2012年广州市一模数学讲评1(文科最终版)
2012年广东省高考文科数学试题参考答案+试卷分析
2012年普通高等学校招生全国统一考试 （广东卷）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设i 为虚数单位，则复数34i i+=A. 43i i --B. 43i i -+C. 43i +D. 43i - 解：分子分母同乘以-i ，得D 选项为正确选项 2.设集合U={1.2.3.4.5.6}，M={1.3.5}，则U M ð= A.{2.4.6} B.{1.3.5} C.{1.2.4} D.U 解：A3.若向量(1,2)AB = ，(3,4)BC =，则AC =A.（4.6）B.（-4,-6）C.（-2，-2）D.（2，2） 解：AC=AB+BC=（4，6），选A 4.下列函数为偶函数的是.sin A y x = 3.B y x = .x C y e =2.l n 1D y x =+ 解：A 、B 为奇函数，C 非奇非偶函数，所以选D 分析：前4题难度不大，属于基础考察。
5.已知变量x ，y 满足约束条件11.10 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则z=x+2y 的最小值为 6.A ．3 B.1 C.-5 D.-6 解：画出可行域可知，当x=-1，y=-2时Z 有最小值为-5，选C 6.在ABC 中，若A ∠=60°, ∠B=45°，BC=32，则AC= A ．43 B 23 C.3 D32解：BC=a ，AC=b ，用正弦定理解得b=asinB/sinA=3√2*(√2/2)/(√3/2)=2√3，选B 7．某几何的三视图如图1所示，它的体积为A ．72πB 48π C.30π D.24π解：上半部分为半圆，下半部分为圆锥，选C8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x+4y-5=0与圆2x +2y =4相交A 、B 两点，则弦AB 的长等于 A ．33 B23 C 3 D 1 解：因为弦心距为1d =,所以弦AB 的长等于24123-=，选B 9．执行如图2所示的程序图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为A ．105B ．16C ．15D ．1 解：选C分析：第56789题是中等难度的题型，计算量比前4题稍大 10．对任意两个非零的平面向量α和β，定义=αβαβββ. 若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且.a b 和.b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩中，则.a b =A ．52 B ．32 C ．1 D ．12解：a b =a ﹒b/b ﹒b=|a||b|cos θ/|b|^2=|a|cos θ/|b|b 。
2012年广州市高三文科数学调研、一模、二模试题分类整理汇编
2012年广州市高三文科数学调研、一模、二模试题分类整理汇编1．集合与常用逻辑用语GZ-T 1．已知集合{}1,2A =，{}2,1,2B =-，则A B 等于A ．{}2-B ．{}1C ．{}1,2D ．{}1,1,2-GZ-1 1．函数y =A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．[)1,-+∞D ．()1,-+∞GZ-2 1．已知集合A 满足{}1,2A ⊆，则集合A 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1GZ-2 8．下列说法正确的是 A ．函数()1f x x=在其定义域上是减函数 B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C ．命题“x ∃∈R ，210x x ++>”的否定是“x ∀∈R ，210x x ++<” D ．给定命题p 、q ，若p q ∧是真命题，则p ⌝是假命题2．函数、导数GZ-T 2．已知函数()1,0,,0.xx x f x a x -≤⎧=⎨>⎩若()()11f f =-，则实数a 的值等于A ．1B ．2C ．3D ．4GZ-T 10．定义：若函数)(x f 的图像经过变换T 后所得图像对应函数的值域与)(x f 的值域相同，则称变换T 是)(x f 的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中T 不属于)(x f 的同值变换的是A ．2)1()(-=x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于y 轴对称B ．12)(1-=-x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于x 轴对称C ．32)(+=x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于点()1,1-对称D ．()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，T 将函数)(x f 的图像关于点()1,0-对称 GZ-T 21．（本小题满分14分）已知函数()321232a f x x x x =-+-()a ∈R ． （1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若对于任意[)1,x ∈+∞都有()2(1)f x a '<-成立，求实数a 的取值范围； （3）若过点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭可作函数()y f x =图象的三条不同切线，求实数a 的取值范围．GZ-1 7．已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为A ．3B ．2C ．2或3D ．2-或3-GZ-1 9．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件GZ-1 11．若函数()()2ln 1f x x ax =++是偶函数，则实数a 的值为 ．GZ-1 12．已知集合{}13A x x =≤≤，{}3B x a x a =+≤≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 ．GZ-1 20．（本小题满分14分）已知函数32()f x x ax b =-++(),a b ∈R ． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若对任意[]3,4a ∈，函数()f x 在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围．GZ-2 6．已知函数()f x =e x-e1x-+ (e 是自然对数的底数)，若()2f a =，则()f a -的值为A ．1--eB ．-eC ．eD ． 1+eGZ-2 21．（本小题满分14分） 已知函数()21ln 2f x x ax x =-+，a ∈R . （1）求函数()f x 的单调区间;（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 的极值大于0？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.3．数列GZ-T 4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知33a =，63=S ，则10a 的值是A ．1B ．3C ．10D ．55GZ-1 19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且2a ，7a ，22a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nT ，求证：1368n T <≤．GZ-2 20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n ∈N *，都有0n a >且()()122n n n a a S -+=，令1ln ln n n na b a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）使乘积12k b b b ∙∙⋅⋅⋅∙为整数的(k k ∈N *)叫“龙数”，求区间[]1,2012内的所有“龙数”之和；（3）判断n b 与1n b +的大小关系，并说明理由.4．不等式GZ-T 9．已知实数y x ,满足0,1,2210.x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩若目标函数y ax z +=()0≠a 取得最小值时最优解有无数个，则实数a 的值为 A ．1- B ．12- C ．12D ．1GZ-1 6．在平面直角坐标系中，若不等式组20,20,x y x y x t +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤表示的平面区域的面积为4，则实数t 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4GZ-2 11．不等式2230x x +-<的解集是 .GZ-2 17．（本小题满分12分）某工厂欲将这三种食物混合成100kg 的混合食物，设所用食物甲、乙、丙的重量分别为x kg 、y kg 、z kg. (1) 试以x 、y 表示混合食物的成本P ；（2）若混合食物至少需含35000单位维生素C 及40000单位维生素D ，问x 、y 、z 取什么值时，混合食物的成本最少？5．平面向量与三角GZ-T 5．已知向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ，则a +b 等于A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-GZ-T 7．已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，下面结论错误．．的是 A ．函数)(x f 的最小正周期为π B ．函数)(x f 是偶函数 C ．函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数GZ-T 16．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，33AD =，5sin 13BAD ∠=， 3cos 5ADC ∠=． （1）求sin ABD ∠的值； （2）求BD 的长．GZ-1 3．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的最小正周期为2π，则ω的值为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8GZ-1 8．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =，()0,2b =，则⨯a b 的值为A ．8-B ．6-C ．6D ．8GZ-1 16．（本小题满分12分）已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 2α的值．ABCDGZ-1 17．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图4的频率分布直方图．（1）求图中实数a 的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级 期中考试数学成绩不低于60分的人数； （3）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．GZ-2 5．已知向量()()3,4,6,3,OA OB =-=- ，(),1OC m m =+，若//AB OC ，则实数m 的值为 A ．32- B ．14- C ．12 D ．32GZ-2 10. 已知实数,a b 满足22430a b a +-+=， 函数()sin cos 1f x a x b x =++的最大值记为(),a b ϕ， 则(),a b ϕ的最小值为A ．1B ．2C 1D ．3GZ-2 13．已知点P 是直角坐标平面xOy 上的一个动点，OP =O 为坐标原点）， 点()1,0M -，则cos OPM ∠的取值范围是 .GZ-2 16. （本小题满分12分）已知函数()()()cos sin cos sin f x x x x x =+-. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若0,022ππαβ<<<<，且12,2323f f αβ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()sin αβ-的值.图46．立体几何GZ-T 8．设一个球的表面积为1S ，它的内接正方体的表面积为2S ，则12S S 的值等于 A ．2π B ．6π C ．6π D ．π2资料来源： 苏 元 高 考 吧 www.g GZ-T 19.（本小题满分14分）如图所示，已知正方形ABCD 的边长为2，AC BD O = ．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥A BCD -．（1）求证：平面AOC ⊥平面BCD ； （2）若三棱锥A BCD -AC 的长．GZ-1 5．如图1A B ．C ．8 D ．12图1俯视图正(主)视图 侧(左)视图图5NM DC BA B 1C 1D 1A1图6侧（左）视图正（主）视图GZ-1 18．（本小题满分14分）如图5所示，在三棱锥ABC P -中，AB BC =平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1AD =，3CD =，2=PD ．（1）求三棱锥ABC P -的体积； （2）证明△PBC 为直角三角形．GZ-2 7. 已知两条不同直线m 、l ，两个不同平面α、β，在下列条件中，可得出αβ⊥的是 A ．m l ⊥，//l α，//l β B ．m l ⊥，l αβ= ，m α⊂ C ．//m l ，l β⊥，m α⊂ D ．//m l ，m α⊥，l β⊥GZ-2 18. （本小题满分14分）某建筑物的上半部分是多面体MN ABCD -, 下半部分是长方体1111ABCD A BC D -(如 图5). 该建筑物的正（主）视图和侧（左）视图如图6, 其中正（主）视图由正方形和等 腰梯形组合而成，侧（左）视图由长方形和等腰三角形组合而成. （1）求线段AM 的长；（2）证明：平面ABNM ⊥平面CDMN ； （3）求该建筑物的体积.图5PACD7．平面解析几何GZ-T 6．直线1y kx =+与圆224x y +=的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．与k 的取值有关GZ-T 13．已知直线()2y k x =-()0k >与抛物线28y x =相交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，若2FA FB =，则k 的值为 ．GZ-T 20．（本小题满分14分）设椭圆222:12x y M a +=(a >的右焦点为1F ，直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ，若112OF AF +=0（其中O 为坐标原点）． （1）求椭圆M 的方程；（2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径（E 、F 为直径的两个端点），求PF PE ⋅的最大值．GZ-1 10．已知圆O ：222x y r +=，点()P a b ，（0ab ≠）是圆O 内一点，过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为1l ，直线2l 的方程为20ax by r ++=，那么A ．12l l ∥，且2l 与圆O 相离B ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相切C ．12l l ∥，且2l 与圆O 相交D ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相离GZ-1 21．（本小题满分14分）已知椭圆2214y x +=的左、右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，的双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ． （1）求曲线C 的方程；（2）设点P 、T 的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；（3）设TAB ∆与POB ∆（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且PA PB uu r uu rg ≤15，求2212S S -的取值范围．GZ-2 3．已知双曲线221y x m-=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是 A ．4 B ．14 C ．14- D ．4-GZ-2 19．（本小题满分14分）已知对称中心为坐标原点的椭圆1C 与抛物线22:4C x y =有一个相同的焦点1F ， 直线:2l y x m =+与抛物线2C 只有一个公共点. （1）求直线l 的方程；（2）若椭圆1C 经过直线l 上的点P ，当椭圆1C 的长轴长取得最小值时，求椭圆1C 的方程及点P 的坐标.8．算法、统计与概率GZ-T 11．在区间()0,1内任取两个实数，则这两个实数之和小于0.8的概 率是 ．GZ-T 12．已知程序框图如右，则输出的i = ．图1895x 061162y 116987乙甲GZ-T 17．（本小题满分12分）某城市为准备参加“全国文明城市”的评选，举办了“文明社区”评选的活动，在第一轮暗访评分中，评委会对全市50个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分，每项评分均采用5分制，若设“社区服务”得分为x 分，“居民素质”得分为y 分，统计结果如下表：（1）若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即3x ≥且3y ≥）的社区可以进入第二轮评比，现从50个社区中随机选取一个社区，求这个社区能进入第二轮评比的概率； （2）若在50个社区中随机选取一个社区，这个社区的“居民素质”得1分的概率为110，求a 、b 的值．GZ-1 4．在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =，3BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．23GZ-2 4．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛， 他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图1，其中甲班学生的 平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x +y 的值为A ．7B ．8C ．9D ．109．阅读图2的程序框图, 该程序运行后输出的k 的值为 A. 9 B. 10 C. 11 D. 129．复数GZ-T 3．设复数113i z =-，232i z =-，则21z z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限GZ-1 2．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．2GZ-2 2．已知i 为虚数单位，复数1z a =+i ,22z =-i ,且12z z =，则实数a 的值为 A ．2 B ．2- C ．2或2- D ．±2或0图3BA10．推理与证明GZ-1 13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，…，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．GZ-2 12．如图3，,A B 两点之间有4的最大信息量分别为1,2,3,4.从中任取两条网线，则这两条 网线通过的最大信息量之和为5的概率是 .11．坐标系与参数方程 GZ-T 15．（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，点A 的坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 的方程为θρcos 2=，则OA （O 为极点）所在直线被曲线C 所截弦的长度为 ．GZ-1 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：1,1x s y s =+⎧⎨=-⎩（s 为参数）和C ：22,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）， 若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．GZ-2 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若等边三角形(ABC 顶点A ,,B C 按顺时512122图2图4A针方向排列)的顶点,A B 的极坐标分别为72,,2,66ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则顶点C 的极坐标 为 .12．几何证明选讲 GZ-T 14．（几何证明选讲选做题）如右图，AB 是圆O 的直径，直线CE 与圆O 相切于点C ，AD CE ⊥于点D ，若圆O 的面积为4π，30ABC ∠=，则AD 的长为 ．GZ-1 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦AB 的中点，3OP =cm ，弦CD 过点P ，且13CP CD =，则CD 的长为 cm ．GZ-2 15．（几何证明选讲选做题）如图4，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ，使2BC OB =，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD ，则ADBD的值为 .E图3。
(文数答案)2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)
2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科） 答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半：如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DDCBCBACBA二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14-15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分.11.0 12.[0,1] 13.35,10 14.26 15．2三、解答题：本大题共6小题,满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）(1)解：)43tan()9(πππ+=f ………………………………1分 4tan3tan 14tan3tan ππππ-+=………………………………3分 323113--=-+=………………………………4分(2)解法1：因为)443tan()43(ππαπα++=+f …………………………5分)tan(πα+= …………………………6分 2tan ==α …………………………7分所以2cos sin =αα，即ααcos 2sin = ①因为1cos sin 22=+αα， ②由①、②解得51cos2=α， ………………………9分所以1cos 22cos 2-=αα ……………………11分 531512-=-⨯= …………………………12分解法2：因为)443tan()43(ππαπα++=+f ……………5分)tan(πα+= …………6分.2tan ==α ……………7分 所以ααα22sincos 2cos -= ……………………9分 αααα2222sin cos sin cos +-= ……………………10分 αα22tan 1tan 1+-=………………………11分 534141-=+-=……………………12分 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）(1)解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1．…………………1分 解得a=0.03． ………………………2分(2)解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1-10×(0.005+0.01)=0.85．………………………3分由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为 640×0.85=544人. ……………………………………5分 (3)解：成绩在[40，50)分数段内的人数为40×0.05=2人，分别记为A ，B ．………6分 成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1=4人，分别记为C ，D ，E ，F ．……7分 若从数学成绩在[40,50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：(A,B),(A,C),(A,D),(A ，E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D), (C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E ，F)共15种． …………………9分如果两名学生的数学成绩都在[40，50)分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有：(A ，B),(C ，D),(C ，E),(C,F),(D,E),(D ，F),(E,F)共7种，……………………11分 所以所求概率为157)(=M P …………………………………………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） (1)证明：因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC=AC ，⊂PD 平面PAC ，PD ⊥AC ， 所以PD ⊥平面ABC ． …………………………2分 记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为AB=BC ， 所以BE ⊥AC.因为6==BC AB，AC=4， 所以22CE BC BE -=22)6(22=-= ………………………4分 所以△ABC 的面积2221=⨯⨯=∆BE AC S ABC …………………5分 因为PD=2，所以三棱锥P-ABC 的体积⨯=-31ABC P V =⨯∆PD S ABC 32422231=⨯⨯………7分 (2)证法1：因为PD ⊥AC ，所以△PCD 为直角三角形.因为PD=2，CD=3,所以22CD PD PC+=2232+=13= ……………………………9分 连接BD ，在Rt △BDE 中，因为∠BED=900，2=BE ，DE=1，所以22DE BE BD +=31)2(22=+=. …………10分由(1)知PD ⊥平面ABC ，又⊂BD 平面ABC ， 所以PD ⊥BD.在Rt △PBD 中，因为2,90==∠PD PDB，3=BD ， 所以22BD PD PB+=7)3(222=+= ………………… 12分 在△PBC 中，因为13,7,6===PC PB BC . 所以BC 2+PB 2=PC 2． ………………13分 所以△PBC 为直角三角形． ……………14分证法2：连接BD ，在Rt △BDE 中，因为oBED 90=∠，2=BE ，DE=1,所以22DE BE BD +=31)2(22=+=． …………8分在△BCD 中，CD=3，3,6==BD BC ， 所以BC 2+BD 2=CD 2，所以BC ⊥BD ．………………10分由(1)知PD ⊥平面ABC ，因为⊂BC 平面ABC ， 所以BC ⊥PD ． 因为BD ∩PD=D ，所以BC ⊥平面PBD ． ………………………12分 因为⊂PB 平面PBD ，所以BC ⊥PB ． 所以△PBC 为直角三角形． ……………………………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） (1)解：因为数列}{n a 是等差数列， 所以a n =a 1+(n-1)d ，d n n na S n 2)1(1-+=. ……………………………1分 依题意，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==222275,70a a a S 即⎩⎨⎧++=+=+)21)(()6(,7010511211d a d a d a d a ……………………3分解得a 1=6，d=4． ……………………5分所以数列{a n }的通项公式为*)(24N n n a n ∈+= ……………6分 (2)证明：由(1)可得S n =2n 2+4n ………………………7分 所以n n S n 42112+=)211(41)2(21+-=+=n n n n …………………………8分 所以nn n S S S S S T 111111321+++++=- +-+-+-=)5131(41)4121(41)311(41)211(41)1111(41+-++--+n n n n ……9分 )2111211(41+-+-+=n n )2111(4183+++-=n n ………10分 因为0)2111(4183<+++-=-n n T n，所以83<n T ……………11分 因为0)3111(411>+-+=-+n n T T nn ，所以数列}{n T 是递增数列. ………12分 所以611=≥T T n ………………13分所以8361<≤n T …………………………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）(1)解：因为b ax x x f ++-=23)(，所以ax x x f 23)('2+-=)32(3ax x --= ……1分 当a=0时，f'(x)≤0，函数f(x)没有单调递增区间； …………………………2分 当a>0时，令f'(x)>0，得320a x <<. 故f(x)的单调递增区间为)32,0(a ； ………………………3分 当a<0时，令f'(x)>0，得032<<x a.故f(x)的单调递增区间为)0,32(a ……………4分综上所述，当a=0时，函数f(x)没有单调递增区间；当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为)32,0(a ； 当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为)0,32(a . ……………5分 (2)解：由(1)知，]4,3[∈a 时，f(x)的单调递增区间为)32,0(a ，单调递减区间为(-∞，0)和),32(+∞a …………6分所以函数f(x)在x=0处取得极小值f(0)=b ， ……………………7分函数f(x)在32ax =处取得极大值b a a f +=274)32(3 ……………8分由于对任意]4,3[∈a ，函数f(x)在R 上都有三个零点，所以⎪⎩⎪⎨⎧><0)32(,0)0(a f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>+<0274,03b a b ………10分解得02743<<-b a ……11分 因为对任意]4,3[∈a ，2743a b ->恒成立，所以=->max 3)274(a b 427343-=⨯- ……13分 所以实数b 的取值范围是(-4，0). …………………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）(1)解：依题意可得A(-1，0)，B(1，0)． ………1分设双曲线C 的方程为)0(1222>=-b by x ，因为双曲线的离心率为5，所以5112=+b ，即b=2．所以双曲线C 的方程为1422=-y x ……………3分(2)证法1：设点),(11y x P 、)2,1,0,0)(,(22=>>i y x y x T i i ，直线AP 的斜率为k （k>0）， 则直线AP 的方程为y=k(x+1)， …………4分联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=.14),1(22y x x k y …………5分 整理，得042)4(2222=-+++k x k x k ， 解得x=-1或2244k k x +-=．所以22244k k x +-= …………6分同理可得，22144k k x -+= ……………7分所以121=⋅x x …………8分 证法2：设点),(11y x P 、)2,1,0,0)(,(22=>>i y x y x T i i ， 则111+=x y k AP ，122+=x yk AT …………………4分 因为k AP =k AT ，所以111221+=+x y x y ，即22222121)1()1(+=+x y x y ………………5分 因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以142121=-y x ，142222=+y x . 即)1(42121-=x y ，)1(42222x y -= ……………6分 所以22222121)1()1(4)1()1(4+-=+-x x x x ，即12111211+-=+-x x x x …………………7分 所以121=⋅x x …………………8分 证法3：设点P （x 1，y 1），直线AP 的方程为)1(111++=x x y y ………………………4分联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=.14),1(12211y x x x y y ………………………5分整理，得x y x y x 21221212])1(4[+++0)1(42121=+-+x y ， 解得x=-1或21212121)1(4)1(4y x y x x ++-+= ………………………6分 将442121-=x y 代入21212121)1(4)1(4y x y x x ++-+=，得11x x =．即121x x =. 所以121=⋅x x …………………8分 (3)解：设点),(11y x P 、)2,1,0,0)(,(22=>>i y x y x T i i ， 则),1(11y x PA ---=，),1(11y x PB --=. 因为15≤⋅PB PA ，所以15)1)(1(2111≤+---y x x ，即162121≤+y x ………9分 因为点P 在双曲线上，则142121=-y x ，所以16442121≤-+x x ，即421≤x . 因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以211≤<x …………………10分因为||||21221y y AB S ==，==||||2112y OB S 121y ， 所以2122222141y y S S -=-)44(22x -=22212145)1(x x x --=-- ………11分 由(2)知，121=⋅x x ，即121x x =. 设21x t =，则1<t ≤4，52221=-S S t t 4--. 设t t t f 45)(--=，则241)('tt f +-=2)2)(2(t t t +-=， 当1<t<2时，f'(t)>0，当2<t ≤4，f'(t)<0，所以函数f(t)在(1，2)上单调递增，在（2,4]上单调递减． 因为f(2)=1，f(1)=f(4)=0，所以当t=4，即x 1=2时，0)4()(min 2221==-f S S ……………………12分 当t=2,即21=x 时，1)2()(max2221==-f S S ………………13分所以2221S S -的取值范围为[0，1]. ………………………………………14分 说明：由)4(522212221x x S S +-=-14521=-≤x x ，得1)(max 2221=-S S ，给1分．。
2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)(文科数学)
1 S侧 =4 × × 2 × 2=8 2
2
2
3
2
2
2
2 2 2
2
x + y − 2 ≥ 0 6.在平面直角坐标系中，若不等式组 x − y + 2 ≥ 0 , 表示 x ≤ t 的平面区域的面积为4，则实数t的值为( B ) A.1 B .2 C .3 D.4
5 4
1 S = × 2t × t = t = 4,∴ t = 2 2
2
C .0
D.2
a + bi = i (1 − i ) = i − i = 1 + i ,∴ a = b = 1, a + b = 2
3.如果函数f ( x ) = sin(ω x + 则ω的值是( C ) A.1 B .2
π
)(ω > 0)的最小正周期是 ， 6 2 C .4 D.8
π
2π 2π = =4 ω= π T 2
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(文数)2012年广州一摸分析会推荐高三调研测试题
广州一摸推荐试题文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A={(x ，y)| x ，y ∈z ，且|x|+|y|<1}的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．函数1ln )(-=x x f 的定义域为A.(e ，+∞）B.[e ，+∞)C. (O ，e]D.(-∞，e]3．已知复数z 满足(l-i)z=1+3i （i 是虚数单位），则z=A ．-2+iB ．2-iC ．1-2iD ．-1+2i4．等差数列{a n }的前n 项和为s n =n 2+2n+a+2，则常数a=A. -2B.2C.0D.不确定5．已知平面向量),3(),3,1(x b a -==，且=//，则=⋅b aA. -30B. 20C. 15D.06．已知直线l ：x+y=m 经过原点，则直线l 被圆x 2+y Z -2y=0截得的弦长是A ．1B ．2C ．3D ．2 7．己知点F 1、F 2分别是双曲线C ：122=-by a x 的两个焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线C 交于A 、B 两点，若△ABF 2为等边三角形，则该双曲线的离心率e=A ．2B ．32C ．32D ．38．已知x ∈R ，“x=l ”是"01"2=-xx 的 A.充分不必要条件 B 。
必要不充分条件C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件9．某个锥体（图1）的三视图如图根所示，据图中标出的尺寸，这个锥体的侧面积S=A ．6B ．π132C ．π136+D ．π1326+10．a ∀，b ，c ，d ∈R ，定义行列式运算bc ad d c b a -=。
将函数xx x f sin cos 13)(=的 图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则ϕ的最小值为A ．6πB ．3πC ．32π D ．65π 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
2012年广东省高考文科数学试题Word版和答案详解
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科数学试题和答案（详细解析版）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh=，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高.球的体积343V Rπ=，其中R 为球的半径。
一组数据12,,,nx x x 的标准差2s =其中x 表示这组数据的平均数。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设i 为虚数单位，则复数34ii +=A. 43i i --B. 43i i -+C. 43i +D.43i-2.设集合U={1.2.3.4.5.6}，M={1.3.5}，则U M ð=A.{2.4.6}B.{1.3.5}C.{1.2.4}D.U3.若向量(1,2)A B = ，(3,4)B C =，则AC =A.（4.6）B.（-4,-6）C.（-2，-2）D.（2，2） 4.下列函数为偶函数的是.sin A y x =3.B y x=.xC y e=.l 1D y = 5.已知变量x ，y 满足约束条件11.10 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则z=x+2y 的最小值为A ．3 B.1 C.-5 D.-6 6.在A B C 中，若A ∠=60°, ∠B=45°，，则AC=A ．4B C.D 27．某几何的三视图如图1所示，它的体积为A ．72πB 48π C.30π D.24π 8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x+4y-5=0与圆2x +2y =4相交A 、B 两点，则弦AB 的长等于 A ．3D 19．执行如图2所示的程序图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为A ．105B ．16C ．15D ．1 10．对任意两个非零的平面向量α和β，定义=αβαβββ. 若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且.a b 和.b a 都在集合|2nn Z ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩中，则.a b =A ．52B ．32C ．1D ．12二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
2012年广州市番禺区中考数学一模及答案
2012年广州市番禺区中考数学一模本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分150分．考试时间为120分钟．注意事项：1.1.本试卷共全卷满分本试卷共全卷满分150分，考试时间为120分钟分钟..考生应将答案全部填（涂）在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效本试卷上无效..考试时允许使用计算器；考试时允许使用计算器；2. 2.答题前考生务必将自己的姓名、考试证号等填（涂）写到答题卡的相应位置上；答题前考生务必将自己的姓名、考试证号等填（涂）写到答题卡的相应位置上；答题前考生务必将自己的姓名、考试证号等填（涂）写到答题卡的相应位置上；3. 3.作图必须用作图必须用2B 铅笔，并请加黑加粗，描写清楚铅笔，并请加黑加粗，描写清楚. .第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1．不等式组11032x x ì+>ïíï-î，≥0的解集是（※）的解集是（※）. .A ．123x -<≤ B B．．2x ≥ C C．．32x -<≤ D D．．3x <- 2. 2. 据测算，据测算，世博会召开时，世博会召开时，上海使用清洁能源可减少二氧化碳排放约上海使用清洁能源可减少二氧化碳排放约16万吨，万吨，将将16万吨用科学记数法表示为（※）（※）. .A ．1.61.6××610吨B B．．1.61.6××510吨C C．．1.61.6××410吨D D．．1616××410吨 3. 3. 下列运算正确的是（※）下列运算正确的是（※）下列运算正确的是（※）. .A ．222()m n m n -=- B B．．236()m m = C C．．224()m n mn = D D．．22m m -=-4. 4. 一只碗如图一只碗如图1所示摆放，则它的俯视图是（※）所示摆放，则它的俯视图是（※）. .5．下列命题中，正确的是（※）．下列命题中，正确的是（※）. .A ．若0a b ×>，则00a b >>，B B．若．若0a b ×>，则00a b <<，A ．B ．C ． D．图1 C ．若0a b ×=，则0a =， 且0b =D D．若．若0a b ×=，则0a =，或0b = 6．当实数x 的取值使得2x -有意义时，函数41y x =+中y 的取值范围是（※）的取值范围是（※）. .A ．y ≥9B B．．y ≤9C C．．=9yD D．．y -7³ 7．一元二次方程(2)0x x -=根的情况是（※）根的情况是（※）. .A ．没有实数根．没有实数根B B B．只有一个实数根．只有一个实数根．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根．有两个相等的实数根D D D．有两个不相等的实数根．有两个不相等的实数根．有两个不相等的实数根8．如图2，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，若120AOB Ð=°，则大圆半径R 与小圆半径r 之间满足（※）之间满足（※）. .A ．3R r =B ．3R r =C C．．2R r =D D．．22R r =9. 9. 在一幅长在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅挂图，如图3所示，如果要使整幅挂图的面积是54002cm ，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 所满足的方程是（※）所满足的方程是（※）. .A A．．2213014000x x +-= B B．．2653500x x +-=C ．014001302=--x x D D．．0350652=--x x1010．已知圆锥的底面半径为．已知圆锥的底面半径为5cm 5cm，侧面积为，侧面积为6565ππcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为q （如图4所示），则cos q 的值为（※）值为（※）. .A ．512B B．．513C C．．1013D D．．1213第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本大题共（本大题共66小题，每小题小题，每小题33分，满分分，满分181818分．）分．）11．计算：0201216-= . 12．方程21x x =+的解是x = = ．． 13．在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90C Ð=°，2A B Ð=Ð，则B Ð= ．图2 qAC BO80cm x xxx50c图4 图3 图5 C BPAO14．如图5，AB 是O ⊙的直径，点C 在O ⊙上，=AC BC .动点P 在弦BC 上，则PAB Ð可能为可能为__________________度（写出一个．．符合条件的度数即可）符合条件的度数即可）. . 15．若2a £，化简2(2)+1a -= .16. 在图6中, , 互相全等的平行四边形按一定的规律排列互相全等的平行四边形按一定的规律排列互相全等的平行四边形按一定的规律排列..其中，第①个图形中有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，……，则第⑥个图形中平行四边形的个数为个数为 个个.三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分９分）先化简，再求值：2(1)(1)x x x ++-，其中2x =-．18．（本小题满分９分）已知：如图7，在ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且AE=CG ，BF=DH ．求证：AEH △≌CGF △．图6 图①图①图②图②图③图③图④图④……ABCD EF图7 GHxyAO–1–2–312345–1–2–312321．（本小题满分12分）为了解某校九年级学生的体能情况，体育老师随机抽取部分学生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图9和图10两幅尚不完整的统计图． （1）本次抽测的学生有多少人）本次抽测的学生有多少人??抽测成绩的众数是多少抽测成绩的众数是多少? ? （2）请你将图10中的统计图补充完整；中的统计图补充完整；（3）若规定引体向上5次以上（含5次）为达标，则该校350名九年级学生中估计有多少人此项目达标？名九年级学生中估计有多少人此项目达标？22．(本题满分12分) 小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，=50AB 米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，37°，大厦底部大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数）4次 20% 3次7次 12% 5次6次图9 人数/人20 16 12 8 4 4 10 14 6 0 3 4 6 7 5 抽测成绩/次图10 图11 48°B37°3DCA23．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且12CBF CAB Ð=Ð．（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；的切线； （2）若AB=5，5sin 5CBF Ð=，求BC 和BF 的长．的长．24．（本小题满分14分） 如图1313，，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折叠后得到GBE △，且点G 在矩形ABCD 内部，再延长BG 交DC 于点F . （1）判断GF 与DF 之长是否相等之长是否相等, , , 并说明理由．并说明理由．并说明理由． （2）若2AD AB =，求DCDF 的值．的值． （3）若DC nDF =·，求ADAB的值．的值．OF EDCB A图13 FAEDBCG25．（本小题满分14分）已知0m >，点E 的坐标为()30-，，关于x 的二次函数()()333y x m x mm=-+-图象的顶点为M ，图象交x 轴于A B 、两点，交y 轴正半轴于D 点．以AB 为直径作圆，其圆心为C ． （1）写出A B D 、、三点的坐标（可用含m 的代数式表示）；（2）当m 为何值时M 点在直线ED 上？判定此时直线ED 与圆的位置关系？与圆的位置关系？（3）连接ED ，当m 变化时，试用m 表示AED △的面积S ，并在给出的直角坐标系中画出S 关于m 的函数图象的示意图．图象的示意图．B图14 COEA D My x 图15O Sm2012年广州市番禺区中考数学一模答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 CBBCDADCBD第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．3-；12．2-；13．60°；14．25°，（0~45°°均可）；15．3a -；16. 41三、解答题（本大题共9小题，满分102分）17．解：原式解：原式==2221x x x x +++- ………………………………………………………………66分 =31x + …………………………………………77分当2x =-时，原式时，原式==3(2)1´-+ …………………………………………88分=321-+…………………………………………99分18．证明：如图，在□ABCD 中，BC=DA ，C A Ð=Ð．……………………．……………………44分∵BF=DH ，∴BC －BF=DA －DH, 即FC=HA ． …………………………………………66分 又∵AE=CG ，……………………，……………………77分∴AEH △≌CGF △．……………………．……………………99分 19．解：（1）∵）∵ 点A (1,)n -在一次函数2y x =-的图象上，∴的图象上，∴ 2(1)2n =-´-=．…．… 2 2分∴ 点A 的坐标为12-（，）．……………………．……………………44分 ∵ 点A 在反比例函数ky x=的图象上，∴的图象上，∴ 2k =-．………………．………………55分 ∴ 反比例函数的解析式为2y x=-．………．……… 6 6分 （2）点P 的坐标为(2,0)(0,4)-或．………………．………………1010分 20．解：解： （1）P （抽到牌面数字４）（抽到牌面数字４）==13.………………………………33分（2）游戏规则对双方不公平．………………）游戏规则对双方不公平．………………44分 理由如下：理由如下：【方法一】作数形图如图所示【方法一】作数形图如图所示, , , ………………………………………………77分由上述树状图知：所有可能出现的结果共有9种．种．P （抽到牌面数字相同）（抽到牌面数字相同）==3193=，………………，………………88分 P （抽到牌面数字不相同）（抽到牌面数字不相同）==6293=．………………．………………99分 ∵1233<，∴此游戏不公平，小李赢的可能性大．………………，∴此游戏不公平，小李赢的可能性大．………………1010分 【方法二】列表如下【方法二】列表如下, , , ………………………………………………77分小李小李小王小王3453 （3，3） （3，4） （3，5）4 （4，3） （4，4） （4，5） 5（5，3） （5，4） （5，5）开始开始3 4 5 3 4 5 3 4 5 3 4 5 （3,3）（3,4）（3,5）（4,3）（4,4）（4,5）（5,3）（5,4）（5,5）【以下同上】【以下同上】21．解:（1） 抽测的学生有50人, , ……2分抽测成绩的众数是5(5(次次)．…．…44分 （2）如图所示；）如图所示； ……………………77分 （3）1614635025250++´=（人）． ……………………1010分答：估计该校350名九年级男生中名九年级男生中, ,约有250人左右体能达标．…………人左右体能达标．…………1212分22．解：如图解：如图,,设,,CD x AD y ==则由题意有50BD y =-．…………．…………11分 在Rt Rt△△ACD 中，中， tan37AD yCD x°==，............， (4)4分 则tan 37y x =×°， 在Rt Rt△△BCD 中，中，50tan48BD yCD x-°==，…………，…………77分 则50tan 48y x =-×°， ∴tan 3750tan 48x x ×°=-×°.……………………88分 ∴505026.82tan37tan480.7536 1.1106x =»=°+°+．…………．…………1010分答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD 大约是27米．…………………米．…………………1212分23．（1）证明：连结AE ．…………．…………11分∵ AB 是⊙O 的直径，∴的直径，∴ 90AEB Ð=° , , ∴∴ 1290Ð+Ð=°．…………．…………22分 ∵ AB=AC ，∴，∴ 112CAB Ð=Ð．又∵又∵ 12CBF CAB Ð=Ð，∴，∴ 1CBF Ð=Ð．∴ 290CBF Ð+Ð=°．即∠ABF = 90°．…………= 90°．…………33分人数/人20 16 12 8 4 4 10 14 6 0 3 4 6 7 5 抽测成绩/次16 图11 48°B37°3DCA21A BCDEFO G∵ AB 是⊙O 的直径，…………的直径，…………44分∴ 直线BF 是⊙O 的切线．…………的切线．…………55分（2）解：过点C 作CG ⊥AB 于点G ．…………．…………66分∵ 5sin 5CBF Ð=，【过点C 作CG ⊥BF 亦可类似求解】亦可类似求解】1CBF Ð=Ð，∴，∴ 5sin 15Ð=．…………．…………77分∵ 90AEB Ð=°，AB=5，∴ BE=sin 1AB ×Ð=5.又∵又∵ AB=AC ，90AEB Ð=°，∴ 225BC BE ==．在Rt Rt△△ABE 中，由勾股定理得中，由勾股定理得 AE =2225AB BE -=．…………．…………88分 ∴ 25sin 25Ð=，5cos 25Ð=．在Rt Rt△△CBG 中，可求得中，可求得 4GC =，2GB =．∴ AG=3．∵．∵ GC ∥BF ，∴，∴ △AGC ∽△ABF ．…………．…………1010分∴ GC AGBF AB =．∴．∴ 203GC AB BF AG ×==．…………．…………1212分24．解：（1）GF DF \=．…………．…………11分连接EF ，则90EGF D Ð=Ð=°，EG AE ED EF EF ===，． Rt Rt EGF EDF \△≌△．…………．…………22分GF DF \=．…………．…………33分（2）由（）由（11）知，GF DF =．设AB a =，DF b =，则有2BC a =，CF DC DF a b =-=-，…………，…………44分 由对称性有BG AB a ==, BF BG GF a b \=+=+．…………．…………55分 在Rt BCF △中，222BC CF BF +=，即222(2)()()a a b a b +-=+，…………，…………66分F A E D B CG2．23，03，3=33==333=+(33-(34333-+． 433，333=+2 -2 3 01m m >\= ，．所以，当1m =时，M 点在直线DE 上．…………上．…………88分连接CD C ，为AB 中点，C 点坐标为()0C m ，．312OD OC CD D ==\= ，，，点在圆上，点在圆上，又222312OE DE OD OE ==+=，，22222164EC CD CD DE EC ==\+=，，．90FDC \Ð=°，\直线ED 与C ⊙相切．…………相切．…………1010分（3）当03m <<时，()13322AED S AE OD m m ==-△·即：233322S m m =-+．……………………1111分当3m >时，()13322AED S AE OD m m ==-△·，即：233322S m m =-．……………………1212分其图象示意图如图中实线部分．…………【每个区间1分】分】1414分。
2012年广东省广州市普通高中毕业班综合测试文科数学试题广州一测及参考答案
试卷类型:A2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(文科)2012.3本试卷共4页,21小题, 满分150分.考试用时120分钟注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。
漏涂、错涂、多涂的,答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
参考公式:锥体的体积公式Sh V 31=,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.函数y =A.(],1-∞-B.(),1-∞-C.[)1,-+∞D.()1,-+∞2.已知复数()i i 1i a b +=-(其中,a b ∈R ,i 是虚数单位),则a b +的值为A.2-B.1-C.0D.23.如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的最小正周期为2π,则ω的值为 A.1 B.2 C.4 D.84.在△ABC 中,60ABC ∠=,2AB =,3BC =,在BC 上任取一点D ,使△ABD 为钝角三角形的概率为A.16 B.13 C.12 D.235.如图1是一个空间几何体的三视图,则该几何体的侧面积．．．为A.3B.C.8 D.126.在平面直角坐标系中,若不等式组20,20,x y x y x t +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤表示的平面区域的面积为4,则实数t 的值为A.1B.2C.3D.4 7.已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增,则实数m 的值为A.3B.2C.2或3D.2-或3-8.已知两个非零向量a 与b ,定义sin θ⨯=a b a b ,其中θ为a 与b 的夹角.若()3,4-a =, ()0,2b =,则⨯a b 的值为A.8-B.6-C.6D.8 9.已知函数()21f x x =+,对于任意正数a ,12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.已知圆O :222x y r +=,点()P a b ，(0ab ≠)是圆O 内一点,过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为1l ,直线2l 的方程为20ax by r ++=,那么A.12l l ∥,且2l 与圆O 相离B.12l l ⊥,且2l 与圆O 相切C.12l l ∥,且2l 与圆O 相交D.12l l ⊥,且2l 与圆O 相离二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11～13题)11.若函数()()2ln 1f x x ax =++是偶函数,则实数a 的值为 .12.已知集合{}13A x x =≤≤,{}3B x a x a =+≤≤,若A B ⊆,则实数a 的取值范围为 .13.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图2中的实心点个数1,5,12,22,…,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作11a =,第2个五角形数记作25a =,第3个五角形数记作312a =,第4个五角形数记作422a =,…,若按此规律继续下去,则5a = ,若145n a =,则n =.(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题)如图3,圆O 的半径为5cm ,点P 是弦AB 的中点,3OP =cm ,弦CD 过点P ,且13CP CD =,则CD 的长为 cm .15.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l :1,1x s y s=+⎧⎨=-⎩(s 为参数)和C :22,x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数), 若l 与C 相交于A 、B 两点,则AB = .三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. (1)求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,求cos 2α的值. 17.(本小题满分12分)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生,将他们的期中考 试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[)50,40,[)60,50,…,[]100,90后得到如图4的 频率分布直方图.(1)求图中实数a 的值；(2)若该校高一年级共有学生640人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； (3)若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学 生中随机选取两名学生,求这两名学生的数学成绩之差 的绝对值不大于10的概率.18.(本小题满分14分)5 121 22 图2图4图3如图5所示,在三棱锥ABC P -中,AB BC ==,平面⊥PAC 平面ABC ,AC PD ⊥于点D ,1AD =,3CD =,2=PD .(1)求三棱锥ABC P -的体积； (2)证明△PBC 为直角三角形.19.(本小题满分14分)已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,它的前n 项和为n S ,若570S =,且2a ,7a ,22a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nT ,求证:1368n T <≤.20.(本小题满分14分)已知函数32()f x x ax b =-++(),a b ∈R . (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若对任意[]3,4a ∈,函数()f x 在R 上都有三个零点,求实数b 的取值范围.21.(本小题满分14分)已知椭圆2214y x +=的左、右两个顶点分别为A 、B .曲线C 是以A 、B 两点为顶点,双曲线.设点P 在第一象限且在曲线C 上,直线AP 与椭圆相交于另一点T . (1)求曲线C 的方程；(2)设点P 、T 的横坐标分别为1x 、2x ,证明:121x x ⋅=；(3)设TAB ∆与POB ∆(其中O 为坐标原点)的面积分别为1S 与2S ,且PA PB uu r uu rg ≤15,求2212S S - 的取值范围.2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)图5BPAD数学(文科)试题参考答案及评分标准说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分.二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共5小题,每小题5分,满分20分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.第13题仅填对1个,则给3分.11.0 12.[]0,1 13.35,10 14.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)(本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解:9f π⎛⎫⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………1分tantan 341tan tan34ππ+=ππ-…………………………………………………………………………3分 2==-………………………………………………………………………4分(2)解法1:因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………………………………5分()tan α=+π………………………………………………………………6分tan 2α==.………………………………………………………………7分所以sin 2cos αα=,即sin 2cos αα=. ① 因为22sin cos 1αα+=, ②由①、②解得21cos 5α=.………………………………………………………………………………9分 所以2cos 22cos 1αα=-………………………………………………………………………………11分132155=⨯-=-.………………………………………………………………………12分解法2:因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………………………………5分()tan α=+π………………………………………………………………6分tan 2α==.………………………………………………………………7分所以22cos 2cos sin ααα=-……………………………………………………………………………9分2222cos sin cos sin αααα-=+…………………………………………………………………………10分 221tan 1tan αα-=+………………………………………………………………………………11分143145-==-+.……………………………………………………………………………12分17.(本小题满分12分)(本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力)(1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于1,所以10(0.0050.010.02⨯++0.0250.01)1a +++=.………………………………………………1分 解得0.03a =.……………………………………………………………………………………………2分 (2)解:根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为110(0.0050.01)-⨯+0.85=.…………3分由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.85544⨯=人. …………………………………………………………………5分 (3)解:成绩在[)40,50分数段内的人数为400.052⨯=人,分别记为A ,B .……………………6分成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人,分别记为C ,D ,E ,F .…………………7分 若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件有:(),A B ,(),A C ,(),A D ,(),A E ,(),A F ,(),B C ,(),B D ,(),B E ,(),B F ,(),C D ,(),C E ,(),C F ,(),D E ,(),D F ,(),E F 共15种.…………………………………………9分如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内,另一个成绩在[]90,100分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ,则事件M 包含的基本事件有:(),A B ,(),C D ,(),C E ,(),C F ,(),D E ,(),D F ,(),E F 共7种.……………………11分所以所求概率为()715P M =.…………………………………………………………………………12分18.(本小题满分14分)(本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)(1)证明:因为平面⊥PAC 平面ABC ,平面PAC 平面ABC AC =, PD ⊂平面PAC ,AC PD ⊥,所以PD ⊥平面ABC .…………………………………………………………………………………2分 记AC 边上的中点为E ,在△ABC 中,因为AB BC =, 所以AC BE ⊥.因为AB BC ==4=AC ,所以BE ===………………………………………………………4分所以△ABC的面积12ABC S AC BE ∆=⨯⨯=.……………………………………………………5分 因为2=PD ,所以三棱锥ABC P -的体积13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯1233=⨯=.……………………7分 (2)证法1:因为PD ⊥AC ,所以△PCD 为直角三角形.因为2PD =,3CD=,所以PC =………………9分连接BD ,在Rt △BDE 中,因为90BED ∠=o,BE =,1DE=,所以BD ===…………10分 由(1)知PD ⊥平面ABC ,又BD ⊂平面ABC , 所以PD ⊥BD .在Rt △PBD 中,因为90PDB ∠=o,2PD=,BD =,所以PB ===……………………………………………………12分在PBC ∆中,因为BCPB =PC =所以222BC PB PC +=.………………………………………………………………………………13分BPACDE所以PBC ∆为直角三角形.……………………………………………………………………………14分证法2:连接BD ,在Rt △BDE 中,因为90BED ∠=o,BE =,1DE =,所以BD ===…………8分在△BCD 中,3CD =,BC ,BD ,所以222BC BD CD +=,所以BC BD ⊥.………………10分由(1)知PD ⊥平面ABC , 因为BC ⊂平面ABC , 所以BC PD ⊥. 因为BD PD D =,所以BC ⊥平面PBD .…………………………………………………………………………………12分 因为PB ⊂平面PBD ,所以BC PB ⊥.所以PBC ∆为直角三角形.……………………………………………………………………………14分19.(本小题满分14分)(本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:因为数列{}n a 是等差数列,所以()11n a a n d =+-,()112n n n S na d -=+.……………………………………………………1分 依题意,有52722270,.S a a a =⎧⎪⎨=⎪⎩即()()()1211151070,621.a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩………………………………………3分 解得16a =,4d =.……………………………………………………………………………………5分 所以数列{}n a 的通项公式为42n a n =+(*n ∈N ).…………………………………………………6分(2)证明:由(1)可得224n S n n =+.……………………………………………………………………7分所以()21112422n S n n n n ==++11142n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭.…………………………………………………8分 所以123111111n n n T S S S S S -=+++++L 1111111111111114342443541142n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………9分 111114212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭BPACDE31118412n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭.………………………………………………………………………10分因为311108412n T n n ⎛⎫-=-+< ⎪++⎝⎭,所以38n T <.………………………………………………11分 因为11110413n n T T n n +⎛⎫-=-> ⎪++⎝⎭,所以数列{}n T 是递增数列.………………………………12分所以116n T T ≥=.………………………………………………………………………………………13分 所以1368n T ≤<.…………………………………………………………………………………………14分20.(本小题满分14分)(本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识,考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法,以及运算求解能力)(1)解:因为32()f x x ax b =-++,所以22()3233a f x x ax x x ⎛⎫'=-+=--⎪⎝⎭.……………………1分 当0a =时,()0f x '≤,函数()f x 没有单调递增区间；……………………………………………2分 当0a >时,令()0f x '>,得203a x <<. 故()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭；…………………………………………………………………3分 当0a <时,令()0f x '>,得203ax <<. 故()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭.…………………………………………………………………4分 综上所述,当0a =时,函数()f x 没有单调递增区间；当0a >时,函数()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当0a <时,函数()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭.……………………………………5分(2)解:,由(1)知,[]3,4a ∈时,()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调递减区间为(),0-∞和2,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. …………………………………6分所以函数()f x 在0x =处取得极小值()0f b =,……………………………………………………7分函数()f x 在23ax =处取得极大值324327a a f b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.………………………………………………8分由于对任意[]3,4a ∈,函数()f x 在R 上都有三个零点,所以()00,20.3fa f <⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩即30,40.27b a b <⎧⎪⎨+>⎪⎩……………………………………………………………………10分 解得34027a b -<<.……………………………………………………………………………………11分 因为对任意[]3,4a ∈,3427a b >-恒成立,所以33max44342727a b ⎛⎫⨯>-=-=- ⎪⎝⎭.………………13分 所以实数b 的取值范围是()4,0-.……………………………………………………………………14分21.(本小题满分14分)(本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力)(1)解:依题意可得(1,0)A -,(1,0)B .…………………………………………………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >,所以1=即2b =.所以双曲线C 的方程为2214y x -=.……………………………………………………………………3分 (2)证法1:设点11(,)P x y 、22(,)T x y (0i x >,0i y >,1,2i =),直线AP 的斜率为k (0k >),则直线AP 的方程为(1)y k x =+,………………………………………………………………………4分联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩………………………………………………………………………………5分 整理,得()22224240k x k x k +++-=,解得1x =-或2244k x k -=+.所以22244k x k-=+.…………………………………………………………6分 同理可得,21244k x k +=-.…………………………………………………………………………………7分 所以121x x ⋅=.……………………………………………………………………………………………8分证法2:设点11(,)P x y 、22(,)T x y (0i x >,0i y >,1,2i =), 则111AP y k x =+,221AT y k x =+.…………………………………………………………………………4分 因为AP AT k k =,所以121211y y x x =++,即()()2212221211y y x x =++.……………………………………5分 因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上,所以221114y x -=,222214y x +=. 即()221141y x =-,()222241y x =-.…………………………………………………………………6分 所以()()()()22122212414111x x x x --=++,即12121111x x x x --=++.……………………………………………………7分 所以121x x ⋅=.……………………………………………………………………………………………8分 证法3:设点11(,)P x y ,直线AP 的方程为11(1)1y y x x =++,………………………………………4分 联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………………………………………………5分 整理,得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦, 解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++.…………………………………………………………………6分 将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++,得11x x =,即211x x =. 所以121x x ⋅=.…………………………………………………………………………………………8分(3)解:设点11(,)P x y 、22(,)T x y (0i x >,0i y >,1,2i =),则()111,PA x y =---,()111,PB x y =--.因为15PA PB ⋅≤,所以()()21111115x x y ---+≤,即221116x y +≤.…………………………9分因为点P 在双曲线上,则221114y x -=,所以22114416x x +-≤,即214x ≤. 因为点P 是双曲线在第一象限内的一点,所以112x <≤.…………………………………………10分 因为1221||||||2S AB y y ==,21111||||||22S OB y y ==, 所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--.……………………………11分 由(2)知,121x x ⋅=,即211x x =. 设21t x =,则14t <≤, 221245S S t t -=--. 设()45t t f t =--,则()()()222241t t f t t t -+'=-+=, 当12t <<时,()0f t '>,当24t <≤时,()0f t '<,所以函数()f t 在()1,2上单调递增,在(]2,4上单调递减. 因为()21f =,()()140f f ==,所以当4t =,即12x =时,()()2212min 40S S f -==.……………………………………………12分 当2t =,即1x =,()()2212max 21S S f -==.………………………………………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1.……………………………………………………………………14分说明:由()222212121254541S S x x x x -=-+≤-=,得()2212max 1S S -=,给1分.。
2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文数
数学（文科）2012.3 本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数1y =A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．[)1,-+∞D ．()1,-+∞2．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．23．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的最小正周期为2π，则ω的值为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．84．在△ABC 中，60ABC ∠=，2A B =，3B C =，在B C 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为A ．16B ．13C ．12D ．235．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积．．．为 A．3B．C ．8 D ．126．在平面直角坐标系中，若不等式组20,20,x y x y x t +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤表示的平面区域的面积为4，则实数t 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4 7．已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为A ．3B ．2C ．2或3D ．2-或3- 8．已知两个非零向量a 与b ，定义s i n θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =， ()0,2b =，则⨯a b 的值为A ．8-B ．6-C ．6D ．89．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知圆O ：222x y r +=，点()P a b ，（0ab ≠）是圆O 内一点，过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为1l ，直线2l 的方程为20ax by r ++=，那么A ．12l l ∥，且2l 与圆O 相离B ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相切C ．12l l ∥，且2l 与圆O 相交D ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相离二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）图1俯视图正(主)视图侧(左)视图11．若函数()()2ln 1f x x ax =++是偶函数，则实数a 的值为 ．12．已知集合{}13A x x =≤≤，{}3B x a x a =+≤≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 ．13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，…，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦AB 的中点，3O P =cm ，弦C D 过点P ，且13C P C D=，则C D 的长为 cm ．15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：1,1x s y s =+⎧⎨=-⎩（s 为参数）和C ：22,x t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数）， 若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 2α的值． 5 121 22 图2 图317．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分 成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图4的频率分布直方图．（1）求图中实数a 的值； （2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级 期中考试数学成绩不低于60分的人数； （3）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学 生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．18．（本小题满分14分）如图5所示，在三棱锥ABC P -中，A B B C ==，平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ， 1AD =，3C D =，2=PD ．（1）求三棱锥ABC P -的体积；（2）证明△PBC 为直角三角形．19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且2a ，7a ，22a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368n T <≤．20．（本小题满分14分）已知函数32()f x x ax b =-++(),a b ∈R ．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若对任意[]3,4a ∈，函数()f x 在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围．图5BPACD图421．（本小题满分14分）已知椭圆2214yx +=的左、右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ．（1）求曲线C 的方程；（2）设点P 、T 的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；（3）设T A B ∆与P O B ∆（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且PA PB uu r uurg ≤15，求2212S S - 的取值范围．2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．11．0 12．[]0,1 13．35，10 14． 15．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：9f π⎛⎫ ⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………1分t a n t a n341tan tan34ππ+=ππ-…………………………………………………………………………3分12+==--．………………………………………………………………………4分（2）解法1：因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………………………………5分 ()tan α=+π………………………………………………………………6分tan 2α==．………………………………………………………………7分所以sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=． ① 因为22sin cos 1αα+=， ② 由①、②解得21cos 5α=．………………………………………………………………………………9分所以2coαα=-………………………………………………………………………………11分132155=⨯-=-．………………………………………………………………………12分解法2：因为3ta n 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………………………………5分()tan α=+π………………………………………………………………6分tan 2α==．………………………………………………………………7分所以22cos 2cos sin ααα=-……………………………………………………………………………9分2222cos sin cos sin αααα-=+…………………………………………………………………………10分221t a n 1t a n αα-=+………………………………………………………………………………11分143145-==-+．……………………………………………………………………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以1⨯+a+．………………………………………………1分解得a =．……………………………………………………………………………………………2分（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为110(0.0050.01)-⨯+0.85=．…………3分由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.⨯=人． …………………………………………………………………5分（3）解：成绩在[)40,50分数段内的人数为400.052⨯=人，分别记为A ，B ．……………………6分成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人，分别记为C ，D ，E ，F ．…………………7分若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共15种．…………………………………………9分如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内，另一个成绩在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10． 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有：(),A B ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共7种．……………………11分 所以所求概率为()715P M=．…………………………………………………………………………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC 平面A B C A C =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以P D ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………2分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为A B B C =，所以AC BE ⊥．因为AB BC ==4=AC ，所以2BE =-…4分所以△ABC 的面积12A B C S A C B E ∆=⨯⨯=5分因为2=PD ， 所以三棱锥ABC P -的体积13P ABC A B CV S D -∆=⨯⨯1422233=⨯=．……………………7分（2）证法1：因为P D ⊥AC ，所以△PC D 为直角三角形．因为2P D =，3C D =，所以PC ===9分连接BD ，在R t △BD E 中， 因为90BED ∠=o，BE =，1D E =，所以BD ===10分由（1）知P D ⊥平面ABC ，又BD ⊂平面ABC ，所以P D ⊥BD ．在R t △PBD 中，因为90PDB ∠=o ，2PD =，BD =，所以2PB =+．……………………………………………………12分在PBC ∆中，因为BC=，PB=PC =，所以2BC+=．………………………………………………………………………………13分所以PBC ∆为直角三角形．……………………………………………………………………………14分证法2：连接BD ，在R t △BD E 中，因为90BED ∠=o ，BE =，1D E =，所以BD ===8分在△BC D 中，3C D=，BC =BD =，所以222BC BD CD +=，所以BC BD ⊥．………………10分由（1）知P D ⊥平面ABC ， 因为B C ⊂平面ABC ， 所以BC PD ⊥． 因为BD PD D = ，所以B C ⊥平面PBD ．…………………………………………………………………………………12分因为PB ⊂平面PBD ，所以B C P B ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．……………………………………………………………………………14分19．（本小题满分14分）BPACDEBPACDE（本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1）解：因为数列{}n a 是等差数列，所以()11n a a n =+-，()112n n n S na d -=+．……………………………………………………1分依题意，有52722270,.S a a a =⎧⎪⎨=⎪⎩即()()()1211151070,621.a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩………………………………………3分 解得16a =，4d =．……………………………………………………………………………………5分所以数列{}n a 的通项公式为42n a n =+（*n ∈N ）．…………………………………………………6分 （2）证明：由（1）可得224n S n n =+．……………………………………………………………………7分所以()21124nS n ==++142n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭．…………………………………………………8分所以123111111n n nT S S S S S -=+++++L1111111111111114342443541142n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………9分111114212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭31118412n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭． (10)分因为311108412n T n n ⎛⎫-=-+< ⎪++⎝⎭，所以38n T <．………………………………………………11分因为11110413n n T T n n +⎛⎫-=->⎪++⎝⎭，所以数列{}n T 是递增数列．………………………………12分所以116n T T ≥=．………………………………………………………………………………………13分 所以1368n T ≤<．…………………………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：因为32()f x x ax b=-++，所以22()3233a f x x a x x x ⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭．……………………1分 当0a =时，()f x '≤，函数()f x 没有单调递增区间；……………………………………………2分当0a >时，令()0f x '>，得203a x <<．故()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭；…………………………………………………………………3分 当0a <时，令()0f x '>，得203a x <<．故()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭．…………………………………………………………………4分综上所述，当0a =时，函数()f x 没有单调递增区间；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当a <时，函数()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭．……………………………………5分（2）解：，由（1）知，[]3,4a ∈时，()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间为(),0-∞和2,3a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭． …………………………………6分所以函数()f x 在0x =处取得极小值()0f b =，……………………………………………………7分函数()f x 在23a x =处取得极大值324327a a f b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．………………………………………………8分 由于对任意[]3,4a ∈，函数()f x 在R 上都有三个零点，所以()00,20.3f a f <⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩即30,40.27b ab <⎧⎪⎨+>⎪⎩……………………………………………………………………10分 解得34027ab -<<．……………………………………………………………………………………11分因为对任意[]3,4a ∈，3427ab >-恒成立，所以33max44342727a b ⎛⎫⨯>-=-=- ⎪⎝⎭．………………13分 所以实数b 的取值范围是()4,0-．……………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．…………………………………………………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，1=，即2b =．所以双曲线C的方程为2214yx -=．……………………………………………………………………3分（2）证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线AP 的斜率为k （0k >），则直线AP 的方程为(y k x=+，………………………………………………………………………4分 联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩………………………………………………………………………………5分 整理，得()22224240k x k x k +++-=，解得1x =-或2244k x k-=+．所以22244k x k-=+．…………………………………………………………6分同理可得，21244k x k+=-．…………………………………………………………………………………7分所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =）， 则111AP y k x =+，221AT y k x =+．…………………………………………………………………………4分因为A Pk k=，所以121211y y x x =++，即()()2212221211y y x x =++．……………………………………5分因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以221114y x -=，222214y x +=．即()221141y x =-，()222241y x =-．…………………………………………………………………6分所以()()()()22122212414111x x x x --=++，即12121111x x x x --=++．……………………………………………………7分所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法3：设点11(,)P x y ，直线AP 的方程为11(1)1y y x x =++，………………………………………4分联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………………………………………………5分 整理，得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦， 解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++．…………………………………………………………………6分将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++，得11x x =，即211x x =．所以121x x ⋅=． (8)分（3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则()111,PA x y =--- ，()111,PB x y =--．因为15PA PB ⋅≤，所以()()21111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．…………………………9分因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤．因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．…………………………………………10分因为1221||||||2S A B y y ==，21111||||||22S O B y y ==，所以()()2212144S S -=．……………………………11分由（2）知，121x x ⋅=，即211x x =．设21t x =，则14t <≤，221245S S t t-=--．设()45t tf t =--，则()()()222241t t f t tt-+'=-+=，当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<， 所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减． 因为()21f =，()()140f f ==， 所以当4t =，即12x =时，()()2212min40SS f -==．……………………………………………12分当2t =，即1x =时，()()2212max21SS f -==．………………………………………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1．……………………………………………………………………14分说明：由()222212121254541S S x x x x -=-+≤-=，得()2212max1S S -=，给1分．。
广东省广州市2012届高三第一次模拟考试数学(文)试题
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数y =A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．[)1,-+∞D ．()1,-+∞2．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．23．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的最小正周期为2π，则ω的值为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 4．在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =，3BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．235．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积．．．为 AB． C ．8 D ．126．在平面直角坐标系中，若不等式组20,20,x y x y x t +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤表示的平面区域的面积为4，则实数t 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4 7．已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为A ．3B ．2C ．2或3D ．2-或3-8．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =，()0,2b =，则⨯a b 的值为A ．8-B ．6-C ．6D ．89．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知圆O ：222x y r +=，点()P a b ，（0ab ≠）是圆O 内一点，过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为1l ，直线2l 的方程为20ax by r ++=，那么A ．12l l ∥，且2l 与圆O 相离B ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相切C ．12l l ∥，且2l 与圆O 相交D ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相离 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．若函数()()2ln 1f x x ax =++是偶函数，则实数a 的值为 ．12．已知集合{}13A x x =≤≤，{}3B x a x a =+≤≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 ．13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，…，三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 2α的值． 17．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图4的频率分布直方图．（1）求图中实数a 的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差 的绝对值不大于10的概率．18．（本小题满分14分）如图5所示，在三棱锥ABC P -中，AB BC ==，平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ， 1AD =，3CD =，2=PD ．（1）求三棱锥ABC P -的体积； （2）证明△PBC 为直角三角形．19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且2a ，7a ，22a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368n T <≤．20．（本小题满分14分）已知函数32()f x x ax b =-++(),a b ∈R ．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若对任意[]3,4a ∈，函数()f x 在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围．参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．11．0 12．[]0,1 13．35，10 14． 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）()tan α=+π…………………………6分tan 2α==．…………………………7分所以sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=． ① 因为22sin cos 1αα+=， ② 由①、②解得21cos 5α=．………………………9分 所以2cos 22cos 1αα=-………………………………11分132155=⨯-=-．…………………………12分解法2：因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………5分()tan α=+π……………………6分tan 2α==．………………7分所以22cos 2cos sin ααα=-………………9分2222cos sin cos sin αααα-=+…………………10分 221tan 1tan αα-=+………………………11分 143145-==-+．…………………12分成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人，分别记为C ，D ，E ，F ．…………………7分若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共15种．…………………………………………9分如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内，另一个成绩在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有：(),A B ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共7种．…11分所以所求概率为()715P M =．……………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………2分 记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为AB BC =， 所以AC BE ⊥．因为AB BC ==，4=AC ，所以BE ===4分所以△ABC 的面积12ABC S AC BE ∆=⨯⨯=5分 因为2=PD ，在Rt △PBD 中，因为90PDB ∠=o ，2PD =，BD =，所以PB ===12分在PBC∆中，因为BC=PB =PC =，所以222BC PB PC +=．……………………13分所以PBC∆为直角三角形．……………………………………………………………………………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1）解：因为数列{}n a 是等差数列，所以()11n a a n d =+-，()112n n n S na d -=+．………………1分 依题意，有52722270,.S a a a =⎧⎪⎨=⎪⎩即()()()1211151070,621.a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩……………3分 解得16a =，4d =．……………………5分所以数列{}n a 的通项公式为42n a n =+（*n ∈N ）．…………………………6分 （2）证明：由（1）可得224n S n n =+．……………………………………………………………………7分所以()21112422n S n n n n ==++11142n n ⎛⎫=-⎪+⎝⎭．……8分所以123111111n n nT S S S S S -=+++++L1111111111111114342443541142n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………9分 111114212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭当0a =时，()0f x '≤，函数()f x 没有单调递增区间；……………………2分 当0a >时，令()0f x '>，得203a x <<． 故()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭；…………………3分 当0a <时，令()0f x '>，得203ax <<． 故()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭．……………………4分综上所述，当0a =时，函数()f x 没有单调递增区间；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当0a <时，函数()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭．……………5分因为对任意[]3,4a ∈，3427a b >-恒成立，所以33max44342727a b ⎛⎫⨯>-=-=- ⎪⎝⎭．………………13分所以实数b 的取值范围是()4,0-．……………………………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．…………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，=，即2b=．所以双曲线C的方程为2214yx-=．………………………3分证法2：设点11(,)P x y、22(,)T x y（0ix>，0iy>，1,2i=），则111APykx=+，221ATykx=+．……………………4分因为AP ATk k=，所以121211y yx x=++，即()()2212221211y yx x=++．…………5分因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上，所以221114yx-=，222214yx+=．即()221141y x=-，()222241y x=-．……………6分所以()()()()22122212414111x xx x--=++，即12121111x xx x--=++．…………7分所以121x x⋅=．………………………8分（3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则()111,PA x y =---，()111,PB x y =--． 因为15PA PB ⋅≤，所以()()21111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．…………………………9分因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤．因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．…………………………………………10分因为1221||||||2S AB y y ==，21111||||||22S OB y y ==， 所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--．……………11分由（2）知，121x x ⋅=，即211x x =． 设21t x =，则14t <≤，221245S S t t-=--．设()45t tf t =--，则()()()222241t t f t t t -+'=-+=，。
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2卷 77.16 54.79 51.19 56.85 58.85 60.12 54.85 52.36 58.19
班别11-13_111-13_2 11-13_3 11-13 1班 2班 3班 4班 5班 6班 7班 8班 级平
14 3.70 1.56 1.33 0.29 1.67 2.29 1.00 0.91 1.68
C
1 A． 6
1 B． 3
1 C． 2
2 D． 3
2.一只蚂蚁在三边长分别为 3, 4,5 的三角形的边上爬行， 某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均不小于 1 的概率（ 1 1 1 1 A． B． C． D． 2 3 4 5
5．如图 1 是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积为 ．．．
2012届高三一模 考试分析
3月17日
班别 全卷 1卷 1班 121.76 44.60 2班 92.67 37.88 3班 87.73 36.54 4班 94.68 37.83 5班 97.98 39.13 6班 101.37 41.25 7班 95.48 40.63 8班 90.28 37.92 级平 97.62 39.43
（b)前四道解答少失分：a)题目越是简单，就越 要注意书写（细心，规范 ）;b)遇个别“关卡” 先跳过去，心态平稳，待后面捞足了分再杀回马 枪）
c 文字语言转化成数学表达式（ e a a, b
（c）后两道压轴题多捞分（紧扣条件，做（1） （2）问，“翻译”得分；题设条件个个均有作用， 间 关系设方程；倾斜角斜率直线方程）（尽 量多写过程，能写出多少，就写多少）。
4．在△ ABC 中， ABC 60 ， AB 2 ， BC 3 ，在 BC 上任取一点 D ， 使△ ABD 为钝角三角形的概率为 1 1 A． B． 6 3
1 C． 2 2 D． 3
变式：
7．在△ ABC 中， ABC 60 ， AB 2 ， BC 6 ， 在 BC 上任取一点 D ，使△ ABD 为钝角三角形的概率为
1
5
12
22 图2
1、根据下列5个图形及相应点的个数பைடு நூலகம்变化规 律，试猜测第n个图中有_________个点.
。 。 。 。 。。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。
。
。
。 。
。 。 。 。
。 。 。
(1)
(3)
(7)
(13)
4 3 A． 3
2 2 2 2
B． 4 3
2 正(主)视图
2 侧(左)视图
C．8
D．12
2
问问自己， 三视图过关没有？
2 俯视图 图1
已知某几何体的俯视图是如图 5 所示的矩形，正视图（或称主视图） 是一个底边长为 8，高为 4 的等腰三角形，侧视图（或称左视图） 是一个底边长为 6，高为 4 的等腰三角形． 则该几何体的侧面积为
a, a b a 1、规定一种运算： b b, a b
变式：
例如：1 2=1，3 2=2，则函数
f ( x) sin x cos x 的值域为
。
2 [1, ] 2
10．已知圆 O ： x2 y 2 r 2 ，点 P a，b （ ab 0 ） 是圆 O 内一点，过点 P 的圆 O 的最短弦所在的直线为 l1 ， 直线 l2 的方程为 ax by r 2 0 ，那么 A． l1∥l2 ，且 l2 与圆 O 相离 C． l1∥l2 ，且 l2 与圆 O 相交 B． l1 l2 ，且 l2 与圆 O 相切 D． l1 l2 ，且 l2 与圆 O 相离
15 4.81 4.25 4.32 4.41 4.20 4.26 4.08 4.66 4.37
4.80 3.85 3.94 4.25 4.04 4.23 4.38 3.87 4.16
4.70 3.27 3.56 3.49 3.56 3.56 3.54 3.21 3.60
4.34 4.25 4.04 3.94 4.48 4.21 3.96 4.26 4.19
没化简扣1分
tan „„„6 分
tan 2 ．„„7 分
sin 2 ，即 sin 2cos ． 所以 cos
数形结合，特殊值法。
11 题
较为突出的问题是不按题目的要求回答问题如回答 a=0,
a 为 0。 12 题 书写表达存在较大的问题，学生对数学符号、式理解肤浅 甚至误会。如回答 a 0或a 1; a 1和a 0; a a
0 a 1
等。错误
出现在区间的开闭难以确定，学生的卷面上见到许多涂改痕迹， 几经修改难以决定缺少一般方法。 13 题 学生多能动手求解，得分情况较好，应该由已知慢慢推导 出来。
13.84 11.37 11.54 11.68 12.08 12.00 11.88 11.34 11.95
5班分数段
130分以上：1人
6班分数段
130分以上：3人
120分以上：6人
110分以上：20人
120分以上：9人
110分以上：18人
100分以上：32人
90分以上：39人 80分以上：42人 70分以上：46人 共53人
16．（本小题满分12分） （本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同 角三角函数的基本关系和弦化切的转化技巧）
16 题是三角函数题，考查两角和的正切、诱导公式、同角三角 函数的基本关系和二倍角的余弦公式。平均分 7。26 分，大部分
学生对两角和的正切、诱导公式、二倍角的余弦公式掌握较好， 但对于 3 1 的根式有理化还有相当多同学不能正确化简。说明
1 3
部分学生的运算能力还需加强。对于已知 tan 2 ，求 cos 2 的过
程中， 大部分学生是求出 cos2 或 sin 2 的值， 再代入 cos 2 的公式，
而不会将 cos 2 直接转化为 tan 来求解。因此，对于已知 tan 值， 求 cos 2 值或求式子的值，还需加强训练。
100分以上：29人
90分以上：41人 80分以上：46人 70分以上：47人 共53人
李诗琪 刘丹蕾 谢学宁 何永杰 韩祖贤 邱梓滢 何立 张丽珊 沈丽红 袁仲恩 江佩玲 罗颖 杨炜谊 王莉婷 韩慧晴 卢欣怡 李佳玲 高紫珊 梁清华 周青霞
137 125 123 123 120 120 119 118 116 116 116 116 116 116 113 113 112 112 111 111
一、考前
1、完成试卷的回顾。
2、特别重视三角函数、概率与统计（应用题）、 立体几何、函数与导数、数列、解析几何（注意圆） 六大板块精选例题（每个板块3题），读熟、看熟、 做熟；注意选考内容。
3、注重三视图，程序框图与算法，线性规划，二 分法（零点定理），向量。
反思：停课复习的收获与不足，为高考听课复习做准备。
变式：
“命题 q : x2 3x 4 0 ”成立的必要不充分条件， 则实数 m 的取值范围为（ ） A、 m 1 或 m 7 B、 7 m 1 C、 m 1 或 m 7 D、 7 m 1
C
（新定义运算的理解、运用）
8．已知两个非零向量 a 与 b ，定义 a b a b sin ， 其中 为 a 与 b 的夹角．若 a = 3, 4 ， b = 0,2 ，则 a b 的值为 A． 8 B． 6 C． 6 D． 8
加强运算!
诱导公式!
哪里错？
正解
（1）解： f 9
tan „1 分 3 4 „„3 分 tan 3 4 1 tan tan 3 4 tan
3 1 2 3 ．„„„„4 分 1 3
3 （2）解：因为 f tan „„5 分 4 4 3 4
143 136 136 129 128 125 124 122 121 119 119 118 118 118 114 113 112 112
45 50 45 45 45 50 50 50 40 50 50 45 50 50 40 50 50 40
98 86 91 84 83 75 74 72 81 69 69 73 68 68 74 63 62 72
x t 2, x 1 s, 参数方程分别为 l ： （ s 为参数）和 C ： （ t 为参数） ， 2 y t y 1 s
若 l 与 C 相交于 A 、 B 两点，则 AB
．
16． （本小题满分12分）
已知函数 f ( x) tan 3x ． 4 （1）求 f 的值； 9 （2）若 f 2 ，求 cos 2 的值． 3 4
(21)
n n 1
2
14． （几何证明选讲选做题）如图3，圆 O 的半径为 5 cm ， 点 P 是弦 AB 的中点， OP 3 cm ，弦 CD 过点 P ，
CP 1 ，则 CD 的长为 且 CD 3
cm ．
5． （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线 l 与曲线 C 的
14 题 15 题
学生的选择呈现一边倒的现象， 63.7% 的同学选
择 14 题，平均分 0.71；15 题的平均分 3.46。 学生的选择是一 种偶然或必然？抑或是初中知识的“亲切感”还是对“参数方程 的害怕”导致的结果？！值得教师根据本班的具体情况研究制定 应对政策。 15 题错误较多出现在使用两点间距离公式后不取平方根，答案 为 2（正确答案 2 ） ，如何避免“最后一步“出错，是一个值得 研究的问题。
A B A A B
则实数 a 的取值范围为