2020届中考数学一轮复习提分微课(02) 角平分线问题
角平分线课件
角平分线课件角平分线课件在数学课上，我们经常会遇到各种几何问题。
其中一个重要的概念就是角平分线。
角平分线是指从一个角的顶点出发，将角分成两个相等的角的线段。
在本文中，我们将探讨角平分线的性质和应用。
一、角平分线的性质角平分线有一些重要的性质，我们先来了解一下。
1. 角平分线将一个角分成两个相等的角。
这是角平分线最基本的性质。
无论角的大小如何，角平分线都能将其分成两个大小相等的角。
这个性质在解决一些几何问题时非常有用。
2. 角平分线上的点到角的两边距离相等。
这个性质可以用来证明角平分线的存在。
假设有一个角ABC，其中AD是角的平分线，D是平分线上的一个点。
我们可以证明AD到AB的距离等于AD到AC的距离。
这个性质在证明角平分线的问题中经常被使用。
3. 角平分线上的点到角的顶点的距离最短。
这个性质可以通过比较角平分线上的点到角的两边的距离来证明。
对于角ABC 和角ABD，其中D是角的平分线上的一个点，我们可以证明AD的长度小于BD或CD的长度。
这个性质在解决一些优化问题时非常有用。
二、角平分线的应用角平分线的性质使其在解决一些几何问题时非常有用。
下面我们将介绍一些常见的应用。
1. 角平分线的构造已知一个角的两边，我们可以通过构造角平分线来找到角的平分线。
具体的构造方法可以通过画圆弧或者使用直尺和指南针来实现。
这个应用在解决一些几何问题时经常被使用。
2. 角平分线的证明在证明一些几何定理时，角平分线经常被使用。
通过证明一个角的平分线存在，我们可以得到一些重要的结论。
例如，证明一个三角形的角平分线相交于三角形的内心，可以得到一些关于三角形的重要性质。
3. 角平分线的优化问题在一些优化问题中，角平分线的性质可以帮助我们找到最优解。
例如，已知一个角和一条边的长度，我们需要找到一条从角的顶点到边上某点的线段，使得这条线段到角的两边的距离之和最小。
通过使用角平分线的性质，我们可以解决这个问题。
三、角平分线课件的设计为了更好地教授角平分线的概念和应用，我们可以设计一份角平分线的课件。
2020年中考数学复习专题14 角、相交线、平行线 全面复习系列讲座 (2)
4.度、分、秒的换算 1周角=360°,1平角=180°,1°=⑥ 60 ',1'=⑦ 60 ″,度、分、秒之间 是⑧ 60 进制.
考点
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
角的相关概念及性质 5.余角与补角
余角
若∠1+∠2=90°,则∠1与∠2互为余角.
补角
若∠3+∠4=180°,则∠3与∠4互为补角.
名称 端点个数
特征
图示
表示及读法
直线 无
可向两方无限延伸
直线AB或直线BA
射线 1个
可向一方无限延伸
射线OA
线段 2个
有一定长度,可度量
线段AB或线段BA
考点
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
直线与线段
(2)两个基本事实 ①直线的基本事实:经过两点④ 有且只有一条直线. ②线段的基本事实:两点之间,⑤ 线段 最短.
性质
同角(或等角)的余角相等; 同角(或等角)的补角相等.
6.角平分线的概念及其定理 (1)概念 在角的内部,从角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两 个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.如图,OC是从 ∠AOB的顶点O引出的一条射线,∠AOB被OC分成两个角,若 ∠AOC=∠BOC,则OC叫做∠AOB的平分线.
考点
相交线（如图）
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
3.邻补角 (1)邻补角:∠1与∠2,∠2与∠3,∠3与∠4,∠4与∠1等. (2)性质:互为邻补角的两个角的和为180°. 4.垂线及其性质 (1)垂线 如图,在两条直线AB和CD相交所成的四个角中,如果有一个角是 90°,我们就说这两条直线互相垂直,记作“AB⊥CD”.其中一条 直线叫做另一条直线的⑨ 垂线 ,它们的交点O叫做 垂足 . (2)垂线段 过直线外一点作已知直线的垂线,该点与垂足之间的线段叫做点到直线的垂线段.
中考数学复习方案 提分微课(02) 角平分线问题
∴∠CEA=∠ECA,∴AE=AC=3 2,故答案为:3 2.
13.在▱ABCD中,AE平分∠BAD交边BC于点E,DF平分∠ADC交边BC于点F,若
AD=11,EF=5,则AB=
.
[答案]8或3
[解析]①如图①,在▱ABCD中,∵BC∥AD,∴∠ADF=∠CFD.
图W2-1
1.如图W2-2,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,若CD=3,则点
D到AB的距离DE是
( C )
A.5
B.4
C.3
图W2-2
D.2
2.[2018·枣庄]如图 W2-3,在 Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为 D,AF 平分
∠CAB,交 CD 于点 E,交 CB 于点 F.若 AC=3,AB=5,则 CE 的长为 (
∵DF平分∠ADC交BC于点F,∴∠ADF=∠CDF,
∴∠CFD=∠CDF,∴CF=CD.同理可证AB=BE.
∴AB=BE=CF=CD.∵EF=5,BC=AD=11,
①
∴BC=BE+CF-EF=2AB-EF=2AB-5=11,∴AB=8.
②如图②,在▱ABCD中,同①可得AB=BE=CF=CD,
∵EF=5,∴BC=BE+CF+EF=2AB+EF=2AB+5=11,∴AB=3.
故答案为8或3.
②
14.如图W2-16,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,过D作DE∥AC,交AB于E,若
AB=5,则DE=
.
5
[答案] 2
[解析]∵AC∥ED,AD 平分∠EAC,
图W2-16
广东省2020年中考数学第一轮复习课件 提分微课01 全等基本模型
∴CE=AD=2.6 cm,
∴BE=CD=CE-DE=1.4 cm.
图W1-16
10.(1)某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本图形.如图W1-17①,已知:在△ABC中 ,∠BAC=90°,AB=AC,直线l经过点A,BD⊥直线l,CE⊥直线l,垂足分别为点D,E.证明:DE=BD+CE. (2)组员小刘想,如果三个角不是直角,那结论是否会成立呢?如图W1-17②,将(1)中的条件改为:在△ABC中 ,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE 是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
������������ = ������������, ∴△ ABC≌△ADC(SSS),
∴∠BAC=∠DAC,即 AC 平分∠BAD. (2)由(1)知,∠BAE=∠DAE,
������������ = ������������, 在△ BAE 与△ DAE 中, ∠������������������ = ∠������������������,
模型二 一线三等角型
利用“同角的余角相等”转化找等角
图W1-14
图W1-15
9.如图W1-16,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE,垂足分别为E,D,AD=2.6 cm,DE=1.2 cm,求BE的 长.
解:∵BE⊥CE,AD⊥CE, ∴∠BEC=∠CDA=90°.
(2)∵∠A=100°,∴∠B=∠C=40°. ∵BD=BF,∴∠BDF=∠BFD=70°. ∵△BDF≌△CEF,∴∠EFC=70°, ∴∠DFE=40°.
2020年中考数学第一轮复习专题 第27课 尺规作图(含答案)
第27课尺规作图本节内容考纲要求考查五个基本作图和能转化为基本作图的简单尺规作图。
广东省近5年试题规律：以解答题出现，一般考查作角平分线，线段的垂直平分线和过一点直线的垂线，多与三角形、四边形问题结合一起，难度不大，但学生欠缺动手操作，是常见丢分题。
知识清单知识点一尺规作图定义只用圆规和尺子来完成的图画，称为尺规作图.基本步骤(1)已知：写出已知的线段和角，画出图形；(2)求作：求作什么图形，使它符合什么条件；(3)作法：运用五种基本作图，保留作图痕迹；(4)证明：验证所作图形的正确性；(5)结论：对所作的图形下结论.五种基本作图(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)作一个角的平分线；(4)经过一已知点作直线的垂线；(5)作已知线段的垂直平分线.课前小测1．（尺规作图的定义）尺规作图是指（）A．用直尺规范作图B．用刻度尺和圆规作图C．用没有刻度的直尺和圆规作图D．直尺和圆规是作图工具2．（作角平分线）如图，用尺规作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS3．（作一个角等于已知角）小明回顾用尺规作一个角等于已知角的作图过程（如图所示），连接CD、C′D′得出了△OCD≌△O′C′D′，从而得到∠O=∠O′，其中小明作出△OCD≌△O′C′D′判定的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 4．（作垂直平分线）如图所示，已知线段AB=6，现按照以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点C和点D；②连结CD交AB于点P．则线段PB的长为．5．（作垂线）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（）A．B．C．D．经典回顾考点一作线段垂直平分线【例1】（2018•广东）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°，（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．【点拨】作线段的垂直平分线要点：①以线段两端点为圆心作弧，两弧交于两点；②再过两点作垂线．考点二作角平分线【例2】（2018•赤峰）如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C＝∠DAC．（1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．【点拔】作角的平分线要点：①以顶点为圆心画弧交角的两边于两点；②再以这两点为圆心作弧，两弧交于一点；③最后过顶点与交点作射线．考点三作垂线【例3】（2015•广东）如图，已知锐角△AB C．（1）过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，若BC=5，AD=4，tan∠BAD=34，求DC的长．【点拨】过一点作垂线或作高线要点：①以这点为圆心，在直线上截取一条线段；②再作线段的垂直平分．考点四作一个角等于已知角【例4】（2019•广东）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC 于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若ADDB＝2，求AEEC的值．【点拔】过一点作一个角等于已知角要点：①以角的顶点为圆心画弧交两边于两点，以这一点为圆心，相同半径作弧，交于一点；②再以两点间距离为半径，作弧，两弧交于一点；③最后过这一点于交点作射线．对应训练1．（2019•泰州）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．2．（2019•中山一模）如图，已知平行四边形ABCD，（1）作∠B的平分线交AD于E点．（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若平行四边形ABCD的周长为10，CD＝2，求DE的长．3．（2019•江门期末）画图题：如图，已知三角形ABC，AB＝5．（1）过点C作CD⊥AB，点D为垂足：（2）在（1）的条件下，若DB＝2，求点A到CD的距离．4．（2019•顺德期末）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°．（1）用尺规作图法作∠ABD＝∠C，与边AC交于点D（保留作图痕迹，不用写作法）；（2）在（1）的条件下，当∠C＝30°时，求∠BDC的度数．中考冲刺夯实基础1．（2019•赤峰）已知：AC是□ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线，与AD相交于点E，连接CE．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB＝3，BC＝5，求△DCE的周长．2．（2019•惠阳二模）如图，已知：AB∥CD．（1）在图中，用尺规作∠ACD的平分线交AB于E点；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）判断△ACE的形状，并证明．3．（2019•玉林）如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°．（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；（2）求证：△BCD是等腰三角形．4．（2019•越秀一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝AE（1）尺规作图：作DF⊥AE于点F；（保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：AB＝DF．能力提升5．（2019•白银）已知：在△ABC中，AB＝AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝．6．（2019•三明模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC．（1）尺规作图：作∠CBD＝∠A，D点在AC边上（要求：不写作法，保留作图痕迹）（2）若∠A＝40°，求∠ABD的度数．7．（2019•达州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作BC的垂线，垂足为点E．（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．第27课尺规作图课前小测1．C．2．D．3．A．4．3．5．B．经典回顾考点一作线段垂直平分线【例1】解：（1）如图，直线EF即为所求；（2）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．∴∠ABD=∠DBC=12∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，∴∠C=∠A=30°，∵EF垂直平分线线段AB，∴AF=FB，∴∠A=∠FBA=30°，∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°．考点二作角平分线【例2】（1）解：如图，DE为所求；（2）证明：∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝∠BDE，∵∠ADB＝∠C+∠DAC，而∠C＝∠DAC，∴2∠BDE＝2∠C，即∠BDE＝∠C，∴DE∥AC．考点三作垂线【例3】解：（1）如图，MN为所求；（2）∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵tan∠BAD=BDAD =34，∴BD=3，∴CD=BC﹣BD=5﹣3=2．考点四作一个角等于已知角【例4】解：（1）如图，∠ADE为所作；（2）∵∠ADE＝∠B∴DE∥BC，∴AEEC ＝ADDB＝2．对应训练1．解：（1）如图直线MN即为所求．（2）∵MN垂直平分线段AB，∴DA＝DB，设DA＝DB＝x，在Rt△ACD中，∵AD2＝AC2+CD2，∴x2＝42+（8﹣x）2，解得x＝5，∴BD＝5．2．解：（1）如图，BE为所作；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD＝2，AD＝BC，∵平行四边形ABCD的周长为10∴AB+AD＝5，∴AD＝3，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵AD∥BC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝2，∴DE＝AD﹣AE＝3﹣2＝1．3．解：（1）如图，CD为所作．（2）∵AB＝5，BD＝2，∴AD＝3，∴点A到CD的距离为3．4．解：（1）如图，∠ABD为所作；（2）∵∠ABC+∠C+∠A＝90°，∴∠ABC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵∠ABD＝∠C＝30°，∴∠BDC＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣30°＝30°，∴∠BDC＝180°﹣30°﹣30°＝120°．中考冲刺夯实基础1．解：（1）如图，CE为所作；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∵点E在线段AC的垂直平分线上，∴EA＝EC，∴△DCE的周长＝CE+DE+CD＝EA+DE+CD＝AD+CD＝5+3＝8．2．解：（1）如图即为所求：（2）△ACE是等腰三角形．证明：∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ECD，∵AB∥CD，∴∠AEC ＝∠ECD ，∴∠ACE ＝∠AEC ，∴△ACE 是等腰三角形．3．（1）解：如图，点D 为所作；（2）证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝（180°﹣36°）＝72°， ∵DA ＝DB ，∴∠ABD ＝∠A ＝36°，∴∠BDC ＝∠A +∠ABD ＝36°+36°＝72°， ∴∠BDC ＝∠C ，∴△BCD 是等腰三角形．4．（1）解：如图，F 点为所作；（2）证明：∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD ∥BC ，∠B ＝90°，∴∠DAE ＝∠AEB ，∵DF ⊥AE ，∴∠AFD ＝90°，在△ABE 和△DFA 中B DFAAEB DAF AE AD=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠，∴△ABE≌△DFA（AAS），∴AB＝DF．能力提升5．解：（1）如图⊙O即为所求．（2）25π．6．解：（1）如图，∠CBD为所作；（2）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝1（180°﹣∠A）＝70°，2∵∠CBD＝∠A＝40°，∴∠ABD＝70°﹣40°＝30°．7．解：（1）如图，DE为所作；（2）∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝12∠ACB＝45°，∵DE⊥BC，∴△CDE为等腰直角三角形，∴DE＝CE，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴DEAC ＝BEBC，即2DE＝33DE，∴DE＝65．。
九年级中考专题复习微专题5 角平分线模型课件人教版
微专题5
角平分线模型
1.角平分线上的点向两边作垂线
如图,P是∠MON的平分线上一点,过点P作PA⊥OM于点
A,PB⊥ON于点B,则PB=PA.
【模型分析】利用角平分线的性质:角平分线上的点到角
两边的距离相等,构造模型,为边相等、角相等、三角形全等
创造更多的条件,进而可以快速找到解题的突破口.
,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD,交BD的延长线于
E. 求证:BD=2CE.
【解析】如图,延长CE,BA交于点F.
∵CE⊥BD交BD的延长线于E, ∠BAC=90°,
∴∠BAD=∠CED.
∴∠ABD=∠ACF.
又AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°,
∴△ABD≌△ACF.∴ BD=CF.
50°.
2.截取构造对称全等
如图,P是∠MON的平分线上的一点,点A是射线OM上任意
一点,在ON上截取OB=OA,连接PB,则△OPB≌△OPA.
【模型分析】利用角平分线图形的对称性,在角的两边构
造对称全等三角形,可以得到对应边、对应角相等,利用对称
性把一些线段或角进行转移,这是经常使用的一种解题技巧.
如图,P是∠MON的平分线上一点,AP⊥OP于点P,延长AP交
ON于点B,则△AOB是等腰三角形.
【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合
一”,得到两个全等的直角三角形,进而得到对应边、对应角相
等.这个模型巧妙地把角平分线和“三线合一”联系了起来.
例5 如图,已知等腰直角三角形ABC中
∵AD 为∠BAC 的平分线,∴∠BAD=∠CAD.
∵AE=AE,∴∠AEB=∠AEF=90°,
∴△AEB≌△AEF.∴AB=AF, BE=EF,
(完整版)中考复习2角平分线专题
角平分线专题【类型一】角平分线倒角模型例1、把一副学生用三角板)906030(︒︒︒、、和)904545(︒︒︒、、如图(1）放置在平面直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，直角边AC 与y 轴重合，斜边AD 与y 轴重合,直角边AE 交x 轴于F,斜边AB 交x 轴于G,O 是AC 中点，8=AC .(1)把图1中的AED Rt ∆绕A 点顺时针旋转α度)900(︒<≤α得图2，此时AGH ∆的面积是10,AHF ∆的面积是8,分别求F 、H 、B 三点的坐标;(2）如图3,设AHF ∠的平分线和AGH ∠的平分线交于点M ，EFH ∠的平分线和FOC ∠的平分线交于点N ，当改变α的大小时,M N ∠+∠的值是否会改变？若改变,请说明理由；若不改变,请求出其值。
检测1、如图，已知点A 是y 轴上一动点，B 是x 轴上一动点，点C 在线段OB 上，连接AC ，AC 正好是OAB ∠的角平分线，DBx ABD ∠=∠，问动点A,B 在运动的过程中，AC 与BD 所在直线的夹角是否发生变化,请说明理由；若不变，请直接写出具体值。
yx检测2、如图探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知:如图2,在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中,DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD,试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．探究四:若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：．【类型二】点在线，垂两边例2、如图（1），ABCCD⊥，垂足为D。
2024年九年级数学中考复习专题用好基本图形--角平分线 课件
A．mn
B．5mn
C．7mn
D．6mn
C
过点D作DE⊥AB于点E
轴对称构造
△BDC≌△BDE
CD=DE
2n
E
m
m
D
A
一、角平分线的轴对称功能
例题2如图，在ΔABC中∠ABC=60°，AD , CE分别为∠BAC，∠ACB
的平分线，
A
求证：AC=AE+CD
F
E
O
【观察与思考】根据角平分线的轴对称功能，我们容易想到在AC上做
∴y与x的函数关系式为：y＝
一、角平分线的轴对称功能
以角平分线轴对称功能进行轴对称构造的三种基本情形：
A
A
M
M
O
N
B
Rt△PMO≌Rt△PNO
O
N
C
B
△PMO≌△PNO
O
P
∟
P C
P
M
N
A
C
B
Rt△PMO≌Rt△PNO
遇到有角平分线的问题时，首先应当想到它的轴对称功能，不
论在什么样的综合题中，角平分线的“轴对称功能”都常是解法获
CE分别为
在AC上取AF＝AE，连接OF
E
∠BAC，∠ACB的平分线
轴对称构造
O
△AEO≌△AFO（SAS）
∠OAC+∠OCA=60°
B
∠AOE＝∠AOF
D
∠AOC＝180°-(∠OAC+∠OCA)＝120°
∠AOE＝∠AOF＝∠COD=60°
∠COD＝∠COF=60°
OC＝OC
∠DCO＝∠FCO
角平分线课件PPT
生活中有趣角平分线现象
建筑设计中的应用
在建筑设计中，角平分线常被用来确保建筑物的对称性和平衡感。例如，古希腊的帕特 农神庙就运用了角平分线的原理来设计其立面和柱子。
自然界的角平分线
在自然界中，角平分线的现象也很常见。例如，当阳光照射在树叶上时，树叶的脉络就 会呈现出角平分线的形状，这是因为树叶在生长过程中会自然地沿着角平分线的方向扩
例题2
已知在△ABC中，∠C=90° ，AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于E，F在AC上， BD=DF。求证：CF=EB 。
解析
过点D作DM⊥AC于M。 根据角平分线的性质，可 得DE=DM。在Rt△FCD 和Rt△EBD中，DF=BD， DE=DM。 ∴Rt△FCD≌Rt△EBD（HL ）。∴CF=EB。
的两边分别与OA、OB相交于点C、D。求证： PC=PD。
输入 标题
解析
根据角平分线的性质和直角三角形的性质，可以证明 △OPC和△OPD全等，从而得出PC=PD。具体证明过 程略。
例题1
例题2
根据角平分线的性质和勾股定理，可以求出点D到AB 的距离。具体求解过程略。
解析
在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若 BC=32，且BD:CD=9:7，求点D到AB的距离。
04
角平分线在几何变换中应用
旋转对称性质及应用
旋转对称性质
角平分线将一个角分为两个相等的小角，且两个小角关于角平分线对称。当图形 绕角平分线旋转一定角度时，两个小角能够重合，具有旋转对称性。
应用
利用旋转对称性质，可以解决与角平分线相关的角度计算、线段长度等问题。例 如，通过旋转对称性质可以证明两个三角形全等或相似。
建筑设计中角平分线应用
中考数学第一轮总复习微专题与中点有关的问题、与角平分线有关的问题课件
第1题图
第2题图
微专题 与角平分线有关的问题
方法2 角平分线遇平行线，构造等腰三角形 方法解读 （1）如图，点P在∠AOB的平分线上.
结论：OQ=PQ,△OQP为等腰三角形；反之，已知OQ=PQ，OC是∠AOB的平分 线，可得PQ∥OB.
微专题 与角平分线有关的问题
（2）如图，OC是∠AOB的平分线，点D是OA上的一点.
第7题图
微专题 与角平分线有关的问题
与角平分线有关的问题
方法1 点在角平分线上，可向角两边作垂线 方法解读
如图，P是∠MON的平分线上一点，PA⊥OM于点A.
结论：PB=PA,Rt△AOP≌Rt△BOP.
微专题 与角平分线有关的问题
方法应用 1.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7， DE=2，AB=4，则AC的长为___3____. 2.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若 CD=1，则AC的长为___2_+_1__.
1
结论：CD= 2 AB.
微专题 与角平分线有关的问题
方法应用 5. 如图，已知在△ABC中，∠C＝25°，点D在边BC上，且∠DAC＝90°，AB＝ 1 DC，则∠BAC的度数为____1_0_5_°_.
2
6. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，点E是边BC的中点 ，AD=ED=4，则BC的长为8_2_________.
志当存高远。 一个人如果胸无大志，既使再有壮丽的举动也称不上是伟人。 人无志向，和迷途的盲人一样。 有志者能使石头长出青草来。 人不可以有傲气，但不可以无傲骨 死犹未肯输心去，贫亦其能奈我何! 贫困教会贫困者一切。 石看纹理山看脉，人看志气树看材。 强行者有志。 贫困能造就男子气概。 有志者能使石头长出青草来。 并非神仙才能烧陶器，有志的人总可以学得精手艺。