1.4向量的线性关系与向量的分解
向量的线性运算与正交分解
向量的线性运算与正交分解向量是线性代数中的基本概念，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将重点讨论向量的线性运算和正交分解。
一、向量的线性运算向量的线性运算是指对向量进行加法和标量乘法的操作。
设有两个向量a和b，它们的线性组合可以写成如下形式：c = αa + βb其中，α和β为标量。
向量的线性运算具有以下性质：1. 加法的交换律和结合律：a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)2. 标量乘法的结合律和分配律：α(βa) = (αβ)a，(α +β)a = αa + βa，α(a + b) = αa + αb3. 零向量的存在性：存在一个向量0，使得对任意向量a，有0 + a = a + 0 = a通过线性运算，我们可以获得新的向量，从而对原始向量进行扩展和变换。
线性运算在矩阵和向量空间的运算中有重要的作用。
二、向量的正交分解正交分解是将一个向量表示为若干个互相正交的向量的线性组合的过程。
设有n个向量v₁, v₂, ..., vₙ，它们两两正交，且设待分解的向量为v，则v可以表示为：v = λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... + λₙvₙ其中，λ₁, λ₂, ..., λₙ为标量。
正交分解的关键在于找到合适的正交基，使得向量可以被唯一地表示为正交基的线性组合。
在实际应用中，我们经常会遇到需要将复杂的向量分解为若干个简单的正交向量的情况。
正交分解可以简化向量的计算和运算，提高问题的求解效率。
总结：本文主要介绍了向量的线性运算和正交分解。
向量的线性运算包括加法和标量乘法，具有交换律、结合律和分配律等性质。
线性运算可以对向量进行扩展和变换。
正交分解是将一个向量表示为若干个互相正交的向量的线性组合的过程。
通过正交分解，可以将复杂的向量简化为若干个简单的正交向量的线性组合。
向量的线性运算和正交分解在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
它们为我们解决问题提供了强有力的工具，也为我们对向量的理解和运用提供了基础。
解析几何第四版吕林根课后习题答案一至三章
第一章向量与坐标§1.1 向量的概念1.下列情形中的向量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位向量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点.[解]：（1）单位球面；（2）单位圆（3）直线；（4）相距为2的两点2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在向量OA、、OC、、、OF、、BC、CD、、EF和FA中，哪些向量是相等的？[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，相等的向量对是：图1-1.DEOFCDOEABOCFAOBEFOA和；和；和；和；和3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：如图1-2，连结AC, 则在∆BAC中，21AC. KL与AC方向相同；在∆DAC中，21AC. NM与AC方向相同，从而KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝.4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对向量中，找出相等的向量和互为相反向量的向量：(1) AB、; (2) AE、; (3) 、;(4) AD、; (5) BE、.[解]：相等的向量对是（2）、（3）和（5）；互为反向量的向量对是（1）和（4）。
§1.2 向量的加法1.要使下列各式成立，向量ba,应满足什么条件？（1-=+（2+=+（3-=+（4+=-E（5=[解]：（1）,-=+（2）,+=+（3≥且,=+ （4）,+=-（5）,≥-=-§1.3 数量乘向量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从向量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出向量→x ，→y ． 解 ⑴→→→→→→→→→→→→→→-=+-+---+=-⋅+--⋅-ay b x b y a y b x a x b y a y b x a x b a y x b a y x 22)()()()(⑵ →→→→→→→→→→+=+-+-+=+3132132142232e e e e e e e e b a ，→→→→→→→→→→→-+-=+---+=-321321321342)223(2e e e e e e e e e b a ， →→→→→→→→→→→-+-=+---+=-3213213217103)223(2)2(323e e e e e e e e e b a ． 2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ．解 →→→→→→→→→→→-+=-+-+=+=c b a c a c b a AB CD EF 533)2(21)865(212121．3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．4 在四边形ABCD 中，→→→+=b a AB 2，→→→--=b a BC 4，→→→--=b a CD 35，证明ABCD 为梯形．证明∵→→→→→→→→→→→→→=--=-+--++=++=BC b a b a b a b a CD BC AB AD 2)4(2)35()4()2( ∴→AD ∥→BC ，∴ABCD 为梯形．6. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线向量AL , BM ,可 以构成一个三角形.[证明]： )(21+=)(21BC BA BM +=)(21+=0)(21=+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL从而三中线向量CN BM AL ,,构成一个三角形。
向量的线性关系与向量的分解
M
e1 e2( , R)
称e1 , e2为平面向量"基底"
解析几何
向量的线性关系与向量的分解
定理3 (空间向量基本定理) 空间情形有类似的结论.
C M
e3 r
e1 O e2
A
r OA OB OC
e1 e2 e3 (, , R,且惟一)
ai(i 1, 2, , n)线性相关. (2)一组向量中的部分线性相关,则全体线性相关.
向量共线、共面概念的拓展
10 a, b共线 a与b线性相关. 20 a, b, c共面 a, b, c线性相关. 30 空间四个以上向量总是线性相关.
解析几何
与向量e( 0)共线的向量r可用e线性表示.
e0
r
r e( R,且惟一)
称e为共线向量的"基底"
解析几何
向量的线性关系与向量的分解
定理2 (平面向量基本定理)
若e1 , e2为平面内不共线两向量, 则平面内任一向量r可用e1 , e2线性表示.
B
e2
r
O
e1
A
r OA OB
向量的线性关系与向量的分解
1.向量的线性组合
n
若 a λ1a1 λ2 a2 λn an i ai (i R) i 1 把a叫做ai (i 1, 2, n)的线性组合, 或称a可由ai线性表示. 或称a可分解成ai的线性组合.
解析几何
向量的线性关系与向量的分解
定理1 (共线向量基本定理)
B
e1, e2 , e3称空间向量"基底"
解析几何
向量的线性关系与向量的分解
《解析几何》教案
页眉内容《解析几何》教案第一章向量与坐标本章教学目的：通过本章学习，使学生掌握向量及其运算的概念，熟练掌握线性运算和非线性运算的基本性质、运算规律和分量表示，会利用向量及其运算建立空间坐标系和解决某些几何问题，为以下各章利用代数方法研究空间图形的性质打下基础.本章教学重点：（1）向量的基本概念和向量间关系的各种刻划。
（2）向量的线性运算、积运算的定义、运算规律及分量表示.本章教学难点：（1）向量及其运算与空间坐标系的联系；（2）向量的数量积与向量积的区别与联系；（3）向量及其运算在平面、立体几何中的应用.本章教学内容：§1.1 向量的基本概念一、定义：既有大小又有方向的量称为向量，如力、速度、位移等.二、表示：在几何上，用带箭头的线段表示向量，箭头表示向量的方向，线段长度代表向量的大小；向量的大小又叫向量的模（长度）.始点为A，终点为B的向量，记作，其模记做.注：为方便起见，今后除少数情形用向量的始、终点字母标记向量外，我们一般用小写黑体字母a、b、c……标记向量，而用希腊字母λ、μ、ν……标记数量.三、两种特殊向量：1、零向量：模等于0的向量为零向量，简称零向量，以0记之.注：零向量是唯一方向不定的向量.2、单位向量：模等于1的向量称为单位向量.特别地，与非0向量同向的单位向量称为的单位向量，记作.四、向量间的几种特殊关系：1、平行（共线）：向量a平行于向量b，意即a所在直线平行于b所在直线，记作a∥b，规定：零向量平行于任何向量.2、相等：向量a等于向量b，意即a与b同向且模相等，记作a=b.注：二向量相等与否，仅取决于它们的模与方向，而与其位置无关，这种与位置无关的向量称为自由向量，我们以后提到的向量都是指自由向量.3、反向量：与向量a模相等但方向相反的向量称为a的反向量，记作-a，显然，，零向量的反向量还是其自身.4、共面向量：平行于同一平面的一组向量称为共面向量.易见，任两个向量总是共面的，三向量中若有两向量共线，则三向量一定共面，零向量与任何共面向量组共面.注意：应把向量与数量严格区别开来：①向量不能比较大小，如没有意义；②向量没有运算，如类似的式子没有意义.§1.2 向量的加法一向量的加法：定义1设、，以与为邻边作一平行四边形，取对角线向量，记，如图1-1，称为与之和，并记作（图1-1）这种用平行四边形的对角线向量来规定两个向量之和的方法称作向量加法的平行四边形法则.如果向量与向量在同一直线上，那么，规定它们的和是这样一个向量：若与的指向相同时，和向量的方向与原来两向量相同，其模等于两向量的模之和.若与的指向相反时，和向量的模等于两向量的模之差的绝对值，其方向与模值大的向量方向一致.由于平行四边形的对边平行且相等，可以这样来作出两向量的和向量：定义2作，以的终点为起点作，联接（图1-2）得（1-2）该方法称作向量加法的三角形法则.（图1-2）向量加法的三角形法则的实质是：将两向量的首尾相联，则一向量的首与另一向量的尾的连线就是两向量的和向量.据向量的加法的定义，可以证明向量加法具有下列运算规律：定理1 向量的加法满足下面的运算律：1、交换律, （1.2-2）2、结合律. （1.2-3）证交换律的证明从向量的加法定义即可得证.下证结合律 .自空间任一点O开始依次作则有，所以.由定理1知，对三向量相加，不论其先后顺序和结合顺序如何，结果总是相同的，可以简单的写作.二向量的减法定义3 若，则我们把叫做与的差，记为显然，,特别地，.由三角形法则可看出：要从减去，只要把与长度相同而方向相反的向量加到向量上去.由平行四边形法可如下作出向量.设、，以与为邻边作一平行四边形，则对角线向量.例1 设互不共线的三向量、与，试证明顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是它们的和是零向量.证必要性设三向量、、可以构成三角形（图1-3），（图1-3），那么,即.充分性设，作那么，所以，从而，所以、、可以构成三角形.例2 用向量法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.证设四边形的对角线、交于点且互相平分（图1-4）因此从图可看出：，所以，∥，且，即四边形为平行四边形.（图1-4）§1.3 数量乘向量定义1.3.1设是一个数量，向量与的乘积是一向量，记作，其模等于的倍，即；且方向规定如下：当时，向量的方向与的方向相同；当时，向量是零向量，当时，向量的方向与的方向相反.特别地，取，则向量的模与的模相等，而方向相反，由负向量的定义知：.据向量与数量乘积的定义，可导出数乘向量运算符合下列运算规律：定理1.3.1. 数量与向量的乘法满足下面的运算律：1) 1·=2)结合律, (1.3-1)3)分配律, (1.3-2)4) . ( 1.3-3)证 1)据定义显然成立.2)显然，向量、、的方向是一致，且= == .3）分配律如果或中至少有一个为0，等式显然成立；反之ⅰ)若,显然同向，且所以ⅱ）若不妨设若则有由ⅰ)可得，所以对的情形可类似证明.一个常用的结论：定理3. 若( 为数量 )，则向量与向量平行，记作；反之，若向量与向量平行且，则( 是数量).设是非零向量，用表示与同方向的单位向量.由于与同方向，从而与亦同方向，而且,即.我们规定：若，. 于是.这表明：一个非零向量除以它的模是一个与原向量同方向的单位向量.请注意：向量之间并没有定义除法运算，因此决不能将式子改写成形式.十分显然，这种错误是受实数运算法则的“惯性作用”所造成.例1 设AM是三角形ABC的中线，求证.（图1-5）证如图1-5，因为，所以但因而，即.例2 用向量法证明：连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半.证设△ABC两边AB,AC中点分别为M，N，则所以，且.§1.4 向量的线性关系与向量的分解定义1.4.1由向量与数量所组成的向量叫做向量的线性组合,或称可以用向量线性表示,或称可以分解成向量的线性组合.定理1.4.1如果向量，那么向量与向量共线的充要条件是可用向量线性表示，即存在实数使得， (1.4-1)并且系数被，唯一确定.证若成立，那么由定义1.3.1知向量与向量共线.反之，如果向量与向量共线，那么一定存在实数使得（见1.3节中1.3.5的证明）.再证的唯一性：如果，那么，而，所以，.定理1.4.2如果向量不共线，那么向量与共面的充要条件是可用向量线性表示，即， (1.4-2)并且系数被，唯一确定.证：（图1-6）因与不共线，由定义1.1.4知.设与中之一共线，那么由定理1.4.1有，其中中有一个为零；如果与都不共线，把它们归结共同的始点，并设，，，那么经过的终点分别作的平行线依次交直线于（图1-6），因，由定理 1.4.1，可设，所以由平行四边形法则得，即.反之，设，如果中有一个为零，如，那么与共线，因此与共面.如果，那么，从向量加法的平行四边形法则知与都共面，因此与共面.最后证的唯一性.因为=，那么，如果，那么，将有，这与假设矛盾，所以.同理，这就证明了唯一性.定理1.4.3 如果向量不共面，那么空间任意向量可以由向量线性表示，即存在一组实数使得，(1.4-3)并且系数x,y,z被，唯一确定.证明方法与定理1.4.2类似.定义1.4.2对于个向量，若存在不全为零的实数，使得， (1.4-4)则称向量线性相关.不是线性相关的向量叫做线性无关，即向量线性无关：.定理1.4.4在时，向量线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合.证设向量线性相关，则存在不全为零的实数使得，且中至少有一个不等于0，不妨设，则；反过来，设向量中有一个向量，不妨设为，它是其余向量的线性组合，即，即.因为数，-1不全为0，所以向量线性相关.定理1.4.5 如果一组向量中的部分向量线性相关，那么这一组向量就线性相关.证设中有一部分，不妨设前r个向量线性相关，即存在不全为零的实数，使得.则有，因为不全为零，所以线性相关.推论如果一组向量中含有零向量，那么这一组向量就线性相关类似地可证明下面的定理：定理1.4.6 两向量与共线线性相关.定理1.4.7 三向量与共面线性相关.定理1.4.8 空间任意四个或四个以上的向量总是线性相关的.例1 试证明：点在线段上的充要条件是：存在非负实数，，使得，且，其中是任意取定的一点.证（先证必要性）设在线段上，则与同向，且，所以，.任取一点所以，所以，.取，，则，，.（充分性）若对任一点有非负实数，，使得，且则，所以与共线，即在直线上.又，所以在线段上.例2设为两不共线向量，证明，共线的充要条件是.证共线,线性相关，即存在不全为0的实数，使，(1.4-5)即.又因为不共线即线性无关，故方程有非零解.§1.5 标架与坐标一空间点的直角坐标:平面直角坐标系使我们建立了平面上的点与一对有序数组之间的一一对应关系，沟通了平面图形与数的研究.为了沟通空间图形与数的研究，我们用类似于平面解析几何的方法，通过引进空间直角坐标系来实现.1、空间直角坐标系过空间一定点，作三条互相垂直的数轴，它们以为原点，且一般具有相同的长度单位，这三条轴分别叫轴(横轴)、轴(纵轴)、轴(竖轴)，且统称为坐标轴.通常把轴，轴配置在水平面上，而轴则是铅垂线，它们的正方向要符合右手规则：(图1-7)右手握住轴，当右手的四个指头从轴的正向以角度转向轴正向时，大拇指的指向就是轴正向.三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点叫做坐标原点.注：为使空间直角坐标系画得更富于立体感，通常把轴与轴间的夹角画成左右.当然，它们的实际夹角还是.2、坐标面与卦限三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面.由轴与轴所决定的坐标面称为面，另外还有面与面.三个坐标面把空间分成了八个部分，这八个部分称为卦限.(图1-8)3、空间点的直角坐标取定空间直角坐标系之后，我们就可以建立起空间点与有序数组之间的对应关系.设为空间的一已知点，过点分别作垂直于轴、轴、轴的三个平面，它们与轴、轴、轴的交点依次为，这三点在轴、轴、轴的坐标依次为，于是：空间点就唯一地确定了一个有序数组，这组数叫点的坐标.依次称，，为点的横坐标、纵坐标和竖坐标，记为.反过来，若已知一有序数组，我们可以在轴上取坐标为的点，在轴上取坐标为的点，在轴取坐标为的点，然后过、、分别作轴、轴、轴的垂直平面，这三个平面的交点就是以有序数组为坐标的空间点.这样，通过空间直角坐标系，我们建立了空间点和有序数组之间的一一对应关系.定义1 我们把上面有序数组叫点在此坐标系下的坐标，记为.二空间两点间的距离公式定理1设、为空间的两点，则两点间的距离为(1.5-1)证过、各作三个分别垂直于三坐标轴的平面，这六个平面围成一个以为对角线的长方体，如图所示(图1-9)是直角三角形，故，因为是直角三角形，故，从而；而，，，故.特别地，点与坐标原点的距离为.三空间向量的坐标定义2 设是与坐标轴，同向的单位向量，对空间任意向量都存在唯一的一组实数，使得，那么我们把这组有序的实数，叫做向量在此坐标系下的坐标，记为或.定理2设向量的始终点坐标分别为、，那么向量的坐标为. (1.5-2)证由点及向量坐标的定义知，所以=.由定义知.定理3 两向量和的分量等于两向量对应的分量的和.证设，，那么=+=，所以. (1.5-3)类似地可证下面的两定理：定理4设，则.定理5 设，，则共线的充要条件是.(1.5-4)定理6三非零向量，，共面的充要条件是. (1.5-5)证因为不共面，所以存在不全为0的实数使得，由此可得因为不全为0，所以.§1.6 向量在轴上的射影一、空间点在轴上的投影：设已知点及轴，过点作轴的垂直平面，则平面与轴的交点叫做点在轴上的投影.(图1-10)二、向量在轴上的投影：定义1设向量的始点与终点在轴的投影分别为、，那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影，记作，轴称为投影轴.(图1-11)这里，的值是这样的一个数：(1)即，数的绝对值等于向量的模.(2)当的方向与轴的正向一致时，；当的方向与轴的正向相反时，.三、空间两向量的夹角：设有两向量、交于点(若、不相交，可将其中一个向量平移使之相交)，将其中一向量绕点在两向量所决定的平面内旋转，使它的正方向与另一向量的正方向重合，这样得到的旋转角度(限定)称为、间的夹角，记作.(图1-12)若、平行，当它们指向相同时，规定它们之间的夹角为；当它们的指向相反时，规定它们的夹角为.类似地，可规定向量与数轴间的夹角.将向量平行移动到与数轴相交，然后将向量绕交点在向量与数轴所决定的平面内旋转，使向量的正方向与数轴的正方向重合，这样得到的旋转角度称为向量与数轴的夹角.四投影定理：定理1.6.1向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦.即, (1.6-1)(图1-13)证过向量的始点引轴，且轴与轴平行且具有相同的正方向，那未轴与向量的夹角等于轴与向量的夹角，而且有故由上式可知：向量在轴上的投影是一个数值，而不是向量.当非零向量与投影轴成锐角时，向量的投影为正.定理1.6.2对于任何向量都有. (1.6-2)证取，那么，设分别是在轴上的投影，那么显然有，因为所以，即.类似地可证下面的定理：定理1.6.3对于任何向量与任何实数有. (1.6-3)§1.7 两向量的数性积定义1.7.1 对于两个向量a和b 把它们的模|a|,|b|及它们的夹角的余弦的乘积称为向量和的数量积 记作ab,即ab=|a||b|cos .由此定义和投影的关系可得 ab|b|Prj b a=|a|Prj a b .数量积的性质(1) a·a=|a| 2,记a·a a 2，则a2|a| 2.(2) 对于两个非零向量a、b 如果a· b=0 则a b反之 如果a b 则a· b 0.定理1.7.1 如果认为零向量与任何向量都垂直 则a b a· b 0.定理1.7.2 数量积满足下面运算律：(1)交换律 a· b= b·a(2)分配律( a b)c a c b c( (3)a)· b a·(b )(a·b)(a)·(b )(a·b) 、为数证（1）由定义知显然.(2)的证明因为当c0时上式显然成立当c0时有(a b)c|c|Prj c(a b)|c|(Prj c a Prj c b)|c|Prj c a|c|Prj c ba cb c（3）可类似地证明.例1试用向量证明三角形的余弦定理证设在ΔABC中 ∠BCA||=a ||=b ||=c要证c 2a 2+b 2 2 a b cos记a b =c 则有 c a b从而 |c|2c c(a b)(a b)a2-2ab+b2|a|2+|b|22|a||b|cos(a^b)即c 2a 2+b 2 2 a b cos数量积的坐标表示 :定理1.7.3设a{a x a y a z } b{b x b y b z }则a·b a x b x a y b y a z b z证a· b( a x i a y j a z k)·(b x i b y j b z k)a xb x i·i a x b y i·j a x b z i·ka yb x j ·i a y b y j ·j a y b z j·ka zb x k·i a z b y k·j a z b z k·ka xb x a y b y a z b z定理1.7.4设a={},则向量a的模|a|=.证由定理1.7.2知|a|2=a2=，所以 |a|=.向量的方向角和方向余弦：向量与坐标轴所成的角叫做向量的方向角，方向角的余弦叫向量的方向余弦.定理1.7.5 设a={}，则a的方向余弦为cos=,cos,cos；且，其中分别是向量a与x轴，y轴,z轴的夹角.证因为ai=|a|cos且ai=，所以 |a|cos=，从而 cos=.同理可证 coscos且显然两向量夹角的余弦的坐标表示定理1.7.6设(a ^ b)则当a0、b0时 有.证 因为a·b|a||b|cos，所以.例2 已知三点M (11 1) 、A (22 1) 和B (21 2) 求AMB解从M到A的向量记为a从M到B的向量记为b则AMB就是向量a与b的夹角 .a{11 0} b{10 1}因为a b1110011所以从而.§1.8 两向量的向量积定义1.8.1 两个向量a与b的向量积(也称外积)是一个向量,记做a b或,它的模|a b||a||b|sin,它的方向与a和b垂直并且按a,b,a b确定这个顺序构成右手标架｛O;a,b,a b｝.从定义知向量积有下列性质：(1) a a0(2) 对于两个非零向量a，b如果a b0则a//b；反之如果a//b则a b0.定理1.8.1 两不共线向量a与b的向量积的模,等于以a与b为边所构成的平行四边形的面积.定理1.8.2两向量a与b共线的充要条件是a b0.证当a与b共线时，由于sin(a、b)=0，所以|a b|=|a||b| sin(a、b)=0，从而a b0；反之，当a b0时，由定义知，a=0，或b=0，或a//b，因零向可看成与任向量都共线，所以总有a//b，即a与b共线.定理1.8.3 向量积满足下面的运算律(1) 反交换律a b b a，(2) 分配律(a b)c a c b c，(3) 数因子的结合律 (a)b a(b)(a b) (为数).证（略）.推论: c (a b) c a c b定理1.8.4 设a a x i a y j a z k b b x i b y j b z k，则a b(a y b za zb y)i(a z b x a x b z)j（a x b y a y b x）k证由向量积的运算律可得a b(a x i a y j a z k)(b x i b y j b z k)a xb x i i a x b y i j a x b z i ka yb x j i a y b y j j a y b z j k a z b x k i a z b y k a z b z k k由于i i j j k k0i j k j k i k i j所以a b(a y b z a z b y)i(a z b x a x b z)j（a x b y a y b x）k.为了帮助记忆利用三阶行列式符号上式可写成a yb z i+a z b x j+a x b y k a y b x k a x b z j a z b y i(a y b z a z b y)i(a z b x a x b z)j(a x b y a y b x)k例1设a(2 11)b(11 2)计算a b解=2i j2k k4j i i5j 3k例2已知三角形ABC的顶点分别是A (123)、B (345)、C (247)求三角形ABC的面积解根据向量积的定义可知三角形ABC的面积由于(222)(124)因此4i6j2k于是例3 设刚体以等角速度绕l轴旋转计算刚体上一点M的线速度解刚体绕l轴旋转时我们可以用在l轴上的一个向量n表示角速度它的大小等于角速度的大小它的方向由右手规则定出即以右手握住l轴当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时大姆指的指向就是n的方向设点M到旋转轴l的距离为a再在l轴上任取一点O作向量r并以表示n与r的夹角那么a|r| sin设线速度为v那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知v的大小为|v||n|a|n||r| sinv的方向垂直于通过M点与l轴的平面即v垂直于n与r又v的指向是使n、r、v符合右手规则因此有v n r§1.9 三向量的混合积定义1.9.1 给定空间的三个向量，我们把叫做三向量的混合积，记做或.定理1.9.1三个不共面向量的混合积的绝对值等于以为棱的平行六面体的体积，并且当构成右手系时混合积为正；当构成左手系时混合积为负,也就是=当构成右手系时,当构成左手系时.证由于向量不共面，所以把它们归结到共同的试始点可构成以为棱的平行六面体，它的底面是以为边的平行四边形，面积为，它的高为，体积是.根据数性积的定义，其中是与的夹角.当构成右手系时，，，因而可得.当构成左手系时，，，因而可得.定理1.9.2三向量共面的充要条件是.证若三向量共面，由定理1.9.1知，所以，从而.反过来，如果，即，那么根据定理1.7.1有，另一方面，有向性积的定义知，所以共面.定理1.9.3轮换混合积的三个因子，并不改变它的值；对调任何俩因子要改变混合积符号，即.证当共面时，定理显然成立；当不共面时，混合积的绝对值等于以为棱的平行六面体的体积，又因轮换的顺序时，不改变左右手系，因而混合积不变，而对调任意两个之间的顺序时，将右手系变为左，而左变右，所以混合积变号.推论:.定理1.9.4设，，，那么.证由向量的向性积的计算知，再根据向量的数性积得===.推论: 三向量共面的充要条件是.例1设三向量满足，证明：共面。
1.4：矢量的线性关系与矢量的分解
证明: 先证充分性, 即已知存在实数x使 r xe ,
证明
e
唯一确定.
称为共线矢量的基底.
// e . ? r
(由数乘以矢量的定义得到).
// 证明存在实数x使 再证必要性. 即已知 r e. r xe. e 事实上,当 r 与 e 同向时, 可取 x r 当 与 反向时, 就可以满足 r xe . r e
情形2
OE2 E3 , OE1E3 , OE1E2平行,
E3 e3 PE 2 E1 e e2
r
B
A
1
易见, OP是平行六面体的对角线.
C
E3 e3 PE 2 E1 e e2
于是可得
OP OA OB OC
两式相加：
因为 ,
A M
B N
D
C
2MN MA AB BN MD DC CN 注意 MA MD 0, BN CN 0, 所以， 2MN AB DC 1 即 MN ( AB DC ) 2
那么有
( x x)e1 ( y y)e2 ( z z)e3 0 如果 x x
y y z z e1 e2 e3 x x x x 这说明矢量 e1 , e2 , e3 共面(前面的定理1.4.2), 这与假 假定矛盾. 所以 x x, 同理可得 y y, z z .
D
解: 连接AF,
1 1 1 而 EA e1 , AF ( AC AD) (e2 e3 ) 2 2 2
1.4 向量的线性关系与向量的分解
解析几何
七、共线向量的条件
定理 6
两向量共线的充要条件是它们线性相关.
证：设两向量a， b，若它们线性相关，则有 a b 0，
且，不全为零，不妨设 0，则有a b，即a， b共线. 反过来，由a， b共线，若b 0，则存在x，使得
解：
设 所以
p OM MP, p ON NP
MP mMB m(b a), NP n NA n(a b)
B
p a m(b a) (1 m)a mb,
b
O
b
N P
p b n(a b) na (1 n)b
解析几何
思考题
设 a, b 为两不共线向量，证明向量 u a1 a b1b ，
a1 v a2 a b2 b 共线的充要条件是 b1
a2 0. b2
解析几何
p
M
a
a
解析几何
A
因为
a,b 不共线，
所以
(1 m) n, m (1 n).
m
解得
(1 ) (1 ) ,n . 1 1
所以
p
(1 ) (1 ) a b. 1 1
换句话说，向量 a1, a2 ,
, an 叫做线性无关就是指：只有当
1＝2＝ ＝n＝0 时，（1）才成立.
推论 一个向量 a 线性相关的充要条件为 a＝0 .
解析几何
六、向量线性相关的条件
定理 1.4.4 在 n 2 时，向量 a1, a2 , 其中有一个向量是其余向量的线性组合.
解析几何课件(吕林根许子道第四版)(精)
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第一章 向量与坐标
§1.3 数乘向量
表示与非零向量 设ea a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a | a | ea
a . ea |a |
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
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（2）结合律： a b c (a b ) c a (b c ). （3） a ( a ) 0.
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第一章 向量与坐标
§1.2 向量的加法
有限个矢量 a1 , a2 ,an 相 加 可 由 矢 量 的 三 角 求 形和 法则推广
解析几何课件(第四版)
吕林根 许子道等编
解析几何的基本思想是用代数的方法来研究 几何,为将代数运算引导几何中,采用的最根本最 有效的做法----有系统的把空间的几何结构代数 化,数量化.
第一章 第二章 第三章 第四章 向量与坐标 轨迹与方程 平面与空间直线 柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第五章 二次曲线的一般理论
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第一章 向量与坐标
§1.4向量的线性关系与向量的分解
定理1.4.2 如果向量 e1 , e 2 不共线，那么向量 r与 e1 , e2 共面的充要条件是 r可以用向量 e1 , e2线性表示， 或者说向量 r可以分解成 e1 , e2的线性组合，即 r x e1 y e2 并且系数 x , y被 e1 , e2 , r唯一确定 . 这时 e1 , e 2叫做平面上向量的基底 . 定理1.4.3 如果向量 e1 , e 2 , e 3 不共面，那么空间 任意向量 r可以由向量 e1 , e 2 , e 3线性表示，或说空间 （ ） 1.4－2
向量的线性关系与向量的分解
如果向量
e1,
e2
,
e3
不共面，那么空间任意向量 r
r 可以由向量 ur uur ur
e1,e2,e3 线性表示，或者说空间任意向量 r 可以分解成向量 e1,e2,e3 的线性
组合，即
r ur uur ur r xe1 ye2 ze3 ，
C
并且其中系数 x, y, z 被 ur uur ur r e1,e2,e3,r 惟一确定.
由定理1.4.1，可设OA uuur uuur uuur
xe1，OB
ye2，
B
P
所以，OP OA OB， r ur uur
r
uurE2
r
即r xe1 ye2.
e2
O
ur
e1 E1
A
r ur uur
反过来，设r
r
xe1
ye uur
2u， ur 若x，y有一个ur是uur0，
例如x 0，则r ye2u与r e2u共r 线uur，从uur而与e1，e2
P
b
ur p
p b n(a b) na (1 n)b r
r
O a
Ma
A
因为 所以 解得 所以
a,b 不共线，
(1 m) n, m (1 n).
m (1 ) , n (1 ) .
1
1
p (1 ) a (1 ) b. 1 1
例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相
二、共线向量的基底
rr
r
r
r
定理 1.4.1 如果向量 e 0 ，那么向量 r 与向量 e 共线的充要条件是 r
r
rr
可以用向量 e 线性表示，或者说 r 是 e 的线性组合，即
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向量的加法和数与向量的乘法统称为向量 的线性运算。
1、线性组合：
由向量
与数量
所
组成的向量：
称为向量
的线性组合，或称向量
定理1、
定理2、
定理3、
例1、已知三角形OAB，其中OA=a，OB=b，而M，
N分别是三角形两边OA，OB上的点，且有OM=λa,
O
r1
P1
令λ1=m,λ2=n,λ3=(m+n)，则有不全为零， 使
λ1r1+λ2r2+λ3,r3=0
且λ1+λ2+λ3=0
反之，设有不全为零的数λ1,λ2,λ3，使
λ1r1+λ2r2+λ3,r3=0
且λ1+λ2+λ3=0
根据条件不妨设 λ 3=（λ 1+λ 2）≠0， 代入上式整理得 λ1(r3-r1)+λ2 (r3-r2)=0
2、
定理6 两矢量共线的充要条件是它们线性相关。 证：设两矢量a与b，若它们线性相关，则
λa+μ b=0 (λ,μ 不全为零） 设λ≠0，则a= (μ /λ)b 若b≠0,由定理1知a,b共线； 若b=0，显然a 与b共线。
反之，设a与b共线，如果b≠0，则由定理1知 a=xb 即 axb=0
λ1r1+λ2r2+λ3,r3=0
且λ1+λ2+λ3=0
证：设P1，P2，P3三点共线，则 P1P3，P2P3共线，
从而 P1P3，P2P3线性相关。故存在不全为零的数m,
n，使
P2
mP1P3+nP2P3=0
P3
即
m(r3-r1)+n(r3-r2)=0
由此得 mr1+nr2-(m+n)r3=0
r2 r3
a1 a2 0 b1 b2
故a与b线性相关； 如果b=0，则由定理5的推论知a与b线性相关. 定理得证。
定理7 三矢量共面的充要条件是它们线性相关。
定理8 空间任意四个矢量必线性相关。 推论 空间四个以上矢量必线性相关。
例3、设OPi=ri(i=1,2,3)，试证P1，P2，P3三点共线 的充要条件是存在不全为零的数λ1,λ2,λ3,使得
P=μ b+n(a μ b)=μ (1n)bna （2） 因为a,b不共线，故根据定理2及（1）（2）可得
(1 m) n m (1 n)
由上方程组得
m (1 ) , n (1 ) .
1
1
所以得：
p [1 (1 )]a (1 ) b.
ON=μb,(0＜λ＜1,0＜μ＜1)，设AN与BM相交于P，
试把矢量OP=P分解为a,b的线性组合。 B
解：因为P=OM+MP
N
或 P=ON+NP 而 OM=λa
μb P P
O
λa M
A
MP=mMB=m(OB-OM)=m(b-λa)
而 ON=λb, NP = nNA= n(OA-ON)=n(a-μ b) 所以 P=λa+m(b λa)=λ(1m)amb （1）
即 λ 1P1P3+λ 2P2P3=0
但λ1+λ2≠0，知λ1，λ2不全为零，所以P1P3， P2P3共线，即P1，P2，P3三点共线。
例4、设a,b为两个不共线的矢量，证明矢量u=a1a+b1b, V=a2a+b2b共线的充要条件是
a1 a2 0 b1 b2
证：因为u,v共线的充要条件为存在不全为零的数λμ ， 使 λu+μ v =0 即(a1λ+a2μ )a+(b1λ+b2μ)b=0 因a,b不共线，即a,b线性无关，所以 a1λ+a2μ =0 b1λ+b2μ=0 又因为λ，μ不全为零，故u,v共线的充要条件为
1
1
即
p (1 ) a (1 ) b.
1
1
例2、证明四面体对边中点的连线交于一点且互相平分。
证：设四面体ABCD一组对边AB，CD的中点为E、F
EF的中点为P1，其余二组对边的中点分别为P2，P3。
下证P1，P2，P3重合。
D
如图，取不共面的三矢量
e3
F
AB=e1,AC=e2,AD=e3
则
AP1
1 2
(AE
AF)
A
P1 e2 C E e1 B
1
1
而
AF
(AC AD) 2
2 (e2 e3),
1 代入得 AP1 4 (e1 e2 e3)
AE
1 2
AB
1 2
e1
同理可得
AP2
AP3
1 4
(e1
e2
e3 )
即P1，P2，P3重合。