 0 0 0 1
三维图形变换
三维图形变换是在二维方法基础上增加了对z坐标的考虑得到的。
与二维变换类似，引入齐次坐标表示，即：三维空间中某点的变换可以表示成点的齐次坐标与四阶的三维变换矩阵相乘。
一、平移变换二．比例变换例如：对长方体进行比例变换，三、旋转变换跟二维的相同四、对称变换有关于坐标平面、坐标轴的对称变换（1）关于坐标平面的对称绕哪个面变换，那个面不变变换矩阵为：其它均类似（2）关于坐标轴变换6.2 投影变换投影变换就是把三维物体投射到投影面上得到二维平面图形两种投影法的本质区别在于：透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的；而另一个的距离是无限的。
一、中心（透视）投影特点：投影线均通过投影中心，物体的投影视图由计算投影线与观察平面交点而得在投影中心相对投影面确定的情况下，空间的一个点在投影面上只存在唯一一个投影。
透视投影生成真实感视图，但不保证相关比例。
二、平行投影1、把透视投影的中心移至无穷远处，则各投影线称为相互平行的直线，这种投影2、分为正投影和斜投影3、特点：保持物体的有关比例不变三、平面集合投影的分类6.3 三视图一、1、根据投影面与坐标轴的夹角可分为两类：三视图和正轴侧图。
当投影面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为三视图，这是投影方向与这个坐标轴的方向一致；否则，得到的投影为正轴侧图2、三视图包括主、侧、俯视图三种，投影面分别于x/y/z轴垂直3、优点：反映形体的实际尺寸，工程制图中常用三视图来测量形体间的距离、角度以及相互位置关系。
4、缺点：三视图上只有物体一个面的投影，只有将三个图放在一起，才能综合物体的空间形状二、三视图的计算1>确定三维物体上个点的位置坐标2>引入齐次坐标，求出所做变换相应的变换矩阵3>将所做变换用矩阵表示，通过运算求得三维物体上各点经变换后的点坐标值4>由变换后得到的二维点绘出三维物体投影后的三视图三、1>主视图：将三维物体xoz面（又称v面）做垂直投影，得到主视图2>俯视图：将三维物体xoy面（又称h面）做垂直投影，得到俯视图为了让其与主视图在一个平面内，让俯视图绕x轴旋转90°。
三维变换与三维观察算法
三维变换与三维观察算法
三维变换是指将三维空间中的点、线、面等几何图形进行平移、旋转、缩放等变换操作，使其在三维空间中发生形态上的变化。
常见的三维变换包括平移变换、旋转变换、缩放变换、投影变换等。
平移变换是指将物体沿着x、y、z三个轴方向上分别移动一定的距离，使其在三维空间中发生整体移动。
旋转变换是指将物体沿着x、y、z三个轴方向上分别旋转一定的角度，使其在三维空间中发生旋转。
缩放变换是指将物体在x、y、z三个轴方向上分别缩放一定比例，使其在三维空间中发生缩放。
投影变换是指将三维物体投影到二维平面上，便于显示和处理。
常见的投影方式有正交投影和透视投影。
三维观察算法是指在三维空间中对物体进行观察的算法，包括投影、裁剪、视口变换等。
常见的三维观察算法有透视投影、正交投影、裁剪算法、视口变换算法等。
透视投影是指根据物体与相机之间的距离和角度，将物体投影到一个透视平面上。
正交投影是指将物体在x、y、z三个轴方向上的投影分别投射到屏幕的x、y、z 轴上，形成一个等比例的平面图形。
裁剪算法是指对物体进行裁剪，只保留需要显示的部分，提高渲染效率。
视口变换算法是指将裁剪后的物体投影到屏幕上，形成最终的二维图像。
常见的视口变换算法有正交投影变换算法、透视投影变换算法等。
三维图形观察与变换-Read
三维观察概念
☆三维主要问题 ☆三维观察变换 ● 三维观察概念 ● 三维观察特点 ● 三维观察流程 ● 观察流程示意 ☆三维几何变换 ☆观察坐标系 ☆平面几何投影 ☆一般观察投影 ☆三维裁剪问题 • 三维景物视图的计算机生成类似照片拍摄：
• • 首先，用景物的一特殊点给相机定位； 然后，确定相机方向、相机朝向及绕视线的旋转；
☆观察坐标系 ☆平面几何投影 ☆一般观察投影
三维坐标系定义
☆三维主要问题 ☆三维观察变换 ☆三维几何变换 ● 三维坐标系定
义 ● 三维坐标表示 ● 三维缩放变换 ● 三维旋转变换 ◘ 坐标轴旋转 ◘ 任意轴旋转 ◘ 任意旋转矩阵 ◘ 坐标对齐矩阵 ● 三维反射变换 ● 三维错切变换 ● 三维坐标系变 换
• 右手坐标系
– 右手的四个手指按照x轴向y轴旋转90度的方向握住 z轴，大拇指所指的方向与z轴正向一致。
– 一般地，当拇指与某一坐标轴同向时，四指所指的 方向为绕该轴的正向旋转方向。
x轴：y→z；
y轴：z→x；
z轴：x→y。
Y Z Y Z X y
•
最后，按下快门。
– 拍摄时，可以走动，并以任何角度、各种距离和方 向。 – 景物按相机镜头的大小来修剪，光线从可视表面投 影到相机胶片上。在取景器中出现的都被投影到胶 片上； – 相机镜头的类型和大小决定景物出现在最终相片中 的部分。
三维观察与变换特点
☆三维主要问题 ☆三维观察变换 ● 三维观察概念 ● 三维观察特点 ● 三维观察流程 ● 观察流程示意 ☆三维几何变换 ☆观察坐标系 ☆平面几何投影 ☆一般观察投影 ☆三维裁剪问题 • 对三维图形应用而言，照相机“照相”概念思想渗入三 维图形包中，但图形包生成景物的视图有更大的灵活性 和更多的选择。
第六章 三维图形变换
1 d T = h 0
b c 0 1 f 0 i 1 0 0 0 1
6.1.6 错切变换
1 d Tx = g 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 Ty = 0 0
b 0 0 1 0 0 h 1 0 0 0 1
6.1 三维几何变换
实现比例、对 称、旋转、错切 四种基本变换 把H=1平面上 的齐次点变换为 H=px+qy+rz+1 平面上的点
a d T = h 实现平移变换 x0
b c p e f q i j r y0 z0 s
使图形产生 全比例变换
6.1.1 比例变换
比例变换矩阵：
第六章 三维图形变换
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 三维几何变换 三维投影变换 鼠标追踪球旋转 三维观察 OpenGL视点变换
6.1 三维几何变换
• 三维图形变换是对三维物体图形的操作，它使得人们 能方便地从不同的角度观察物体而得到物体的视图； 必要时可放大物体局部进行观察，或者把整个物体对 平面进行投影得到其轴侧图或透视图 • 在讨论三维变换时，也同二维图形变换一样，引入齐 次坐标(x, y, z, 1)来表示三维空间点(x, y, z)，以使得三 维图形变换可以统一用矩阵表示
0 0 0 0 0 0 0 1
6.2.1 平行投影－正轴测
2 6 － 6 2 6 0 T正等 = 3 － 2 － 6 6 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
2 2 － sin β 0 2 2 0 cosβ 0 T正二 = 2 2 － 2 － 2 sin β 0 0 0 0
6.1.2 全比例变换
计算机形学三维几何变换
计算机形学三维几何变换计算机形学是计算机科学中的一个重要分支，主要研究计算机图形学中的各类图形的数学描述方法和计算机图形学技术的应用。
其中，三维几何变换是计算机形学中的一项重要内容。
本文将介绍三维几何变换的概念、常见的三维几何变换操作以及其在计算机图形学中的应用。
一、概述三维几何变换是指对三维空间中的图形进行平移、旋转、缩放等操作，从而改变图形的位置和形状的过程。
三维几何变换是计算机图形学中非常常用的操作，可以实现物体的移动、旋转、缩放等效果。
二、三维几何变换的操作1. 平移（Translation）平移是指将图形沿指定的轴方向移动一定距离。
平移操作可以简单地理解为将图形的每一个顶点坐标向指定方向移动相同距离。
平移操作的数学表达式为：\[T(x,y,z) = (x + dx, y + dy, z + dz)\]其中，(x,y,z)表示原始顶点坐标，(dx,dy,dz)表示沿(x,y,z)轴平移的距离。
2. 旋转（Rotation）旋转是指将图形绕指定轴进行旋转。
旋转操作可以用欧拉角、四元数、矩阵等多种方式进行计算。
旋转操作的数学表达式为：\[R(x,y,z) = M(x,y,z)\]其中，(x,y,z)表示旋转前的坐标，M表示旋转变换矩阵。
旋转变换矩阵的计算方式有很多，最常见的是使用旋转角度和旋转轴来计算旋转矩阵。
3. 缩放（Scaling）缩放是指将图形沿各个轴向相应的方向按比例进行扩大或缩小。
缩放操作可以用不同的比例因子对每个顶点坐标进行缩放计算。
缩放操作的数学表达式为：\[S(x,y,z) = (sx, sy, sz)(x,y,z)\]其中，(x,y,z)表示原始顶点坐标，(sx,sy,sz)表示在x轴、y轴和z轴方向的缩放比例。
4. 其他变换操作除了平移、旋转和缩放之外，三维几何变换还可以包括倾斜、翻转、剪切等其他操作。
这些操作都是通过对图形的顶点坐标进行适当的数学计算而实现。
三、三维几何变换的应用三维几何变换在计算机图形学中有广泛的应用。
第8章三维图像处理技术
（图8-4）
2019年3月10日
数字图象处理演示稿 纪玉波制作 (C)
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8.2.2.1距离方程 假设坐标为 的点P，被放置在摄像机前方， 并分别成像于两个摄像机平面上。那么，利用 zx 和 yz 平面中的相似三角形，可以看到从点P穿过透镜中心的 直线与 (图像）平面相交于
同样，从P穿过右摄像机的中心的直线将与图像平面相交于
2019年3月10日
数字图象处理演示稿 纪玉波制作 (C)
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数字图象处理演示稿 纪玉波制作 (C)
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数字图象处理演示稿 纪玉波制作 (C)
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8.1.2 Fourier变换重构方法
Fourier变换重构图像所依据的原理是，一 个三维（二维）物体的二维（一维）投影的 Fourier变换是精确地等于物体的Fourier变换的 中心截面（中心直线），当投影旋转时，其 Fourier 变换的中心截面（中心直线）随之旋转。 因而重构图像的过程，首先由不同角度位置时的 投影变换构成物体完整的 Fourier 变换，然后， 通过取反Fourier变换重构物体。
从中解出Z0得到法向深度方程 (8-1)
2019年3月10日 数字图象处理演示稿 纪玉波制作 (C) 23
这个方程将距离的法向成分Z0与两幅图像偏移的像素 数联系起来。值得注意的是在方程中，Z0仅是xr和xl之差 的函数，而与他们单个值大小无关。由于Z0必须取正值， 应有 。还要注意的是分子的值与之相比可能非常 小。这就意味着对于大的Z0分母可能会非常小。因此，在 两幅图中特征定位的微小偏差可能会导致深度计算的大 误差。 同样在三维空间中，利用相似三角形，我们有
第八章 三维图像处理技术
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为世界坐标系 所有物体必须变换至该坐标系，以确定
彼此之间的相对空间位置 将物体放至场景内等价于定义一个从物
体局部坐标系至世界坐标系的变换矩阵 场景需要定义光照
图形流水线中的照相机坐标系
统
照相机坐标系统决定照相机参数和可见 域
必须包括
◦ 视点位置 ◦ 视线
M3
堆栈
glPopMatrix (): 将顶部矩阵删除，并将所有 其他矩阵往上移动一位。
矩阵堆栈的好处：允许一系列位置（代表
了坐标系统）保留下来,并在需要的时候使
用它们。
Transform demo
矩阵阵列
建模变换:
sin θ
cos θ
0
R s0in θ 10 y 0
0 1
sin θ
0
cos θ
“Z 正对面”
任意三维旋转
可以由轴平行旋转复合而得
R R zˆ R yˆ R xˆ
可以用欧拉角表示（非唯一） 也可以用四元数表示
R rot(x, y, z)
任意三维旋转
R R zˆ R yˆ R xˆ
从世界坐标系到屏幕坐标系
将物体从世界坐标系变换至屏幕坐标系， 可以看成是：将物体首先作相机变换， 再作透视变换：
一般还需要一个视区(视口)变换 （viewport transformation）
视区变换
将视域归一化 视域与物体求交，求交后的物体投影，并按
照相应的视见区域大小[xmin,xmax]、 [ymin,ymax]、 [zmin,zmax]进行缩放
一系列变换的合成可通过矩阵的嵌套完成
Q Tn (Tn1...(T2 (T1 P))...) (TnTn1...T3T2T1) P T P T Tn Tn1 ...T3 T2 T1
关于任意一点的缩放: T (dx ,d y ,dz )S (sx , sy , sz )T (dx ,d y ,dz )
矩阵复合
矩阵复合可完成对空间点的任意操作 矩阵乘法不满足交换率，因此复合的次
序非常重要！ 例如：先缩放后平移先平移后缩放 通常情况下，给出的旋转矩阵是绕原点
旋转的。因此首先要将物体平移至原点， 进行旋转，再平移回来。
变换实例
适合于人体动画
Mike Marr, COS 426, Princeton University, 1995
平移
利用平移矩阵，将点V=(x,y,z)T平移至 V’=(x+Tx,y+Ty,z+Tz)T处，表示为V’=V+T
缩放
利用缩放矩阵，将点V=(x,y,z)T缩放 (d1,d2,d3)倍
其中对角线上的元素表示对应坐标系分 别放大(di>1)或者缩小了(di<1)的量
轴平行三维旋转
二维旋转隐含着绕平面轴旋转
View plane
◦ 视点坐标系
◦ 投影平面 ◦ 视域
Eye position (focal point)
◦ 其他（可选）
坐标轴系统
物体坐标 模型矩阵
ModelView 变换
局部物体坐标
世界坐标 系
相机矩阵
世界坐标
相机坐标
投影矩阵
Device coordinates
视区矩阵 窗口坐标
窗口坐标系统
图像处理:三维图形变换
绘制流程
标准的绘制流程由一系列计算组成 输入是：多边形 输出是保存在缓冲区的图像 主要涉及的操作是：三维变换与光照！
Original
Shear
Images from Conan The Destroyer, 1984
Uniform Scale Rotation
Nonuniform Scale
OpenGL中的变换矩阵
相机变换： 指定照相机位置和方向(也叫照相 机坐标系统)
模型变换: 将物体在场景中移动，也可以视为 从局部坐标系到全局坐标系
ModelView变换: 相机变换和模型变换的混合. 投影变换: 定义视域体并指向投影 视区变换: 将二维投影后的场景变换到绘制窗
口.
变换的合成
关于任意轴的旋转
RL Ry ( )Rz ( )Rx ( )Rz ( )Ry ( )
ModelView 矩阵
ModelView变换式建模矩阵M和相机变换V的乘积 C = VM
所有在OpenGL中的变换函数只能设置modelview 矩阵. 因此， ModelView 在物体被操作之前被调用.
变换实例
单个物体可能在场景出现多次
三维数据可以配备多个变换
变换实例
图形流水线中的物体坐标系
建模时所采用的坐标系
选取物体上或靠近物体的某一点作为原点， 物体上的其他点相对于该点y 的坐标进行表 示
针对物体的局部坐标系
x
举例：选取立方体的某一z 个顶点作为原点，
建立局部坐标系
图形流水线中的世界坐标系
背面剔除
将多边形的朝向与视点或投影中心相比 较，去除那些不可见多边形
可见性测试在视见空间内进行。计算每 一个多边形的法向，并检查法向与视线 方向点积后值的符号
视域体裁剪
当且仅当视域体内的物体将被投影. 决定物体的哪一部分将被投影，哪一部
分被剔除的过程叫做裁剪.
Z=0 plane
视域体裁剪
轴平行三维旋转
• 二维旋转隐含着绕平面轴旋转
R
cos θ sin θ
sin θ
cos θ
cos θ sin θ 0
R
sin
θ
cos θ
0
0
0 1
轴平行三维旋转
1 0
0
Rx
0Байду номын сангаас
cos θ
sin
θ
0 sin θ cos θ
cos θ 0
cos θ sin θ 0
R z
投影与裁剪
设备坐标
相机坐标
模型变换
将局部坐标系变换到世界坐标系 包括缩放、旋转、平移等
相机变换
将世界坐标系中的一点变换至照相机坐 标系
可以分成平移和旋转两部分
投影变换
视域、投影方式、屏幕分辨率 投影物体首先与视域求交决定可见部分
平行投影
透视投影
正交相机模型
标准透视相机模型(I)
例如: glMatrixMode (GL_MODELVIEW); glLoadIdentity (); glScalef (2.0f, 2.0f, 2.0f); DrawScene ();
ModelView 矩阵堆栈
矩阵堆栈的顶部矩阵就是当前的
ModelView 矩阵 (C).
M1
M2
glPushMatrix (): 将当前的矩阵加入到矩阵