2019届高考数学专题十三三视图与体积表面积精准培优专练理201811081150
2019年高考数学(理科)二轮专题复习课件：第二部分 空间几何体的三视图、表面积及体积(共44张PPT)
1 故几何体的体积 V＝2 － ×2×2×1＝6. 2
3
1 2 (2)在 Rt△SAB 中，SA＝SB，S△SAB＝ · SA ＝8， 2 解得 SA＝4. 设圆锥的底面圆心为 O，底面半径为 r，高为 h， 在 Rt△SAO 中，∠SAO＝30° ， 所以 r＝2 3，h＝2， 1 2 1 所以圆锥的体积为 πr · h＝ π×(2 3)2×2＝8π. 3 3 答案：(1)A (2)8π
则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径 的长度为( A． 2 17 ) B． 2 5 C． 3 D． 2
解析：(1)因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方 形， 所以该四棱锥为正四棱锥，如图，
由题意知底面正方形的边长为 2， 正四棱锥的高为 2， 则正四棱锥的斜高 PE＝ 22＋12＝ 5. 1 所以该四棱锥的侧面积 S＝4× ×2× 5＝4 5. 2 (2)由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱， 该圆柱的高为 2，底面周长为 16.
本讲高考命题主要考查的内容：(1)三视图的识别和 简单应用；(2)空间几何体的表面积和体积的计算．前者 主要题型是选择题、填空题；后者各类题型均可能出现， 在解答题，与空间线、面位置关系证明相结合，面积、 体积的计算作为其中的一问，难度中等．
热点 1 空间几何体的三视图与直观图 1．几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要 注意长对正，高平齐，宽相等． 2． 由三视图还原几何体： 一般先从俯视图确定底面， 再利用正视图与侧视图确定几何体．
专题四
立体几何
第 1 讲 空间几何体的三视图、 表 面积及体积
2019高考数学二轮复习专题三立体几何第1讲空间几何体的三视图表面积和体积练习
哈哈哈哈哈哈哈哈你好第 1 讲空间几何体的三视图、表面积和体积高考定位 1. 三视图的辨别和简单应用； 2. 简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式表现，在解答题中，有时与空间线、面地点证明相联合，面积与体积的计算作为此中的一问 .真题感悟1.(2018 ·全国Ⅲ卷) 中国古建筑借助榫卯将木构件连结起来. 构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头. 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图能够是()分析由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，联合榫头的地点知选 A.答案 A2.(2018 ·全国Ⅰ卷 ) 已知圆柱的上、下底面的中心分别为O，O，过直线 OO 的平面截该圆1 2 1 2柱所得的截面是面积为8 的正方形，则该圆柱的表面积为( )A.12 2 πB.12 πC.8 2πD.10 π分析由于过直线 1 2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8 的正方形，所以圆柱的高为OO2 2，底面圆的直径为 2 2. 所以S表面积＝2× π×( 2) 2＋2π ×2×2 2＝ 12π .答案 B3.(2018 ·天津卷 ) 已知正方体ABCD－ A1B1C1D1的棱长为1，除面 ABCD外，该正方体其他各面的中心分别为点E， F， G， H， M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________.分析连结 AD1， CD1，B1A，B1C， AC，由于 E，H分别为 AD1，CD1的中点，1 1所以 EH∥ AC， EH＝2AC.由于 F， G分别为 B1A，B1C 的中点，所以FG∥AC， FG＝2AC.所以 EH哈哈哈哈哈哈哈哈你好2正方形 . 又点 M 到平面 EHGF 的距离为1 M － EFGH 的体积为1×2 11，所以四棱锥 3× ＝ .22 2 12 答案1124.(2017 ·全国Ⅰ卷 ) 已知三棱锥 S － ABC 的全部极点都在球 O 的球面上， SC 是球 O 的直径 .若平面⊥平面， ＝ ， ＝ ，三棱锥 － 的体积为 9，则球O 的表面积为SCA SCB SA AC SB BC S ABC________.分析 如图，连结 OA ， OB ，由于 SA ＝AC ， SB ＝BC ， SC 为球 O 的直径，所以 OA ⊥ SC ， OB ⊥ SC .由于平面 SAC ⊥平面 SBC ，平面 SAC ∩平面 SBC ＝SC ，且 OA ? 平面 SAC ，所以 OA ⊥平面 SBC .设球的半径为 r ，则 OA ＝ OB ＝r ， SC ＝2r ， 所以A －SBC ＝1× △SBC ×＝1× 1×2 × ×＝1 3，V3SOA 3 2r rr3r1 32所以 3r ＝ 9? r ＝ 3，所以球的表面积为 4π r ＝ 36π .答案 36π考点整合1. 空间几何体的三视图(1) 几何体的摆放地点不一样，其三视图也不一样，需要注意长对正、高平齐、宽相等 .(2) 由三视图复原几何体：一般先从俯视图确立底面，再利用正视图与侧视图确立几何体.2. 空间几何体的两组常用公式(1) 柱体、锥体、台体的表面积公式：①圆柱的表面积 S ＝2π r ( r ＋l ) ；②圆锥的表面积 S ＝π r ( r ＋ l ) ；③圆台的表面积 S ＝π ( r ′ 2＋ r 2＋r ′ l ＋ rl ) ；④球的表面积 S ＝ 4π R 2.(2) 柱体、锥体和球的体积公式：①V 柱体 ＝Sh ( S 为底面面积， h 为高 ) ；1②V 锥体 ＝3Sh ( S 为底面面积， h 为高 ) ；43哈哈哈哈哈哈哈哈你好热门一空间几何体的三视图与直观图【例 1】 (1)(2018 ·兰州模拟) 中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”. 已知某“堑堵”的正视图和俯视图如下图，则该“堑堵”的侧视图的面积为()A.18 6B.18 3C.18227 2D.2(2)(2018 ·全国Ⅰ卷 ) 某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图. 圆柱表面上的点在正视图上的对应点为 ，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为，MAB则在此圆柱侧面上，从到 N 的路径中，最短路径的长度为 ()MA.2 17B.2 5C.3D.2分析(1) 在俯视图 Rt △中，作⊥ 交于.ABC AH BC H由三视图的意义，则 BH ＝ 6，HC ＝ 3，2依据射影定理， AH ＝ BH · HC ，∴ AH ＝ 32.易知该“堑堵”的侧视图是矩形，长为6，宽为＝ 3 2. 故侧视图的面积＝6×3 2＝AHS18 2.(2) 由三视图可知， 该几何体为如图①所示的圆柱， 该圆柱的高为 2，底面周长为 16. 画出该圆柱的侧面睁开图，如图②所示，连结MN ，则 MS ＝ 2，SN ＝ 4. 则从 M 到 N 的路径中，最短路 径的长度为 22225.MS ＋ SN ＝ 2 ＋ 4 ＝ 2答案(1)C (2)B研究提升1. 由直观图确立三视图，一要依据三视图的含义及画法和摆放规则确认. 二要熟悉常有几何体的三视图.(1) 依据俯视图确立几何体的底面.(2)依据正视图或侧视图确立几何体的侧棱与侧面的特点，调整实线和虚线所对应的棱、面的地点 .(3)确立几何体的直观图形状 .【训练 1】 (1) 如图，在底面边长为1，高为 2 的正四棱柱ABCD－ A1B1C1D1中，点 P 是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥 P－ BCD的正视图与侧视图的面积之和为()A.1B.2C.3D.4(2)(2017 ·北京卷 ) 某四棱锥的三视图如下图，则该四棱锥的最长棱的长度为()A.3 2B.2 3C.2 2D.2分析(1) 设点P在平面A1ADD1的射影为P′，在平面 C1CDD1的射影为P″，如下图.∴三棱锥 P－ BCD的正视图与侧视图分别为△P′AD与△ P″ CD，所以所求面积S＝ S△P′AD＋S△P″CD1 1＝×1×2＋×1×2＝ 2.2 2(2)依据三视图可得该四棱锥的直观图( 四棱锥P－ABCD)如下图，将该四棱锥放入棱长为 2 的正方体中 . 由图可知该四棱锥的最长棱为PD，22 2PD＝2＋2＋2＝2 3.考法 1空间几何体的表面积【例 2－ 1】 (1)(2017 ·全国Ⅰ卷) 某多面体的三视图如下图，此中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形构成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A.10B.12C.14D.16(2)(2018 ·西安模拟) 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A.20 πB.24 πC.28 πD.32 π分析(1) 由三视图可画出直观图，该直观图各面内只有两个同样的梯形1的面， S 梯＝×(2＋4)×2＝6， S 全梯＝6×2＝12.(2)由三视图知，该几何体由一圆锥和一个圆柱构成的组合体，∵S 圆锥侧＝π ×3×2 2 23 ＋ 4＝15π，S圆柱侧＝2π ×1×2＝ 4π，S圆锥底＝π×3＝9π .故几何体的表面积S＝15π＋4π＋9π＝28π.答案(1)B(2)C研究提升 1. 由几何体的三视图求其表面积：(1) 重点是剖析三视图确立几何体中各元素之间的地点关系及胸怀大小；(2) 复原几何体的直观图，套用相应的面积公式.2.(1) 多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意连接部分的办理. (2) 旋转体的表面积问题注意其侧面睁开图的应用.【训练 2】 (1)( 2016·全国Ⅰ卷) 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径. 若该几何体的体积是28π，则它的表面积是()3哈哈哈哈哈哈哈哈你好A.17 πB.18 πC.20 πD.28 π(2)(2018 ·烟台二模 ) 某几何体的三视图如下图，此中俯视图右边曲线为半圆弧，则几何 体的表面积为 ()A.3 π ＋ 4 2－ 2B.3 π ＋ 2 2－ 2 3π3πC. 2 ＋ 2 2－ 2D.2＋22＋ 2分析(1) 由题知， 该几何体的直观图如下图， 它是一个球 ( 被过球心 O1且相互垂直的三个平面) 切掉左上角的 8后获得的组合体，其表面积是球7172面面积的 8和三个 4圆面积之和，易得球的半径为 2，则得 S ＝ 8×4π ×21 2 ＋3× 4π ×2＝ 17π .(2) 由三视图，该几何体是一个半圆柱挖去向来三棱柱，由对称性，几何体的底面面积S 底22) 2＝ π －2. ＝π ×1－ (∴几何体表面积 S ＝2(2 ×12) ＋ 2(2 π×1×2) ＋ S底＝ 4 2＋2π ＋ π －2＝ 3π ＋4 2－ 2.答案(1)A (2)A考法 2空间几何体的体积【例 2－ 2】 (1)(2018 ·河北衡水中学调研) 某几何体的三视图如下图，则该几何体的体哈哈哈哈哈哈哈哈你好积为()22 20 A.6B.4C. 3D. 3(2) 由一个长方体和两个 1________.4圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为分析 (1) 由三视图知该几何体是边长为 2 的正方体挖去一个三棱柱 ( 如图) ，且挖去的三棱柱的高为1，底面是等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边长为 2. 故几何体体积 V ＝ 312 －2×2×2×1＝ 6.1(2) 该几何体由一个长、宽、高分别为 2，1，1 的长方体和两个底面半径为1，高为 1 的 4圆柱体构成 .12π所以 V ＝2×1×1＋2× 4× π ×1×1＝ 2＋ 2 .答案 (1)A(2)2 ＋π2研究提升 1. 求三棱锥的体积： 等体积转变是常用的方法，变换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.2. 求不规则几何体的体积： 常用切割或补形的思想， 将不规则几何体转变成规则几何体以易于求解 .【训练 3】 (1)(2018 ·江苏卷 ) 如下图，正方体的棱长为2，以其全部面的中心为极点的多面体的体积为 ________.哈哈哈哈哈哈哈哈你好(2)(2018 ·北京燕博园质检 ) 某几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为 ( )1616A.8 π － 3B.4 π － 38 C.8 π － 4D.4 π ＋ 3分析 (1) 正方体的棱长为2，以其全部面的中心为极点的多面体是正八面体，此中正八面124体的全部棱长都是 2. 则该正八面体的体积为3×( 2)×1×2＝ 3.(2) 该图形为一个半圆柱中间挖去一个四周体，∴体积 ＝ 1 21 12π ×2 ×4－× ×2×4×4＝ 8πV3216－ 3 .4答案 (1) 3 (2)A热门三多面体与球的切、接问题【例 3】 (2016 ·全国Ⅲ卷) 在关闭的直三棱柱 ABC － A 1B 1C 1 内有一个体积为 V 的球 . 若 AB ⊥BC ， AB ＝ 6， BC ＝ 8，AA 1＝ 3，则 V 的最大值是 ( )9π32πA.4 πB.2C.6 πD. 3分析由 AB ⊥ BC ， AB ＝ 6， BC ＝8，得 AC ＝ 10.要使球的体积 V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r .1 1 则 ×6×8＝×(6 ＋ 8＋10) · r ，所以 r ＝2.222r ＝ 4＞ 3，不合题意 .球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R 最大 .由 2 ＝3，即 ＝ 3. 故球的最大概积＝43＝ 9RRVπ R π .232 答案 B【迁徙研究 1】 若本例中的条件变成“直三棱柱ABC －A B C 的 6 个极点都在球 O 的球面1 1 1上”，若 AB ＝ 3， AC ＝ 4， AB ⊥AC ， AA 1＝ 12，求球 O 的表面积 .解将直三棱柱补形为长方体ABEC － A 1B 1E 1C 1，则球 O 是长方体 ABEC － A 1B 1E 1C 1 的外接球 .∴体对角线 BC 1 的长为球 O 的直径 .所以 2R ＝ 32＋ 42＋ 122 ＝13.故 S 球＝ 4π R 2＝ 169π .【迁徙研究 2】 若将题目的条件变成“如下图是一个几何体的三视图”试求该几何体外接球的体积 .解该几何体为四棱锥，如下图，设正方形 ABCD 的中心为 O ，连结 OP .由三视图， PH ＝ OH ＝1，2 2则 OP ＝ OH ＋ PH ＝ 2.又 OB ＝ OC ＝ OD ＝ OA ＝ 2.∴点 O 为几何体外接球的球心，4 382则 R ＝ 2， V 球 ＝ π R ＝3 π .3研究提升1. 与球相关的组合体问题，一种是内切，一种是外接 . 球与旋转体的组合往常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合， 经过多面体的一条侧棱和球心， 或“切点”、 “接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2. 若球面上四点 P ，A ，B ，C 中 PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可结构长方体或正方体确立直径解决外接问题.【训练 4】 (2018 ·广州三模 ) 三棱锥 P － ABC 中，平面PAC ⊥平面 ABC ， AB ⊥ AC ， PA ＝ PC ＝A.23 π23 64B.π C.64 π D. 3π4分析如图，设O′为正△ PAC的中心， D 为Rt△ ABC斜边的中点， H 为AC 中点.由平面PAC⊥平面ABC.则 O′H⊥平面 ABC.作 O′ O∥HD， OD∥2 2 3O′ H，则交点 O为三棱锥外接球的球心，连结OP，又 O′P＝3PH＝3×22 3 1 2 2 2 2 4 16×2＝3，OO′＝DH＝2AB＝ 2. ∴R＝OP＝O′P＋O′O＝3＋ 4＝3 .264故几何体外接球的表面积S＝4π R ＝3π.答案 D1.求解几何体的表面积或体积(1) 关于规则几何体，可直接利用公式计算.(2)关于不规则几何体，可采纳割补法求解；关于某些三棱锥，有时可采纳等体积变换法求解.(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用 .(4)求解几何体的表面积时要注意S 表＝ S 侧＋ S底.2. 球的简单组合体中几何体胸怀之间的关系，如棱长为 a 的正方体的外接球、内切球、棱切3 a 2球的半径分别为，，.2 a2 2 a1 13.锥体体积公式为 V＝3Sh，在求解锥体体积中，不可以遗漏3.一、选择题1.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中结构的一个和睦优美的几何体 . 它由完整同样的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，恰似两个扣合( 牟合 ) 在一同的方形伞 ( 方盖 ). 其直观图如图，图中四边形是为表现其直观性所作的协助线. 当其正视图和侧视图完整同样时，它的俯视图可能是()分析由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线，在俯视图中应为实线，所以，选项 B 能够是几何体的俯视图.答案 B2.(2018 ·北京卷 ) 某四棱锥的三视图如下图，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4分析在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P－ABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，是△PAD，△PCD，△ PAB.答案 C3.(2018 ·湖南师大附中联考) 某几何体的三视图如下图，则该几何体的表面积为()A.8( π＋ 4)B.8( π＋ 8)C.16( π＋ 4)D.16( π＋ 8)分析由三视图复原原几何体如右图：该几何体为两个空心半圆柱相切，半圆柱的半径为 2，母线长为 4，左右为边长是 4 的正方形 . ∴该几何体的表面积为2×4×4＋ 2π ×2×4＋2(4 ×4 2答案B4.(2017 ·全国Ⅲ卷 ) 已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )3ππ πA. πB.4C. 2D. 4分析如图画出圆柱的轴截面ABCD ， O 为球心 . 球半径 R ＝ OA ＝ 1，球心1究竟面圆的距离为 OM ＝ 2.∴底面圆半径r ＝2－2＝ 3 ，故圆柱体积 ＝ π · 2· ＝ π· 3OAOM 2V r h 223π×1＝4.答案B5.(2018 ·北京燕博园押题 ) 某几何体的三视图如下图，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为 ()4π 5π 7π 11π A. 3B. 3C. 6D. 6112分析 由三视图可知， 该几何体是由半个圆柱与 8个球构成的组合体， 其体积为 2× π ×1×31 4π 35π＋ ×3 ×1＝.8 3答案B6.(2018 ·全国Ⅲ卷 ) 设 A ， B ， C ， D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，△ ABC 为等边三哈哈哈哈哈哈哈哈你好角形且其面积为 9 3，则三棱锥 D － ABC 体积的最大值为 ()A.123B.183C.243D.5431 2分析 设等边△ ABC 的边长为 x ，则 2x sin 60°＝ 9 3，得 x ＝ 6. 设△ ABC 的外接圆半径为 r ， 则 2 ＝ 6 ，解得 r ＝ 2 3，所以球心到△所在平面的距离 ＝ 42－（ 2 3） 2＝ 2，r sin 60 °ABC d则点 D 到平面 ABC 的最大距离 d ＝ d ＋ 4＝6. 所以三棱锥1－ 体积的最大值max ＝ 1△ ABC ×6＝ 1 ×9 3×6＝ 18 3.D ABCV3S3答案 B二、填空题7.(2018 ·浙江卷改编 ) 某几何体的三视图如下图( 单位： cm)，则该几何体的体积( 单位：3cm ) 为 ________.分析 由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积 V＝ 1×(1 ＋2) ×2×2＝ 6. 2答案68.(2018 ·郑州质检 ) 已知长方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1 内接于球 O ，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，E 为 AA 1 的中点， OA ⊥平面 BDE ，则球 O 的表面积为 ________. 分析 取 BD 的中点为 O 1，连结 OO 1， OE ， O 1E ， O 1A ，则四边形 OO 1AE 为矩形，∵ OA ⊥平面 BDE ，∴ OA ⊥ EO 1，即四边形 OO 1AE 为正方形，则球O 的2半径 R ＝ OA ＝ 2，∴球 O 的表面积 S ＝ 4π ×2＝ 16π.答案16π9.(2018 ·武汉模拟 ) 某几何体的三视图如下图，此中正视图的轮廓是底边为23，高为 1的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，侧视图是个半圆 . 则该几何体的体积为 ________.哈哈哈哈哈哈哈哈你好分析 由三视图知，几何体是由两个大小同样的半圆锥的组合体 .此中 r ＝ 1，高 h ＝ 3.故几何体的体积＝ 12× 3＝3V 3π ×13 π .3答案3 π三、解答题10. 在三棱柱 ABC － A 1B 1C 1 中，侧面 AA 1C 1C ⊥底面 ABC ，AA 1＝ A 1C＝AC ＝ AB ＝BC ＝ 2，且点 O 为 AC 中点 .(1) 证明： A 1O ⊥平面 ABC ；(2) 求三棱锥 C 1－ ABC 的体积 .(1) 证明 由于 AA 1＝ A 1C ，且 O 为 AC 的中点，所以 A 1O ⊥ AC ，又面 AA 1C 1C ⊥平面 ABC ，平面 AA 1C 1C ∩平面 ABC ＝ AC ，且 A 1O ? 平面AA 1C 1C ，∴A 1O ⊥平面 ABC .(2) 解 ∵ A 1C 1∥AC ， A 1C 1?平面 ABC ， AC ? 平面 ABC ，∴A 1C 1∥平面 ABC ，即 C 1 到平面 ABC 的距离等于 A 1 到平面 ABC 的距离 .由(1) 知 AO ⊥平面 ABC 且 A O ＝22AA － AO ＝ 3，11111 1∴VC － ABC ＝VA － ABC ＝3S · A O ＝ 3×2×2× 3× 3＝ 1.11△ABC111.(2018 ·长春模拟 ) 如图，在四棱锥 P － ABCD 中，平面 PAB ⊥平面 ABCD ， ＝ ， ∥ ， ＝ ， ＝ 1＝1， ＝ 3，∠＝120°， M 为PA PB AD BC AB AC AD 2BCPD BADPC 的中点 .(1) 证明： DM ∥平面 PAB ；(2) 求四周体 MABD 的体积 .(1) 证明 取 PB 中点 N ，连结 MN ， AN .1∵M 为 PC 的中点，∴ MN ∥ BC 且 MN ＝ 2BC ，哈哈哈哈哈哈哈哈你好1又 AD∥ BC，且 AD＝2BC，得 MN綉 AD.∴ADMN为平行四边形，∴DM∥AN.又 AN?平面 PAB， DM?平面 PAB，∴ DM∥平面 PAB.(2) 解取AB中点O，连结PO，∵ PA＝PB，∴ PO⊥ AB，又∵平面 PAB⊥平面 ABCD，平面 PAB∩平面 ABCD＝ AB， PO?平面 PAB，则 PO⊥平面 ABCD，取 BC中点 H，连结 AH，∵AB＝ AC，∴ AH⊥ BC，又∵ AD∥BC，∠ BAD＝120°，1∴∠ ABC＝60°，Rt△ ABH中， BH＝2BC＝1， AB＝2，∴AO＝1，又 AD＝1，△AOD中，由余弦定理知，OD＝ 3.Rt△POD中，PO ＝2 2PD－ OD＝ 6.1 3 又 S△ABD＝2AB· AD sin 120°＝2，∴V1 12 －＝· △·＝ .M ABD ABD。
高考专题13 三视图与体积表面积精准培优专练
培优点十三 三视图与体积、表面积1．由三视图求面积例1：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________．【答案】33π【解析】由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥组成， 其表面积为半球面积和圆锥侧面积的和．球的半径为3， ∴半球的面积21143182S =⋅π⋅=π，圆锥的底面半径为3，母线长为5， ∴圆锥的侧面积为23515S rl =π=π⋅⋅=π，∴表面积为1233S S S =+=π．2．由三视图求体积例2：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．4B ．22C ．42D ．8【答案】D【解析】由于长方体被平面所截，∴很难直接求出几何体的体积，可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体，从而拼成了一个长方体，∵长方体由两个完全一样的几何体拼成，∴所求体积为长方体体积的一半。
从图上可得长方体的底面为正方形， 且边长为2，长方体的高为314+=，∴22416V =⋅=长方体，∴182V V ==长方体，故选D ．一、单选题1．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则俯视图中圆的半径为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，设圆半径为r ， ∴该几何体的表面积2222242216S r r r r r r =⨯⋅+⨯⋅-π⋅+π⋅=+π，得1r =，故选A ． 2．正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点（如图）用过点1B E D 、、的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）对点增分集训A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意可知：过点B 、E 、1D 的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图， 则几何体的左视图为D ，故选D ．3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．236B ．72C ．76D ．4【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体是如图所示的三棱柱11ABB DCC -挖去一个三棱锥E FCG -，故所求几何体的体积为()111232221112326⎛⎫⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选A ．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．()251++πB ．5212⎛⎫++π ⎪ ⎪⎝⎭C ．51222⎛⎫++π ⎪ ⎪⎝⎭D ．5122⎛⎫+π ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为1r =， 圆锥的高2h =，其母线长22125l =+=，则该几何体的表面积为：21115111522222222S ⎛⎫=⨯π⨯+⨯π⨯⨯+⨯⨯=++π ⎪ ⎪⎝⎭，本题选择C 选项． 5．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥．．．．．．的外接球的表面积等于（ ）A ．34πB ．32πC ．17πD ．172π 【答案】A【解析】由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形， 高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示，截去的是一个三棱锥，底面是边长为3，4，5的直角三角形，高为3的棱锥， 如图蓝色线条的图像是该棱锥，三棱锥上底面外接圆半径52圆心设为M 半径为r ，球心到底面距离为32，设球心为O ， 由勾股定理得到2222253342224h R r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2434S R =π=π，故选A ．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．16πC ．36πD ．72π【答案】C【解析】还原几何体如图所示三棱锥由1B BCD -（如下左图），将此三棱锥补形为直三棱柱111B C D BCD -（如上右图），在直三棱柱111B C D BCD -中取1BC B C 、的中点12O O 、，取12O O 中点O ，()()()22222523R O A OO =+=+=，2244336S R =π=⨯=π表，故答案为C ．7．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．642+B ．842+C ．643+D ．843+【答案】B【解析】根据三视图，画出原空间结构图如下图所示：∴表面积为111111111111DA D DA B DB C DC D A B C D S S S S S S =++++11112222222222228422222=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=+，∴故选B ． 8．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A ．174π B ．214π C ．4π D ．5π【答案】B【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体1111ABCD A B C D -的四个顶点，即为三棱锥11A CB D -，且长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为2，a ，b ，∴此三棱锥的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，且球半径为222222422a b a b R ++++==， ∴三棱锥外接球表面积为()()222222421445124a b a b a ⎛⎫++ππ=π++=π-+⎪ ⎪⎝⎭， ∴当且仅当1a =，12b =时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为214π．故选B ． 9．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA AB =，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．12 B ．13C ．14 D ．15【答案】B【解析】由三视图知，剩余部分的几何体是四棱锥P ABCD -被平面QBD 截去三棱锥Q BCD -（Q 为PC 中点）后的部分，连接AC 交BD 于O ，连楼OQ ，则OQ PA ∥，且12OQ PA =，设PA AB a ==，则313P ABCD V a -=，23111132212Q BCD V a a a -=⨯⨯=， 剩余部分的体积为：3311312a a -，则所求的体积比值为：3331112113312aa a =-．本题选择B 选项．10．如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A ．15B ．16C ．503D ．533【答案】C【解析】由题得几何体原图是下图中的四棱锥A BCDE -，底面四边形BCDE 的面积为114442221022⨯-⨯⨯-⨯⨯=，∴四棱锥的体积为15010533⨯⨯=，故答案为C ．11．某几何体的三视图如图（虚线刻画的小正方形边长为1）所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．94B ．823C ．12D ．83【答案】D【解析】几何体为如图多面体PABCDE ，∴体积为()11118221222132323D PABE A BCD V V --+=⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯=，故选D ．12．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．203B ．7C ．223D ．233【答案】B【解析】如图所示，该几何体为正方体去掉两个倒置的三棱锥，∴该多面体的体积为32111121212273232V =-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=；故选B ．二、填空题13．网格纸上小正方形的边长为1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为__________．【答案】12【解析】根据三视图知长方体挖去部分是一个底面为等腰梯形（上底为2，下底为4，高为2）高为2的直四棱柱，∴()12422122V Sh ==+⨯⨯=． 14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为_______与_______．【答案】404+π，4163π+ 【解析】由三视图可知，其对应的几何体是一个组合体，上半部分是一个直径为2的球，下半部分是一个直棱柱，棱柱的底面是边长为2的正方形，高为4，则该几何体的表面积224122424404S =π⨯+⨯+⨯⨯=+π， 几何体的体积：32441241633V =π⨯+⨯=+π． 15．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_________．【答案】1【解析】根据题中所给的三视图，还原几何体，可知其为有一条侧棱垂直于底面的一个四棱锥，该四棱锥的底面就是其俯视图中的直角梯形，根据图中所给的数据，结合椎体的体积公式， 可得其体积11212132V +=⨯⨯⨯=，故答案是1． 16．已知某几何体的三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的体积为__________．【答案】23【解析】由三视图知，该几何体由正方体沿面11AB D 与面11CB D 截去两个角所得，其体积为33112121233-⨯⨯⨯=，故答案为23．。
2019届高考数学专题十三三视图与体积、表面积精准培优专练理
培优点十三 三视图与体积、表面积1．由三视图求面积例1：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________．【答案】33π【解析】由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥组成， 其表面积为半球面积和圆锥侧面积的和．球的半径为3， ∴半球的面积21143182S =⋅π⋅=π，圆锥的底面半径为3，母线长为5， ∴圆锥的侧面积为23515S rl =π=π⋅⋅=π，∴表面积为1233S S S =+=π．2．由三视图求体积例2：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．4B ．C ．D ．8【答案】D【解析】由于长方体被平面所截，∴很难直接求出几何体的体积，可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体，从而拼成了一个长方体，∵长方体由两个完全一样的几何体拼成，∴所求体积为长方体体积的一半。
从图上可得长方体的底面为正方形， 且边长为2，长方体的高为314+=，∴22416V =⋅=长方体，∴182V V ==长方体，故选D ．一、单选题1．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则俯视图中圆的半径为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，设圆半径为r ， ∴该几何体的表面积2222242216S r r r r r r =⨯⋅+⨯⋅-π⋅+π⋅=+π，得1r =，故选A ． 2．正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点（如图）用过点1B E D 、、的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）对点增分集训A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意可知：过点B 、E 、1D 的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图， 则几何体的左视图为D ，故选D ．3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．236B ．72C ．76D ．4【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体是如图所示的三棱柱11ABB DCC -挖去一个三棱锥E FCG -，故所求几何体的体积为()111232221112326⎛⎫⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选A ．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．)21+πB ．21⎫++π⎪⎪⎝⎭C ．122⎫++π⎪⎪⎝⎭D ．12⎫+π⎪⎪⎝⎭【答案】C【解析】由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为1r =，圆锥的高2h =，其母线长l =21111112222222S ⎫=⨯π⨯+⨯π⨯⨯⨯=+π⎪⎪⎝⎭，本题选择C 选项． 5．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥．．．．．．的外接球的表面积等于（ ）A ．34πB ．32πC ．17πD ．172π 【答案】A【解析】由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形， 高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示，截去的是一个三棱锥，底面是边长为3，4，5的直角三角形，高为3的棱锥， 如图蓝色线条的图像是该棱锥，三棱锥上底面外接圆半径52圆心设为M 半径为r ，球心到底面距离为32，设球心为O ， 由勾股定理得到2222253342224h R r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2434S R =π=π，故选A ．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．16πC ．36πD ．72π【答案】C【解析】还原几何体如图所示三棱锥由1B BCD -（如下左图），将此三棱锥补形为直三棱柱111B C D BCD -（如上右图），在直三棱柱111B C D BCD -中取1BC B C 、的中点12O O 、，取12O O 中点O ，3R ===，2244336S R =π=⨯=π表，故答案为C ．7．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．6+B ．8+C ．6+D ．8+【答案】B【解析】根据三视图，画出原空间结构图如下图所示：∴表面积为111111111111DA D DA B DB C DC D A B C D S S S S S S =++++11112222222282222=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=+，∴故选B ． 8．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A ．174π B ．214π C ．4π D ．5π【答案】B【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体1111ABCD A B C D -的四个顶点，即为三棱锥11A CB D -，且长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为2，a ，b ，∴此三棱锥的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，且球半径为R ==，∴三棱锥外接球表面积为()()22222144514a b a ππ=π++=π-+⎝⎭， ∴当且仅当1a =，12b =时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为214π．故选B ． 9．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA AB =，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．12 B ．13C ．14 D ．15【答案】B【解析】由三视图知，剩余部分的几何体是四棱锥P ABCD -被平面QBD 截去三棱锥Q BCD -（Q 为PC 中点）后的部分，连接AC 交BD 于O ，连楼OQ ，则OQ PA ∥，且12OQ PA =，设PA AB a ==，则313P ABCD V a -=，23111132212Q BCD V a a a -=⨯⨯=， 剩余部分的体积为：3311312a a -，则所求的体积比值为：3331112113312aa a =-．本题选择B 选项．10．如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A ．15B ．16C ．503D ．533【答案】C【解析】由题得几何体原图是下图中的四棱锥A BCDE -，底面四边形BCDE 的面积为114442221022⨯-⨯⨯-⨯⨯=，∴四棱锥的体积为15010533⨯⨯=，故答案为C ．11．某几何体的三视图如图（虚线刻画的小正方形边长为1）所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．94B C ．12D ．83【答案】D【解析】几何体为如图多面体PABCDE ，∴体积为()11118221222132323D PABE A BCD V V --+=⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯=，故选D ．12．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．203B ．7C ．223D ．233【答案】B【解析】如图所示，该几何体为正方体去掉两个倒置的三棱锥，∴该多面体的体积为32111121212273232V =-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=；故选B ．二、填空题13．网格纸上小正方形的边长为1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为__________．【答案】12【解析】根据三视图知长方体挖去部分是一个底面为等腰梯形（上底为2，下底为4，高为2）高为2的直四棱柱，∴()12422122V Sh ==+⨯⨯=． 14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为_______与_______．【答案】404+π，4163π+ 【解析】由三视图可知，其对应的几何体是一个组合体，上半部分是一个直径为2的球，下半部分是一个直棱柱，棱柱的底面是边长为2的正方形，高为4，则该几何体的表面积224122424404S =π⨯+⨯+⨯⨯=+π， 几何体的体积：32441241633V =π⨯+⨯=+π． 15．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_________．【答案】1【解析】根据题中所给的三视图，还原几何体，可知其为有一条侧棱垂直于底面的一个四棱锥，该四棱锥的底面就是其俯视图中的直角梯形，根据图中所给的数据，结合椎体的体积公式， 可得其体积11212132V +=⨯⨯⨯=，故答案是1． 16．已知某几何体的三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的体积为__________．【解析】由三视图知，该几何体由正方体沿面11AB D 与面11CB D 截去两个角所得，。
2019高考数学二轮复习专题三立体几何第1讲空间几何体的三视图、表面积和体积练习
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……第1讲 空间几何体的三视图、表面积和体积高考定位 1.三视图的识别和简单应用；2.简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅲ卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )解析 由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A. 答案 A2.(2018·全国Ⅰ卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A.122πB.12πC.82πD.10π解析 因为过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为2 2.所以S 表面积＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π. 答案 B3.(2018·天津卷)已知正方体ABCD －A1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M －EFGH 的体积为________.解析 连接AD 1，CD 1，B 1A ，B 1C ，AC ，因为E ，H 分别为AD 1，CD 1的中点，所以EH ∥AC ，EH ＝12AC .因为F ，G 分别为B 1A ，B 1C 的中点，所以FG ∥AC ，FG ＝12AC .所以EH∥FG ，EH ＝FG ，所以四边形EHGF 为平行四边形，又EG ＝HF ，EH ＝HG ，所以四边形EHGF 为正方形.又点M 到平面EHGF 的距离为12，所以四棱锥M －EFGH 的体积为13×⎝ ⎛⎭⎪⎫222×12＝112.答案1124.(2017·全国Ⅰ卷)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S －ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________.解析 如图，连接OA ，OB ，因为SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，所以OA ⊥SC ，OB ⊥SC .因为平面SAC ⊥平面SBC ，平面SAC ∩平面SBC ＝SC ，且OA ⊂平面SAC ，所以OA ⊥平面SBC .设球的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ， 所以V A －SBC ＝13×S △SBC ×OA ＝13×12×2r ×r ×r ＝13r 3，所以13r 3＝9⇒r ＝3，所以球的表面积为4πr 2＝36π.答案 36π考 点 整 合1.空间几何体的三视图(1)几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等. (2)由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体. 2.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的表面积公式： ①圆柱的表面积S ＝2πr (r ＋l )； ②圆锥的表面积S ＝πr (r ＋l )；③圆台的表面积S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )； ④球的表面积S ＝4πR 2. (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；③V 球＝43πR 3.热点一 空间几何体的三视图与直观图【例1】 (1)(2018·兰州模拟)中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.已知某“堑堵”的正视图和俯视图如图所示，则该“堑堵”的侧视图的面积为( ) A.18 6 B.18 3 C.18 2D.2722(2)(2018·全国Ⅰ卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )A.217B.2 5C.3D.2解析 (1)在俯视图Rt △ABC 中，作AH ⊥BC 交于H . 由三视图的意义， 则BH ＝6，HC ＝3，根据射影定理，AH 2＝BH ·HC ，∴AH ＝3 2.易知该“堑堵”的侧视图是矩形，长为6，宽为AH ＝3 2.故侧视图的面积S ＝6×32＝18 2.(2)由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN ，则MS ＝2，SN ＝4.则从M 到N 的路径中，最短路径的长度为MS 2＋SN 2＝22＋42＝2 5.答案 (1)C (2)B探究提高 1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图. 2.由三视图还原到直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面.(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.(3)确定几何体的直观图形状.【训练1】 (1)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面A 1B 1C 1D 1内一点，则三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图的面积之和为( )A.1B.2C.3D.4(2)(2017·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A.3 2B.2 3C.2 2D.2解析 (1)设点P 在平面A 1ADD 1的射影为P ′，在平面C 1CDD 1的射影为P ″，如图所示.∴三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图分别为△P ′AD 与△P ″CD ， 因此所求面积S ＝S △P ′AD ＋S △P ″CD ＝12×1×2＋12×1×2＝2.(2)根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥P －ABCD )如图所示，将该四棱锥放入棱长为2的正方体中.由图可知该四棱锥的最长棱为PD ，PD ＝22＋22＋22＝2 3.答案 (1)B (2)B热点二 几何体的表面积与体积 考法1 空间几何体的表面积【例2－1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( ) A.10 B.12C.14D.16(2)(2018·西安模拟)如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π解析 (1)由三视图可画出直观图，该直观图各面内只有两个相同的梯形的面，S 梯＝12×(2＋4)×2＝6，S 全梯＝6×2＝12.(2)由三视图知，该几何体由一圆锥和一个圆柱构成的组合体， ∵S 圆锥侧＝π×3×32＋42＝15π，S 圆柱侧＝2π×1×2＝4π，S 圆锥底＝π×32＝9π.故几何体的表面积S ＝15π＋4π＋9π＝28π. 答案 (1)B (2)C探究提高 1.由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小；(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式. 2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.【训练2】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π(2)(2018·烟台二模)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的表面积为( )A.3π＋42－2B.3π＋22－2C.3π2＋22－2D.3π2＋22＋2解析 (1)由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O 且互相垂直的三个平面)切掉左上角的18后得到的组合体，其表面积是球面面积的78和三个14圆面积之和，易得球的半径为2，则得S ＝78×4π×22＋3×14π×22＝17π.(2)由三视图，该几何体是一个半圆柱挖去一直三棱柱，由对称性，几何体的底面面积S 底＝π×12－(2)2＝π－2.∴几何体表面积S ＝2(2×2)＋12(2π×1×2)＋S 底＝42＋2π＋π－2＝3π＋42－2. 答案 (1)A (2)A 考法2 空间几何体的体积【例2－2】 (1)(2018·河北衡水中学调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.6B.4C.223D.203(2)由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________.解析 (1)由三视图知该几何体是边长为2的正方体挖去一个三棱柱(如图)，且挖去的三棱柱的高为1，底面是等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边长为2.故几何体体积V ＝23－12×2×2×1＝6.(2)该几何体由一个长、宽、高分别为2，1，1的长方体和两个底面半径为1，高为1的14圆柱体构成.所以V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.答案 (1)A (2)2＋π2探究提高 1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.2.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.【训练3】 (1)(2018·江苏卷)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.(2)(2018·北京燕博园质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8π－163B.4π－163C.8π－4D.4π＋83解析 (1)正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是 2.则该正八面体的体积为13×(2)2×1×2＝43.(2)该图形为一个半圆柱中间挖去一个四面体，∴体积V ＝12π×22×4－13×12×2×4×4＝8π－163. 答案 (1)43(2)A热点三 多面体与球的切、接问题【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A.4πB.9π2C.6πD.32π3解析 由AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，得AC ＝10.要使球的体积V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC 的内切圆的半径为r .则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r ，所以r ＝2. 2r ＝4＞3，不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R 最大.由2R ＝3，即R ＝32.故球的最大体积V ＝43πR 3＝92π.答案 B【迁移探究1】 若本例中的条件变为“直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上”，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，求球O 的表面积. 解 将直三棱柱补形为长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1， 则球O 是长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1的外接球. ∴体对角线BC 1的长为球O 的直径. 因此2R ＝32＋42＋122＝13. 故S 球＝4πR 2＝169π.【迁移探究2】 若将题目的条件变为“如图所示是一个几何体的三视图”试求该几何体外接球的体积.解 该几何体为四棱锥，如图所示，设正方形ABCD 的中心为O ，连接OP . 由三视图，PH ＝OH ＝1， 则OP ＝OH 2＋PH 2＝ 2. 又OB ＝OC ＝OD ＝OA ＝ 2. ∴点O 为几何体外接球的球心， 则R ＝2，V 球＝43πR 3＝823π.探究提高 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2.若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.【训练4】 (2018·广州三模)三棱锥P －ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝PC ＝AC ＝2，AB ＝4，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为( )A.23πB.234π C.64π D.643π解析 如图，设O ′为正△PAC 的中心，D 为Rt △ABC 斜边的中点，H 为AC 中点.由平面PAC ⊥平面ABC .则O ′H ⊥平面ABC .作O ′O ∥HD ，OD ∥O ′H ，则交点O 为三棱锥外接球的球心，连接OP ，又O ′P ＝23PH ＝23×32×2＝233，OO ′＝DH ＝12AB ＝2.∴R 2＝OP 2＝O ′P 2＋O ′O 2＝43＋4＝163.故几何体外接球的表面积S ＝4πR 2＝643π.答案 D1.求解几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算.(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解.(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用.(4)求解几何体的表面积时要注意S 表＝S 侧＋S 底.2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a 的正方体的外接球、内切球、棱切球的半径分别为32a ，a 2，22a . 3.锥体体积公式为V ＝13Sh ，在求解锥体体积中，不能漏掉13.一、选择题1.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )解析由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线，在俯视图中应为实线，因此，选项B可以是几何体的俯视图.答案 B2.(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P－ABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，是△PAD，△PCD，△PAB.答案 C3.(2018·湖南师大附中联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.8(π＋4)B.8(π＋8)C.16(π＋4)D.16(π＋8)解析由三视图还原原几何体如右图：该几何体为两个空心半圆柱相切，半圆柱的半径为2，母线长为4，左右为边长是4的正方形.∴该几何体的表面积为2×4×4＋2π×2×4＋2(4×4－π×22)＝64＋8π＝8(π＋8).答案 B4.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4C.π2D.π4解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心.球半径R ＝OA ＝1，球心到底面圆的距离为OM ＝12. ∴底面圆半径r ＝OA 2－OM 2＝32，故圆柱体积V ＝π·r 2·h ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4. 答案 B5.(2018·北京燕博园押题)某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为( )A.4π3B.5π3C.7π6D.11π6解析 由三视图可知，该几何体是由半个圆柱与18个球组成的组合体，其体积为12×π×12×3＋18×4π3×13＝5π3.答案 B6.(2018·全国Ⅲ卷)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( ) A.12 3 B.18 3 C.24 3 D.54 3解析 设等边△ABC 的边长为x ，则12x 2sin 60°＝93，得x ＝6.设△ABC 的外接圆半径为r ，则2r ＝6sin 60°，解得r ＝23，所以球心到△ABC 所在平面的距离d ＝42－（23）2＝2，则点D 到平面ABC 的最大距离d 1＝d ＋4＝6.所以三棱锥D －ABC 体积的最大值V max ＝13S △ABC ×6＝13×93×6＝18 3.答案 B二、填空题7.(2018·浙江卷改编)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)为________.解析 由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积V ＝12×(1＋2)×2×2＝6. 答案 68.(2018·郑州质检)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内接于球O ，底面ABCD 是边长为2的正方形，E 为AA 1的中点，OA ⊥平面BDE ，则球O 的表面积为________.解析 取BD 的中点为O 1，连接OO 1，OE ，O 1E ，O 1A ，则四边形OO 1AE 为矩形，∵OA ⊥平面BDE ，∴OA ⊥EO 1，即四边形OO 1AE 为正方形，则球O 的半径R ＝OA ＝2，∴球O 的表面积S ＝4π×22＝16π.答案 16π 9.(2018·武汉模拟)某几何体的三视图如图所示，其中正视图的轮廓是底边为23，高为1的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，侧视图是个半圆.则该几何体的体积为________.解析 由三视图知，几何体是由两个大小相同的半圆锥的组合体. 其中r ＝1，高h ＝ 3.故几何体的体积V ＝13π×12×3＝33π. 答案 33π 三、解答题10.在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1＝A 1C ＝AC ＝AB ＝BC ＝2，且点O 为AC 中点.(1)证明：A 1O ⊥平面ABC ；(2)求三棱锥C 1－ABC 的体积.(1)证明 因为AA 1＝A 1C ，且O 为AC 的中点，所以A 1O ⊥AC ，又面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，且A 1O ⊂平面AA 1C 1C ， ∴A 1O ⊥平面ABC .(2)解 ∵A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴A 1C 1∥平面ABC ，即C 1到平面ABC 的距离等于A 1到平面ABC 的距离. 由(1)知A 1O ⊥平面ABC 且A 1O ＝AA 21－AO 2＝3，∴VC 1－ABC ＝VA 1－ABC ＝13S △ABC ·A 1O ＝13×12×2×3×3＝1.11.(2018·长春模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ＝PB ，AD ∥BC ，AB ＝AC ，AD ＝12BC ＝1，PD ＝3，∠BAD ＝120°，M 为PC 的中点.(1)证明：DM ∥平面PAB ；(2)求四面体MABD 的体积.(1)证明 取PB 中点N ，连接MN ，AN .∵M 为PC 的中点，∴MN ∥BC 且MN ＝12BC ，又AD ∥BC ，且AD ＝12BC ，得MN 綉AD . ∴ADMN 为平行四边形，∴DM ∥AN .又AN ⊂平面PAB ，DM ⊄平面PAB ，∴DM ∥平面PAB .(2)解 取AB 中点O ，连接PO ，∵PA ＝PB ，∴PO ⊥AB ，又∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，PO ⊂平面PAB ， 则PO ⊥平面ABCD ，取BC 中点H ，连接AH ，∵AB ＝AC ，∴AH ⊥BC ，又∵AD ∥BC ，∠BAD ＝120°，∴∠ABC ＝60°，Rt △ABH 中，BH ＝12BC ＝1，AB ＝2， ∴AO ＝1，又AD ＝1，△AOD 中，由余弦定理知，OD ＝ 3.Rt △POD 中，PO ＝PD 2－OD 2＝ 6.又S △ABD ＝12AB ·AD sin 120°＝32， ∴V M －ABD ＝13·S △ABD ·12PO ＝24.。
2019版高考数学地区8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积
14
考点三 空间几何体的体积
1.(2018课标全国Ⅰ,10,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角 为30°,则该长方体的体积为 ( )
A.8
B.6 2
C.8 2 D.8 3
答案 C 本题主要考查长方体的体积及直线与平面所成的角. 如图,由长方体的性质可得AB⊥平面BCC1B1, ∴BC1为直线AC1在平面BCC1B1内的射影, ∴∠AC1B为直线AC1与平面BCC1B1所成的角, 即∠AC1B=30°, 在Rt△ABC1中,AB=2,∠AC1B=30°,∴BC1=2 3 ,
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健 康，学业有成，金榜题名！
11
8.(2017课标全国Ⅱ,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的
表面积为
.
答案 14π
解析 本题考查长方体和球的性质,考查了球的表面积公式.
由题意知长方体的体对角线为球O的直径,设球O的半径为R,则(2R)2=32+22+12=14,得R2= 7 ,所以
垂直的半径.若该几何体的体积是 28 ,则它的表面积是 ( )
3
A.17π B.18π C.20π D.28π
答案 A 由三视图知该几何体为球去掉了 1 所剩的几何体(如图),设球的半径为R,则 7 × 4 πR3
8
83
= 28 ,故R=2,从而它的表面积S= 7 ×4πR2+ 3 ×πR2=17π.故选A.
因为平面SCA⊥平面SCB,所以∠AOB=90°,
所以VS-ABC=VS-ABO+VC-ABO=
1 3
高考数学空间几何体三视图、表面积与体积专题测试(含答案解析)
2019高考数学空间几何体三视图、表面积与体积专题测试（含答案解析）试题可以帮助考生进行查缺补漏，为此查字典数学网整理了空间几何体三视图、表面积与体积专题测试，请考生进行练习。
一、选择题1.(2019武汉调研)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()解析A、B、C与俯视图不符.答案D2.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()解析抓住其一条对角线被遮住应为虚线，可知正确答案在C，D中，又结合直观图知，D正确.答案D3.(2019安徽卷)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A.21+3B.18+3C.21D.18解析由三视图知，该多面体是由正方体割去两个角所成的图形，如图所示，则S=S正方体-2S三棱锥侧+2S三棱锥底=24-231211+234(2)2=21+3.4.已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA平面ABCD，ABBC，SA=AB=1，BC=2，则球O的表面积等于()A.4B.3C.2解析如图所示，由ABBC知，AC为过A，B，C，D四点小圆直径，所以ADDC.又SA平面ABCD，设SB1C1D1-ABCD为SA，AB，BC为棱长构造的长方体，得体对角线长为12+12+22=2R，所以R=1，球O的表面积S=4.故选A.答案A5.(2019湖南卷)一块石材表示的几何体的三视图如图所示.将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.4解析由三视图可得原石材为如图所示的直三棱柱A1B1C1-ABC，且AB=8，BC=6，BB1=12.若要得到半径最大的球，则此球与平面A1B1BA，BCC1B1，ACC1A1相切，故此时球的半径与△ABC内切圆的半径相等，故半径r=6+8-102=2.故选B.6.点A，B，C，D均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，AD平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为()A.323B.48C.643D.163解析如图所示，O1为三角形ABC的外心，过O做OEAD，OO1面ABC，AO1=33AB=3.∵OD=O A，E为DA的中点.∵AD面ABC，AD∥OO1，EO=AO1=3.DO=DE2+OE2=23.R=DO= 23.V=43(23)3=323.答案A二、填空题7.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是________.解析由三视图可知，四棱锥的高为2，底面为直角梯形ABCD.其中DC=2，AB=3，BC=3，所以四棱锥的体积为132+3322=533.答案5338.如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2，则V1V2=________.解析设三棱柱A1B1C1-ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则V1=1314S12h=124Sh=124V2，即V1V2=124.答案1249.在四面体ABCD中，AB=CD=6，AC=BD=4，AD=BC=5，则四面体ABCD的外接球的表面积为________.解析构造一个长方体，使得它的三条面对角线分别为4、5、6，设长方体的三条边分别为x，y，z，则x2+y2+z2=772，而长方体的外接球就是四面体的外接球，所以S=4R2=772.答案772三、解答题10.下列三个图中，左边是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观图.右边两个是其正(主)视图和侧(左)视图.(1)请在正(主)视图的下方，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图(不要求叙述作图过程).(2)求该多面体的体积(尺寸如图).解(1)作出俯视图如图所示.(2)依题意，该多面体是由一个正方体(ABCD-A1B1C1D1)截去一个三棱锥(E-A1B1D1)得到的，所以截去的三棱锥体积VE-A1B1D1=13S△A1B1D1A1E=1312221=23，正方体体积V正方体AC1=23=8，所以所求多面体的体积V=8-23=223.11.(2019安徽卷)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A底面ABCD.四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC.过A1，C，D三点的平面记为，BB1与的交点为Q.(1)证明：Q为BB1的中点;(2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比.解(1)证明：因为BQ∥AA1，BC∥AD，BCBQ=B，ADAA1=A，所以平面QBC∥平面A1AD.从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行，即QC∥A1D.故△QBC与△A1AD的对应边相互平行，于是△QBC∽△A1AD.所以BQBB1=BQAA1=BCAD=12，即Q为BB1的中点.(2)如图，连接QA，QD.设AA1=h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为V上和V下，BC=a，则AD=2a.VQ-A1AD=13122ahd=13ahd，VQ-ABCD=13a+2a2d12h=14ahd，所以V下=VQ-A1AD+VQ-ABCD=712ahd，又V四棱柱A1B1C1D1-ABCD=32ahd，所以V上=V四棱柱A1B1C1D1-ABCD-V下=32ahd-712ahd=1112ahd.故V上V下=117.B级能力提高组1.(2019北京卷)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，2).若S1，S2，S3分别是三棱锥D-ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2S3C.S3=S1且S3 S2D.S3=S2且S3S1解析作出三棱锥在三个坐标平面上的正投影，计算三角形的面积.如图所示，△ABC为三棱锥在坐标平面xOy上的正投影，所以S1=1222=2.三棱锥在坐标平面yOz上的正投影与△DE F(E，F 分别为OA，BC的中点)全等，所以S2=1222=2.三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与△DGH(G，H分别为AB，OC的中点)全等，所以S3=1222=2.所以S2=S3且S1S3.故选D.答案D2.(2019山东卷)三棱锥P-ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D-ABE的体积为V1，P-ABC的体积为V2，则V1V2=________. 解析由于VP-ABE=VC-ABE，所以VP-ABE=12VP-ABC，又因VD-ABE=12VP-ABE，所以VD-ABE=14VP-ABC，V1V2=14.答案143.(理)(2019课标全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点.(1)证明：PB∥平面AEC;(2)设二面角D-AE-C为60，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积.解(1)连接BD交AC于点O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点.又E为PD的中点，所以EO∥PB.EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，|PA|为单位长，建立空间直角坐标系A-xyz.则D(0，3，0)，E0，32，12，AE=0，32，12.设B(m,0,0)(m0)，则C(m，3，0)，AC=(m，3，0)，设n1=(x，y，z)为平面ACE的法向量，则n1AC=0，n1AE=0，即mx+3y=0，32y+12z=0，可取n1=3m，-1，3.又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量，由题设|cos〈n1，n2〉|=12，即33+4m2=12，解得m=32.因为E为PD的中点，所以三棱锥E-ACD的高为12.三棱锥E-ACD的体积V=131233212=38.3.(文)如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，点E在线段AB上.过点E 作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A 与P重合)，使得PEB=30.(1)求证：EF(2)试问：当点E在何处时，四棱锥P-EFCB的侧面PEB的面积最大?并求此时四棱锥P-EFCB的体积.解(1)证明：∵AB=BC，BCAB，又∵EF∥BC，EFAB，即EFBE，EFPE.又BEPE=E，EF平面PBE，EFPB.(2)设BE=x，PE=y，则x+y=4.S△PEB=12BEPEsinPEB=14xy14x+y22=1.当且仅当x=y=2时，S△PEB的面积最大.此时，BE=PE=2.由(1)知EF平面PBE，平面PBE平面EFCB，在平面PBE中，作POBE于O，则PO平面EFCB.即PO为四棱锥P-EFCB的高.又PO=PEsin30=212=1.死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
高考数学 专题十三 三视图与体积、表面积精准培优专练 理-人教版高三全册数学试题
培优点十三 三视图与体积、表面积例1：中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图，应选A ．例2：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点P 是棱CD 上一点，则三棱锥11P A B A -的侧视图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】在长方体1111ABCD A B C D -中，从左侧看三棱锥11P A B A -，一、根据几何体的结构特征确认其三视图1B 、1A 、A 的射影分别是1C 、1D 、D ，1AB 的射影为1C D ，且为实线，1PA 的射影为1PD ，且为虚线．故选D ．例3：如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体 是（）A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱【答案】B【解析】由题三视图得直观图如图所示，为三棱柱．故选B ．例4：若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）二、根据三视图还原几何体的直观图A．B．C．D．【答案】D【解析】由三视图知该几何体的上半部分是一个三棱柱，下半部分是一个四棱柱．故选D．三、已知几何体的三视图中某两个视图，确定另外一种视图例5：如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正视图和俯视图可知，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径知其侧视图应为A．故选A．例6：一个几何体的三视图中，正视图和侧视图如图所示，则俯视图不可以为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A中，该几何体是直三棱柱，所以A有可能；B中，该几何体是直四棱柱，所以B有可能；C中，由题干中正视图的中间为虚线知，C不可能；D中，该几何体是直四棱柱，所以D有可能．综上，故选C．例7：如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）四、根据几何体的三视图计算表面积A ．5π18+B ．6π18+C ．8π6+D ．10π6+【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的，故该几何体的表面积为2211124π12π1232π138π6222⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯=+． 故选C ．例8：如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（）A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π【答案】A【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图． 设球的半径为R ，则3341428πππ3833R R -⨯=，解得2R =． 因此它的表面积为22734ππ17π84R R ⨯+=．故选A ．例9：某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：3cm)是（）A．π12+B．π32+C．3π12+D．3π32+【答案】A【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，∴该几何体的体积21111ππ323221331⨯⨯⨯⨯+=+．故选A．例10：如图所示，已知多面体ABCDEFG中，AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，2AB AD DG===，1AC EF==，则该多面体的体积为________．【答案】4【解析】法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，五、根据几何体的三视图计算体积过点C 作CH DG ⊥于H ，连接EH ，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH ABC -和一个斜三棱柱BEF CHG -．由题意，知三棱柱DEH ABC -的体积11(2221)2DEH V S AD =⨯⨯⨯=⨯=△，三棱柱BEF CHG -的体积21(2221)2BEF V S DE =⨯⨯⨯=⨯=△，故所求多面体ABCDEFG 的体积为12224V V V =+=+=．法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半．又正方体ABHI DEKG -的体积328V '==，故所求多面体ABCDEFG 的体积为118422V V '==⨯=．一、选择题1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的各个面中是直角三角形的个数为（）对点增分集训A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】三视图还原为如图所示三棱锥A BCD -，由正方体的性质得ABC △、BCD △、ACD △为直角三角形，ABD △为正三角形，故选C ．2．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积（）A ．5πB ．6πC ．6π2+D ．5π2+【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为两个半圆柱构成，其表面积为22π1π12π11215π2⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=+，故选D ． 3．已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A ．12πB ．16πC ．32π3D ．403π【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为圆柱挖去其16后的剩余部分，该圆柱的底面半径为2，高为4，故其体积为圆柱体积的56，25540ππ16π663V R h ==⨯=．故选D ．4．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A ．23B ．43C ．83D【答案】C【解析】该三视图还原成直观图后的几何体是如图所示的四棱锥A BCDE -，CBA △和ACD △是两个全等的直角三角形，且2AC CD BC ===，故几何体的体积为1822233⨯⨯⨯=，故选C ．5．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图是一个刍童的三视图， 其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A ．1003B ．1043C ．27D ．18【答案】B【解析】由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2，所以几何体体积1104(436233V =+⨯=．故选B ． 6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各棱中， 最长的棱的长度为（）A ．B ．6C ．D ．4【答案】B【解析】三视图还原成如图所示的几何体，三棱锥S ABC -，则4SB BC ==，SC =AC AB ==6SA =．故选B ．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别为棱CD 、1CC 、11A B 的中点，用过点E 、F 、G 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】过点E ，F ，G 截正方体的平面为如图所示的平面EFKGHI ， 由图知位于截面以下部分的几何体的侧视图为C 选项，故选C ．8．如图所示的网格是由边长为1的小正方形构成，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．40B ．103C ．163D ．803【答案】D【解析】根据几何体三视图可得，该几何体是三棱柱BCE AGF -割去一个三棱锥A BCD -所得的几何体，如图所示，所以其体积为111180444(44)423223V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=．故选D ．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（）A B C ．3π D ．【答案】B【解析】根据几何体的三视图知，该几何体是由一个正方体切去正方体的一角得到的，故该几何体的外接球为正方体的外接球，所以球的半径22r ==，则34π322V ⎛⎫=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭．故选B ．10．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球半径为（）ABCD．【答案】C【解析】由三视图可知三棱锥的直观图如图，由三视图可知底面三角形是边长为2，顶角120︒的三角形，所以其外接圆半径结合正弦定理可得，224sin30r ==︒，由侧面为两等腰直角三角形，可确定出外接圆圆心，利用球的几何性质可确定出球心，且球心到底面的距离1d =，所以球半径R ==，故选C ．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（）A ．6B ．8C ．D ．【答案】B【解析】由三视图可得四棱锥为如图所示的长方体1111ABCD A B C D -中的四棱锥11C DEE D -，其中在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2AD =，13AA =，点E 、1E 分别为AB 、11A B 的中点，由题意得CE DE ==CE DE ⊥，又1CE EE ⊥，所以CE ⊥平面11DEE D ，即线段CE 即为四棱锥11C DEE D -的高，所以四棱锥11C DEE D -的体积1111(3833DEE D V S CE =⋅⋅=⨯⨯⨯=．故选B ．12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（）A ．有最小值32B ．有最大值52C ．为定值3D ．为定值2【答案】D【解析】依题意，设四边形1D FBE 的四个顶点在后面、上面、左面的投影点分别为'D 、F '、B '、E '，则四边形1D FBE 在上面、后面、左面的投影分别如下图， 所以在后面的投影的面积为1111S =⨯=， 在上面的投影面积211S D E DE DE ''=⨯=⨯=， 在左面的投影面积311S B E CE CE ''=⨯=⨯=，所以四边形1D FBE 所围成的图形分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和为123112S S S S DE CE CD =++=++=+=．故选D ．二、填空题13．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积是．【答案】64+【解析】由三视图可知，该几何体的直观图为如图所示的四棱柱，则11111(24)4122ABCD A B C D S S ==⨯+⨯=，11114416BCC B CC D D S S ==⨯=，11428ABB A S =⨯=，114AA D D S =⨯=所以该四棱柱的表面积为2432864S =+++=+14．《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．若某“阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为．【答案】22【解析】由三视图可得该“阳马”的底面是边长为1的正方形，且高为1，故该“阳马”的表面积为1121121221222+⨯⨯⨯+⨯=+15．已知圆锥的高为33体积等于．【答案】32π3【解析】设该圆锥的外接球的半径为R ，依题意得，222()(3)3R R +-=，解得2R =，故所求球的体积334432ππ2π333V R ==⨯=． 16．已知点P 、A 、B 、C 是半径为2的球面上的点，2PA PB PC ===，90ABC ∠=︒，点B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥P ABD -体积的最大值是．33 【解析】设点P 在平面ABC 上的射影为G ，如图， 由2PA PB PC ===，90ABC ∠=︒知，点P 在平面ABC 上的射影G 为ABC △的外心，即AC 的中点， 设球的球心为O ，连接PG ，则O 在PG 的延长线上， 连接OB 、BG ，设PG h =，则2OG h =-，所以2222OB OG PB PG -=-，即22()424h h --=-，解得1h =，则AG CG ==设AD x =，则GD x AG x =-=-BG =所以BD ==12ABD S AD BD ==⋅△令43()f x x =-+，则32()4f x x '=-+，由()0f x '=，得0x =或2x =，易知当2x =时，函数()f x 取得最大值24316，所以max 1()248ABD S =⨯=△．又1PG =，所以三棱锥P ABD -体积的最大值为113=．。
2019高考真题名校模拟(文数) 空间几何体的三视图、表面积和体积(含答案)
8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积五年高考A 组统一命题·课标卷题组考点一几何体的直观图与三视图1．（2018课标全国1,9,5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ．圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 ( )172.A 52.B 3.C 2.D2．（2018课标全国111.3，5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ( )3．（2014课标1,8,5分．0.795）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四梭锥D ．四棱柱考点二几何体的体积1．（2018课标全国1,10，5分）在长方体1111D C B A ABCD -中，1,2AC BC AB ==与平面C C BB 11所成的角为,30则该长方体 的体积为( ) 8.A 26.B 28.C 38.D2．（2018课标全国III ．12，5分）设A ，B ，C ．D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为,39则三棱锥D-ABC 体积的最大值为( )312.A 318.B 324.C 354.D3．（2017课标全国11.6，5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 ( )π90.A π63.B π42.C π36.D4．（2014课标Ⅱ．7,5分．0.495）正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为2．侧棱长为D ,3为BC 中点，则三棱锥11DC B A -的体积为（ )3.A 23.B 1.C 23.D 5．（2015课标I ，6，5分，0.451）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3．估算出堆放的米约有 ( )14.A 斛 22.B 斛 36.C 斛 66.D 斛6．（2015课标II ，6,5分，0.426）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( )81.A 71.B 61.C 51.D 7．（2017课标全国|II ．9，5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )π.A 43.πB 2.πC 4.πD 8．(2018课标全国II ，16，5分)已知圆锥的顶点为S ．母线SA ，SB 互相垂直．SA 与圆锥底面所成角为.30 若△SAB 的面积为8．则该圆锥的体积为9．（2016课标全国1,18，12分）如图，已知正三棱锥P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6．顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点C ．(1)证明：C 是AB 的中点；(2)在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积，考点三几何体的表面积1．（2018课标全国I ．5，5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为,,21O O 过直线21O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )π212.A π12.B π28.C π10.D2．（2016课标全国II ．4，5分）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ( )π12.A π332.B π8.C π4.D 3．（2016课标全国I ．7,5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是,328π则它的表面积是( )π17.A π18.B π20.C π28.D4．（2016课标全国Ⅲ，10,5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 ( )53618.+A 51854.+B 90.C 81.D5．（2014大纲全国，10，5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4．底面边长为2，则该球的表面积为( )481.πA π16.B π9.C 427.πD6．（2015课标II ．10,5分．0.459）已知A ，B 是球0的球面上两点，C AOB ,90=∠为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36．则球O 的表面积为 ( )π36.A π64.B π144.C π256.D7．（2015课标I ，11，5分．0.629）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为,2016π+则=r ( )1.A2.B 4.C 8.D8．（2017课标全国II ．15，5分）长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为______．9．（2017课标全国I ．16,5分）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球0的直径．若平面⊥SCA 平面,,,BC SB AC SA SCB ==三棱锥S-ABC 的体积为9．则球0的表面积为_________B 组 自主命题·省（区、市）卷题组考点一几何体的直观图与三视图1．（2018北京，6，5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 ( )1.A2.B3.C4.D2．（2016天津．3，5分）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为 ( )3．（2015北京，7,5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为 ( )1.A2.C2.D.B34．（2014湖南，8,5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于 ( )1.A2.B3.C4.D5．（2014湖北，7，5分）在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2).给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为 ( )A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②考点二几何体的体积1.(2018浙江．3,4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几核体的体积（单位：)3cm 是( )2.A 4.B 6.C 8.D2.(2017北京,6,5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）60.A 30.B 20.C 10.D3．（2017浙江．3,4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：)3cm 是( )12.+πA 32.+πB 123.+πC 323.+πD 4．（2015重庆，5，5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )π231.+A 613.πB 37.πC 25.πD 5．（2016山东．5,5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为 ( )π3231.+A π3231.+B π6231.+C π621.+D 6．（2014辽宁，7，5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )48.πA 28.πB π-8.C π28.-D7．（2014四川，4,5分）某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ( ) （锥体体积公式：,31Sh V =其中s 为底面面积，h 为高）3.A 2.B 3.C 1.D8．（2018江苏．10,5分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为9．（2018天津．11,5分）如图，已知正方体1]11D C B A ABCD -的棱长为1．则四棱锥D D BB A l 11- 的体积为___________10.（2017山东．13，5分）由一个长方体和两个41圆柱体构成的几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为________11．（2017天津．11，5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18．则这个球的体积为___________考点三几何体的表面积1．（2014福建，3,5分）以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )π2.A π.B 2.C 1.D2．（2015安徽，9，5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是 ( )31.+A 221.+B 32.+C 22.D3．（2015陕西，5，5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( )π3.A π4.B 42+πC 43.+πD突破方法方法1 空间几何体表面积与体积的求解方法例1（2014重庆．7，5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )12.A 18.B 24.C 30.D1-1 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面稠等于( )228.+A 2211.+B 2214.+C 15.D1-2 如图所示，在半径为R 的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是_________方法2 与球有关的切、接问题的求解方法例2（2016课标全国m ．11，5分）在封闭的直三棱柱111C B A ABC -内有一个体积为y 的球，若,8,6,==⊥BC AB BC AB ,31=M 则y 的最大值是( )π4.A 29.πB π6.C 332.πD 2-1 已知直三棱柱11C B A ABC l -的6个顶点都在球O 的球面上．且,12,,4,3=⊥==l AA AC AB AC AB 则球0的表面积是2-2 （2017江苏．6，5分）如图，在圆柱21O O 内有一个球0．该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱21O O 的体积为,1V 球0的体积为,2V 则2V V l 的值是________三年模拟A 组2016-2018年高考模拟·基础题组考点一 几何体的直观图与三视图1．（2018黑龙江佳木斯一中第七次调研）如图所示，网格纸上每个小方格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，记该几何体的各棱长度构成的集合为A ，则 ( )A A ∈3. AB ∈3. AC ∈32. AD ∈22.2．（2017内蒙古百校联盟质监卷）已知三棱锥A-BCD 的四个顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别为 ,2(),2,0,2(B A ),2,2,0(),2,1C ),0,2,1(D 以xOy 平面为投影面，画该三棱锥的俯视图，得到的俯视图可以为 ( )3．（2017黑龙江佳木斯一中三模）一个正方体截去两个角后所得的几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图为( )4．（2017陕西西安长安一中4月模拟）如图所示的是某几何体的三视图，正视图是等腰直角三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是直角梯形，则在几何体中，异面直线PB 与CD 所成角的正切值是 ( )1.A2.B 22.C 21.D 考点二几何体的体积1．（2018东北三省三校二模）如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的体积为( )3.A4.B 6.C 8.D2．（2018甘肃第一次诊断）某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为,32π则a 的值为( )1.A2.B 22.C 32.D3．（2018内蒙古包头一模）某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为 ( )38.A 332.B 316.C 328.D 4．（2017新疆乌鲁木齐三模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )221.π+A 21.π+B π+1.C π+2.D 5．（2017陕西咸阳三模）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ( )3216.πA 348.πB 3416.πC 316.πD 6．（2017辽宁部分重点中学协作体模拟）棱长为1的正方体截去一部分之后余下的几何体的三视图如图所示，则余下几何体体积的最小值为 ( )65.A 21.B 32.C 31.D 考点三几何体的表面积1．（2018辽宁辽阳一模）如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ( )π848.+A π1648.+B π1696.+C π896.+D2．（2018黑龙江齐齐哈尔一模）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，图中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ( )18261312.++A 1828139.++B 1826139.++C 1226139.++D3．（2018重庆4月调研（二诊））某几何体的三视图如图所示，其正视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是 ( )18.A 388.+B 24.C 5612.+D4．（2017吉林延边高考仿真考试）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( )624.+A 824.+B 1224.+C 1024.+D5．（2017陕西咸阳二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是 ( )π3.A π4.B π5.C 37.πD 6．（2016黑龙江佳木斯名校联考）在三棱锥P-ABC 中．PA ⊥平面,3,1,,===⊥PA BC AB BC AB ABC 则该三棱锥外接球的表面积为( )π5.A π2.B π20.C π4.DB 组2016-2018年高考模拟·综合题组选择题（每题5分，共55分）1．（2018东北三省三校一模）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，23则正视图中的x 的值是 ( )2.A 29.B 23.C 3.D 2．（2018辽宁辽南协作校一模）某几何体的正视图和侧视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是 ,ABC ∆如图(2)所示，其中,3,20===OC B OA 则该几何体的体积为 ( )38.A 312.B 318.C 324.D3．（2018内蒙古呼和浩特第一次质量普查）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．则该多面体的各个面中，面积最大的面的面积为 ( )32.A 6.B 26.C 12.D4．（2018吉林长春质量监测（二））如图，网格纸上小正方形的边长为1．粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为 ( )34.A 32.B 2.C 23.D 5．（2017辽宁大连双基测试）在空间直角坐标系O-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(1，0，2)，(1，2，0)，(1，2，1)，(0，2，2)，若正视图以yoz 平面为投射面，则该四面体侧视图面积为( ) 21.A 1.B2.C 4.D 6．（2017宁夏石嘴山三中三模）如图1所示的是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中=1DD ,1若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为该几何体正视图的是( )7．（2017重庆巴蜀中学三诊）如图，某几何体的三视图都是直角三角形，若几何体的最长棱的长为2，则该几何体的外接球的体积是 ( )π6.A π34.B π4.C π6.D 8．（2017海南海口4月调研）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )316.A 324.B 3380.C 326.D9．（2017陕西黄陵中学考前模拟（一））将一张边长为12,m 的正方形纸片按如图(1)所示将阴影部分的四个全等的等腰司角形裁去，余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )36332.cm A 36364.cm B 32332.cm C 32364.cm D 10.（2017甘肃天水一中三诊）某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的面的面积为 ( )22.A 32.B 4.C 62.D11.（2017甘肃兰州实战模拟）某几何体的三视图如图所示，则下列说法正确的是 ( ) ①该几何体的体积为;61②该几何体为正三棱锥； ③该几何体的表面积为;323+④该几何体外接球的表面积为.3π①②③.A ①②④.B ①③.C ④ ②③④.D答案。
2019版高考数学复习专题检测(十一)空间几何体的三视图、表面积及体积理(普通生,含解析)
专题检测（十一） 空间几何体的三视图、表面积及体积一、选择题1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )解析：选D 先观察俯视图，由俯视图可知选项B 和D 中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D 正确．2．设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为( )A ．100π B.2563π C.4003π D.5003π解析：选D 因为切面圆的半径r ＝4，球心到切面的距离d ＝3，所以球的半径R ＝r 2＋d 2＝42＋32＝5，故球的体积V ＝43πR 3＝43π×53＝5003π，即该西瓜的体积为5003π.3．(2019届高三·开封高三定位考试)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )A ．4πB ．2π C.4π3D ．π解析：选B 由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为α，由tan α＝31＝3，得α＝π3，故底面面积为12×π3×22＝2π3，则该几何体的体积为2π3×3＝2π.4．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )A ．2B ．4＋2 2C ．4＋4 2D ．4＋6 2解析：选C 由三视图知，该几何体是直三棱柱ABC A 1B 1C 1，其直观图如图所示，其中AB ＝AA 1＝2，BC ＝AC ＝2，∠C ＝90°，侧面为三个矩形，故该“堑堵”的侧面积S ＝(2＋22)×2＝4＋4 2.5．(2018·惠州二调)如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且直角边长都等于1，则该几何体的外接球的体积为( )A.12π B.32π C ．3πD.43π 解析：选B 还原几何体为如图所示的三棱锥A BCD ，将其放入棱长为1的正方体中，如图所示，则三棱锥A BCD 外接球的半径R ＝32，该几何体的外接球的体积V ＝43πR 3＝32π，故选B.6．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A.43 cm 3B.83 cm 3C ．2 cm 3D ．4 cm 3解析：选B 由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2 cm ，高为2 cm 的四棱锥，如图，故V ＝13×22×2＝83(cm 3)．7．如图，已知△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA ＝EB ＝3，AD ＝2，∠AEB ＝60°，则多面体E ABCD 的外接球的表面积为( )A.16π3B ．8πC ．16πD ．64π解析：选C 由题知△EAB 为等边三角形，设球心为O ，O 在平面ABCD 的射影为矩形ABCD 的中心，O 在平面ABE 上的射影为△EAB 的重心G ，又由平面EAB ⊥平面ABCD ，则△OGA 为直角三角形，OG ＝1，AG ＝3，所以R 2＝4，所以多面体E ABCD 的外接球的表面积为4πR 2＝16π.8．(2018·昆明摸底)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为( )A ．63πB ．72πC ．79πD ．99π解析：选A 由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为5，底面圆的半径为3，半球的半径为3，所以组合体的体积为π×32×5＋12×43π×33＝63π.9．(2019届高三·武汉调研)一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )A ．28B ．24＋2 5C ．20＋4 5D ．20＋2 5解析：选B 根据该几何体的三视图作出其直观图如图所示，可知该几何体是一个底面是梯形的四棱柱．根据三视图给出的数据，可得该几何体中梯形的上底长为2，下底长为3，高为2，所以该几何体的表面积S ＝ 12×(2＋3)×2×2＋2×2＋2×3＋2×2＋2×22＋12＝24＋25，故选B.10.如图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，侧视图是直角边长分别为1和3的直角三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的内接三棱锥的体积的最大值为( )A.36 B.33 C.433D.3π3解析：选B 由三视图可知该几何体为半个圆锥，圆锥的母线长l ＝2，底面半径r ＝1，高h ＝ 3.由半圆锥的直观图可得，当三棱锥的底面是斜边，为半圆直径，高为半径的等腰直角三角形，棱锥的高为半圆锥的高时，其内接三棱锥的体积达到最大值，最大体积为V ＝13×12×2×1×3＝33，故选B. 11．(2019届高三·贵阳摸底考试)某实心几何体是用棱长为1 cm 的正方体无缝粘合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．50 cm 2B ．61 cm 2C ．84 cm 2D ．86 cm 2解析：选D 根据题意可知该几何体由3个长方体(最下面长方体的长、宽、高分别为5 cm,5 cm, 1 cm ；中间长方体的长、宽、高分别为3 cm,3 cm,1 cm ；最上面长方体的长、宽、高分别为1 cm,1 cm,1 cm)叠合而成，长、宽、高分别为5 cm,5 cm,1 cm 的长方体的表面积为2(5×5＋5×1＋5×1)＝2×35＝70(cm 2)；长、宽、高分别为3 cm,3 cm,1 cm 的长方体的表面积为2(3×3＋3×1＋3×1)＝2×15＝30(cm 2)；长、宽、高分别为1 cm ，1 cm,1 cm 的长方体的表面积为2(1×1＋1×1＋1×1)＝2×3＝6(cm 2)．由于几何体的叠加而减少的面积为2×(3×3)＋2×(1×1)＝2×10＝20(cm 2)，所以所求表面积为70＋30＋6－20＝86(cm 2)．12．在棱长为3的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BD 1上，且BP PD 1＝12，M 为线段B 1C 1上的动点，则三棱锥M PBC 的体积为( )A ．1 B.32C.92D ．与M 点的位置有关解析：选B ∵BP PD 1＝12，∴点P 到平面BCC 1B 1的距离是D 1到平面BCC 1B 1距离的13，即为D 1C 13＝1.M 为线段B 1C 1上的点，∴S △MBC ＝12×3×3＝92，∴V M PBC ＝V P MBC ＝13×92×1＝32.13．(2018·洛阳尖子生第一次联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2B ．1 C.23D.13解析：选C 由题图可知该几何体是一个四棱锥，如图所示，其中PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是一个对角线长为2的正方形，底面积S ＝12×2×2＝2，高h ＝1，则该几何体的体积V ＝13Sh ＝23，故选C.14．(2018·武汉调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.12 B.22C.33D.23解析：选D 由三视图知，该几何体是在长、宽、高分别为2,1,1的长方体中，截去一个三棱柱AA 1D 1BB 1C 1和一个三棱锥C BC 1D 后剩下的几何体，即如图所示的四棱锥D ABC 1D 1，四棱锥D ABC 1D 1的底面积为S 四边形ABC 1D 1＝2×2＝22，高h ＝22， 其体积V ＝13S 四边形ABC 1D 1h ＝13×22×22＝23.15．(2019届高三·安徽知名示范高中联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．1 B.12C.13D.14解析：选C 法一：该几何体的直观图为如图所示的四棱锥S ABCD ，SD ⊥平面ABCD ，且SD ＝1，四边形ABCD 是平行四边形，且AB ＝DC ＝1，连接BD ，由题意知BD ⊥DC ，BD ⊥AB ，且BD ＝1，所以S 四边形ABCD ＝1，所以V S ABCD ＝13S 四边形ABCD ·SD ＝13.法二：由三视图易知该几何体为锥体，所以V ＝13Sh ，其中S 指的是锥体的底面积，即俯视图中四边形的面积，易知S ＝1，h 指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知h ＝1，所以V ＝13Sh ＝13.16．(2018·福州质检)已知三棱锥P ABC 的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且PA ＝8.若平面ABC 截球O 所得截面的面积为9π，则球O 的表面积为( )A ．10πB ．25πC ．50πD ．100π解析：选D 设球O 的半径为R ，由平面ABC 截球O 所得截面的面积为9π，得△ABC 的外接圆的半径为3.设该外接圆的圆心为D ，因为AB ⊥BC ，所以点D 为AC 的中点，所以DC ＝3.因为PA ⊥平面ABC ，易证PB ⊥BC ，所以PC 为球O 的直径．又PA ＝8，所以OD ＝12PA ＝4，所以R ＝OC ＝42＋32＝5，所以球O 的表面积为S ＝4πR 2＝100π.二、填空题17．一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是________．解析：由四棱锥的三视图可知，该四棱锥的直观图如图中四棱锥P ABCD 所示，底面ABCD 为边长为1的正方形，△PAD 是边长为1的等边三角形，作PO ⊥AD 于点O ，则O 为AD 的中点，所以四棱锥的体积为V ＝13×1×1×32＝36. 答案：3618.如图，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点．若AA 1＝4，AB ＝2，则四棱锥B ACC 1D 的体积为________．解析：取AC 的中点O ，连接BO (图略)，则BO ⊥AC ， 所以BO ⊥平面ACC 1D . 因为AB ＝2，所以BO ＝ 3.因为D 为棱AA 1的中点，AA 1＝4，所以AD ＝2， 所以S 梯形ACC 1D ＝12×(2＋4)×2＝6，所以四棱锥B ACC 1D 的体积为13×6×3＝2 3.答案：2 319.如图，半径为4的球O 中有一内接圆柱，则圆柱的侧面积最大值是________．解析：设圆柱的上底面半径为r ，球的半径与上底面夹角为α， 则r ＝4cos α，圆柱的高为8sin α. 所以圆柱的侧面积为32πsin 2α.当且仅当α＝π4时，sin 2α＝1，圆柱的侧面积最大，所以圆柱的侧面积的最大值为32π. 答案：32π20．(2018·沈阳质检)已知在正四棱锥S ABCD 中，SA ＝63，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为________．解析：设正四棱锥的底面正方形的边长为a ，高为h ，因为在正四棱锥S ABCD 中，SA ＝63，所以a 22＋h 2＝108，即a 2＝216－2h 2，所以正四棱锥的体积V S ABCD ＝13a 2h ＝72h －23h 3，令y ＝72h －23h 3，则y ′＝72－2h 2，令y ′>0，得0<h <6，令y ′<0，得h >6，所以当该棱锥的体积最大时，它的高为6.答案：6。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
培优点十三 三视图与体积、表面积1．由三视图求面积例1：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________．【答案】33π【解析】由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥组成， 其表面积为半球面积和圆锥侧面积的和．球的半径为3， ∴半球的面积21143182S =⋅π⋅=π，圆锥的底面半径为3，母线长为5， ∴圆锥的侧面积为23515S rl =π=π⋅⋅=π，∴表面积为1233S S S =+=π．2．由三视图求体积例2：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．4B ．C ．D ．8【答案】D【解析】由于长方体被平面所截，∴很难直接求出几何体的体积，可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体，从而拼成了一个长方体，∵长方体由两个完全一样的几何体拼成，∴所求体积为长方体体积的一半。
从图上可得长方体的底面为正方形， 且边长为2，长方体的高为314+=，∴22416V =⋅=长方体，∴182V V ==长方体，故选D ．一、单选题1．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则俯视图中圆的半径为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，设圆半径为r ， ∴该几何体的表面积2222242216S r r r r r r =⨯⋅+⨯⋅-π⋅+π⋅=+π，得1r =，故选A ． 2．正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点（如图）用过点1B E D 、、的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）对点增分集训A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意可知：过点B 、E 、1D 的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图， 则几何体的左视图为D ，故选D ．3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．236B ．72C ．76D ．4【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体是如图所示的三棱柱11ABB DCC -挖去一个三棱锥E FCG -，故所求几何体的体积为()111232*********⎛⎫⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选A ．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．)21+πB ．21⎫+π⎪⎪⎝⎭C ．122⎫++π⎪⎪⎝⎭D ．12⎫+π⎪⎪⎝⎭【答案】C【解析】由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为1r =，圆锥的高2h =，其母线长l21111112222222S ⎫=⨯π⨯+⨯π⨯⨯⨯=++π⎪⎪⎝⎭，本题选择C 选项． 5．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥．．．．．．的外接球的表面积等于（ ）A ．34πB ．32πC ．17πD ．172π 【答案】A【解析】由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形， 高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示，截去的是一个三棱锥，底面是边长为3，4，5的直角三角形，高为3的棱锥， 如图蓝色线条的图像是该棱锥，三棱锥上底面外接圆半径52圆心设为M 半径为r ，球心到底面距离为32，设球心为O ， 由勾股定理得到2222253342224h R r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2434S R =π=π，故选A ．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．16πC ．36πD ．72π【答案】C【解析】还原几何体如图所示三棱锥由1B BCD -（如下左图），将此三棱锥补形为直三棱柱111B C D BCD -（如上右图），在直三棱柱111B C D BCD -中取1BC B C 、的中点12O O 、，取12O O 中点O ，3R =，2244336S R =π=⨯=π表，故答案为C ．7．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．6+B ．8+C ．6+D ．8+【答案】B【解析】根据三视图，画出原空间结构图如下图所示：∴表面积为111111111111DA D DA B DB C DC D A B C D S S S S S S =++++11112222222282222=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=+B ． 8．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A ．174π B ．214π C ．4π D ．5π【答案】B【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体1111ABCD A B C D -的四个顶点，即为三棱锥11A CB D -，且长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为2，a ，b ，∴此三棱锥的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，且球半径为R ==，∴三棱锥外接球表面积为()()22222144514a b a ππ=π++=π-+⎝⎭， ∴当且仅当1a =，12b =时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为214π．故选B ． 9．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA AB =，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．12 B ．13C ．14 D ．15【答案】B【解析】由三视图知，剩余部分的几何体是四棱锥P ABCD -被平面QBD 截去三棱锥Q BCD -（Q 为PC 中点）后的部分，连接AC 交BD 于O ，连楼OQ ，则OQ PA ∥，且12OQ PA =，设PA AB a ==，则313P ABCD V a -=，23111132212Q BCD V a a a -=⨯⨯=， 剩余部分的体积为：3311312a a -，则所求的体积比值为：33311123312a a a =-． 本题选择B 选项．10．如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A ．15B ．16C ．503D ．533【答案】C【解析】由题得几何体原图是下图中的四棱锥A BCDE -，底面四边形BCDE 的面积为114442221022⨯-⨯⨯-⨯⨯=，∴四棱锥的体积为15010533⨯⨯=，故答案为C ．11．某几何体的三视图如图（虚线刻画的小正方形边长为1）所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．94B C ．12D ．83【答案】D【解析】几何体为如图多面体PABCDE ，∴体积为()11118221222132323D PABE A BCD V V --+=⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯=，故选D ．12．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．203B ．7C ．223D ．233【答案】B【解析】如图所示，该几何体为正方体去掉两个倒置的三棱锥，∴该多面体的体积为32111121212273232V =-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=；故选B ．二、填空题13．网格纸上小正方形的边长为1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为__________．【答案】12【解析】根据三视图知长方体挖去部分是一个底面为等腰梯形（上底为2，下底为4，高为2）高为2的直四棱柱，∴()12422122V Sh ==+⨯⨯=． 14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为_______与_______．【答案】404+π，4163π+ 【解析】由三视图可知，其对应的几何体是一个组合体，上半部分是一个直径为2的球，下半部分是一个直棱柱，棱柱的底面是边长为2的正方形，高为4，则该几何体的表面积224122424404S =π⨯+⨯+⨯⨯=+π， 几何体的体积：32441241633V =π⨯+⨯=+π． 15．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_________．【答案】1【解析】根据题中所给的三视图，还原几何体，可知其为有一条侧棱垂直于底面的一个四棱锥，该四棱锥的底面就是其俯视图中的直角梯形，根据图中所给的数据，结合椎体的体积公式， 可得其体积11212132V +=⨯⨯⨯=，故答案是1． 16．已知某几何体的三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的体积为__________．【解析】由三视图知，该几何体由正方体沿面11AB D 与面11CB D 截去两个角所得，。