水平宽-铅垂高
三角形水平宽铅垂高面积公式
三角形水平宽铅垂高面积公式在我们学习数学的奇妙旅程中，三角形这个家伙可是个常客。
今天咱们就来聊聊三角形的水平宽铅垂高面积公式，这可是个相当有趣又实用的小知识！先来说说啥是三角形的水平宽和铅垂高。
想象一下，有一个三角形稳稳地躺在平面直角坐标系里。
水平宽呢，就是三角形底边在 x 轴上的投影长度；铅垂高呢，则是从三角形的顶点向 x 轴作垂线，垂线的长度就是铅垂高。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙瞪着大眼睛一脸懵地问我：“老师，这水平宽和铅垂高怎么就跟面积有关系啦？”我笑着告诉他：“别着急，咱们一起来探究探究。
”咱们来看个具体的例子。
假设有个三角形，三个顶点的坐标分别是A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 1)。
首先，咱们来找出底边，假设底边是线段BC，那它在 x 轴上的投影长度就是水平宽。
B 点和 C 点的横坐标分别是 3 和 5，所以水平宽就是 5 - 3 = 2。
接下来找铅垂高。
咱们从 A 点向 x 轴作垂线，与 x 轴交点设为 D，那 AD 的长度就是铅垂高。
A 点的纵坐标是 2，所以铅垂高就是 2。
这时候，根据三角形水平宽铅垂高面积公式，面积就等于水平宽乘以铅垂高的一半。
也就是 2×2÷2 = 2。
再比如，还有个三角形，顶点坐标是 E( -1, 3)，F(2, 5)，G(4, -1)。
同样的方法，先找底边 FG 在 x 轴上的投影，也就是水平宽，4 - 2 = 2。
再找顶点 E 到 x 轴的垂线长度，也就是铅垂高，是 3。
那这个三角形的面积就是 2×3÷2 = 3。
同学们在做这类题的时候，可一定要仔细看准坐标，别把数值弄混了。
有个同学就因为粗心，把横坐标看成纵坐标，算出的面积差了十万八千里，自己还纳闷怎么不对呢！其实啊，这个公式的妙处就在于，它能让我们在面对一些复杂的三角形时，不用费力地去分割或者转化，就能轻松算出面积。
在实际生活中，这个公式也有大用处。
水平宽铅垂高的公式
《水平宽×铅垂高的公式》是一个早已被广泛使用的数学公式，通常用于计算几何图形的面积。
该公式是：面积=水平宽×铅垂高。
水平宽是指平面上的某一物体的宽度，而铅垂高是指从水平宽上端到该物体下端的垂直距离。
这两个参数一般可以根据实际测量结果确定，也可以从图表中确定。
该公式用于计算多边形、梯形、椭圆形等几何图形的面积，也可用于计算曲线下的面积。
例如，在计算椭圆形面积时，需要将椭圆形分割成多边形，然后再利用该公式计算面积。
《水平宽×铅垂高的公式》在计算几何图形面积时显得非常有用，它也是许多学科研究、建筑设计和其他实际应用中常用的一种数学计算方法。
水平宽铅垂高求三角形面积完整版
解：（1）将B、C两点的坐标代入得
解得： 所以二次函数的表达式为：
（2）存在点P，使四边形POP C为菱形．设P点坐标为（x， ），PP 交CO于E若四边形POP C是菱形，则有PC＝PO．
连结PP 则PE⊥CO于E，∴OE=EC= = ．
∴ = 解得 = ， = （不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（ ， ）
（3）过点P作 轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x， ），易得，直线BC的解析式为 则Q点的坐标为（x，x－3）.
图① 图②
3.(2015年恩施) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A、B
两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，
点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP C，那么是否存在点P，使四边形POP C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
水平宽铅垂高求三角形面积
作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法
------------二次函数教学反思
铅垂高
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.
角形面积公式——之水平宽铅垂高
三角形的面积公式计算较多，垂高面积公式会更加的方便. 公式呈现如右图所示，过△ABC 三个顶点分别作x 线，其中过A ，C 两条垂线与x 轴交于点E ，F 线段EF 的长度称为△ABC 的水平宽，而过B 的垂线与边AC 交于点D ，线段BD 度，对应铅垂高取经过夹在中间的顶点（B公式推导如右图，过点A ，C 作铅垂高BD 上的高AG ，则有S △ABC ＝S △ABD +S △BCD ＝1122AG BD CH +g g ＝()12AG CH BD +g ＝12EF BD g .公式应用1——上下垂线例1（适合八年级） 如图，已知边长为a 形E ABCD ,为AD 的中点，P 为CE 的中点，F 为中点，则△BFD 的面积是（ ）.A .281a B . 2161a C . 2321a D .说明：本题可以连结CF ，由△BCD 的面积减去与△CDF 利用三角形水平宽铅垂高面积公式求得.解析：不妨以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则点C 坐标为（a ，0），点D 坐标为（a ，a ），∵E 为AD 的中点，∴点E 坐标为（12a ，a ）， ∵P 为CE 的中点，∴点P 坐标为（34a ，12a ），∵F 为BP 的中点，∴点F 坐标为（38a ，14a ）.过F 点作BC 的垂线交BD 于点G ，则点G 的横坐标为38a ，又直线BD 的解析式为y x =，∴点G 的纵坐标为38a ，∴△BDF 的铅垂高FG ＝38a －14a ＝18a ，∴S △BDF ＝2111122816BC FG a a a ==g g .公式应用2——左右垂线例2（适合八年级） 如图，直线13y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，且∠BAC =90°.如果在第二象限内有一点P 1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，且△ABP 的面积与Rt △ABC 的面积相等，求a 的值.说明：本题常见解法有三，一是连结OP ，△ABP 的面积＝△AOB 面积+△BOP 面积－△AOP 面积，然后用a 的代数式表示，与Rt △ABC相等列方程求解；二是将点C 沿AB 翻折到C ’位置，则△ABC △ABC ’面积相等，若△ABP 的面积与Rt △ABC P相等，则可得PC ’三是考虑水平宽铅垂高公式来计算，但如果从A ，B ，P 三点向x 轴作垂线，较为复杂，不妨换个角度应用公式，即从A ，B ，P 向y 轴作垂解.解析：过线，则OB 而PE 度）由AB 的解析式可以得OA ，OB ＝1，而P的纵坐标为12，所以E 为AB 的中点， 所以PE ＝-a 从而有11221222a ⎛⨯⨯=⨯⨯-+ ⎝⎭， 解得42a =-.公式应用3——内外垂线从例2可以看到，三条垂线不一定作向x 轴，也可以作向y 轴，仿公式用即可.一般地，水平宽取的是最外的两条直线的距离，但这个做法不是绝对的，有12EF CG g . 简单推导：S △ABC ＝S △ACG －S △BCG ＝1122CG EH CG FH -g g ＝12EF CG g . 说明：当取相邻两条垂线距离为水平宽时，第三条垂线将与第三边（AB ）的延长线相交，此时顶点（C ）到交点（G ）的距离为铅垂高（CG ）.例3（适合九年级） 如图所示，直线l ：y =3x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，抛物线过点B ，C 和D （3，0）． （1）求直线BD 和抛物线的解析式．（2）若BD 与抛物线的对称轴交于点M ，点N 在坐标轴上，以点N ，B ，D 为顶点的三角形与△MCD 相似，求所有满足条件的点N 的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P ，使S △PBD =6？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（4）点Q 使得CQ BQ 的值最大，若存在，请直接写出点Q 解析：本题只解（3），由已知条件可以得抛物线解析式为243y x x =-+，BD 解析式为3y x =-+，由于问题中并未交待P 点在BD 的上方或下方，故要分类讨论：当P 在BD 下方时，如右上图，水平宽为OD ＝3，铅垂高为PE ＝224333x x x x x -++-=-； 当P 在BD 上方时，P 可能在左，也可以在右，但两者本质相同，如右下图，此时依然取OD ＝3为水平宽，则铅垂高PE ＝223433x x x x x -+-+-=-+.两种情况合起来就是213362x x ⨯⨯-=，即234x x -=±.当234x x -=-时，方程无实数根，即P 在BD 下方时，不可能面积为6；当234x x -=时，解得121,4x x =-=，xyEDBA C OPxy EDBCOP即当P（－1，8）或P（4，3）时，S△PBD=6.解后：从以上几例可以看到，灵活运用水平宽与铅垂高公式，可以有效解决三角形面积问题，尤其是在例3，可以将P点的两种不同的位置分类统一为PE长（绝对值）问题求解，可以有效回避原本点P在BD上方时，几何法要构造高等繁杂作法，使得问题解决简洁而快捷.老叶2015年1月26日记于温十七中。
铅垂高水平宽面积公式
铅垂高水平宽面积公式
铅垂高水平宽面积的公式主要有以下三种：
一、公式1：面积= 泊松号 X 铅锤长度^²
①泊松号：指一个水体中水深和宽度的比值，根据泊松号表，可以确定水体深度和宽度的大小。
②铅锤长度：指用铅锤测定水体深度的时候，把铅锤垂直向下投放的距离，也就是两支铅锤的总长度。
二、公式2：面积= 2 X 垂膨泊松号 X 铅锤长度 X 面积系数
①垂膨泊松号：指水体中水深（投放铅锤时，从投放点到水体底部的距离）和宽度的比值，根据垂膨泊松号表，可以确定水体深度和宽度的大小。
②铅锤长度：与公式1中定义相同。
③面积系数：指水体宽度在铅锤投放时会发生变化而产生的影响，通过查阅相关资料可以确定面积系数的大小。
三、公式3：面积= 2 X 水柱体积 X 面积系数
①水柱体积：指用两支铅锤测量水体的时候，铅锤之间的柱体积，也就是一个整体的一个立方体的体积。
②面积系数：与公式2中定义相同。
铅垂高水平宽求三角形面积
铅垂高水平宽求三角形面积
S△ABC＝1\2ah。
过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的水平宽(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的铅垂高(h)，我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝1\2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
铅垂高法是解决与二次函数相关的三角形面积问题的一个特殊的方法。
铅垂高
任何物件如铅垂一样的与地成正垂直，就是铅垂方向，沿铅垂方向的高度就是铅垂高，即在铅垂方向的投影；
与铅垂方向垂直的方向就是水平方向，物体沿水平方向的宽度就是水平宽。
把三角形沿水平方向分割成上下两部分，上部分面积＝水平宽×h1×1/2，下部分面积＝水平宽×h2×1/2，h1+h2＝铅垂高，结论得证。
三角形面积公式——之水平宽铅垂高
三角形面积公式之水平宽铅垂高三角形的面积公式计算较多，而在平面直角坐标系中的三边都不与坐标轴平行的三角形面积一般会采用割补形来求解，但有时采用水平宽铅垂高面积公式会更加的方便.公式呈现如右图所示，过△ ABC三个顶点分别作x轴的垂线，其中过A，C两条垂线与x轴交于点E，F，线段EF的长度称为△ ABC的水平宽，而过B点1的垂线与边AC交于点D，线段BD的长度称为铅垂高，则ABC=；EFgBD，此即为三角形水平宽铅垂高面积公式，其中水平宽EF通常取最外两条垂线的宽度，对应铅垂高取经过夹在中间的顶点（B）与边（AC）交点（D）之间的距离.公式推导如右图，过点A，C作铅垂高BD上的高AG，CH，则有S A ABC = S A ABD+S A BCD =；AGgBD ；CHgBD=；AG CH gBD = ；EFgBD .2 2公式应用1――上下垂线例1 （适合八年级）如图，已知边长为a的正方形ABCD,E为AD的中点，P为CE的中点，F为BP的中点，则△ BFD的面积是（）.1 2 1 2 1 2 1 2A. aB. aC. aD. a8 16 32 64说明：本题可以连结CF，由厶BCD的面积减去△ BCF 与厶CDF的面积求解，也可以建立平面直角坐标系，利用三角形水平宽铅垂高面积公式求得•解析：不妨以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则点 C 坐标为（a , 0）,点D 坐标为（a , a ）.••• E 为AD 的中点, ・••占 .小、E 坐标为（••• P 为CE 的中点, ・••占 .小、P 坐标为（••• F 为BP 的中点, ・••占 .小、F 坐标为（过F 点作BC 的垂线交BD 于点G , 3坐标为3a ，又直线BD 的解析式为83G 的纵坐标为3a ,8 3 1 ・△ BDF 的铅垂高FG = 3a —」a =— a ,8 4 8・ S A BDF = — BCcFG — agi a — a .2 2 % 16公式应用2――左右垂线例2 （适合八年级） 如图，直线y xx 轴，y 轴分别交于点A , B ,以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ ABC ,且1/ BAC=90°.如果在第二象限内有一点 P a,—2 A 且厶ABP 的面积与Rt A ABC 的面积相等，求a 的值•说明：本题常见解法有三，一是连结0P , △ ABPO A 的面积=△ AOB 面积+ △ BOP 面积—△ AOP 面积，然后用a 的代数式表示，与Rt A ABC 的面积相等列方程求解；二是将点C 沿AB 翻折到C'位置，则△ ABC 面积与△ ABC 面积相等，若厶ABP 的面积与Rt A ABC 的面积C C'、.A ，B ，P 向y 轴作垂线（即左右方向作 S A ABC = 1说明：当取相邻两条垂线距离为水平宽时，第三条垂线将与第三边（AB ）的延长线相交，此时顶相等，则可得PC ' AB ,因此，可以由点A , C 坐标先求C'坐标，再根据AB 的 斜率与点C'坐标求直线PC '的解析式，将点P 纵坐标代入，即可求a 的值. 三是考虑水平宽铅垂高公式来计算，但如果从 A ，B ，P 三点向x 轴作垂线，较为复杂，不妨换个角度应用公式，即从 垂线），仿公式求解.现解析如下• 解析：过A ，B ，P 三点作y 轴的垂 线，则0B 可以看成公式中的水平宽， 而PE 可以看成公式中的铅垂高，（不 习惯的同学可以将屏幕或头转个 90 度）由AB 的解析式可以得0A = .3，10B = 1,而P 的纵坐标为-，所以E 为AB 的中点,2所以 PE = -a+—3，2从而有22 2 * 1 a 于公式应用3――内外垂线从例2可以看到，三条垂线不一定作向 x 轴，也可以作向y 轴，仿公式用即 可•一般地，水平宽取的是最外的两条直线的距离，但这个做法不是绝对的，有 时根据需要也可以取任意两条直线的宽度，则公式可以变化为: 1-EFgCG.简单推导：S A ABC = S A ACG — S A BCG =」CGgEH 丄CGgFH2 E2 2点（C ）到交点（G ）的距离为铅垂高（CG ）（4）点Q 是抛物线对称轴上一动点，是否存在点 Q 使得BQ CQ 的值最大, 若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 解析：本题只解（3），由已知条件可以得抛物线解析式为y x 2 4x 3 , BD 解析式为 y x 3，由于问题中并未交待 上方或下方，故要分类讨论： 当P 在BD 下方时，如右上图, =3,铅垂高为PE = x 2 4x 3 当P 在BD 上方时，P 可能在左，也可以在右, 但两者本质相同，如右下图，此时依然取 =3 为水平宽，P 点在BD 的 水平宽为0D c 2 c x 3 x 3x ；则铅垂高 2 2 x 3 x 4x 3 x3x . 两种情况合起来就是x 2 2 x 3x 4 . 当x 2 3x 4时，方程无实数根, F 方时，不可能面积为6；OD 3x 即当x2 3x 4 时，解得x1 1,x2 4 ，即当P (- 1, 8)或P (4, 3)时，S"BD=6.解后：从以上几例可以看到，灵活运用水平宽与铅垂高公式，可以有效解决三角形面积问题，尤其是在例3，可以将P 点的两种不同的位置分类统一为PE 长(绝对值)问题求解，可以有效回避原本点P在BD上方时，几何法要构造高等繁杂作法，使得问题解决简洁而快捷.老叶2015年1月26 日记于温十七中。
铅垂高与水平宽6种模型原理(一)
铅垂高与水平宽6种模型原理(一)铅垂高与水平宽6种模型模型定义铅垂高与水平宽6种模型是地图投影方式中比较常见的一种模型。
它将地球投影到一个长方形上，长方形的一条边为地球的赤道，另一条边则为某一子午线。
等角投影（兰伯特投影）等角投影是铅垂高与水平宽6种模型中最常见的一种投影方式。
它保持地球表面上的每一个角度都不变，因此被称为“等角投影”或“兰伯特投影”。
等积投影（面积投影）等积投影是铅垂高与水平宽6种模型中另一个常见的投影方式。
它可以保持地球表面上的任何一个区域面积不变，因此被称为“等积投影”或“面积投影”。
柱面投影柱面投影是将地球表面投影到一个圆柱体上，然后再展开到平面上。
在这种投影方式下，保持线段的直线性，但是面积的失真比较严重。
锥面投影锥面投影是将地球表面投影到一个圆锥体上，然后再展开到平面上。
在这种投影方式下，保持面积的相对大小，但是形状会发生畸变。
圆盘投影（正交投影）圆盘投影是将地球表面投影到一个圆盘上。
在这种投影方式下，保持在投影面上看到的所有角度和长度的比例都与球面地理上的原始值相同。
多层投影（高斯－克吕格投影）多层投影是将地球投影到多个圆锥面或圆柱面上，不同区域采用不同的投影方式。
这种方法可以同时保持角度和面积的几何关系。
以上是铅垂高与水平宽6种模型的详细解释。
选择不同的投影方式，需要根据实际需要和应用场景来进行选择。
模型特点在六种投影模型中，每种模型的特点和优劣并不一样。
以下列出各种模型的特点：•等角投影：保持角度不变，适用于航海等需要准确角度的应用。
•等积投影：保持面积不变，适用于地图上展示不同区域的面积大小比例。
•柱面投影：保持直线性，适用于航线和等经度线的展示。
•锥面投影：保持面积比例，适用于矩形地图的展示。
•圆盘投影（正交投影）：保持角度和长度比例不变，适用于卫星地图和渐进地图。
•多层投影：综合各种模型的优点，适用于展示大区域的地图。
模型应用各种铅垂高与水平宽模型在不同的应用场景中有着不同的应用。
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1、阅读材料：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =
2
1
ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 解答下列问题：
如图2，抛物线顶点坐标为点C （1，4），交x 轴于点A （3，0），点P 是抛物线（在第一象限）上的一个动点． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点B 为抛物线与y 轴的交点，求直线AB 的解析式；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴分别交AB 、x 轴于点D 、M ，连接PA 、PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；
（4）在（2）的条件下，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h 、面积为S ，请分别写出h 和S 关于x 的函数关系式．
2、如图，直线31+-=x y ，与x 轴，y 轴分别交于点B 、C ，经过B 、C 两点的抛物线与x 轴的另一个交点为点A ，顶点是点P ，且对称轴是直线2=x （1）求抛物线的解析式
（2）直线31+-=x y 向下平移 个单位，使它与抛物线只有一个公共点，并求出此时直线的解析式。
（3）①当1y ＞2y 时，观察图像，自变量的取值围是 。
②自变量在上述围，在2y 上是否存在点M ，使得CBM S ∆有最大值，若存在，求出最大值，并求出此时点M 的坐标，若不存在，请说明理由。
3、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式；
(2)若点M 为第三象限抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；
(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标.
4、如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2
的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C ， 那么是否存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.
5、如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，
，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；
（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．
6．如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；
（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．。