2020中考数学复习微专题：最值(“胡不归”问题)
最值问题——胡不归
• ∵a,b是定 值 ,所 求 问 题 即 转 化为 求 b AD BD 的最值.
a
• 在图中构造出长度 b AD 的替换线段：在直线AC下方作一条射线AM,使得sin∠MAC=
a
DE⊥AM,则 DE =sin∠MAC= b
AD
a
b ,过点D作
a
• ∴DE= b AD，因为垂线段最短,即过点B做AM的垂线,与AC交点D1即为折往点
• 如图,A是出发点,B是目的地,直线AC是一条驿道,而驿道靠目的地一侧全是砂石,为了选择合适的路线,根据不 同路面速度不同(驿道速度为a米/秒,砂士速度为b米/秒),小伙子需要在AC上选取一点D,再折往至B
• 他需要的时间是: t= AD BD
ab
• 式子变形得 : 1 b AD BD
ba
“化折为直”, 将三条线段和转化为PA+kPB型最值问题
步骤: ① 求角：sinα=m（注意有无特殊角） ② 找定点 ③ 画角：过定点作一个角,使其等于α (在另一固定点异侧同向） ④ 过动点做垂直，边长转化 ⑤ 垂线段最短
过关检测
学习要有三心，一信心，二决心，三恒心
19湖南长沙
最值问题求解
胡不归
胡不归模型的由来
从前有一个身在他乡的小伙子,得知老父亲病危的消息,便立即赶路回家.小伙子 考虑到“两点之间线段最短”的数学知识,就选择走布满沙石的直线路径。当赶 到家时,老人刚咽了气.邻居告诉小伙子说,老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡 不归?”
这个故事引起了人们的思索：小伙子能否提前到 家？由于在驿道行走比在砂砾地行走的速度快， 有没有可能先在驿道上走一段再走砂砾地，虽然 走的多了，反而用时更短呢？如果有，如何找到 这个点呢？
胡不归问题解题方法和口诀
胡不归问题解题方法和口诀
胡不归问题是一种常见的计数问题，通常涉及到等差数列和等比数列的求和问题。
下面是胡不归问题的解题方法和口诀。
解题方法:
1. 对于等差数列的胡不归问题，可以通过求和公式求解。
设第 n 个数为 a_n，公差为 d，则前 n-1 个数的和为:
S(n-1) = n*(a_1 + a_2 + ... + a_n) = n*(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}) - n*a_n
当 n 趋近于无穷大时，S(n-1) 趋近于正无穷大，因此胡不归的时间点一定是在等差数列的最后一个数 a_n 取最大值或最小值的时候。
2. 对于等比数列的胡不归问题，可以通过乘法公式求解。
设第 n 个数为 a_n，公比为 q，则前 n-1 个数的和为:
S(n-1) = (a_1 + a_2 + ... + a_n)/n = a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} + n*q^(n-1) - n*q^n
当 n 趋近于无穷大时，S(n-1) 趋近于正无穷大，因此胡不归的时间点一定是在等比数列的最后一个数 a_n 取最大值或最小值的时候。
口诀:
1. 胡不归问题，数列求解;等差数列求和，等比数列乘积;
2. 首项加末项，求和公式运用;数列趋近于正无穷大，胡不归时间确定;
3. 掌握等差数列和等比数列的特点，运用极限思想求解。
拓展:
胡不归问题不仅可以应用于计数问题，还可以应用于其他数学领域。
例如，在概率论中，胡不归问题可以应用于判断一个事件是否会发生;在组合数学中，胡不归问题可以应用于求解组合数的总和。
最值模型之胡不归(学生版)-中考数学专题解析
最值模型之胡不归“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理(见专题08);2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P 在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题(见专题11)。
胡不归：【模型建立】如图1：P是直线BC上的一动点，求PA+k·PB的最小值。
【作法】1.作∠CBE=α，使sinα=k,则PD=k·OP(图2)2.当AD最短，AD⊥BE时，则P为要求点。
(图3)AD长即为PA+k·PB的最小值.简记:胡不归,正弦作个角,作高求长即可.特别提醒：当k>1时，kAP+BP=k AP+1k BP按常规模型算即可1∠AOB=30°，OM=2，D为OB上动点，求MD+12OD的最小值．2(1)【问题探究】如图1，点E是等边△ABC高AD上的一定点，请在AB上找一点F，使EF=12AE，并说明理由；(2)【问题解决】如图2，在△ACD中，CO⊥AD，垂足为O，若AD=32，AC=2，OC=3，点P在OC上，求DP+12PC的最小值．(3)【问题拓展】如图3，△ABC中，AB=AC=10，tan∠A=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，求CD+ 55BD的最小值．1.实战训练1一．选择题(共8小题)1如图，在△ABC 中，P 为平面内的一点，连接AP 、PB 、PC ，若∠ACB =30°，AC =8，BC =10，则4PA +2PB +23PC 的最小值是()A.489B.36C.410+25+67D.1610-102如图，△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC ，AB =2，点E 为BD 上动点，连接AE ，则AE +12BE 的最小值为()A.1B.2C.3D.23如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-49x 2+83x 与x 轴的正半轴交于点A ，B 点为抛物线的顶点，C 点为该抛物线对称轴上一点，则3BC +5AC 的最小值为()A.24B.25C.30D.364如图，在等边△ABC 中，AB =6，点E 为AC 中点，D 是BE 上的一个动点，则CD +12BD 的最小值是()A.3B.33C.6D.3+35如图，在菱形ABCD中，AB=AC=6，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM= 2，点P是线段BD上的一个动点，则MP+12PB的最小值是()A.2B.23C.4D.436如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，则AB=2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC=2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则AP+12CP的最小值为()A.1B.2C.3D.27如图，△ABC中，AB=AC=10，tan A=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD +55BD的最小值是()A.25B.45C.53D.108如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是边BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，连接AE，AP，若AP+12BP的最小值恰好等于图中某条线段的长，则这条线段是()A.ABB.AEC.BDD.BE2二．填空题(共9小题)1如图，AC垂直平分线段BD，相交于点O，且OB=OC，∠BAD=120°．(1)∠ABC=．(2)E为BD边上的一个动点，BC=6，当AE+12BE最小时BE=2 ．2如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为．3如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B．若定点P的坐标为(0，63)，点Q是y轴上任意一点，则12PQ+QB的最小值为3 ．4如图，直线y=x-3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C(0，1)在y轴上，点P在x轴上运动，则2PC+PB的最小值为．5如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=4 3，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是 649 s．6如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2-2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B (0，-3)，若P是x轴上一动点，点D(0，1)在y轴上，连接PD，则C点的坐标是，2PD+PC的最小值是．7如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠BAD=30°，P为对角线AC(不含A点)上任意一点，则DP+12AP的最小值为．8如图，四边形ABCD中，AB=62，∠ABC=45°，E是BD上一点，若∠ABD=15°，则AE+12BE的最小值为．9如图，矩形OABC中，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=3，AB=1，点P为线段OA上一动点，则12OP+PB最小值为．3三．解答题(共5小题)1如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1，0)，B(0，-3)，C(2，0)，其对称轴与x轴交于点D．(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；(2)点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，求点M的坐标；(3)若P为y轴上的一个动点，连接PD，求12PB+PD的最小值．2如图抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A(-1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线解析式．(2)连接BC，点P为BC下方上一动点，连接BP，CP．当△PBC的面积最大时，求点P的坐标和△PBC 面积的最大值．(3)点N为线段OC上一点，连接AN，求AN+12CN的最小值．3如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B两点，其中A(1，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，过点B作x轴垂线，在该垂线上取点P，使得△PBC与△ABC相似，请求出点P坐标；(3)如图2，在线段OB上取一点M，连接CM，请求出CM+12BM的最小值．4(1)【问题探究】如图1，点E是等边△ABC高AD上的一定点，请在AB上找一点F，使EF=12AE，并说明理由；(2)【问题解决】如图2，在△ACD中，CO⊥AD，垂足为O，若AD=32，AC=2，OC=3，点P在OC上，求DP+12PC的最小值．(3)【问题拓展】如图3，△ABC中，AB=AC=10，tan∠A=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，求CD+ 55BD的最小值．。
2020年九年级数学中考复习专题：胡不归和阿氏圆问题 教案设计(无答案)
2020年中考复习专题：“胡不归”问题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：(1)胡不归问题；(2)阿氏圆.本文简单介绍“胡不归”模型【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家，根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?”(“胡”同“何”)而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早到家?【模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使ACV2+BCV1的值最小【问题分析】AC V2+BCV1=1V1(BC+V1V2AC)，记k=V1V2，即求BC+kAC的最小值【问题解决】构造射线AD使得sin∠DAN＝k，CHAC=k，CH＝kAC.将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH 取到最小值，即BC+kAC最小.【模型总结】在求形如“PA+kPB＂的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PH+kPB”型问题转化为“PA+PC”型.而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段.【2019长沙中考】如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BEBD的最小值是上的一个动点，则CD+√55【2019南通中考】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB＝6，BC=2，P为边CD上PD的最小值等于的一动点，则PB+√32【2014成都中考】如图，已知抛物线y＝k8(x+2)(x-4)(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝−√33x+b与抛物线的另一交点为D.(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式(2)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?【2018重庆中考】抛物线y=−√66x2−2√33x+√6与x轴交于点A，B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E;将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+12EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标。
2020年中考数学三轮复习专项冲刺：胡不归练习
胡不归最值练习1. 如图，在平面直角坐标系中，点()3,3A ，点P 为x 轴上的一个动点，当OP AP 21+最小时，点P 的坐标为___________.2. 如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，点M 为对角线BD （不含点B ）上的一动点，则BM AM 21+的最小值为___________.3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣1，0），B （0，﹣），C（2，0），其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）点M 为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，求点M 的坐标；（3）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，求PB +PD 的最小值．4. 【问题提出】如图∠，已知海岛A 到海岸公路BD 距离为AB 的长度，C 为公路BD 上的酒店，从海岛A 到酒店C ，先乘船到登陆点D ，船速为a ，再乘汽车，车速为船速的n 倍，点D 选在何处时，所用时间最短？【特例分析】若n ＝2，则时间t ＝+，当a 为定值时，问题转化为：在BC 上确定一点D ，使得+的值最小．如图∠，过点C做射线CM，使得∠BCM＝30°．（1）过点D作DE∠CM，垂足为E，试说明：DE＝；（2）请在图∠中画出所用时间最短的登陆点D′．【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图∠中的问题．（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）【综合运用】（4）如图∠，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，E 为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请求出最少时间和此时点F的坐标．5. 如图，∠ABC是等边三角形．（1）如图1，AH∠BC于H，点P从A点出发，沿高线AH向下移动，以CP为边在CP的下方作等边三角形CPQ，连接BQ．求∠CBQ的度数；（2）如图2，若点D为∠ABC内任意一点，连接DA，DB，DC．证明：以DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形；（3）在（1）的条件下，在P点的移动过程中，设x＝AP+2PC，点Q的运动路径长度为y，当x取最小值时，写出x，y的关系，并说明理由．6. 如图，已知抛物线y＝（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与∠ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？7. 已如二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象和x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，（1）如图1，P是直线BC上方抛物线上一动点（不与B、C重合）过P作PQ∠x轴交直线BC于Q，求线段PQ的最大值；（2）如图2，点G为线段OC上一动点，求BG+CG的最小值及此时点G的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，M为直线BG上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN 的最小值．8. 如图，在Rt∠ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，点D 、F 分别是边AB ，BC 上的动点，连接CD ，过点A 作AE ∠CD 交BC 于点E ，垂足为G ，连接GF ，则GF +FB 的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．9.抛物线2y =-+x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF ∠x 轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是O 1B 1，当12PE EC +的值最大时，求四边形PO 1B 1C 周长的最小值，并求出对应的点O 1的坐标．。
中考数学最值—胡不归问题(解析+例题)
中考数学最值——胡不归问题（点在直线上运动）（PA+k·PB型最值）【历史典故】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
【知识储备】①三角形三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
②两点之间线段最短。
③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【模型分析】①条件：已知A、B为定点，P为射线AC上一动点。
②问题：P在何处时，BP+nm AP最短（nm＜1）。
③方法：第一步在AC的一侧，PB的异侧构造∠CAE=α，使得sinα=nm 第二步做BH⊥AE，交AC于P，点P就是所求位置，BH就是其最小值。
【模型分析】【问题提出】如图①，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB的长度，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D 选在何处时，所用时间最短?个运动过程中用时最少，请求出最少时间和此时点F的坐标。
【巩固训练】练习1：如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M为对角线BD（不含B点）上BM的最小值为_____。
任意一点，则AM＋12练习2：如图，等腰ΔABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为A0，点D为射线A0上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当 AD= 时，运动时间最短为秒。
中考数学常见几何模型最值模型-胡不归问题
专题10 最值模型---胡不归问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，可将胡不归问题看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决胡不归问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短。
【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.【模型解读】一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BC V V 的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）V 1V 2V 1驿道砂石地AB C V 2V 1M N CBA1）121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值. 2）构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH k AC=，CH =kAC ,将问题转化为求BC +CH 最小值. 3）过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【解题关键】在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型．（若k >1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
几何最值之胡不归知识精讲-冲刺2020年中考几何专项复习
几何最值之胡不归知识精讲
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家。
由于着急只考虑到了"两点之间线段最短"，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着"胡不归？胡不归？"
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则，
由可得，提取一个得，
若想总的时间最少，就要使得最小，
如图，过定点A在驿道下方作射线AE，夹角为，且，
作DG⊥AE于点G，则，
将转化为DG＋DB，
再过点B作BH⊥AE于点H DG＋DB的最小值
为BH，
，
综上，所需时间的最小值为，
B路线回家，或许还能见到父亲的最后一面.
解决此类问题的一般方法：
第一步：将所求的线段和改写成的形式；
第二步：构造一个角，使得；
第三步：过目的地作所构造的角的一边的垂线，该垂线段的长度就是所求的最小值；
第四步：计算.
例1：如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，求AP＋BP＋CP的最小值.
【解析】连接AC，作∠DBE＝∠30º，交AC于点E，过点A作AF⊥BF，垂足为F，如图所示：。
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2020中考数学复习微专题：最值（“胡不归”问题）
突破与提升策略
【故事介绍】
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归胡不归…”（“胡”同“何”）
而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家
2
驿道
【模型建立】
如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为
V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21
AC BC
V V 的值最小．
2
M
【问题分析】
121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛
⎫++ ⎪⎝⎭
，记12V k V =， 即求BC +kAC 的最小值．
【问题解决】
构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．
M
将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．
M
【模型总结】
在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．
而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到
kPB 的等线段．
1.如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一
个动点，则CD +
的最小值是_______． A
B
C
D
E
”，考虑tan A =2，△ABE
三边之比为1:2
sin ∠，故作DH ⊥AB 交AB 于H
点，则DH =． H
E
D
C
B A
A
B
C
D
E
H
问题转化为CD +DH 最小值，故C 、D 、H 共线时值最小，此
时
CD DH CH BE +===．
【小结】本题简单在于题目已经将BA 线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH ，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：
E
D
C
B
则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．
αsin α
5
H
E
D
C B
A
E
D
C
B
2.如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD 上的一
动点，则PB 的最小值等于________． A
B
C
D
P
”，已知∠A =60°，且sin
，故延长AD ，作PH ⊥AD 延长线于H
点，即可得PH =，将问题转化为：求PB +PH
最小值．
M H
P
D
C
B
A
当B 、P 、H 三点共线时，可得PB +PH 取到最小值，即BH 的长，解直角△ABH 即可得BH 长．
A
B
C
D
P
H M
3.如图，已知抛物线()()248
k y x x =+-（k 为常数，且k >0）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B
的直线y b =+与抛物线的另一交点为D ．
（1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点
M 在整个运动过程中用时最少
【分析】第一小问代点坐标，求解析式即可，），
B （4,0）
，直线解析式为y =+
，D
点坐标为(-，故抛物线解析式
为)()24y x x =
+-
，化简为：2y x =-处略去了该题的第二小问．
点M 运动的时间为12AF DF ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
，即求1
2
AF DF ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
的最小值．
接下来问题便是如何构造
2
DF
，考虑BD 与x 轴夹角为30°，且DF 方向不变，故过点D 作DM ∥x 轴，过点F 作FH ⊥DM 交DM 于H 点，则任意位置均有FH =
2
DF
．
当A 、F 、H 共线时取到最小值，根据A 、D 两点坐标可得结果．
4.
抛物线2y x x =x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边）
，与y 轴交于点C ．点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF ⊥x 轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是O 1B 1，当1
2
PE EC +的值最大时，求四边形PO 1B 1C 周长的最小值，并求出对应的点O 1的坐标．（为突出问题，删去了两个小问）
【分析】根据抛物线解析式得
A ()-、
B )、
C (，直线AC 的解
析式为：y x AC 与x 轴夹角为30°． 根据题意考虑，P 在何处时，PE +2
EC
取到最大值．过点
E 作EH ⊥y 轴交y
轴于H 点，则∠CEH =30°，故CH =
2
EC
，问题转化为PE +CH 何时取到最小值．
考虑到PE 于CH 并无公共端点，故用代数法计算，设
2,P m ⎛+ ⎝
，则E m ⎛ ⎝
，H ⎛ ⎝
，2PE =
，CH =
，
2
2=PE CH m +=+
sin ABE ∠=
当P
点坐标为(-时，取到最小值，故确定P 、C 、求四边形面积最小值，运用将军饮马模型解题即可．。