向量的线性关系与向量的分解
向量的线性运算与正交分解
向量的线性运算与正交分解向量是线性代数中的基本概念，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将重点讨论向量的线性运算和正交分解。
一、向量的线性运算向量的线性运算是指对向量进行加法和标量乘法的操作。
设有两个向量a和b，它们的线性组合可以写成如下形式：c = αa + βb其中，α和β为标量。
向量的线性运算具有以下性质：1. 加法的交换律和结合律：a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)2. 标量乘法的结合律和分配律：α(βa) = (αβ)a，(α +β)a = αa + βa，α(a + b) = αa + αb3. 零向量的存在性：存在一个向量0，使得对任意向量a，有0 + a = a + 0 = a通过线性运算，我们可以获得新的向量，从而对原始向量进行扩展和变换。
线性运算在矩阵和向量空间的运算中有重要的作用。
二、向量的正交分解正交分解是将一个向量表示为若干个互相正交的向量的线性组合的过程。
设有n个向量v₁, v₂, ..., vₙ，它们两两正交，且设待分解的向量为v，则v可以表示为：v = λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... + λₙvₙ其中，λ₁, λ₂, ..., λₙ为标量。
正交分解的关键在于找到合适的正交基，使得向量可以被唯一地表示为正交基的线性组合。
在实际应用中，我们经常会遇到需要将复杂的向量分解为若干个简单的正交向量的情况。
正交分解可以简化向量的计算和运算，提高问题的求解效率。
总结：本文主要介绍了向量的线性运算和正交分解。
向量的线性运算包括加法和标量乘法，具有交换律、结合律和分配律等性质。
线性运算可以对向量进行扩展和变换。
正交分解是将一个向量表示为若干个互相正交的向量的线性组合的过程。
通过正交分解，可以将复杂的向量简化为若干个简单的正交向量的线性组合。
向量的线性运算和正交分解在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
它们为我们解决问题提供了强有力的工具，也为我们对向量的理解和运用提供了基础。
9.6空间向量分解定理
重点是利用空间 向量的 坐标作向量的线性运算.
作业： P145A组2.3.
9.6空间向量分解定理
石家庄市职业财会学校
袁静阁
设a,b是平面上不共线的两个向量,则平面上 每一个向量c可以由a,b线性表出,并且表出方式 惟一. 即c可以惟一地表示成 c = xa+yb.
我们把a,b称为平面的一个基,把上式中系数 组成的有序实数对(x,y)叫做向量c在基a,b下的 坐标. 平面向量分解定理使得每一个平面向量c可 以用它的坐标（x,y）来表示，进而把平面向量 的加法、减法、数乘运算转化为它们的坐标的 相应运算。
（2，-1，5）+（-3，7，4）=（-1，6，9） 3a, 2a - b 在这个基下的坐标分别为： 3（ 2，-1，5 ）=（6，-3，15） 2 （2，-1，5）- （-3，7，4） =（4，-2，10）-（-3，7，4） =（7，-9，6）
小结：本节主要内容为空间向量分解定理、向量的坐标概
念 和向量运算。空间向量分解定理实质在于：空间 任一向量都可以表示为三个不共面向量的线性组合.
定理 （空间向量分解定理）
在空间中取三个不共面的向量e1,e2,e3,则空间中 每一个向量 a 都可以惟一表示成 e1,e2,e3, 的线性组 l 合：a=a1e1+a2e2+a3e3 ,其中a1,a2,a3是实数。
e3
D
α
o
e2
a
A
e1
M
注：1.空间中取定三个不共面的向量e1,e2,e3称为空间的 一个基。 2.有序实数组 坐标.
即两个向量相等的充要条件是两个向量的坐 标相等。
空间中取定一个基 e1 , e2 , e3 设向量 a, , b1 , b2 , b3
向量的线性关系与向量的分解
M
e1 e2( , R)
称e1 , e2为平面向量"基底"
解析几何
向量的线性关系与向量的分解
定理3 (空间向量基本定理) 空间情形有类似的结论.
C M
e3 r
e1 O e2
A
r OA OB OC
e1 e2 e3 (, , R,且惟一)
ai(i 1, 2, , n)线性相关. (2)一组向量中的部分线性相关,则全体线性相关.
向量共线、共面概念的拓展
10 a, b共线 a与b线性相关. 20 a, b, c共面 a, b, c线性相关. 30 空间四个以上向量总是线性相关.
解析几何
与向量e( 0)共线的向量r可用e线性表示.
e0
r
r e( R,且惟一)
称e为共线向量的"基底"
解析几何
向量的线性关系与向量的分解
定理2 (平面向量基本定理)
若e1 , e2为平面内不共线两向量, 则平面内任一向量r可用e1 , e2线性表示.
B
e2
r
O
e1
A
r OA OB
向量的线性关系与向量的分解
1.向量的线性组合
n
若 a λ1a1 λ2 a2 λn an i ai (i R) i 1 把a叫做ai (i 1, 2, n)的线性组合, 或称a可由ai线性表示. 或称a可分解成ai的线性组合.
解析几何
向量的线性关系与向量的分解
定理1 (共线向量基本定理)
B
e1, e2 , e3称空间向量"基底"
解析几何
向量的线性关系与向量的分解
1.4 向量的线性关系与向量的分解
解析几何
七、共线向量的条件
定理 6
两向量共线的充要条件是它们线性相关.
证：设两向量a， b，若它们线性相关，则有 a b 0，
且，不全为零，不妨设 0，则有a b，即a， b共线. 反过来，由a， b共线，若b 0，则存在x，使得
解：
设 所以
p OM MP, p ON NP
MP mMB m(b a), NP n NA n(a b)
B
p a m(b a) (1 m)a mb,
b
O
b
N P
p b n(a b) na (1 n)b
解析几何
思考题
设 a, b 为两不共线向量，证明向量 u a1 a b1b ，
a1 v a2 a b2 b 共线的充要条件是 b1
a2 0. b2
解析几何
p
M
a
a
解析几何
A
因为
a,b 不共线，
所以
(1 m) n, m (1 n).
m
解得
(1 ) (1 ) ,n . 1 1
所以
p
(1 ) (1 ) a b. 1 1
换句话说，向量 a1, a2 ,
, an 叫做线性无关就是指：只有当
1＝2＝ ＝n＝0 时，（1）才成立.
推论 一个向量 a 线性相关的充要条件为 a＝0 .
解析几何
六、向量线性相关的条件
定理 1.4.4 在 n 2 时，向量 a1, a2 , 其中有一个向量是其余向量的线性组合.
线性分解定理
线性分解定理线性分解定理，又称为线性组合定理，是线性代数中的一个基本定理。
它将一个向量空间中的向量表示为一组基向量的线性组合，从而展示了向量空间的基本性质和结构。
线性分解定理可以用于表示任意一个向量在一组基向量下的坐标。
具体来说，设V是一个n维向量空间，B={v1,v2,...,vn}是V的一组基向量。
对于任意一个向量v∈V，存在唯一的一组标量c1,c2,...,cn，使得v=c1v1+c2v2+...+cnvn。
这就是线性分解定理的主要内容。
线性分解定理的证明可以通过数学归纳法来完成。
首先，当n=1时，线性分解定理显然成立。
假设对于任意n-1维的向量空间，线性分解定理都成立，即任意一个向量都可以表示为n-1个基向量的线性组合。
下面考虑n维向量空间的情况。
设v∈V是一个n维向量，B={v1,v2,...,vn}是V的一组基向量。
可以将B中的最后一个基向量vn表示为vn=b1v1+b2v2+...+bn-1vn-1，其中b1,b2,...,bn-1是标量。
然后，将vn代入到v的表达式中，可得v=c1v1+c2v2+...+cn-1vn-1+bnv1+bn-1v2+...+b1vn，其中c1,c2,...,cn-1,cn是待定的标量。
为了证明线性分解定理成立，需证明上述表达式中的cn=0。
假设cn≠0，则可以将上述表达式重新排列，得到v=c1v1+c2v2+...+cn-1vn-1+(bn+1)v1+bnv2+...+b1vn-1。
将它与已知条件v=c1v1+c2v2+...+cn-1vn-1+bnv1+bn-1v2+...+b1vn进行比较，可以发现这两个表达式表示的向量是相等的。
由于B是向量空间V的一组基向量，根据向量的唯一性原则，这说明了(v1,v2,...,vn-1,(bn+1))也是向量空间V的一组基向量。
然而，这与假设矛盾。
因为bn+1≠0，所以(bn+1)v1+bnv2+...+b1vn-1不等于零向量。
向量分解定理
向量分解定理向量分解定理是线性代数中的重要定理之一。
它指出，对于一个给定的向量空间V和其子空间U，任何向量v∈V都可以唯一地表示为U的一个向量u与U的补空间的一个向量w的和。
换句话说，任何一个向量都可以分解为与给定子空间无关的两个向量之和。
在进一步探讨向量分解定理之前，我们需要先了解一些基本概念。
向量空间是指具有加法和数乘两种运算的非空集合，它满足特定的运算规则。
子空间是在向量空间内构成的一个向量子集，它本身也是一个向量空间。
补空间是指与给定子空间正交的向量构成的向量子集。
在线性代数的研究中，向量分解定理发挥着重要作用。
它提供了一种方法来寻找向量空间中的最优解。
对于一个给定的向量v∈V，我们希望能够将其分解为U的一个向量u与U的补空间的一个向量w的和。
这样一来，我们就可以根据具体的问题要求去选择合适的子空间U，以及使得向量v达到最优的补空间向量w。
向量分解定理的证明过程可以通过构造线性方程组来实现。
我们可以选择一个合适的基，并找到V的基底B1和U的基底B2。
然后根据V和U的基底B1和B2构造出一个矩阵A，并将向量v写为矩阵A乘以一个向量x的形式。
通过求解线性方程组Ax= v，我们就可以得到x的解，从而得到向量v关于子空间U的向量分解。
向量分解定理的一个重要应用是在最小二乘法中的使用。
最小二乘法是一种常见的回归分析方法，它用于拟合线性方程模型时，寻找使得模型与实际观测值之间误差平方和最小的参数。
在最小二乘法中，我们希望将观测值向量y表示为模型矩阵X 与参数向量β的乘积，即y=Xβ。
然而，由于观测误差的存在，通常情况下方程组的解不存在。
这时，我们可以通过向量分解定理，将观测值向量y分解为模型矩阵X的列空间的向量与X的列空间的补空间的向量之和。
这样一来，我们可以通过最小化观测值向量y在X的列空间上的投影误差来近似求解参数向量β。
除了最小二乘法，向量分解定理还在其他领域有广泛的应用。
例如在图像处理中，将图像表示为其灰度基函数与系数的乘积形式，就是利用了向量分解定理的思想。
线性代数的RMI模型理论——向量空间直和分解理论的RMI模型理论
学专业线性代数 向量空 间直和分 解理 Ｂ ８ ＝ ．－ ｐ＝ ． ｐ ｐ ， ’ｐ 一 ｔ ０ｐ Ｏ即 ： － Ｂ＝ ， 一 ． 论 的教学思路。
关键 词 ： 性 代 数 向量 空 间 线 和 分 解 理 论 Ｒ Ｉ模 型 Ｍ 直 Ｒ Ｉ方 法 Ｍ Ｒ Ｉ Ｍ 方法 的框 图表 示 如 下 ：
】兰州商学院学报 ，９ ０ ２ ： １９ （ ） 证明 设 ｗ， ｗ 的任 意一个余子 学思路 Ⅱ． 是
６ －７ ６ ０．
空间 ，那 么 ｗ 也 是 ｗ。 的一个 余子 空 空 间 。 取 ｗ 的 一 个 基 ｛【 ｌ… ， 和 ０，： ｝ ． ， ０
Ｗ。 一 个 基 ｛ Ｂ ， ， ｓ． 为 Ｖ＝ 的 Ｂ ，： … Ｂ １因
可 以唯 一 地 表 成
．４ 存在 Ｖ中 ｎ ｒ 的形 式 ， 里 ０ ＥＷ．＝ ， ， ， 且 ， ４ — 这 【 ； ， ｌ… ｎ 并 ｉ 的 Ｒ 模型理论 ，并 且应用关系 映射 的一个基 。由定理 ６ ．， ＭＩ
反演思想方 法论述非 数学专业 线性代 个 向量 ｛ ， ， … ０ｌ 【使得｛ 一，【０ 当 Ｖ是有 限维 向量空间时， ０，【 ，
关 １分 系 解
Ｖ＝ ｗ①Ｗｌ
］
关 于 直 和 的概 念 可 以 推 广 到 多 于 两 个 子 空 间 的情 形 。 Ｗ 。 ， Ｗ 设 ， …， 是 向量 空 间 ｖ 的子 空 间 。 如果
（） Ｗ １Ｗ２＋… ＋ ； ｉＶ＝ ＋ ， Ｗ
教 学思路 向量空 间直和分 解理论是 线性代
学 术 纵 横
线牲 代数 的 ＭＩ Ｒ 模型理论
— —
向量空间直和分解理论的 Ｒ 模型理论 ＭＩ
口 窦 永 平
向量坐标知识点总结
解析几何复习知识点总结第一章向量与坐标第一节向量的概念：空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。
向量的大小叫做向量的长度或模（moduius)。
规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0.模为1的向量称为单位向量。
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。
记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。
长度为一个单位（即模为1）的向量，叫做单位向量．与向量a同向，且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。
1共线向量定理两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb2共面向量定理如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=a x+b y3空间向量分解定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=x a+y b+z c。
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
1.2 向量的加法三角形定则解决向量加减的方法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。
平行四边形定则解决向量加法的方法：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，向量的加法结果为公共起点的对角线。
平行四边形定则解决向量减法的方法：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果由减向量的终点指向被减向量的终点。
（平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量的加减。
）坐标系解向量加减法：在直角坐标系里面,定义原点为向量的起点.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差若向量的表示为(x,y)形式,A(X1,Y1) B(X2,Y2)，则A+B=（X1+X2，Y1+Y2），A-B=（X1-X2，Y1-Y2）简单地讲：向量的加减就是向量对应分量的加减。
类似于物理的正交分解。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
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如果向量
e1,
e2
,
e3
不共面，那么空间任意向量 r
r 可以由向量 ur uur ur
e1,e2,e3 线性表示，或者说空间任意向量 r 可以分解成向量 e1,e2,e3 的线性
组合，即
r ur uur ur r xe1 ye2 ze3 ，
C
并且其中系数 x, y, z 被 ur uur ur r e1,e2,e3,r 惟一确定.
由定理1.4.1，可设OA uuur uuur uuur
xe1，OB
ye2，
B
P
所以，OP OA OB， r ur uur
r
uurE2
r
即r xe1 ye2.
e2
O
ur
e1 E1
A
r ur uur
反过来，设r
r
xe1
ye uur
2u， ur 若x，y有一个ur是uur0，
例如x 0，则r ye2u与r e2u共r 线uur，从uur而与e1，e2
P
b
ur p
p b n(a b) na (1 n)b r
r
O a
Ma
A
因为 所以 解得 所以
a,b 不共线，
(1 m) n, m (1 n).
m (1 ) , n (1 ) .
1
1
p (1 ) a (1 ) b. 1 1
例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相
二、共线向量的基底
rr
r
r
r
定理 1.4.1 如果向量 e 0 ，那么向量 r 与向量 e 共线的充要条件是 r
r
rr
可以用向量 e 线性表示，或者说 r 是 e 的线性组合，即
rr r xe rr 并且系数 x 被 e, r 惟一确定.
r 这时 e 称为用线性组合来表示共线向量的基底.
rr
先求 AP1用e1，e2，e3线性表示的关系式 .
联接AF，因为AP1是△AEF的中线，所以有
uuur AP1
1（AuuEur 2
uuur AF）.
又因为AF是△ACD的中线，所以又有
uuur AF
1（AuuCur 2
uuur AD）
12（euur2
uur e3）.
uuur 而AE
1 2
uuur AB
y' e2 , 则
（x x' )e1 ( y y' )e2 0.
若x
ur x '，则e1
y x
y' x'
uur ur uur e2，即e1与e2共线，
与定理的假设矛盾，所以x=x'，
同理y=y'，因此x，y被唯一确定.
四、空间向量的基底
ur uur ur
r
定理 1.4.3 ur uur ur
y （0 或x 0），若uuur与ur e1，ure2都不共线uu，ur 把r它们归结到共
同的起点O，并设OEi
e（i i=1，2），OP
r，过P分别作OE uuur ur uuur uur
，
2
OE1的平行线并交OuuEur1，OuEr 2u于uurA，Buur.因为OA // e1, OB // e2,
rr
证 ：若r xe，则由数乘的定义知r与e共线.
r
r r r
r ，当r与e同向时
rr 反过来，若r与e共线，取x
e
r
，
r rr r ，当r与e反向时
e
rr
则有r xe.
rr r
rr
最后证明x的唯一性.若r xe x'e，则（x x'）e 0，
rr
而r 0，所以x x'.
三、共面向量的基底
一、向量的线性组合 二、共线向量的基底
三、共面向量的基底 四、空间向量的基底
五、向量的线性关系 六、向量线性相关的条件 七、共线向量的条件
八、共面向量的条件
一、向量的线性组合
向量的加法和向量的数乘统称为向量的线性运算.
定义 1.4.1
ur uur uur 由向量 a1, a2,L , an 与实数 1, 2 ,L , n 所组成的向量
1 2
ur e1，
uuur 从而有AP1
14（eur1
uur e2
uur e3）.
uuuur 同理可得AP2
uuur uuuur
uuur AP3
uuur
14（eur1
uur e2
uur e3）.
所以AP1 AP2 AP3，P1，P2，P3，三点重合.
r ur uur
uur
a 1a1 2 a2 L n an ，
叫做向量的线性组合.
r
ur uur uur
r
当向量 a 是向量 a1, a2,L , an 的线性组合时，我们也说：向量 a
ur uur uur
r
可以用向量 a1, a2,L , an 线性表示.或者说，向量 a 可以分解成向量
ur uur uur a1, a2,L , an 的线性组合.
ur uur 这时 e1,e2 叫做平面上向量的基底.
ur uur
ur r uur r r ur uur
证r：因ur 为e1u，ure2不共线，所以有e1 0，e2r 0.设ur r与eu1ur，e2共面，
若r与e（1 或e2）共线，r 由ur定uur理1.4.1，有r xe1 ye2，其中
共面.若xy
0，则xe1
//
e1
, ye r
2
// ur
e2
,由向量加 uur
法的平行四边形法则可知r与x r ur uur
e1，ye2共
面，从而有r与e1，e2共面.
ur uur r
最后证明x，y由 r ur uur
e1，eu2r，r
唯一确定. uur
如果r
x ur
e1
ye2
x uur
'
e1ur
P
E3
ur e3
r r
ur uur ur 向量 e1,e2,e3 叫做空间向量的基底.
ur E1 e1
uur
O e2
E2
B
A
解： p OM MP, p ON NP
设 MP mMB m(b a), NP nNA n(a b)
B
r
b
所以 p a m(b a) (1 m)a mb, N r
ur uur
r ur uur
定理
1.4.2
r 如果向量 e1,uer2
不共线，那么向量 uur
r
与
e1,
er2
共面的
充要条件是 ur uur
r
可以用向量
e1,
e2
线性表示，或者说向量
r
可以分解
成 e1,e2 的线性组合，即 r ur uur
ur uur
r xe1 ye2
并且系数 x, y 被 e1,e2 惟一确定.
平分.
证 设四面体ABCD一组
对边AB, CD的中点E, F的连
ur
线为EF , 它的中点为P1, 其余
e3
两组对边中点连线的中点分
别为P2 , P3 ,下只需证P1, P2 , P3
三点重合就可以了.
A
D
F
P1 uur
e2
C
E ur
e1
B
取不共面的三矢量 AB e1, AC e2 , AD e3,