高中物理交变电流有效值计算公式的推导教学
【推荐】专题38 交流电有效值计算(精讲)-2019年高考物理双基突破(二)
1．交变电流有效值的规定：交变电流、恒定电流I 直分别通过同一电阻R ，在相等时间内产生的焦耳热分别为Q 交、Q 直，若Q 交＝Q 直，则交变电流的有效值I ＝I 直（直流有效值也可以这样算）。
2．对有效值的理解：（1）交流电流表、交流电压表的示数是指有效值；（2）用电器铭牌上标的值（如额定电压、额定功率等）指的均是有效值； （3）计算热量、电功率及保险丝的熔断电流指的是有效值； （4）没有特别加以说明的，是指有效值；（5）“交流的最大值是有效值的2倍”仅用于正弦式电流。
正弦式交流电的有效值：I ＝I m 2，U ＝U m2，E ＝E m2。
3．求交变电流有效值的方法 （1）公式法：利用E ＝E m 2，U ＝U m 2，I ＝I m2计算，只适用于正余弦式交流电。
【题1】电阻R 1、R 2与交流电源按照图甲所示方式连接，R 1＝10 Ω，R 2＝20 Ω。
合上开关S 后，通过电阻R 2的正弦式交变电流i 随时间t 变化的情况如图乙所示。
则A ．通过R 1的电流有效值是1.2 AB ．R 1两端的电压有效值是6 VC ．通过R 2的电流有效值是1.2 2 AD ．R 2两端的电压最大值是6 2 V 【答案】B【题2】如图所示，线圈abcd 的面积是0.05 m 2，共100匝，线圈电阻为1 Ω，外接电阻R 为9 Ω，匀强磁场的磁感应强度为B ＝1πT ，当线圈以300 r/min 的转速匀速旋转时，求：（1）若从线圈处于中性面开始计时，写出线圈中感应电动势的瞬时值表达式； （2）线圈转过130 s 时电动势的瞬时值多大？（3）电路中，电压表和电流表的示数各是多少？ （4）从中性面开始计时，经130s 通过电阻R 的电荷量为多少？ 【答案】（1）e ＝50sin （10πt ）V （2）43.3 V （3）31.86 V 3.54 A （4）14πC（2）当t ＝130 s 时e ＝50 sin （10π×130）＝43.3 V 。
交变电流有效值推导
交变电流有效值推导交变电流有效值是衡量交流电流强度大小的一个重要指标。
在电力领域，电流通常是交流电，因此了解交变电流的有效值不仅对工程师和技术人员有意义，对一般公众也有一定的实用价值。
1. 交变电流定义在介绍交变电流有效值之前，需要先了解交变电流的定义。
交变电流是指周期性变化的电流信号，其方向和大小在一个周期内不断地变化。
在实际应用中，交变电流会在电路中引发一系列的电磁现象，如电感、电容、电阻等。
2. 交变电流的平均值和有效值交变电流的平均值可以通过求出一个周期内电流信号的面积来计算。
然而，由于交变电流的正负值在一个周期内相互抵消，因此其平均值为零。
因此，在衡量交变电流强度大小时，我们需要使用另一个指标——有效值。
有效值是指与交变电流平均值相等的直流电流，其产生的效应与交变电流相等。
如何推导交变电流的有效值呢？我们可以从物理角度出发，通过对交变电流信号的时间和方向进行分析得到有效值的公式。
首先，我们需要知道一个重要的物理定理——欧姆定律。
欧姆定律指出，电流和电压的关系可以通过一个常数R（电阻）来描述，即I=V/R。
在交变电路中，我们可以对每个时间点上的电流进行求和，以得到整个周期内的总电流强度，如下所示：I = (i1+i2+...+in) / n其中i1、i2、...、in分别表示一个周期内每个时间点上的电流强度，n代表周期内测量电流的次数。
接下来，我们将每个时间点上的电流强度i表示成其有效值Irms和相位角θ的函数形式。
i = Irms * sin(ωt+θ)其中，ω为角频率，t为时间。
在一周期内，ωt的取值范围为0~2π。
将上式带入前面的式子，得到：通过三角函数的知识，我们知道，sinθ的平方值的平均值为1/2，即：因此，上式可以进一步化简为：这就是交变电流的有效值公式，也是交变电流强度大小的标准指标。
需要注意的是，上述推导过程默认电路中只有电阻元件，若电路中还存在电感或电容等元件，则需要考虑其对交变电流的影响，具体推导过程可以参考电路理论相关书籍。
交流电有效值与峰值计算公式的推导过程
交流电有效值与峰值计算公式的推导过程兴安红叶21:30:28满意回答设一周期电流i(t)通过电阻R，由于电流是变化的，各瞬间功率22R不同，在极短时间dt内产生热量为22Rdt,在一个周期T内产生的热量为/ T i A2Rdt ，如果通过电阻R，经过时间T产生相等热量的直流电流的大小为I,贝U有/ T i A2Rdt=I A2RT,这就得到了电流的有效值l=[(1/T) / T iA2dt]A(1/2)对正弦量，设i(t)=lmSIN(wt+为)I={1/T / T ImA2SINA2(wt+ 为)dt}A(1/2)因为SINA2(wt+ 为)=(1/2)[1-COSA2(wt+ 为)]所以匸{(lmA2/2T) / T [1-COSA2(wt+ 为)]dt}A(1 /2)={ImA2/2T[t]T}A(1/2)=(ImA2/2)A(1/2)=Im/[2A(1/2)]=兴安红叶21:06:43有效值又叫“方均根值” ---- 先进行“方”(平方)运算，把其化为功率；再进行“均”(平均)，在一个周期内进行功率平均；最后进行“根”(平方根)运算，计算岀有效值。
比如说对于交流电压u，其有效值：兴安红叶21:07:00(其中U是有效值，T是周期，u是瞬时值，可以是任何的周期函数。
) 对于正弦波，u=UmSin 3 t 其中Um是峰值，3是角频率。
代人上面的式子，计算后就可以得岀用兴安红叶20:57:08一、基本概念：交流电的有效值：正弦电流(电压)的有效值等于其最大值(幅值)的倍。
兴安红叶20:59:27兴安红叶21:00:51兴安红叶21:01:19 兴安红叶21:01:47 兴安红叶21:02:03兴安红叶21:02:42兴安红叶21:04:11交流电的有效值：在相同的电阻上分别通以直流电流和交流电流，经过一个交流周期的时间，如果它们在电阻上所损失的电能相等的话，则把该直流电流（电压）的大小作为交流电流（电压）的有效值，正弦电流（电压）的有效值等于其最大值（幅值）的倍。
高考核动力高考物理一轮复习 微专题(十二)求交变电流有效值的方法课件
以求的，分别为
I1＝
2 2
A，I2＝
4 2
A．设所求交变电流的有
效值为 I，根据有效值的定义，选择一个周期的时间，利用在
相同时间内通过相同的电阻所产生的热量相等，由焦耳定律得
I2RT＝I21RT2＋I22RT2
即 I2＝ 222×12＋ 422×12
【答案】 5 A
• [强化训练]
522R×0.02＋0＝I2A1R×0.04
所以 IA1＝2.5 A
由有效值的定义有：I2mR·T2＋ Im22R·T2＝I2A2R·T，即 52R·T2
＋ 522R·T2＝I2A2R·T，可得 IA2＝2.5 3 A≈4.33 A.
【答案】 2.5 A 4.33 A
微专题(十二) 求交变电流有效值的方法
方法一 利用 I＝ Im2、U＝Um2、E＝Em2三个公式计算．只 适用于正(余)弦式交流电．
方法二 利用有效值的定义计算(非正弦式交流电)．在 计算有效值时“相同时间”至少应取一个周期或周期的整 数倍． 方法三 利用能量关系求解．当有电能和其他形式的能转 化时，可利用能量守恒定律来求有效值．
(利用有效值的定义计算——分段转化为直流电)如图所
示为一交变电流随时间变化的图象，此交流电的有效值是( )
A．5 2 A
B．5 A C．3.5 2 A
D．3.5 A
【解析】 选择一个周期(0.02 s)的时间，根据交流电有效值 的定义和焦耳定律，有：
I2R×0.02＝(4 2)2R×0.01＋(3 2)2R×0.01 解之得：I＝5 A，即 B 项正确．
• 1.如图所示的区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强 度为B.电阻为R、半径为L、圆心角为45°的扇形闭合导 线框绕垂直于纸面的O轴以角速度ω匀速转动(O轴位于磁 场边界)．则线框内产生的感应电流的有效值为( )
11-1-2-交变电流有效值的求解方法
@《创新设计》
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题组剖析
3.某研究小组成员设计了一个如图所示的电路，已知纯电阻 R 的阻值不 随温度变化。与 R 并联的是一个理想的交流电压表，D 是理想二极管(它的导 电特点是正向电阻为零，反向电阻为无穷大)。在 A、B 间加一交流电压，瞬 时值的表达式为 u＝20 2sin 100πt(V)， 则交流电压表示数为( A．10 V C．15 V ) B．20 V D．14.1 V
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6
@《创新设计》
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规律总结
求交变电流有效值的几个方法
Em Um Im 1．公式法：利用 E＝ ，U＝ ，I＝ 计算，只适用于正余弦式交流电． 2 2 2
2．利用有效值的定义计算(非正弦式交流电) 在计算有效值“相同时间”至少取一个周期或周期的整数倍.
3．利用能量关系 当有电能和其他形式的能转化时，可利用能的转化和守恒定律来求有效值．
9
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备选训练
【备选训练 2】 (多选)如图所示，先后用不同的交流电源给同一盏灯泡供电。第一次灯泡两
端的电压随时间按正弦规律变化，如图甲所示；第二次灯泡两端的电压变化规律如图乙所示。 若图甲、乙中的 U0、T 所表示的电压、周期值是相等的，则以下说法正确的是( 2 A．第一次灯泡两端的电压有效值是 2 U0 3 B．第二次灯泡两端的电压有效值是2U0 C．第一次和第二次灯泡的电功率之比是 2∶9 D．第一次和第二次灯泡的电功率之比是 1∶5 )
4
@《创新设计》
答案
B
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题组剖析
Hale Waihona Puke 2．(2018· 南京、盐城一模)一只电阻分别通过四种不同形式的电流，电流随时间 变化的情况如下图所示，在相同时间内电阻产生热量最大的是( )
交变电流有效值的计算
交变电流有效值的计算为了计算交变电流的有效值，我们需要了解交变电流的特点和其数学表示。
交变电流是随着时间的变化而变化的电流，可以用正弦函数表示。
其数学表示为：i(t) = Iₘ sin(ωt + φ)其中，i(t)表示时间为t时的交变电流值，Iₘ表示交变电流的最大值（又称峰值），ω表示角频率（单位是弧度/秒），φ表示初相位。
根据交变电流的特点，交变电流在一个周期内的正半周期和负半周期的平均功率是相等的。
因此，交变电流的有效值可以定义为使其平均功率等于同等大小的直流电流的值。
根据欧姆定律，在电阻为R的电路中，功率可以表示为P=I²R。
因此，交变电流在一个周期内的平均功率可以表示为：P=I²ₘR其中，I²ₘ表示交变电流的最大值平方，R表示电阻的阻值。
因此，为了计算交变电流的有效值，我们需要找到一个值Iₑ，使得电流的最大值平方I²ₘ乘以电阻的阻值R等于电流的均方值I²ₑ乘以电阻的阻值R，即：I²ₘR=I²ₑR化简后得：I²ₑ=I²ₘ开平方后得：Iₑ=√(I²ₘ)从上述计算中可以看出，交变电流的有效值等于交变电流的最大值的平方根。
交变电流的有效值在电力系统中有着重要的应用。
电力系统中交变电流的频率通常为50Hz或60Hz，因此我们可以利用交变电流有效值进行电力系统的计算与分析。
例如，交流电的功率计算、交流电路的特性分析、交流电机的性能评估等。
总结起来，交变电流的有效值的计算是通过求解交变电流在一个周期内的平均功率为同等大小的直流电流平均功率的方程，得到的交变电流最大值的平方根。
交变电流的有效值在电力系统中有着重要的应用。
高中物理交变电流的物理量（峰值和有效值辨析）详解
高中物理交变电流的物理量（峰值和有效值辨析）详解中性面（1）此位置过线框的磁通量最多；（2）此位置磁通量的变化率为零，所以e=0，i＝0；（3）此位置是电流方向发生变化的位置，具体对应图中的t2，t4时刻，因而交流电完成一次全变化中线框两次过中性面，电流的方向改变两次，频率为50Hz的交流电每秒方向改变100次。
交流电的峰值最大值εm＝BωS；当为N匝时εm＝NBωS（1）ω是匀速转动的角速度，其单位一定为弧度／秒，rad/s。
（2）最大值对应的位置与中性面垂直，即线框面与磁感应强度B 在同一直线上。
（3）最大值对应图中的t1、t2时刻，每周中出现两次。
瞬时值e=εm sinωt， i＝I m sinωt代入时间即可求出。
不过写瞬时值时，不要忘记单位，如εm=220V，ω=100π，则e=220sin100πt V，不可忘记写伏（V)，电流同样如此。
交流电的有效值电流的有效值是根据电流的热效应规定的：让交流电和恒定电流分别通过同样阻值的电阻，如果两者的热效应相等（即在相同的时间内产生相同的热量）则此等效的直流电压，电流的值叫做该交流电压，电流的有效值）为了度量交流电做功情况人们引入有效值，它是根据电流的热效应而定的。
就是分别用交流电，直流电通过相同阻值的电阻，在相同时间内产生的热量相同，则直流电的值为交流电的有效值。
（1）有效值跟最大值的关系εm=U有效，I m=I有效。
（2）伏特表与安培表读数为有效值。
（3）用电器铭牌上标明的电压、电流值是指有效值。
最大值、平均值和有效值的应用Ⅰ 正弦交变电流的电动势、电压和电流都有最大值、有效值、即时值和平均值的区别。
以电动势为例：最大值用E m表示，有效值用E 表示，即时值用e表示，平均值用表示。
它们的关系为：E=E m/，e=E m sinωt。
平均值不常用，必要时要用法拉第电磁感应定律直接求：。
切记。
特别注意有效值和平均值是不同的两个物理量，有效值是对能的平均结果，平均值是对时间的平均值。
几种典型交变电流有效值计算公式的推导
或 ，ｌ ‘ Ｔ＋届尺。 Ｔ：
则 、／ 丝，，－、／ ．
期 ７１内对应 的时刻分别 为
ｔｌ＝△ｔ，ｔ２＝２△ ｔ， … ，ｔｎ＝ｒｔ
Ａｔ＝Ｔ，所对应 的 电流 的瞬时值 分别 为
ｉｌ＝ｋｔｌ，ｉ２＝ｋｔ２… ， Ｔｌ＝，ｍ， 其中图线的斜率 ： ．
ｌｚＲＴ＝ＰＴ
⑥
或等 ＝ＰＴ ⑦
由③ 、④ 、⑥式可得 Ｐ
，＿ｊ 一 ． ｘ／２
Ｐｍ
由③ 、⑤ 、⑦式可得 Ｐ
率来描述交变 电流在 一个周 期 内产生的平均效果．
正 弦交变 电流 的电流（ｉ＝ＩｍＳｉｎｗｔ）和在纯 电阻 Ｒ
两端 所产 生 的电压 （“＝Ｕｍｓｉｎｗｔ）都 随时 间做 周期 性
即 Ｕ： 一 ，Ｉ－＿上一 ． 、／１ ｘ／１
３．矩形脉动 交变电流有效值的计算公式
如 图 ５所示 的矩形脉 动交变 电流 的实质 是一
种 脉 冲直流 电 ，当它通人 电阻 Ｒ后 ，一 个周期 内
图 ２
因而可得 半＝ ， ＝争．
３．正弦单向脉动 交 变电流有效值 的计算公式 因为 电流 的热效应 与电流的方 向无关 ，所 以如 图 ３所示 的正 弦单 向脉 动交变 电流 与正弦 全波交
· Ｔ＋ Ｕ２号
或 Ｑ１＝， ２Ｒ· ＋罡Ｒ‘ ．
— —１ ●
●
ｔ
直流电在相等时间 Ｔ内产生
● ●
Ｄ
●
的 热 量 为
：
．
‘。 １
●
●
Ｉ
－
Ｉ
－
Ｉ
－
－
●
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高中物理交变电流有效值计算公式的推导教学
交变电流有效值计算是高中物理学习中最重要和最核心的内容，本文将就其公式的推导过程进行讲解，帮助读者理解其原理及其计算方法。
首先要明确交变电流有效值的定义。
以正弦电流为例，正弦电流的有效值，通常简称为有效值，它指的是与该正弦电流幅值相等的直流电流，用数字表示时，为290，也就是说，该正弦电流的有效值等于290平方分米（定义式），可用把290进行展开，即：
290平方分米=√2/2*A （公式1）
其中A为电流幅值，单位是安培。
基于公式1，交变电流有效值可由以下公式来推导：
E（t）=A*Cos 2πft
由Cos 2πft可得：
E（t）=A*Cos 2πft=A*（1+cos 2πft+sin 2πft）
则此时等号左右两边电压波幅均为：A，即：
A=A*√1+1/2*[Cos 4πft+Cos 0]
如此，交变电流有效值的计算就可以由下面的公式来推导：
E_eff=√2/2*A （公式2）
由此可知，交变电流有效值计算的推导公式就是公式2，由此可以知道，电流有效值取决于电流幅值A，当电流幅值增加时，有效电流也会增加。
综上所述，交变电流有效值计算的推导公式为：E_eff=√2/2*A，即可将电流有效值计算出来，以此来分析问题的原理。