[精品]2017年山西省太原市高考数学二模试卷及解析答案word版(文科)
2017年高考真题 文科数学(全国II卷)解析版
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学【试卷点评】【命题特点】2017年高考全国新课标II数学卷，试卷结构在保持稳定的前提下，进行了微调，一是把解答题分为必考题与选考题两部分，二是根据中学教学实际把选考题中的三选一调整为二选一.试卷坚持对基础知识、基本方法与基本技能的考查,注重数学在生活中的应用.同时在保持稳定的基础上，进行适度的改革和创新，与2016年相比难度稳中略有下降.具体来说还有以下几个特点：1．知识点分布保持稳定小知识点如：集合、复数、程序框图、线性规划、向量问题、三视图保持一道小题，大知识点如：三角与数列三小一大，概率与统计一大一小，立体几何两小一大，圆锥曲线两小一大，函数与导数三小一大(或两小一大).2．注重对数学文化与数学应用的考查教育部2017年新修订的《考试大纲（数学）》中增加了对数学文化的考查要求.2017年高考数学全国卷II文科第18题以养殖水产为题材，贴近生活.3．注重基础，体现核心素养2017年高考数学试卷整体上保持一定比例的基础题，试卷注重通性通法在解题中的运用，另外抽象、推理和建模是数学的基本思想，也是数学研究的重要方法，试卷对此都有所涉及.【命题趋势】1．函数与导数知识：函数性质的综合应用、以导数知识为背景的函数问题是高考命题热点，函数性质的重点是奇偶性、单调性及图象的应用，导数重点考查其在研究函数中的应用，注重分类讨论及化归思想的应用.2．立体几何知识：立体几何一般有两道小题一道大题，小题中三视图是必考问题，常与几何体的表面积与体积结合在一起考查，解答题一般分两问进行考查.3．解析几何知识：解析几何试题一般有3道，圆、椭圆、双曲线、抛物线一般都会涉及，双曲线一般作为客观题进行考查，多为容易题，解答题一般以椭圆与抛物线为载体进行考查，运算量较大，不过近几年高考适当控制了运算量，难度有所降低. 4．三角函数与数列知识：三角函数与数列解答题一般轮流出现，若解答题为数列题，一般比较容易，重点考查利用基本量求通项及几种求和方法，若解答题为三角函数，一般是解三角形问题，此时客观题中一般会有一道与三角函数性质有关的题目，同时客观题中会有两道数列题，一易一难，数列客观题一般具有小、巧、活的特点.【试卷解析】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
山西太原市2017届高三年级模拟试题(二)数学理试题(含答案)word版
太原市2017年高三年级模拟试题（二）数学试题（理科）第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．1．若复数3()1x i z x i +=∈-R 是实数，则x 的值为 A ．-3 B ．3 C ．0 D2．函数y =M ，N=2{|log (1)1}x x -<，全集U=R ，则图中阴影部分所表示的集合是A ．{|21}x x -≤<B ．{|22}x x -≤≤C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x <3．若函数43cos(2)(,0),||3y x πϕϕ=+的图象关于点对称则的最小值为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 4．下列判断错误．．的是A ．“22am bm <”是“a b <”的充分不必要条件B ．命题“32,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是“32000,10x x x ∃∈-->R ”C ．若p ，q 均为假命题，则p q ∧为假命题D ．若~(4,0.25),1B D ξξ=则5．如图，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A．B．C．D ．126．已知等差数列12011201220112012{},0,0,0n a a a a a a >+>⋅<首项，则使数列{}n a n 的前项和0n S >成立的最大正整数n ，是A ．2011B ．2012C ．4023D ．40227．如图，是一个算法程序框图，在集合{|1010,}A x x x =-≤≤∈R 中随机抽取一个数值做为x 输入，则输出的y 值落在区间（-5，3）内的概率为A ．0.4B ．0.5C ．0.6D ．0.8 8．已知点F 1，F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的 左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是A． B． C．(1)++∞ D．(1,1+9．设12,,,n a a a 是1，2，…，n 的一个排列，把排在i a 的左边．．且比i a 小的数的个数称为i a 的顺序数(1,2,,)i n = 如：在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0。
山西省太原市2017届高三年级模拟试题(二)数学(文科)(含解析)
山西省太原市2017届高三年级模拟试题（二）数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）已知()211zi i =-+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点的坐标是（ B ） （A ）()2,2- （B ）()2,2 （C ）()2,2-- （D ）()2,2- （2）已知集合{}1,2,4A =，{}2log ,B y y x x A ==∈，则A B = （ C ） （A ）{}1,2 （B ）[]1,2 （C ）{}0,1,2,4 （D ）[]0,4（3）已知()2,1a = ，()1,1b =-，则a 在b 方向上的投影为（ A ）（A ）2-（B ）2 （C ）- （D （4）已知公比1q ≠的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，333S a =，则5S =（ D ） （A ）1 （B ）5 （C ）3148（D ）1116（5）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为15，则途中直角三角形中较大锐角的正弦值为（ B ）（A （B （C ）15 （D（6）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ D ） （A ）16 （B ）12 （C ）23 （D ）13（7）函数()ln xf x x=的图象大致为（ A ）（A ） （B ） （C ） （D ）（8）执行下面的程序框图，则输出S =（ B ） （A ）2 （B ）3- （C ）12-（D ）13（9）已知实数x ，y 满足条件370313010x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ C ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 （10）将函数()cos2f x x =的图象向右平移3π个单位得到()g x 的图象，若()g x 在2,6m π⎛⎫-- ⎪⎝⎭和53,6m π⎛⎫ ⎪⎝⎭上都单调递减，则实数m 的取值范围为（ A ） （A ）5,918ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ （B ）,93ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ （C ）5,1218ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）5,1812ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （11）已知双曲线2213x y -=的右焦点是抛物线()220y px p =>的焦点，直线y kx m =+与抛物线相交于A ，B 两个不同的点，点()2,2M 是AB 的中点，则AOB （O 为坐标原点）的面积是（ D ）（A） （B） （C（D）（12）已知()2xf x x e =⋅，若函数()()()21g x fx kf x =-+恰有三个零点，则下列结论正确的是（ D ）（A ）2k =± （B ）28k e = （C ）2k = （D ）2244e k e =+二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）（13）若命题“()10,,x x m x∀∈+∞+≥”是假命题，则实数m 的取值范围是 ()2,+∞ ． （14）已知4sin 5α=，2παπ<<，则sin 2α= 2425- ．（15）已知点O 是ABC ∆的内心，60BAC ∠=，1BC =，则BOC ∆面积的最大值为12． （16）已知三棱锥A BCD -中，2AB AC BC ===，BD CD ==点E 是BC 的中点，点A 在平面BCD射影恰好为DE 的中点，则该三棱锥外接球的表面积为6011π． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （17）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为()12n n n S +=，数列{}n b 满足()1n n n b a a n N *+=+∈． （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若()()21n an n c b n N *=⋅-∈，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【解析】（Ⅰ）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()()111222n n n n n n n a S S n ----=-=-=， 又11a =符合上式，n a n ∴=，121n n n b a a n +∴=+=+．（Ⅱ）()1212n an n n c b n +=-=⋅，()2341122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ①，()345122122232122n n n T n n ++=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ②，①-②得，()()234122241222222212412n n n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=-⋅-- ，()2124n n T n +∴=-⋅+（18）（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖规则如下：1．抽奖方案有以下两种，方案a ：从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将抽出的球放回甲袋中；方案b ；从装有2个红球，1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金10元；否则，没有奖金，兑奖后将抽出的球放回乙袋中．2．抽奖的条件是，顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a 抽奖一次；满150元，可根据方案b 抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案a 抽奖三次或方案b 抽奖两次或方案a 、b 各抽奖一次），已知顾客A 在该商场购买商品的金额为250元． （Ⅰ）若顾客A 只选择方案a 进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率；（Ⅱ）若顾客A 采用每种抽奖方式的可能性都相等，求其最有可能获得的奖金数（除0元外）．【解析】（Ⅰ）设“获奖金为15元”为时间B ，则()1212433339P B =⨯+⨯=． （Ⅱ）若按方案a 抽奖两次，则获奖金为15元的概率为11212433339p =⨯+⨯=，获奖金为30元的概率为2111339p =⨯=，若按方案a 、b 抽奖两次，则获奖金为15元的概率为3111339p =⨯=，获奖金为10元的概率为4224339p =⨯=，获奖金为25元的概率为5122339p =⨯=，故最有可能获得的奖金数为15元．（19）（本小题满分12分）如图（1），在平面六边形ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，且4AB =，2BC =，AE DE BF CF ====，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，分别沿直线AD ，BC 将ADE ∆，BCF∆翻折成如图（2）的空间几何体ABCDEF ．（Ⅰ）利用下列结论1或结论2，证明：E 、F 、M 、N 四点共面； 结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且仅有一个． 结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且仅有一个．（Ⅱ）若二面角E AD B --和二面角A F BC --都是60，求三棱锥E BCF -的体积．【解析】（Ⅰ）由题意，点E 在底面ABCD 的射影在MN 上，可设为点P ，同理，点F 在底面ABCD 的射影在MN 上，可设为点Q ，则EP ⊥面ABCD ，FQ ⊥面ABCD ，∴面EMP ⊥面ABCD ，面FNQ ⊥面ABCD ，又MN ⊂面ABCD ，MN ⊂面EMP ，MN ⊂面FNQ ，由结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且仅有一个，则E 、F 、M 、N 四点共面．（Ⅱ）若二面角E AD B --和二面角A F BC --都是60，则60EMP FNQ ∠=∠= ，易得1EM FN ==，则1cos 602MP EM ==，sin 60EP EM ==11112223423223E BCF ABCDEF E ABCD V V V --=-=⨯⨯⨯+⨯-⨯⨯=．（20）（本小题满分12分）如图，曲线C 由左半椭圆()2222:10,0,0x y M a b x a b+=>>≤和圆()22:25N x y -+=在y 轴右侧的部分连接而成，A ，B 是M 与N 的公共点，点P ，Q （均异于点A ，B ）分别是M ，N 上的动点．（Ⅰ）若PQ 的最大值为4M 的方程；（Ⅱ）若直线PQ 过点A ，且0AQ AP += ，BP BQ ⊥，求半椭圆M 的离心率．【解析】（Ⅰ）由已知得：当P 为半椭圆与x 轴的左交点，Q 为圆与x 轴的右交点时，PQ 会取得最大值，即24a +=2a =，由图像可得()0,1A ，即1b =，故半椭圆M 的方程为()22104x y x +=≤．（Ⅱ）设直线PQ 方程为1y kx =+，(),P P P x y ，(),Q Q Q x y ，联立()22125y kx x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 得()()221240k x k x ++-=，故2421A Q k x x k -+=+，2421Q k x k -∴=+，22411Q k k y k -++=+，又0AQ AP += ， 且(),1Q Q AQ x y =- ，(),1P P AP x y =- ，故02Q P Q P x x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，2241P k x k -∴=+，223411P k k y k -+=+， 又BP BQ ⊥，且(),1Q Q BQ x y =+ ，(),1P P BP x y =+ ，()()()()()()()()()222222224134124112111612011P Q P Q k k k k k x x y y k k k k -++-+--+++=+++=+-=++，解得34k =，故81,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入2221x y a +=解得283a =，故4e ==．（21）（本小题满分12分）已知函数()()22xf x e ax x a R =--∈．（Ⅰ）当0a =时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）当12e a <-时，证明：不等式()12ef x >-在()0,+∞上恒成立． 【解析】（Ⅰ）当0a =时，()2x f x e x =-，()2x f x e '=-，令()20xf x e '=-=解得ln 2x =，故当ln 2x =时，()f x 的最小值为()ln 222ln 2f =-． （Ⅱ）()22xf x e ax '=--，()12222102e f e a e ⎛⎫=-->---=⎪⎝⎭，()010f '=-<，故存在()00,1x ∈使得()00f x '=，令()22xh x e ax =--，则当()0,x ∈+∞时，()0221302xe h x e a e e ⎛⎫'=->--=->⎪⎝⎭， 故()h x 在()0,+∞单调递增，且()00h x =，0x x ∴=是()h x 的唯一零点，且在0x x =处()f x 取得最小值()()020000022x x f x e ax x e x ax =--=-+，又()00h x =即00220x e ax --=可得0012x e ax +=，()00000001122x x x x e f x e x e x ⎛⎫⎛⎫∴=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数：()12t t g t e t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1122t t g t e ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，二次求导可得()2t t g t e ⎛⎫''=- ⎪⎝⎭，故当()0,1t ∈时，()0g t ''<，即()g t '在()0,1t ∈单调递减，则当()0,1t ∈时，()()00g t g ''<<，可得()12t t g t e t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在()0,1t ∈单调递减， ()000012x x f x e x ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭在()00,1x ∈单调递减，()()10min 111122e f x f x e ⎛⎫∴=>--=- ⎪⎝⎭，得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，（其中ϕ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()tan cos sin 1ραθθ⋅-=（α为常数，0απ<<，且2πα≠），点A ，B （A 在x 轴的下方）是曲线1C 与2C 的两个不同交点．（Ⅰ）求曲线1C 普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）求AB 的最大值及此时点B 的坐标．【解析】（Ⅰ）由2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩得cos 2sin x yϕϕ⎧=⎪⎨⎪=⎩，平方，相加得1C ：2214x y +=，2C ：tan 10x y α⋅--=．（Ⅱ）将2C 化为参数方程：cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩（t 为参数），将2C 参数方程代入1C ，得2221cos sin 2sin 04t t ααα⎛⎫+-⋅=⎪⎝⎭，12222sin 1cos sin 4t t ααα+=+，120t t ⋅=， 222sin 811cos sin 3sin 4sin AB ααααα∴==++， 0απ<<，且2πα≠，()sin 0,1α∈，minAB ∴=B的坐标为133⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭．（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()210f x x m x m =++->．（Ⅰ）当1m =时，解不等式()3f x ≥；（Ⅱ）当2,2x m m ⎡⎤∈⎣⎦时，不等式()112f x x ≤+恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】（Ⅰ）当1m =时，()3,111212,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=++-=--≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，由()3f x ≥解得1x ≤-或1x ≥．（Ⅱ）()1111211222f x x x m x x ≤+⇒++-≤+，2,2x m m ⎡⎤∈⎣⎦ ，且0m >， 111212121222m x x x m x x x ∴+≤+--⇒≤+---， 令()131,02212113,2x x t x x x x x x ⎧+<≤⎪⎪=+---=⎨⎪->⎪⎩，由题意得202m m m >⎧⎨<⎩，解得12m >， ()()2min 21t x t m m m ∴=≥⇒≤，112m ∴<≤．。
2017年高考全国Ⅱ文科数学试题及答案(word解析版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（文科）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年全国Ⅱ，文1，5分】设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B = （ ）（A ）{}123,4，， （B ）{}123,, （C ）{}234，， （D ）{}134，， 【答案】A【解析】由题意{1,2,3,4}A B = ，故选A ．（2）【2017年全国Ⅱ，文2，5分】()()12i i ++=（ ）（A ）1i - （B ）13i + （C ）3i + （D ）33i + 【答案】B【解析】由题意()()1213i i i ++=+，故选B ．（3）【2017年全国Ⅱ，文3，5分】函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ）（A ）4π （B ）2π （C ）π （D ）2π【答案】C【解析】由题意22T ππ==，故选C ． （4）【2017年全国Ⅱ，文4，5分】设非零向量a ，b 满足a b a b +=-则（ ）（A ）a b ⊥ （B ）a b = （C ）//a b （D ）a b > 【答案】A【解析】由||||a b a b +=- 平方得2222()2()()2()a ab b a ab b ++=-+ ，即0ab = ，则a b ⊥，故选A ． （5）【2017年全国Ⅱ，文5，5分】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是（ ）（A）)∞ （B）) （C）(1 （D ）()12，【答案】C【解析】由题意的22222221111,1,112,1c a e a e a a a a+===+>∴<+<∴<< C ．（6）【2017年全国Ⅱ，文6，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） （A ）90π （B ）63π （C ）42π （D ）36π 【答案】B【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为2213634632V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B ．（7）【2017年全国Ⅱ，文7，5分】设x 、y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）（A ）15- （B ）9- （C ）1 （D ）9 【答案】A【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点()6,3B --处取得最小值12315z =--=-，故选A ．（8）【2017年全国Ⅱ，文8，5分】函数()2()ln 28f x x x =-- 的单调递增区间是( )（A ）(),2-∞- （B ）(),1-∞- （C ）()1,+∞ （D ）()4,+∞【答案】D【解析】函数有意义，则2280x x -->，解得2x <-或4x >，结合二次函数的单调性，对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调区间为()4,+∞，故选D ． （9）【2017年全国Ⅱ，文9，5分】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）（A ）乙可以知道两人的成绩 （B ）丁可能知道两人的成绩 （C ）乙、丁可以知道对方的成绩 （D ）乙、丁可以知道自己的成绩 【答案】D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D ．（10）【2017年全国Ⅱ，文10，5分】执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】B 【解析】阅读流程图，初始化数值1,1,0a k S =-==，循环结果执行如下：第一次：1,1,2S a k =-==；第二次：1,1,3S a k ==-=；第三次：2,1,4S a k =-==；第四次：2,1,5S a k ==-=； 第五次：3,1,6S a k =-==；第六次：3,1,7S a k ==-=；循环结束，输出3S =，故选B ．（11）【2017年全国Ⅱ，文11，5分】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）（A ）110 （B ）15（C ）310 （D ）25【答案】D【解析】如下表所示，表中的点横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数总计有25种情况，满足条件的有10种，所以所求概率为102255=，故选D ．（12）【2017年全国Ⅱ，文12，5分】过抛物线2:4C y x =的焦点F ，且斜C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为（ ） （A（B） （C） （D）【答案】C【解析】由题意):1MF y x -，与抛物线24y x =联立得231030x x -+=，解得113x =，23x =，所以(3,M ， 因为M N l ⊥，所以(1,N -，因为()1,0F，所以):1NF y x =-，所以M 到NF 的距离为=C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． （13）【2017年全国Ⅱ，文13，5分】函数()=2cos sin f x x x +的最大值为______．【解析】()f x ．（14）【2017年全国Ⅱ，文14，5分】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ()∈∞-，0时，()322f x x x =+，则()2f =__ ____．【答案】12【解析】(2)(2)[2(8)4]12f f =--=-⨯-+=． （15）【2017年全国Ⅱ，文15，5分】长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O的表面积为_______． 【答案】14π【解析】球的直径是长方体的对角线，所以2414R S R ππ==∴==． （16）【2017年全国Ⅱ，文16，5分】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B =_______．【答案】3π 【解析】由正弦定理可得1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=． 三、解答题：共70分。
山西省太原市2017-2018学年高三第二次模拟考试理数试题 Word版含答案
2017-2018学年 数学试卷（理工类）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合2{log (1)2}A x x =-<，{6}B x a x =<<，且{2}A B x x b =<< ，则a b +=（ ）A ．7B ．6C ．5D ．42.如图，在复平面内，表示复数z 的点为A ，则复数12zi-的共轭复数是（ ） A ．i B ．i - C ．35i D ．35i -3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又单调递增的函数是（ ） A ．1yx=-B ．33x x y -=-C ．y x x =D ．3y x x =- 4.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（ ） A ．30 B ．24 C ．12 D ．45.若函数()f x 同时满足以下三个性质：①()f x 的最小正周期为π；②对任意的x R ∈，都有()()04f x f x π-+-=；③()f x 在(,)42ππ上是减函数，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()sin 2f x x =B ．()sin 2cos 2f x x x =+C ．()sin()8f x x π=+D ．3()cos(2)4f x x π=+6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是（ ） A ．{1,2,3,4,5} B ．{1,2,3,4,5,6} C ．{2,3,4,5} D ．{2,3,4,5,6}7.设,x y 满足不等式组60210320x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，若z ax y =+的最大值为24a +，最小值为1a +，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2,1]-B ．[1,2]-C ．[3,2]--D ．[3,1]-8.已知三棱锥S ABC -中，底面ABCSA 垂直于底面ABC ，1SA =，那么三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．2πB ．4πC ．6πD ．5π9. 已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>与函数y =(0)x ≥的图象交于点P，若函数y =P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是（ ）ABCD ．3210.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a和都是等差数列，且公差相等，则100S =（ ）A ．50B ．100C ．1500D ．250011.已知圆22:1C x y +=，点00(,)P x y 是直线:3240l x y +-=上的动点，若在圆C 上总存在两个不同的点,A B ，使OA OB OP +=，则0x 的取值范围是（ ）A ．24(0,)13 B ．24(,0)13- C ．13(0,)24 D ．13(0,)1212.已知函数1()ln 22x f x =+，2()x g x e -=，若()()gm f n =成立，则n m -的最小值为（ ）A ．1ln 2-B ．ln 2 C．3 D ．23e -第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知6)a x的展开式中含32x 的项的系数为30，则实数a =____________.14.在区间[]0,1上随机抽取两个数,x y ，则事件“12xy ≥”发生的概率为_____________.15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2sin sin a bc B A+=，则C ∠的大小是__________.16.已知关于x的函数222sin()4()2cos tx x xf x x xπ++=+的最大值为a ，最小值为b ，若2a b +=，则实数t 的值为_________.三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，12a =，且14n n n S a a +=∙，数列{}n b 中，114b =，且1(1)n n nnb b n b +=+-，*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12332n n n b a c +=（*n N ∈），求{}n c 的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，1A B AC ⊥，且15A B AC ==，113AA BC ==，12AB =.（1）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ； （2）求二面角1A BB C --的正切值的大小.19.（本小题满分12分）近几年来，我国许多地区经常出现雾霾天气，某学校为了学生的健康，对课间操活动做了如下规定：课间操时间若有雾霾则停止组织集体活动，若无雾霾则组织集体活动，预报得知，这一地区在未来一周从周一到周五5天的课间操时间出现雾霾的概率是：前3天均为50%，后2天均为80%，且每一天出现雾霾与否是相互独立的. （1）求未来一周5天至少一天停止组织集体活动的概率；（2）求未来一周5天不需要停止组织集体活动的天数X 的分布列；（3）用η表示该校未来一周5天停止组织集体活动的天数，记“函数2()1f x x x η=--在区间(3,5)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率. 20.（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2（1）已知点,A B 是椭圆上两点，点C 为椭圆的上顶点，ABC ∆的重心恰好是椭圆的右焦点F ，求,A B 所在直线的斜率；（2）过椭圆的右焦点F 作直线12,l l ，直线1l 与椭圆分别交于点,M N ，直线2l 与椭圆分别交于点,P Q ，且2222MP NQ NP MQ +=+ ，求四边形MPNQ 的面积S 最小时直线1l 的方程.21.（本小题满分12分）已知函数2()1xf x e ax bx =---（,a b R ∈，e 为自然对数的底数）.（1）若对于任意[]0,1a ∈，总存在[1,2]x ∈，使得()0f x ≤成立，求b 的最小值； （2）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，1O 与2O 相交于,A B 两点，AB 是2O 的直径，过A 点作1O 的切线交2O 于点E ，并与1BO 的延长线交于点P ，PB 分别与1O ，2O 交于,C D 两点.（1）求证：PA PD PE PC ∙=∙；（2）求证：AD AE =.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l的方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+，直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B . （1）若3πα=，求线段AB 中点M 的直角坐标；（2）若2PA PB OP ∙=，其中P ，求直线l 的斜率. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()21f x x x a =++-，a R ∈. （1）当2a =时，求不等式()4f x <的解集； （2）当12a <-时，对于1(,]2x ∀∈-∞-，都有()3f x x +≥成立，求a 的取值范围.太原市2016年高三年级模试题（二）数学试卷（理工类）参考答案一、选择题：1-5.ABCBB 6-10.CADBD 11-12.AB二、填空题：13.-5 14.1ln 22- 15. 2π16.1 三、解答题：17.解：（1）1n =时，可得24a =，∴{}n a 的奇数项和偶数项分别以4为公差的等差数列， 当*21,n k k N =-∈时，21422n k a a k n -==-=；当2n k =，*k N ∈时，242n k a a k n ===. ∴2n a n =*()n N ∈. （2）∵1111n n n b nb n ++=-，1111(1)(1)n n n b nb n n +=-++， ∴11111()(1)1n n nb n b n n--=----， 121111()(1)(2)21n n n b n b n n ---=------，…21111(1)22b b -=--， ∴131n n nb n+=， ∴1(2)31n b n n =≥+，1n =也适合，*1()31n b n N n =∈+， ∴2n n nc =，再由错位相减得222n n n T +=-.18.（1）证明：在ABC ∆中，∵222AB AC BC +=，∴AC AB ⊥，又∵1A B AC ⊥，且1,A B AB 是平面11ABB A 内的两条相交直线， ∴AC ⊥平面11ABB A ， 又AC ⊂平面11ACC A ，∴平面11ABB A ⊥平面11ACC A . （2）在1A BA ∆中，∵22211A B AB AA +=， ∴1A B AB ⊥，双∵1A B AC ⊥，且,AB AC 是平面ABC 内的两条相交直线，∴1A B ⊥面ABC ，建立如图所示的坐标系，则(0,0,0)B ，(12,0,0)A ，(12,5,0)C ，1(0,0,5)A ，1(12,0,5)B -，取平面11ABB A 的一个法向量1(0,1,0)n = ， 设平面11BCC B 的一个法向量2(,,)n x y z =，由21200n BB n BC ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩ ，得12501250x z x y -+=⎧⎨+=⎩， 取5x =，则2(5,12,12)n =-，∴121212cos ,n n n n n n ∙==∙1A BB C --的大小为θ，则cos θ=， ∴13tan 12θ=，二面角1A BB C --的正切值为1312.19.解：（1）未来一周5天都组织集体活动的概率是32111()()25200P ==， 则至少有一天停止组织集体活动的概率是1991200P -=.（2）X 的取值是0，1，2，3，4，5， 则2(0)25P X ==， 311322314114567(1)()()()2552520025P X C C ==⨯⨯⨯+==，23213132332141141173(2)()()()()()2525525200P X C C C ==+⨯⨯⨯+=，13223132332111141443(3)()()()()()2525525200P X C C C ==+⨯⨯⨯+=，23231321111411(4)()()()25255200P X C C ==+⨯⨯⨯=，32111(5)()()25200P X ===，∴不需要停止组织集体活动的天数X 分布列是（3）因为函数2()1f x x x η=--在区间(3,5)上有且只有一个零点，且05η≤≤， 则(3)(5)0f f <，∴82435η<<， 故3η=或4， 故所求概率为：132231323123233223141141114114737129()[()()()()()][()()()]25255252552520025200P A C C C C C =+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯+=+=20.（1）由题意：2c a =，22b a =，解得1,1b c ==， 所求椭圆的方程为2212x y +=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，∵(1,0)F ，∴(0,1)C ，根据题意1213x x +=，12103y y ++=， 即123x x +=，121y y +=-.由221112x y += ①，222212x y += ② ①-②得12121212()()02x x y yy y x x +-++∙=-， ∴1212121232()2AB y y x x k x x y y -+==-=-+.（2）设(,)M M M x y ，(,)N N N x y ，(,)P P P x y ，(,)Q Q Q x y ，则由题意：2222MP NQ NP MQ +=+ ，即22222222()()()()()()()()M P M P N Q N Q N P N P M Q M Q x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-+-+-整理得：0N P M Q M P N Q N P M Q M P N Q x x x x x x x x y y y y y y y y +--++--=， 即()()()()0N M P Q N M P Q x x x x y y y y --+--=，所以12l l ⊥.①若直线12l l ⊥中有一条斜率不存在，不妨设2l 的斜率不存在，则2l x ⊥轴，所以MN =PQ =故四边形MPNQ的面积11222S PQ MN ==⨯=. ②若直线12,l l 的斜率存在，设直线1l 的方程为：(1)(0)y k x k =-≠，则由2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(21)4220k x k x k +-+-=，则22421M N k x x k +=+，222221M N k x x k -=+，M N MN x =-==，同理可求得，PQ =，故四边形MPNQ 的面积：2211416122922S PQ MN k k===≥+++ （当1k =±取“=”），此时，四边形MPNQ 面积S 的最小值为1629<， 所以直线1l 方程为：10x y --=或10x y +-=. 21.解：（1）设2()1x g a e ax bx =---，则[1,2]x ∈时，()g a 在[]0,1上为减函数， 所以只要(0)10x g e bx =--≤，所以只要10xe bx --≤在[1,2]上有解即可.即1x e b x -≥在[1,2]上有解，设1()x e h x x-=，因为'2(1)1()0x e x h x x -+=>，所以()h x 在[1,2]上为增函数，只要(1)1b h e ≥=-，所以b 的最小值是1e -.（2）2()1x f x e ax bx =---，'()2x f x e ax b =--， 由(1)0f =，得10e a b ---=，∴1b e a =--， ∴'()21x f x e ax e a =--++，又(0)0f =.若函数()f x 在区间(0,1)内有零点，设0x 为()f x 在区间(0,1)内的一个零点， 则由0(0)()0f f x ==可知，()f x 在区间0(0,)x 内不可能单调， 则'()f x 在区间0(0,)x 内不可能恒为正，也不可能恒为负，故'()f x 在区间0(0,)x 内存在零点1x ，同理'()f x 在区间0(,1)x 内存在零点2x ， 故函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间，'()f x 在区间(0,1)内至少有两个零点.设'()()2xu x f x e ax b ==--， ∴'()2x u x e a =-. 当12a ≤或2e a ≥时，函数'()f x 在区间(0,1)内单调， 不满足“函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间”； 当122ea <<时，'()f x 在区间(0,ln(2))a 内单调递减，在区间(ln(2),1)a 内单调递增， 因此1(0,ln(2))x a ∈，2(ln(2),1)x a ∈，又'min ()(ln(2))22ln(2)132ln(2)1f x g a a a a e a a a a e ==--++=--+， 令()32ln(2)1v x x x x e =--+1()22ex <<，则'()12ln(2)v x x =-， 令'()0v x =，得x =依表格知：当22x <<时，max ()10v x e =+<， ∴'min ()32ln(2)10f x a a a e =--+<恒成立，于是，函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间满足122(0)0(1)0e a u u ⎧<<⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩，即1222010e a e a a ⎧<<⎪⎪-+>⎨⎪-+>⎪⎩， 解得21e a -<<，综上所述，a 的取值范围为(2,1)e -. 22.（1）∵,PE PB 分别是2O 的割线， ∴PA PE PD PB ∙=∙，又∵,PA PB 分别是1O 的切线和割线， ∴2PA PC PB =∙， ∴PE PDPA PC=， ∴PA PD PE PC ∙=∙. （2）连结,AC ED ，∵BC 是1O 的直径，∴090CAB ∠=， ∴AC 是2O 的切线， 由（1）知PA PCPE PD=，∴//AC ED ， ∴AB DE ⊥，CAD ADE ∠=∠,又∵AC 是2O 的切线，∴CAD AED ∠=∠， ∴AED ADE ∠=∠，∴AD AE =，（或AB DE ⊥，∵AB 是2O 的直径，由垂径定理得， AD DE=,∴AD AE =.）23.解：（1）曲线C 的普通方程是2214x y +=, 当3πα=时，设点M 对应的参数为0t ，直线l方程为1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入曲线C 的普通方程2214x y +=，得21356480t t ++=， 设直线C 上的点,A B 对应参数分别为12,t t ，则12028213t t t +==-， 所以点M的坐标为12(,13. （2）将2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩代入曲线C 的普通方程2214x y +=，得222(cos 4sin )4cos )120t t αααα++++=， 因为122212cos 4sin PA PB t t αα∙==+，27OP =，所以22127cos 4sin αα=+， 解得25tan 16α=，由于32cos cos )0ααα∆=->，故tan α=， 所以直线l24.解（1）令210x +=，得12x =-；令20x -=，得2x =. ①当2x ≥时，原不等式化为2124x x ++-<，即53x <，无解；②当122x -<<时，原不等式化为2124x x ++-<，即1x <，得112x -<<.③当12x ≤-时，原不等式化为2124x x --+-<，即1x >-，得112x -<≤-，所以原不等式的解集为{11}x x -<<. （2）令()()g x f x x =+，当12x ≤-时，()1g x x a x =---， 由12a <-，得11,()221,a a x g x x a x a⎧--<≤-⎪=⎨⎪-+-≤⎩，对于1(,]2x ∀∈-∞-使得()3f x x +≥恒成立，只需min ()3g x ≥ 1((,])2x ∈-∞-即可， 作出()g x 的大致图象，易知，min ()()1g x g a a ==--， ∴13a --≥，得4a ≤-。
2017年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（ ）A．A∩B={x|x＜}B．A∩B=∅C．A∪B={x|x＜}D．A∪B=R2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数3．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．5．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x 轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（ ）A．B．C．D．6．（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）A．B．C．D．7．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（ ）A．0B．1C．2D．38．（5分）函数y=的部分图象大致为（ ）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（ ）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称10．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+211．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（ ）A．B．C．D．12．（5分）设A，B是椭圆C：+=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（ ）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，]∪[9，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞）D．（0，]∪[4，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017年全国2卷高考文科数学真题及详细解析(解析版,学生版,精校版,新课标Ⅱ卷)
2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3，4}D．{1，3，4} 2．（5分）（1+i）（2+i）=（）A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i3．（5分）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．4．（5分）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（）A．⊥B．||=||C．∥D．||＞||5．（5分）若a＞1，则双曲线﹣y2=1的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，2）C．（1，）D．（1，2）6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π7．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15B．﹣9C．1D．98．（5分）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）9．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩10．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A．2B．3C．4D．511．（5分）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A．B．2C．2D．3二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f （x）=2x3+x2，则f（2）=．15．（5分）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为．16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．（1）证明：直线BC∥平面PAD；（2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．附：P（K2≥K）0.0500.0100.001K 3.841 6.63510.828K2=．20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足=．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l 过C的左焦点F．21．（12分）设函数f（x）=（1﹣x2）e x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．选考题：共10分。
2017年山西省太原市育英中学高考数学模拟试卷与解析word(文科)
2017年山西省太原市育英中学高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共l2小题．每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x≤1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩B=（）A．（0，1） B．[﹣1，1]C．（0，1]D．[﹣1，1）2．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）3．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1 D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤14．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．65．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x 轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．6．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b7．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．98．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）A．B．C．D．9．（5分）三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A．866 B．500 C．300 D．13410．（5分）已知，把f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到y=g（x）的图象，则（）A．g（x）为奇函数 B．g（x）为偶函数C．g（x）在上单调递增D．g（x）的一个对称中心为11．（5分）某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．4πB．πC．πD．20π12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，则m=．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．15．（5分）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为．16．（5分）三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为3的正三角形，SC是球O的直径，且SC=4，则此三棱锥的体积V=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．18．（12分）某医学院读书协会欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该协会分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如图所示的频率分布直方图．该协会确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）已知选取的是1月至6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出就诊人数y关于昼夜温差x的线性回归方程；（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（Ⅰ）中该协会所得线性回归方程是否理想？参考公式：回归直线的方程，其中，．19．（12分）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．20．（12分）设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．21．（12分）已知函数f（x）=ln+ax﹣1（a≠0）．（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知g（x）+xf（x）=﹣x，若函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：g（x1）＜0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的普通方程及极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OT：与曲线C交于点A与直线l交于点B，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+3|+|x﹣2|（Ⅰ）若∀x∈R，f（x）≥6a﹣a2恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形的面积．2017年山西省太原市育英中学高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共l2小题．每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x≤1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩B=（）A．（0，1） B．[﹣1，1]C．（0，1]D．[﹣1，1）【解答】解：集合A={x|x≤1}，B={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，则A∩B={x|x ≤1}∩{x|0＜x＜2}=（0，1]，故选：C．2．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）【解答】解：A．i（1+i）2=i•2i=﹣2，是实数．B．i2（1﹣i）=﹣1+i，不是纯虚数．C．（1+i）2=2i为纯虚数．D．i（1+i）=i﹣1不是纯虚数．故选：C．3．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1 D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤1【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1，故选：B．4．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．5．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x 轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．6．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b 【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1，∴log c a＜log c b，故B正确；∴当a＞b＞1时，0＞log a c＞log b c，故A错误；a c＞b c，故C错误；c a＜c b，故D错误；故选：B．7．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得A（﹣6，﹣3），则z=2x+y 的最小值是：﹣15．故选：A．8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，∴AB=BC，由余弦定理得：AC===BC，故BC•BC=AB•AC•sinA=•BC•BC•sinA，∴sinA=，故选：D．9．（5分）三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A．866 B．500 C．300 D．134【解答】解：如图，设勾为a，则股为，∴弦为2a，则图中大四边形的面积为4a2，小四边形的面积为=（）a2，则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为．∴落在黄色图形内的图钉数大约为1000≈134．故选：D．10．（5分）已知，把f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到y=g（x）的图象，则（）A．g（x）为奇函数 B．g（x）为偶函数C．g（x）在上单调递增D．g（x）的一个对称中心为【解答】解：由=sin2x+cos2x﹣=sin（2x+）．把f（x）的图象向右平移个单位，可得sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）．再向上平移个单位，可得：sin（2x﹣）=g（x）．∵g（﹣x）=sin（﹣2x﹣）=﹣sin（2x+）≠﹣g（x）．∴A不对．∵g（﹣x）=sin（﹣2x﹣）=﹣sin（2x+）≠g（x）．∴B不对．令2x﹣可得：，∴g（x）在上单调递增，∴C对．当x=时，可得f（）=sin（﹣π﹣）=．∴不是对称中心．∴D不对．故选：C．11．（5分）某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．4πB．πC．πD．20π【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r==，球的表面积4πr2=4π×=π．故选：B．12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，则m=﹣6．【解答】解：向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，可得12=﹣2m，解得m=﹣6．故答案为：﹣6．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ+）=，∴cos（θ+）=．∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．故答案为：﹣．15．（5分）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为1．【解答】解：函数f（x）=ax﹣lnx，可得f′（x）=a﹣，切线的斜率为：k=f′（1）=a﹣1，切点坐标（1，a），切线方程l为：y﹣a=（a﹣1）（x﹣1），l在y轴上的截距为：a+（a﹣1）（﹣1）=1．故答案为：1．16．（5分）三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为3的正三角形，SC是球O的直径，且SC=4，则此三棱锥的体积V=．【解答】解：因为△ABC是边长为3的正三角形，所以△ABC外接圆的半径r=，所以点O到平面ABC的距离d=，SC为球O的直径，点S到平面ABC的距离为2d=2，此棱锥的体积为V==，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n=3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1=nb n．即3b n+1=b n．即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．18．（12分）某医学院读书协会欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该协会分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如图所示的频率分布直方图．该协会确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）已知选取的是1月至6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出就诊人数y关于昼夜温差x的线性回归方程；（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（Ⅰ）中该协会所得线性回归方程是否理想？参考公式：回归直线的方程，其中，．【解答】解：（Ⅰ）由数据求得，，，由公式求得，所以，所以y关于x的线性回归方程为．（Ⅱ）当x=10时，，；同样，当x=6时，，．所以，该协会所得线性回归方程是理想的．19．（12分）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．【解答】证明：（1）取AC中点O，连结DO、BO，∵△ABC是正三角形，AD=CD，∴DO⊥AC，BO⊥AC，∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO，∵BD⊂平面BDO，∴AC⊥BD．解：（2）法一：连结OE，由（1）知AC⊥平面OBD，∵OE⊂平面OBD，∴OE⊥AC，设AD=CD=，则OC=OA=1，EC=EA，∵AE⊥CE，AC=2，∴EC2+EA2=AC2，∴EC=EA==CD，∴E是线段AC垂直平分线上的点，∴EC=EA=CD=，由余弦定理得：cos∠CBD==，即，解得BE=1或BE=2，∵BE＜＜BD=2，∴BE=1，∴BE=ED，∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，∵BE=ED，∴S=S△BCE，△DCE∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．法二：设AD=CD=，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，∴BO==，∴BO2+DO2=BD2，∴BO⊥DO，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，则C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），A（1，0，0），设E（a，b，c），，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣1）=λ（0，，﹣1），解得E（0，，1﹣λ），∴=（1，），=（﹣1，），∵AE⊥EC，∴=﹣1+3λ2+（1﹣λ）2=0，由λ∈[0，1]，解得，∴DE=BE，∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，=S△BCE，∵DE=BE，∴S△DCE∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．20．（12分）设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．【解答】解：（1）设A（x1，），B（x2，）为曲线C：y=上两点，则直线AB的斜率为k==（x1+x2）=×4=1；（2）设直线AB的方程为y=x+t，代入曲线C：y=，可得x2﹣4x﹣4t=0，即有x1+x2=4，x1x2=﹣4t，再由y=的导数为y′=x，设M（m，），可得M处切线的斜率为m，由C在M处的切线与直线AB平行，可得m=1，解得m=2，即M（2，1），由AM⊥BM可得，k AM•k BM=﹣1，即为•=﹣1，化为x1x2+2（x1+x2）+20=0，即为﹣4t+8+20=0，解得t=7．则直线AB的方程为y=x+7．21．（12分）已知函数f（x）=ln+ax﹣1（a≠0）．（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知g（x）+xf（x）=﹣x，若函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：g（x1）＜0．【解答】（I）解：f（x）=ln+ax﹣1=﹣lnx+ax﹣1，定义域是（0，+∞）∴f′（x）=．a＞0时，令f′（x）=0，得x=，0＜x＜，f′（x）＜0，x＞，f′（x）＞0，∴函数的单调减区间是（0，），单调增区间是（，+∞）；a＜0，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函数单调递减；（Ⅱ）证明：已知g（x）+xf（x）=﹣x，则g（x）=xlnx﹣ax2，g′（x）=lnx﹣2ax+1，∵函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），∴g′（x）在定义域上有两个零点x1，x2（x1＜x2），∴x1，x2是lnx﹣2ax+1=0的两个根，∴lnx1﹣2ax1+1=0，∴g（x1）=，∵g′（x）=lnx﹣2ax+1，∴g″（x）=．a＜0时，g″（x）＞0恒成立，∴g′（x）在（0，+∞）内单调递增，∴g′（x）至多一个零点；a＞0时，令g″（x）=0得x=，0＜x＜，g″（x）＞0，x＞，g″（x）＜0，∴g′（x）max=g′（）=ln=﹣ln2a＞0，∴0＜a＜且0＜x1＜＜x2，∵g（x1）=，抛物线开口向上，对称轴为x=，∴g（x1）＜0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的普通方程及极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OT：与曲线C交于点A与直线l交于点B，求线段AB的长．【解答】解：（1）因为曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数t得曲线C的普通方程为（x﹣1）2+y2=3，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2=0．（2）联立，得ρ2﹣ρ﹣2=0，由ρ＞0解得ρ=2，∴射线OT与曲线C的交点A的极坐标为（2，），联立，得ρ=6，故射线OT与直线l的交点B的极坐标为（6，），∴|AB|=|ρB﹣ρA|=4．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+3|+|x﹣2|（Ⅰ）若∀x∈R，f（x）≥6a﹣a2恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，关于x的不等式|x+3|+|x﹣2|≥6a﹣a2在R恒成立，因为|x+3|+|x﹣2|≥|（x+3）﹣（x﹣2）|=5，所以6a﹣a2≤5，解得a≤1或a≥5．（Ⅱ）f（x）=9，可得x=﹣5或x=4，如图所示，函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形是等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，面积为=28．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
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2017年山西省太原市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知=1﹣i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点的坐标是（）A．（2，﹣2）B．（2，2） C．（﹣2，﹣2）D．（﹣2，2）2．（5分）已知A={1，2，4}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∪B=（）A．{1，2}B．[1，2]C．{0，1，2，4}D．[0，4]3．（5分）已知=（2，1），=（﹣1，1），则在方向上的投影为（）A．﹣B．C．﹣D．4．（5分）已知公比q≠1的等比数列{a n}前n项和S n，a1=1，S3=3a3，则S5=（）A．1 B．5 C．D．5．（5分）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）执行如图的程序框图，则输出的S=（）A．2 B．﹣3 C．﹣ D．9．（5分）已知实数x，y满足条件，则z=|2x+y|的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．610．（5分）将函数f（x）=cos2x的图象向右平移个单位得到g（x）的图象，若g（x）在（﹣2m，﹣）和（3m，）上都单调递减，则实数m的取值范围为（）A．[，）B．[，） C．（，）D．[，] 11．（5分）已知双曲线﹣y2=1的右焦点是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，直线y=kx+m与抛物线交于A，B两个不同的点，点M（2，2）是AB的中点，则△OAB（O为坐标原点）的面积是（）A．4 B．3C． D．212．（5分）已知f（x）=x2•e x，若函数g（x）=f2（x）﹣kf（x）+1恰有三个零点，则下列结论正确的是（）A．k=±2 B．k=C．k=2 D．k=+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）若命题“∀x∈（0，+∞），x+≥m”是假命题，则实数m的取值范围是．14．（5分）已知sinα=，＜α＜π，则sin2α=．15．（5分）已知点O是△ABC的内心，∠BAC=60°，BC=1，则△BOC面积的最大值为．16．（5分）已知三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BC=2，BD=CD=，点E是BC的中点，点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点，则该三棱锥外接球的表面积为．三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=，数列{b n}满足b n=a n+a n+1（n ∈N*）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若c n=2•（b n﹣1）（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．18．（12分）某商城举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖规则如下：1．抽奖方案有以下两种，方案a：从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将抽出的球放回甲袋中，方案b：从装有2个红球、1个白球（仅颜色相同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金10元；否则，没有奖金，兑奖后将抽出的球放回乙袋中．2．抽奖条件是，顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a抽奖一次：满150元，可根据方案b抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案a抽奖三次或方案b抽奖两次或方案a、b各抽奖一次）．已知顾客A在该商场购买商品的金额为250元．（1）若顾客A只选择方案a进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率；（2）若顾客A采用每种抽奖方式的可能性都相等，求其最有可能获得的奖金数（除0元外）．19．（12分）如图（1）在平面六边形ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，且AB=4，BC=2，AE=DE=，BF=CF=，点M，N分别是AD，BC的中点，分别沿直线AD，BC将△DEF，△BCF翻折成如图（2）的空间几何体ABCDEF．（1）利用下面的结论1或结论2，证明：E、F、M、N四点共面；结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个；结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个．（2）若二面角E﹣AD﹣B和二面角F﹣BC﹣A都是60°，求三棱锥E﹣BCF的体积．20．（12分）如图，曲线C由左半椭圆M：+=1（a＞0，b＞0，x≤0）和圆N：（x﹣2）2+y2=5在y轴右侧的部分连接而成，A，B是M与N的公共点，点P，Q（均异于点A，B）分别是M，N上的动点．（1）若|PQ|的最大值为4+，求半椭圆M的方程；（2）若直线PQ过点A，且+=，⊥，求半椭圆M的离心率．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣2x（a∈R）．（1）当a=0时，求f（x）的最小值；（2）当a＜﹣1时，证明：不等式f（x）＞﹣1在（0，+∞）上恒成立．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ（tanα•cosθ﹣sinθ）=1（α为常数，0＜α＜π，且α≠），点A，B（A 在x轴下方）是曲线C1与C2的两个不同交点．（1）求曲线C1普通方程和C2的直角坐标方程；（2）求|AB|的最大值及此时点B的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+m|+|2x﹣1|（m＞0）．（1）当m=1时，解不等式f（x）≥3；（2）当x∈[m，2m2]时，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求实数m的取值范围．2017年山西省太原市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知=1﹣i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点的坐标是（）A．（2，﹣2）B．（2，2） C．（﹣2，﹣2）D．（﹣2，2）【解答】解：由=1﹣i，得z=（1﹣i）（1+i）2=2i（1﹣i）=2+2i．则复数z在复平面内对应的点的坐标是：（2，2）．故选：B．2．（5分）已知A={1，2，4}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∪B=（）A．{1，2}B．[1，2]C．{0，1，2，4}D．[0，4]【解答】解：∵A={1，2，4}，B={y|y=log2x，x∈A}={0，1，2}，∴A∪B={0，1，2，4}．故选：C．3．（5分）已知=（2，1），=（﹣1，1），则在方向上的投影为（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：，；∴在方向上的投影为：．4．（5分）已知公比q≠1的等比数列{a n}前n项和S n，a1=1，S3=3a3，则S5=（）A．1 B．5 C．D．【解答】解：因为S3=a1+a2+a3=3a3，∴a1+a2=2a3，化简可得1+q﹣2q2=0，解得q=1（舍）或q=﹣，由等比数列的前n项和公式得S5==，故选：D．5．（5分）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形的概率为，不妨设大正方形面积为5，小正方形面积为1，∴大正方形边长为，小正方形的边长为1．∴四个全等的直角三角形的斜边的长是，较短的直角边的长是1，较长的直角边的长是2，故sinθ=，6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知，该几何体为一个四棱锥，棱锥的底面为一个边长和高均为1的平行四边形，棱锥的高为1，所以该四棱锥的体积为×1×1×1=，故选：D．7．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）是奇函数，故f（x）的图象关于原点对称，当x＞0时，f（x）=，∴当0＜x＜1时，f（x）＜0，当x＞1时，f（x）＞0，故选：A．8．（5分）执行如图的程序框图，则输出的S=（）A．2 B．﹣3 C．﹣ D．【解答】解：模拟程序的运行，可得：S=2，n=1满足条件n≤2017，执行循环体，S==﹣3，n=2，满足条件n≤2017，执行循环体，S==﹣，n=3，满足条件n≤2017，执行循环体，S==，n=4，满足条件n≤2017，执行循环体，S==2，n=5，…观察规律可知，S的取值周期为4，则：满足条件n≤2017，执行循环体，S==2，n=2017，满足条件n≤2017，执行循环体，S==﹣3，n=2018，不满足条件n≤2017，退出循环，输出S的值为﹣3．故选：B．9．（5分）已知实数x，y满足条件，则z=|2x+y|的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1）．目标函数z=|2x+y|=2x+y，化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为5．故选：C．10．（5分）将函数f（x）=cos2x的图象向右平移个单位得到g（x）的图象，若g（x）在（﹣2m，﹣）和（3m，）上都单调递减，则实数m的取值范围为（）A．[，）B．[，） C．（，）D．[，]【解答】解：将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，得g（x）=2cos2（x﹣）=2cos（2x﹣π），由2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，得kπ+≤x≤kπ+．若g（x）在（﹣2m，﹣）上单调递减，则有，此时k=2，解得＜m≤若g（x）在（3m，）上单调递减，则有，，此时k=0，解得≤m＜，同时成立，取交集，有≤m＜．故选：A．11．（5分）已知双曲线﹣y2=1的右焦点是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，直线y=kx+m与抛物线交于A，B两个不同的点，点M（2，2）是AB的中点，则△OAB（O为坐标原点）的面积是（）A．4 B．3C． D．2【解答】解：双曲线﹣y2=1的a=，b=1，c==2，右焦点为（2，0），则抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（2，0），即有2=，解得p=4，即抛物线方程为y2=8x，联立直线y=kx+m，可得k2x2+（2km﹣8）x+m2=0，判别式△=（2km﹣8）2﹣4k2m2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，点M（2，2）是AB的中点，可得=4，且2=2k+m，解得k=2，m=﹣2．满足判别式大于0．即有x1+x2=4，x1x2=1，可得弦长AB=•=•=2，点O到直线2x﹣y﹣2=0的距离d==，则△OAB（O为坐标原点）的面积是d•|AB|=××2=2．故选：D．12．（5分）已知f（x）=x2•e x，若函数g（x）=f2（x）﹣kf（x）+1恰有三个零点，则下列结论正确的是（）A．k=±2 B．k=C．k=2 D．k=+【解答】解：f（x）=x2•e x，若函数g（x）=f2（x）﹣kf（x）+1恰有三个零点，则要求g（x）=0有两个正解，设为：x1，x2；即要求f（x）=x1，或f（x）=x2；有3个解；即要求y=f（x）与y=x1的交点的个数以及y=f（x）与y=x2的交点的个数和为3，结合函数f（x）=x2•e x的图象，不妨设y=f（x）与y=x1的交点个数为2，则x1=f（﹣2）=，又x1•x2=1，则x2=，故k=x1+x2=．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）若命题“∀x∈（0，+∞），x+≥m”是假命题，则实数m的取值范围是（2，+∞）．【解答】解：由题意得：命题““∃x∈（0，+∞），x+＜m”是真命题，∵x∈（0，+∞），x+≥2，故m∈（2，+∞），故答案为：（2，+∞）．14．（5分）已知sinα=，＜α＜π，则sin2α=﹣．【解答】解：∵sinα=，＜α＜π，∴cosα=﹣=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=﹣．故答案为：﹣．15．（5分）已知点O是△ABC的内心，∠BAC=60°，BC=1，则△BOC面积的最大值为．【解答】解：∵是△ABC的内心，∠BAC=60°，∴∠BOC=180°﹣=120°，由余弦定理可得BC2=OC2+OB2﹣2OC•OB•cos120，即OC2+OB2=1﹣OC•OB，又OC2+OB2≥2OC•OB，∴OC•OB≤，∴S=OC•OB•sin120°≤，△BOC则△BOC面积的最大值为，故答案为：．16．（5分）已知三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BC=2，BD=CD=，点E是BC的中点，点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点，则该三棱锥外接球的表面积为．【解答】解：由题意，△BCD为等腰直角三角形，E是外接圆的圆心，点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点F，则BF==，∴AF==，设球心到平面BCD是距离为h，则1+h2=+（﹣h）2，∴h=，r==，∴该三棱锥外接球的表面积为=．故答案为．三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=，数列{b n}满足b n=a n+a n+1（n ∈N*）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若c n=2•（b n﹣1）（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由S n=，可得：a1==1；n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=n．n=1时也成立．∴a n=n．∴b n=a n+a n+1=n+n+1=2n+1．（2）c n=•（b n﹣1）=2n•2n=n•2n+1．∴数列{c n}的前n项和T n=22+2×23+3×24+…+n•2n+1．2T n=23+2×24+…+（n﹣1）•2n+1+n•2n+2，∴﹣T n=22+23+…+2n+1﹣n•2n+2=﹣n•2n+2，∴T n=（n﹣1）•2n+2+4．18．（12分）某商城举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖规则如下：1．抽奖方案有以下两种，方案a：从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将抽出的球放回甲袋中，方案b：从装有2个红球、1个白球（仅颜色相同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金10元；否则，没有奖金，兑奖后将抽出的球放回乙袋中．2．抽奖条件是，顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a抽奖一次：满150元，可根据方案b抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案a抽奖三次或方案b抽奖两次或方案a、b各抽奖一次）．已知顾客A在该商场购买商品的金额为250元．（1）若顾客A只选择方案a进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率；（2）若顾客A采用每种抽奖方式的可能性都相等，求其最有可能获得的奖金数（除0元外）．【解答】解：（1）设“获得奖金为15元”为事件B，由题意，P（B）==；（2）按方案a抽奖两次，则获得奖金15元的概率为P1==；则获得奖金30元的概率为P2==；按方案a，b抽奖两次，则获得奖金15元的概率为P3==；获得奖金10元的概率为P4==；获得奖金25元的概率为P5==，因此，最有可能获得的奖金数为15元．19．（12分）如图（1）在平面六边形ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，且AB=4，BC=2，AE=DE=，BF=CF=，点M，N分别是AD，BC的中点，分别沿直线AD，BC将△DEF，△BCF翻折成如图（2）的空间几何体ABCDEF．（1）利用下面的结论1或结论2，证明：E、F、M、N四点共面；结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个；结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个．（2）若二面角E﹣AD﹣B和二面角F﹣BC﹣A都是60°，求三棱锥E﹣BCF的体积．【解答】证明：（1）由题意，点E在底面ABCD的射影在MN上，可设为点P，同理，点F在底面ABCD的射影在MN上，可设为点Q，则EP⊥平面ABCD，FQ⊥平面ABCD，∴平面EMP⊥平面ABCD，平面FNQ⊥平面ABCD，又MN⊂平面ABCD，MN⊂平面EMP，MN⊂平面FNQ，由结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个，得到E、F、M、N四点共面．解：（2）∵二面角E﹣AD﹣B和二面角F﹣BC﹣A都是60°，∴∠EMP=∠FNQ=60°，∴EP=EM•sin60°=，∴三棱锥E﹣BCF的体积：V E﹣BCF=V ABCDEF﹣V E﹣ABCD=2×+（）×3﹣×=．20．（12分）如图，曲线C由左半椭圆M：+=1（a＞0，b＞0，x≤0）和圆N：（x﹣2）2+y2=5在y轴右侧的部分连接而成，A，B是M与N的公共点，点P，Q（均异于点A，B）分别是M，N上的动点．（1）若|PQ|的最大值为4+，求半椭圆M的方程；（2）若直线PQ过点A，且+=，⊥，求半椭圆M的离心率．【解答】解：（1）A（0，1），B（0，﹣1），故b=1，|PQ|的最大值为4+=a+2+，解得a=2．∴半椭圆M的方程为：+y2=1（﹣2≤x≤0）．（2）设PQ方程：y=kx+1，与圆N的方程联立可得：（k2+1）x2+（2k﹣4）x=0，x A+x Q=，x A=0，∴Q．∵+=，=（x Q，y Q﹣1）=（x P，y P﹣1），∴x P+x Q=0，y P+y Q=2．∴x P=，y P=．∵⊥，∴=x P x Q+（y P+1）（y Q+1）=++2+1=（k2+1）（16k﹣12）=0，解得k=．故P．代入椭圆方程可得：+=1，解得a2=．∴半椭圆M的离心率e==．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣2x（a∈R）．（1）当a=0时，求f（x）的最小值；（2）当a＜﹣1时，证明：不等式f（x）＞﹣1在（0，+∞）上恒成立．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=e x﹣2x，f′（x）=e x﹣2，令f′（x）＞0，解得：x＞ln2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜ln2，故f（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故f（x）=f（ln2）=2﹣2ln2；最小值（2）证明：f′（x）=e x﹣2ax﹣2，f′（1）=e﹣2﹣2a＞e﹣2﹣2（﹣1）=0，f′（0）=﹣1＜0，故存在x0∈（0，1）使得f′（x0）=0，令h（x）=e x﹣2ax﹣2，则x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）递增且h（x0）=0，故x=x0是h（x）的唯一零点，且在x=x0处f（x）取最小值f（x0）=﹣x0（ax0+2），又h（x0）=0，即﹣2ax0﹣2=0得ax0+1=，故f（x0）=（1﹣）﹣x0，构造函数g（t）=e t（1﹣）﹣t，则g′（t）=e t（﹣）﹣1，g″（t）=e t（﹣），故t∈（0，1）时，g″（t）＜0，g′（t）在（0，1）递减，故t∈（0，1）时，g′（t）＜g′（0）＜0，故g（t）在（0，1）递减，故f（x0）在（0，1）递减，故f（x）min=f（x0）＞e1（1﹣）﹣1=﹣1，原结论成立．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ（tanα•cosθ﹣sinθ）=1（α为常数，0＜α＜π，且α≠），点A，B（A在x轴下方）是曲线C1与C2的两个不同交点．（1）求曲线C1普通方程和C2的直角坐标方程；（2）求|AB|的最大值及此时点B的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），普通方程为=1；曲线C2的极坐标方程为ρ（tanα•cosθ﹣sinθ）=1，直角坐标方程为xtanα﹣y﹣1=0；（2）C 2的参数方程为（t为参数），代入=1，得﹣2tsinα=0，∴t1+t2=，t1t2=0，∴|AB|=||=||，∵0＜α＜π，且α≠，∴sinα∈（0，1），∴|AB|max=，此时B的坐标为（，）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+m|+|2x﹣1|（m＞0）．（1）当m=1时，解不等式f（x）≥3；（2）当x∈[m，2m2]时，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）m=1时，f（x）=|x+1|+|2x﹣1|，f（x）=，∴f（x）≥3，解得：x≤﹣1或x≥1；（2）f（x）≤|+1|⇒|x+m|+|2x﹣1|≤|x+1|，∵x ∈[m ，2m 2]且m ＞0，∴x +≤|x +1|﹣|2x ﹣1|⇒m ≤2|x +1|﹣|2x ﹣1|﹣x ，令t （x ）=2|x +1|﹣|2x ﹣1|﹣x=，由题意得⇒m ＞，t （x ）min =t （2m 2）≥m ⇒m ≤1， ∴＜m ≤1．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。