山东省青岛市格兰德中学2020学年高二数学上学期学段评估测试试题(中日班)(无答案)
2019-2020学年山东省青岛市青岛第二中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年山东省青岛市青岛第二中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．椭圆y 2+4x 2＝1的焦距为（ ）A ．2B C ．D 【答案】B【解析】直接利用椭圆的方程，求得,a b 的值，然后求得2c ，即可得到答案. 【详解】由椭圆的方程2241y x +=，可得2211,4a b ==，又由22234c a b =-=，解得2c =2c =. 故选B. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程，合理利用椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2．已知命题P ：∃x ＞0，lgx ≤0，则￢P 是（ ） A ．∃x ≤0，lgx ＞0 B ．∀x ＞0，lgx ＞0 C ．∀x ＞0，lgx ＜0 D ．∃x ＞0，lgx ≤0【答案】B【解析】直接利用特称命题的否定是全称命题，即可得到命题的否定，得到答案. 【详解】由题意，根据特称命题的否定是全称命题，所以命题:0,lg 0P x x ∃>≤， 可得:0,lg 0P x x ⌝∀>>. 故选B. 【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中熟记特称命题与全称命题的关系，准确改写是解答的关键，属于基础题.3．已知双曲线C ：y 222x b-=1（b ＞0）的焦距为4，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y ＝B ．y ＝C ．y ＝±3xD ．y ＝【答案】B【解析】根据题意，求得2,1c a ==，进而求得b 的值，求得双曲线的方程，进而求得双曲线的渐近线的方程，得到答案. 【详解】由题意，双曲线222:1(0)x C y b b-=>的焦距为4，可得2,1c a ==，又由2223b c a =-=，所以双曲线的方程为2213x y -=，所以该双曲线的渐近线的方程为3a y x xb =±=. 故选B. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4．若抛物线x ＝﹣my 2的焦点到准线的距离为2，则m ＝（ ） A ．﹣4 B ．14C ．14-D ．±14【答案】D【解析】把抛物线的方程化为标准方程，由焦点到准线的距离为p ，即可得到结果，得到答案. 【详解】由题意，抛物线2x my =-，可得21y x m=-， 又由抛物线的焦点到准线的距离为2，即122m =，解得14m =±. 故选D. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的焦点到准线的距离为p 是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5．在四棱锥O ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平四边形，设OA a =，OB b =，OC c =，则BD 可表示为（ ） A ．a c b +- B ．a +2b c -C ．c b a +-D ．a c +-2b【答案】D【解析】作出图形，根据条件得出BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，再得到BA a b =-，BC c b =-，即可求解， 得到答案. 【详解】如图所示，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，则BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，在OAB ∆中，BA OA OB a b =-=-， 在OBC ∆中，BC OC OB c b =-=-， 故选D.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的加法的几何意义，其中解答中熟记向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6．椭圆的焦点为F 1，F 2，过点F 1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦MN 长为185，△MF 2N 的周长为20，则椭圆的离心率为（ ）A B ．35C ．45D 【答案】C【解析】运用椭圆的定义，可得420a =，求得5a =，再由直线垂直于x 轴时，弦长最短，求出弦长，解得b ，最后利用离心率公式，即可求解. 【详解】设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则由椭圆的定义，可得12122MF MF NF NF a +=+=， 由于2MF N ∆的周长为20，可得420a =，即5a =， 过点1F 作直线与椭圆相交，当直线垂直与x 轴时，弦长最短，令x c =-，代入椭圆的方程，可得2by a=±，即22185b a =，解得29b =，所以4c =，所以椭圆的离心率为45c e a ==. 故选C. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中求曲线的离心率(或范围)问题，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程求解，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．已知双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线被圆C ：x 2+y 2﹣12x ＝0截得的弦长为8，双曲线的右焦点为C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A ．2212016x y -=B ．2211620x y -=C ．2211224x y -=D ．2212412x y -=【答案】B【解析】求得数显的渐近线的方程，以及圆的圆心和半径，运用直线和圆相交的弦长公式，以及点到直线的距离公式可得,a b 的关系式，由题意可得6c =，再由,,a b c 的关系可得a ，即可求得双曲线的方程，得到答案. 【详解】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆22:120C x y x +-=的圆心(6,0)C ，半径6r =，见解析被圆22:120C x y x +-=截得的弦长为8，可得8==解得d ==双曲线的焦点为C 的圆心，即6c =，则b =4a =，可得双曲线的方程为2211620x y -=.故选B. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，同时考查了直线与圆的位置关系的应用，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题.8．抛物线x 2＝4y 上的点到直线y +5＝0的距离的最小值是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】C【解析】设抛物线24x y =上一点的坐标为2(2,)m m ，利用点到直线的距离公式表示出距离，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设抛物线24x y =上一点的坐标为2(2,)m m ，可得点到直线50y +=的距离为d ==，当m =时，取得最小值为1. 故选C. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记点到直线的距离公式，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.9．已知直线l ：y ＝k （x ﹣1）（k ＜0）与抛物线C ：y 2＝﹣4x 相交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点且满足|AF |＝2|BF |，则k 的值是（ ） A．3-B．C．D ．﹣【答案】C【解析】直线(1)y k x =-和抛物线2:4C y x =-联立，设1122(,),(,)A x y B x y ，运用韦达定理和抛物线的定义，解方程即可得到答案.【详解】由题意，抛物线2:4C y x =-的焦点(1,0)F -，准线方程为1x =，直线(1)y k x =-和抛物线2:4C y x =-联立，可得2222(24)0k x k x k --+=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，可得1212242,1x x x x k +=-=， 由抛物线的定义可得121,1AF x BF x =-=-，因为2AF BF =，可得1212(1)x x -=-，即1221x x =-， 代入可得212x =-或21x =（舍去），此时12,3x k =-=-. 故选C. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中联立方程组，合理应用韦达定理是解答此类问题的挂念，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.10．已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|＜|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线经过点F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2122e e -的最小值为（ ） A ．2 B ．﹣2C ．6D ．﹣6【答案】B【解析】设12,PF m PF n ==，不妨设点P 在第二象限，椭圆和曲线的焦点在x 轴上，且它们的长半轴为1a ，实半轴为2a ，半焦距为c ，运用椭圆和双曲线的定义，以及垂直平分线的性质，结合离心率和基本不等式，即可求解. 【详解】设12,PF m PF n ==，不妨设点P 在第二象限，椭圆和曲线的焦点在x 轴上，且它们的长半轴为1a ，实半轴为2a ，半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可得122,2m n a n m a +=-=， 由线段1PF 的垂直平分线过点2F ，可得2n c =又由点P 在第二象限，所以12PF PF <，即m n <，所以2m c <，且2m c <， 即1222,22m c a c m a +=-=， 又由椭圆和双曲线的离心率，可得1212,c c e e a a ==， 则21122221242222e a c c c m mm e a c c m c c c+-=-=-=+----42≥=-， 当且仅当122mm c c=--，即m c =时，上式取得最小值2-.故选：B. 【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的定义和几何性质的应用，以及基本不等式的应用，其中解答熟练应用椭圆和双曲线的定义和几何性质，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了化简运算能力和变形能力，属于中档试题.二、多选题11．（多选题）给出下列选项中，能成为x ＞y 充分条件的是（ ） A ．xt 2＞yt 2B ．（x ，y ）是曲线x 3﹣y 3﹣x 2＝1上的点C ．11x y＜＜0D ．（x ，y ）是双曲线x 2﹣y 2＝1上的点【答案】ABC【解析】首先分清条件和结论，条件是所选答案，结论是x y >，充分性即为所选的答案能推得x y >成立，即可求解 【详解】由题意，对于A 中，由22xt yt <可知，20t >，可得x y >成，所以A 正确； 对于B 中，点(,)x y 是曲线3321x y x --=上的点，则(,)x y 满足323(1)x x y -+=， 可得33x y >，即x y >成立，所以B 正确；对于C 中，由110x y <<，可得0,0x y <<，又由110x y y x xy--=>，可得0x y ->，即x y >成，所以C 正确；对于D 总，点(,)x y 是双曲线221x y -=上的点，可得22x y >，不一定得到x y >成立，所以D 不正确. 故选ABC. 【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，其中解答中熟练应用不等式的性质，以及曲线的性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.12．（多选题）若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是（ ）A ．若1＜t ＜5，则C 为椭图B ．若t ＜1．则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5 【答案】BD【解析】根据椭圆和双曲线的标准方程及简单的几何性质，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，若方程22151x yt t +=--表示椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13t <<或35t <<，对于A 中，当3t =时，此时方程222x y +=表示圆，所以不正确；当方程22151x yt t +=--表示焦点在y 轴上椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩，解得35t <<，所以D 项正确；对于B 中，当1t <时，50,10t t ->-< ，此时表示焦点在x 轴上的双曲线，所以是正确的；对于C 中，当0t =时，方程22151x y -=，此时双曲线的焦距为.故选BD.若方程22151x yt t +=--表示椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13t <<或35t <<，【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程和简单的几何性质的应用，其中解答椭圆和双曲线的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 13．（多选题）下列说法正确的是（ ）A ．椭圆2222x y a b +=1上任意一点（非左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为22b a -B ．过双曲线2222x y a b -=1焦点的弦中最短弦长为22b aC ．抛物线y 2＝2px 上两点A （x 1，y 1）．B （x 2，y 2），则弦AB 经过抛物线焦点的充要条件为x 1x 224p = D ．若直线与圆锥曲线有一个公共点，则该直线和圆锥曲线相切 【答案】A【解析】直线与圆锥曲线的位置关系问题，通过联立方程组，恰当利用韦达定理，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于A 中，椭圆的左右顶点的分别为(,0),(,0)A a B a -， 设椭圆上除左右顶点以外的任意一点(,)P m n ，则222PB PBn n n k k m a m a m a⋅=⋅=+--， 又因为点(,)P m n 在椭圆上，可得22221m n a b +=，解得2222(1)m n b a=-，所以22PB PBb k k a⋅=，所以A 项是正确的； 对于B 中，设双曲线22221x y a b-=右焦点(c,0)F ，（1）当直线与双曲线的右支交于1122(,),(,)A x y B x y ，（i ）当直线AB 的斜率不存在时，则直线AB 方程为x c =，则22bAB a=，（ii ）当直线AB 的斜率存在时，则直线AB 方程为()y k x c =-，联立方程组2222()1y k x c x y a b=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，得22222222222()20b a k x a ck x a k c a b -+--=，则1212000x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩，得b k a >或b k a <-，由焦半径公式可得22122222()22c a ck AB AF BF e x x a a a a k b =+=+-=⋅-- 222222222222222222ac k ac c b a a a b a k b a a a k=-=->-=--， 所以当直线AB 的斜率不存在时，AB 的长最小，最小值为22b a．（2）当过(c,0)F 的直线与双曲线的两支各有一个交点时，此时可得AB 的最小值为2a ．综上可得，当222b a a ≤，即b a <，此时过焦点的弦长最短为22b a ； 当222b a a>，即b a >，此时过焦点的弦长最短为2a ．所以B 项是不正确的；对于C 中，充分性：当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x x =，此时12x x =，因为2124p x x =，所以122p x x ==，此时直线AB 过焦点(,0)2P F .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为y kx b =+，由22y kx b y px=+⎧⎨=⎩，得222(22)0k x bk p x b +-+=， 所以2122b x x k=，且2480p kpb ∆=->，又因为22(0)y px x =>且2124p x x =，所以2224b k p =，解得2b k p =或2b k p =-，所以直线AB 方程为2b y x b p =-+或2b y x b p=+, 当直线2b y x b p =-+时，取0y =时，2p x =，直线AB 过焦点(,0)2P； 当直线2b y x b p =+时，取0y =时，2p x =-，直线AB 过焦点(,0)2PF -； 所以充分性不成立．必要性：当直线AB 过焦点(,0)2PF 时， 设过焦点的直线AB 的方程为2p x my =+，代入22(0)y px x =>，可得2220y pmy p --=，则212y y p =-，则222212121222()444y y y y p x x p p ===. 所以抛物线22(0)y px x =>上两点1122(,),(,)A x y B x y ，则弦AB 经过抛物线的焦点的必要不充分条件是2124p x x =，所以C 是不正确的.对于D 中，当直线和抛物线的对称轴平行时，满足只有一个交点，但此时直线抛物线是相交的，所以直线与圆锥曲线有一个公共点，所以该直线和圆锥曲线相切是错误，即D 项是不正确的. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的判定与应用，以及充要条件的判定，其中解答中要认真审题，直线方程和抛物线方程联立，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、填空题14．若“∃x 0∈[﹣4，﹣2]，01 2x（）＜m ”是真命题，则实数m 的取值范围为_____．【答案】m ＞4【解析】根据0[4,2]x ∈--时，得到01()[4,16]2x∈，结合存在性命题为真命题，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，当0[4,2]x ∈--时，可得01()[4,16]2x∈， 又因为“001[4,2],()2x x m ∃∈--<”是真命题，所以4m >.故答案为：4m > 【点睛】本题主要考查了存在性的真假的判定与应用，以及指数函数的性质的应用，其中解答中正确理解存在性命题的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.15．双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2（|F 1F 2|＝2c ），以坐标原点O 为圆心，以c 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一个交点为P ，若三角形F 1PF 2的面积为a 2，则C 的离心率为_____．【解析】不妨设P 为右支上一点，设12,PF m PF n ==，运用双曲线的定义和直径所对的圆周角为直角，结合勾股定理和三角形的面积公式，可得,a c 的关系式，即可求解双曲线的离心率，得到答案. 【详解】不妨设P 为右支上一点，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 由双曲线的定义可得m ﹣n ＝2a ，由题意可得△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝90°，可得m 2+n 2＝4c 2，且12mn ＝a 2，由（m ﹣n ）2＝m 2+n 2﹣2mn ＝4c 2﹣4a 2＝4a 2，即为c =，可得e ca==.. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)． 16．设A ，B 分别是直线y ＝2x 和y ＝﹣2x 上的动点，满足|AB |＝4，则A 的中点M 的轨迹方程为_____．【答案】22116y x +=【解析】设出,A B 的坐标，表示出点M 的坐标，再利用AB 4=，即可得到点M 的轨迹方程，得到答案. 【详解】设A （x 1，2x 1 ），B （x 2，﹣2x 2 ），M （x ，y ），则AB 中点M （122x x +，x 1﹣x 2） 所以x 122x x +=，y ＝x 1﹣x 2， 又因为|AB |2＝（x 1﹣x 2）2+（2x 1+2x 2）2＝16，即y 2+（4x ）2＝16，所以M 的轨迹方程为22116y x +=，故答案为：22116y x +=.【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，其中解答中设出,A B 的坐标，表示出点M 的坐标，结合条件用AB 的长求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 17．卵形线是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫焦点）的距离之积等于常数的点的轨迹．某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了相关性质的探究，设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）是平面内的两个定点，|PF 1|•|PF 2|＝a 2（a 是常数）．得出卡西尼卵形线的相关结论：①该曲线既是轴对称图形也是中心对称图形；②若a ＝c ，则曲线过原点；③若0＜a ＜c ，其轨迹为线段．其中正确命题的序号是_____． 【答案】①②【解析】设(,)P x y 2a = ，得到22224[()][()]x c y x c y a ++⋅-+=，再对三个选项加以验证，即可求解，得到答案.【详解】由题意设P （x ，y ）2a =，即[（x +c ）2+y 2]•[（x ﹣c ）2+y 2]＝a 4，对于①中，因为把方程中的x 被﹣x 代换，方程不变，故此曲线关于y 轴对称； 把方程中的y 被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于x 轴对称； 把方程中的x 被﹣x 代换，y 被﹣y 代换，方程不变， 故此曲线是轴对称图形也是中心对称图形，所以是正确的．对于②中，若a ＝c ，（0，0）代入，方程成立则曲线过原点，所以是正确的； 对于③中，因为（|PF 1|+|PF 2|）min ＝2c ，（当且仅当，|PF 1|＝|PF 2|＝c 时取等号），所以（|PF 1||PF 2|）min ＝c 2，所以若0＜a ＜c ，则曲线不存在，所以不正确．故答案为：①② 【点睛】本题主要考查了新定义的理解与应用，其中解答中认真审题，正确理解新定义，结合新定义运算出动点的轨迹方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.四、解答题18．已知A ＝{x |x 2﹣4ax +3a 2＞0，a ＞0}，B ＝{x |x 2﹣x ﹣6≥0}，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（0，1）．【解析】根据一元二次不等式的解法，求得集合A ＝{x |x ＜a 或x >3a ，a >0}，B ＝{x |x ≥3或x ≤﹣2}，再由”x ∈A ”是“x ∈B “的必要不充分条件，即集合B 是集合A 的真子集，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，集合A ＝{x |x 2﹣4ax +3a 2>0，a >0}＝{x |x ＜a 或x >3a ，a >0}，B ＝{x |（x +2）（x ﹣3）≥0}＝{x |x ≥3或x ≤﹣2}，若”x ∈A ”是“x ∈B “的必要不充分条件，即集合B 是集合A 的真子集，则满足332aaa<⎧⎪>-⎨⎪>⎩，解得0＜a＜1，故实数a的取值范围是（0，1）．【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的应用，以及一元二次不等式的求解，其中解答中熟记一元二次方程的解法，结合充分、必要条件，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．已知p：方程x2+y2﹣4x+m2＝0表示圆：q：方程223y xm+=1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆．（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p、q有且仅有一个为真，求实数m的取值范围．【答案】（1）﹣2＜m＜2．（2）（﹣2，0]∪[2，3）．【解析】（1）把方程x2+y2﹣4x+m2＝0化为（x﹣2）2+y2＝4﹣m2，得到4﹣m2＞0，即可求解；（2）由方程223y xm+=1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，求得0＜m＜3，再分类讨论，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）由题意，命题p：方程x2+y2﹣4x+m2＝0，可化得（x﹣2）2+y2＝4﹣m2，则4﹣m2＞0，解得﹣2＜m＜2，所以实数m的取值范围(2,2)-．（2）命题q：方程223y xm+=1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，则0＜m＜3，当p为真，q为假时，2203mm m-⎧⎨≤≥⎩＜＜或，解得﹣2＜m≤0．当p为假，q为真时，2203m mm≤-≥⎧⎨⎩或＜＜，解得2≤m＜3．综上，实数m的取值范围为：（﹣2，0]∪[2，3）．【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的应用，以及圆与椭圆的标准方程的应用，其中解答中正确求解命题,p q，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.20．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的焦距为2，过点P (－2,1)且斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的方程； (2)求弦AB 的长．【答案】（1）221124x y +=；（2）AB =【解析】（1）已知：，b=2，a 2=b 2+c 2，联立解得a,b,c 的值，即可得椭圆方程；（2）易得直线l 的方程y=x+3．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．与椭圆方程联立化为：4x 2+18x+15=0，利用根与系数的关系及弦长公式即可得出弦AB 的长．【详解】(1)已知椭圆焦距为2，即，b=2，结合a 2=b 2+c 2，解得a=，b=2，故C ：221124x y +=.(2)已知直线l 过点P (－2,1)且斜率为1，故直线方程为y-1=x+2，整理得y=x+3，直线方程与椭圆方程联立2231124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2418150x x ++=. 设()11,A x y ，()22,B x y ．∴12120,9,215,4x x x x ⎧⎪∆>⎪⎪+=-⎨⎪⎪=⎪⎩∴AB =2=【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆相交的弦长；当直线斜率存在时，弦长12l x=-=，其中()11,A x y，()22,B x y是交点坐标，经常设而不求，联立方程后，根据根与系数的关系整体代入.21．已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，与准线交于点P，设点D为抛物线准线与x轴的交点．（1）若k＝﹣1，求△DAB的面积；（2）若AF=λFB，AP=μPB，证明：λ+μ为定值．【答案】（1）（2）证明见解析，定值为0【解析】（1）由直线与抛物线联立得2610x x-+=，根据1228AB x x=++=，求得点D到直线10x y+-=的距离，进而求得三角形的面积，得到答案；（2）设:(1)l y k x=-，联立方程组，求得121244y y y yk+==-，，结合AF =λFB，AP=μPB，得到λ12yy=-，1222y ky kμ+=-+，进而求得λμ+为定值，得到答案. 【详解】（1）由F的坐标分别为（1，0），直线PF的斜率为1，所以直线PF的方程为y＝﹣（x﹣1），设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由直线与抛物线联立得x2﹣6x+1＝0，所以x1+x2＝6，x1x2＝1．于是|AB|＝x1+x2+2＝8．点D到直线x+y﹣1＝0的距离d==所以S182=⨯=；（2）证明：设直线l：y＝k（x﹣1）．则P（﹣1，﹣2k），联立()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩可得ky 2﹣4y ﹣4k ＝0，121244y y y y k+==-，，∵AF =λFB ，AP =μPB ，所以（1﹣x 1，﹣y 1）＝λ（x 2﹣1，y 2），（﹣1﹣x 1，﹣2k ﹣y 1）＝μ（x 2+1，y 2+2k ）， ∴λ12y y =-，1222y k y k μ+=-+．∴λ+μ()()()121211222222222880222y y k y y y y kk y y k y y k y y k +++-+=--=-=-=+++（定值）． 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，以及向量的坐标运算的应用，其中解答中直线与抛物线的方程联立，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.22．已知点P 到直线y ＝﹣4的距离比点P 到点A （0，1）的距离多3． （1）求点P 的轨迹方程；（2）经过点Q （0，2）的动直线l 与点P 的轨交于M ，N 两点，是否存在定点R 使得∠MRQ ＝∠NRQ ？若存在，求出点R 的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】（1）x 2＝4y ；（2）存在，R 的坐标（0，﹣2）．【解析】（1）根据条件转化为P 到(0,1)A 的距离与它到直线1y =-的距离相等，利用抛物线的定义，即可求得点P 的轨迹方程；（2）利用对称性可得R 在y 轴上，设(0,)R t ，再结合MRQ NRQ ∠=∠，则0RM RN k k +=，联立直线与抛物线的方程，利用根与系数的关系，求得()22k t +，进而求得t 的值. 【详解】（1）因为点P 到A （0，1）的距离比它到直线y ＝﹣4的距离小3，所以点P 在直线y ＝﹣4的上方，点P 到A （0，1）的距离与它到直线y ＝﹣1的距离相等所以点P 的轨迹C 是以A 为焦点，y ＝﹣1为准线的抛物线， 所以方程为x 2＝4y ；（2）当动直线l 的斜率为0时，由对称性可得R 在y 轴上，设为R （0，t ），设直线l 的方程为y ＝kx +2，联立224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得x 2﹣4kx ﹣8＝0， 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝﹣8， 所以()()2112121212RM RN x y t x y t y t y t x x k x x k -+---=+=+ ()()()1212121212402x x x x t x x k t x x +-++===，因为k ≠0，所以2t =-，则R （0，﹣2）， 综上，R 的坐标（0，﹣2）． 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中直线与抛物线的方程联立，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.23．已知椭圆C 1：23x +y 2＝1的左右顶点是双曲线C 2：22221x y a b-=的顶点，且椭圆C 1的上顶点到双曲线C 2的渐近线的距离为2． （1）求双曲线C 2的方程；（2）若直线与C 1相交于M 1，M 2两点，与C 2相交于Q 1，Q 2两点，且1OQ •2OQ =-5，求|M 1M 2|的取值范围．【答案】（1）23x -y 2＝1；（2）|M 1M 2|∈（0]． 【解析】（1）由椭圆的顶点可得23a =，求出双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得1b =，进而得到双曲线的方程；（2）设出直线l 的方程，联立双曲线方程，消去y ，运用韦达定理和判别式大于0，结合向量的数量积的坐标运算，求得,m k 的关系式，再由直线方程和椭圆的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，即可求得12M M 的取值范围. 【详解】（1）由椭圆C1：23x+y2＝1的左右顶点为（0），0），可得a2＝3，又椭圆C1的上顶点（0，1）到双曲线C2的渐近线bx﹣ay＝0=b＝1，所以双曲线C2的方程为23x-y2＝1；（2）易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx+m，代入23x-y2＝1，消去y并整理得（1﹣3k2）x2﹣6kmx﹣3m2﹣3＝0，要与C2相交于两点，则应有()()2222213036413330kk m k m⎧-≠⎪⎨----⎪⎩＞⇒22213013km k⎧-≠⎨+⎩＞①，设Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2），则有：x1+x22613kmk=-，x1•x2223313mk+=--．又1OQ•2OQ =x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2，又1OQ•2OQ=-5，所以有2113k-[（1+k2）（﹣3m2﹣3）+6k2m2+m2（1﹣3k2）]＝﹣5 整理得m2＝1﹣9k2…②，将y＝kx+m，代入23x+y2＝1，消去y并整理得：（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，要有两交点，则△＝36k2m2﹣4（1+3k2）（3m2﹣3）＞0⇒3k2+1＞m2…③由①②③有：0＜k216＜．设M1（x3，y3）、M2（x4，y4），则有：x3+x42613kmk-=+，x3•x4223313mk-=+．所以|M1M2|=又m2＝1﹣9k2，代入有：|M1M2|=|M1M2|=⇒|M 1M 2|＝，令t ＝k 2，则t ∈（0，19]， 令f （t ）()21(13)t t t +=+⇒f ′（t ）31(13)t t -=+，又t ∈（0，19]， 所以f '（t ）＞0在t ∈（0，19]内恒成立，故函数f （t ）在t ∈（0，19]内单调递增，故f （t ）∈（0，572]，则有|M 1M 2|∈（0]． 【点睛】 本题主要考查双曲线的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.24．如果你留心使会发现，汽车前灯后的反射镜呈抛物线的形状，把抛物线沿它的对称轴旋转一周，就会形成一个抛物面．这种抛物面形状，正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜形状，这种形状使车灯既能够发出明亮的、照射很远的平行光束，又能发出较暗的，照射近距离的光线．我们都知道常规的前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，明亮的光束，是由位于抛物面形状反射镜焦点的光源射出的，灯泡位于抛物面的焦点上，灯泡发出的光经抛物面反射镜反射形成平行光束，再经过配光镜的散射、偏转作用，以达到照亮路面的效果，这样的灯光我们通常称为远光灯：而较暗的光线，不是由反射镜焦点的光源射出的，光线的行进与抛物线的对称轴不平行，光线只能向上和向下照射，所以照射距离并不远，如果把向上射出的光线遮住．车灯就只能发出向下的、射的很近的光线了．请用数学的语言归纳表达远光灯的照明原理，并证明． 【答案】远光灯照明原理：由抛物线的焦点所在的光源发出的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行,证明见解析【解析】设200(,)2y P y p为抛物线上一点，法线与x 轴交于M ，反射光线为PN ，F 为抛物线的焦点，,PF PM 的斜率，根据角的正切值，证明NPM PNx π∠+∠=即可.【详解】远光灯照明原理：由抛物线的焦点所在的光源发出的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行．证明：不妨设抛物线方程为：y 2＝2px （p ＞0），焦点为F ，P 为抛物线上一点，FP 的反射光线为PN ，如图所示：设抛物线过点P 的切线为直线l ，法线交x 轴于M ，由光的反射性质可知∠FPM ＝∠MPN ，由y 2＝2px ，不妨设P 在第一象限，P （202y p ，y 0）， 当y 0＝0时，直线l 与y 轴重合，显然PN 与x 轴重合，当y 0≠0时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：y ＝k （x 202y p-）+y 0， 代入抛物线方程可得：ky 2﹣2py ﹣ky 02+2py 0＝0，令△＝4p 2﹣4k （2py 0﹣ky 02）＝0可得k 0p y =， 故法线PM 的斜率为0y p-． 不妨设P 在第一象限，设∠PMx ＝α，∠PFM ＝β，∠NPM ＝θ，则tanα0y p =-，tanβ00220022y py p y p x ==--， ∴tanθ＝tan ∠FPM ＝tan （α﹣β）()()()0022222220000000232220000022022221y py y y p p y y p y p y p y y py py p py p p p y p y p -----+-====--+-⋅-． ∴tanθ+tanα＝0，故α+θ＝π，∴PN ∥x 轴．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中正确理解题意，合理利用抛物线的几何性质，结合直线的斜率和倾斜角的关系求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.。
山东省青岛市格兰德中学2020年高三化学联考试题含解析
山东省青岛市格兰德中学2020年高三化学联考试题含解析一、单选题（本大题共15个小题，每小题4分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，共60分。
）1. 0.1mol化合物甲在足量的氧气中完全燃烧后生成4.48LCO2（标况下测量），推测甲（）A、CH4B、C2H4C、C3H6 D、C6H6参考答案：B略2. N A表示阿伏加德罗常数，下列说法正确的是A．标准状况下，等体积的水和CO2，含有的氧原子数目为1∶2B．含有N A个阴离子的Na2O2与足量水反应，转移电子数为2N AC．向FeI2溶液中通入适量氯气，当有N A个Fe2+被氧化时，共转移电子数为3N AD．一个NO分子质量为a g，一个NO2分子质量是b g，则N A个O2的质量为（b—a）N A g参考答案：C略3. 已知：2Zn(s)＋O2(g)===2ZnO(s)ΔH＝－701.0 kJ·mol－12Hg(l)＋O2(g)===2HgO(s)ΔH＝－181.6 kJ·mol－1则反应Zn(s)＋ HgO(s)===ZnO(s)＋ Hg(l)的ΔH为 ()A．＋519.4 kJ·mol－1 B．＋259.7 kJ·mol－1C．－259.7 kJ·mol－1 D．－519.4 kJ·mol－1参考答案：C略4. （15分）纳米级Cu2O由于具有优良的催化性能而受到关注，下表为制取Cu2O的四种方法：电解法，反应为2Cu + H2O Cu2O + H2↑。
用肼（N H）还原新制的Cu(OH)（1①2Cu（s）＋O2(g)=Cu2O（s）；△H = -169kJ·mol-1②C（s）＋O2(g)=CO(g)；△H = -110.5kJ·mol-1③ Cu（s）＋O2(g)=CuO（s）；△H = -157kJ·mol-1则方法a发生的热化学方程式是：。
山东省青岛市高二上学期开学检测数学试题(含解析)
（1） ；
（2） ；
（3） ．
19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 .
(1)求角B；
(2)若 ，D为AC的中点，求线段BD长度的取值范围.
20．已知锐角 的终边经过点 ，锐角 的终边经过点 .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
21．已知向量 ， ，其中 ， ．
(1)求 ；
那么甲这种购买方式的均价为 ，
乙这种购买方式的均价为 ，
（当且仅当 时等号成立）
（当且仅当 时等号成立）
故 （当且仅当 时等号成立）
所以用乙这种方式购买更合算.
故答案为：乙
16．①②③④
【解析】
【分析】
根据正弦函数的性质判断①②，构造函数利用导数判断③④；
【详解】
解：对于①，因为函数 的最小正周期为 ，所以函数 的最小正周期为 ，故①正确；
所以
③当 时， 在 与 上单调递增，在 上单调递减，且 ，
所以 .
综上所述， ．
（3）设这四个根从小到大依次为 ， ， ， ．
①当方程 在 上有四个实根时，由 ，且 ，得 ， ，
从而 ，且要求 对 恒成立．
（i）当 时， 在 上单调递减，所以 对 恒成立，
即 适合题意．
（ii）当 时，欲 对 恒成立，只要 ，
14．
【解析】
【详解】
三棱锥 的体积与三棱锥 的体积相等， ，锥体的高为点E到面 的距离等于1，所以体积为 ；
故答案为 .
15．乙
【解析】
【分析】
先分别计算出甲乙两种购物方式的平均价格，再进行比较即可解决.
【详解】
设这个商品的第一次的价格为a，第二次的价格为b，
山东省青岛市格兰德中学2020届高三数学上学期期末检测试题 理(无答案)
山东省青岛市格兰德中学2020届高三数学上学期期末检测试题 理（无答案）2020-1时间：120分钟 总分：150分 第Ⅰ卷 （选择题，共60分） 一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}0432≤--=x x x A ，{|lg(1)}B x y x ==-，则A B =I （ ）A ．[1,1]-B ．[1,1)-C ．(1,1)-D ．(,)-∞+∞2．某企业有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现抽取30人进行 分层抽样，则各职称人数分别为 （ ） A ．5,10,15 B ．3,9,18 C ．3,10,17 D ．5,9,163．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0852=-a a ，则=24S S （ ）A ．5B ．8C ．8-D ．154. 函数()lg ()72f x x g x x ==-与图像交点的横坐标所在区间是 （ ）A ．()21，B ．()32，C ．()43，D ．()54，5. 设ω0>,()23sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πωx x f 的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是 （ ）A ．23 B.43 C ．32 D.36．若直线100ax by (a,b (,))+-=∈+∞平分圆222220x y x y +---=，则12a b +的最小值是 ( ) A ．42 B ．322+ C ．2 D ．57. 已知圆的方程为,08622=--+y x y x 设该圆中过点()5,3的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ， 则四边形ABCD 的面积是 ( )A ．610B ．620C ．630D ．6408．已知函数⎩⎨⎧<≥+=)1(,)1(,ln 1)(3x x x x x f ，则)(x f 的图象为 （ ）A B C D9. 有两条不同的直线n m ,与两个不同的平面βα,，下列命题正确的是 （ ） A ．m //α，n n//β且α//β，则m //n B ．,,//m n m n αβαβ⊥⊥⊥且则C ．m //α，,//n m n βαβ⊥⊥且则D ．,////,m n m n αβαβ⊥⊥且则10．点()y x P ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥032,,1y x x y x 那么点p 到直线0943=--y x 的距离的最小值为（ ）A ．514 B.56C.2D.111．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12,22,AB CC E ==为1CC 的中点,则直线1AC 与平面BED 的距离为 （ ）A ．2B 3C 2D ．112.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，此双曲线的离心率为 （ ）A 2B 3．31+ D ．51+第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题纸横线上） 13. 观察新生婴儿的体重，频率分布直方图如图，则新生婴儿体重在(]2700,3000的频率为椭圆1422=+y x 的个焦点为21,F F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =15. 若非零向量,a b r r ()02=⋅+=b a ，则a r 与b r 的夹角为16. 数列}{n a 满足()()⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=+121,12210,21n n n nn a a a a a ，若761=a ，则4201a 的值为 ． 三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.(本小题12分)已知函数()3sin(f x x ω+)()()0,0,cos -><<+ωπϕϕωϕx 为偶函数，且函数()x f y =图象的两相邻对称轴间的距离为.2π（Ⅰ）求()8f π的值; （Ⅱ）将函数()x f y =的图象向右平移6π个单位后，得到函数()x g y =的图象，求()x g y =的单调递减区间18.(本小题12分) 在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，6A π=，(13)2c b =．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若13CB CA ⋅=+u u u r u u u ra 、b 、c19.(本小题12分) 锥体P ABCD -中，ABCD 是边长为1的菱形，且060DAB ∠=2PA PD ==,2,PB =,E F 分别是,BC PC 的中点， （Ⅰ）证明：DEF AD ⊥（Ⅱ）求二面角P AD B --的余弦值.20.(本小题12分) 已知等差数列{}n a 中，152433,14,a a a a ⋅=+=n S 为数列{}n a 的前n 项和.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）若数列{}n a 的公差为正数,数列{}n b 满足1n nb S =, 求数列{}n b 的前n 项和n T .21.(本小题12分) 设函数()()ax x x a x f 21ln 2++-=（Ⅰ）当0=a 时，求()x f 的极值 （Ⅱ）当0≠a 时，求()x f 的单调区间22.(本小题14分) 已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点的距离的最2400 2700 3000 3300 3600 3900 体重0.001频率/组距大值为3,最小值为1. （Ⅰ）求椭圆C的标准方程;（Ⅱ）若直线:l y kx m=+与椭圆C相交于BA,两点(BA,不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.。
【KS5U解析】山东省青岛市2020届高三二模数学试题 Word版含解析
A.当 时，曲线 为椭圆，其焦距为
B.当 时，曲线 为双曲线，其离心率为
C.存在实数 使得曲线 为焦点在 轴上的双曲线
D.当 时，曲线 为双曲线，其渐近线与圆 相切
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 的取值和椭圆、双曲线的几何性质可确定 的正误；根据方程表示双曲线可构造不等式，确定 的正误；根据直线与圆位置关系的判定可知 的正误.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ， .
（1）若 ，求四边形ABCD的面积；
（2）若 ， ，求 .
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由勾股定理求得 ，由余弦定理求得 ，得 角，计算两个三角形面积后可得四边形面积；
【详解】设 ， ， 表示 轴上点 到 两点的距离之和，
设 ，以 为焦点， 为短轴上一个端点，作椭圆， 轴与此椭圆相切于点 ，当 从 向右移动时， 逐渐增大，
即函数 在区间 上单调递增，A正确；当 与 重合时， 最小，最小值为 ，因此 的值域是 ，C正确；
函数图象关于直线 对称，不是中心对称是，B错误；当 或 时， ，由于 ，
【答案】B
【解析】
【分析】
对函数进行三角恒等变换，根据最小正周期求得函数解析式，即可求出对称中心.
【详解】由题可得
，
最小正周期为 ，即
所以 ，
令 ，
所以其对称中心为 ，结合选项可得，B选项符合题意.
故选：B
【点睛】此题考查根据函数最小正周期求参数的取值，根据函数解析式求对称中心，关键在于熟练掌握三角恒等变换和对称中心的求解方法.
山东省青岛市开发区2020学年高二数学上学期期中试卷含解析
青岛市开发区2021学年度第一学期期中学业水平检测高二数学一、选择题：本大题共12小题，每题 5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
的倾斜角等于A.B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由直线方程可得斜率，从而可得倾斜角..【详解】由直线，可得直线的斜率为即倾斜角的正切值为所以直线的倾斜角为.应选D.【点睛】此题主要考查了直线的一般式与斜率及倾斜角的关系，属于根底题.2.直线与直线互相垂直，那么实数的值为C.A. B.【答案】C【解析】【详解】由直线与直线互相垂直，可得.解得.应选C.【点睛】两直线的一般方程判定垂直时，记住以下结论，可防止讨论：，，．3.命题“对任意的〞，都有的否认为A.对任意的，都有，使得B.不存在C.存在，使得，使得D.存在【答案】D【解析】【分析】由全称命题的否认为特称命题，即可得解.【详解】由全称命题的否认为特称命题，所以命题“对任意的〞，都有的否认为“存在，使得〞.应选D.【点睛】此题主要考查了命题的否认，特别注意，命题中有全称量词时要否认为特称量词，属于根底题.4.圆与圆的公共点个数为【答案】D【解析】【分析】由两圆的圆心距可得两圆的位置关系，从而得解.【详解】圆的圆心为：，半径为1；圆，即的圆心为：，半径为3.圆心距为.所以两圆的位置关系为内切，故只有一个公共点.应选D.【点睛】此题主要考查了两圆的位置关系，属于根底题.5.设，那么“A.充分不必要〞是“直线B.必要不充分C.和直线充要条件D.平行〞的既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】先由两直线平行解得的值，再通过检验是否重合可得，从而得两命题的关系.【详解】假设直线和直线平行，可得：，解得或-2.当时，两直线分别为：3和，满足平行；当时，两直线分别为：和，两直线重合；所以“〞是“直线和直线平行〞的充要条件.应选C.【点睛】此题主要考查了两直线平行求参数值的问题。
两直线的一般方程判定两直线平行的一般方法为：，，那么，需检验两直线是否重合，属于易错题型.6.曲线围成的封闭图形面积为B.【答案】D【解析】【分析】讨论的正负，去绝对值，再作图即可得解.【详解】由曲线，可得或或或.作出曲线如下图：所以封闭图形面积为.应选D.【点睛】此题主要考查了分类讨论思想去绝对值，及直线方程的作图，属于根底题.7.圆内过点的最短弦长为6，那么实数的值为B.1C.2D.【答案】B【解析】【分析】由直线与圆相交，利用垂径定理可得弦长最短时，圆心到直线的距离最大，进而得解.【详解】设圆的圆心为M(1,0).过点做直线与圆相交与B，C两点，设圆心到直线的距离为d，那么，假设，那么，又当时，距离最大，此时有，解得.应选B.【点睛】此题主要考查了直线与圆相交时的弦长公式，属于根底题.8.平面的法向量为，，那么直线与平面的位置关系为〔〕A.B.C.与相交但不垂直D.【答案】A【解析】.此题选择A选项.9.过点的直线与有两个不同的公共点，那么直线的倾斜角的范围是A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先讨论斜率不存在时，再讨论斜率存在时，设出直线方程，由直线与圆有两个不同的交点，可得圆心到直线的距离小于半径，列不等式求解即可.【详解】设直线的倾斜角为.假设直线斜率不存在，此时x=0与圆有交点，.直线斜率存在，设为k，那么过P的直线方程为y=kx+4，kx-y+4=0，假设过点(0,4)的直线l与圆有两个不同公共点，那么圆心到直线的距离，即即，解得或，即且，综上所述, ，应选：B.【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，属于根底题.10.方程不能表示圆，那么实数的值为C.【答案】A【解析】【分析】先假设方程可以表示圆得到的值，从而可得到不能表示圆时a的值.【详解】方程能表示圆，那么，解得，即.所以，假设方程不能表示圆，那么.应选A.【点睛】此题主要考查了圆的一般方程及正难那么反的数学思想.11.直线绕原点逆时针旋转，再向右平移１个单位，所得到的直线为(A.B.C.D.【答案】A【解析】∵直线绕原点逆时针旋转的直线为，从而淘汰〔Ｃ〕，〔D〕又∵将向右平移１个单位得，即应选A；【点评】此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；【突破】熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减〞；12.假设圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，那么该圆的标准方程是()A.B.C.D.【答案】A【解析】考点：圆的标准方程．专题：计算题．分析：要求圆的标准方程，半径，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为〔a，b〕，由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出b的值，把b的值代入求出的a与b的关系式中，求a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．解答：解：设圆心坐标为〔a，b〕〔a＞0，b＞0〕，由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离d==r=1，化简得：|4a-3b|=5①，又圆与x轴相切，可得|b|=r=1，解得b=1或b=-1〔舍去〕，把b=1代入①得：4a-3=5或4a-3=-5，解得a=2或a=-〔舍去〕，∴圆心坐标为〔2，1〕，那么圆的标准方程为：(x-2)2+(y-1)2=1．应选A点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，假设直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．二、填空题：本大题共4个小题，每题5分。
山东省青岛市四区县(胶州、平度、黄岛、城阳)2024-2025学年高二上学期期中学业水平检测数学试
山东省青岛市四区县（胶州、平度、黄岛、城阳）2024-2025学年高二上学期期中学业水平检测数学试题一、单选题1．已知数列{}n a 的通项公式为(1)nn a n =-×，则该数列是（）A ．摆动数列B ．递减数列C ．递增数列D ．常数数列2．已知数列{}n a 的前n 项和为221n S n n =+-，则17a a +=（）A ．18B ．17C ．16D ．153．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币正面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，则A 与B 的关系为（）A ．互斥B ．相互对立C ．相互独立D ．相等4．一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，4，x ，6，7，9，若该组数据的中位数与平均数相同，则该组数据的第60百分位数是（）A ．3B ．4C ．5D ．65．已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，2a 和6a 是方程29100x x -+=的两个根，则127lg lg lg a a a +++= （）A ．52B ．3C ．72D ．46．已知事件A ，B 互斥，A ，B 都不发生的概率为14，且()3()P A P B =，则(P A =（）A ．13B ．23C ．716D ．9167．已知{}n a 为等差数列，若4682πa a a ++=，则()39tan a a +的值为（）AB C ．3-D ．8．若4个数据的平均值为6，方差为5，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为（）A ．73B ．133C ．173D ．6二、多选题9．某地区组织高中创新作文大赛，从5000名考生的参赛成绩中随机选取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则（）A ．a 的值为0.030B ．抽取的考生中成绩在区间[80,90)有15人C ．5000名考生中约有10名成绩优秀D ．估计考生成绩的平均分小于中位数10．已知数列{}n a 满足2123(1)232n n n a a a na +⎡⎤++++=⎢⎥⎣⎦，则（）A ．数列为等差数列B ．212n n n a a a +++<C ．112ini a =<∑D ．数列{}(1)nn a -的前2n 项和为22n n+11．连续两次抛掷同一颗骰子，记第一次向上的点数为p ，第二次向上的点数为q ，设p A q ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则（）A ．1()2P p q >=B ．1(7)6P p q +==C ．事件7p q +=与3A =互斥D ．事件1q =与0A =相互对立三、填空题12．在数列{}n a 中，1111,ln 1n n a a a n +⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，则{}n a 的通项公式为．13．袋中装有形状大小完全相同的5个小球，其中2个白球，2个红球，1个黄球.先后从中不放回的抽取两个小球，若每抽到一个白球、红球、黄球分别得101 -、、分，则两次得分之和为0分的概率为．14．质点每次都在四边形ABCD 的顶点间移动，每次到达对角顶点的概率是它到达每个相邻顶点概率的两倍，若质点的初始位置在A 点，则经过2次移动到达C 点的概率为，经过n 次移动到达C 点的概率为．四、解答题15．记n S 为数列的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)令2n an n b a =⋅，求数列的前n 项和n T .16．已知空气质量指数（AQI ）不超过100为“优良”等级，某市统计了40天的空气质量指数，并将数据整理如下图表：空气质量指数（AQI ）频数（天）频率020x ≤<40.102040x ≤<60.154060x ≤<m t6080x ≤<n0.2580100x ≤<80.20100120x ≤<40.10合计101.00请根据以上信息，解答以下问题：(1)直接写出m ，n ，t 的值，并把频率分布直方图补充完整；(2)估计该市这40天空气质量指数(AQI)的平均数；(3)在选取的样本中，从空气质量指数(AQI)在区间[80)120，的两组指数中按分层抽样抽取6个，再从这6个中抽取2个，求这2个空气质量指数都是“优良”等级的概率.17．已知数列{}n a 的首项11a =，且满足12nn na a a +=+.(1)求证：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列；(2)若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：2n S <.18．甲乙两支足球队进入某次杯赛决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过点球大战决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为p ，平局的概率为2p，其中01p <<；甲队在客场获胜和平局的概率均为2p；点球大战甲队获胜的概率为p ，且不同对阵的结果互不影响．(1)若甲队先主场后客场，且12p =，（ⅰ）求甲队通过点球大战获得冠军的概率；（ⅱ）求甲队获得冠军的概率；(2)除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过点球大战决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为2p ，平局的概率为2p，点球大战甲队获胜的概率为p ．问哪种赛制更有利于甲队夺冠？19．已知数列{}n a 满足()*120,3,N n a a a n n ≤<<<≥∈ ，且对于每个1i j n ≤≤≤，至少有一个i j a a +或j i a a -仍是{}n a 中的项．(1)若23,3n a ==，求1a 和3a ；(2)若24,3n a ==，求43a a -；(3)若{}n a 的最后一项为2024，求数列{}n a 的前n 项和n S .。
2023-2024学年山东省青岛二中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省青岛二中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线y ＝2x +1关于x 轴对称的直线方程为（ ） A ．y =12x −1B ．y =12x +1C ．y ＝﹣2x +1D ．y ＝﹣2x ﹣12．两条平行直线l 1：3x +4y ﹣5＝0与l 2：6x +8y ﹣5＝0之间的距离是（ ） A ．0 B ．12C ．1D ．323．若椭圆x 23+y 24=1的长轴端点与双曲线y 22−x 2m=1的焦点重合，则m 的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．﹣2D ．24．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√5，C 的一条渐近线与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于A ，B 两点，则|AB |＝（ ） A ．√55B ．2√55C ．3√55D ．4√555．如果直线y =−√33x +m 曲线y =√1−x 2有两个不同的公共点，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．[1，2√33）B ．[√33，2√33）C ．（−√33，2√33] D ．（−2√33，2√33） 6．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （3，0），过点F 且斜率为12的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（ ） A ．x 245+y 236=1 B ．x 236+y 227=1C ．x 227+y 218=1D ．x 218+y 29=17．已知直线l ：y =kx +18与抛物线y ＝2x 2相交于A ，B 两点，若|AF |＝1，则|AB |＝（ ） A ．2 B ．87C ．98D ．328．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上的动点，I 和G 分别是△PF 1F 2的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．√33C ．√32D ．√63二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知方程C ：x 216+k −y 29−k =1(k ∈R)，则下列说法中正确的有（ ） A ．方程C 可表示圆B ．当k ＞9时，方程C 表示焦点在x 轴上的椭圆C ．当﹣16＜k ＜9时，方程C 表示焦点在x 轴上的双曲线D ．当方程C 表示椭圆或双曲线时，焦距均为1010．已知圆C 1：x 2+y 2＝9与圆C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16，下列说法正确的是（ ） A ．C 1与C 2的公切线恰有4条B ．C 1与C 2相交弦的方程为3x +4y ﹣9＝0 C ．C 1与C 2相交弦的弦长为245D ．若P ，Q 分别是圆C 1，C 2上的动点，则|PQ |max ＝1211．已知双曲线x 2−y 22=1的左右顶点为A 1，A 2，左右焦点为F 1，F 2，直线l 与双曲线的左右两支分别交于P ，Q 两点，则（ ）A ．若∠F 1PF 2=π3，则△PF 1F 2的面积为2√3B ．直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于M ，N 两点，则|PM |＝|NQ |C ．若P A 1的斜率的范围为[﹣8，﹣4]，则P A 2的斜率的范围为[−12，−14] D ．存在直线l 的方程为2x ﹣y ﹣1＝0，使得弦PQ 的中点坐标为（1，1）12．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，与y 轴交于点E ，过点P 作抛物线的切线与准线交于点M ，连接QM ，若PQ →=3QE →，则（ ） A ．k MP •k MQ ＝﹣1 B ．PF →=2FQ →C ．∠MFQ 为钝角D ．S △POQ ：S △PMQ ＝4：9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．抛物线y ＝﹣6x 2的准线方程为 ．14．若直线y ＝kx +1与圆x 2+y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ =π2（其中O 为原点），则k 的值为 ． 15．一动圆C 与圆C 1：x 2+y 2+4y +3＝0外切，同时与圆C 2：x 2+y 2﹣4y ﹣77＝0内切，则动圆C 圆心的轨迹方程为 ． 16．如图，过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）引圆x 2+y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，若|MO |﹣|MT |＝2a ﹣c ，则双曲线的离心率为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点的坐标为A （2，1），B （4，7），C （﹣4，3），求： （1）求△ABC 的面积；（2）求△ABC 的外接圆的标准方程．18．（12分）已知直线x ﹣my ﹣4＝0和圆O ：x 2+y 2＝5，且直线和圆交于A ，B 两点． （1）当m 为何值时，截得的弦长为4； （2）若OA →⋅QB →≤0，求m 的取值范围．19．（12分）已知O 为坐标原点，A （1，0），B （﹣1，0），直线AM ，BM 的斜率之积为4，记动点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）直线l 经过点（0，﹣2），与E 交于P ，Q 两点，线段PQ 中点D 在第一象限，且纵坐标为2，求|PQ |．20．（12分）已知动圆C 过定点D （2，0），且截y 轴所得弦长为4． （1）求动圆圆心的轨迹T 的方程；（2）过点T （0，1）的直线L 与轨迹T 交于A ，B 两点，若F 为轨迹T 的焦点，且满足k F A +k FB ＝1，求|TA |•|TB |的值．21．（12分）椭圆C 与双曲线2x 2﹣2y 2＝1有相同的焦点，且过(1，32)． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，当动点M 在定直线x ＝4上运动时，直线AM ，BM 分别交椭圆于两点P ，Q ．（i ）证明：点B 在以PQ 为直径的圆内； （ii ）求四边形APBQ 面积的最大值．22．（12分）已知点（2，3）在双曲线C ：x 2a 2−y 2a 2+2=1上． （1）双曲线上动点Q 处的切线交C 的两条渐近线于A ，B 两点，其中O 为坐标原点，求证：△AOB 的面积S 是定值；（2）已知点P(12，1)，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上取异于点M 、N 的点H ，满足|PM||PN|=|MH||HN|，证明：点H 恒在一条定直线上．2023-2024学年山东省青岛二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线y ＝2x +1关于x 轴对称的直线方程为（ ） A ．y =12x −1B ．y =12x +1C ．y ＝﹣2x +1D ．y ＝﹣2x ﹣1解：∵关于x 轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴直线y ＝2x +1关于x 轴对称的直线的函数表达式是﹣y ＝2x +1，即y ＝﹣2x ﹣1． 故选：D ．2．两条平行直线l 1：3x +4y ﹣5＝0与l 2：6x +8y ﹣5＝0之间的距离是（ ） A ．0B ．12C ．1D ．32解：3x +4y ﹣5＝0，即6x +8y ﹣10＝0，故这两平行线l 1：3x +4y ﹣5＝0与l 2：6x +8y ﹣5＝0之间的距离为√62+82=12．故选：B ． 3．若椭圆x 23+y 24=1的长轴端点与双曲线y 22−x 2m=1的焦点重合，则m 的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．﹣2D ．2解：椭圆x 23+y 24=1的长轴端点为（0，2），（0，﹣2），所以双曲线的焦点为（0，2），（0，﹣2）， 所以2+m ＝4，所以m ＝2． 故选：D ． 4．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√5，C 的一条渐近线与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于A ，B 两点，则|AB |＝（ ） A ．√55B ．2√55C ．3√55D ．4√55解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√5，可得c =√5a ，所以b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝±2x ，一条渐近线与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于A ，B 两点，圆的圆心（2，3），半径为1，圆的圆心到直线y ＝2x 的距离为：√1+4=√5，所以|AB |＝2√1−15=4√55． 故选：D ． 5．如果直线y =−√33x +m 曲线y =√1−x 2有两个不同的公共点，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．[1，2√33） B ．[√33，2√33）C ．（−√33，2√33]D ．（−2√33，2√33）解：由y =√1−x 2可得：x 2+y 2＝1，（y ≥0），则该曲线为以原点为圆心，以1为半径的x 轴上方的半圆， 直线和曲线的图象如图所示： 当直线与圆相切于点C 1+(−√33)=1，解得m =2√33， 当直线与半圆相交于AB 两点时，把A （1，0）代入直线方程可得：m =√33， 则由数形结合可得直线与曲线有两个不同的交点时，m 的取值范围为：[√33，2√33）， 故选：B ．6．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （3，0），过点F 且斜率为12的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（ ） A ．x 245+y 236=1 B ．x 236+y 227=1C ．x 227+y 218=1D ．x 218+y 29=1解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则代入椭圆方程，两式相减可得(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0，∵线段AB 的中点坐标为（1，﹣1），∴y 1−y 2x 1−x 2=b 2a 2，∵直线的斜率为12， ∴b 2a 2=12，∵右焦点为F （3，0）， ∴a 2﹣b 2＝9， ∴a 2＝18，b 2＝9， ∴椭圆方程为：x 218+y 29=1．故选：D ．7．已知直线l ：y =kx +18与抛物线y ＝2x 2相交于A ，B 两点，若|AF |＝1，则|AB |＝（ ） A ．2B ．87C ．98D ．32解：由抛物线y ＝2x 2方程可知p =14， 因为直线过抛物线的焦点F ， 当k ＝0时，直线方程为y =18， 则|AF|=p =14不满足题意， 即k ≠0， 联立{y =kx +18y =2x2，消x 可得：2y 2−(12+k 2)y +132=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=1+2k 24，y 1y 2=164，由抛物线的定义可得：1|AF|+1|BF|=1y 1+18+1y 2+18=y 1+y 2+14y 1y 2+18(y 1+y 2)+164=1+2k 24+1418×1+2k 24+132=8，因为|AF |＝1， 所以|BF|=17，所以|AB|=|AF|+|BF|=1+17=87． 故选：B ．8．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上的动点，I 和G 分别是△PF 1F 2的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．√33C ．√32 D ．√63解：如图，设P （m ，n ）（m ＞0，n ＞0），则G （m 3，n3），因为IG 与x 轴平行，所以I 的纵坐标为n3，即△PF 1F 2的内切圆的半径r =n 3，则S △PF 1F 2=12⋅2c ⋅n =12(2a +2c)⋅n3， 所以3c ＝a +c ， ∴e =c a =12， 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知方程C ：x 216+k −y 29−k=1(k ∈R)，则下列说法中正确的有（ ）A ．方程C 可表示圆B ．当k ＞9时，方程C 表示焦点在x 轴上的椭圆C ．当﹣16＜k ＜9时，方程C 表示焦点在x 轴上的双曲线D ．当方程C 表示椭圆或双曲线时，焦距均为10 解：方程C ：x 216+k −y 29−k=1(k ∈R)， 对于A ，当方程C 可表示圆时，16+k ＝k ﹣9＞0，无解，故A 错误； 对于B ，当k ＞9时，x 216+k−y 29−k=x 216+k+y 2k−9=1，16+k ＞k ﹣9，表示焦点在x 轴上的椭圆，故B正确；对于C ，当﹣16＜k ＜9时.x 216+k−y 29−k=1，16+k ＞0，9﹣k ＞0，表示焦点在x 轴上的双曲线，故C 正确；对于D ，当方程C 表示双曲线时，c 2＝16+k +9﹣k ＝25；当方程C 表示椭圆时，c 2＝16+k ﹣（k ﹣9）＝25，所以焦距均为10，故D 正确． 故选：BCD ．10．已知圆C 1：x 2+y 2＝9与圆C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16，下列说法正确的是（ ） A ．C 1与C 2的公切线恰有4条B ．C 1与C 2相交弦的方程为3x +4y ﹣9＝0 C ．C 1与C 2相交弦的弦长为245D ．若P ，Q 分别是圆C 1，C 2上的动点，则|PQ |max ＝12解：由已知得圆C 1的圆心C 1（0，0），半径r 1＝3，圆C 2的圆心C 2（3，4），半径r 2＝4，|C 1C 2|=√(3−0)2+(4−0)2=5，r 2−r 1＜d ＜r 1+r 2，故两圆相交，所以C 1与C 2的公切线恰有2条，故A 错误； 两圆方程相减可得C 1与C 2相交弦的方程为3x +4y ﹣9＝0， 所以C 1到相交弦的距离为95，故相交弦的弦长为2√9−(95)2=245，故B ，C 正确；．若P ，Q 分别是圆C 1，C 2上的动点，则|PQ |max ＝|C 1C 2|+r 1+r 2＝12，故D 正确． 故选：BCD ．11．已知双曲线x 2−y 22=1的左右顶点为A 1，A 2，左右焦点为F 1，F 2，直线l 与双曲线的左右两支分别交于P ，Q 两点，则（ ）A ．若∠F 1PF 2=π3，则△PF 1F 2的面积为2√3B ．直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于M ，N 两点，则|PM |＝|NQ |C ．若P A 1的斜率的范围为[﹣8，﹣4]，则P A 2的斜率的范围为[−12，−14] D ．存在直线l 的方程为2x ﹣y ﹣1＝0，使得弦PQ 的中点坐标为（1，1）解：双曲线x 2−y 22=1的左右顶点为A 1，A 2，左右焦点为F 1，F 2，直线l 与双曲线的左右两支分别交于P ，Q 两点，在双曲线x 2−y 22=1中，a =1，b =√2，c =√3，A 1(−1，0)，A 2(1，0)，F 1(−√3，0)，F 2(√3，0)． 对于A ，易得△PF 1F 2为双曲线的焦点三角形，所以S △PF 1F 2=b2tan θ2=2√3，故A 正确； 对于B ，不妨设x 2−y 22=λ，当λ＝1时表示双曲线，当λ＝0时表示该双曲线的两条渐近线．设直线l ：y ＝kx +m ，与双曲线方程联立后可得（k 2﹣2）x 2+2kmx +m 2+2λ＝0，应满足k 2﹣2≠0且Δ＞0．由韦达定理可知x 1+x 2=2km 2−k2，y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2k 2m 2−k2+2m ，都与λ无关．所以线段PQ 的中点与线段MN 的中点重合，不妨设为T ．由|PT |＝|QT |，|NT |＝|MT |可知|PM |＝|QN |，故B 正确； 对于C ，由于P 在双曲线上，A 1，A 2分别为双曲线的左右顶点，由性质可得k PA 1⋅k PA 2=b2a2=2，所以若P A 1的斜率范围为[﹣8，﹣4]，则P A 2的斜率的范围为[−12，−14]，C 正确；对于D ，将直线方程与双曲线联立，可得Δ＜0，故直线与双曲线无交点，所以不存在中点，D 错误． 故选：ABC ．12．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，与y 轴交于点E ，过点P 作抛物线的切线与准线交于点M ，连接QM ，若PQ →=3QE →，则（ ） A ．k MP •k MQ ＝﹣1 B ．PF →=2FQ →C ．∠MFQ 为钝角D ．S △POQ ：S △PMQ ＝4：9解：由题可知p ＝2， 因为PQ →=3QE →， 所以有|EP |＝4|EQ |，过P ，Q 作y 轴的垂线分别交于P '，Q '， 根据三角形相似可得|PP '|＝4|QQ '|， 即x P ＝4x Q ，又因为x P x Q =p 24=1， 得x P =2，x Q =12，所以P(2，2√2)，Q(12，−√2)， 则直线l ：y =2√2x −2√2．对于A ，由切线方程yy 0＝p （x +x 0）可得，过点P(2，2√2)的切线方程为x −√2y +2=0， 与准线相交于M(−1，√22)，易得k MP •k MQ ＝﹣1， 即A 正确；对于B ，由x P =2，x Q =12可得|PF|=3，|QF|=32， 则PF →=2FQ →， 即B 正确；对于C ，因为FM →=(−2，√22)，FQ →=(−12，−√2)，FM →⋅FQ →=0， 所以∠MFQ 为直角， 即C 错误；对于D ，因为△POQ 与△PMQ 同底， 则面积之比即为高之比，又点O 到PQ 的距离d 1=2√2√8+1=2√23，点M 到PQ 的距离d 2=|−2√2−√22−2√2|√8+1=3√22，所以S △POQS △PMQ=d 1d 2=2√233√22=49，即D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．抛物线y ＝﹣6x 2的准线方程为 y =124． 解：根据题意，抛物线y ＝﹣6x 2的准线方程为x 2=−16y ， 其开口向下，且p =112， 则其准线方程为：y =124；故答案为：y =124． 14．若直线y ＝kx +1与圆x 2+y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ =π2（其中O 为原点），则k 的值为 ±1 ．解：因为直线y ＝kx +1与圆x 2+y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ =π2（其中O 为原点）， 可得∠OPQ =π4，所以圆心到直线y ＝kx +1的距离为d ＝OP •sin =π4=√22， 又圆心O （0，0）到直线y ＝kx +1的距离d =|0−0+1|√k +1，所以√k 2+12=√22⇒k ＝±1． 故答案为：±1．15．一动圆C 与圆C 1：x 2+y 2+4y +3＝0外切，同时与圆C 2：x 2+y 2﹣4y ﹣77＝0内切，则动圆C 圆心的轨迹方程为y 225+x 221=1 ．解：圆C 1：x 2+y 2+4y +3＝0的圆心坐标为C 1（0，﹣2），半径为r 1＝1， 圆C 2：x 2+y 2﹣4y ﹣77＝0的圆心坐标为C 2（0，2），半径为r 2＝9， 设动圆C 的圆心坐标为C （x ，y ），半径为r ， 则|CC 1|＝r +1，|CC 2|＝9﹣r ， 则|CC 1|+|CC 2|＝r +1+9﹣r ＝10，则点C 的轨迹是以（0，﹣2），（0，2）为焦点，长轴长为10的椭圆， 设其方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)，则2a ＝10，c ＝2，可得a 2＝25，b 2＝a 2﹣c 2＝25﹣4＝21， 则动圆C 圆心的轨迹方程为y 225+x 221=1．故答案为：y 225+x 221=1． 16．如图，过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）引圆x 2+y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，若|MO |﹣|MT |＝2a ﹣c ，则双曲线的离心率为53．解：设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 2（c ，0）（c ＞0），连接PF 2，OM ．则△PF 2F 中，|FM |＝|MP |，|FO |＝|OF 2|， 则|MO|=12|PF 2|，由直线FT 与圆x 2+y 2＝a 2相切，可得|FT|=√|OF|2−|OT|2=√c 2−a 2=b ． 又双曲线x 2a 2−y 2b 2=1中，|PF |﹣|PF 2|＝2a ，则|MO|−|MT|=12|PF 2|−(12|PF|−|FT|)=12(|PF 2|−|PF|)+|FT|=b −a ， 又|MO |﹣|MT |＝2a ﹣c ， 则2a ﹣c ＝b ﹣a ， 整理得3a ﹣c ＝b ，两边平方整理得5a 2﹣3ac ＝0， 则双曲线的离心率e =ca =53． 故答案为：53．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点的坐标为A （2，1），B （4，7），C （﹣4，3），求： （1）求△ABC 的面积；（2）求△ABC 的外接圆的标准方程． 解：（1）A （2，1），B （4，7），C （﹣4，3）， AC =√[2−(−4)]2+(1−3)2=2√10， AB =√(2−4)2+(1−7)2=2√10， BC =√[4−(−4)]2+(7−3)2=4√5，△ABC 为等腰三角形，可得BC 中点D （0，5），所以ℎ=|AD|=2√5，S △ABC =12ℎ×|BC|=20，故△ABC 的面积为20； （2）A （2，1），B （4，7），C （﹣4，3），则k AB =62=3，k AC =2−6=−13， 因为k AB •k AC ＝﹣1，所以AB ⊥AC ，所以外接圆圆心O 恰好为BC 中点D （0，5），r =√22+42=2√5， 所以三角形外接圆标准方程为x 2+（y ﹣5）2＝20．18．（12分）已知直线x ﹣my ﹣4＝0和圆O ：x 2+y 2＝5，且直线和圆交于A ，B 两点． （1）当m 为何值时，截得的弦长为4； （2）若OA →⋅QB →≤0，求m 的取值范围．解：（1）由圆O ：x 2+y 2＝5，可得圆心O （0，0），半径r =√5， 设直线与圆心距离为d ， 因为|AB |＝4，所以d =√r 2−(|AB|2)2=√5−4=1， 又圆心到直线的距离为d =√1+m 2，所以√1+m 2=1，解得m ＝±√15；（2）因为OA →⋅OB →≤0，所以∠AOB ≥π2，有r ≥√2d ，即√5≥42√1+m 2，解得m ∈(−∞，−3√155]∪[3√155，+∞)， 所以m 的取值范围为（﹣∞，−3√155]∪[3√155，+∞）． 19．（12分）已知O 为坐标原点，A （1，0），B （﹣1，0），直线AM ，BM 的斜率之积为4，记动点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）直线l 经过点（0，﹣2），与E 交于P ，Q 两点，线段PQ 中点D 在第一象限，且纵坐标为2，求|PQ |．解：（1）不妨设点M 的坐标为（x ，y ）， 因为k AM =y x−1，k BM =yx+1， 所以k AM ⋅k BM=y 2x 2−1=4， 整理得x 2−y 24=1，所以E 的方程为x 2−y 24=1(x ≠±1)；（2）当直线PQ 的斜率不存在时，显然不符合题意；不妨设直线PQ 方程为y ＝kx ﹣2，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 联立{y =kx −2x 2−y 24=1，消去y 并整理得（4﹣k 2）x 2+4kx ﹣8＝0，此时Δ＝16k 2+32（4﹣k 2）＞0且4﹣k 2≠0， 解得k 2＜8且k 2≠4， 由韦达定理得x 1+x 2=4k k 2−4，x 1x 2=8k 2−4，因为线段PQ 中点D 在第一象限，且纵坐标为4， 所以x 1+x 2＞0，y 1+y 2=k(x 1+x 2)−4=16k 2−4=8，解得k =√6或k =−√6（舍去）， 所以直线PQ 为y =√6x −2， 此时x 1+x 2=2√6，x 1x 2＝4，则|PQ|=√1+k 2⋅|x 1−x 2|=√7⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√14． 20．（12分）已知动圆C 过定点D （2，0），且截y 轴所得弦长为4． （1）求动圆圆心的轨迹T 的方程；（2）过点T （0，1）的直线L 与轨迹T 交于A ，B 两点，若F 为轨迹T 的焦点，且满足k F A +k FB ＝1，求|TA |•|TB |的值．解：（1）不妨设动圆圆心O 1（x ，y ），圆O 1截y 轴所得弦为MN ， 此时|O 1D |＝|O 1M |， 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ， 此时点H 为MN 的中点， 所以√x 2+22=√(x −2)2+y 2， 整理得y 2＝4x （x ≠0）；当O 1在y 轴上时，动圆O 1过定点D （2，0），且在y 轴上截得弦MN 的长为4， 此时O 1与原点O 重合，即点（0，0）也满足方程y 2＝4x ，所以动圆圆心O 1的轨迹T 的方程为y 2＝4x ； （2）易知直线斜率存在， 不妨设直线l 的方程为y ＝kx +1，联立{y =kx +1y 2=4x ，消去y 并整理得k 2x 2+（2k ﹣4）x +1＝0，此时Δ＝（2k ﹣4）2﹣4k 2＝16﹣16k ＞0， 解得k ＜1，由韦达定理得{x 1+x 2=4−2kk 2x 1x 2=1k 2， 因为F （1，0），此时k FA +k FB =y 1x 1−1+y2x 2−1=y 1(x 2−1)+y 2(x 1−1)(x 1−1)(x 2−1)=(kx 1+1)(x 2−1)+(kx 2+1)(x 1−1)(x 1−1)(x 2−1)=2kx 1x 2+(1−k)(x 1+x 2)−2x 1x 2−(x 1+x 2)+1=2k⋅1k2+(k−1)(2k−4)k2−21k 2−4−2k k2+1=4−4k k 2+2k−3=1，解得k ＝﹣7或k ＝1， 因为k ＜1， 所以k ＝﹣7． 故|TA||TB|=√1+k 2|x 1−0|×√1+k 2|x 2−0|=(1+k 2)|x 1x 2|=1+k 2k2=5049． 21．（12分）椭圆C 与双曲线2x 2﹣2y 2＝1有相同的焦点，且过(1，32)． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，当动点M 在定直线x ＝4上运动时，直线AM ，BM 分别交椭圆于两点P ，Q ．（i ）证明：点B 在以PQ 为直径的圆内； （ii ）求四边形APBQ 面积的最大值．解：（1）因为椭圆C 与双曲线2x 2﹣2y 2＝1有相同的焦点， 所以椭圆C 的焦点为（±1，0）， 不妨设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），因为椭圆C 过(1，32)， 所以12a 2+(32)2b 2=1，①又a 2＝b 2+1，②联立①②，解得a 2＝4，b 2＝3， 则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（2）（i ）证明：易知A （﹣2，0），B （2，0）， 不妨设M （4，t ），t ＞0，P （x p ，y p ），Q （x Q ，y Q ）， 易知直线AM ，BM 斜率均存在，且k AM =t 6，k BM =t 2，则直线AM 的方程为y =t6(x +2)，BM 的方程为y =t2(x −2)， 联立{y =t6(x +2)x 24+y23=1，消去y 并整理得（27+t 2）x 2+4t 2x +4t 2﹣108＝0， 由韦达定理得﹣2x p =4t 2−10827+t 2，解得x p =54−2t 227+t 2， 则y p =t 6(x p +2)=18t27+t， 联立{y =t2(x −2)x 24+y23=1，消去y 并整理得（3+t 2）x 2﹣4t 2x +4t 2﹣12＝0， 由韦达定理得2x Q =4t 2−123+t 2， 解得x Q =2t 2−63+t 2，则y Q =t 2（x Q ﹣2）=−6t3+t 2， 所以BP →=(−4t 227+t 2，18t 27+t 2)，BQ →=(−123+t 2，−6t3+t 2)，则BP →•BQ →=−60t 2(27+t 2)(3+t 2)＜0，所以∠PBQ 为钝角，则点B 在以PQ 为直径的圆内；（ii ）易知S 四边形APBQ =12×|AB |×|y P ﹣y Q |=48t(9+t 2)(9+t 2)+12t 2=489+t 2t +12t9+t2，不妨设λ=9+t 2t ，t ＞0，此时λ=9+t 2t =9t +t ≥2√9t ⋅t =6，当且仅当t ＝3时，等号成立，易知函数y =λ+12λ在[6，+∞）上单调递增， 所以y =λ+12λ≥6+2＝8， 此时S 四边形APBQ =48λ+12λ≤488=6， 由对称性可知，当点M 的坐标为（4，3）或（4，﹣3）时，四边形APBQ 面积最大值，最大值为6． 22．（12分）已知点（2，3）在双曲线C ：x 2a 2−y 2a 2+2=1上． （1）双曲线上动点Q 处的切线交C 的两条渐近线于A ，B 两点，其中O 为坐标原点，求证：△AOB 的面积S 是定值；（2）已知点P(12，1)，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上取异于点M 、N 的点H ，满足|PM||PN|=|MH||HN|，证明：点H 恒在一条定直线上．解：（1）证明：因为点（2，3）在双曲线C ：x 2a 2−y 2a 2+2=1上，所以4a 2−9a 2+2=1，解得a 2＝1， 则双曲线方程为x 2−y 23=1， 当切线方程的斜率存在时，不妨设过点（x 0，y 0）的切线方程为y ﹣y 0＝k （x ﹣x 0），联立{y −y 0=k(x −x 0)x 2a2−y 2b2=1，消去y 并整理得(1a 2−k 2b 2)x 2+(2k 2x 0b 2−2k 2y 0b 2)x +2kx 0y 0−k 2x 02−y 02−b 2b 2=0， 因为Δ=(2k 2x 0b2−2k 2y 0b 2)2−4(1a 2−k 2b 2)⋅2kx 0y 0−k 2x 02−y 02−b 2b2=0， 即(y 0−kx 0)2=a 2k 2−b 2， 又k =y−y0x−x 0，可得(y 0−y−y 0x−x 0⋅x 0)2=a 2(y−y0x−x 0)2−b 2，所以(xy 0−x 0y)2=a 2(y −y 0)2−b 2(x −x 0)2，对等式两边同除以a 2b 2，得(xy 0−x 0y)2a 2b 2=(y−y 0)2b 2−(x−x 0)2a 2，即x 2y 02−2xy 0x 0y+x 02y 2a 2b 2=y 2−2y 0y+y 02b 2−x 2−2x 0x+x 02a 2，因为x 02a 2−y 02b 2=1，x 2a 2−y 2b 2=1，所以x 2y 02−2xy 0x 0y+x 02y 2a 2b 2=−2−2y 0y b 2+2x 0x a 2，联立{ x 02a 2−y 02b 2=1x 2a 2−y 2b 2=1，两式相乘得x 02x 2a 4−x 02y 2a 2b 2−x 2y 02a 2b 2+y 02y 2b 4=1，所以x 02y 2a 2b 2+x 2y 02a 2b 2=−1+x 02x 2a 4+y 02y 2b 4，可得−1+x 02x 2a 4+y 02y 2b 4+−2xy 0x 0y a 2b 2=−2−2y 0y b2+2x 0x a 2， 即−1+(x 0x a 2−y 0y b 2)2=−2+2(x 0x a 2−y 0yb 2)， 不妨令t =x 0x a 2−y 0y b2， 此时﹣1+t 2＝﹣2+2t ， 即（t ﹣1）2＝0， 解得t ＝1， 所以x 0x a 2−y 0y b 2=1，当切线斜率不存在时，此时切点为（±a ，0），切线方程为x ＝±a ，满足x 0x a 2−y 0y b 2=1，综上，x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)上一点（x 0，y 0）的切线方程为x 0x a 2−y 0y b 2=1，不妨设Q （m ，n ）， 此时x 2−y 23=1过点Q （m ，n ）的切线方程为mx −ny 3=1， 所以mx −ny3=1为x 2−y 23=1过点Q （m ，n ）的切线方程， 易知双曲线的两条渐近线方程为y =±√3x ， 联立{mx −ny3=1y =√3x，解得{x 1=3m−3ny 1=3√33m−√3n ，联立{mx −ny3=1y =−√3x ， 解得{x 2=33m+3ny 2=−3√33m+√3n，所以直线AB 方程为y−y 1x−x 1=y 2−y 1x 2−x 1，即（y ﹣y 1）（x 2﹣x 1）﹣（y 2﹣y 1）（x ﹣x 1）＝0， 此时点O 到直线AB 的距离为121211√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)=1221√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)，又|AB|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)， 则△AOB 的面积S =21221√(x2−x 1)2+(y 2−y 1)√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)=12|x 1y 2−x 2y 1|=123m−3n √33m+3n 3m+3n √33m−3n=12|−18√39m 2−3n 2|=12|−18√39|=√3，为定值；（2）证明：若直线l 斜率不存在，此时直线l 与双曲线右支无交点，不合题意，不满足条件， 所以直线l 斜率存在，不妨设直线l 方程y −1=k(x −12)，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{y −1=k(x −12)x 2−y 23=1，消去y 并整理得(3−k 2)x 2+(k 2−2k)x −(14k 2−k +4)=0，易知{Δ＞03−k 2≠0k 2−2kk 2−3＞014k 2−k+4k 2−3＞0，因为14k 2−k +4=14(k −2)2+3＞0恒成立，所以k 2﹣3＞0， 即k 2﹣2k ＞0，解得−2−2√133＜k ＜−3，第21页（共21页）由韦达定理得x 1+x 2=k 2−2k k 2−3，x 1x 2=14k 2−k+4k 2−3， 不妨设H （x H ，y H ）， 因为|PM||PN|=|MH||HN|，所以x 1−12x 2−12=x H −x 1x 2−x H， 即2x 1x 2−(x H +12)(x 1+x 2)+x H =0，由x 1+x 2=k 2−2kk 2−3，x 1x 2=14k 2−k+4k 2−3， 可得x H =8−k 3−2k ， 当x H =8−k 3−2k 时， 解得y H =19−4k 2(3−2k)， 则x H −y H =8−k 3−2k −19−4k 2(3−2k)=−12， 故点H 恒在一条定直线x −y =−12上．。
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山东省青岛市格兰德中学2020学年高二数学上学期学段评估测试试题
（中日班）（无答案）
注意：本试卷分测试卷和答题卷两部分，共2页。
满分100分，考试用时90分钟。
考试结束后，
只交答题卷，测试卷请自主保存。
请用0.5毫米签字笔做答。
1.Split
213(21)(3)x x x -+- into partial fractions
2.Give that 32()29103f x x x x =+++
a Show that -3 is a root of f(x)
b Express
10()
f x as partial fractions.
3.A curve is given parametrically by the equtions 2x t =,4y t =.The line x+y+4=0 meets the curve at A .Find the coordinates of A.
4.Find the Cartesian equation of the line with parametric equations 231t x t -=
+,321t y t
+=+,1t ≠-
5.Find the binomial expansions of a 1
3(1)x -, b 2
1(14)x +,up to and including the term in 3
x .
State the range of values of x for which the expansions are valid.
6.Given that the area of a circle A 2cm is related to its radius r cm by the formula 2A r π=,and that the rate of change of its radius in cm 1s - is given by 5dA dt
=,find dA dt
when r=3.
7.The curve C has parametric equations 3x t =,2
y t =,t>0.
Find an equation of the tangent to C at A(1,1).
8.Find ,to 1 decimal place ,the acute angle between the lines with vector equations
r =(2i+j+k)+t(3i-8j-k)
and r =(7i+4j+k)+s(2i+2j+3k)
9.The position vectors of the points A and B relative to an origin O are 5i+4j+k, -i+j-2k,respectively .Find the position vector of the point P which lies on AB produced such that
AP=2BP。