点的加速度合成定理
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牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理
理论力学
aa ae ar aC
即当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对 加速度与科氏加速度的矢量和。这就是牵连运动为转动时点的加速 度合成定理。
设动点沿直杆 OA 运动，杆 OA 又以角速度 绕O 轴匀速转动。
将动坐标系固结在杆上。在瞬时 t ，动点在 OA杆的M 位置， 它的相对速度、牵连速度分别为 vr 和 ve ，经时间间隔 t后， 杆OA 转动 角，动点运动到 OA 杆的M 点处，这时动点的相 对速度、牵连速度分别为 vr 和 ve ，如图6-10（a）所示。
又由图6-10（c）可知 ve ve1 ve2 （c）
式中，ve1 表示由于牵连速度方向变化而引起的牵连速度增量；ve2 表示由于存在相对运动使牵连速度大小变化而引起的牵连速度增量。
将式（b）、式（c）一起代入式（a），可得
aa
lim vr1 t0 t
lim vr2 t0 t
lim ve1 t0 t
将式（e）、式（f）和式（6-11）一并代入式（d），于是牵连
运动为转动时点的加速度合成定理得到证明，
即式（d）可写成
aa ae ar aC
所得结论也适用于一般情况。科氏加速度的表达式为
aC 2e vr
根据矢量积运算法则，aC 的大小为
aC 2evr sin
式中， 是矢量e与vr 的夹角；
lim ve2 t0 t
lim ve ve t0 t
lim OM OM
t0
t
vr
其方向也垂直于 vr，并与 转向一致。
由于这两项附加加速度的大小相同，方向一致，所以，两项合
并成一项，用 aC 表示，它的大小为
aC 2vr
它的方向与 vr 垂直，并与 转向一致。这项加速度称为科氏加速度。
理论力学课件 加速度合成定理及其应用
a 30° e
A
120°
aan
arn
η
ae
=
aa
cos 60o + arn cos 30o
= 1579× 0.5 +1579 3/2
= 2740 cm/s2 = 27.4 m/s2
7-4 加速度合成定理及其应用
点的合成运动加速度分析的解题及分析步骤 1、正确的选择动点和动系，动系为转动有科氏加速度。
的速度和加速度。
解 ： 动 点 A(OA) ， 动 系 BCD(平移)。
ω = nπ = 4π rad/s
30
va
ve n
O
vr
B
A
ϕ
O1
D
vva = vve + vvr
ϕ
R
C
va = ω ⋅OA = 125.6 cm/s
ve = vr = va = 125.6 cm/s vBCD = ve = 125.6 cm/s
为R = 3e ， 以 匀 角 速 度 ω 绕 O 轴 转
动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的
B
端 点 A 始 终 与 凸 轮 接 触 ， 且 OAB 成 一 直线。求在OC与CA垂直时从动杆AB
va
vr
的速度和加速度。
A
解：动点A点(AB) ，动系凸轮(定轴转 ve
动)
θ
vva = vve + vvr
的速度和加速度。
分析
动 点 A(OA) ， 动 系 BCD( 平
B
移)。 绝对运动：绕O圆周运动
n O
A
ϕ
O1
D
ϕ
相对运动：绕O1圆周运动
R C
理论力学7-2
z
M M '
rM z '
r'
O' x'
k ' rO ' i '
j'
y'
O
y
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第七章 点的合成运动
1. 动系做平移时 i 0, j 0, k 0
' k ' 0 2 x' i ' y ' j ' z
ve vr va ro
vB ve r O l l l
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第七章 点的合成运动
绝对加速度 相对加速度
n 2 aa aa O r
方向由A指向O
ar ?
n e 2 e
方向水平
2 O r2
v 牵连加速度 a l
l
方向由B指向D
v R vr aa R R 2 v R 2 r 2vr R
2 a 2
UNIVERSITY OF JINAN
第七章 点的合成运动
加速度合成定理(Theorem of composition of accelerations)
1. 动系做平移时
aa ae ar
2. 两个不相关的物体，求二者的相对速度。 根据题意, 选择所求相对运动速度的点为动点, 动系 固结于另一物体上。
UNIVERSITY OF JINAN
第七章 点的合成运动
3. 相对于运动物体在运动的物体上有一动点，求该点的绝 对运动。则取该点取为动点，动系固结于另一个运动物体 上。
点的加速度合成定理
va ve vr
va
vO
dx dt
i
dy dt
j
dz dt
k
aa
dv a dt
dv O dt
d2 dt
x
2
i
d2 y dt 2
j
d2 dt
z
2
k
dv O dt
aO
aa ae ar
当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与 相对加速度的矢量和。这是牵连运动为平动时，点的加速度
求：BD
,
。
BD
解：1、动点：滑块A 动系：BC杆
绝对运动：圆周运动（O点）
相对运动：直线运动（BC）
牵连运动：平动
2、速度
va ve vr
大小 rO ? ? 方向 √ √ √
vr ve va rO
BD
ve BD
rO
l
已知：OA O 常数,OA r, BC DE, BD CE l。
方向指向圆心Ｏ点。
aa ae ar 2vr
可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度 aa 并不 等于牵连加速度 ae 和相对加速度 ar 的矢量和。那么他们
之间的关系是什么呢？ 2vr 又是怎样出现的呢？它是什么呢？
下面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加 速度合成定理。
(1)动系：O’x’y’z’；定系：Oxyz，
合成定理 。 aa aan ae aen ar arn
Example 7-5 如图所示平面机构中，曲柄OA=r，以匀角速度 ωO 转动。套筒A沿BC杆滑动。已知：BC=DE，且BD=CE=l。
求：图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。
已知：OA O 常数,OA r, BC DE, BD CE l。
点的加速度合成定理
静系取在地面上动系取在杆上则?1rlve??21?rlae???222rlve??2222?rlae??oo????1m2m1ev?1ea?2ev?2ea?重点要弄清楚牵连点的概念82点的速度合成定理rmrormmojkiyzxxyzomo????rrrxyz?????????rijkmm??rrddrxyzt?????????rvijk动系上与动点重合的点牵连点在定系中的矢径记为rm在图示瞬时有相对速度vr是动点相对于动参考系的速度因此ijk是常矢量
4. 必须选某点为动点，而动系要取两次； 5. 根据题意，必须取两次动点和动系；
6. 两个不相关的动点，可根据题意来确定；
第十二页，编辑于星期日：十三点 十分。
8.3 点的加速度合成定理 va ve vr
即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度
与相对速度的矢量和。这就是点的速度合成定理。
度 转动，圆盘半径为r，绕
轴以o角 速度 转动。求圆盘边
ve2
缘 和 点的M牵1 连速M 2度和加速 M 2
ae2 ve1
ae1
o
度。
o M1
解：静系取在地面上，动系取在
杆上，则
ve1 (l r) ae1 (l r) 2
ve2 l 2 r 2
重点要弄清楚牵 连点的概念
ae2 l 2 r 2 2
第七页，编辑于星期日：十三点 十分。
8.2 点的速度合成定理
rM rO r r = xi yj zk
z M(M')
动系上与动点重合的点(牵连点)在定 系中的矢径记为rM' ，在图示瞬时有
rM rM
动点的相对速度vr为
vr
=
dr dt
=
xi
4. 必须选某点为动点，而动系要取两次； 5. 根据题意，必须取两次动点和动系；
6. 两个不相关的动点，可根据题意来确定；
第十二页，编辑于星期日：十三点 十分。
8.3 点的加速度合成定理 va ve vr
即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度
与相对速度的矢量和。这就是点的速度合成定理。
度 转动，圆盘半径为r，绕
轴以o角 速度 转动。求圆盘边
ve2
缘 和 点的M牵1 连速M 2度和加速 M 2
ae2 ve1
ae1
o
度。
o M1
解：静系取在地面上，动系取在
杆上，则
ve1 (l r) ae1 (l r) 2
ve2 l 2 r 2
重点要弄清楚牵 连点的概念
ae2 l 2 r 2 2
第七页，编辑于星期日：十三点 十分。
8.2 点的速度合成定理
rM rO r r = xi yj zk
z M(M')
动系上与动点重合的点(牵连点)在定 系中的矢径记为rM' ，在图示瞬时有
rM rM
动点的相对速度vr为
vr
=
dr dt
=
xi
理论力学8
摇杆绕固定轴O1来回摆动。设曲柄长OA=r，两轴间距离OO1 l
求曲柄在水平位置瞬时，摇杆O1B绕O1轴的角速度1及滑块A相
对摇杆O1B的相对速度。
运动学/点的合成运动
解：
选取动点： OA 上的A点 动系： O1B 定系： 基座
运 绝对运动：圆周运动 动 分 相对运动：直线运动 析 牵连运动：定轴转动 ：
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上
的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和
研究物体的运动。下面先看几个例子。
沿直线轨道纯滚动 的圆轮，研究轮缘上A 点的运动，对于地面上 的观察者，是旋轮线轨 迹，对站在轮心上的观 察者是圆。
A点的运动可看成随轮心的平移与绕轮心转动的合成。
运动学/点的合成运动
MM MM1 M1M 将上式两边同时除以t并取 t0得
lim MM lim MM1 t 0 t t 0 t
lim
M1M
t 0 t
va ve vr
即：在任一瞬时动点的绝对速度等于牵连速度与相对速
度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。
运动学/点的合成运动
例如，直管OB以匀角速度绕定轴O转动，小球M
以速度u在直管OB中作相对的匀速直线运动，如图示。 将动坐标系固结在OB管上，以小球M为动点。随着动 点M的运动，牵连点在动坐标系中的位置在相应改变。 设小球在t1、t2瞬时分别到达M1、M2位置，则动点的 牵连速度分别为
ve1 OM1
运动学/点的合成运动
第八章
点的合成运动
在前两章中研究点和刚体的运动时，认为地球（ 参考体）固定不动,将坐标系（参考系）固连于地面。 因此，点和刚体的运动是相对固定参考系而言的。
求曲柄在水平位置瞬时，摇杆O1B绕O1轴的角速度1及滑块A相
对摇杆O1B的相对速度。
运动学/点的合成运动
解：
选取动点： OA 上的A点 动系： O1B 定系： 基座
运 绝对运动：圆周运动 动 分 相对运动：直线运动 析 牵连运动：定轴转动 ：
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上
的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和
研究物体的运动。下面先看几个例子。
沿直线轨道纯滚动 的圆轮，研究轮缘上A 点的运动，对于地面上 的观察者，是旋轮线轨 迹，对站在轮心上的观 察者是圆。
A点的运动可看成随轮心的平移与绕轮心转动的合成。
运动学/点的合成运动
MM MM1 M1M 将上式两边同时除以t并取 t0得
lim MM lim MM1 t 0 t t 0 t
lim
M1M
t 0 t
va ve vr
即：在任一瞬时动点的绝对速度等于牵连速度与相对速
度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。
运动学/点的合成运动
例如，直管OB以匀角速度绕定轴O转动，小球M
以速度u在直管OB中作相对的匀速直线运动，如图示。 将动坐标系固结在OB管上，以小球M为动点。随着动 点M的运动，牵连点在动坐标系中的位置在相应改变。 设小球在t1、t2瞬时分别到达M1、M2位置，则动点的 牵连速度分别为
ve1 OM1
运动学/点的合成运动
第八章
点的合成运动
在前两章中研究点和刚体的运动时，认为地球（ 参考体）固定不动,将坐标系（参考系）固连于地面。 因此，点和刚体的运动是相对固定参考系而言的。
点的加速度合成定理（精品）
点的加速度合成定理点的合成运动中，加速度之间的关系比较复杂，因此，我们由简单到复杂，先分析动系作平移的情形。
即先研究牵连运动为平动时的加速度合成定理，然后再介绍牵连运动为转动时的加速度合成定理。
一．牵连运动为平移时点的加速度合成定理设O ´x ´y ´z ´为平移参考系，由于x ´、y ´、z ´各轴方向不变，可使与定坐标轴x 、y 、z 分别平行。
其中动点M 相对于动系的相对坐标为 x ´、y ´、z ´，由于 i ´、j ´、k ´ 为平移动坐标轴的单位常矢量，则点M 的相对速度和相对加速度为（１） （２）利用点的速度合成定理及牵连运动为平移而得到：两边对时间求导，并注意到因动系平移 ，故i ´、j ´、k ´ 为常矢量，于是得到其中e O O a a V==11/，所以有：r e a a a a += （３）这就是牵连运动为平移时点的加速度合成定理：当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。
例 题 １如下图所示，铰接四边形O 1A=O 2B=100mm ， O 1O 2=AB ，杆O 1A 以等角速度 ω=2rad/s 绕轴O 1转动。
AB 杆上有一套筒C ，此套筒与杆CD 相铰接，机构的各部件都在同一铅垂平面内。
试求:当 ϕ=60º时，CD 杆的加速度。
k j i v ''+''+''=z y x rk j i a ''+''+''=z y x r k j i vv ''+''+''+='z y xO a k j i v a ''+''+''+='zy x O a解：1. 运动分析动点：CD 上的C 点； 动系：固连于AB 杆于是三种运动分别为：绝对运动：Ｃ点的上下直线运动； 相对运动：Ｃ点沿AB 直线运动；牵连运动：随AB 杆铅垂平面内曲线平移2.加速度分析：其中由于动系作平移，故动系AB 杆上各点的加速度相同，因此动系AB 杆上与动点套筒C 相重合点C1的加速度即牵连加速度，如下图所示，则:22!1/4.0s m A O a a a A c e =*===ω由平行四边形法则，得2/346.0sin s m a a a e a CD =*==ϕ二．牵连运动为转动时点的加速度合成定理当牵连运动为转动时，加速度合成定理与牵连运动为平移时所得到的结果是不相同的。
理论力学.
相对运动：沿O1B的直线运动； 牵连运动：摇杆绕O1轴的定轴转动。
2.速度分析： vavevr
大小：rω ? ?
方向：√ √ √
v e v as i n rs in
1
ve r2
O1A l2 r2
例7-4
已知：如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮，以角速度ω 绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终 与凸轮接触，且OAB成一直线。 求：在图示位置时，杆AB的速度。
求：当连线OM在水平位置时， 圆盘边缘上的点M的绝对速度。
D
C
M
B A
解： 1.运动分析：
动点：M点 ； 动系:固连于框架BACD；
绝对运动：未知；
相对运动：以O为圆心的圆周运动；
牵连运动：绕AB轴的定轴转动。
2.速度分析
C
vavevr
大小： ？ Rω2 Rω 1
方向： ？ √ √
vave 2 vr2R1 222
用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，
滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲
柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。
求：曲柄在水平位置时摇杆的角 加速度。
解:
1.运动分析：
§动 绝牵点对连7-M运 运4相动动牵对、：连于相D运E地对动的面动绝运是水作动定平空点对、轴平间牵转移曲：运连动。线运时运滑动动点动的块：加速以度A合O；成点为动圆系心:，与O摇A杆为半固O径1 连B的；圆周运动；
arctvvaer)na( rct a1 2)n(
D M
B A
点的速度合成定理的解题步骤
1.选取动点、动参考系和定参考系； 2.分析三种运动和三种速度；
绝对运动、相对运动、牵连运动 绝对速度、相对速度、牵连速度 3.应用速度合成定理，做出速度平行四边形； 绝对速度为平行四边形的对角线 4.利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。
2.速度分析： vavevr
大小：rω ? ?
方向：√ √ √
v e v as i n rs in
1
ve r2
O1A l2 r2
例7-4
已知：如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮，以角速度ω 绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终 与凸轮接触，且OAB成一直线。 求：在图示位置时，杆AB的速度。
求：当连线OM在水平位置时， 圆盘边缘上的点M的绝对速度。
D
C
M
B A
解： 1.运动分析：
动点：M点 ； 动系:固连于框架BACD；
绝对运动：未知；
相对运动：以O为圆心的圆周运动；
牵连运动：绕AB轴的定轴转动。
2.速度分析
C
vavevr
大小： ？ Rω2 Rω 1
方向： ？ √ √
vave 2 vr2R1 222
用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，
滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲
柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。
求：曲柄在水平位置时摇杆的角 加速度。
解:
1.运动分析：
§动 绝牵点对连7-M运 运4相动动牵对、：连于相D运E地对动的面动绝运是水作动定平空点对、轴平间牵转移曲：运连动。线运时运滑动动点动的块：加速以度A合O；成点为动圆系心:，与O摇A杆为半固O径1 连B的；圆周运动；
arctvvaer)na( rct a1 2)n(
D M
B A
点的速度合成定理的解题步骤
1.选取动点、动参考系和定参考系； 2.分析三种运动和三种速度；
绝对运动、相对运动、牵连运动 绝对速度、相对速度、牵连速度 3.应用速度合成定理，做出速度平行四边形； 绝对速度为平行四边形的对角线 4.利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。
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ak 2 r
2r j
点的绝对加速度等于牵连加速度，相 对加速度和科氏加速度的矢量和。
它适于动系作任何形式的运动。
直角等腰三角板绕Z轴转动
求三个点的科氏加速度。 M1 点的科氏加速度
ak 2 r
2r sin 450 j
2r j M2 点的科氏加速度
ak 2 r 0
M3 点的科氏加速度
得出点的加速度合成定理：
aa ae ar
30
以AB杆上的B
为动点，以凸 轮D为动系，作 加速度合成图
aτr anr
aa
a a a a 先求出
a=
n r
+
n
r。
τ
r
2 r
R
4U
2 0
3R
再由
a
a
cos
30
a
n r
求得
aa
U 8 3 2
9R O
点的加速度合成定理---动系转动情况
x1
di1 dt
y1 j1
y1
dj1 dt
Hale Waihona Puke z1k1z1
dk1 dt
因为
d dt有
泊桑公式
, dr
dt
e
r
, di1 dt
×i1,...
aa r (e r ) ar (x1i1 ....)
aa r e r ar r
运动学
C A I课件
吉林工业大学工程力学系
第七章
点的加速度合成定理
aτ e
ane ar
aK
点的加速度合成定理---动系平动情况
动点M，动系O1 X1Y1Z1平动
a e r ，e O1
有
a O1 x1i1 y1 j1 z1k1
对时间t求导，有
aa aO1 x1i1 y1 j1 z1k1
aa ae ar 2 r
aa ae ar ak 此中ak 2 r
这就是点的加速度合成定理
点的加速度合成定理
aa ae ar ak
其中 ak 2 r 称为科氏加速度，是法
国工程师科里奥利（G.G.de Coriolis）于1832年
在研究水轮机时首先提出的。是由于牵连运动 和相对运动互相影响而产生的。
设动系X1Y1Z1绕Z轴转动，，动点M的牵连速度
Z
e r
ε
X1 ω XO
Z1 M
r
Y Y1
r 相x对1i1速度y1 j1 z1k1
由速度合成定理
a r x1i1 y1 j1 z1k1
对t求导，有
aa
d
dt
r
dr dt
x1i1
2r j
点的绝对加速度等于牵连加速度，相 对加速度和科氏加速度的矢量和。
它适于动系作任何形式的运动。
直角等腰三角板绕Z轴转动
求三个点的科氏加速度。 M1 点的科氏加速度
ak 2 r
2r sin 450 j
2r j M2 点的科氏加速度
ak 2 r 0
M3 点的科氏加速度
得出点的加速度合成定理：
aa ae ar
30
以AB杆上的B
为动点，以凸 轮D为动系，作 加速度合成图
aτr anr
aa
a a a a 先求出
a=
n r
+
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3R
再由
a
a
cos
30
a
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求得
aa
U 8 3 2
9R O
点的加速度合成定理---动系转动情况
x1
di1 dt
y1 j1
y1
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Hale Waihona Puke z1k1z1
dk1 dt
因为
d dt有
泊桑公式
, dr
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e
r
, di1 dt
×i1,...
aa r (e r ) ar (x1i1 ....)
aa r e r ar r
运动学
C A I课件
吉林工业大学工程力学系
第七章
点的加速度合成定理
aτ e
ane ar
aK
点的加速度合成定理---动系平动情况
动点M，动系O1 X1Y1Z1平动
a e r ，e O1
有
a O1 x1i1 y1 j1 z1k1
对时间t求导，有
aa aO1 x1i1 y1 j1 z1k1
aa ae ar 2 r
aa ae ar ak 此中ak 2 r
这就是点的加速度合成定理
点的加速度合成定理
aa ae ar ak
其中 ak 2 r 称为科氏加速度，是法
国工程师科里奥利（G.G.de Coriolis）于1832年
在研究水轮机时首先提出的。是由于牵连运动 和相对运动互相影响而产生的。
设动系X1Y1Z1绕Z轴转动，，动点M的牵连速度
Z
e r
ε
X1 ω XO
Z1 M
r
Y Y1
r 相x对1i1速度y1 j1 z1k1
由速度合成定理
a r x1i1 y1 j1 z1k1
对t求导，有
aa
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r
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