新浙教版九年级数学下册第二章《切线长定理》精品课件1
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++2.2切线长定理++课件+2023--2024学年浙教版九年级数学下册
∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( B )
A.4
B.8
C.4
D.8
课 堂 练 习 【知识技能类作业】必做题：
3.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，分
10
别交PA，PB于点C，D，若PA＝5，则△PCD的周长为______.
4.如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，已知
典例精析
例2 如图，⊙O表示皮带传动装置的一个轮子，传动皮带MA，NB分别切⊙O
于点A，B. 延长MA，NB，相交于点P.已知∠APB=60°，AP=24cm，求两切
Ⴃ
点间的距离和的长(结果精确到1cm).
解：如图，连结AB，OA，OB，OP .
M
∵MP，NP分别切⊙O于点A ，B，
∴OA⊥AP，OB⊥BP ， AP=BP.
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：（1）连接CD，
∵BC为直径，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵AC⊥BC，
∴EC是⊙O的切线，
∵ED是⊙O的切线，
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵∠EDC+∠ADE=∠ECD+∠A=90°，
∴∠A=∠ADE
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：(2)如图，连结CD.
∵∠ADE＝∠A，
70°
∠BAC＝35°，则∠P的度数为________.
课 堂 练 习 【知识技能类作业】选做题：
5.如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别
相切于点L、M、N、P，
求证：AD+BC=AB+CD.
D
A.4
B.8
C.4
D.8
课 堂 练 习 【知识技能类作业】必做题：
3.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，分
10
别交PA，PB于点C，D，若PA＝5，则△PCD的周长为______.
4.如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，已知
典例精析
例2 如图，⊙O表示皮带传动装置的一个轮子，传动皮带MA，NB分别切⊙O
于点A，B. 延长MA，NB，相交于点P.已知∠APB=60°，AP=24cm，求两切
Ⴃ
点间的距离和的长(结果精确到1cm).
解：如图，连结AB，OA，OB，OP .
M
∵MP，NP分别切⊙O于点A ，B，
∴OA⊥AP，OB⊥BP ， AP=BP.
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：（1）连接CD，
∵BC为直径，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵AC⊥BC，
∴EC是⊙O的切线，
∵ED是⊙O的切线，
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵∠EDC+∠ADE=∠ECD+∠A=90°，
∴∠A=∠ADE
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：(2)如图，连结CD.
∵∠ADE＝∠A，
70°
∠BAC＝35°，则∠P的度数为________.
课 堂 练 习 【知识技能类作业】选做题：
5.如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别
相切于点L、M、N、P，
求证：AD+BC=AB+CD.
D
浙教版初中数学九年级下册 2.2 切线长定理1 课件
论?并给出证明.
OP垂直平分AB
OM
P
A
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线
∴OP垂直平分AB
若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB， 你又能得出什么新的结论?并给出B证明.
CA=CB C
。
O
P
A
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴PC=PC ∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC
画一画
1、如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？ 如下左图，借助三角板，我们可以画出 PA是⊙O的切线。 2、这样的切线能画出几条？ 3、如果∠P=50°,求∠AOB的度数
130° 50°
如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？
A
P O。
B 思考：已画出切线PA、PB，A、B为切点，则
∠OAP= °,连接9O0P，可知A、B 除了在⊙O
∴周长为24cm
Q
P
B F
探究：PA、PB是⊙O的两条切
线，A、B为切点，直线OP交于⊙O 于点D、E，交AB于C。
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB AB⊥OP
A EO
B
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（3）写出图中所有的全等三角形
D
P
C
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
P ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂 直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
新浙教版九年级数学下册第二章《切线长定理1》精品课件.ppt
）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。
（
）
练习2：填空选择
（1）如图：PA，PB切圆于A，B两点，
∠APB＝50度，连结PO，
则∠APO= 25度
A O
P
B
练习3、如图,已知⊙O的半径为3 厘米，PO＝6厘米，PA，PB分 别切⊙O于A，B，则PA= ， ∠APB=_________。
A
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/1/142021/1/142021/1/142021/1/14
谢谢观看
。2021年1月14日星期四2021/1/142021/1/142021/1/14
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2021年1月2021/1/142021/1/142021/1/141/14/2021
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2021/1/142021/1/14January 14, 2021
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
等腰三角形有 2 个，分别是 △AOB, △APB
2.2切线长定理课件
P O B N
展示交流三：
已知如图，A是⊙O外一点，AB,AC分别与⊙O相切于 B,C. P是弧BC上任意一点,过点P作⊙O的切线，交AB 于点M，交AC于点N.设OA=d，BO=r.求证：△AMN的 周长是一个定值，并求出这个定值.（书本C组题）
o．
． P
自主导学
方法二：尺规作图
A
O O ·PB Nhomakorabea自主导学
A
O
经过圆外一点作圆的切线， 这点和切点之间的线段的长， P 叫做这点到圆的切线长。
B
如图，P是⊙O外一点，PA，PB 是⊙O的两条切线，我们把线段 PA，PB叫做点P到⊙O的切线长。
切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和 切点，可以度量。
∵ OA=OB，OP=OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB
自主导学
切线长定理
A O B P
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
几何语言:
PA = PB
PA、PB与⊙O分别相切于点A、B
自主导学
已知PA，PB切⊙O于A，B．
图（1）中，得到 ________的结论； 图（2）中，连结AB，增加了_________的结论； 图（3）中，再连结OP，增加了________的结论； 图（4）中，再连结OA，OB。又增加了___的结论．
自主导学
若从⊙O外的一点引两 条切线PA，PB，切点分别是 A、B，连结OA、OB、OP，你 能发现什么结论？并证明你 所发现的结论。 PA = PB，
∴OA⊥PA，OB⊥PB
A O P
B 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 即∠OAP=∠OBP=90°
展示交流三：
已知如图，A是⊙O外一点，AB,AC分别与⊙O相切于 B,C. P是弧BC上任意一点,过点P作⊙O的切线，交AB 于点M，交AC于点N.设OA=d，BO=r.求证：△AMN的 周长是一个定值，并求出这个定值.（书本C组题）
o．
． P
自主导学
方法二：尺规作图
A
O O ·PB Nhomakorabea自主导学
A
O
经过圆外一点作圆的切线， 这点和切点之间的线段的长， P 叫做这点到圆的切线长。
B
如图，P是⊙O外一点，PA，PB 是⊙O的两条切线，我们把线段 PA，PB叫做点P到⊙O的切线长。
切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和 切点，可以度量。
∵ OA=OB，OP=OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB
自主导学
切线长定理
A O B P
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
几何语言:
PA = PB
PA、PB与⊙O分别相切于点A、B
自主导学
已知PA，PB切⊙O于A，B．
图（1）中，得到 ________的结论； 图（2）中，连结AB，增加了_________的结论； 图（3）中，再连结OP，增加了________的结论； 图（4）中，再连结OA，OB。又增加了___的结论．
自主导学
若从⊙O外的一点引两 条切线PA，PB，切点分别是 A、B，连结OA、OB、OP，你 能发现什么结论？并证明你 所发现的结论。 PA = PB，
∴OA⊥PA，OB⊥PB
A O P
B 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 即∠OAP=∠OBP=90°
新浙教版九年级数学下册第二章《切线长定理》精品课件1 (2)
A．10 B．18 C．20 D．22
5．(4分)如图，四边形ABCD的边AB，BC， CD，DA和⊙O分别相切于点L，M，N，P.若 四边形ABCD的周长为20，则AB＋CD等于 (C ) A．5 B．8 C．10 D．12
6．(4分)如图，⊙O的半径为3 cm，点P到 圆心的距离为6 cm，经过点P引⊙O的两条 切线，这两条切线的夹角为__6_0_度．
3．(4分)如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB 分别和⊙O切于A，B两点，C是 A︵B上任意一点， 过C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E。若 △PDE的周长为12，则PA的长为 ( )B A．12 B．6 C．8 D．4
4．(4分)如图，PA，PB切⊙O于点A，B，PA ＝10，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D两 点，则△PCD的周长是 ( C )
7．(4分)如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B， 若∠P＝70°，则∠C的大小为______5．5°
8．(4分)如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条 切线PA，PB，切点分别为A，B.下列结论： ①OP垂直平分AB；②∠APB＝∠BOP；③ △ACP≌△BCP；④PA＝AB；⑤若∠APB ＝80°，则∠OBA＝40°.正确的是 __①__③__⑤____．(填序号)
(2)在 Rt△ PAO 与 Rt△ PBO 中，∵OA＝ OB，PO＝PO，∴Rt△ PAO≌RBPO
＝
1 2
∠APB
＝
30°，
∴PO⊥AB，∴∠DAO＝∠APO＝30°，
∴OA＝sin∠APO×OP＝12×20＝10(cm)．在 Rt△ AOD 中，∠DAO
＝30°，OA＝10 cm，∴AD＝cos∠DAO×OA＝ 23×10＝5 3(cm)，
10．(10分)如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连结PO与⊙O 相交于点C，连结AC，BC，求证：AC＝BC.
5．(4分)如图，四边形ABCD的边AB，BC， CD，DA和⊙O分别相切于点L，M，N，P.若 四边形ABCD的周长为20，则AB＋CD等于 (C ) A．5 B．8 C．10 D．12
6．(4分)如图，⊙O的半径为3 cm，点P到 圆心的距离为6 cm，经过点P引⊙O的两条 切线，这两条切线的夹角为__6_0_度．
3．(4分)如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB 分别和⊙O切于A，B两点，C是 A︵B上任意一点， 过C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E。若 △PDE的周长为12，则PA的长为 ( )B A．12 B．6 C．8 D．4
4．(4分)如图，PA，PB切⊙O于点A，B，PA ＝10，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D两 点，则△PCD的周长是 ( C )
7．(4分)如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B， 若∠P＝70°，则∠C的大小为______5．5°
8．(4分)如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条 切线PA，PB，切点分别为A，B.下列结论： ①OP垂直平分AB；②∠APB＝∠BOP；③ △ACP≌△BCP；④PA＝AB；⑤若∠APB ＝80°，则∠OBA＝40°.正确的是 __①__③__⑤____．(填序号)
(2)在 Rt△ PAO 与 Rt△ PBO 中，∵OA＝ OB，PO＝PO，∴Rt△ PAO≌RBPO
＝
1 2
∠APB
＝
30°，
∴PO⊥AB，∴∠DAO＝∠APO＝30°，
∴OA＝sin∠APO×OP＝12×20＝10(cm)．在 Rt△ AOD 中，∠DAO
＝30°，OA＝10 cm，∴AD＝cos∠DAO×OA＝ 23×10＝5 3(cm)，
10．(10分)如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连结PO与⊙O 相交于点C，连结AC，BC，求证：AC＝BC.
初中九年级下册数学《切线长定理》PPT精品课件
切线长定理
2020/11/20
1
A
O
P
2020/11/20
B
过圆外一点作圆的切线，这点 和切点之间的线段的长，叫做这点 到圆的切线长。
2
A
O
P
B
• 切线是直线，不能度量；
• 切线长是线段的长，这条线段的两个端 点分别是圆外一点和切点，可以度量。
2020/11/20
3
A
1
O
M的两条切线，
内切圆圆心：三角形三个 内角平分线的交点。
内切圆的半径：交点到三 角形任意一边的垂直距离。
2020/11/20
9
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
谢谢大家！本文档为精心编制而成，您可以在下载后自由修改和打印，希望下载对您有帮助！
2020/11/20
10
有什么关系？ 又OA=OB，OP=OP， 地理课件：
历史课件：
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）
∴PA=PB，∠1=∠2
2020/11/20
4
A
O
P
B
• 切线长定理：
• 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线 长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角。
2020/11/20
5
切线长定理的拓展
A
D
O HC
P
B
（1）写出图中所有的垂直关系
（2）图中有哪些线段相等(除半径 外)、弧相等？
2020/11/20
6
2020/11/20
7
o．
o．
2020/11/20
8
三角形外接圆
C
2020/11/20
1
A
O
P
2020/11/20
B
过圆外一点作圆的切线，这点 和切点之间的线段的长，叫做这点 到圆的切线长。
2
A
O
P
B
• 切线是直线，不能度量；
• 切线长是线段的长，这条线段的两个端 点分别是圆外一点和切点，可以度量。
2020/11/20
3
A
1
O
M的两条切线，
内切圆圆心：三角形三个 内角平分线的交点。
内切圆的半径：交点到三 角形任意一边的垂直距离。
2020/11/20
9
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
谢谢大家！本文档为精心编制而成，您可以在下载后自由修改和打印，希望下载对您有帮助！
2020/11/20
10
有什么关系？ 又OA=OB，OP=OP， 地理课件：
历史课件：
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）
∴PA=PB，∠1=∠2
2020/11/20
4
A
O
P
B
• 切线长定理：
• 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线 长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角。
2020/11/20
5
切线长定理的拓展
A
D
O HC
P
B
（1）写出图中所有的垂直关系
（2）图中有哪些线段相等(除半径 外)、弧相等？
2020/11/20
6
2020/11/20
7
o．
o．
2020/11/20
8
三角形外接圆
C
新浙教版九年级数学下册第二章《切线长定理》优课件1
圆心O到切线 l 的垂线段 的长度是圆心O到切线l的 距离 d ,从而它等于半径 r.
O等于半径OA的长度， 且点A在切线l上，因此圆心O到切线l的垂线段就是 ___半__径___.
从第⑵点的结论得出：
O·
l A
切线的性质定理 圆的切线垂直于过点的半径.
例3
B
D
C
∴AD是等腰三角形ABC的顶角平分线 从而AD⊥BC. 于是OD⊥BC. 又∵OD是圆O的半径,且BC经过点D,
直线BC是圆O的切线.(切线的判定定理)
练习
1.垂直于半径的直线一定是圆的切线吗? 答：不一定（可能是直径）
2.经过半径外端的直线一定是圆的切线吗? 不一定
3.已知:如图,直线AB经过圆O上的点C,并且
直线切l—是线—圆O的
由此得出：
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的
直线是圆的切线.
例2
已知:如图,AD是圆O的直径,直线BC经过点D,
并且AB=AC, ∠BAD=∠CAD.
A
求证: 直线BC是圆O的切线.
12
证明:∵ AB=AC, (已知)
·
∴△ABC是等腰三角形. ∵∠BAD=∠CAD.
1.如图,这是手表的圆形表盘,两个圆的圆心都是O, 大圆的弦AB所在直线是小圆的切线,切点为C, 求证:C是线段AB的中点.
证明: 两个同心圆.连接OA,OB OA=OB
∴△OAB为等腰三角形 C为切点,OC⊥AB 即OC为△ABO的高, ∴OC为△ABO的中线
∴C为AB的中点
O· A C· B
2.证明:圆心到圆的割线的距离小于半径．
如图, 直线l是圆O的切线, 切点为A, ∠OBA=40°,求∠AOB.
九级数学下册(浙教版)课件：2.2 切线长定理 (共20张PPT)
C
)
初中数学
10．如图，△ABC的边与⊙O分别相切于点D，E，F，且BD＝3 cm，DC 6 ＝ 5 cm，△ABC的周长为22 cm，那么AB的长为____cm.
初中数学
11．如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.
下列结论中：
①OP垂直平分AB；②∠APB＝∠BOP；③△ACP≌△BCP；④PA＝PB； ①③④⑤ ⑤若∠APB＝80°，则∠OBA＝40°.则正确的是___________．(填序号)
B
)
A．12 B．6 C．8 D．4
初中数学
4．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C
的切线，且∠BDC＝110°.连结AC，则∠A的度数是____ 35 °.
初中数学
5．如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点L，M， C N，P.若四边形ABCD的周长为20，则AB＋CD等于( ) A ．5 B．8
1 解：(1)证明略 (2)OF＝2CD，理由略
初中数学
初中数学
14．如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线，点 C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形． (1)求AD的长； (2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．
解：(1)2 (2)是，证明略
初中数学
12．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连结PO，AB相交于点D，C是 ⊙O上一点，∠C＝60°. (1)求∠APB的大小； (2)若PO＝20 cm，求△AOB的面积．
解：(1)60° (2)25 3 cm2
初中数学
13．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E， 交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连结OF. (1)求证：OD∥BE； (2)猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．
)
初中数学
10．如图，△ABC的边与⊙O分别相切于点D，E，F，且BD＝3 cm，DC 6 ＝ 5 cm，△ABC的周长为22 cm，那么AB的长为____cm.
初中数学
11．如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.
下列结论中：
①OP垂直平分AB；②∠APB＝∠BOP；③△ACP≌△BCP；④PA＝PB； ①③④⑤ ⑤若∠APB＝80°，则∠OBA＝40°.则正确的是___________．(填序号)
B
)
A．12 B．6 C．8 D．4
初中数学
4．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C
的切线，且∠BDC＝110°.连结AC，则∠A的度数是____ 35 °.
初中数学
5．如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点L，M， C N，P.若四边形ABCD的周长为20，则AB＋CD等于( ) A ．5 B．8
1 解：(1)证明略 (2)OF＝2CD，理由略
初中数学
初中数学
14．如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线，点 C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形． (1)求AD的长； (2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．
解：(1)2 (2)是，证明略
初中数学
12．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连结PO，AB相交于点D，C是 ⊙O上一点，∠C＝60°. (1)求∠APB的大小； (2)若PO＝20 cm，求△AOB的面积．
解：(1)60° (2)25 3 cm2
初中数学
13．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E， 交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连结OF. (1)求证：OD∥BE； (2)猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．
浙教版初中数学九年级下册2.2 切线长定理课件
知1－练
1 已知⊙O的半径为5,P是⊙O外一点,PO=10.求点P到 ⊙O的切线长和两切点间的劣弧长.
2 已知：如图，在⊙O中，弦AB从垂直平分半径ON， 过点A，B的切线相交于点M.求证：△ABM是 等边 三角形.
（来自教材）
知1－练
3 下列说法正确的是( ) A．过任意一点总可以作圆的两条切线 B．圆的切线长就是圆的切线的长度 C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
到⊙O的切线长(结果精确 到 1 cm).
解：如图,连结OA,OB.
∵AC，BC分别与⊙O相
切于点A，B，
∴AC=BC (过圆外一点所作的圆的两条切线长相等).
又∵OA = OB，OC=OC，
∴△OAC ≌ △OBC.ACB= ×80° = 40°.
在 Rt△OAC 中，∠OAC=90°（为什么？），
∴
=cos 40°，
∴AC=OC× cos 40°= 100× cos 40°≈77(cm).
答:点C到⊙O的切线长约为77 cm.
（来自教材）
总结
知1－讲
见切点，连半径，通过解直角三角形求出切线长.
（来自《点拨》）
知1－讲
例2 如图, ⊙O表示皮带传动装置的一个轮子，传动皮带 MA,NB分别切⊙O于点A，B.延长MA,NB,相交于点 P.已知∠APB = 60°，AP=24 cm，求两切点间的距 离和 的长(精确到1 cm). M
第2章 直线与圆的位置关系
第2节 切线长定理
1 课堂讲解 切线长定理
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
从⊙O外一点P引⊙O的两条切线，切点分别为A、 B，那么线段PA和PB之间有何关系？
2.2 切线长定理(选学)(课件)九年级数学下册(浙教版)
又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点，
∴DC=DA.同理可得CE=EB.
l△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.
∵OA=OC，OD=OD，
∴△AOD≌△COD，
1
∴∠DOC=∠DOA= ∠AOC.
2
D
P
同理可得∠COE= ImNoage ∠COB.
1
∠DOE=∠DOC+∠COE= （∠AOC+
2.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，
OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
证明：连接OD，
∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，
∴∠ODC=∠B=90°.
在Rt△OCD和Rt△OCB中，
OD＝OB ，OC＝OC
∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），
C, D．若ΔPCD的周长为3，则PA的值为（ ）
2
B．3
3
A．2
1
C．2
3
D．4
【详解】∵PA, PB切⊙ O于A, B两点，CD切⊙ O于点E，交PA, PB于C, D
∴ PA = PB, CA = CE, DE = DB
∴ΔPCD的周长为PC + CA + PD + DB = 2PA = 3
∴PA =
∴∠DOC=∠BOC.
∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED， ∴∠BOC=∠OED，
∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
∴DE∥OC．
当堂检测
3 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点．直线EF切⊙O于C点，
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折一折
A
1 2
O B
P
思考：已知⊙O切线PA、PB，A、B 为切点，把圆沿着直线OP对折,你能 发现什么?
证一证
请证明你所发现的结论。 PA = PB
∠OPA=∠OPB
O B P
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
试用文字语言 叙述你所发现 的结论
尺规作图：
过⊙O外一点作⊙O的切线
A
O O ·
P
B
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间 的线段的长叫做这点到圆的切线长
A
O
· B P
切线与切线长是一回事吗？ 它们有什么区别与联系呢？
比一比
O
A
P
B
切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点 分别是圆外一点和切点，可以度量。
.
PA=PB
E Q P
A O B F
∴ =PB=PA=12cm
∴周长为24cm
探究：PA、PB是⊙O的两条切
线，A、B为切点，直线OP交于 E ⊙O于点D、E，交AB于C。
（1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC （3）写出图中所有的全等三角形
A O
C D B
P
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形
△ABP
△AOB
例题讲解
例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的 切线，A、B为切点，BC是直径。 求证：AC∥OP A C O
D
P
B
练习1.（口答）如图所示PA、PB分别切 圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于 C、D，已知PA=7cm， (1)求△PCD的周长． (2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数
A D P ·O E
C
B
课堂小结
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它 们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角。 ∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB OP垂直平分AB 切线长定理为证明线段相等，角 相等，弧相等，垂直关系提供了理论 依据。必须掌握并能灵活应用。
新课学习
画一画
1、如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？ 如下左图，借助三角板，我们可以画 出PA是⊙O的切线 2、这样的切线能画出几条？ 3、如果∠P=50°,求∠AOB的度数
A
O
130° 50°
P
B
如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？
A
O。
P
B
思考：已画出切线PA、PB，A、B为切点， 则∠OAP= °,连接 90 OP，可知A、B 除了 在⊙O上，还在怎样的圆上?
例4.如图，△ABC中,∠C =90º,它的 内切圆O分别与边AB、BC、CA相切 于点D、E、F，且BD=12，AD=8， 求⊙O的半径r. A
D
O
B
F
E
C
练习2.如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、 BC是切线，点A、E、B为切点， (1)求证：OD ⊥ OC (2)若BC=9，AD=4，求OB的长.
试一试
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得 B 出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB
O
M
P
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB
若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又 能得出什么新的结论?并给出证明.
牛刀小试
A
O
M
P
C
B
（1）若PA=4、PM=2，求圆O的半径OA
OA=3
（2）已知OA=3cm,OP=6cm，则∠APB= 60° （3）若∠P=70°，则∠AOB= 110 ° ⌒ ⌒ （4）OP交⊙O于M，则ＡＭ＝ＢＭ ，ＡＢ ⊥ ＯＰ
牛刀再试
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是 A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交 PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的 周长 易证EQ=EA, FQ=FB,
求证： AD+BC=AB+CD
AB、BC、CD、DA和圆⊙O分别 相切于点L、M、N、P，
C N M B
证明：由切线长定理得 ∴AL=AP，LB=MB,NC=MC， D DN=DP ∴AL+LB+NC+DN=AP+MB +MC+DP 即 AB+CD=AD+BC P
O
A
L
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
我们学过的切线，常有 六个 五个 性质：
1、切线和圆只有一个公共点；
2、切线和圆心的距离等于圆的半径；
3、切线垂直于过切点的半径；
4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
例3 、如图，四边形ABCD的边
E D A C
O
B
选做题：如图，AB是⊙O的直径， AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
C E D F · O D A O B
C
E
A
B
下课了!
CA=CB
。
B P
C
O
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∴PC=PC ∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC ∠OPA=∠OPB
想一想
A
反思：在解决有关圆的 切线长问题时，往往需 要我们构建基本图形。
O
。
P B
（1）分别连结圆心和切点
（2）连结两切点 （3）连结圆心和圆外一点
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分 A 两条切线的夹角。
切线长定理
O 几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B B PA = PB
P
∠OPA=∠OPB
反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提供新的方法