五年级奥数.数论.带余除法
小学五年级奥数—数论之同余问题
小学五年级奥数—数论之同余问题数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：1 当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商2 当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16 39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19 42除以5的余数等于3+4 7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1 3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
五年级奥数.数论.余数性质(C级)
五年级奥数.数论.余数性质(C级)「例T.7 一个两位数除刖金余籬品求这样的两位数。
【哮点】除法必式的应用【难度】I星【题型】解答「解折亍本題为余数问姻的M題吐需要学生明白一个重要知鎭畐就是把余救问题-即“不往徐问題” 转化为整除问题.方法为用被除數减击余数，即得到一个除数的借数；或者是用被除数加上一个“除魏与余數的差S也可说得到一个除數的倍數"本題中315-*2=273＞说明273是所求兪数的倍数* 273=3x7x13＞所求的两位数的數还要满足比竝丸，符合条件的有91【答案】91I贰冈)在卜-面的空格中填上适当的数*7 4 Z□ □? 2 0 0 4 7□ □ □【耆点】除法公戎的应用I难度】2星【题型】填空［关皱词】如年，第2^,走具杯.3年级,决赛丫第10題，12余【解桁】本題的楝除敷、商和余數巴经給岀，根据除法的计算公瓦：掖徐龜4■除數=商……余敷，建推计算痔到：徐數-(2WM7—13)^742=27…【答集】27I例?］命子里放有编号I到10的十平球，小虹先后二次从盒子中共収出九个球，如果从第二次起，每衣取出的球的编号的和都比上一次的两倍还多一，那么剩卜的球的编号为—・I耆点】餘法公式的应用【难度】3星【题型】填空【关撻词】第盛届、走美杯，四年虬初躺第11罐【解析】令箔I次取的編号为釧第二次聪的编号为2a+i,第三冼取的编号为：2(2i+l ) +L=4a+3;还剰下的编号为：55*7a^=5L-7a,爭a为百臥俞下的趕9；当a为7时，余下的是£【答案】9A＜2I巩间】川个口然数，利为100,分别除囚人杵用去足泌「10个商的和为3D；若用四舍五入法，呦个商的利为34. H)个甦中帔3除余I的右_______________ 个.【考点】除法公式的应用I难度】3星【题型〕填空【关犍词】2(X)8年，第天届+走关杯，五年虬和執第洛題【解析】由题意，“用击足法，10个贯的舸为和；用四舍五入法，KJ个商的粗为34"可知，10介数中除直3余2的数有3£{}=4 （个），又知道旧伞自然毀的和为|（趴设除以d余I的数有子个’眸裟报据用去雇法冶十个商的和与山个自摊數的和，可得灵皋戎：£+2rl =l^_3Oi解得，工“・3 3 3【答案】2I例*）托吗想了一个正粋数，并H茨出了它分别除113. 6和9的余数.现知这三余数的和是15.试求该数除以怡的余数.【考点】带余除法的怙算闻題【难度】3星【题璽】解答【关梃词】圣披得堡數学奥秋匹克【解斯】除事氛右和9的余数分别不超过2,乳卷所佛逮三个余就的希永远不超过2 + 5 + 215’既然它们的奔第于15,所以这三个余数分别就是2, 5, £.所以谨數触J君能覆玉6, 9 而|7P6P9| = 1!i T设诱魏为宀则口 = 1伽-1’即d =18伽-1） +门（阿为非零自煤兹h所以它:臨以】8的舍數只能为17,【琴案】17「巩圍】一个正報数，它分别除以7, LL和G的余数*现知这丄余数的利是2SL试求该数除以®的余数.【考点〕带余除法的估算问題【难度】3星【題型】解答【关储词】虽彼得堡数常翼林匹克【解析］除以九II和□的余数好别不趨1±&⑴，12,所以这三金余戲的和永远不^i±6+ L0H-I2-2B , 既然它扪轴和等于2K,所以这三个余数令别就是£ 1血12,所已诬数加I后能被7、II和13 整铝 ft［7,11,131 = 1001 ,址陵数为”* Jf1! d = 1001 m-I +即£t = 91 K11 K（ m 4） 4000 （m 非零自然戦h所权它檢以91的舍數只能为知“【答案】90「罰4J用I、9、氛探这四个数字能徘成儿个披H除余!i的四位数？【哮点】徐法公式的应用【难度】5 X 【题型】境空【炭犍词】幣二届，华杯執初名第14题【解析】用1、鼻8. $可排成煌个四位戳.即）988,冷甥"1閱％ 9】圈，9和乩9跆1* fJNS,射豹，的」备的}U , SK19 ’細9】它们减去^变为 19B0, 1890, 1881，9JH0. 9810, 9873. 8190, S1S1, 8910, 8973, S8U, 8H83 烬中破M整除的仅有1卿），1S8L S410,曲II,即用1’ 9* & !4可排咸.4介被］除余姑的㈣位數，即J9H8 ，’H918 「闕 19,什么样的数能被J1竝除呢？一个判定法則是：比较奇住数字之和与偶位數字之和.知果它如之差能枝II琛■那虫所给的软就能祓I］整除，否刚就不能够. 现在要求破1】除命敲我们可以連样耆虑：这样的數加上3后*就能楝II整除了-所议我怕粹到“一个数被11除兪！T杓判瓷法則：持偶位歎字相血得一个矜歎，再将奇位數字相新再加上3’ 捋另一个和數、扣果这两个和数之差能被II 除尽，那幺这个醜足被II幣余N的數；否別就不是*矣把h 9、排成一个彼II 除余醫的四住敷，可以把这从卜戡裁成两组，毎组2个数字.算中亠组■作为千位和十住戟’它们的和记柞丸；另外一组柞为百住希个位数*它们之希加上3记作超过脸证，第(1 )钟令组法满足前面的雯求：A-i+n, ^-9 + 8 + 3-20^ J? -A - II 能號1】除 尽 怛 基 余 三 科 分 组 撷 不 觸 匿 要 求*根据判定法則还可以知道，如杲一金数被II 际余缶那么牲奇＜1杓任竈两个數字互换，凱者庄偶也的任意两牛数字互換，番到的新数被II 除也余乱 于是，上面第(1｝分组屮，1和苦中任一 个可也柞为千位戟，9和呂中任一个可因作为百住魏-这样典有4聊可能的撫法：丹H& 1翻9, 8918 , 粕19答：能排成4个秋和除余it 的數【答耄】4IMJ 用2、沢0. 7V 7、良4这七个数字托被II 除余()的绘小和呆大的七位数？【淆点】除法公戎的应用 【难度】5星 【題型】廩空【解析】用2.队Os 人=、2. 4这七个数字什么样的数能皴11摊除呢？ 一个判定決刚是：比校奇住数字之和与偶住数字之舸，如炭它们之 差能被II 除尽，那么所給的戟就能诚I 】整驚，否则就不能够.现在要求被II 除余缶 我怕可以这强考虑；这样的数加上5我减击右点”就能被1】楚除了.(I )如果0做底般：加5把一个0愛咸仏数字舸是2+5+4?+了+2心2人奇位敷字之和与偶位般 序乏和的菱是11的搐編都是自然醜+所以奇软位数字好=1更偶数住藝字之乘禺最小的为 7202745.即足敷为0的最小械11^6的敷为7202740,足敷对D 的最丸被11廉除()的数为 7472020(2)知樂2做雄股：加5把一个2变咸.7,魏字彌是7+(MH7+7+2+4=2人奇住数字之和与偶位数 字5的盖是11的倍欽，隸是自然#L 所収奇瓢位數字之和二19,耐I 便敖字也址乩这拜的数 不存在，(3 )如果4做尾数：加5把一个4塹成乳 数字和是齢0+37+7+2+42人奇位數字之豹乌偶位数 字之和的差是□的倍数，祁是自然醜+所以奇験位数字也机比偽戳位数宇之奉=乩这样的软 不存在”(4)如果？做足数：城右把一伞7更辰L 数字和是2+OKH-I +7+2+4= 16A 拉數字之和与偶位数 字之和的差是1】的催轨 都是自然软，所以奇戟位耻宇之和=备 偶数位数字之和=乩 聂片的为 7202041,即足數为7的最小掠II 除命氏的数为7202047,足數为了的最丸被］I 除余tii 的数为74020277202740>72(i2047 最大 7^72020>7402027I 答案】最*b 7202047.最大7472020 +我们要适 当分组，使痔能 偶位背位 C 1 ) 1 » 89 > e ( 2 ) 1 * 9e > e ( 3 ) 9 » 8i > e ( 4 )$ » 8 i >勺 被I 】整除.現在只宥下面4种分组法：【例5】将七位数叫孑刘924“車复写287次纽威一个2009位数"13579241357924...去这个数中所有位『奇数位上的数字；按上述厅丛一肓删除卜-去直到剩下一个数字为止，则堀后剩卜一的数字是I舟点】找規律计算【难度】4星I題型】解答【关槌词】21)09年，第14届*华杯霉，决赛，第3题【解析】本題哮察二进制，聂后剩下的数是屮“鏗4位值上的数字，周期为=,朋以IO24 +7^I4S 2,耶幺理个周期中的第二个數是弓［«词】3I 30粒珠子依呂粒红色、2粒黑鱼.£粒红色、2粒照色…的次序串成一罔，一只蚂蚱从第2粒黑珠子起跳’每次跳过6料珠子落在下…粒珠子匕这只蚂蚱至少耍跳_____________ 次才能落到黑珠子匕。
五年级培优 竞赛 二合一 精讲系列之9 余数(例题 练习 课后作业一条龙)
第十讲：数论之余数问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≢r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
五年级奥数-数论之余数问题
数论之余数问题余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b=q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理0r =0r ≠a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m 同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
小学奥数王峰数论(5)余数问题
教案教师：__ 王鑫___ 学生：_ 王峰上课时间：学生签字：____________【知识点概述】一、带余除法的定义及性质：1.带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商2.和余数相关的一些重要性质：(以下a,b,c均为自然数)性质1：余数小于除数被除数除数商余数性质2：=⨯+除数（被除数-余数）商=÷商（被除数-余数）除数=÷性质3：a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即前两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.性质4：a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)⨯除以5的余数等于⨯=。
313当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(2319)⨯除以5的余数等于3412⨯=除以5的余数，即2.【注】对于上述性质3，4，我们都可以推广到多个自然数的情形，尤其是性质4，对于我们求一个数的n次方除以一个数的余数时非常的有用。
二、数的同余1.同余定义若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )同余式读作：a同余于b，模m由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)这个性质非常重要，是将同余问题与前面学过的整除问题相联系的纽带，一定要熟练掌握。
五年级奥数数论带余除法(A级)
带余除法的定义及性质1．定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（0b ≠），若有a b q r ÷= ，也就是a b q r =⨯+，0r b ≤<；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式．这里：（1）当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商（2）当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型：如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数． 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系．并且可以看出余数一定要比除数小． 2．余数的性质（1）被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； （2）余数小于除数．3．解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．【例 1】 某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于__________．【巩固】一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________．例题精讲 知识框架 带余除法【例2】除法算式208□□中，被除数最小等于__________．÷=【巩固】计算÷□△，结果是：商为10，余数为▲．如果▲的值是6，那么△的最小值是__________．【例3】71427和19的积被7除，余数是几?【巩固】在下面的空格中填上适当的数．【例4】1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【巩固】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数．【例5】一个两位奇数除1477，余数是49，那么，这个两位奇数是多少？【巩固】大于35的所有数中，有多少个数除以7的余数和商相等？【例6】已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？【巩固】写出全部除109后余数为4的两位数．【例7】甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．【巩固】用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．【例 8】当1991和1769除以某个自然数n，余数分别为2和1．那么，n最小是多少？【巩固】有三个自然数a，b，c，已知b除以a，得商3余3；c除以a，得商9余11．则c除以b，得到的余数是_________．【例9】有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【巩固】两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．【例 10】 200022222 个除以13所得余数是_____．【巩固】19956666667 个的余数是多少？【随练1】 有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍．且这个三位数除以5余4，除以11余3．这个三位数是__________。
五年级奥数.数论.余数的性质
余数的性质知识结构三大余数定理：（1）余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2（2）余数的减法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4（3）余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同．例题精讲【例1】在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【巩固】号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【例2】有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【巩固】用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________．【例3】六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．【巩固】商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．【例4】求478296351⨯⨯除以17的余数．【巩固】求4373091993⨯⨯被7除的余数．【例5】求12÷的余数644319【巩固】 求89143除以7的余数．【例 6】 20102009200920092009⨯⨯⨯L 14444244443个的个位数字是________．【巩固】 2007×2007×…×2007（2008个2007）的个位数字是 。
五年级下册数学试题奥数—有余数的除法
有余数的除法一、知识点定义 设b a ,为正整数，由除法得r q b a ，其中q 是商，r 是余数， b r 0.我们称为带余除法. 被除数=除数 商+余数，或者被除数-余数==除数 商性质 (1)余数小于除数；（2）如果b a ,除以m 的余数相同，则b a 是m 的倍数，我们称b a ,对模m 同余，记作：)(mod m b a ；（3）a 与b 的和除以m 的余数等于与a 、b 分别除以m 的余数之和（或者这个和除以m 的余数）（4）a 与b 的积除以m 的余数等于与a 、b 分别除以m 的余数之积（或者这个积除以m 的余数）（5）若)(mod ),(mod m d c m b a ，则)(mod m d b c a ，)(mod m d b c a ，)(mod m d b c a .二、例题例1 用一个奇数去除255和197，所得余数都是23，求这个奇数.例2 有一个不等于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，这个数是多少？例3 求乘积199354128 被13除的余数.例4 从1—100这100个数中最多选出多少个数,使选出来的中每两个的和都不能被3整除？例5 一个正整数被8除余1，所得商被8除也余1，再把第二次所得商除8后余7，最后商是a .又这个数被17除余4，所得商被17除余15，最后得到的商是a 的2倍，求这个正整数.例6 一个正整数除以3余2，除以5余4，除以7余5，求满足条件的最小正整数.例7 20022001除以4的余数是_________.三、练习1.5197104 的积除以11的余数是__________.2.两数相除所得商为23，余数为6，被除数、除数、商、余数之和为779，那么被除数是_________,除数是__________.3.若34和56除以m的余数相同，且m为奇质数，则m除72的余数为__________.4.实验小学五年级有三百多人，将总人数减去5能被6整除，减去6能被7整除，减去7能被8整除，则五年级共有_________人.3107 的余数是_________.5.76.有一个大于1的正整数除314，257，447所得余数相同，则2002除以这个数余数是_______.。
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带余除法的定义及性质
1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：
(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商
(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商
一个完美的带余除法讲解模型:如图
这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2、余数的性质
⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数．
3、解题关键
理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．
例题精讲
知识框架
带余除法
【例 1】某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于。
【巩固】一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。
【例 2】除法算式 L L
□□=208中，被除数最小等于。
【巩固】计算口÷△，结果是：商为10，余数为▲。
如果▲的值是6，那么△的最小值是_____。
【例 3】71427和19的积被7除，余数是几?
【巩固】在下面的空格中填上适当的数。
31247
7
4002
【例 4】 1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．
【巩固】 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
【例 5】 一个两位奇数除1477，余数是49，那么，这个两位奇数是多少？
【巩固】 大于35的所有数中，有多少个数除以7的余数和商相等？
【例 6】 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？
【巩固】 写出全部除109后余数为4的两位数．
【例 7】甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．
【巩固】用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．
【例 1】当1991和1769除以某个自然数n，余数分别为2和1．那么，n最小是多少？
【巩固】有三个自然数a，b，c，已知b除以a，得商3余3；c除以a，得商9余11。
则c除以b，得到的余数是。
【例 8】有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？
【巩固】两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．
【例 2】 2000"2"
2222L 14243个除以13所得余数是_____.
【巩固】 19956
6666667 L 14243
个的余数是多少？
【随练1】 有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍。
且这个三位数除以5余4，除以11余3。
这个三位数是_
【随练2】 一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个
自然数是_________.
【随练3】 盒子里放有编号1到10的十个球，小红先后三次从盒子中共取出九个球，如果从第二次起，每
次取出的球的编号的和都比上一次的两倍还多一，那么剩下的球的编号为____。
课堂检测
家庭作业
【作业1】用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？
【作业2】10个自然数，和为100，分别除以3。
若用去尾法，10个商的和为30；若用四舍五入法，l0个商的和为34．10个数中被3除余l的有________个．
【作业3】托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数．现知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．
【作业4】3782除以某个整数后所得的商恰好是余数的21倍，那么除数最小可能是。
【作业5】在大于2009的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有______个.
教学反馈
学生对本次课的评价
○特别满意○满意○一般
家长意见及建议
家长签字：。