【教育专用】安徽省宿松县2016_2017学年高中数学第四章圆与方程4.3.1空间直角坐标系教案新人教A版必修2
高中数学第四章 圆与方程 412 圆的一般方程课件 新人教A版必修2
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第四章 圆与方程
4．1.2 圆的一般方程
第四章 圆与方程
1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆 心和半径． 2.会在不同条件下求圆的一般式方程．
1．方程
当 D2＋E2－4F>0 时，方程__x_2_＋__y_2_＋__D__x_＋__E_y__＋__F_＝__0_叫做圆的
一般方程，其中圆心为__－__D2_，__－__E2__，半径为__12__D__2＋__E__2－__4_F__．
形． 3．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤 (1)根据题意，选择_标__准__方__程__或_一__般__方__程__； (2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； (3)解出 a，b，r 或 D，E，F，代入标准方程或一般方程．
探究点一 圆的一般方程的概念 判断方程 x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0 能否表示圆， 若能表示圆，求出圆心和半径． [解] 法一：由方程 x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0 可知， D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20， 所以 D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2， 所以当 m＝2 时，它表示一个点； 当 m≠2 时，它表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)， 半径为 r＝ 5|m－2|.
2．说明 (1)方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 不一定表示圆，当且仅当
__D__2_＋__E_2_－__4_F_>__0__时表示圆．
(2)当___D__2_＋__E_2_－__4_F_＝__0_____时，方程表示一个点－D2 ，－E2.
(3)当___D__2_＋__E_2_－__4_F_<__0_____时，方程无实数解，不表示任何图
高二数学必修二 第四章 圆与圆的方程知识点总结
第四章 圆 与 方 程★1、圆的定义：平面内到肯定点的间隔 等于定长的点的集合叫做圆，定点圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上随意一点，则圆的集合可以写作：P = {M |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ； 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。
确定一个圆须要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，须要求出D ，E ，F ； 干脆法：干脆依据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种状况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的间隔 为22B AC Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔< （2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线间隔 =半径，求解k ，②若求得两个一样的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线肯定为另一条切线）(3)22=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的与（差），与圆心距（d ）之间的大小比拟来确定。
【教育专用】安徽省宿松县2016_2017学年高中数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程教案新人教A版必修2
1.复习初中有关点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系有关内容.
2.预习有关圆的切线方程的求法.
3.课本习题4.1 A组第2、3题.
板书设计
4.1.1圆的标准方程
1、圆的标准方程的推导例1
2、圆的标准方程例2
3、点与圆的位置关系变式
教学反思
圆是学生比较熟悉的曲线,求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点,为此先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系,逐步理解三个参数的重要性,自然形成待定系数法的解题思路,在突出重点的同时突破了难点.利用圆的标准方程由浅入深的解决问题,并通过圆的方程在实际问题中的应用,增强学生应用数学的意识.另外,为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中,我用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,并且使学生的有效思维量加大,随时对所学知识和方法产生有意注意,能力与知识的形成相伴而行,不但突出了重点,更使难点的突破水到渠成.
4.1.1圆的标准方程
教学
目标
1.使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.
2.会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力,从而激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生分析、概括的思维能力.
(2)由于圆心在点C(3,4),半径是5,所以圆的标准方程是(x-3)2+(y-4)2=(5)2,即(x-3)2+(y-4)2=5.
安徽省宿松县2016-2017学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2.1 直线与圆的位置关系教案 新
这样就可求得切线的方程为 ,
整理得y=± (x+2).
点评:过圆外一点向圆可作两条切线；可用三种方法求出切线方程,其中以几何法“d=r”比较好(简便).
变式训练
已知直线l的斜率为k,且与圆x2+y2=r2只有一个公共点,求直线l的方程.
③过圆内一点不能作圆的切线.
④求圆切线方程,一般有三种方法,一是设切点,利用①②中的切线公式法;二是设切线的斜率,用判别式法;三是设切线的斜率,用图形的几何性质来解,即圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出k的值.
⑤把直线与圆的方程联立得方程组,方程组的解即是交点的坐标.
⑥把直线与圆的方程联立得交点的坐标,结合两点的距离公式来求;再就是利用弦心距、弦长、半径之间的关系来求.
解法一:由直线l与圆的方程,得
消去y,得x2-3x+2=0,因为Δ=(-3)2-4×1×2=1＞0,所以直线l与圆相交,有两个公共点.
解法二：圆x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,其圆心C的坐标为(0,1),半径长为 ,圆心C到直线l的距离d= = ＜ .所以直线l与圆相交,有两个公共点.
②过圆外一点可作两条切线,求出切线方程有代数法和几何法.代数法的关键是把直线与圆相切这个几何问题转化为联立它们的方程组只有一个解的代数问题.可通过一元二次方程有一个实根的充要条件——Δ=0去求出k的值,从而求出切线的方程.用几何方法去求解,要充分利用直线与圆相切的几何性质,圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出k的值.
所以|AB|= |x1-x2|= · = · = .
2016-2017学年高一数学人教A版必修二 课件 第四章 圆与方程 4.2.1
即圆心为 C(2,1)，半径 r＝2.
圆心 C(2,1)到直线 mx－y－m－1＝0 的距离
d＝|2m－11＋－mm2－1|＝
|m－2| 1＋m2
.
第十五页，编辑于星期五：十五点 五十五分。
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第四章 圆与方程
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(1)当 d＜2 时，即 m＞0 或 m＜－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个 公共点；
第十三页，编辑于星期五：十五点 五十五分。
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解析： 方法一：将直线 mx－y－m－1＝0 代入圆的方程化简整理，
得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
Δ＝4m(3m＋4)，
(1)当 Δ＞0 时，即 m＞0 或 m＜－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个 公共点；
2 公共点．
第十九页，编辑于星期五：十五点 五十五分。
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直线与圆相切问题 多维探究型 (2015·濮阳综合高中月考)已知圆 C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O 为坐 标原点，动点 P 在圆外，过点 P 作圆 C 的切线，设切点为 M. (1)若点 P 运动到(1,3)处，求此时切线 l 的方程； (2)求满足|PM|＝|PO|的点 P 的轨迹方程．
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4．2 直线、圆的位置关系 4．2.1 直线与圆的位置关系
第一页，编辑于星期五：十五点 五十五分。
2016-2017学年高一数学人教A版必修二 习题 第四章 圆与方程 4 章末高效整合 Word版含答案
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12与圆C ：x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相交或相切 B ．相交或相离 C ．相切D ．相交解析： 方法一：圆C 的圆心(0,0)到直线y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12的距离d ＝⎪⎪⎪⎪12k k 2＋1，∵d 2＝14k 2k 2＋1＜14＜1，∴所判断的位置关系为相交．方法二：直线l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12过定点⎝⎛⎭⎫－12，0，而点⎝⎛⎭⎫－12，0在圆C ：x 2＋y 2＝1内部，故直线l 与圆C 相交．答案： D2．圆x 2＋y 2＋ax ＝0的圆心到y 轴的距离为1，则a ＝( ) A ．－1 B ．±1 C ．－2D ．±2解析： ∵圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2，0，∴⎪⎪⎪⎪－a2＝1， ∴a ＝±2. 答案： D3．直线x －2y ＋3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是原点)的面积为( )A.32B.34 C ．25 D.655解析： 圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9的圆心为(2，－3)，半径r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|2＋6－3|1＋4＝5，弦长为29－5＝4，原点到直线的距离为|0＋0＋3|1＋4＝355，所以S ＝12×4×355＝655.答案： D4．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为()A．x＋3y－2＝0 B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0 D．x－3y＋2＝0解析：∵点(1，3)在圆x2＋y2－4x＝0上，∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直．设切线的斜率为k，又∵圆心为(2,0)，∴0－32－1·k＝－1，解得k＝33，∴切线方程为x－3y＋2＝0.答案： D5．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为() A．－1或 3 B．1或3C．－2或6 D．0或4解析：由半径、半弦长、圆心到直线的距离d所形成的直角三角形，可得d＝2，故|a－2|2＝2，解得a＝4，或a＝0.答案： D6．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋2＝0的距离为2的点共有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝(22)2，圆心(－1，－2)到直线x＋y＋2＝0的距离为|－1－2＋2|2＝22，故满足条件的点有4个．答案： D7．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1有两个公共点，则点P(a，b)与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上皆有可能解析：由题意，得1a2＋b2＜1，即a2＋b2＞1，所以点P在圆x2＋y2＝1外．答案： B8．设点P(a，b，c)关于原点对称的点为P′，则|PP′|＝()A.a2＋b2＋c2B．2a2＋b2＋c2C ．|a ＋b ＋c |D ．2|a ＋b ＋c |解析： P (a ，b ，c )关于原点对称的点为P ′(－a ，－b ，－c )，则|PP ′|＝[a －(－a )]2＋[b －(－b )]2＋[c －(－c )]2＝2a 2＋b 2＋c 2.答案： B9．已知两圆相交于A (1,3)，B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋2c 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．0 解析： 由题意知直线x －y ＋c ＝0为线段AB 的垂直平分线，故AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫m ＋12，1在直线x －y ＋c ＝0上，所以m ＋12－1＋c ＝0，即m ＋2c ＝1. 答案： B10．若直线y ＝kx －1与曲线y ＝－1－(x －2)2有公共点，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，43 B.⎣⎡⎦⎤13，43 C.⎣⎡⎦⎤0，12 D ．[0,1]解析： 曲线y ＝－1－(x －2)2表示的图形是一个半圆，直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，在同一坐标系中画出直线和半圆的草图，由图可知，k 的取值范围是[0,1]，故选D.答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.解析： 由题意可知，直线x －y ＋2＝0过圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a2， 所以－1－⎝⎛⎭⎫－a2＋2＝0，a ＝－2. 答案： －212．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为________．解析： 令y ＝0得x ＝－1，所以直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)． 设圆C 的半径为r ，则有r ＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. 答案： (x ＋1)2＋y 2＝213．(2015·陕西府谷三中月考)过点P (2,1)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________．解析： 当且仅当CP ⊥l 时，∠ACB 最小， 又CP 的斜率为1，所以直线l 的斜率为－1， 故l 的方程为x ＋y －3＝0. 答案： x ＋y －3＝014．(2015·江西广昌一中月考)已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4(a ＞0)及直线l ：x －y ＋3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，则a 等于________．解析： 由题可得|a －2＋3|12＋(－1)2＝4－(3)2，得a ＝2－1或a ＝－2－1(舍)． 答案：2－1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求经过直线x ＋y ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y －8＝0的交点，且经过点P (－1，－2)的圆的方程．解析： 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x 2＋y 2＋2x －4y －8＝0，得x ＝1，y ＝－1或x ＝－4，y ＝4，即直线与圆交于点A (1，－1)和点B (－4,4)．设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，分别将A ，B ，P 的坐标代入， 得方程组⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＋D －E ＋F ＝0，16＋16－4D ＋4E ＋F ＝0，1＋4－D －2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝3，E ＝－3，F ＝－8，所以，所求圆的方程为x 2＋y 2＋3x －3y －8＝0.16．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在直线y ＝x ＋4上，半径为22的圆C 经过原点O .(1)求圆C 的方程；(2)求经过点(0,2)，且被圆C 所截得弦长为4的直线方程． 解析： (1)设圆心C (a ，a ＋4)，则圆的方程为： (x －a )2＋(y －a －4)2＝8，代入原点得a ＝－2， 故圆的方程为：(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)当直线斜率不存在时，直线方程为x ＝0，经检验符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为y ＝kx ＋2， 圆心(－2,2)到直线y ＝kx ＋2的距离为 d ＝|－2k －2＋2|1＋k 2＝|2k |1＋k 2圆的半径r ＝2 2.∴22＋d 2＝r 2，即4＋4k 21＋k 2＝8，∴1＋k 2＝k 2，可知k 无解， 综上可知直线方程为x ＝0.17．(本小题满分12分)已知正方体的棱长为a ，过B 1作B 1E ⊥BD 1于点E ，求A ，E 两点之间的距离．解析： 建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意，可得A (a ，0,0)，B (a ，a,0)，D 1(0,0，a )，B 1(a ，a ，a )．过点E 作EF ⊥BD 于F ，如图所示，则在Rt △BB 1D 1中， |BB 1|＝a ，|B 1D 1|＝2a ，|BD 1|＝3a ， 所以|B 1E |＝a ·2a 3a＝6a3.所以在Rt △BEB 1中，|BE |＝33a . 由Rt △BEF ∽Rt △BD 1D ，得|BF |＝23a ，|EF |＝a 3， 所以点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫2a 3，2a 3，0， 则点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫2a 3，2a 3，a 3. 由两点间的距离公式，得 |AE |＝⎝⎛⎭⎫a －2a 32＋⎝⎛⎭⎫0－2a 32＋⎝⎛⎭⎫0－a 32＝63a ，所以A，E两点之间的距离是6 3a.18．(本小题满分14分)如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域．一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)解析：如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程为x2＋y2＝252，直线AB方程：x40＋y30＝1，即3x＋4y－120＝0，设O到AB距离为d，则d＝|－120|5＝24＜25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设监测时间为t，则t＝2252－24228＝12(h)．答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.。
2016-2017学年高一数学2练习：第四章 圆与方程 含解析
第四章测评(时间：120分钟 满分:150分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知圆C 关于y 轴对称,经过点A (1,0)且被x 轴分成两段弧,且两段弧长比为1∶2,则圆C 的方程为（ ）A 。
(x ±√33)2+y 2=43B 。
(x ±√33)2+y 2=13C.x 2+(y ±√33)2=43D.x 2+(y ±√33)2=13解析：设圆心C （0,a ），则半径为CA ，根据圆被x 轴分成的两段弧的长之比为1∶2，可得圆被x 轴截得的弦对的圆心角为2π3,故有tan π=|1|，解得a=±√3，半径r=√43，故圆的方程为x 2+(y ±√33)2=43.答案:C2.直线l :x-y=1与圆C ：x 2+y 2—4x=0的位置关系是 ( ）A.相离 B 。
相切C 。
相交 D.无法确定解析:圆C 的圆心为C （2，0),半径为2,圆心C 到直线l 的距离d=|2-1|√2=√22<2,所以圆C 与直线l 相交。
答案：C3。
圆x 2+y 2—4x=0在点P (1,√3)处的切线方程为（ ) A 。
x+√3y-2=0 B .x+√3y —4=0 C 。
x-√3y+4=0 D .x —√3y+2=0解析：∵点P （1，√3）在圆x 2+y 2-4x=0上，∴点P 为切点。
从而圆心与点P 的连线应与切线垂直.又圆心为（2,0),设切线斜率为k ， ∴0-√32-1·k=—1,解得k=√33。
∴切线方程为x-√3y+2=0。
答案:D4.两圆相交于点A （1，3),B （m ,—1),两圆的圆心均在直线x-y+c=0上,则m+c 的值为( ） A 。
-1 B .2 C .3 D 。
0解析:由条件可知，AB 的中点在直线x —y+c=0上,且AB 与该直线垂直,∴{m+12-1+c =0,3+11-m=-1,解得{m =5,c =-2,∴m+c=5-2=3.答案：C5.圆C 1：x 2+y 2+2x+2y-2=0与C 2：x 2+y 2—4x-2y+1=0的公切线有且仅有( ） A.1条 B .2条 C .3条 D .4条解析:两圆的标准方程分别为(x+1）2+(y+1）2=4，（x-2)2+(y-1)2=4.∴|C 1C 2｜=√(2+1)2+(1+1)2=√13.∴|r 1—r 2|<｜C 1C 2｜〈r 1+r 2,即两圆相交, ∴两圆共有两条公切线.答案:B6.(2016河南洛阳八中段考试题）已知圆C 经过A (5，1)，B (1,3)两点,圆心C 在x 轴上，则圆C 的方程为( ) A .（x —2）2+y 2=50 B 。
2016-2017学年高中数学人教A版必修二 第四章 圆与方程 4-1 4-1-1
[小组合作型]
(1)(2016·咸阳高一检测)圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1,2)的圆
的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
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第八页，编辑于星期五：十六点 十四分。
(2)(2016·南昌高一检测)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点
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第二十四页，编辑于星期五：十六点 十四分。
【自主解答】 因为点 P(x，y)是圆 x2＋(y＋4)2＝4 上的任意一点，圆心 C(0， －4)，半径 r＝2，
因此 x＋12＋y＋12表示点 A(－1，－1)与该圆上点的距离． 因为|AC|2＝(－1)2＋(－1＋4)2＞4，所以点 A(－1，－1)在圆外．如图所示．
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2．圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1,2)的圆的方程是( ) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
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[再练一题] 2．求圆心在 x 轴上，且过点 A(5,2)和 B(3，－2)的圆的标准方程．
【解】 法一 设圆的方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
则b5＝－0a，2＋2－b2＝r2， 3－a2＋－2－b2＝r2，
高中数学必修二 第四章 圆的方程 全套PPT
O
轮船
这样，受台风影响的圆区域 所对应的圆心为O 的圆的方程为
港口
x2 y 2 9
轮船航线所在直线 l 的方程为
O
轮船
4 x 7 y 28 0
问题归结为圆心为O 的圆与直线 l 有无公共点．
想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？
平面几何中，直线与圆有三种位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点．
2 2
2
标准方程
特别地，若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x y r
2 2
2
圆的标准方程
已知圆的圆心为C(a,b),半径为r,求圆的方程. 解：设点M (x,y)为圆C上任一点， 圆上所有点的集合
y
M(x,y)
P = { M | |MC| = r }
( x a ) ( y b) r
3.求圆的一般方程的方法： ①待定系数法；②代入法.
小结：求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
设方程为 ( x a ) 2 ( y b) 2 r 2 (或x 2 y 2 Dx Ey F 0)
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
(5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 a2 2 2 2 (7 a ) (3 b) r b 3 (2 a) 2 (8 b) 2 r 2 r 5
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
2 2
待定系数法
例2 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）, 端点A在圆(x+1)2+y2=4 上运动，求线段AB的中点M 的轨迹方程.
2016秋人教A版高中数学必修2课件：第四章 圆与方程 4.3 4.3.2
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解:把图中的钠原子分成上、中、下三层,中层的钠原子全部在xOy平面上,因此其竖坐标全部是0,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为( ,0,0)、(1, ,0)、( ,1,0)、(0, ,0);上层的钠原子全部在与xOy平行的平面上,与轴交点的竖坐标是 ,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0, )、(0,1, )、(1,0, )、(1,1, )、( , , );下层的钠原子全部在与xOy平行的平面上,与轴交点的竖坐标是- ,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,- )、(1, 0,- )、(1,1,- )、(0,1,- )、( , ,- ).
解:把图中的钠原子分成上、中、下三层,下层的钠原子全部在xOy平面上,因此其竖坐标全部是0,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,0)、(1,0,0)、(1,1,0)、(0,1,0)、( , ,0);中层的钠原子全部在与xOy平行的平面上,与z轴交点的竖坐标是 ,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为( ,0, )、(1, , )、( ,1, )、(0, , );上层的钠原子全部在与xOy平行的平面上,与z轴交点的竖坐标是1,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,1)、(1,0,1)、(1,1,1)、(0,1,1)、( , ,1).
解:根据平面直角坐标系的点的对称方法结合中点坐标公式可知:
点P(x,y,z)关于坐标原点的对称点为P1(-x,-y,-z);
点P(x,y,z)关于横轴(x轴)的对称点为P2(x,-y,-z);
点P(x,y,z)关于纵轴(y轴)的对称点为P3(-x,y,-z);
点P(x,y,z)关于竖轴(z轴)的对称点为P4(-x,-y,z);
点评:建立坐标系是解题的关键,坐标系建立的不同,点的坐标也不同,但点的相对位置是不变的,坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同.因此解题时要慎重建立空间直角坐标系.
知能训练
课本本节练习1、2、3.
拓展提升
1.在空间直角坐标系中的点P(x,y,z)关于①坐标原点;②横轴(x轴);③纵轴(y轴);④竖轴(z轴);⑤xOy坐标平面;⑥yOz坐标平面;⑦zOx坐标平面的对称点的坐标是什么?
空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定,因此,常称我们生活的空间为“三度空间或三维空间”.事实上,我们的生活空间应该是四度空间,应加上时间变量t.即(x,y,z,t),它表示在时刻t所处的空间位置是(x,y,z).
应用示例
例1如图3,长方体OABC—D′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4,|OD′|=2,写出D′,C,A′,B′四点的坐标.
图2
反过来,一个有序数组x,y,z,我们在x轴上取坐标为x的点P,在y轴上取坐标为y的点Q,在z轴上取坐标为z的点R,然后通过P、Q与R分别作x轴、y轴和z轴的垂直平面.这三个垂直平面的交点M即为以有序数组x,y,z为坐标的点.数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.(如图2所示)
③在空间,我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系,即空间直角坐标系,空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来.
④观察图2,OABC—D′A′B′C′是单位正方体,我们类比平面直角坐标系的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系,以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长度,建立三条数轴Ox,Oy,Oz称为x轴、y轴和z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系O—xyz,其中O叫坐标原点,x轴、y轴和z轴叫坐标轴.如果我们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,我们又得到三个坐标平面xOy平面,yOz平面,zOx平面.
由此我们知道,确定空间直角坐标系必须有三个要素,即原点、坐标轴方向、单位长.
图1
图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定.用右手握住z轴,当右手的四个手指从x轴正向以90°的角度转向y轴的正向时,大拇指的指向就是z轴的正向.我们称这种坐标系为右手直角坐标系.如无特别说明,我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系.
图3
活动：学生阅读题目,对照刚学的知识,先思考,再讨论交流,教师适时指导,要写出点的坐标,首先要确定点的位置,再根据各自坐标的含义和特点写出.D′在z轴上,因此它的横纵坐标都为0,C在y轴上,因此它的横竖坐标都为0,A′为在zOx面上的点,y=0；B′不在坐标面上,三个坐标都要求.
解:D′在z轴上,而|OD′|=2,因此它的竖坐标为2,横纵坐标都为0,因此D′的坐标是(0,0,2).同理C的坐标为(0,4,0).A′在xOz平面上,纵坐标为0,A′的横坐标就是|OA|=3,A′的竖坐标就是|OD′|=2,所以A′的坐标就是(3,0,2).点B′在xOy平面上的射影是点B,因此它的横坐标x与纵坐标y同点B的横坐标x与纵坐标y相同,在xOy平面上,点B的横坐标x=3,纵坐标y=4;点B′在z轴上的射影是点D′,它的竖坐标与D′的竖坐标相同,点D′的竖坐标z=2,所以点B′的坐标是(3,4,2).
4.3.1空间直角坐标系
教学
目标
1.掌握空间直角坐标系的有关概念；会根据坐标找相应的点,会写一些简单几何体的有关坐标.通过空间直角坐标系的建立,使学生初步意识到：将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法；通过本节的学习,培养学生类比,迁移,化归的能力.
2.解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科,在教学过程中要让学生充分体会数形结合的思想,进行辩证唯物主义思想的教育和对立统一思想的教育；培养学生积极参与,大胆探索的精神.
其中正确叙述的个数为( )
A.3B.2C.1D.0
分析：①②③错,④对.
答案：C
课堂小结
1.空间直角坐标系的建立.
2.空间直角坐标系中点的坐标的确定.
3.空间直角坐标系中点的位置的确定.
4.中点公式：
P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1P2中点M的坐标为( , , ).
5.空间直角坐标系中点的对称点的坐标.
变式训练
在空间直角坐标系中的点P(a,b,c),有下列叙述:
①点P(a,b,c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a,-b,c);②点P(a,b,c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a,-b,-c);③点P(a,b,c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a,-b,c);④点P(a,b,c)关于坐标原点的对称点为P4(-a,-b,-c).
已知M为空间一点.过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,它们与x轴、y轴和z轴的交点分别为P、Q、R,这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x,y,z.于是空间的一点M就唯一确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y,z为点M的横坐标.纵坐标和竖坐标.坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).
作业
习题4.3 A组1、2
板书设计
4.3.1空间直角坐标系
空间直角坐标系的概念例1
空间中点的坐标例2
教学反思
通过复习相关内容,为新课的引入和讲解做好铺垫.设置问题,创设情境,引导学生用类比的方法探索新知.由于学生的空间观念还比较薄弱,教学中宜多采用教具演示,尽量使学生能够形象直观地掌握知识内容.本课时可自制空间直角坐标系模型演示,帮助学生理解空间直角坐标系的概念.
注意:在平面上画空间直角坐标系O—xyz时,一般使∠xOy=135°,∠xOy=90°.即用斜二测画法画立体图,这里显然要注意在y轴和z轴上的都取原来的长度,而在x轴上的长度取原来长度的一半.同学们往往把在x轴上的长度取原来的长度,这就不符和斜二测画法的约定,直观性差.
⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M就可以用坐标来表示了.
坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系.
注意：坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征.
如果点M在yOz平面上,则x=0；同样,zOx面上的点,y=0；xOy面上的点,z=0；如果点M在x轴上,则y=z=0；如果点M在y轴上,则x=z=0；如果点M在z轴上,则x=y=0；如果是原点,则x=y=z=0.
④观察图1,体会空间直角坐标系该如何建立.
⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M如何用坐标表示呢？
讨论结果：①在初中,我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线.决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度.这是数轴的三要素.数轴上的点可用与这个点对应的实数x来表示.
②在初中,我们学过平面直角坐标系,平面直角坐标系是以一点为原点O,过原点O分别作两条互相垂直的数轴Ox和Oy,xOy称平面直角坐标系,平面直角坐标系具有以下特征：两条数轴：①互相垂直;②原点重合;③通常取向右、向上为正方向;④单位长度一般取相同的.平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵坐标表示,括号里横坐标写在纵坐标的前面,它们是一对有序实数(x,y).
推进新课
新知探究
提出问题
①在初中,我们学过数轴,那么什么是数轴?决定数轴的因素有哪些?数轴上的点怎样表示?
②在初中,我们学过平面直角坐标系,那么如何建立平面直角坐标系?决定平面直角坐标系的因素有哪些?平面直角坐标系上的点怎样表示?
③在空间,我们是否可以建立一个坐标系,使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？
教学重、
难点
教学重点：在空间直角坐标系中确定点的坐标.
教学难点：通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标,以及相关应用.
教学
准备
多媒体课件
教学过程
导入新课
我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数x表示,建立了平面直角坐标系后,平面上任意一点M都可用对应一对有序实数(x,y)表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时,空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x,y,z)表示出来呢？为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间直角坐标系.