导数中的数列试题(100题)
导数中的数列问题
高考数学押题系列——数列与导数最值的完美结合
领军教育高三数学 朱腾飞老师
导数解题题目，有一种题型是和数列相结合进行考查的，这类题目在求解时，往往要利用导数研究函数的最值，在根据自变量与通项公式之间的关系进行转化，这类题目的难点在于如何寻找函数中的自变量和数列通项公式的关系，这个考点在近些年的考题中略有体现，所以今天我们（微信公众号：高中数学题型研究）针对这个考点进行了整理，将我们相关的题目进行分析和整理，对考点和难点进行归纳，方便大家参考学习！
【题目一】（2017年新课标卷3理科21题）已知函数()1f x x alnx =−−．
（1）若()0f x ，求a 的值；
（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222
n m ++⋯+<，求m 的最小值．
【题目二】（2021年宝鸡市高考数学三模文科21题）已知函数2()2ln 1f x x x =−+.
（1）求函数()f x 的最大值；
（2）证明：*222572132ln(1),(23n n n N n
+++++>+∈）.
【题目三】（2021年宝鸡市高考数学三模理科20题）已知函数1()2ln .f x x x x
=−
− 求证：
（1）函数()f x 有且仅有一个零点； （2）
*35212ln(1),().1223(1)
n n n N n n ++++>+∈⋅⋅+ 【题目四】（2021年安徽宣城市高考数学模拟最后一卷文科21题）
已知函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣1．
（1）若f （x ）≥0对于任意的x 恒成立，求a 的取值范围；
（2）证明：1111ln(1)23n n
++++≥+对任意的*n N ∈恒成立．。
高三数学数列求和试题答案及解析
高三数学数列求和试题答案及解析1.数列{an }满足a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有am＋n＝a m＋a n＋mn，则＋＋＋…＋＝()A．B．C．D．【答案】B【解析】令m＝1得an＋1＝a n＋n＋1，即an＋1－a n＝n＋1，于是a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，上述n－1个式子相加得an －a1＝2＋3＋…＋n，所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝，当n＝1时，a1＝1满足上式，所以an＝ (n∈N*)，因此＝＝2(－)，所以＋＋＋…＋＝2(1－＋－＋…＋－)＝2(1－)＝2.函数f(x)对任意x∈R都有. （1）求和(n∈N*)的值；（2）数列{an }满足：，求an；（3）令，，，试比较Tn 和Sn的大小。
【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】（1）由于函数f(x)对任意x∈R都有，则令可求的；再令求出；（2）利用倒序相加结合（1）的结论可求出；（3）由及第（2）问的结论求出，用放缩法变形（），用裂项相消法求，再与比较大小.（1）令=2，则；令得，（4分）（2）由，两式相加得：，∴，（8分）（3），(n≥2)∴.（12分）【考点】倒序相加、裂项相消法求数列的前项和.3.对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则．【答案】【解析】因为，所以即因此数列任意相邻两项和为因为，因此所以或，又由.【考点】数列求和4.已知函数，且，则()A．0B．100C．5050D．10200【答案】C【解析】因为，所以，选C.5.已知等差数列的前项和为，且、成等比数列.（1）求、的值；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）解法1是先令求出的表达式，然后令，得到计算出在的表达式，利用为等差数列得到满足通式，从而求出的值，然后利用条件、成等比数列列方程求出的值，从而求出、的值；解法2是在数列是等差数列的前提下，设其公差为，利用公式以及对应系数相等的特点得到、和、之间的等量关系，然后利用条件、成等比数列列方程求出的值，从而求出、的值；（2）解法1是在（1）的前提下求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求数列的和；解法2是利用导数以及函数和的导数运算法则，将数列的前项和视为函数列的前项和在处的导数值，从而求出.试题解析：（1）解法1：当时，，当时，.是等差数列，，得.又，，，、、成等比数列，，即，解得.解法2：设等差数列的公差为，则.，，，.，，.、、成等比数列，，即，解得.；（2）解法1：由（1）得.，.，①，②①②得. .解法2：由（1）得.，.，①由，两边对取导数得，.令，得. .【考点】1.定义法求通项；2.错位相减法求和；3.逐项求导6.数列{an }满足an+1＋(－1)n an＝2n－1，则{an}的前60项和为____________.【答案】1830【解析】当时，；当时，；当时，.将与相减得：；将与相减得：.所以，，所以.【考点】数列.7.在数列{an }中,若对任意的n均有an+an+1+an+2为定值(n∈N*),且a7=2,a9=3,a98=4,则此数列{an}的前100项的和S100=.【答案】299【解析】设定值为M,则an +an+1+an+2=M,进而an+1+an+2+an+3=M,后式减去前式得an+3=an,即数列{an}是以3为周期的数列.由a7=2,可知a1=a4=a7=…=a100=2,共34项,其和为68;由a9=3,可得a 3=a6=…=a99=3,共33项,其和为99;由a98=4,可得a2=a5=…=a98=4,共33项,其和为132.故数列{an}的前100项的和S100=68+99+132=299.8.．己知数列满足，则数列的前2016项的和的值是___________．【答案】1017072【解析】这个数列既不是等差数列也不是等比数列，因此我们要研究数列的各项之间有什么关系，与它们的和有什么联系？把已知条件具体化，有，，，，…，，，我们的目的是求，因此我们从上面2015个等式中寻找各项的和，可能首先想到把出现“＋”的式子相加（即为偶数的式子相加），将会得到，好像离目标很近了，但少，而与分布在首尾两个式子中，那么能否把首尾两个式子相减呢？相减后得到，为了求，我们又不得不求，依次下去，发现此路可能较复杂或者就行不通，重新寻找思路，从头开始我们有，即，而，∴，因此，我们由开始的三个等式求出了，是不是还可用这种方法求出呢？下面舍去，考察，，，同样方法处理，，从而，于是，而，正好504组，看来此法可行，由此我们可得．【考点】分组求和．9.阅读如图程序框图，若输入的，则输出的结果是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，不成立，执行第一次循环，，；不成立，执行第二次循环，，；不成立，执行第三次循环，，；；不成立，执行第一百次循环，，；成立，输出，故选A.【考点】1.数列求和；2.算法与程序框图10.已知数列的各项都是正数，前项和是，且点在函数的图像上．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.已知函数 (R)．(1)当时，求函数的极值；（2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．【答案】（1）当时, 取得极大值为;当时, 取得极小值为.（2）a的取值范围是．【解析】（1）遵循“求导数，求驻点，讨论驻点两侧导数值符号，确定极值”.（2）根据= ，得到△= = .据此讨论：①若a≥1，则△≤0，此时≥0在R上恒成立，f（x）在R上单调递增 .计算f（0），,得到结论.②若a＜1，则△＞0，= 0有两个不相等的实数根，不妨设为．有．给出当变化时，的取值情况表.根据f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞．作出结论.试题解析：（1）当时，，∴.令="0," 得. 2分当时,, 则在上单调递增;当时,, 则在上单调递减;当时,, 在上单调递增. 4分∴当时, 取得极大值为;当时, 取得极小值为. 6分（2）∵= ，∴△= = .①若a≥1，则△≤0， 7分∴≥0在R上恒成立，∴ f（x）在R上单调递增 .∵f（0），,∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点． 9分②若a＜1，则△＞0，∴= 0有两个不相等的实数根，不妨设为．∴．当变化时，的取值情况如下表：x x（x，x）x++11分∵,∴.∴=.同理. ∴.令f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞．而当时,, 13分故当时, 函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点.综上所述，a的取值范围是． 14分【考点】应用导数研究函数的极值、单调性及函数的图象，分类讨论思想.2.函数的极小值是 .【答案】.【解析】，令，解得，列表如下：极大值极小值故函数在处取得极小值，即.【考点】函数的极值3.已知a≤＋lnx对任意的x∈[，2]恒成立，则a的最大值为________．【解析】令f(x)＝＋lnx，f′(x)＝，当x∈[，1)时，f′(x)<0，当x∈(1,2]时，f′(x)>0，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，故a最大值为0.4.已知函数,是函数的导函数，且有两个零点和(),则的最小值为()A．B．C．D．以上都不对【答案】B【解析】，由题意，当或时，，当时，，因此的最小值是，选B．【考点】函数的极值与最值．5.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则 ()．A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【答案】C【解析】当k＝1时，f′(x)＝e x·x－1，f′(1)≠0，∴x＝1不是函数f(x)的极值点．当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xe x＋e x－2)，显然f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)<0，x在1的右边附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．6.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是______．【答案】(，2)【解析】由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得<a<2.7.设函数f(x)＝x e x，则()．A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点【答案】D【解析】∵f(x)＝x e x，∴f′(x)＝e x＋x e x＝e x(1＋x)．∴当f′(x)＞0时，则x＞－1，函数y＝f(x)是增函数，同理可求，x＜－1时函数f(x)为减函数．∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．8.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是()．A．(0,2]B．(0,2)C．[，2)D．(，2)【答案】D【解析】由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得<a<2，故选D.9.若函数在区间内有极值，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】因为函数在区间内有极值，所以导数在区间内必有零点，于是.【考点】1.导数的公式与法则；2.函数的零点.10.某人进行了如下的“三段论”推理：如果，则是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点.你认为以上推理的 ( ) A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【答案】A【解析】本题中，如果，则是函数的极值点是错误的.若是函数的极值点，则函数在的左右两侧异号，而否则尽管有，都不能说明是函数的极值点.如，其导数，函数在上是增函数.所以不是函数的极值点.因此本题是大前提错误.【考点】推理与证明、导数、函数的极值11.在处有极小值，则实数为 .【答案】1【解析】由得，又在处有极小值，故，解得或，当时，有，函数在单调递增，在单调递减，故在处有极小值；当时，有，函数在单调递增，在单调递减，故在处有极大值.综上可知.【考点】利用导数处理函数的极值12.已知函数.(1)当时，求函数的极值；(2)求函数的单调区间.【答案】（1），无极大值；（2）见解析.【解析】（1）先找到函数的定义域，在定义域内进行作答，在条件下求出函数的导函数，根据函数的单调性与导数的关系，判断函数的极值；（2）先求出函数的导函数，其导函数中含有参数，所以要进行分类讨论，对分三种情况，，进行讨论，分别求出每种情况下的函数的单调增区间和单调减区间.试题解析：（1）函数的定义域是， 1分当时，，所以在上递减，在上递增，所以函数的极小值为，无极大值； 4分（2）定义域， 5分①当，即时，由，得的增区间为；由，得的减区间为； 7分②当，即时，由，得的增区间为和；由，得的减区间为； 9分③当，即时，由，得的增区间为和；由，得的减区间为； 11分综上，时，的增区间为，减区间为；时，的增区间为和，减区间为；时，的增区间为和，减区间为. 13分【考点】1、对数函数的定义域；2、含参数的分类讨论思想；3、函数的单调性与导数的关系；4、解不等式；5、求函数的极值.13.已知函数（，，且）的图象在处的切线与轴平行. （1）确定实数、的正、负号；（2）若函数在区间上有最大值为，求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）先求导数，因为切线与轴平行，所以导数为0，列出等式，判断出的符号；（2）求导数，令导数为0，解出方程的根，利用导数的正负判断出函数的单调性，通过分类讨论的方法找到最大值，让最大值等于，解出的值.试题解析：（1） 1分由图象在处的切线与轴平行，知，∴. 2分又，故，. 3分(2) 令,得或. 4分∵，令，得或令，得.于是在区间内为增函数，在内为减函数,在内为增函数.∴是的极大值点，是极小值点. 5分令，得或. 6分分类：①当时，，∴ .由解得， 8分②当时，, 9分∴.由得 . 10分记,∵, 11分∴在上是增函数，又，∴, 12分∴在上无实数根. 13分综上，的值为. 14分【考点】1.用导数求切线的斜率；2.用导数求函数最值.14.已知函数，当时取得极小值，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，解得，当；当；当，故在处取得最小值，即，则，所以，故选D.【考点】导数的极值点求法，导数的极值求解.15.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”。
导数的加法与减法法则专题含答案(1)
导数的加法与减法法则专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 1. 下列运算正确的是( )A. (3x)′=3x log3eB.(sin xx )′=x cos x+sin xx2C.(x−1x )′=1−1x2D.(log2x)′=1x ln22. 若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)>xf′(x)，则（）A.3f(1)>f(3)B.3f(1)<f(3)C.3f(1)＝f(3)D.f(1)＝f(3)3. 等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，f(x)＝x(x−a1)(x−a2)…(x−a8)，f′(x)为函数f(x)的导函数，则f′(0)＝（）A.0B.26C.29D.2124. 已知f(x)=sin x(cos x+1)，则f′(x)等于（）A.cos2x−cos xB.cos2x−sin xC.cos2x+cos xD.cos2x+cos x5. 已知函数f(x)=(x2−3)e x的导函数为f′(x)，若A={x|f(x)>0}，B={x|f′(x)> 0}，则A∪B=( )A.(−∞,−√3)∪(√3,+∞)B.(−∞,−3)∪(1,+∞)C.(−∞,−3)∪(√3,+∞)D.(−∞,−√3)∪(1,+∞)6. 定义在R上的函数f(x)满足(x+2)f′(x)<0(x≠−2)（其中f′(x)是函数f(x)的导数），又a=f(log123)，b=f[(13)0.1]，c=f(ln3)，则( )A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a7. 函数f(x)=√x⋅sin x的导数为（）A.f′(x)=2√x⋅sin x+√x⋅cos xB.f′(x)=2√x√x⋅cos xC.f′(x)=√x √x⋅cos x D.f′(x)=√x−√x⋅cos x8. 函数y=−2e x⋅sin x(1≠a>0)的导数是（）A.−2e x cos xB.−2e x(sin x−cos x)C.2e x sin xD.−2e x(sin x+cos x)9. 已知函数f(x)=xe x，则f′(x)等于（）A.e xB.xe xC.e x(x+1)D.x ln x10. 函数y=e x sin x的导数等于( )A.e x cos xB.e x sin xC.−e x cos xD.e x(sin x+cos x)11. f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)+xf′(x)<0且f(−4)=0，则f(x)>0的解集为()A.(−4, 0)∪(4, +∞)B.[−4,4]C.(−∞, −4)∪(0, 4)D.(−4, 0)∪(0, 4)12. 当a>0时，函数f(x)=(x2−2ax)e x的图象大致是()A. B.C. D.13. 已知函数f(x)=xtan x ，则f′(π4)=()A.1−π4B.1+π2C.1−π2D.114. 已知y=f(x)为R上的可导函数，当x≠0时，f’(x)+f(x)x>0，则函数g(x)=f(x)+1x的零点个数为（）A.1B.2C.0D.0或215. 若为虚数单位，则复数________.16. 函数y =e x sin x 的导数等于________．17. 函数f(x)=sin xsin x+cos x ，则f′(π4)=________．18. 已知函数f(x)=ln x x ，若f′(x 0)=0，则x 0的值为________．19. 函数y =1x 的导数是________．20. 已知f(x)=xe x ，则f′(1)=________．21. 求下列函数的导数： （1）y ＝x 3+log 2x ；（2）y ＝x n e x ；（3）y ＝；（4）y ＝(x +1)99；（5）y ＝2e −x ；（6）y ＝2x sin (2x +5)．22. 已知函数f (x )=x−√2x−1e x.(1)求函数f(x)在x =5时的导数；(2)求f(x)在区间[12,3]上的极值.23. 求下列函数的导数：（1）y=log4x3−log4x2；（2）y=2x 2+1x−2x；（3）y=−2sin x2(2sin2x4−1)．24. 求下列函数的导数（1）y=sin xx（2）y=x log2x+2x3．25. 已知函数f(x)=x2+x ln x(1)求这个函数的导数f′(x)；(2)求这个函数在x=1处的切线方程．26. 已知函数f(x)＝kx−1−k+ln x，k∈R．(Ⅰ)当k＝1时，求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)≥0在x∈(0, +∞)上恒成立，求k的取值范围；(Ⅲ)当k＝0时，对意b>c>0，若a=b−cf(b)−f(c)，求证：a<b．27. 已知函数f(x)=ln(x+1)−f(0)x−f′(0)x2+2．求f(x)的解析式及减区间．参考答案与试题解析导数的加法与减法法则专题含答案一、选择题（本题共计 14 小题，每题 3 分，共计42分）1.【答案】D【考点】简单复合函数的导数导数的乘法与除法法则导数的加法与减法法则【解析】此题暂无解析【解答】解：(3x)′=3x ln3，(sin xx )′=x cos x−sin xx2,(x−1x )′=1+1x2,(log2x)′=1x ln2.故选D.2.【答案】A【考点】导数的乘法与除法法则【解析】根据条件f(x)>xf′(x)可构造函数g(x)=f(x)x，然后得到函数的单调性，从而得到所求．【解答】设g(x)=f(x)x ，g′(x)=xf′(x)−f(x)x2∵f(x)>xf′(x)，∴g′(x)=xf′(x)−f(x)x2<0即g(x)在R上单调递减函数∴f(1)1>f(3)3即3f(1)>f(3)故选：A．3.【答案】D【考点】等比数列的通项公式导数的乘法与除法法则【解析】对函数进行求导发现f′(0)中，含有x的项的值均为0，而常数项为a1a2a3...a8，由此求得f′(0)的值．【解答】考虑到求导中f′(0)，常数项为a1a2a3...a8，再由含有x项均取0，可得：f′(0)＝a1a2a3...a8＝(a1a8)4＝212．4.【答案】C【考点】导数的乘法与除法法则导数的运算【解析】根据导数的乘法法则和三角函数的导数化简即可【解答】解：∵f(x)=sin x(cos x+1)∴f′(x)=(sin x)′(cos x+1)+sin x(cos x+1)′=cos x(cos x+1)+sin x(−sin x)=cos2x−sin2x+cos x=cos2x+cos x故选C5.【答案】D【考点】导数的概念导数的乘法与除法法则导数的运算一元二次不等式的解法并集及其运算【解析】无【解答】解：因为f(x)=(x2−3)e x，所以f′(x)=(x2+2x−3)e x，则A={x|x<−√3或x>√3}，B={x|x<−3或x>1}，故A∪B=(−∞,−√3)∪(1,+∞)．故选D．6.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性导数的乘法与除法法则【解析】先确定函数的自变量的范围和大小关系，再根据导数的符号确定函数的单调性，进一步进行判定函数值的大小即可． 【解答】解：∵ −2<log 123<0<(13)0.1<1<ln 3,而(x +2)f′(x)<0，若x +2>0时，则f′(x)<0, 所以函数f(x)在(−2, +∞)上是单调减函数， ∴ f(ln 3)<f((13)0.1)<f(log 123)，∴ c <b <a ， 故选D ． 7.【答案】 B【考点】导数的乘法与除法法则 【解析】利用导数的乘法法则(uv)′=u′v +uv′计算出即可． 【解答】 解：∵ (√x)′=2√x，(sin x)′=cos x ，∴ f′(x)=(√x)′×sin x +√x ×cos xx =2√x +√x ⋅cos x 故选 B ． 8.【答案】 D【考点】导数的乘法与除法法则 【解析】直接利用积的求导法则(μv)′=μ′v +μv′进行计算，其中(e x )′=e x ，sin ′x =cos x ． 【解答】解：∵ y =−2e x ⋅sin x∴ y′=−2e x ⋅sin x −2e x ⋅cos x =−2e x (sin x +cos x) 故选D ． 9. 【答案】 C【考点】导数的乘法与除法法则 【解析】根据函数的解析式，利用导数的乘法法则，运算求得结果． 【解答】解：∵函数y=xe x，∴y′=(x)′e x+x(e x)′=1⋅e x+xe x=(x+1)e x，故答案为C．10.【答案】D【考点】导数的乘法与除法法则【解析】利用导数乘法法则进行计算，其中(e x)′=e x，sin′x=cos x．【解答】解：∵y=e x sin x，∴y′=(e x)′sin x+(e x)⋅(sin x)′=e x sin x+e x cos x=e x(sin x+cos x)．故选D．11.【答案】D【考点】抽象函数及其应用导数的乘法与除法法则奇偶性与单调性的综合【解析】由题意构造函数g(x)=xf(x)，再由导函数的符号判断出函数g(x)的单调性，由函数f(x)的奇偶性得到函数g(x)的奇偶性，由f(−4)=0得g(4)=0、还有g(−4)=0，再通过奇偶性进行转化，利用单调性求出不等式得解集．【解答】解：设g(x)=xf(x)，则g′(x)=[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)=xf′(x)+f(x)<0，∴函数g(x)在区间(−∞, 0)上是减函数，∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴g(x)=xf(x)是R上的奇函数，∴函数g(x)在区间(0, +∞)上是减函数，∵f(−4)=0，∴f(4)=0；即g(4)=0，g(−4)=0，g(x)的大致图像如图，当f(x)>0时，①x>0且g(x)>0，由图像可知0<x<4，②x<0且g(x)<0，由图像可知−4<x<0，故所求的解集为(−4, 0)∪(0, 4).故选D．12.【答案】B【考点】函数的图象变换利用导数研究函数的单调性导数的乘法与除法法则指数函数综合题【解析】利用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象．【解答】解：由f(x)=0，解得x2−2ax=0，即x=0或x=2a，∵a>0，∴函数f(x)有两个零点，∴A，C不正确；设a=1，则f(x)=(x2−2x)e x，∴f′(x)=(x2−2)e x，由f′(x)=(x2−2)e x>0，解得x>√2或x<−√2．由f′(x)=(x2−2)e x<0，解得−√2<x<√2，即x=−√2是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选B．13.【答案】C【考点】导数的乘法与除法法则【解析】求出原函数的导函数，然后直接代入x=π4求值．【解答】解：由f(x)=xtan x =x cos xsin x，所以f′(x)=(x cos x)′sin x−x cos x(sin x)′sin2x =sin x cos x−xsin2x．所以f′(π4)=sinπ4cosπ4−π4sin2π4=√22×√22−π4(√22)=1−π2．故选C．14.【答案】C【考点】函数单调性的性质利用导数研究函数的最值函数的最值及其几何意义导数的乘法与除法法则【解析】此题暂无解析【解答】因为函数y=f(x)为R上的可导函数，当x≠0，时，f′(x)+f(x)x )0．即可xf′(x)+f(x)2>0．令ℎ(x)=xf(x)，即ℎ′(x)x >0．所以可得{ℎ(x)>0x>0或{ℎ(x)<0x<0．所以当函数ℎ(x)在x>0，时单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(0)=0）．即函数当x>0，时，ℎ(x)>0．同理x<0时，ℎ(x)>0．又因为函数g(x)=f(x)+1x 可化为g(x)=xf(x)+1x．所以当x>0时，g(x)>0即与x轴没交点．当x<0，时，g(x)>0．所以函数g(x)=f(x)+1的零点个数为0．故选C．c二、填空题（本题共计 6 小题，每题 3 分，共计18分）15.【答案】′2【考点】导数的运算导数的乘法与除法法则复数的代数表示法及其几何意义【解析】由题意结合复数的乘法、除法运算法则直接计算即可得解．【解答】由题意3(1−i)2=31−2i+i2=3−2i=3i−2i2=32i．故答案为：32i16.【答案】e x(sin x+cos x)【考点】导数的乘法与除法法则导数的运算【解析】利用导数的运算法则即可得出．【解答】解：∵函数y=e x sin x，∴y′=e x(sin x+cos x)．故答案为e x(sin x+cos x)．17.【答案】12【考点】导数的乘法与除法法则【解析】先根据导数除法法则求出导函数，然后将π4代入求值，即可求出所求．【解答】解：f′(x)=cos x(sin x+cos x)−sin x(cos x−sin x)(sin x+cos x)2=1(sin x+cos x)2，∴f′(π4)=12故答案为：12．18.【答案】e【考点】导数的乘法与除法法则【解析】根据导数的运算法则即可得到结论．【解答】解：函数f(x)的定义域为(0, +∞)，则函数的导数为f′(x)=1x×x−ln xx2=1−ln xx2，若f′(x0)=0，则1−ln x0x02=0，即ln x0=1，解得x0=e，故答案为：e19.【答案】−1 x2【考点】导数的乘法与除法法则【解析】利用导数的运算法则就看得出．【解答】解：∵y=1x ，∴y′=−1x2．故答案为−1x2．20.【答案】2e【考点】导数的乘法与除法法则【解析】先对函数求导，然后把x=1代入导函数中即可求解【解答】解：由题意可得，f′(x)=e x+xe x∴f′(1)=e+e=2e故答案为：2e三、解答题（本题共计 7 小题，每题 10 分，共计70分）21.【答案】∵y＝x3+logx，∴；2∵y＝x n e x，∴y′＝(x n)′e x+x n(e x)′＝nx n−1e x+x n e x＝(nx n−1+x n)e x；∵y＝，∴＝；∵y＝(x+5)99，∴y′＝99(x+1)98(x+1)′＝99(x+8)98；∵y＝2e−x，∴y′＝2e−x(−x)′＝−6e−x；∵y＝2x sin(2x+3)，∴y′＝(2x)′[sin(2x+5)]+2x[sin(2x+7)]′＝2sin(2x+5)+ 4x cos(2x+3)．【考点】简单复合函数的导数导数的运算导数的乘法与除法法则【解析】直接利用导数的运算法则及基本初等函数的导数公式求解．【解答】∵y＝x3+logx，∴；2∵y＝x n e x，∴y′＝(x n)′e x+x n(e x)′＝nx n−1e x+x n e x＝(nx n−1+x n)e x；∵y＝，∴＝；∵y＝(x+5)99，∴y′＝99(x+1)98(x+1)′＝99(x+8)98；∵ y ＝2e −x ，∴ y′＝2e −x (−x)′＝−6e −x ；∵ y ＝2x sin (2x +3)，∴ y′＝(2x)′[sin (2x +5)]+2x[sin (2x +7)]′＝2sin (2x +5)+4x cos (2x +3)． 22. 【答案】解：(1)f ′(x)=(1−√2x−1)e −x −(x −√2x −1)e −x =√2x−1−2)e −x√2x−1，当x =5时， f ′(5)=√2×5−1−2)e −5√2×5−1=−43e −5. (2)令f ′(x)=√2x−1−2)e −x√2x−1=0，得x =1或x =52，当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：当x =52时，取得极大值为f (52)=12e −52. 【考点】利用导数研究函数的极值 导数的乘法与除法法则 导数的运算【解析】本题考查导数的运算，利用导数求极值，属于中档题. (1)利用运算法则，直接求即可；(2)求出导数，由导数等于0，求出x 的值，列表即可求出结果. 【解答】解：(1)f ′(x)=(1−√2x−1)e −x −(x −√2x −1)e −x =√2x−1−2)e −x√2x−1，当x =5时，f ′(5)=√2×5−1−2)e −5√2×5−1=−43e −5. (2)令f ′(x)=√2x−1−2)e −x√2x−1=0，得x =1或x =52，当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：当x =52时，取得极大值为f (52)=12e −52. 23.【答案】 解：（1）∵ y =log 4x 3−log 4x 2=log 4x ， ∴ y′=(log 4x)′=1x ln 4；（2）∵ y =2x 2+1x −2x =2x +1x−2x =1x，∴ y′=(1x )′=−1x 2；（3）∵ y =−2sin x2(2sin 2x4−1)=2sin x2(1−2sin 2x4)=2sin x 2cos x2=sin x ． ∴ y′=(sin x)′=cos x ．【考点】导数的乘法与除法法则 【解析】（1）利用对数式的运算性质化简给出的函数，然后利用对数函数的求导公式计算； （2）把给出的函数拆开后利用幂函数的求导公式计算； （3）利用倍角公式化简给出的函数，然后直接对正弦函数求导． 【解答】 解：（1）∵ y =log 4x 3−log 4x 2=log 4x ， ∴ y′=(log 4x)′=1x ln 4；（2）∵y=2x 2+1x−2x=2x+1x−2x=1x，∴y′=(1x )′=−1x2；（3）∵y=−2sin x2(2sin2x4−1)=2sin x2(1−2sin2x4)=2sin x2cos x2=sin x．∴y′=(sin x)′=cos x．24.【答案】解：（1）由y=sin xx，得y′=(sin xx )′=(sin x)′⋅x−x′⋅sin xx2=x cos x−sin xx2；（2）由y=x log2x+2x3，得：y′=(x log2x+2x3)′=(x log2x)′+(2x3)′=x′⋅log2x+x⋅(log2x)′+6x2=log2x+1ln2+6x2．【考点】导数的乘法与除法法则【解析】（1）直接运用导数的除法法则展开后运算；（2）先用和的导数等于导数的和展开，然后运用导数的乘法法则进行运算．【解答】解：（1）由y=sin xx，得y′=(sin xx )′=(sin x)′⋅x−x′⋅sin xx2=x cos x−sin xx2；（2）由y=x log2x+2x3，得：y′=(x log2x+2x3)′=(x log2x)′+(2x3)′=x′⋅log2x+x⋅(log2x)′+6x2=log2x+1ln2+6x2．25.【答案】解：(1)f′(x)=(x2)′+(x ln x)′=2x+1×ln x+x⋅1 x=2x+ln x+1．(2)由题意可知切点的横坐标为1，所以切线的斜率是k=f′(1)=2×1+ln1+1=3，切点纵坐标为f(1)=1+1×ln1=1，故切点的坐标是(1, 1)，所以切线方程为y−1=3(x−1)，即3x−y−2=0．【考点】导数的运算导数的乘法与除法法则利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)f′(x)=(x2)′+(x ln x)′=2x+1×ln x+x⋅1 x=2x+ln x+1．(2)由题意可知切点的横坐标为1，所以切线的斜率是k=f′(1)=2×1+ln1+1=3，切点纵坐标为f(1)=1+1×ln1=1，故切点的坐标是(1, 1)，所以切线方程为y−1=3(x−1)，即3x−y−2=0．26.【答案】（1）当k＝1时，f(x)＝x−1−1+ln x，故f′(x)=1x −1x2=x−1x2，令f′(x)>0，解得：x>1，令f′(x)<0，解得：0<x<1，故f(x)在(0, 1]递减，在(1, +∞)递增；（2）由已知得：f′(x)=1x −kx2=x−kx2，x∈(0, +∞)，当k≤0时，f(12)＝−ln2+k<0，与条件f(x)≥0矛盾，当k>0时，若0<x<k，f′(x)<0，f(x)递减，若x>k，f′(x)>0，f(x)递增，故f(x)在(0, +∞)上的最小值是f(k)＝ln k+1−k，故f(k)＝ln k+1−k≥0(1)，令g(x)＝ln x+1−x，故g′(x)=1x −1=1−xx2，故0<x<1时，g′(x)>0，g(x)递增，当x>1时，g′(x)<0，g(x)递减，故g(x)在(0, +∞)上的最大值是g(1)＝0，g(x)＝ln x+1−x≤0，故ln k+1−k≤0(2)，由（1）（2）得ln k+1−k＝0，解得：k＝1，综上可得k的范围是{1}；(Ⅲ)当k＝0时，f(x)＝ln x，则1a =ln b−ln cb−c=lnbcb−c①，由(Ⅱ)可知ln x+1x −1≥0，故ln x≥1−1x（当且仅当x＝1时“＝”成立），∵b>c>0，∴bc >1，ln bc>1−cb=b−cb②，故由①②得1a >1b即a<b．【考点】利用导数研究函数的最值导数的乘法与除法法则【解析】(Ⅰ)代入k的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数f(x)的最小值，得到关于k的不等式，解出即可；(Ⅲ)代入k＝0，根据1a =lnbcb−c以及ln bc≥b−cb，证明结论即可．【解答】（1）当k＝1时，f(x)＝x−1−1+ln x，故f′(x)=1x −1x2=x−1x2，令f′(x)>0，解得：x>1，令f′(x)<0，解得：0<x<1，故f(x)在(0, 1]递减，在(1, +∞)递增；（2）由已知得：f′(x)=1x −kx2=x−kx2，x∈(0, +∞)，当k≤0时，f(12)＝−ln2+k<0，与条件f(x)≥0矛盾，当k>0时，若0<x<k，f′(x)<0，f(x)递减，若x>k，f′(x)>0，f(x)递增，故f(x)在(0, +∞)上的最小值是f(k)＝ln k+1−k，故f(k)＝ln k+1−k≥0(1)，令g(x)＝ln x+1−x，故g′(x)=1x −1=1−xx2，故0<x<1时，g′(x)>0，g(x)递增，当x>1时，g′(x)<0，g(x)递减，故g(x)在(0, +∞)上的最大值是g(1)＝0，g(x)＝ln x+1−x≤0，故ln k+1−k≤0(2)，由（1）（2）得ln k+1−k＝0，解得：k＝1，综上可得k的范围是{1}；(Ⅲ)当k＝0时，f(x)＝ln x，则1a =ln b−ln cb−c=lnbcb−c①，由(Ⅱ)可知ln x+1x −1≥0，故ln x≥1−1x（当且仅当x＝1时“＝”成立），∵b>c>0，∴bc >1，ln bc>1−cb=b−cb②，故由①②得1a >1b即a<b．27.【答案】解：∵f(x)=ln(x+1)−f(0)x−f′(0)x2+2．∴f(0)=2．函数的定义域为(−1, +∞)则f(x)=ln(x+1)−2x−f′(0)x2+2．∴f′(x)=1x+1−2−2f′(0)x．则f′(0)=1−2=−1．即f(x)=ln(x+1)−2x+x2+2．f′(x)=1x+1−2+2x，由f′(x)=1x+1−2+2x <0，即1x+1<2−2x ， 则1<2(x +1)(1−x)， 则12<1−x 2， 即x 2<12，则−√22<x <√22， 即函数的减区间为(−√22,√22)． 【考点】利用导数研究函数的单调性 导数的乘法与除法法则 斜率的计算公式【解析】求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论． 【解答】解：∵ f(x)=ln (x +1)−f(0)x −f′(0)x 2+2． ∴ f(0)=2．函数的定义域为(−1, +∞) 则f(x)=ln (x +1)−2x −f′(0)x 2+2． ∴ f′(x)=1x+1−2−2f′(0)x ．则f′(0)=1−2=−1．即f(x)=ln (x +1)−2x +x 2+2． f′(x)=1x+1−2+2x ， 由f′(x)=1x+1−2+2x <0， 即1x+1<2−2x ， 则1<2(x +1)(1−x)， 则12<1−x 2， 即x 2<12，则−√22<x <√22， 即函数的减区间为(−√22,√22)．。
高考数学压轴专题专题备战高考《数列》全集汇编含答案解析
【高中数学】数学高考《数列》试题含答案一、选择题1．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数取出．先取1；再取1后面两个偶数2,4；再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去，得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个新数列中，由1开始的第2 019个数是( ) A ．3 971 B ．3 972C ．3 973D ．3 974【答案】D 【解析】 【分析】先对数据进行处理能力再归纳推理出第n 组有n 个数且最后一个数为n 2，则前n 组共1+2+3+…+n ()12n n +=个数，运算即可得解．【详解】解：将新数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，分组为（1），（2，4），（5，7，9，），（10，12，14，16），（17，19，21，23，25）… 则第n 组有n 个数且最后一个数为n 2， 则前n 组共1+2+3+…+n ()12n n +=个数，设第2019个数在第n 组中，则()()120192120192n n n n ⎧+≥⎪⎪⎨-⎪⎪⎩＜，解得n ＝64，即第2019个数在第64组中，则第63组最后一个数为632＝3969，前63组共1+2+3+…+63＝2016个数，接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974， 故选：D ． 【点睛】本题考查了对数据的处理能力及归纳推理能力，考查等差数列前n 项和公式，属中档题．2．已知数列22333311313571351,,,,,,,...,,,, (2222222222)nn n ，则该数列第2019项是（ ） A ．1019892 B ．1020192 C ．1119892 D ．1120192 【答案】C【解析】 【分析】由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号里的第995项. 【详解】 由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11212m -， 所以第12个括号里的第995项是1119892. 故选：C. 【点睛】本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.3．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6a ，43a ，5a -成等差数列，则42S S ( ) A ．3 B ．9C ．10D ．13【答案】C 【解析】 【分析】设{}n a 的公比为0q >，由645,3,a a a -成等差数列，可得260,0q q q --=>，解得q ，再利用求和公式即可得结果. 【详解】设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为0q >，Q 满足645,3,a a a -成等差数列，()2465446,6,0a a a a a q q q ∴=-∴=->， 260,0q q q ∴--=>，解得3q =，则()()4124221313131103131a S S a --==+=--，故选C. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列所有项中，中间项的值为（ ） A ．992 B ．1022C ．1007D ．1037【答案】C 【解析】 【分析】首先将题目转化为2n a -即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数.再写出{}n a 的通项公式，算其中间项即可. 【详解】将题目转化为2n a -即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数. 即215(1)n a n -=-，1513n a n =-当135n =，135151351320122019a =⨯-=<， 当136n =，136151361320272019a =⨯-=>， 故1,2,n =……，135数列共有135项．因此数列中间项为第68项，681568131007a =⨯-=. 故答案为：C ． 【点睛】本题主要考查数列模型在实际问题中的应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.5．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（ ） A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺【解析】 【分析】结合题意将其转化为数列问题,并利用等差数列通项公式和前n 项和公式列方程组,求出首项和公差,由此能求出结果. 【详解】解:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}n a ,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,∴()()111913631.598985.52a a d a d S a d ⎧++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩, 解得113.5a =,1d =-,∴小满日影长为1113.510(1) 3.5a =+⨯-=（尺）. 故选C . 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式,以及等差数列通项公式的运算等基础知识,掌握各公式并能熟练运用公式求解,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于基础题.6．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n +1+a n +2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A ．132 B ．299C ．68D ．99【答案】B 【解析】 【分析】由12n n n a a a ++++为定值，可得3n n a a +=，则{}n a 是以3为周期的数列，求出123,,a a a ，即求100S . 【详解】对任意的n ∈+N ，均有12n n n a a a ++++为定值，()()123120n n n n n n a a a a a a +++++∴++-++=，故3n n a a +=，{}n a ∴是以3为周期的数列，故17298392,4,3a a a a a a ======，()()()100123979899100123133S a a a a a a a a a a a ∴=+++++++=+++L()332432299=+++=.【点睛】本题考查周期数列求和，属于中档题.7．设函数()mf x x ax =+的导数为()21f x x '=+，则数列()()2N n f n *⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和是（ ） A ．1nn + B ．21nn + C ．21nn - D ．()21n n+ 【答案】B 【解析】 【分析】函数()mf x x ax =+的导函数()21f x x '=+，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可求出m ，a ，利用裂项相消法求出()()2N n f n *⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和即可．【详解】Q 1()21m f x mx a x -'=+=+，1a \=，2m =，()(1)f x x x ∴=+，112()()(1)221f n n n n n ==-++， ∴111111122[()()()]2(1)1223111n n S n n n n =-+-++-=-=+++L ，故选：B ． 【点睛】本题考查数列的求和运算，导数的运算法则，数列求和时注意裂项相消法的应用．8．已知数列{}n a 的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且11a =，22a =，347a a +=，5613a a +=，则78a a +=（ ）A ．4B ．19C ．20D ．23【答案】D 【解析】 【分析】本题首先可以设出奇数项的公差以及偶数项的公比，然后对347a a +=、5613a a +=进行化简，得出公差和公比的数值，然后对78a a +进行化简即可得出结果． 【详解】设奇数项的公差为d ，偶数项的公比为q ，由347a a +=，5613a a +=，得127d q ++=，212213d q ++=，解得2d =，2q =，所以37813271623a a d q +=++=+=，故选D ．【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，体现基础性与综合性，提升学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A ．10 B ．7C ．8D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可将已知等式变为12332224a a a S a ++==，解方程求得结果. 【详解】 由题意得：13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+=== 38S ∴= 本题正确选项：C 【点睛】本题考查等比数列性质的应用，关键是能够根据下角标的关系凑出关于3S 的方程，属于基础题.10．已知数列{}n a 满足：()()2*112,10n n n a a S S n +=+-=∈N ，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.设()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ，若对任意的n 均有(1)()f n kf n +<成立，则k 的最小整数值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】A 【解析】 【分析】当1n ≥时，有条件可得()211n n n nS S S S +--=-，从而111n n nS S S +--=，故111111n n S S +-=--，得出 11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列，从而求出n S 【详解】当1n ≥时，有条件可得()211n n n nS S S S +--=-，从而111n n nS S S +--=，故111111111n n n n n S S S S S +-=-=----，又1111121S ==--，11n S ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列，11n n S ∴=-，1n n S n +=，由()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ， 得()1(1)1(1)23152,2()2223n n S f n n f n n n n +++++⎡⎫===-∈⎪⎢+++⎣⎭， 依题意知(1)()f n k f n +>， min 2k ∴=.故选：A 【点睛】本题考查数列的综合应用.属于中等题.11．执行如图所示的程序框图，若输出的S 为154，则输入的n 为（ ）A ．18B ．19C ．20D ．21【答案】B 【解析】 【分析】找到输出的S 的规律为等差数列求和，即可算出i ，从而求出n . 【详解】由框图可知，()101231154S i =+++++⋯+-= ， 即()1231153i +++⋯+-=，所以()11532i i -=，解得18i =，故最后一次对条件进行判断时18119i =+=，所以19n =. 故选：B 【点睛】本题考查程序框图，要理解循环结构的程序框图的运行，考查学生的逻辑推理能力.属于简单题目.12．在递减等差数列{}n a 中，21324a a a =-．若113a =，则数列11{}n n a a +的前n 项和的最大值为 ( ) A ．24143B ．1143C ．2413D ．613【答案】D 【解析】设公差为,0d d < ，所以由21324a a a =-，113a =，得213(132)(13)42d d d +=+-⇒=- （正舍），即132(1)152n a n n =--=- ， 因为111111()(152)(132)2215213n n a a n n n n +==----- ，所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和等于1111116()()213213213261313n --≤--=-⨯- ，选D. 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(1)(3)n n ++或1(2)n n +.13．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若103010,30,S S ==则20S = A ．10 B ．20 C ．20或-10 D ．-20或10【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列即（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20），代入可求． 【详解】由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列，且公比为10q∴（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20）即()()22020101030S S -=- 解20S =20或-10（舍去） 故选B ． 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质（若S n 为等比数列的前n 项和，且S k ，S 2k ﹣S k ，S 3k ﹣S 2k 不为0，则其成等比数列）的应用，注意隐含条件的运用14．已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12...,(*)n n T c c c n N =+++∈，则当2019n T <时，n 的最大值是( ) A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】A 【解析】 【分析】由题设知21n a n =-，12n nb -=，由1121124222n n n b b bn T a a a a a a a n -+=++⋯+=+++⋯+=--和2019n T <，得1222019n n +--<，由此能求出当2019n T <时n 的最大值．【详解】{}n a Q 是以1为首项，2为公差的等差数列，21n a n ∴=-，{}n b Q 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n b -∴=，()()()()1121121242211221241221n n n n b b bn T c c c a a a a a a a --∴=++⋯+=++⋯+=+++⋯+=⨯-+⨯-+⨯-+⋯+⨯- ()121242n n -=+++⋯+- 12212nn -=⨯-- 122n n +=--，2019n T <Q ，1222019n n +∴--<，解得：10n <．则当2019n T <时，n 的最大值是9． 故选A ． 【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，结合含两个变量的不等式的处理问题，易出错，属于中档题.15．已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，则“3152a a a >+”是“210n S -<”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式与求和公式,即可判断命题间的关系. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列,前n 项和为n S 若3152a a a >+,由等比数列的通项公式可得111242a a q a q >+,化简后可得()21210q a -<.因为()2210q -≥所以不等式的解集为10a < 若210n S -<当公比1q ≠±时, 210n S -<则10a <,可得3152a a a >+ 当公比1q =±时, 由210n S -<则10a <,可得3152a a a =+ 综上可知, “3152a a a >+”是“210n S -<”的充分不必要条件 故选:B 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用,在应用等比数列求和公式时,需记得讨论公比是否为1的情况,属于中档题.16．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取lg30.4771≈，lg 20.3010≈）A ．16B ．17C ．24D ．25【答案】D 【解析】 【分析】由折线长度变化规律可知“n 次构造”后的折线长度为43na ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此得到410003n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，利用运算法则可知32lg 2lg 3n ≥⨯-，由此计算得到结果.【详解】记初始线段长度为a ，则“一次构造”后的折线长度为43a ，“二次构造”后的折线长度为243a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以此类推，“n 次构造”后的折线长度为43na ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003n a a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即410003n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， ()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333n n n n ⎛⎫∴==-=-≥= ⎪⎝⎭， 即324.0220.30100.4771n ≥≈⨯-，∴至少需要25次构造. 故选：D .【点睛】 本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.17．已知数列{}n a 的前n 项和()2*23n S n n n N =+∈，则{}na 的通项公式为（ ） A ．21n a n =+B ．21n a n =-C ．41n a n =+D ．41n a n =-【答案】C【解析】【分析】 首先根据223n S n n =+求出首项1a 的值，然后利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可.【详解】因为223n S n n =+，所以，当2n ≥时，22123[2(1)3(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+，当1n =时，11235==+=a S ，上式也成立，所以41n a n =+，故选C.【点睛】该题考查的是有关数列的通项公式的求解问题涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后再判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果.18．正项等比数列{}n a 中的1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则2020a =（ ）A ．1-B ．1 CD ．2【答案】B【解析】【分析】根据可导函数在极值点处的导数值为0，得出140396a a =，再由等比数列的性质可得.【详解】解：依题意1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，也就是()2860f x x x '=-+=的两个根∴140396a a =又{}n a是正项等比数列，所以2020a =∴20201a ==.故选：B【点睛】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.19．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a n +=++，则122016111a a a +++=L （ ） A ．20152016B ．40322017C ．40342017D ．20162017【答案】B【解析】【分析】 首先根据题设条件，由11n n a a n +=++，可得到递推关系为11n n a a n +-=+； 接下来利用累加法可求得()12n n n a +=，从而()1211211na n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，由此就可求得122016111a a a +++L 的值. 【详解】因为111n n n a a a n a n +=++=++，所以11n n a a n +-=+，用累加法求数列{}n a 的通项得：()()1211n n n a a a a a a -=+-+⋯+-()1122n n n +=++⋯+=， 所以()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，于是1232016111111111212222320162017a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ +++⋯+=-+-+⋯+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 121201*********⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题是一道考查数列的题目，掌握数列的递推关系以及求解前n 项和的方法是解答本题的关键，属于常考题.20．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知()*123n n a a n n N ++=+∈且1300n S =，若23a <，则n 的最大值为（ ）A ．49B ．50C ．51D ．52【答案】A【解析】【分析】对n 分奇偶性分别讨论，当n 为偶数时，可得2+32n n n S =，发现不存在这样的偶数能满足此式，当n 为奇数时，可得21+342n n n S a -=+，再结合23a <可讨论出n 的最大值. 【详解】当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++(213)(233)[2(1)3]n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+2[13(1)]32n n =⨯++⋅⋅⋅+-+⨯2+32n n =， 因为22485048+348503501224,132522S S ⨯+⨯====， 所以n 不可能为偶数；当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++⋅⋅⋅++1(223)(243)[2(1)3]a n =+⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+21342n n a +-=+ 因为2491149349412722S a a +⨯-=+=+， 2511151351413752S a a +⨯-=+=+， 又因为23a <，125a a +=，所以 12a >S 时，n的最大值为49所以当1300n故选：A【点睛】此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.。
高三数学导数试题答案及解析
高三数学导数试题答案及解析1.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是()A．∃x0∈R，f(x)＝0B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x)上单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x)＝0【答案】C【解析】若c＝0，则有f(0)＝0，所以A正确．由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c得f(x)－c＝x3＋ax2＋bx，因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的对称中心为(0,0)，所以f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的对称中心为(0，c)，所以B正确．由三次函数的图象可知，若x是f(x)的极小值点，则极大值点在x0的左侧，所以函数在区间(－∞，x)单调递减是错误的，D正确．2.已知集合，以下命题正确的序号是．①如果函数，其中，那么的最大值为。
②数列满足首项,，当且最大时，数列有2048个。
③数列满足，，，如果数列中的每一项都是集合M的元素，则符合这些条件的不同数列一共有33个。
④已知直线，其中，而且，则一共可以得到不同的直线196条。
【答案】②③④【解析】①令，，则，所以，故不正确．②由条件知数列是首项为，公差为2的等差数列，则，则当时，，所以各有两种可能取值，因此满足条件的数列有个，故正确．③根据条件可知满足条件的数列可分为四类：（1），且，有9种；（2），且，有5种；（3），且，有10种；（4），且，有9种，共有9＋5＋10＋9＝33种．④满足的选法有，其中比值相同重复有14种，因此满足条件的直线共有210－14＝196．【考点】1、导数的计数；2、等差数列；3、计数原理．3.已知集合，以下命题正确的序号是．①如果函数，其中，那么的最大值为．②数列满足首项,，当且最大时，数列有2048个．③数列满足，，，如果数列中的每一项都是集合M的元素，则符合这些条件的不同数列一共有33个．④已知直线，其中，而且，则一共可以得到不同的直线196条．【答案】②③④【解析】对①，将求导得：，所以．故错.对②，是一个等差数列，都是互为相反数的两个值，所以数列共有个．对③，由得.法一、由于，，故将加4个2，再减3个2即可.由于故不能连续加4次，也不能连续减3次，所以共有个.法二、因为，所以或，注意到数列中的每一项都是集合M的元素，依次下去可得.由于，所以.由此我们可得以下树图：，所以符合这些条件的不同数列一共有14+19＝33个．法三、由于或，，故可以分以下四种情况分别求解：.，共有9个；，共有5个；，共有10个；，共有9个.所以总共有33个.对④，从中取3个不同的数作为，因为，所以共有种取法.再排除其中重复的直线.与相同的有，多3条；与相同的有，多2条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条；与相同的有，多2条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条；与相同的有，多2条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条（注意这种情况在前面已经考虑了）；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条.一共可以得到不同的直线条．【考点】1、导数；2、数列；3、直线的方程；4、计数原理.4.曲线在点（1,0）处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于 .【答案】【解析】∵，∴，所以切线方程为：，∴三角形面积为.【考点】1.利用导数求切线方程；2.三角形的面积公式.5.设是定义在R上的奇函数，且,当时，有恒成立，则不等式的解集是（）A．(-2,0) ∪(2,+∞)B．(-2,0) ∪(0,2)C．(-∞,-2)∪(2,+∞)D．(-∞,-2)∪(0,2)【答案】D【解析】根据和构造的函数在（0，+∞）上单调递减，又是定义在R上的奇函数，故是定义在R上单调递减.因为f（2）=0，所以在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以在（-∞，-2）内恒有f（x）＞0；在（-2，0）内恒有f（x）＜0．又不等式x2f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．所以答案为（-∞，-2）∪（0，2）．【考点】1.导数在函数单调性中的应用；2.复合函数的导数.6.曲线处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A．B．C．D．【答案】A【解析】切线斜率，故切线方程为，即，其和坐标轴围成的三角形面积，选A.【考点】导数的几何意义、直线方程.7.已知函数在区间上是增函数,则实数的取值范围为 .【答案】【解析】由题意知在有定义，即在恒成立，即，又在增，故在恒成立，因为，故，综上可知,.【考点】利用导数研究函数单调性、函数最值.8.已知函数，.(Ⅰ)若，求函数在区间上的最值；(Ⅱ)若恒成立，求的取值范围. （注：是自然对数的底数）【答案】(Ⅰ) 最大值；(Ⅱ)的取值范围是.【解析】(Ⅰ) 讨论去掉绝对值，利用导数求得最值； (Ⅱ) 对分，讨论：当时，，恒成立，所以；当时，对讨论去掉绝对值，分离出通过求函数的最值求得的范围.试题解析：(1) 若，则.当时，，，所以函数在上单调递增；当时，，.所以函数在区间上单调递减，所以在区间[1,e]上有最小值，又因为，，而，所以在区间上有最大值.(2)函数的定义域为．由，得．（*）（ⅰ）当时，，，不等式（*）恒成立，所以；（ⅱ）当时，①当时，由得，即，现令，则，因为，所以，故在上单调递增，从而的最小值为，因为恒成立等价于，所以；②当时，的最小值为，而，显然不满足题意.综上可得，满足条件的的取值范围是.【考点】绝对值的计算、函数的最值求法、利用导数求函数单调性.9.定义在上的函数同时满足以下条件：①函数在上是减函数，在上是增函数；②是偶函数；③函数在处的切线与直线垂直.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设，若存在使得，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由三个条件可得三个等式，从而可求出三个未知数.（Ⅱ）一般地若存在使得，则;若存在使得，则.在本题中，由可得: .则大于的最小值.试题解析：（Ⅰ）,由题设可得:所以（Ⅱ）由得: 即:令由题意得:所以在单调递增,在上单调递减又,所以的最小值为【考点】函数的性质,导数的求法及应用.10.设，曲线在点处的切线与直线垂直.(1)求的值;(2) 若，恒成立，求的范围.(3)求证：【答案】(1) 0. (2) .(3) 结合（2）时,成立.令得到，累加可得.【解析】(1)求导数，并由得到的值; (2)恒成立问题，往往转化成求函数的最值问题.本题中设，即转化成.利用导数研究函数的最值可得.(3) 结合（2）时,成立.令得到，累加可得.试题解析：(1) 2分由题设，，. 4分(2) ,，，即设，即.6分①若，，这与题设矛盾. 8分②若方程的判别式当，即时，.在上单调递减，，即不等式成立. 9分当时，方程，其根，，当,单调递增，，与题设矛盾.综上所述， . 10分(3) 由(2)知,当时, 时,成立.不妨令所以，11分12分累加可得14分【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的性质，利用导数证明不等式.11.设函数 (R)，且该函数曲线在处的切线与轴平行.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）证明：当时，.【答案】（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）先求出原函数的导函数，令导函数大于零得单调增区间，令导函数小于零得单调减区间；（Ⅱ）当时，，在上单调递增，求出在上的最大值为和最小值，用最大值减去最小值可得结论.试题解析：（Ⅰ），由条件知，故则 3分于是.故当时，；当时，。
高二数学数列求和试题答案及解析
高二数学数列求和试题答案及解析1.已知数列的前项和为，且，；数列中，点在直线上．（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前和为，求；【答案】（1），（2）【解析】（1）求数列的通项公式用公式法即可推导数列为等比数列，根据等比数列通项公式可求。
求的通项公式也用公式法，根据已知条件可知数列为等差数列，根据等差数列的通项公式可直接求得。
（2）用列项相消法求和。
试题解析：解：（1）∵，∴当时，…2分所以，即∴数列是等比数列．∵，∴∴． 5分∵点在直线上，∴，即数列是等差数列，又，∴．…7分（2）由题意可得，∴， 9分∴，…10分∴． 14分【考点】1求数列的通向公式；2数列求和。
2.数列的通项公式，则该数列的前（）项之和等于.A．B．C．D．【答案】B【解析】，令，解得.故选B.【考点】数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）3.设数列中，，则通项 ___________．【答案】．【解析】由已知得，即数列后项与前项的差，求它的通项公式的方法是的累加法，，＝．【考点】数列的求和．4.已知数列的前n项和，则（）A．20B．19C．18D．17【答案】C【解析】当时，有【考点】数列求通项点评：由数列前n项和求通项5.观察下列三角形数表：第一行第二行第三行第四行第五行………………………………………….假设第行的第二个数为.（1）依次写出第八行的所有8个数字；（2）归纳出的关系式，并求出的通项公式.【答案】（1）根据已知条件可知每一个数字等于肩上两个数之和，那么可知第八行中的8个数字为8,29,63,91,91,63,29,8（2）【解析】(1)8,29,63,91,91,63,29,8(规律：每行除首末数字外，每个数等于其肩上两数字之和)（2）由已知：，所以有：，, ,……,,将以上各式相加的：所以的通项公式为：。
【考点】累加法求解数列的通项公式点评：主要是考查了递推关系式的运用，结合累加法来求解数列的通项公式，属于基础题。
高三数学导数的实际应用试题
高三数学导数的实际应用试题1.已知函数 ().（1）若,求函数的极值;（2）设．①当时,对任意,都有成立,求的最大值;②设的导函数.若存在,使成立,求的取值范围.【答案】（1）极大值是e－1,极小值（2）①－1－e－1②(－1,＋∞)【解析】（1）当a＝2,b＝1时,f (x)＝(2＋)e x,定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞).所以f ′(x)＝e x令f ′(x)＝0,得x1＝－1,x2＝,列表x(－∞,－1)－1(－1,0)(0, )(,＋∞)－↗极大值极小值↗由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e－1,f (x)的极小值是f ()＝（2）①因为g (x)＝(ax－a)e x－f (x)＝(ax－－2a)e x,当a＝1时,g (x)＝(x－－2)e x.因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立,所以b≤x2－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立．记h(x)＝x2－2x－ (x＞0),则h′(x)＝.当0＜x＜1时,h′(x)＜0,h(x)在(0,1)上是减函数;当x＞1时,h′(x)＞0,h(x)在(1,＋∞)上是增函数;所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1;所以b的最大值为－1－e－1. ②因为g (x)＝(ax－－2a)e x,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e x.由g (x)＋g′(x)＝0,得(ax－－2a)e x＋(＋ax－－a)e x＝0,整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.等价于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立．因为a＞0,所以＝.设u(x)＝ (x＞1),则u′(x)＝．因为x＞1,u′(x)＞0恒成立,所以u(x)在(1,＋∞)是增函数,所以u(x)＞u(1)＝－1,所以＞－1,即的取值范围为(－1,＋∞)2.据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为．现已知相距18的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为，它们连线上任意一点C处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和．设（）．（1）试将表示为的函数；（2）若，且时，取得最小值，试求的值．【答案】(1) ， (2) 8．【解析】(1)解实际问题应用题，关键要正确理解题意，正确列出等量关系，注意考虑函数定义域.设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中为比例系数，且．从而点C处受污染程度．定义域为 (2) 因为，所以，，求复杂分式函数最值，通常考虑利用导数求解. ,令，得，因此函数在单调减，在单调增，即在时函数取极小值，也是最小值. 又此时，解得，经验证符合题意．解：（1）设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中为比例系数，且． 4分从而点C处受污染程度． 6分（2）因为，所以，， 8分，令，得， 12分又此时，解得，经验证符合题意．所以，污染源B的污染强度的值为8． 14分【考点】利用导数求函数值域3.已知函数(1)若函数的图象切x轴于点(2，0)，求a、b的值；(2)设函数的图象上任意一点的切线斜率为k，试求的充要条件；(3)若函数的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于l，求证．【答案】（1），；（2）；（3）【解析】（1）由函数的图象切x轴于点(2，0)，得且，解方程组可得的值．（2）由于，根据导数的几何意义，任意不同的两点的连线的斜率小于l，对任意的恒成立，利用分离变量法，转化为对任意的恒成立，进一步转化为函数的最值问题；（3）设，则对恒成立将上不等式看成是关于的一元二次不等式即可．解：（1）由，得，又，得（2）对任意的，即对任意的恒成立等价于对任意的恒成立令则，当且仅当时“=”成立，在上为增函数，（3）设，则即，对恒成立，对恒成立即，对恒成立解得【考点】1、导数的几何意义；2、等价转化的思想；3、二次函数与一元二次一不等式问题．4.若实数a，b，c，d满足︱b+a2-3l n a︱+（c-d+2）2=0,则（a-c）2+（b-d）2的最小值为 .【答案】8【解析】∵实数a、b、c、d满足：（b+a2-3l n a）2+（c-d+2）2=0，∴b+a2-3l n a=0，c-d+2=0，设b=y，a=x，则y=3l n x-x2，设c=x，d=y，则y=x+2，∴（a-c）2+（b-d）2就是曲线y=3l n x-x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值.对曲线y=3l n x-x2求导：y'（x）=，与y=x+2平行的切线斜率k=1=，解得x=1或x=-（舍）把x=1代入y=3l n x-x2，得y=－1，即切点为（1，-1）切点到直线y=x+2的距离：∴（a-c）2+（b-d）2的最小值就是8．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．5.将一个边长分别为a、b(0<a<b)的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子．若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是________．【答案】【解析】设减去的正方形边长为x，其外接球直径的平方R2＝(a－2x)2＋(b－2x)2＋x2，由R′＝0，∴x＝(a＋b)．∵a<b，∴x∈，∴0<(a＋b)< ，∴1<<.6.一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3s末的瞬时速度是_______m/s.【答案】5【解析】s′(t)＝2t－1，s′(3)＝2×3－1＝5.7.已知函数f(x)＝m(x－1)2－2x＋3＋ln x，m≥1.(1)当m＝时，求函数f(x)在区间[1,3]上的极小值；(2)求证：函数f(x)存在单调递减区间[a，b]；(3)是否存在实数m，使曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 极小值为f(2)＝ln 2－ (2)见解析 (3) 存在实数m＝1使得曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点【解析】(1)f′(x)＝m(x－1)－2＋ (x＞0)．当m＝时，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x1＝2，x2＝.f (x)，f′(x)在x∈(0，＋∞)上的变化情况如下表：＋0－所以当x＝2时，函数f(x)在x∈[1,3]上取到极小值，且极小值为f(2)＝ln 2－.(2)证明：令f′(x)＝0，得mx2－(m＋2)x＋1＝0.(*)因为Δ＝ (m＋2)2－4m＝m2＋4＞0，所以方程(*)存在两个不等实根，记为a，b(a＜b)．因为m≥1，所以，所以a＞0，b＞0，即方程(*)有两个不等的正根，因此f′(x)＜0的解为(a，b)．故函数f(x)存在单调递减区间[a，b]．(3)因为f′(1)＝－1，所以曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l的方程为y＝－x＋2.若切线l与曲线C有且只有一个公共点，则方程m(x－1)2－2x＋3＋ln x＝－x＋2有且只有一个实根．显然x＝1是该方程的一个根．令g(x)＝m(x－1)2－x＋1＋ln x，则g′(x)＝m(x－1)－1＋＝.当m＝1时，有g′(x)≥0恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以x＝1是方程的唯一解，m＝1符合题意．当m＞1时，由g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝，则x2∈(0,1)，易得g (x)在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．所以g(x2)＞g(x1)＝0，又当x趋近0时，g(x)趋近－∞，所以函数g(x)在内也有一个解，m＞1不符合题意．综上，存在实数m＝1使得曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点．8.已知函数f(x)＝ln x＋2x－6.(1)证明：函数f(x)有且只有一个零点；(2)求该零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)是增函数．∵f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0，∴f(2)·f(3)<0.∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点．又因f(x)在(0，＋∞)上是增函数，从而f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．(2)由(1)知f(2)<0，f(3)>0.∴f(x)的零点x∈(2,3)．取x1＝，∵f＝ln －1＝ln－ln e<0，∴f·f(3)<0，∴x∈.取x2＝，∵f＝ln －＝ln －ln e >0，∴f·f<0.∴x∈且＝≤，∴即为符合条件的区间．9.某校内有一块以为圆心，（为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）荒地，该校总务处计划对其开发利用，其中弓形区域（阴影部分）用于种植学校观赏植物，区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售.已知种植学校观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植草皮的利润是每平方米30元.（1）设（单位：弧度），用表示弓形的面积；（2）如果该校总务处邀请你规划这块土地，如何设计的大小才能使总利润最大？并求出该最大值.（参考公式：扇形面积公式，表示扇形的弧长）【答案】（1）；（2）当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值.【解析】本题考查函数与导数及运用导数求单调区间、最值等数学知识和方法，考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力.第一问，；第二问，先列出总利润的表达式，构造函数，利用导数判断单调区间求函数最值.试题解析：（1），, .（2）设总利润为元，种植草皮利润为元，种植花卉利润为，种植学校观赏植物成本为，，,.设.上为减函数；上为增函数.当时，取到最小值,此时总利润最大：.答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值。
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导数中的数列
1．已知函数()()ln 1x f x x
+=. （1）分析函数()f x 的单调性；
（2）证明：2111ln 3ln 212n n n ⎛⎫+⎛⎫+++≤ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
L ，2n ≥.
2．已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->.
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅰ）比较222
222ln 2ln 3ln 23n n
++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.
3．已知数列{}n a 的首项11a >，且211
n n n a a a +=-，N n *∈. （1）求2a 的最小值；
（2）求证：
2115222n k k a n n =>+-∑.
4．已知函数()ln 1x x a f x x
++=，在区间[]1,2有极值． （1）求a 的取值范围；
（2）证明：()()sin 1a x f x x
+>
．
5．已知函数()ln f x x x =-.
（1）若()11
f x x
a x x +>-+恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若函数()()h x f x m =+有两个不同的零点1x ，2x ，且12x x <，求证：2211x x m +>+.
6．已知函数f(x)=elnx −x +1.
（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
（Ⅰ）证明：
n(n+1)ln(1×2×3×⋯×n)>2e （n ∈N ∗，且n ≥2）.
7．已知函数()12ln f x a x x x
=-+． （Ⅰ）若2a =，求()f x 在()1,0处的切线方程；
（Ⅰ）若()f x 对任意(]0,1x ∈均有()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅰ）求证：
()2111ln 12
n k k n k n *=+<-∈+∑N ． 8．已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--.
（1）判断函数()f x 的单调性；
（2）已知数列{}n a ，()*123ln(1),1n n n n a T a a a a n n +=
=∈+N L L ，求证：[]ln (2)12
n n n T +<-.
9．已知函数()()ln 1f x m x x =+-，()sin g x mx x =-. （1）若函数()f x 在()0+∞，上单调递减，且函数()g x 在02
骣琪琪桫，p 上单调递增，求实数m 的值；
（2）求证：()()21111sin11sin 1sin 1sin 12231e n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+< ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（*n N ∈，且2n ≥）.
10．已知函数f （x ）＝﹣2x 2+4x ，g （x ）＝alnx （a ＞0）
（I ）若直线l 1交函数f （x ）的图象于P ，Q 两点，与l 1平行的直线l 2与函数f （x ）的图象切于点R ，求证P ，R ，Q 三点的横坐标成等差数列；
（II ）若不等式f （x ）≤4x ﹣g （x ）恒成立，求实数a 的取值范围；
（III ）求证：
44441n2ln 3ln 4ln 1234n n e +++⋯+< （其中n≥2，nⅠN *，e 为自然对数的底数）．
11．
已知函数，数列满足． （Ⅰ）求数列
的通项公式； （Ⅰ）求
； （Ⅰ）求证：
12．已知函数()2
ln f x a x x =+，其中a R ∈． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅰ）当1a =时，证明：()21f x x x ≤+-；
（Ⅰ）求证：对任意正整数n ，都有2111111222n e ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫+
++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L （其中e≈2.7183为自然对数的底数）
13．设函数()()()1ln 10x f x x x ++=
>. （1）若()1
k f x x >+恒成立，求整数k 的最大值；。