泛函分析期末试题及答案
泛函分析考试题型及答案
泛函分析考试题型及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设函数空间E为所有连续函数的集合，定义泛函F(u)=∫₀¹u(x)dx，则F(u)是线性的。
A. 正确B. 错误答案：A2. 每一个线性泛函都可以表示为一个内积。
A. 正确B. 错误答案：B3. 泛函分析中的“泛函”一词指的是函数的函数。
A. 正确B. 错误答案：A4. 弱收敛和强收敛是等价的。
A. 正确B. 错误答案：B5. 紧算子总是有界算子。
A. 正确B. 错误答案：A6. 每一个闭算子都是有界的。
A. 正确B. 错误答案：B7. 每一个有界线性算子都是紧算子。
A. 正确B. 错误答案：B8. 每一个线性泛函都可以用Riesz表示定理表示。
A. 正确B. 错误答案：A9. 每一个线性算子都可以分解为一个紧算子和一个有界算子的和。
A. 正确B. 错误答案：B10. 每一个线性算子都可以分解为一个有界算子和一个紧算子的和。
A. 正确B. 错误答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设X是赋范线性空间，如果对于X中的每一个序列{x_n}，都有‖x_n‖→0当且仅当x_n→0，则称X是______空间。
答案：完备2. 设T是线性算子，如果T(X)是X的闭子空间，则称T是______算子。
答案：闭3. 设E是Hilbert空间，如果对于每一个x∈E，都有∥Tx∥≥∥x∥，则称T是______算子。
答案：正4. 设E是Banach空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑‖x_n‖<∞当且仅当∑x_n收敛，则称E是______空间。
答案：自反5. 设E是线性空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑x_n收敛当且仅当∑‖x_n‖<∞，则称E是______空间。
答案：序列完备三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述Hahn-Banach定理的内容。
答案：Hahn-Banach定理指出，如果X是一个赋范线性空间，p是X 的一个线性子空间，f是p上的一个线性泛函，并且存在一个常数M使得对于所有x∈p，有|f(x)|≤M‖x‖，则存在X上的一个线性泛函F，使得F|p=f，并且对于所有x∈X，有|F(x)|≤M‖x‖。
泛函分析考试题集与答案
泛函分析复习题20211．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量空间，p 为何值时，R 是赋范空间。
解：假设R 是度量空间，所以R z y x ∈∀,,，必须有：),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤ppp，所以，1≤p假设R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈∀,， 必须有：||||||||||x k kx ⋅=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，假设R 是度量空间，1=p 时，假设R 是赋范空间。
2．假设),(d X 是度量空间，则)1,min(1d d =，ddd +=12也是使X 成为度量空间。
解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈∀,,有： 1〕0),(≥y x d ，因此0)1),,(min(),(1≥=y x d y x d和0),(1),(),(2≥+=y x d y x d y x d且当y x =时0),(=y x d ，于是0)1),,(min(),(1==y x d y x d 和0),(1),(),(2=+=y x d y x d y x d以及假设0)1),,(min(),(1==y x d y x d 或0),(1),(),(2=+=y x d y x d y x d均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2〕),(),(y x d x y d =，因此),()1),,(min()1),,(min(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),(),(1),(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+=3〕),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此 以及设x x x f +=1)(，0)1(1)(2>+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以),(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+=综上所述)1,min(1d d =和ddd +=12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。
(完整word版)泛函分析试卷
泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分）1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）.A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）.A. 0等价于0且,0==≥x x xB.()数复为任意实,αααx x =C. y x y x +≤+D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X 是闭的 D.集Y 是闭的5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有11p q+的值为（ ）.A. 1-B.12 C. 1 D. 12- 二、填空题（每个3分，共15分）1、度量空间中的每一个收敛点列都是（ ）。
2、任何赋范线性空间的共轭空间是（ ）。
3、1l 的共轭空间是（ ）。
4、设X按内积空间<x,y>成为内积空间，则对于X中任意向量x,y 成立不等式（）当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。
5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子，则T为自伴算子的充要条件是（）。
三、判断题（每个3分，共15分）1、设X是线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。
( )2、距离空间中的列紧集都是可分的。
( )3、若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。
( )4、任何一个Hilbert空间都有正交基。
泛函分析试题及答案
泛函分析试题及答案一、选择题1. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数对于输入变量的敏感程度？A. 泛函B. 导数C. 凸函数D. 可测函数答案：B. 导数2. 设X和Y是两个Banach空间，f:X→Y是一个线性算子。
以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是可逆的B. f是连续的C. f是紧致的D. f是自共轭的答案：B. f是连续的3. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数在每个点上的局部模式与全局模式之间的一致性？A. 可微性B. 凸性C. 全纯性D. 一致连续性答案：B. 凸性4. 设X和Y是两个赋范空间，f:X→Y是一个线性算子。
以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤C||x||B. 对于每个有界集A ⊂ X，f(A)是有界集C. f是连续的D. f是满射答案：A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤ C||x||二、填空题1. 在Hilbert空间中，内积运算满足线性性和_____________性。
答案：共轭对称性2. 设X是一个有界完备度量空间，那么X是一个____________空间。
答案：Banach空间3. 在泛函分析中，将一个函数的导数定义为其_____________。
答案：弱导数4. 设X是一个线性空间，D是X上的一个有界线性算子。
如果对于所有x和y都有⟨Dx, y⟩ = ⟨x, Dy⟩，那么D被称为______________。
答案：自伴算子三、解答题1. 请简要说明什么是范数，并给出一些范数的例子。
范数是定义在一个线性空间上的一种函数，用于衡量该空间中的向量的大小。
它满足以下三个性质：- 非负性：对于任意向量x，其范数必须大于等于0，即||x|| ≥ 0，并且当且仅当x为零向量时，范数等于0。
- 齐次性：对于任意向量x和任意实数α，有||αx|| = |α| ||x||，其中|α|表示α的绝对值。
(完整word版)泛函分析试题B
(完整word 版)泛函分析试题B试卷第 1 页 共 1 页 泛函分析期末考试试卷 （B ）卷一、填空题（每小题3分，共15分）1.设X =(,)X d 是度量空间，{}n x 是X 中点列，如果____________________________, 则称{}n x 是X 中的收敛点列。
2. 设X 是赋范线性空间，f 是X 上线性泛函，那么f 的零空间()N f 是X 中的闭子空间的充要条件为_____________________________。
3. T 为赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 中的线性算子， 如果_________________, 则称T 是同构映射。
4. 设X 是实Hilbert 空间，对X 中任何两个向量,x y X ∈满足的极化恒等式公式为：___________________________________________。
5. 设X 是赋范线性空间，X '是X 的共轭空间，泛函列(1,2,)n f X n '∈=，如果_______________________________________________,则称点列{}n f 强收敛于f 。
二、计算题（共20分）叙述(1)p l p <<+∞空间的定义，并求p l 的共轭空间。
三、证明题（共65分）1、（12分）叙述并证明空间(1)p l p >中的Holder 不等式。
2、（15分）设M 是Hilbert 空间X 的闭子空间，证明M M ⊥⊥=。
3、（14分）Hilbert 空间X 是可分的，证明X 任何规范正交系至多为可数集。
4、（12分） 证明Banach 空间X 自反的充要条件是X 的共轭空间自反。
5、（12分）叙述l ∞空间的定义，并证明l ∞空间是不可分的。
(完整)实变与泛函期末试题答案
06－07第二学期《实变函数与泛函分析》期末考试参考答案1. 设()f x 是),(+∞-∞上的实值连续函数， 则对于任意常数a ， })(|{a x f x E >=是一开集, 而})(|{a x f x E ≥=总是一闭集. (15分)证明 (1) 先证})(|{a x f x E >=为开集. (8分)证明一 设E x ∈0，则a x f >)(0，由)(x f 在),(+∞-∞上连续，知0>∃δ，使得),(00δδ+-∈x x x 时,a x f >)(， 即E x U ⊂),(0δ,故0x 为E 的内点。
由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E >=是一开集.证明二 })(|{a x f x E >=可表为至多可数的开区间的并（由证明一前半部分)， 由定理可知E 为开集.(2) 再证})(|{a x f x E ≥=是一闭集。
（7分)证明一 设0x E '∈, 则0x 是E 的一个聚点， 则E ∃中互异点列},{n x 使得)(0∞→→n x x n . ………………………..2分由E x n ∈知a x f n ≥)(， 因为f 连续, 所以a x f x f x f n n n n ≥==∞→∞→)(lim )lim ()(0，即E x ∈0.……………………………………………………………………………………6分由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E ≥=是一闭集. …………………………………7分 证明二 对})(|{a x f x E ≥=, {|()}E x f x a E ∂⊂=⊂，……………………… 5分 知E E E E =∂= ,E 为闭集。
…………………………………………………… 7分 证明三 由(1）知，})(|{a x f x E >=为开集， 同理})(|{a x f x E <=也为开集, 所以})(|{a x f x CE ≥=闭集， 得证。
泛函分析试卷
泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分）1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）.A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）.A. 0等价于0且,0==≥x x xB.()数复为任意实,αααx x =C. y x y x +≤+D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X 是闭的 D.集Y 是闭的5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有11p q+的值为（ ）.A. 1-B.12 C. 1 D. 12- 二、填空题（每个3分，共15分）1、度量空间中的每一个收敛点列都是（ ）。
2、任何赋范线性空间的共轭空间是（ ）。
3、1l 的共轭空间是（ ）。
4、设X按内积空间<x,y>成为内积空间，则对于X中任意向量x,y 成立不等式（）当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。
5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子，则T为自伴算子的充要条件是（）。
三、判断题（每个3分，共15分）1、设X是线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。
( )2、距离空间中的列紧集都是可分的。
( )3、若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。
( )4、任何一个Hilbert空间都有正交基。
《 泛函分析》期末试题
存在 xn X , xn 0 使得 Txn . 3 （15 分） 设 X 是 Banach 空间， An , A B( X ), 则 An x Ax, x X 当且仅当{ An }
有界并且存在子集合 G 使得 spanG X ，在 G 上 An x Ax. 4 （15 分） 对于内积空间 H 中的规范正交集{e1, , en}和 H 中的 x ，证明函数
n
f (1, , n ) x iei 当且仅当 i (x, ei ) （ i 1, , n) 时达到 i1
极小值。
5 （15 分） 设 H 是 Hilbet 空间，{en , n 1}是其中的规范正交系。证明级数 nen 按 n1 H 的范数收敛等价于弱收敛。
《 泛函分析》期末试题
1（20 分） 证明非ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性积分方程
b
x(t) a K (t, s, x(s))ds y(t), t [a,b]
在 足够小时有唯一连续解。这里 y(t) C[a,b], K : [a,b][a,b] R R
连续并且满足
K(t, s,1) K(t, s, 2 ) L1 2 , t, s [a,b]. 2 (15 分) 设 X ,Y 是线性赋范空间，T : X Y 是线性算子, 则T 不是有界的当且仅当
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泛函分析期末试题及答案
一、选择题
1. 下列哪个不是泛函分析的主要研究对象？
A. 函数空间
B. 向量空间
C. 线性映射
D. 点集
答案：D
2. 泛函是指将一个向量空间的元素映射到一个标量的函数。
以下哪个选项是泛函的定义？
A. 函数空间
B. 向量空间
C. 线性映射
D. 函数空间的对偶空间
答案：C
3. 在泛函分析中，范数是一种度量向量空间中向量大小的方法。
以下哪个选项是范数的定义？
A. 函数空间
B. 向量空间
C. 线性映射
D. 函数空间的对偶范数
答案：B
4. 下列哪个不是泛函分析中的基本定理？
A. 嵌入定理
B. 开铃定理
C. Hahn-Banach定理
D. Banach-Steinhaus定理
答案：B
5. 泛函分析中的内积是指满足一定条件的映射。
以下哪个选项是内积的定义？
A. 函数空间
B. 向量空间
C. 线性映射
D. 内积空间
答案：D
二、填空题
1. 完成下列范数的定义：范数是一个实值函数，对于一个向量空间中的向量x，满足以下三个性质：
(1) 正定性：||x|| ≥ 0，且当且仅当x=0时，||x|| = 0；
(2) 齐次性：对于任意实数a，||ax|| = |a| · ||x||；
(3) 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。
2. 填写完整的Hahn-Banach定理的表述：设X是一个实或复数的线性空间，Y是X的一个线性子空间，f是定义在Y上的线性泛函，对于所有的y∈Y，有f(y) ≤ p(y)，其中p是X上的一个次线性泛函，且满足p(y) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，则存在一个定义在整个X上的线性泛函F，满足F(x) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，并且在Y上，F和f的限制是相等的。
三、计算题
1. 对于给定的函数空间C[0,1]，计算函数f(x) = x^2在C[0,1]上的范数。
解答：根据范数的定义，范数是一个实值函数，对于一个向量空间中的向量x，满足以下三个性质：
(1) 正定性：||x|| ≥ 0，且当且仅当x=0时，||x|| = 0；
(2) 齐次性：对于任意实数a，||ax|| = |a| · ||x||；
(3) 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。
对于函数f(x) = x^2，我们可以计算其范数：
||f|| = √∫(0,1)x^4 dx = √(1/5) = 1/√5。
因此，函数f(x) = x^2在C[0,1]上的范数为1/√5。
2. 对于给定的函数空间L²[0,1]，计算函数f(x) = sin(x)在L²[0,1]上的范数。
解答：根据范数的定义，范数是一个实值函数，对于一个向量空间中的向量x，满足以下三个性质：
(1) 正定性：||x|| ≥ 0，且当且仅当x=0时，||x|| = 0；
(2) 齐次性：对于任意实数a，||ax|| = |a| · ||x||；
(3) 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。
对于函数f(x) = sin(x)，我们可以计算其范数：
||f|| = √∫(0,1)sin^2(x) dx = √(1/2) = 1/√2。
因此，函数f(x) = sin(x)在L²[0,1]上的范数为1/√2。
四、证明题
1. 证明Hahn-Banach定理的限制形式：设X是一个实或复数的线性空间，Y是X的一个线性子空间，f是定义在Y上的线性泛函，并且满足f(y) ≤ p(y)对所有的y∈Y成立，则存在一个定义在整个X上的线性泛函F，满足F(x) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，并且在Y上，F和f的限制是相等的。
证明：首先，我们定义线性空间V = X/Y，即X模去Y所得到的商空间。
对于y∈Y，我们可以定义映射g：V→R或C为g([x]) = f(x)，其中[x]表示属于X/Y的一个向量，x∈X，且x∈[x]，即[x]是[x]中元素的代表。
我们需要证明：
(1) 定义的映射g是良定义的。
(2) 定义的映射g是线性的。
(3) 对于所有的x∈X，有g([x]) ≤ p(x)成立。
(1) 良定义性证明：
设[x']∈[x]，则[x'] = [x] + [y']，其中y'∈Y。
由于f是定义在Y上的线性泛函，我们有f(y') ≤ p(y')。
又因为f(x) = g([x])，f(x') = g([x'])，则f(x) ≤ f(x')。
因此，定义的映射g在商空间V上是良定义的。
(2) 线性性证明：
设[x_1],[x_2]∈V，有[x_1] = [x] + [y_1]，[x_2] = [x] + [y_2]，其中y_1,y_2∈Y。
对于任意实数或复数a，我们有：
g([ax_1 + x_2]) = g(a[x_1] + [x_2]) = g(a[x] + a[y_1] + [x] + [y_2]) = g((a+1)[x] + a[y_1] + [y_2])
= (a+1)f(x) + af(y_1) + f(y_2) = a(g([x_1])) + g([x_2])。
因此，定义的映射g在商空间V上是线性的。
(3) 不等式成立性证明：
对于任意的x∈X，我们有[x] = [x] + [0]，其中[0]表示零向量在商空间V中的表示。
由于f(y) ≤ p(y)对所有的y∈Y成立，我们有f(x) ≤ f(x) + f(0) = g([x]) + f(0) ≤ p(x) + p(0) = p(x)。
因此，对于所有的x∈X，有
g([x]) ≤ p(x)成立。
综上所述，存在一个定义在整个X上的线性泛函F，满足F(x) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，并且在Y上，F和f的限制是相等的。
综合以上证明，我们完成了Hahn-Banach定理的限制形式的证明。
以上为泛函分析期末试题及答案，希望能对您有所帮助。