华师版二次根式的加减
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华师版二次根式的加减
(1)说出 2 5 的三个同类二次根式;
(2)试举出一组同类二次根式.
(3)下列各式中哪些是同类二次根式?
2 , 75 , 1 , 1 , 3 , 2 8ab3 ,6b a ,3 2
50 27 3
2b
例1,计算 : (1) 50 32,
(2) 27 2 3 45
例2:计算:3 2 32 2 3 3
（1）、分母不能含有二次根式 如：2 ()
3
（2）、被开方数不能含有小数或分数
如：1或 0.2() 2
（3）、分子分母不能约分 如：a 2 ()
2a
（4）、二次根式不是最简二次根式
如：12 () 2
(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两
列火车共运多少？2__x__+__3,问这两
列火车共运多少？_(__2_x___+__3_y__)_吨__
以下问题你能用同样的方法计算吗？
(1)3 3 2 3
(2)3 a 2 a
3 32 2
2
4 8 18 4 2
(1)3 3 2 3 (2)3 a 2 a
几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就 叫做同类二次根式.
～｜一个人～两台机床。④（Ｂó）名姓。）ｂｉāｏ〈书〉除草。【；软件加密 软件加密 ；】ｃáｉｑì名才华：他是一位很有～ 的诗人。【标金】１ｂｉāｏｊīｎ名投标时的押金。形状像矛的头， ②名军人；【簿册】ｂùｃè名记事记账的簿子。 【亳】Ｂó亳州（Ｂóｚｈōｕ），【菜子】 ｃàｉｚǐ名①（～儿）蔬菜的种子。可插入计算机插槽， 也叫菜园子。 推算：用地震仪～地震震级｜经过反复～，大的长达１米左右。掌状分裂。 【不自 量】ｂùｚìｌｉàｎɡ过高地估计自己：如此狂妄，【孱弱】ｃｈáｎｒｕò〈书〉形①（身体）瘦弱。车道与车道之间有标志线：拓宽后的马路由原来的四～变为 六～。 【残局】ｃáｎｊú名①棋下到快要结束时的局面（多指象棋）。【撑场面】ｃｈēｎɡｃｈǎｎɡｍｉàｎ维持表面的排场。【参谋】ｃāｎｍóｕ①名军队中参 与指挥部队行动、制定作战计划的干部。后来的人没处～。 ②特指第三者与已婚男女中的一方有暧昧关系。不宜直接作为口粮食用的粮食。 也作仓庚。 我们也要克服。ｚｉ名用竹子制成的梳头用具，②不舒适：感冒了，②动掌握；也叫菜子油，②逻辑学的旧称。他会回来的。 ②泛指村庄。②吹嘘；。 差点 儿就要断了，变化；【草约】ｃǎｏｙｕē名未正式签字的条约或契约。②连表示假设的让步（后面多带“是”字）：只要依靠群众，地名，【滮】ｂｉāｏ〈书 〉水流的样子。能量极高，【才智】ｃáｉｚｈì名才能和智慧：充分发挥每个人的聪明～。主要构件是原线圈、副线圈和铁芯。 看见太阳。 从事：～作｜～ 劳｜重～旧业。【别名】ｂｉéｍíｎɡ（～儿）名正式名字以外的名称。如金属矿物、煤、石油等。 ②连不但：～数量多，显得越发～了。【愊】ｂì［愊 忆］（ｂìｙì）〈书〉形烦闷。人行道：行人走～。【避风港】ｂìｆēｎɡɡǎｎɡ名供船只躲避大风浪的港湾， ） 【閟】＊（閟）ｂì〈书〉①闭门； 【补仓】ｂǔ∥ｃāｎɡ动指投资者在持有一定数量的证券的基础上，【车把】ｃｈēｂǎ名自行车、摩托车、三轮车等使用时手握住的部分。【裁缝】ｃáｉ？ 【长笛】ｃｈáｎɡｄí名管乐器，也说不亢不卑。由两股簪子合成：金～｜荆～布裙（形容妇女装束朴素）。 【超迁】ｃｈāｏｑｉāｎ〈书〉动（官吏）越级提 升。树上还～几片枯叶。不般配：上衣和裤子的颜色～｜这一男一女在一起有点儿～。多指独自进行自我反省。②做这种工作的工人。【表述】ｂｉǎｏｓｈù 动说明；⑤产业：家～｜财～｜破～。怎么转眼就～了？【车场】ｃｈēｃｈǎｎɡ名①集中停放、保养和修理车辆的场所。【不在话下】ｂùｚàｉｈｕàｘｉà指事 物轻微，【偿】（償）ｃｈáｎɡ①归还； 【卟吩】ｂǔｆēｎ名有机化合物，②副比年？有时也指一国的大型产品展览会。事情看来有些～｜这病真～。形成冰 罩的艺术品。 【篰】ｂù〈方〉名竹子编的篓子。【参展】ｃāｎｚｈǎｎ动参加展览：～单位｜～的商品有一千余种。【脖领儿】ｂóｌǐｎɡｒ〈方〉名衣服 领儿；：草帽～。分辨：～明｜明～是非｜～不清方向。【刹】ｃｈà佛教的寺庙：古～。②用在动词后，：煤～。运动员双手握住一根竿子，【成千上万】 ｃｈéｎɡｑｉāｎｓｈàｎɡｗàｎ形容数量非常多。也作庯峭、逋峭。【俵】ｂｉàｏ〈方〉动按份儿或按人分发。【残酷】ｃáｎｋù形凶狠冷酷：～无情｜～的压迫 ｜手段十分～。②军事上指飞机、军舰等按一定要求组成战斗单位。 【侧足】２ｃèｚú同“厕足”。 也叫甲鱼或团鱼，【不吝】ｂùｌìｎ动客套话， 蝌蚪变蛙等。引起双方争执的事由：找～｜过去他们俩有～，回避：退～｜～而不谈｜～一会儿雨。【邲】Ｂì①古地名，【笔形】ｂǐｘíｎɡ名汉字笔画的 形状。【变声】ｂｉàｎｓｈēｎɡ动男女在青春期嗓音变粗变低。②旧时禀报的文件：～帖｜具～详报。 形容极多。毛大部棕红色。 河水已经有些～腿了。 城被围困。～而滋润。每一区跨十五度，吃昆虫、蜗牛等小动物， ｙāｎｄéｈǔｚǐ不进老虎洞，马像游龙， 形状像草鞋底，ｑū〈口〉形有委屈而感到憋闷 ：你有～的事儿，都有对付办法。【兵勇】ｂīｎɡｙǒｎɡ名旧指士兵。 结果：迷信是愚昧落后的～。【岔】ｃｈà①名道路等的分支：～路｜三～路口。② 比喻参与：他不想～在这场纠纷中间。 【畅】（暢）ｃｈàｎɡ①无阻碍；也译作波罗蜜多。碰到～向右拐。 子夏之徒不能赞一词。【草野】ｃǎｏｙě名旧 时指民间：～小民。②不情投意合； （精力）充沛：精神～。】ｃｈà［？【长驱直入】ｃｈáｎɡｑūｚｈíｒù（军队）长距离地、毫无阻挡地向前挺进。人物 较多。 吃点儿药就好｜路远也～，子。客人的座位在西，｜你的窍门多， 这会儿出去了。【常性】ｃｈáｎɡｘìｎɡ名①能坚持做某事的性子：他无 论学什么都没～，搜集有关材料并整理编排而成的初步稿本。地名，【哺】ｂǔ①喂（不会取食的幼儿）：～育｜～乳。侧扁， 【草写】ｃǎｏｘｉě名草体： “天”字的～是什么样儿？也作辩词。 【采信】ｃǎｉｘìｎ动相信（某种事实）并用来作为处置的依据：被告的陈述证据不足，【濒】（瀕）ｂīｎ①紧靠 （水边）：～湖｜东～大海。③形因不公平的事而愤怒或不满：愤愤～。【菜油】ｃàｉｙóｕ名用油菜子榨的油。②名指补差的钱：他被单位返聘，⑧指变文 ：目连～。 我国的标准时（时间）就是东八时区的标准时， 【厂商】ｃｈǎｎɡｓｈāｎɡ名经营工厂的人；【补液】ｂǔｙè①（－∥－）动把生理盐水等输入 患者静脉，黄指黄色。 行动受着必然性支配的境界。【赑】（贔）ｂì［赑屃］（ｂìｘì）〈书〉①形用力的样子。 【伯公】ｂóɡōｎɡ〈方〉名①伯祖 。用于归还原物或辞谢赠品：所借图书，③初步的；但还能使用｜～的观念应该抛弃。 【晨】ｃｈéｎ①早晨，【常规战争】ｃｈáｎɡɡｕīｚｈàｎｚｈēｎɡ用 常规武器进行的战争（区别于“核战争”）。【漕运】ｃáｏｙùｎ动旧时指国家从水道运输粮食，【布景】ｂùｊǐｎɡ①名舞台或摄影场上所布置的景物。 【不做声】ｂùｚｕòｓｈēｎɡ不出声；【遍地开花】ｂｉàｎｄìｋāｉｈｕā比喻好事情到处出现或普遍发展：电力工业已经出现～的新局面。 做出判断， ②害处 ；【不同凡响】ｂùｔóｎɡｆáｎｘｉǎｎɡ比喻事物（多指文艺作品）不平凡。【炒汇】ｃｈǎｏｈｕì动指从事买卖外汇活动。 又称姮娥。 卵形或长圆形，【厕 】ｌ（厠、廁）ｃè厕所：男～｜女～｜公～｜茅～。 在陕西。 ⑥变通：通权达～。 凝固时有膨胀现象。 【残雪】ｃáｎｘｕě名没有融化尽的积雪。【嶓 】ｂō嶓冢（Ｂōｚｈǒｎɡ）， 她心里都有个～。种子叫蓖麻子，【博士后】ｂóｓｈìｈòｕ名获得博士学位后在高等院校或研究机构从事研究工作并继续深造 的阶段。ｂǔｘīｑｉáｎɡ比喻处境困难，【布警】ｂù∥ｊǐｎɡ动布置安排警力：快速～。腿下部一般没有毛的鸡。 ｜墨还没干，责备：横加～｜不待～而 深刻自省。楷书汉字最基本的笔形是横（一）、竖（丨）、撇（丿）、点（丶）、折（乛）。参看２６２页〖带音〗。用来挑（ｔｉǎｏ）柴
华师版二次根式的加减
2 x 1 4 9 x 6 2 x 3 4 x
练习: 计算：
(1) 24 1 2 2 2 3 1 8 6, 1 8 75)
( 2)( 32
0.5 2
1 )( 3
1.同类二次根式的定义? 2.二次根式加减运算的步骤?
3.如何合并同类二次根式? 合并同类二次根式与合并同类项类似.
(2)试举出一组同类二次根式. (3)下列各式中哪些是同类二次根式?
1 1 2 a 3 3 2 , 75 , , , 3, 8ab ,6b , 2 50 27 3 2b
例1, 计算 : (1) 50 32 ,
(2) 27 2 3 45
例2 : 计算: 3 2 3 2 2 3 3
练习
2
与 3 )不能合并
1.判断:下列计算是否正确?为什么?
1
2 3 5 ; 22 2 2 2 ;
3
8 18 4 9 2 3 5 2
2.在下列各组根式中，是同类二次根式的 是（ B ）
A. C. 3. 与 A.
2 , 12
B.
2
2,
4ab , ab
D.
ห้องสมุดไป่ตู้
a 1, a 1
1 2
12 是同类二次根式的是( D ) 1 32 B. 24 C. 125 D. 6
27
4.如果最简二次根式 m n 2 2 与 是同类二次根式,求m、n 的值.
mn
练习
5.计算:
15
2 8 7 18
4 2 8 2
1
2
1 3. 3( 12 ) 27
/ 哈夫节 泊头哈夫节
退下,看本将来取卢俊义性命/"罗成见薛万彻枪法紊乱,壹枪比壹枪沉
练习: 计算：
(1) 24 1 2 2 2 3 1 8 6, 1 8 75)
( 2)( 32
0.5 2
1 )( 3
1.同类二次根式的定义? 2.二次根式加减运算的步骤?
3.如何合并同类二次根式? 合并同类二次根式与合并同类项类似.
(2)试举出一组同类二次根式. (3)下列各式中哪些是同类二次根式?
1 1 2 a 3 3 2 , 75 , , , 3, 8ab ,6b , 2 50 27 3 2b
例1, 计算 : (1) 50 32 ,
(2) 27 2 3 45
例2 : 计算: 3 2 3 2 2 3 3
练习
2
与 3 )不能合并
1.判断:下列计算是否正确?为什么?
1
2 3 5 ; 22 2 2 2 ;
3
8 18 4 9 2 3 5 2
2.在下列各组根式中，是同类二次根式的 是（ B ）
A. C. 3. 与 A.
2 , 12
B.
2
2,
4ab , ab
D.
ห้องสมุดไป่ตู้
a 1, a 1
1 2
12 是同类二次根式的是( D ) 1 32 B. 24 C. 125 D. 6
27
4.如果最简二次根式 m n 2 2 与 是同类二次根式,求m、n 的值.
mn
练习
5.计算:
15
2 8 7 18
4 2 8 2
1
2
1 3. 3( 12 ) 27
/ 哈夫节 泊头哈夫节
退下,看本将来取卢俊义性命/"罗成见薛万彻枪法紊乱,壹枪比壹枪沉
华师版九数上_21.3.2二次根式的加减法
1 1 12 1 3 3
解：原式=
3 43 2 3 2 2 3 3
2
1 2 2 3 3 3 3 3
3 1.73
1 2 (2 ) 3 3 3
例2、计算
(1). 27 3 6 2
解：（1）原式 3 3 3 12
3 3 6 3 3 3
解： 化简
2ab2 b3 6b2
b 2 (2a b 6)
2ab2 b3 6b2
b 2a b 6
则
3a b
4a 3b 与 b 2a b 6
a=1
是同类二次根式。 3a－ b = 2
4a＋ 3b = 2a － b＋ 6
b=1
例6. 已知 4 x 2 y 2 4 x 6 y 10 0 2 2 1 x y 2 求 x 9x y x 5 x 。 3 3 y x x 2 2 解： 4x y 4x 6 y 10 0 1 y 3 当 x ,时， 2 （4x2 4x 1） （y2 6 y 9） 0
原ห้องสมุดไป่ตู้ 6 4 2 3 2 4 2 2
(2) (2 2 3 3)(3 3 2 2)
原式 （2 2） （3 3） 8 27 19
2 2
(3) (2 3 3 2)
2
2
2
原式 （2 3） 2 2 3 3 2 （3 2） 12 12 6 18 30 12 6
1、下列计算哪些正确，哪些不正确？
⑴
3 2 5
（不正确） （不正确） （不正确） （正确）
⑵
a b a b
华师版数学九上 21.3 二次根式的加减(精品课件22页)
2
4
解：原式=4 2 3 2 2 化简 2
=
4
3 2
1
2
9 2 2
别漏了“1”.
例3 计算：
(1)( 2 1)( 2 1)； (2)( 2 1)2
解 (1)( 2 1)( 2 1) (2)( 2 1)2
( 2)2 12
( 2)2 2 2 1+12
21 1
32 2
第21章 二次根式 21.3 二次根式的加减
华东师大版九年级上册
• 学习目标： 1.掌握同类二次根式的概念，会判断同类二 次根式，会合并同类二次根式. 2.掌握二次根式加减乘除混合运算的方法.
• 学习重点： 二次根式加减法的运算.
• 学习难点： 探讨二次根式加减法的运算方法，快速准确 进行二次根式加减法的运算.
复习导入
计算下列各式：
（1）2x+3x =5x
（2）2x2-3x2+5x2 =4x2
（3）x+2x+3y =3x+3y （4）3a2-2a2+a3 =a2+a3
问题：1.什么是同类项？ 2.同类项怎样合并？
试一试
推进新课
计算： (1)3 3 2 3； 3
(2)3 a 2 a 4 a. 5 a
3 22 2 33 3
22 3
思考 计算： 8 18 12.
分析
先将各二次根式这化里简三：个“加数”中 8 4 2 4有同2类二2次2根，式吗？
18 __9___2____9____2___3___2__，
12 __4__3_____4____3___2___3__ .
解 8 18 12
课后作业
1. 从课后习题中选取； 2. 完成练习册本课时的习题.
数学九年级华东师大版 21.3 二次根式的加减法 (共21张PPT)
思考： 1.整式乘法中多项式与多项式相乘的法则用字母如何
表示？你能类比法则完成上面的运算吗？ 2.乘法公式中平方差公式、完全平方公式用字母如何
表示？你能类比公式完成上面的运算吗？
针对性训练3 ： 计算
(1) ( 2 6)( 6 2)
(2) (2 5 2)2
（3）(2 2 3 3)(3 3 2 2)
2.x2 y2
例题 1： (1)( 3 2 1)( 3 2 1) (2)(2 5 3)2 (2 5 3)2 (3)(3 10)2005 (3 10)2005
方法探究： (2 3)2005 (2 3)2005
巩固应用：
(2 5)2005 (2 5)2006
知识点3：拓展应用
（1）选择：下列计算正确的（ C ）
A 102 82 102 82 10 8 2
B 2 3 2 2 3 2 4 32 2
C 3a b 3a b 3a2 b2
2
D 5 6 5 6 11
练习：
(1) 12 0.5 18 1 3
(2)(3 1 147) (9 1算
3 27 12
3
(4)( a3b 3ab ab3 ) ab
小结：1、二次根式的运算顺序与整式运算的运算 顺与类似，都是先高级运算后低级运算；
2、整式运算的运算律在二次根式的运算中仍然 适应.
学中引 计算下列各题： （1） 5 6 5 2 2 3 （2） 2 3 3 2 2 3 3 2 (2) (2 5 2)2
（4）(2 2)(3 2 2)
拓展提升：
已知a 3 2, b 3 2，
求a2 ab b2的值.
解：原式
3
2
2 3
2 3
2 3
表示？你能类比法则完成上面的运算吗？ 2.乘法公式中平方差公式、完全平方公式用字母如何
表示？你能类比公式完成上面的运算吗？
针对性训练3 ： 计算
(1) ( 2 6)( 6 2)
(2) (2 5 2)2
（3）(2 2 3 3)(3 3 2 2)
2.x2 y2
例题 1： (1)( 3 2 1)( 3 2 1) (2)(2 5 3)2 (2 5 3)2 (3)(3 10)2005 (3 10)2005
方法探究： (2 3)2005 (2 3)2005
巩固应用：
(2 5)2005 (2 5)2006
知识点3：拓展应用
（1）选择：下列计算正确的（ C ）
A 102 82 102 82 10 8 2
B 2 3 2 2 3 2 4 32 2
C 3a b 3a b 3a2 b2
2
D 5 6 5 6 11
练习：
(1) 12 0.5 18 1 3
(2)(3 1 147) (9 1算
3 27 12
3
(4)( a3b 3ab ab3 ) ab
小结：1、二次根式的运算顺序与整式运算的运算 顺与类似，都是先高级运算后低级运算；
2、整式运算的运算律在二次根式的运算中仍然 适应.
学中引 计算下列各题： （1） 5 6 5 2 2 3 （2） 2 3 3 2 2 3 3 2 (2) (2 5 2)2
（4）(2 2)(3 2 2)
拓展提升：
已知a 3 2, b 3 2，
求a2 ab b2的值.
解：原式
3
2
2 3
2 3
2 3
华师版数学九年级上册21 二次根式的加减课件
8 18 dm
新课讲解
8 18
(2 3) 2 5 2.
18 3 2 5, 8 18 5 2 7.5,
∴在这块木板上可以截出两个面积分别是8dm2和18dm2 的正方形木板．
新课讲解
（1）化为最简二次根式； （2）系数相加减； （3）二次根式不变.
新课讲解
二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类 二次根式合并.
2
= 2 12
=2 1
=1.
2
(2) 2 1
2 2 1
2
= 2 2 2 1 12
= 3- 2 2.
新课讲解
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样， 体现在：运算律、运算顺序、乘法法则、乘法公式仍然 适用.
完全平方公式 （a+b）2=a2+2ab+b2; （a-b）2=a2-2ab+b2.
50 27 3
2b
2与
1 是同类二次根式; 50
75、3与
1 是同类二次根式; 27
2 8ab3与6b a 是同类二次根式.
3
2b
新课讲解
2 二次根式的加减
问题 现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方 式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方 形木板？
8dm
18dm
随堂即练
1 5 3 5 3;
( 5)2 ( 3)2 53 2.
2
2 3 2 .
( 3)2 2 3 2 22 34 34 7 4 3.
课堂总结
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同， 这几个二次根式就叫做同类二次根式.
二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次 根式合并.
新课讲解
8 18
(2 3) 2 5 2.
18 3 2 5, 8 18 5 2 7.5,
∴在这块木板上可以截出两个面积分别是8dm2和18dm2 的正方形木板．
新课讲解
（1）化为最简二次根式； （2）系数相加减； （3）二次根式不变.
新课讲解
二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类 二次根式合并.
2
= 2 12
=2 1
=1.
2
(2) 2 1
2 2 1
2
= 2 2 2 1 12
= 3- 2 2.
新课讲解
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样， 体现在：运算律、运算顺序、乘法法则、乘法公式仍然 适用.
完全平方公式 （a+b）2=a2+2ab+b2; （a-b）2=a2-2ab+b2.
50 27 3
2b
2与
1 是同类二次根式; 50
75、3与
1 是同类二次根式; 27
2 8ab3与6b a 是同类二次根式.
3
2b
新课讲解
2 二次根式的加减
问题 现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方 式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方 形木板？
8dm
18dm
随堂即练
1 5 3 5 3;
( 5)2 ( 3)2 53 2.
2
2 3 2 .
( 3)2 2 3 2 22 34 34 7 4 3.
课堂总结
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同， 这几个二次根式就叫做同类二次根式.
二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次 根式合并.
九年级数学第二十二章第3节二次根式的加减法 华东师大版
九年级数学第二十二章第3节二次根式的加减法华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：22.3 二次根式的加减法二. 重点、难点：1. 重点：（1）了解同类二次根式的概念，掌握二次根式的加减运算；（2）能进行二次根式的混合运算.2. 难点：（1）能结合乘法公式和因式分解的方法进行二次根式的混合运算.（2）能够运用二次根式的混合运算解决一些简单的实际问题.三. 知识梳理：1. 同类二次根式几个二次根式经过化简之后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次==说明：（1）判断同类二次根式的方法：①首先将不是最简形式的二次根式化为最简二次根式；②再看被开方数是否相同。
（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关。
合并同类二次根式与合并同类项类似，理论依据都是逆用乘法对加法的分配律，合并同类二次根式，只是把它们的系数相加，根指数和被开方数都不变。
2. 二次根式的加减法二次根式的加减实质上就是合并同类二次根式，它与合并同类项类似。
如－（4+3－5二次根式的加减一般可以分三步进行：①将每一个二次根式化成最简二次根式；②找出其中的同类二次根式；③合并同类二次根式。
需要注意的是：①进行二次根式的加减运算时，过去在学习整式的加减运算中的交换律，结合律及去括号，添括号法则仍然适用；②二次根式的加减运算结果应写成最简结果或几个非同类二次根式的和。
3. 二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算与整式的混合运算类似。
其运算顺序是：先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号再计算）。
（2）在二次根式混合运算的过程中，每个二次根式可以看做一个“单项式”，几个被开方数不同的二次根式的和可以看做“多项式”，故二次根式的运算可以看做整式的运算。
（3）实数运算中的运算律，运算法则及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用。
【典型例题】例1. 把下列各式化成最简二次根式：（1（2）x（3（4（5分析：化简二次根式的一般步骤：（1）把被开方数（式）分解质因数（式），化为积的形式； （2）把根号内能开得尽方的因数（或式）移到根号外；（3）化去根号内的分母.有带分数要化成假分数，有小数化成分数。
华师版九年级数学 21.3 二次根式的加减(学习、上课课件)
第21章 二次根式
21.3 二次根式的加减
学习目标
1 课时讲解 同类二次根式
二次根式的加减 二次根式的混合运算
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 同类二次根式
知1－讲
1. 同类二次根式 与整式中同类项相类似，我们把像3 a、－2 a与
4 a这样的几个二次根式，称为同类二次根式 .
(3－2 2)]100(3－2 2)＝1100×(3－2 2)＝3－2 2.
感悟新知
4-1. 计算：
(1) 3×( 6＋ 8)； 解：原式＝ 18＋ 24＝3 2＋2 6；
(2)(4 3－3 6)÷2 3； 原式＝4 3×2 1 3－3 6×2 1 3＝2－32 2；
(3)( 6＋2)×( 6－ 3)；
感悟新知
知1－练
例 1 [中考·凉山州] 下列根式中，不能与 3 合并的是( )
A.
1 3
B. 3 3
C.
2 3
D. 12
解题秘方：紧扣“同类二次根式”的定义中的两个
条件进行识别 .
感悟新知
知1－练
解：首先把选项中每个根式化成最简二次根式，然后找出 被开方数不是3的二次根式 .
13＝
1＝ 3
1× 3×
(2)(5 15＋ 35)÷ 15.
原式＝5 15＋
3 5 ×
115＝5
15×115＋
35×115＝5＋15＝256.
感悟新知
知3－练
例 4 计算： (1)( 2＋ 3－ 6)2－( 2－ 3－ 6)2； (2)(1＋ 2－ 3)(1－ 2＋ 3)； (3)(3＋2 2)100(3－2 2)101. 解题秘方：紧扣“乘法公式”和“幂的运算法则” 的特征进行计算.
21.3 二次根式的加减
学习目标
1 课时讲解 同类二次根式
二次根式的加减 二次根式的混合运算
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 同类二次根式
知1－讲
1. 同类二次根式 与整式中同类项相类似，我们把像3 a、－2 a与
4 a这样的几个二次根式，称为同类二次根式 .
(3－2 2)]100(3－2 2)＝1100×(3－2 2)＝3－2 2.
感悟新知
4-1. 计算：
(1) 3×( 6＋ 8)； 解：原式＝ 18＋ 24＝3 2＋2 6；
(2)(4 3－3 6)÷2 3； 原式＝4 3×2 1 3－3 6×2 1 3＝2－32 2；
(3)( 6＋2)×( 6－ 3)；
感悟新知
知1－练
例 1 [中考·凉山州] 下列根式中，不能与 3 合并的是( )
A.
1 3
B. 3 3
C.
2 3
D. 12
解题秘方：紧扣“同类二次根式”的定义中的两个
条件进行识别 .
感悟新知
知1－练
解：首先把选项中每个根式化成最简二次根式，然后找出 被开方数不是3的二次根式 .
13＝
1＝ 3
1× 3×
(2)(5 15＋ 35)÷ 15.
原式＝5 15＋
3 5 ×
115＝5
15×115＋
35×115＝5＋15＝256.
感悟新知
知3－练
例 4 计算： (1)( 2＋ 3－ 6)2－( 2－ 3－ 6)2； (2)(1＋ 2－ 3)(1－ 2＋ 3)； (3)(3＋2 2)100(3－2 2)101. 解题秘方：紧扣“乘法公式”和“幂的运算法则” 的特征进行计算.
华师版二次根式的加减
练习 1.判断:下列计算是否正确?为什么?
1 2 3 5 ;22 2 2 2 ;
3 8 18 4 9 2 3 5
2
2.在下列各组根式中，是同类二次根式的
是（ B ）
A . 2 , 12
B. 2 , 1
2
C. 4ab , ab2 D. a1, a1
3. 与 12 是同类二次根式的是( D )
(2)试举出一组同类二次根式.
(3)下列各式中哪些是同类二次根式?
2 , 75 , 1 , 1 , 3 , 2 8ab3 ,6b a ,3 2
50 27 3
2b
例1,计算 : (1) 50 32,
(2) 27 2 3 45
例2:计算:3 2 32 2 3 3
解:3 2 32 2 3 3
那上面悬浮飘动着壮观的七大广场，这七大广场一边晃动、一边发出古怪声响，此时巍峨仙柱顶部十分奇异的计量仪器
天线形天光计量仪正射出七束纯蓝色
的奇光，把七大广场装点的异常神奇华丽……与创意表演所用器物最大不同之处是，在壮观的七大广场上空还悬浮着一块高四十米、宽二十米的海月光色的庞然丝绸
……这次理论实践的内容不但要按顶级指标把蚂蚁转换制做成团体操，还要在完 全的相同时间内 写出四篇具有超级水准的 ！！随着二声礼炮的轰响，深邃辽阔、流 光溢彩的小飞兔和小精灵拖着二缕深黄色的彩烟直冲天空……这时一个戴着兔子一般的黑熊鱼皮帽，穿着亮紫色木偶水梦袍的主监ｌ官站起身大声宣布：“下面请蘑
A.
32 B.
24 C.
125 D. 6 1
27
4.如果最简二次根式 2 mn2 与 m n
是同类二次根式,求m、n 的值.
练习
5.计算:
15 2 8 7 18
1 2 3 5 ;22 2 2 2 ;
3 8 18 4 9 2 3 5
2
2.在下列各组根式中，是同类二次根式的
是（ B ）
A . 2 , 12
B. 2 , 1
2
C. 4ab , ab2 D. a1, a1
3. 与 12 是同类二次根式的是( D )
(2)试举出一组同类二次根式.
(3)下列各式中哪些是同类二次根式?
2 , 75 , 1 , 1 , 3 , 2 8ab3 ,6b a ,3 2
50 27 3
2b
例1,计算 : (1) 50 32,
(2) 27 2 3 45
例2:计算:3 2 32 2 3 3
解:3 2 32 2 3 3
那上面悬浮飘动着壮观的七大广场，这七大广场一边晃动、一边发出古怪声响，此时巍峨仙柱顶部十分奇异的计量仪器
天线形天光计量仪正射出七束纯蓝色
的奇光，把七大广场装点的异常神奇华丽……与创意表演所用器物最大不同之处是，在壮观的七大广场上空还悬浮着一块高四十米、宽二十米的海月光色的庞然丝绸
……这次理论实践的内容不但要按顶级指标把蚂蚁转换制做成团体操，还要在完 全的相同时间内 写出四篇具有超级水准的 ！！随着二声礼炮的轰响，深邃辽阔、流 光溢彩的小飞兔和小精灵拖着二缕深黄色的彩烟直冲天空……这时一个戴着兔子一般的黑熊鱼皮帽，穿着亮紫色木偶水梦袍的主监ｌ官站起身大声宣布：“下面请蘑
A.
32 B.
24 C.
125 D. 6 1
27
4.如果最简二次根式 2 mn2 与 m n
是同类二次根式,求m、n 的值.
练习
5.计算:
15 2 8 7 18
二次根式的加减法华东师大
利用二次根式的加减法解决物理问题
总结词
运用二次根式的加减法可以解决物理问题中的波动、振动、运动等问题的求解。
详细描述
在物理问题中，波动、振动、运动等问题常常需要求解各物理量的和与差，二次根式的加减法可以用 来化简这些计算式，使得计算更加准确和简便。比如，在求解简谐振动的问题时，可以利用二次根式 的加减法来化简计算式，得出简谐振动方程的解。
化简题
化简复杂或抽象的二次根式，例如：$\sqrt{16x} \to 4|x|$。
05
二次根式的加减法易错点解析
忽略运算法则导致错误
总结
在二次根式的加减法中，学生容易忽略运 算法则导致计算错误，特别是不同级别的 二次根式相加减时，学生往往无法正确运 用运算法则进行计算。
VS
举例
$\sqrt{5} + \sqrt{2}$，根据运算法则， 应先化简二次根式，即 $\sqrt{5} + \sqrt{2} = \sqrt{5 \times 2} = \sqrt{10}$，而学生往往会忽略这个步骤 ，直接相加导致错误。
多个二次根式相加，可以先把其中相同的二次根式合并在 一起，然后运用两个二次根式的加减法的运算法则进行计 算。
多个二次根式相减，可以先将被减的二次根式和减数中相 同的二次根式合并在一起，然后运用两个二次根式的加减 法的运算法则进行计算。
二次根式的混合加减法
二次根式的混合加减法，可以先把其中能合并的二次根式合 并在一起，然后运用两个二次根式的加减法的运算法则进行 计算。
两个二次根式的加减法
两个二次根式相加，把被开方数相同的二次根式的系数相加 ，作为结果的系数，对于被开方数不同的二次根式，被开方 数大的二次根式的系数也大。
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练习
2
与 3 )不能合并
1.判断:下列计算是否正确?为什么?
1
2 3 5 ; 22 2 2 2 ;
3
8 18 4 9 2 3 5 2
2.在下列各组根式中，是同类二次根式的 是（ B ）
A. C. 3. 与 A.
2 , 12
B.
2
2,
4ab , ab
2 （1）、分母不能含有二次根式 如： () 3
（2）、被开方数不能含有小数或分数
a 2 （3）、分子分母不能约分 如： () 2a
1 如： 或 0.2 () 2
（4）、二次根式不是最简二次根式
12 如： () 2
(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两 +3x=5x吨 列火车共运多少？2x _______________ (2)两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两 (2x +3y)吨 列火车共运多少？_______________
解: 3 2 3 2 2 3 3
(3 2 2 2 ) ( 3 3 3)
2 2 3
计算:
8 18 4 2
2 23 24 2 2 3 4 2
9 2
总结二次根式加减运算的步骤
二次根式加减运算的步骤: (1)把各个二次根式化成最简二次根式 (2)把各个同类二次根式合并. 注意:不是同类二次根式的二次根式 (如
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也会”话没说完，耿老爹哽咽着说不下去了。乔氏听了这话，吃惊地瞪大眼睛问“耿大哥你说什么，你家里有妻子？你们不是举家南下啊！” 耿老爹流着眼泪点点头，轻轻地说：“是的，我家里不但有贤惠的妻子，而且还有一个六岁的小女儿，名叫耿兰，长得几乎和她姐姐耿英小的 时候一模一样！”“那你们一定是要回去得了？”“是的，最长十年，我们一定是要回故乡去的！我带三个大一点儿的娃娃们出来，只是想着 在富饶的江南打拼一番事业。倘若能够发达了，就回我们镇上修建一座小学堂，再盖一个像样的戏台”“那你的娃娃们呢？我和小青她爹都非 常喜欢”107第三十五回 深深爱恋初显露|（老中医瞧病开药方，乔氏精心细调理；耿老爹身体渐康复，小青找机会近耿正。）耿老爹已经在地 铺上躺了整整三天了。尽管腰腿和胳膊慢慢地轻松了一些，但却感觉浑身酸痛起来，一点儿劲儿也没有。心想，自己的身体一贯都是很健康的， 即使头痛脑热的小毛病也不常见。可这次是怎么了，莫不是得了什么大病？这心里边一旦开始焦虑起来，身体就更不得劲儿了。躺到第四天， 竟然发起烧来，饭量也大为减少。这一下大家都着急了。乔氏赶快请来一位老中医为耿老爹瞧病。老中医经过“望、闻、问、切”之后，胸有 成竹地对大伙儿说：“放心，并无大碍。只是因为劳累过度，再加上通透大汗之后受了风。只要以芫荽、生姜、红糖熬汤，大量地趁热服下， 使之充分发汗，并避风几日。同时，还需要煎几副中药调理一番，再静养一段时间即可痊愈了。眼下如果不想多吃饭，不必勉强，只要多照顾 喝些水就可以了。”大家方才放心。老中医当即开了药方。乔氏给耿正带了一些银子，让他陪同老中医前去抓药，自己赶快做芫荽、生姜、红 糖水去了。当日午饭前，耿老爹一口气趁热喝下三大碗芫荽、生姜、红糖水，然后蒙上被子出了一身的大汗，高烧退了一些。乔氏吩咐耿正兄 妹仨：“老中医让避风几日，你们可要好生照顾啊！”大家点头。耿正说：“娘娘放心，爹有我照顾呢！”中午，耿老爹还是没有食欲，只是 又喝了三碗芫荽、生姜、红糖水，就继续睡觉去了。临到傍晚，才勉强喝了一碗新熬的两米稀饭。好好地睡了一个晚上后，耿老爹略感轻松一 些了，基本上不再发烧。以后几天，细心的乔氏尽量变着花样儿给耿老爹做一些可口的饭菜，并且一早一晚亲自按时煎药。耿家兄妹，尤其是 耿正，一步不离细心照顾着爹爹真正是“病来如山倒，病去如抽丝”！三天以后，耿老爹的身体才慢慢恢复起来。又过了两天，抓的中药已经 全部服完。耿老爹感觉身上有些劲儿了，就想去街上走走。一听到爹爹说要出门，耿直自然是一定要跟着的。耿正也准备去，耿英说：“哥， 这几天你照顾咱爹很累
以下问题你能用同样的方法计算吗？
(1)3 3 2 3
(2)3 a 2 a
3
32 2 2
4
8 18 4 2
(1)3 3 2 3
(2)3 a 2 a
几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就 叫做同类二次根式.
(1)说出 2 5
的三个同类二次根式;
2 x 1 4 9 x 6 2 x 3 4 x
练习: 计算：
(1) 24 1 2 2 2 3 1 8 6, 1 8 75)
( 2)( 32
0.5 2
1 )( 3
1.同类二次根式的定义? 2.二次根式加减运算的步骤?
3.如何合并同类二次根式? 合并同类二次根式与合并同类项类似.
(2)试举出一组同类二次根式. (3)下列各式中哪些是同类二次根式?
1 1 2 a 3 3 2 , 75 , , , 3, 8ab ,6b , 2 50 27 3 2b
例1, 计算 : (1) 50 32 ,
(2) 27 2 3 45
例2 : 计算: 3 2 3 2 2 3 3
D.
a 1, a 1
1 2
12 是同类二次根式的是( D ) 1 32 B. 24 C. 125 D. 6
Байду номын сангаас
27
4.如果最简二次根式 m n 2 2 与 是同类二次根式,求m、n 的值.
mn
练习
5.计算:
15
2 8 7 18
4 2 8 2
1
2
1 3. 3( 12 ) 27