证明(1)∵ΔABC和ΔCDE都是等边三角形
北京人大附中西山学校2018-2019学年八年级(上)期中数学试卷 (解析版)(1)
2018 北京人大附中西山学校初二（上）期中数学1. 在图中，是轴．对．称．图．形．的是（）2. 下列五个算式：①x3 ×(- x)2 = x5; ②(-a2 )3 = - a6 ; ③(-2x3 )2 = - 4x6 ;④(-a)5 ¸(-a)2 = a3 ; ⑤2a3 i3a2 = 6a5 中,正确的有（）A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个3. 点P（－3，2）关于x轴对称的点是( ) ．A．(3， 2) B．(－3，2) C． (3，－2) D．(－3，－2)4. 将a2＋24a＋144 因式分解，结果为（）A．（a＋18）（a＋8）B．（a＋12）（a－12）C．（a＋12）2 D．（a－12）25. 等腰三角形的一个角等于40o，则它的顶角是 ( ) ．A．40o B．140o C．70o D． 70o 或40o6. 如图，在△ABC中，∠C = 40︒，将△ABC沿着直线l 折叠，点C落在点D的位置，则∠1－∠2的度数是( )A. 40︒B.80︒C. 90︒D.140︒7. 下列计算正确的是（）A．（5－m）（5＋m）＝m2－25 B．（1－3m）（1＋3m）＝1－3m2C．（－4－3n）（－4＋3n）＝－9n2＋16 D．（2ab－n）（2ab＋n）＝2a2b2－n28. 如图，把△ABC 沿 EF 对折，叠合后的图形如图所示.若∠A = 60°，∠1 = 95°，则∠2 的度数为（）A．24° B．25°C．30°D．35°二．填空题9.计算:（－ab ）2= ；10. 已知x m =a, x n =b,则x3m+2n 可以表示为；11. 若x2 +mx -12 = (x + 3)(x +n),则m的值；12. 点A（2,3）关于y轴成轴对称的点的坐标是；13. 如果等腰三角形的两个边长分别为4 和8，则它的周长是.14. 多项式x2－8x＋k是一个完全平方式，则k＝．15. 如图，在△A BC 中，边AB 的垂直平分线分别交AB、BC 于点D、E，边AC 的垂直平分线分别交AC、BC 于点F、G、若BC=4，则△AEG 的周长为16. 数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．已知：直线AB 和AB 上一点C．求作：AB 的垂线，使它经过点C．小艾的作法如下：如图，（1）在直线AB 上取一点D，使点D 与点C 不重合，以点C 为圆心，CD 长为半径作弧，交AB 于D，E 两点；（2）分别以点D 和点E 为圆心，大于12DE 长为半径作弧，两弧相交于点F；（3）作直线CF．所以直线CF 就是所求作的垂线．老师表扬了小艾的作法是对的．请回答：小艾这样作图的依据是．三．解答题：19.因式分解：（1）4a2－9b2 （2）25a2b - 10ab + b20.乘法计算：（1）(- 3x2 y)2 ×13xy （2）(12x + 2)(4x -12)21. 如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD 是∠ABC的角平分线.证明：AB+AD=BC.22. 先化简，再求值：(a2b- 2ab2 -b3 )÷b -(a +b)(a -b)，其中a＝1，b＝－1．23. 若2x＋y＝0，求6x2 + xy - y2 的值24. 求多项式x2 +y2 - 4x +6y+15的最小值为？25．在l上求作一点M，使得AM＋BM最小，并简要说明理由。
北师大版七年级数学下 第四章 三角形 全等三角形的判定综合培优(解答题)(包含答案)
北师大七下全等三角形的判定综合培优（解答题）1．如图，已知AB AC ⊥，AB AC =，AD AE =，BD CE =，试猜想AD 与AE 的位置关系并说明理由．2．已知:如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，ME∠AD ．求证:(1)AB=AE ；(2)AM 平分∠DAB ．3．如图，点E 在CD 上，BC 与AE 交于点F ，AB=CB ，BE=BD ，∠1=∠2．（1）求证：∠ABE∠∠CBD ；（2）证明：∠1=∠3．4．如图，∠ACB 和∠DCE 均为等腰三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE .若∠CAB ＝∠CBA ＝∠CDE ＝∠CED ＝50°.(1)求证：AD＝BE；(2)求∠AEB的度数．5．如图，已知∠ABC 中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D 为AB的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以1cm/s 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动．∠若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1 秒后，∠BPD 与∠CQP 是否全等，请说明理由；∠若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使∠BPD 与∠CQP 全等？（2）若点Q 以∠中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿∠ABC 三边运动，则经过后，点P 与点Q 第一次在∠ABC 的边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）6．如图（1）四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，DA∠AB，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE．（1）求证：∠ABC∠∠ADE；（2）求证：CA平分∠BCD；（3）如图（2），设AF是∠ABC的BC边上的高，求证：EC＝2AF．7．已知：如图，在∠ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C任作一射线CM，交AB于M，分别过A，B作AE∠CM，BF∠CM，垂足分别为E，F.(1)求证：∠ACE=∠CBF；(2)求证：AE=CF；(3)直接写出AE，BF，EF的关系式.8．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求证：AC=CD；（2）若AC =AE ，求∠DEC 的度数．9．如图，在四边形中ABCD 中，//,12,AB CD DB DC ∠=∠=，且DBC DCB ∠=∠.(1)求证: ABD EDC ∆≅∆;(2)若125,30A BDC ∠=︒∠=︒，求BCE ∠的度数.10．已知：如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ∠CE ，BE ∠CE ，垂足分别是点D ，E ．（1）求证：∠BEC ∠∠CDA ；（2）当AD ＝3，BE ＝1时，求DE 的长．11．如图，在四边形ABCD 中，AD∠BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ．（1）∠DAE 和∠CFE 全等吗？说明理由；（2）若AB ＝BC+AD ，说明BE∠AF ；（3）在（2）的条件下，若EF ＝6，CE ＝5，∠D ＝90°，你能否求出E 到AB 的距离？如果能请直接写出结果．12．如图1，AC BC =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点M ，连接CM ． ()1求证：BE AD =；()2求AMB ∠的度数（用含α的式子表示）； ()3如图2，当90α=o 时，点P 、Q 分别为AD 、BE 的中点，分别连接CP 、CQ 、PQ ，判断CPQ V 的形状，并加以证明．13．以点A 为顶点作等腰Rt∠ABC ，其中∠BAC=∠DAE=90°，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD 、CE,延长BD 交CE 于点F.（1）试判断BD、CE的关系，并说明理由；（2）把两个等腰直角三角形按如图2所示放置，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由.14．如图：在∠ABC中，∠C=90°，AC=BC，过点C在∠ABC外作直线MN，AM∠MN于M，BN∠MN 于N．(1)MN=AM+BN成立吗？为什么？(2)若过点C在∠ABC内作直线MN，AM∠MN于M，BN∠MN于N，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．15．如图，已知∠ABC是等边三角形，D、F分别为BC、AB边上的点，AF=BD,以AD为边作等边ΔADE.(1)求证:AE=CF;(2)求∠BEF的度数.16．如图所示，在∠ABC中，AD∠BC于D，CE∠AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD，(1)求证:∠ABD∠∠CFD；(2)已知BC=7，AD=5，求AF的长。
2023年 九年级数学中考复习 几何图形变换综合压轴题 专题训练(含答案)
2023年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题训练（附答案）1．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，直线AE，BD交于点F．（1）如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，∠AFB的度数为，线段AE与BD的数量关系为．（2）如图2，当△ECD绕点C顺时针旋转α（0°≤α＜360°）时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由；若成立，请就图2给予证明．（3）若AC＝4，CD＝3，当△ECD绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出BD长的取值范围．2．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现：当α＝0°时，的值为；（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出的值；（3）问题解决：当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，若CE＝5，AC＝4，直接写出线段AD的长．3．已知：如图1，线段AD＝5，点B从点A出发沿射线AD方向运动，以AB为底作等腰△ABC，使得AC＝BC＝AB．（1）如图2，当AB＝10时，求证：CD⊥AB；（2）当△BCD是以BC为腰的等腰三角形时，求BC的长；（3）当AB＞5时，在线段BC上是否存在点E，使得△BDE与△ACD全等，若存在，求出BC的长；若不存在，请说明理由；（4）作点A关于直线CD的对称点A′，连接CA′当CA′∥AB时，CA′＝（请直接写出答案）．4．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．（1）试判断BD与AC的位置关系是：；数量关系是：；（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．①试猜想BD与AC的数量关系为：；②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．5．如图，平面直角坐标系中O为原点，Rt△ABC的直角顶点A在y轴正半轴上，斜边BC 在x轴上，已知B、C两点关于y轴对称，且C（﹣8，0）．（1）请直接写出A、B两点坐标；（2）动点P在线段AB上，横坐标为t，连接OP，请用含t的式子表示△POB的面积；（3）在（2）的条件下，当△POB的面积为24时，延长OP到Q，使得PQ＝OP，在第一象限内是否存在点D，使得△OQD是等腰直角三角形，如果存在，求出D点坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在AB边的延长线上，且CD ＝AB．（Ⅰ）求BD的长度；（Ⅱ）如图2，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'．①若α＝30°，A'D'与CD相交于点E，求DE的长度；②连接A'D、BD'，若旋转过程中A'D＝BD'时，求满足条件的α的度数．（Ⅲ）如图3，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'，若点M 为AC的中点，点N为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN长度的取值范围．7．如图①，将两个等腰直角三角形纸片OAB和OCD放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（0，+1），点B（+1，0），点C（0，1），点D（1，0）．（Ⅰ）求证：AC＝BD；（Ⅱ）如图②，现将△OCD绕点O顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），连接AC，BD，这一过程中AC和BD是否仍然保持相等？说明理由；当旋转角α的度数为时，AC所在直线能够垂直平分BD；（Ⅲ）在（Ⅱ）的情况下，将旋转角α的范围扩大为0°＜α＜360°，那么在旋转过程中，求△BAD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．（直接写出结果即可）8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，过点A作直线l平行于BC，点D是直线l上一动点，连接CD，射线DC绕点D顺时针旋转α交直线AB于点E．（1）如图1，若α＝60°，当点E在线段AB上时，请直接写出线段AC，AD，AE之间的数量关系，不用证明；（2）如图2，若α＝60°，当点E在线段BA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．（3）如图3，若α＝90°，BC＝6，AD＝，请直接写出AE的长．9．有一根直尺短边长4cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长为16cm，如图甲，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D 与点A重合．将直尺沿射线AB方向平移，如图乙，设平移的长度为xcm，且满足0≤x ≤12，直尺和三角形纸板重叠部分的面积为Scm2．（1）当x＝0cm时，S＝；当x＝12cm时，S＝．（2）当0＜x＜8（如图乙、图丙），请用含x的代数式表示S．（3）是否存在一个位置，使重叠部分面积为28cm2？若存在求出此时x的值．10．如图①，C为线段BD上的一点，BC≠CD，分别以BC，BD为边在BD的上方作等边△ABC和等边△CDE，连接AE，F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，连接FG，GH，FH．（1）△FGH的形状是；（2）将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转，其他条件不变，（1）的结论是否成立？结合图②说明理由；（3）若BC＝2，CD＝4，将△CDE绕点C旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出△FGH的周长．11．已知，射线AB∥CD，P是直线AC右侧一动点，连接AP，CP，E是射线AB上一动点，过点E的直线分别与AP，CP交于点M，N，与射线CD交于点F，设∠BAP＝∠1，∠DCP＝∠2．（1）如图1，当点P在AB，CD之间时，求证：∠P＝∠1+∠2；（2）如图2，在（1）的条件下，作△PMN关于直线EF对称的△P'MN，求证：∠3+∠4＝2（∠1+∠2）；（3）如图3，当点P在AB上方时，作△PMN关于直线EF对称的△P'MN，（1）（2）的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠P，∠1，∠2之间数量关系，以及∠3，∠4与∠1，∠2之间数量关系．12．（1）如图1，平面直角坐标系中A（0，a），B（a，0）（a＞0）．C为线段AB的中点，CD⊥x轴于D，若△AOB的面积为2，则△CDB的面积为．（2）如图2，△AOB为等腰直角三角形，O为直角顶点，点E为线段OB上一点，且OB＝3OE，C与E关于原点对称，线段AB交x轴于点D，连CD，若CD⊥AE，试求的值．（3）如图3，点C、E在x轴上，B在y轴上，OB＝OC，△BDE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，直线CB、ED交于点A，CD交y轴于点F，试探究：是否为定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是，请求出其取值范围．13．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．（1）如图1，点P，Q在线段BC上，AP＝AQ，∠BAP＝15°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q在线段BC上（不与点B，C重合），AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②用等式表示线段BP，AP，PC之间的数量关系，并证明．14．【问题背景】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上的一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连接CE，求证：△ABD≌△ACE；【尝试应用】如图2，在图1的条件下，延长DE，AC交于点G，BF⊥AB交DE于点F，求证：FG＝AE；【拓展创新】如图3，A是△BDC内一点，∠ABC＝∠ADB＝45°，∠BAC＝90°，BD ＝，直接写出△BDC的面积为．15．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b）分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C与点A关于y轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点．（1）当2a2+4ab+4b2+2a+1＝0时，求A，B的坐标；（2）当a+b＝0时，①如图1，若D与P关于y轴对称，PE⊥DB并交DB延长线于E，交AB的延长线于F，求证：PB＝PF；②如图2，把射线BP绕点B顺时针旋转45o，交x轴于点Q，当CP＝AQ时，求∠APB的大小．16．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H．（1）如图1，当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上，求△DEF的周长；（2）如图2，在△DEF作平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；（3）假设C点与F点的距离为x，△DEF与△ABC的重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域．17．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，点D为边AC的中点（如图），点P、Q 分别是射线BC、BA上的动点，且BQ＝BP，联结PQ、QD、DP．（1）求证：PQ⊥AB；（2）如果点P在线段BC上，当△PQD是直角三角形时，求BP的长；（3）将△PQD沿直线QP翻折，点D的对应点为点D'，如果点D'位于△ABC内，请直接写出BP的取值范围．18．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM＝2，MN＝3，求BN的长．（2）如图2，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点M，N为边AB上两点满足∠MCN＝45°，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程．19．问题背景如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．尝试应用如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求的值．拓展创新如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．20．【教材呈现】如图是苏科版九年级下册数学教材第92页的第17题．一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为1.5m，面积为1.5m2．甲乙两人分别按图1、图2把它加工成一个正方形的桌面，请说明哪个正方形的面积较大．【解决问题】（1）记图1、图2中的正方形面积分别为S1，S2，则S1S2．（填“＞”、“＜”或“＝”）．【问题变式】若木板形状是锐角三角形A1B1C1．某数学兴趣小组继续思考：按图3、图4、图5三种方式加工，分别记所得的正方形面积为S3、S4、S5，哪一个正方形的面积最大呢？（2）若木板的面积S仍为1.5m2．小明：记图3中的正方形为“沿B1C1边的内接正方形”，图4中的正方形为“沿A1C1边的内接正方形”，依此类推．以图3为例，求“沿B1C1边的内接正方形DEFG”的面积．设EF ＝x ，B 1C 1＝a ，B 1C 1边上的高A 1H ＝h ，则S ＝ah ．由“相似三角形对应高的比等于相似比”易得x ＝；同理可得图4、图5中正方形边长，再比较大小即可．小红：若要内接正方形面积最大，则x 最大即可；小莉：同一块木板，面积相同，即S 为定值，本题中S ＝1.5，因此，只需要a +h 最小即可．我们可以借鉴以前研究函数的经验，令y ＝a +h ＝a +＝a +（a ＞0）．下面来探索函数y ＝a +（a ＞0）的图象和性质．①根据如表，画出函数的图象：（如图6）a… 1 2 3 4 … y … 12 9 6 4 3 3 4 4…②观察图象，发现该函数有最小值，此时a 的取值 ；A ．等于2；B ．在1～之间；C ．在～之间；D ．在～2之间．（3）若在△A 1B 1C 1中（如图7），A 1B 1＝5，A 1C 1＝，高A 1H ＝4．①结合你的发现，得到S 3、S 4、S 5的大小关系是 （用“＜”连接）． ②小明不小心打翻了墨水瓶，已画出最大面积的内接正方形的△A 1B 1C 1原图遭到了污损，请用直尺和圆规帮他复原△A 1B 1C 1．（保留作图痕迹，不写作法）参考答案1．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵△ECD是等边三角形，∴CE＝CD，∠DCE＝60°，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，在△ABF中，∠AFB＝180°﹣（∠BAF+∠ABF）＝180°﹣（∠BAF+∠CBF+∠ABC）＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝180°﹣（60°+60°）＝60°，∴∠AFB＝60°，故答案为：∠AFB＝60°，AE＝BD；（2）（1）中结论仍成立，证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵△ECD是等边三角形，∴CE＝CD，∠DCE＝60°，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，∵∠AFB+∠CBD＝∠ACB+∠CAE，∴∠AFB＝∠ACB，∵∠ACB＝60°，∴∠AFB＝60°；（3）在△BCD中，BC+CD＞BD，BC﹣CD＜BD，∴点D在BC的延长线上时，BD最大，最大为4+3＝7，当点D在线段BC上时，BD最小，最小为4﹣3＝1，∴1≤BD≤7，即BD长的取值范围为1≤BD≤7．2．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠B＝45°，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B＝45°，∠CDE＝∠A＝90°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴cos∠C＝＝，∵DE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）由（1）知，△BAC和△CDE均为等腰直角三角形，∴＝＝，又∠BCE＝∠ACD＝α，∴△BCE∽△ACD，∴＝＝，即＝；（3）①如图3﹣1，当点E在线段BA的延长线上时，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE＝90°，∴AE＝＝＝3，∴BE＝BA+AE＝4+3＝7；由（2）知，＝．故AD＝．②如图3﹣2，当点E在线段BA上时，AE＝＝＝3，∴BE＝BA﹣AE＝4﹣3＝1，由（2）知，＝．故AD＝．综上所述，AD的长为或，故答案为：或．3．解：（1）如图2中，∵AB＝10，AD＝5，∴AD＝DB，∵CA＝CB，AD＝DB，∴CD⊥AB．（2）如图1中，当AB＜AD时，BC＝BD．设AB＝10k，则AC＝BC＝6k，∵AD＝5，∴10k+6k＝5，∴k＝，∴BC＝6k＝．如图1﹣1中，当AB＞AD时，BC＝BD，同法可得10k﹣6k＝5，解得k＝，∴BC＝6k＝，综上所述，BC的值为或．（3）如图3﹣1中，当△ADC≌△BED时，BD＝AC＝BC，由（2）可知，BC＝．如图3﹣2中，当△ADC≌△BCE时，点E与C重合，此时AB＝10k＝10，∴k＝1，BC＝6k＝6．综上所述，BC的值为或6．（4）如图3中，当CA′∥AB时，∵CA′∥AB，∴∠ADC＝∠A′CD，由翻折可知，∠A′CD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠ADC，∴AC＝AD＝5，∴CA′＝CA＝5．故答案为5．4．解：（1）结论：BD＝AC，BD⊥AC．理由：延长BD交AC于F．∵AE⊥CB，∴∠AEC＝∠BED＝90°．在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（SAS），∴AC＝BD，∠CAE＝∠EBD，∵∠AEC＝90°，∴∠ACB+∠CAE＝90°，∴∠CBF+∠ACB＝90°，∴∠BFC＝90°，∴AC⊥BD，故答案为：BD⊥AC，BD＝AC．（2）如图2中，不发生变化，设DE与AC交于点O，BD与AC交于点F．理由是：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∵∠DEC＝90°，∴∠ACE+∠EOC＝90°，∵∠EOC＝∠DOF，∴∠BDE+∠DOF＝90°，∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；（3）①如图3中，结论：BD＝AC，理由是：∵△ABE和△DEC是等边三角形，∴AE＝BE，DE＝EC，∠BEA＝∠DEC＝60°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，故答案为：BD＝AC．②能；设BD与AC交于点F，由①知，△BED≌△AEC，∴∠BDE＝∠ACE，∴∠DFC＝180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（∠ACE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（60°+60°）＝60°，即BD与AC的夹角中的锐角的度数为60°．5．解：（1）∵B、C两点关于y轴对称，且C（﹣8，0），∴点B（8，0），BO＝CO，又∵AO⊥BC，∴AC＝AB，∵∠CAB＝90°，AC＝AB，CO＝BO，∴AO＝CO＝BO＝8，∴点A（0，8）；（2）如图1，过点P作PM⊥OB于M，∵点P的横坐标为t，∴OM＝t，∴MB＝8﹣t，∵∠CAB＝90°，AC＝AB，∴∠ABO＝45°，∴∠BPM＝∠ABO＝45°，∴PM＝MB＝8﹣t，∴S△POB＝×OB×PM＝×8×（8﹣t）＝32﹣4t；（3）∵△POB的面积为24，∴32﹣4t＝24，∴t＝2，∴点P（2，6），如图2，当点Q为直角顶点时，过点Q作HG⊥y轴，过点D作DG⊥HG于点G，∵PQ＝OP，点P（2，6），∴点Q（4，12），∵∠OQD＝90°＝∠OHQ＝∠QGD，∴∠OQH+∠DQG＝90°＝∠OQH+∠HOQ，∴∠HOQ＝∠GQD，又∵OQ＝QD，∴△OHQ≌△QGD（AAS），∴OH＝QG＝12，HQ＝GD＝4，∴HG＝16，∴点D（16，8）；当点D为直角顶点时，过点Q作HG⊥y轴，过点D作DG⊥HG于点G，过点D作DN ⊥y轴于N，同理可求△QDG≌△ODN，∴ON＝QG，DN＝DG，∵DN＝QG+HQ＝4+QG，DG＝HN＝12﹣ON，∴ON＝QG＝4，DN＝DG＝8，∴点D（8，4），综上所述：点D（16，8）或（8，4）．6．解：（Ⅰ）如图1，过点C作CH⊥AB于H，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，CH⊥AB，∴AB＝CD＝6，CH＝BH＝AB＝3，∠CAB＝∠CBA＝45°，∴DH＝＝＝3，∴BD＝DH﹣BH＝3﹣3；（Ⅱ）①如图2，过点E作EF⊥CD'于F，∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，∴CD＝CD'＝6，∠DCD'＝30°＝∠CDA＝∠CD'A'，∴CE＝D'E，又∵EF⊥CD'，∴CF＝D'F＝3，EF＝，CE＝2EF＝2，∴DE＝DC﹣CE＝6﹣2；②如图2﹣1，∵∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，∴∠BCD＝15°，∴∠ACD＝105°，∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，∴AC＝A'C，CD＝CD'，∠ACA'＝∠DCD'＝α，∴CB＝CA'，又∵A′D＝BD′，∴△A'CD≌△BCD'（SSS），∴∠A'CD＝∠BCD'，∴105°﹣α＝15°+α，∴α＝45°；如图2﹣2，同理可证：△A'CD≌△BCD'，∴∠A'CD＝∠BCD'，∴α﹣105°＝360°﹣α﹣15°，∴α＝225°，综上所述：满足条件的α的度数为45°或225°；（Ⅲ）如图3，当A'D'⊥AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，∵∠A'＝45°，A'D'⊥AC，∴∠A'＝∠NCA'＝45°，∴CN＝A'N＝3，∵点M为AC的中点，∴CM＝AC＝3，∴MN的最小值＝NC﹣CM＝3﹣3；如图4，当点A，点C，点D'共线，且点N与点D'重合时，MN有最大值，此时MN＝CM+CN＝6+3，∴线段MN的取值范围是3﹣3≤MN≤6+3．7．解：（Ⅰ）∵点A（0，+1），点B（+1，0），点C（0，1），点D（1，0），∴OA＝+1，OB＝+1，OC＝1，OD＝1，∴AC＝OA﹣OC＝+1﹣1＝，BD＝+1﹣1＝，∴AC＝BD；（Ⅱ）由题意知，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝90°﹣∠COB，∠BOD＝∠COD﹣∠COB＝90°﹣∠COB，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∠OAC＝∠OBD，如图1（注：点C在x轴上，为了不要出现误解，点C没画在x轴上），延长AC交BD 于D，连接BC，在Rt△AOB中，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∴∠CAB+∠ABD＝∠OAB﹣∠OAC+∠ABO+∠BOD＝∠OAB+∠OBA＝90°，∴AC⊥BD，∵AC垂直平分BD，∴CD＝BC，设点C的坐标为（m，n），∴m2+n2＝1①，由旋转知，CD＝＝，∵B（+1，0），[m﹣（+1）]2+n2＝2②，联立①②解得，m＝1，n＝0，∴点C在x轴上，∴旋转角为∠AOC＝90°，故答案为：90°；（Ⅲ）如图2，∵OA＝OB＝+1，∴AB＝OA＝2+，过点O作OH⊥AB于H，∴S△AOB＝OA•OB＝AB•OH，∴OH＝＝＝＝，过点D作DG⊥AB于G，S△ABD＝AB•DG＝（2+）DG，要使△ABD的面积最大，则DG最大，由旋转知，点D是以O为圆心，1为半径的圆上，∴点D在HO的延长线上时，DG最大，即DG的最大值为D'H＝OD'+OH＝1+＝，∴S△ABD最大＝AB•D'H＝（2+）×＝，在Rt△AOB中，OA＝OB，OH⊥AB，∴∠BOH＝45°，∴旋转角∠BOD'＝180°﹣45°＝135°．8．解：（1）AC＝AE+AD．证明：连接CE，∵线段DC绕点D顺时针旋转α交直线AB于点E，α＝60°，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴CB＝CA＝AB，∠ACB＝60°，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠ACB＝60°，∵∠FDC＝∠EAF＝60°，∠AFE＝∠DFC，∴△AFE∽△DFC，∴，∴，∵∠AFD＝∠EFC，∴△AFD∽△EFC，∴∠DAF＝∠FEC＝60°，∴△DEC是等边三角形，∴CD＝CE，∠ECD＝60°，∴∠BCE＝∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD，∴AB＝AE+BE＝AE+AD，∴AC＝AE+AD；（2）不成立，AD＝AC+AE．理由如下：在AC的延长线上取点F，使AF＝AD，连接DF，当α＝60°时，∠BAC＝∠EDC＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC∠BCA＝60°，∵l∥BC，∴∠DAC＝∠BCA＝60°，∠EAD＝∠ABC＝60°，∵AF＝AD，∴∠ADF＝∠AFD＝60°，AD＝FD＝AF，∴∠EDC＝∠ADF＝60°，∴∠EDC﹣∠ADC＝∠ADF﹣∠ADC，即∠EDA＝∠CDF，∵AD＝FD，∠EAD＝∠AFD＝60°，∴△EAD≌△CFD（ASA），∴AE＝CF，∴AD＝AF＝AC+CF＝AC+AE；（3）AE的长为或．当点E在线段AB上，过点D作直线l的垂线，交AC于点F，如图3所示．∵△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，∴∠ACB＝∠B＝45°．∵直线l∥BC，∴∠DAF＝∠ACB＝45°．∵FD⊥直线l，∴∠DAF＝∠DF A＝45°．∴AD＝FD．∵∠EDC＝∠ADF＝90°，∴∠ADE＝∠FDC．由（1）可知DC＝DE，∴△ADE≌△FDC（SAS），∴AE＝CF．∵AD＝，∴AF＝2，∵BC＝6，∴AC＝AB＝3，∴AE＝AC﹣AF＝3﹣2．当点E在线段AB的延长线上时，如图4所示．过点D作直线l的垂线，交AB于点M，同理可证得△ADC≌△MDE（SAS），∴AC＝EM＝3，∵AD＝，∴AM＝2，∴EM+AM＝3+2．综合以上可得AE的长为3+2或3﹣2．9．解：（1）当x＝0cm时，S＝4×4÷2＝8cm2；当x＝12cm时，S＝4×4÷2＝8cm2．故答案为：8cm2；8cm2．（2）①当0＜x＜4时，∵△CAB为等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴△ADG和△AEF都是等腰直角三角形，∴AD＝DG＝x，AE＝EF＝x+4，∴梯形GDEF的面积＝×（GD+EF）×DE＝×（x+x+4）×4＝4x+8．②如图所示：过点C作CM⊥AB于点M．当4＜x＜8时，梯形GDMC的面积＝（GD+CM）×DM＝（x+8）（8﹣x）＝﹣x2+32，梯形CMEF的面积＝（EF+CM）×ME＝[16﹣（x+4）+8][（x+4）﹣8]＝（20﹣x）（x﹣4）＝﹣x2+12x﹣40，S＝梯形GDMC的面积+梯形CMEF的面积＝（﹣x2+32）+（﹣x2+12x﹣40）＝﹣x2+12x ﹣8．综合以上可得，S＝．（3）当0＜x＜4时s最大值小于24，当x＝4时，S＝24cm2，所以当S＝28cm2时，x必然大于4，即﹣x2+12x﹣8＝28，解得x1＝x2＝6，当x＝6cm时，阴影部分面积为28cm2．当8＜≤12时，由对称性可知s的最大值也是小于24，不合题意舍去．∴当x＝6cm时，阴影部分面积为28cm2．10．解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴∠B＝∠DCE＝60°，AB＝BC，CE＝CD，∴CE∥AB，∵BC≠CD，∴CE≠AB，∴四边形ABCE是梯形，∵点F，G分别是BC，AE的中点，∴FG是梯形ABCE的中位线，∴FG∥AB，∴∠GFC＝60°，同理：∠GHB＝60°，∴∠FGH＝180°﹣∠GFC﹣∠GHB＝60°＝∠GFC＝∠GHB，∴△FGH是等边三角形，故答案为：等边三角形；（2）成立，理由如下：如图1，取AC的中点P，连接PF，PG，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AB＝BC，CE＝CD，∠BAC＝∠ACB＝∠ECD＝∠B＝60°，又F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，∴FP＝AB，FC＝BC，CH＝CD，PG＝CE，PG∥CE，PF∥AB，∴FP＝FC，PG＝CH，∠GPC+∠PCE＝180°，∠FPC＝∠BAC＝60°，∠PFC＝∠B＝60°，∴∠FPG＝∠FPC+∠GPC＝60°+∠GPC，∠GPC＝180°﹣∠PCE，∴∠FCH＝360°﹣∠ACB﹣∠ECD﹣∠PCE＝360°﹣60°﹣60°﹣（180°﹣∠GPC）＝60°+∠GPC，∴∠FPG＝∠FCH，∴△FPG≌△FCH（SAS），∴FG＝FH，∠PFG＝∠CFH，∴∠GFH＝∠GFC+∠CFH＝∠GFC+∠PFG＝∠PFC＝60°，∴△FGH为等边三角形；（3）①当点D在AE上时，如图2，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝2，∵△CDE是等边三角形，∴∠CED＝∠CDE＝60°，CE＝CD＝DE＝4，过点C作CM⊥AE于M，∴DM＝EM＝DE＝2，在Rt△CME中，根据勾股定理得，CM＝＝＝2，在Rt△AMC中，根据勾股定理得，AM＝＝＝4，∴AD＝AM﹣DM＝4﹣2＝2，∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，连接BE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD＝2，∠ADC＝∠BEC，∵∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，∴∠BEC＝120°，∴∠BEA＝∠BEC﹣∠CED＝60°，过点B作BN⊥AE于N，∴∠BNE＝90°，在Rt△BNE中，∠EBN＝90°﹣∠BEA＝30°，∴EN＝BE＝1，∴BN＝EN＝，DN＝DE﹣EN＝3，连接BD，根据勾股定理得，BD＝＝＝2，∵点H是CD的中点，点F是BC的中点，∴FH是△BCD的中位线，∴FH＝BD＝，由（2）知，△FGH是等边三角形，∴△FGH的周长为3FH＝3，②当点D在AE的延长线上时，如图3，同①的方法得，FH＝，∴△FGH的周长为3FH＝3，即满足条件的△FGH的周长为3或3．11．（1）证明：如图1中，过点P作PT∥AB．∵AB∥CD，AB∥PT，∴AB∥PT∥CD，∴∠1＝∠APT，∠2＝∠CPT，∴∠APC＝∠APT+∠CPT＝∠1+∠2．（2）证明：如图2中，连接PP′．∵∠3＝∠MPP′+∠MP′P，∠4＝∠NPP′+∠NP′P，∠APC＝∠MP′N，∴∠3+∠4＝2∠APC，∵∠APC＝∠1+∠2，∴∠3+∠4＝2（∠1+∠2）．（3）结论不成立．结论是：∠P＝∠2﹣∠1，∠4﹣∠3＝2（∠2﹣∠1）．理由：如图3中，设PC交AB于E，AP交NP′于F．∵AB∥CD，∴∠PEB＝∠2，∵∠PEB＝∠1+∠P，∴∠2＝∠P+∠1，∴∠P＝∠2﹣∠1．∵∠4＝∠P+∠PFN，∠PFN＝∠3+∠P′，∠P＝∠P′，∴∠4＝∠P+∠3+∠P，∴∠4﹣∠3＝2∠P＝2（∠2﹣∠1），∴∠4﹣∠3＝2（∠2﹣∠1）．12．解：（1）∵A（0，a），B（a，0）（a＞0），∴OA＝a，OB＝a，∵△AOB的面积为2，∴S△AOB＝×a×a＝2，∴a＝2（负值舍去），∴A（0，2），B（2，0），∵C为线段AB的中点，∴C（1，1），∴OD＝BD＝CD＝1，∴S△CDB＝×1×1＝．故答案为：．（2）连AC，过点D作DM⊥BC于M，∵△AOB是等腰直角三角形，∴AO⊥BO，AO＝BO，∠B＝∠OAB＝45°，又CO＝EO，∴AO是CE的垂直平分线，∴AE＝AC，不妨设AE、CD交于F，AO、CD交于G，∴∠CGA＝∠OAE+∠AFC＝∠OCD+∠COA，∵∠AFC＝∠COA＝90°，∴∠OAE＝∠OCD＝∠OAC，又∵∠CAD＝∠CAO+∠OAB＝∠OCD+∠B＝∠CDA，∴CD＝CA＝EA，∴△AOE≌△CMD（AAS），∴OE＝DM，∴＝＝＝3，∴＝2；（3）＝2，理由如下：作点C关于y轴的对称点N，连接BN，作DM∥BC交y轴于M，∵OB＝OC＝ON，∠BON＝90°，∴△BON等腰直角三角形，∴∠BNO＝∠BMD＝45°，∴∠MBD＝∠OBE+∠DBE＝∠OBE+∠BOE＝∠BEN，又∵BD＝BE，∴△BMD≌△ENB（AAS），∴EN＝BM，BN＝DM＝BC，又∵∠BFC＝∠DFM，∠BCF＝∠FDM，∴△BCF≌△MDF（AAS），∴BF＝MF，∴CO﹣EO＝NO﹣EO＝NE＝BM＝2BF，即＝2．13．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠APQ是△ABC的一个外角，∴∠APQ＝∠B+∠BAP，∵∠BAP＝15°，∴∠APQ＝60°，∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQB＝60°．（2）①图形如图2所示．②解：结论：PC2+BP2＝2AP2．理由：连接MC．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠BAP＝∠CAQ，∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴BP＝CQ，∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴AQ＝AM，CQ＝CM，∠CAM＝∠CAQ，∠ACM＝∠ACQ＝45°，∴AP＝AM，∠B＝∠ACM＝45°，∠BAP＝∠CAM，BP＝CM，∴∠BAC＝∠P AM＝90°，在Rt△APM中，AP＝AM，∠P AM＝90°，∴PM＝，∵∠ACQ＝∠ACM＝45°，∴∠PCM＝90°，在Rt△PCM中，∠PCM＝90°，∴PC2+CM2＝PM2，∴PC2+BP2＝2AP2．14．【问题背景】证明：如图1，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠DAB＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．【尝试应用】证明：如图2，过点D作DK⊥DC交FB的延长线于K．∵DK⊥CD，BF⊥AB，∴∠BDK＝∠ABK＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠DBK＝∠K＝45°，∴DK＝DB，∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝135°，DB＝EC＝DK，∴∠ECG＝45°，∵BF⊥AB，CA⊥AB，∴AG∥BF，∴∠G＝∠DFK，在△ECG和△DKF中，，∴△ECG≌△DKF（AAS），∴DF＝EG，∵DE＝AE，∴DF+EF＝AE，∴EG+EF＝AE，即FG＝AE．【拓展创新】解：如图3中，过点A作AE⊥AD交BD于E，连接CE．．∵∠ADB＝45°，∠DAE＝90°，∴△ADE与△ABC都是等腰直角三角形，同法可证△ABD≌△ACE，∴CE＝BD＝2，∵∠AEC＝∠ADB＝45°，∴∠CED＝∠CEB＝90°，∴S△BDC＝•BD•CE＝×2×2＝6．故答案为：6．15．解：（1）∵2a2+4ab+4b2+2a+1＝0，∴（a+2b）2+（a+1）2＝0，∵（a+2b）2≥0 （a+1）2≥0，∴a+2b＝0，a+1＝0，∴a＝﹣1，b＝，∴A（﹣1，0）B（0，）．（2）①证明：如图1中，∵a+b＝0，∴a＝﹣b，∴OA＝OB，又∵∠AOB＝90°，∴∠BAO＝∠ABO＝45°，∵D与P关于y轴对称，∴BD＝BP，∴∠BDP＝∠BPD，设∠BDP＝∠BPD＝α，则∠PBF＝∠BAP+∠BP A＝45°+α，∵PE⊥DB，∴∠BEF＝90°，∴∠F＝90o﹣∠EBF，又∠EBF＝∠ABD＝∠BAO﹣∠BDP＝45°﹣α，∴∠F＝45o+α，∴∠PBF＝∠F，∴PB＝PF．②解：如图2中，过点Q作QF⊥QB交PB于F，过点F作FH⊥x轴于H．可得等腰直角△BQF，∵∠BOQ＝∠BQF＝∠FHQ＝90°，∴∠BQO+∠FQH＝90°，∠FQH+∠QFH＝90°，∴∠BQO＝∠QFH，∵QB＝QF，∴△FQH≌△QBO（AAS），∴HQ＝OB＝OA，∴HO＝AQ＝PC，∴PH＝OC＝OB＝QH，∴FQ＝FP，又∠BFQ＝45°∴∠APB＝22.5°．16．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，∴AC＝2，∠A＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴∠DCE＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠ADC＝90°，∴CD＝AC＝3，∴△DEF的周长＝9；（2）解：结论：CF＝DG．理由：∵BC＝6，EF＝DF＝DE＝3，∴CF+BE＝BC﹣EF＝6﹣3＝3，∵△DEF是等边三角形，∴∠DEF＝60°，∵∠DEF＝∠B+∠EGB，∴∠B＝∠EGB＝∠DGE＝30°，∴EG＝BE，∵EG+DG＝CF+BE＝3，∴CF＝DG；（3）∵S△DEF＝×32＝，S△DGH＝•GH•DH＝•x•x＝x2，y＝S△DFE﹣S△DHG＝﹣x2（0≤x≤3）．17．解：（1）在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝2，根据勾股定理得，AB＝＝＝4，∴＝，∵BQ＝BP，∴＝，∴，∵∠QBP＝∠CBA，∴△BPQ∽△BAC，∴∠BQP＝∠ACB＝90°，∴PQ⊥AB；（2）∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝1，由（1）知，PQ⊥AB，∴∠AQP＝90°，∴∠PQD＜90°，∵△PQD是直角三角形，∴①当∠DPQ＝90°时，如图1，在Rt△ABC中，AC＝2，AB＝4，∴sin∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°，∴∠QPB＝90°﹣∠ABC＝60°，∴∠DPC＝90°﹣∠BPQ＝30°，∴CP＝＝＝，∴BP＝BC﹣CP＝，②当∠PDQ＝90°时，∴∠ADQ+∠PDC＝90°，如图2，过Q作QE⊥AC于E，∴∠DEQ＝90°＝∠ACB，∴∠ADQ+∠DQE＝90°，∴∠DQE＝∠PDC，∴△EQD∽△CDP，∴，∴，设BP＝t，则CP＝BC﹣BP＝2﹣t，在Rt△BQP中，BQ＝BP cos30°＝t，∴AQ＝AB﹣BQ＝4﹣t，在Rt△AEQ中，QE＝AQ cos30°＝（4﹣t）•＝2﹣t，AE＝AQ＝2﹣t，∴DE＝AD﹣AE＝t﹣1，∴，∴t＝或t＝（大于2，舍去）∴BP＝；即BP＝或；（3）；理由：如图3，①当点D'恰好落在边BC上时，由折叠知，PD'＝PD，PQ⊥DD'，由（1）知，PQ⊥AB，∴DD'∥AB，∴∠DD'C＝∠ABC＝30°，∴CD'＝CD＝，设BP＝m，则CP＝BC﹣BP＝2﹣m，∴DP＝D'P＝CD'﹣CP＝m﹣，在Rt△CDP中，根据勾股定理得，DP2＝CP2+CD2，∴（m﹣）2＝（2﹣m）2+1，∴m＝，②当点D'落在D时，即PQ过点D，在Rt△CDP'中，∠P'＝90°﹣∠DD'P'＝30°，∴CP'＝＝＝，∴BP'＝BC+CP'＝，综上：．18．（1）解：当MN最长时，BN＝＝＝；当BN最长时，BN＝＝＝，综合以上可得BN的长为或；（2）证明：如图，把△CBN绕点C逆时针旋转90°，得到△CAN'，连接MN'，∴△AN'C≌△BNC，∴CN'＝CN，∠ACN'＝∠BCN，∠CBN＝∠CAN'，∵∠MCN＝45°，∴∠N'CA+∠ACM＝∠ACM+∠BCN＝45°，∴∠MCN'＝∠BCM，∴△MN'C≌△MNC（SAS），∴MN'＝MN，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠B＝∠CAM＝45°，∴∠CAN'＝45°，∴∠MAN'＝∠CAN'+∠CAM＝45°+45°＝90°，在Rt△MN'A中，AN'2+AM2＝N'M2，∴BN2+AM2＝MN2，∴点M，N是线段AB的勾股分割点．19．问题背景解：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，∴∠BAD＝60°，∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴△ACD可以由△AEB绕点A顺时针旋转60°得到，即旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是60°；尝试应用∵△ACD和△ABE都是等边三角形，∴AC＝AD，AB＝AE，∠CAD＝∠BAE＝60°，∴∠CAB＝∠DAE，∴△ADE≌△ACB（SAS），∴∠ADE＝∠ACB＝90°，DE＝CB，∵∠ADE＝90°，∴∠ADF＝90°，∵∠ADC＝∠ACD＝60°，∴∠DCF＝∠CDF＝30°，∴CF＝DF，∵BD⊥BC，∴∠BDF＝30°，∴BF＝DF，设BF＝x，则CF＝DF＝2x，DE＝3x，∴；拓展创新∵∠ACB＝90°，∴点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD，∴CD＝AB＝1，如图，过点A作AE⊥AB，且使AE＝AD，连接PE，BE，∵将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，∴∠P AC＝90°，P A＝AC，∵∠EAD＝90°，∴∠P AE＝∠CAD，∴△CAD≌△P AE（SAS），∴PE＝CD＝1，∵AB＝2，AE＝AD＝1，∴BE＝＝＝，∴BP≤BE+PE＝+1，当且仅当P、E、B三点共线时取等号，∴BP的最大值为+1．20．解：（1）由AC长为1.5m，△ABC的面积为1.5m2，可得BC＝2m，如图①，设加工桌面的边长为xcm，∵DE∥CB，∴△ADE∽△ACB，∴＝，即＝，解得：x＝；如图②，设加工桌面的边长为ym，过点C作CM⊥AB，分别交DE、AB于点N、M，∵AC＝1.5m，BC＝2m，∴AB＝＝＝2.5（m），∵△ABC的面积为1.5m2，∴CM＝m，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴＝，即＝，解得：y＝，∴x＞y，即S1＞S2，故答案为：＞．（2）①函数图象如图6所示：②观察图象，发现该函数有最小值，此时a的取值～2之间．故选D．（3）①由（2）可知，S5＜S4＜S3．故答案为：S5＜S4＜S3．②如图7，△A1B1C1即为所求作．。
【微专题】2023学年八年级数学上册常考点(人教版) 共定点等边三角形的六大结论及应用(解析版)
共定点等边三角形的六大结论及应用六大结论基本模型：如图 △ABC 和△CDE 是共顶点（C ）三角形 则有以下六大结论.结论1：△ACD ≌△BCE （SAS ） ∴AD =BE 结论2：∠AOB=60°结论3：△ACP ≌△BCQ （ASA ） ∴AP =BQ PC =QC 结论4：△PCQ 是等边三角形 结论5：∴PQ AE ∥ 结论6：点C 在∠AOE 的平分线上1．如图 C 为线段AE 上一动点（不与点A 、E 重合） 在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE AD 与BE 交于点O AD 与BC 交于点P BE 与CD 交于点Q 连接PQ 以下七个结论：①AD BE =；②//PQ AE ；③AP BQ =；④DE DP =；⑤60AOB ∠=︒；⑥PCQ ∆是等边三角形；⑦点C 在AOE ∠的平分线上 其中正确的有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】D【解析】【分析】 由△ABC 和△CDE 是正三角形 其性质得三边相等 三个角为60° 平角的定义和角的和差得∠ACD =∠BCE 边角边证明△ACD ≌△BCE 其性质得结论①正确；由△ACD ≌△BCE 可得∠CAP =∠CBQ 可得60,AOB ACB 故⑤正确 角边角证明△ACP ≌△BCQ 得AP =BQ 其结论③正确；等边三角形的判定得△PCQ 是等边三角形 结论⑥正确；∠CPQ =∠ACB =60°判定两线PQ AE ∥ 结论②正确；反证法证明命题DE ≠DP 结论④错误；利用全等三角形的对应高相等 可证明点C 在∠AOE 的平分线上 结论⑦正确；即正确结论共6个．【详解】解：如图1所示：∵△ABC和△CDE是正三角形∴AC=BC DC=EC∠ACB=∠ECD=60°又∵∠ACD=∠ACB+∠BCD∠BCE=∠DCE+∠BCD ∴∠ACD=∠BCE在△ACD和△BCE中AC BCACD BCE CD CE=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD=BE∴结论①正确；∵△ACD≌△BCE∴∠CAP=∠CBQ,BPO APC60,AOB ACB故⑤正确又∵∠ACB+∠BCD+∠DCE=180° ∴∠BCD=60°在△ACP和△BCQ中CAP CBQ AC BC ACP BCQ∴△ACP≌△BCQ（ASA）∴AP=BQ PC=QC故③正确∴△PCQ是等边三角形故⑥正确∴∠CPQ=∠CQP=60°∴∠CPQ=∠ACB=60°∴PQ AE∥故②正确若DE=DP∵DC=DE∴DP=DC∴∠PCD=∠DPC又∵∠PCD=60°∴∠DPC=60°与△PCQ是等边三角形相矛盾假设不成立∴结论④错误；过点C分别作CM⊥AD CN⊥BE于点M、N两点如图2所示：∵CM ⊥AD CN ⊥BE,ACD BCE ≌∴CM =CN 又∵OC 在∠AOE 的内部∴点C 在∠AOE 的平分线上∴结论⑦正确；综合所述共有6个结论正确．故选：D ．【点睛】本题综合考查了全等三角的判定与性质 等边三角形的判定与性质 三角形的内角和定理 平行线的判定 角平分线性质定理的逆定理和假设法证明命题等相关知识 重点掌握全等三角形的判定与性质 等边三角形的判定与性质 难点是用角平分线性质定理的逆定理作辅助线证明一点已知角的角平分线上．2．已知如图ABC 是锐角三角形 分别以边AB 、AC 为边向外作ABD △和ACE ABD △和ACE 均为等边三角形 且BE 和CD 交于点F 连接AF ．（1）求证：ACD AEB ≅；（2）求出CFE ∠的度数；（3）求证：AFB BFC AFC ∠=∠=∠．【答案】（1）见解析；（2）60︒；（3）见解析．【解析】【分析】（1）由ABD ∆和ACE ∆均为等边三角形 可得边角关系 由SAS 即可证明ACD AEB ≌；（2）由ACD AEB ≌可得点A 、F 、C 、E 四点共圆 再由圆的性质即可求解；（3）由点A 、F 、C 、E 四点共圆 可得∠=∠FAC FEC 再由AFE ∆内角和为180︒可得60AFE ∠=︒ 由点A 、F 、B 、D 四点共圆 同理可得60AFD ∠=︒ 从而可得120,120,120∠=︒∠=︒∠=︒AFB AFC BFC 故可得AFB BFC AFC ∠=∠=∠．【详解】解：（1）∵ABD ∆和ACE ∆均为等边三角形∴60DAB EAC ∠=∠=︒ AE AC = AB AD =∴∠+∠=∠+∠BAC DAB BAC EAC 即DAC EAB ∠=∠∴在三角形ABD △和ACE 中AE AC DAC EAB AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ACD AEB SAS ≌△△；（2）∵ACD AEB ≌∴DAC EAB ∠=∠∴点A 、F 、C 、E 四点共圆∴CFE CAE ∠=∠∵ACE ∆均为等边三角形∴60CAE ∠=︒∴60CFE ∠=︒；（3）由（2）点A 、F 、C 、E 四点共圆 点A 、F 、B 、D 四点共圆∴∠=∠FAC FEC在AFE ∆中180∠+∠+∠+∠=︒AEF CAE FAC AFE∴180∠+∠+∠+∠=︒AEF CAE FEC AFE即180∠+∠+∠=︒AEC CAE AFE∵60∠=∠=︒AEC CAE∴180606060∠=︒-︒-︒=︒AFE同理可得60AFD ∠=︒∵EFC BFD ∠=∠ 60EFC ∠=︒∴60BFD ∠=︒∴6060120∠+∠=︒+︒=︒AFD BFD6060120∠+∠=︒+︒=︒AFE EFC∴360120120120∠=︒-︒-︒=︒BFC∴AFB BFC AFC ∠=∠=∠．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质 四点共圆的性质 三角形内角和定理 等边三角形的性质 解题的关键是熟练掌握各知识点 利用好数形结合的思想．3．已知：如图 △ABC 、△CDE 都是等边三角形 AD 、BE 相交于点O 点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点．(1)求∠DOE 的度数；(2)试判断△MNC 的形状 并说明理由；(3)连接OC 求证：OC 是∠AOE 的平分线．【答案】(1)∠DOE 的度数是60°(2)△MNC 是等边三角形 理由见解析(3)见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质及角的和差关系可得∠ACD ＝∠BCE 利用SAS 可证明△ACD ≌△BCE 可得AD ＝BE ∠ADC ＝∠BEC 利用角的和差关系及外角性质可得∠AOE =120° 根据平角定义即可得答案；（2）根据全等三角形的性质可得∠CAD ＝∠CBE AD ＝BE AC ＝BC 根据中点的定义可得AM ＝BN 利用SAS 可证明△ACM ≌△BCN 可得CM ＝CN ∠ACM ＝∠BCN 利用角的和差关系可得∠MCN ＝60° 即可证明△MNC 是等边三角形；（3）连接OC过C作CG⊥AD垂足为G；过C作CH⊥BE 垂足为H根据全等三角形的性质可得AD＝BE S△ACD=S△BCE即可得出CG＝CH根据角平分线的判定定理即可得出结论．(1)∵△ABC、△CDE都是等边三角形∴AC＝BC CD＝CE∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD∴∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△BCE∴AD＝BE∠ADC＝∠BEC∵等边三角形DCE∴∠CED＝∠CDE＝60°∴∠ADE＋∠BED＝∠ADC＋∠CDE＋∠BED ＝∠BEC＋60°＋∠BED＝∠CED＋60°＝60°＋60°＝120°∴∠AOE=120°∴∠DOE＝180°-∠AOE=60°．(2)△MNC是等边三角形理由如下：∵△ACD≌△BCE∴∠CAD＝∠CBE AD＝BE AC＝BC∵点M、N分别是线段AD、BE的中点∴AM＝12AD BN＝12BE∴AM＝BN在△ACM和△BCN中AC BCCAM CBNAM BN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACM≌△BCN∴CM＝CN∠ACM＝∠BCN∵∠ACB＝60°∴∠ACM＋∠MCB＝∠BCN+∠MCB=∠ACB=60°∴∠MCN＝60°∴△MNC是等边三角形．(3)连接OC过C作CG⊥AD垂足为G；过C作CH⊥BE 垂足为H．∵△ACD≌△BCE∴AD＝BE S△ACD=S△BCE∴1122AD CG BE CH⋅=⋅∴CG＝CH∵CG⊥AD CH⊥BE∴OC是∠AOE的平分线．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、三角形外角性质及角平分线的判定定理能够熟练掌握等边三角形的性质与判定条件是解题关键．4．如图已知△CAD与△CEB都是等边三角形BD、EA的延长线相交于点F．（1）求证：△ACE≌△DCB．（2）求∠F的度数．（3）若AD⊥BD请直接写出线段EF与线段BD、DF之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）EF＝BD+2DF.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到CB=CE CD=CA ∠BCE=∠DCA=60° 由全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）设BC与EF相交于G 根据全等三角形的性质得到∠1=∠2 根据三角形的内角和即可得到结论；（3）根据垂直的定义得到∠ADF=90° 求得∠DAF=30° 根据直角三角形的性质得到AF=2DF 根据全等三角形的性质得到AE=BD 于是得到结论．【详解】（1）∵△CAD与△CEB都是等边三角形∴CB＝CE CD＝CA ∠BCE＝∠DCA＝60°∴∠BCD＝∠ECA∴△ACE≌△DCB（SAS）；（2）设BC与EF相交于G由（1）可知△ACE≌△DCB∴∠1＝∠2∵∠1+∠BGF+∠F＝∠2+∠AGC+∠BCE＝180°而∠BGF＝∠AGC∴∠F＝∠BCE＝60°；（3）EF＝BD+2DF 理由如下：∵AD⊥BD∴∠ADF ＝90°∵∠F ＝60°∴∠DAF ＝30°∴AF ＝2DF∵△ACE ≌△DCB∴AE ＝BD∴EF ＝AE+AF ＝BD+2DF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质 等边三角形的性质 直角三角形的性质 正确的识别图形是解题的关键．5．已知点C 为线段AB 上一点 分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作△ACD 和△BCE 且CA=CD CB=CE ACD BCE ∠∠= 直线AE 与BD 交于点F ．（1）如图1 证明：△ACE ≌△DCB ；（2）①如图1 若ACD 60∠=︒ 则AFB ∠=________；②如图2 若ACD α∠= 则AFB ∠=______；（用含α的式子表示）（3）将图2中的△ACD 绕点C 顺时针旋转任意角度（交点F 至少在BD 、AE 中的一条线段上） 如图3 试探究A FB ∠与α的数量关系 并予以证明．【答案】（1）证明见解析；（2）120° 180°-β；（3）∠AFB=180°-α 证明见解析．【解析】【分析】（1）求出∠ACE=∠DCB 根据SAS证出两三角形全等即可；（2）根据全等三角形性质得出∠AEC=∠DBC ∠CDB=∠CAE 求出∠EAB+∠DBA=∠ACD ∠AFB=180°-（∠EAB+∠DBC）代入求出即可得出①②的结论；（3）由“SAS”可证△ACE≌△DCB 可得∠AEC=∠DBC 由三角形内角和定理可求解．【详解】解：（1）证明：∵∠ACD=∠BCE∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE∴∠ACE=∠DCB在△ACE和△DCB中∵AC CDACE DCBCE CB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE≌△DCB；（2）①∵∠ACD=60°∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=60°∵△ACE≌△DCB∴∠AEC=∠DBC ∠CDB=∠CAE∴∠CAE+∠DBC=60°∴∠AFB=180°-60°=120°故答案为：120；②当∠ACD=β时∠AFB=180°-β 理由是：∵∠ACD=β∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=β∵△ACE≌△DCB∴∠AEC=∠DBC ∠CDB=∠CAE∴∠CAE+∠DBC=β∴∠AFB=180°-（∠CAE+∠DBC）=180°-β；故答案为：180°-β．（3）∠AFB=180°-α；证明：∵∠ACD=∠BCE=α 则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE 即∠ACE=∠DCB．在△ACE和△DCB中∵AC DCACE DCBCE CB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE≌△DCB（SAS）．则∠CBD=∠CEA如下图∵∠FGE=∠CGB∴∠EFB=∠ECB=α．∠AFB=180°-∠EFB=180°-α．【点睛】本题是三角形综合题考查了全等三角形的判定及其性质、三角形内角和定理等知识本题还综合了旋转的知识点是一道综合性比较强的题．要熟练掌握全等三角形的判定和性质定理．6．如图①在等边△ABC中线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时以CD为一边在CD的下方作等边△CDE 连结BE．（1）当点D在线段AM上时（如图①）则AD BE（填“＞”“＜”或“=”）∠CAM= 度；（2）当点D在线段AM的延长线上时（如图②）直线BE与直线AM的交点为O 求∠AOB的度数；（3）当动点D在线段AM的反向延长线上时直线BE与直线AM的交点为O 试判断∠AOB的度数是否发生变化？若变化请求出∠AOB的度数若不变请说明理由．【答案】（1）=；30；（2）60°；（3）不变见解析【解析】【分析】（1）根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC 则AD=BE；根据等边三角形的性质可以直接得出∠CAM的度数；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC=BC DC=EC ∠ACB=∠DCE=60° 由等式的性质就可以∠BCE=∠ACD 根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC 进而得到∠AOB的度数；（3）当点D在线段MA的延长线上时如图3 通过得出△ACD≌△BCE就可以得出结论．【详解】（1）∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC=BC CD=CE ∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE∴∠ACD=∠BCE．在△ADC和△BEC中AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD=BE；∵△ABC是等边三角形∴∠BAC=60°．∵线段AM为BC边上的中线∴∠CAM=12∠BAC∴∠CAM=30°故答案为：= 30；（2）∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴AC=BC DC=EC ∠ACB=∠DCE=60°∵∠ACD=∠ACB+∠DCB ∠BCE=∠DCE+∠DCB ∴∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CAD=∠CBE∵∠AMC=∠BMO∴∠AOB=∠ACB=60°；（3）不变理由如下：∵点D在线段MA的延长线上且△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC=BC CD=CE ∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°∴∠ACD=∠BCE在△ACD和△BCE中AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE=∠CAD同理可得：∠CAM=30°∴∠CBE=∠CAD=150°∴∠CBO=30° ∠BAM=30°∴∠BOA=90°-30°=60°．【点睛】本题是三角形综合题 考查了等边三角形的性质的运用 等腰三角形的性质的运用 全等三角形的判定及性质的运用 解答时证明三角形全等是关键．7．已知点C 为线段AB 上一点 分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作ACD △和BCE 且AC DC = CB CE = ACD BCE ∠=∠ 直线AE 与BD 交于点F ．（1）如图① 试说明：ACE DCB ≌；（2）如图① 若60ACD ∠=︒ 则AFB ∠=________°；如图② 若90ACD ∠=︒ 则AFB ∠=________°；如图③ 若120ACD ∠=︒ 则AFB ∠=________°；（3）如图④ 若ACD α∠= 求AFB ∠的值（用含α的代数式表示）；（4）若A 、B 、C 三点不在同一直线上 线段AC 与线段BC 交于点C （交点F 至少在BD 、AE 中的一条线） 如图⑤ 若ACD α∠= 试判断AFB ∠与α的数量关系 并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）120 90 60；（3）180α︒-；（4）180AFB α∠=︒- 见解析【解析】【分析】（1）求出∠ACE =∠DCB 根据SAS 证出两三角形全等即可；（2）根据全等三角形性质得出∠AEC =∠DBC ∠CDB =∠CAE 求出∠EAB+∠DBA=∠ACD ∠AFB =180°-（∠EAB +∠DBC ） 代入求出即可；（3）根据全等三角形的性质、三角形的内角和与三角形的外角性质求出即可．（4）知道ACD BCE ∠=∠ 得到ACE DCB ∠=∠ 证明()ACE DCB SAS ∆≅∆即可求解．【详解】解：（1）ACD BCE ∠=∠ACD DCE BCE DCE ∴∠+∠=∠+∠ACE DCB ∴∠=∠在ACE ∆和DCB ∆中CE CB ⎪=⎩()ACE DCB SAS ∴∆≅∆（2）解：∵∠ACD =60°∴∠CDB +∠DBC =∠ACD =60°∵△ACE ≌△DCB∴∠AEC =∠DBC ∠CDB =∠CAE∴∠CAE +∠DBC =60°∴∠AFB =180°-60°=120°；当∠ACD =90°时∵∠ACD =90°∴∠CDB +∠DBC =∠ACD =90°∵△ACE ≌△DCB∴∠AEC =∠DBC ∠CDB =∠CAE∴∠CAE +∠DBC =90°∴∠AFB =180°-90°=90°；同理：∠ACD =120°时∠AFB =60°故答案为：120 90 60（3）由（1）可知ACE DCB ∆≅∆CAE CDB ∴∠=∠180180AFB CDB CDA DAE CDA DAE BAE CDA DAC ACD α∴∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒-故答案为：180α︒-（4）180AFB α∠=︒-理由如下：ACD BCE ∠=∠ACD DCE BCE DCE ∴∠+∠=∠+∠ACE DCB ∴∠=∠在ACE ∆和DCB ∆中CE CB ⎪=⎩()ACE DCB SAS ∴∆≅∆AEC DBC ∴∠=∠180180AFB AEC CEB EBD DBC DBE EBC CEB EBC ECB α∴∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒-即180α︒-．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定 三角形的外角性质 三角形的内角和定理 解此题的关键是找出已知量和未知量之间的关系．8．（1）发现：如图1 点A 为线段BC 外一动点 且BC =a AB =b ．当点A 位于______时 线段AC 的长取得最大值 最大值为______．（用含a b 的式子表示）（2）应用：点A 为线段BC 外一动点 且BC =3 AB =1．如图2所示 分别以AB AC 为边 作等边△ABD 和等边△ACE 连接CD BE ．①请找出图中与BE 相等的线段 并说明理由；②直接写出BE 长的最大值．【答案】（1）CB 的延长线 a +b ；（2）①DC =BE 理由见解析；②4；（1）根据点A 位于CB 的延长线上时 线段AC 的长取得最大值 即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得到AD =AB AC =AE ∠BAD =∠CAE =60° 推出△CAD ≌△EAB 根据全等三角形的性质得到CD =BE ；②由于线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值 根据（1）中的结论即可得到结果；【详解】解：（1）由题意可知 当点A 位于CB 的延长线上时 线段AC 的长取得最大值 且最大值为AB +BC 即a +b故答案为：CB 的延长线 a +b ；（2）①DC =BE 理由如下：∵△ABD 与△ACE 都是等边三角形∴AD =AB AC =AE ∠BAD =∠CAE =60°∴∠BAD +∠BAC =∠CAE +∠BAC即∠CAD =∠EAB在△CAD 与△EAB 中AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CAD ≌△EAB （SAS ）∴DC =BE ；②线段BE 长的最大值是4由（1）得 点D 在CB 的延长线上时 CD 最大 最大值为DB +BC =AB +BC =4∵△CAD ≌△EAB∴DC =BE∴线段BE 长的最大值为4．9．如图所示 已知B （﹣2 0） C （2 0） A 为y 轴正半轴上的一点 点D 为第二象限一动点 点E 在BD 的延长线上 CD 交AB 于点F 且∠BDC ＝∠BAC ．(1)求证：∠ABD ＝∠ACD ；(2)求证：AD 平分∠CDE ；(3)若在D 点运动的过程中 始终有DC ＝DA +DB 在此过程中 ∠BAC 的度数是否发生变化？如果变化 请说明理由；如果不变 请求出∠BAC 的度数．【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析(3)∠BAC =60° 理由见解析【解析】【分析】(1)根据∠BDC=∠BAC∠DFB=∠AFC再结合∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AF C=180° 即可得出结论．(2)过点A作AM⊥CD于点M作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM=AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；(3)运用截长法在CD上截取CP=BD连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形从而求∠BAC的度数．(1)证明：∵∠BDC=∠BAC∠DFB=∠AFC又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°∴∠ABD=∠ACD；(2)证明：过点A作AM⊥CD于点M作AN⊥BE于点N如下图所示：则∠AMC=∠ANB=90°．∵OB=OC OA⊥BC∴AB=AC由(1)可知：∠ABD=∠ACD∴△ACM≌△ABN (AAS)∴AM=AN．∴DA平分∠CDE．(角的两边距离相等的点在角的平分线上)；(3)解：∠BAC的度数为60° 理由如下：在CD上截取CP=BD连接AP如下图所示：∵CD=AD+BD∴AD=PD ．∵AB=AC ∠ABD =∠ACD BD=CP∴△ABD ≌△ACP (SAS )∴AD=AP ∠BAD =∠CAP∴AD=AP=PD 即△ADP 是等边三角形∴∠DAP =60°．∴∠BAC =∠BAP +∠CAP =∠BAP +∠BAD =60°．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质 运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法 综合性较强．10．如图1 点M 为锐角三角形ABC 内任意一点 连接,,AM BM CM ．以AB 为一边向外作等边三角形ABE △ 将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN 连接EN ．（1）求证：AMB ENB △≌△；（2）若AM BM CM ++的值最小 则称点M 为ABC 的费马点．若点M 为ABC 的费马点 求此时,,AMB BMC CMA ∠∠∠的度数；（3）受以上启发 你能想出作锐角三角形的费马点的一个方法吗？请利用图2画出草图 并说明作法以及理由．【答案】（1）见解析；（2）120BMC ∠=︒：120AMB ∠=︒；120AMC ∠=︒；（3）见解析【解析】【分析】（1）结合等边三角形的性质 根据SAS 可证△AMB ≌△ENB（2）连接MN 由（1）的结论证明ΔBMN 为等边三角形 所以BM =MN 即AM+BM+CM =EN+MN+CM 所以当E 、N 、M 、C 四点共线时 AM+BM+CM 的值最小 从而可求此时∠AMB 、∠BMC 、ΔCMA 的度数；（3）根据（2）中费马点的定义 又△ABC 的费马点在线段EC 上 同理也在线段BF 上 因此线段EC 和BF 的交点即为△ABC 的费马点．【详解】解：（1）证明：∵ABE △为等边三角形∴,60AB BE ABE =∠=︒．而60MBN ∠=︒∴ABM EBN ∠=∠．在AMB 与ENB △中AB BEABM EBNBM BN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)AMB ENB ≌．（2）连接MN ．由（1）知 AM EN =．∵60,MBN BM BN ∠=︒=∴BMN △为等边三角形．∴BM MN =．∴AM BM CM EN MN CM ++=++．∴当E 、N 、M 、C 四点共线时 AM BM CM ++的值最小．此时 180120BMC NMB ∠=︒-∠=︒：180120AMB ENB BNM ∠=∠=︒-∠=︒；360120AMC BMC AMB ∠=-∠-∠=︒︒．（3）如图2 分别以ABC 的AB AC 为一边向外作等边ABE △和等边ACF 连接,CE BF 相交于M 则点M 即为ABC 的费马点 由（2）知 ABC 的费马点在线段EC 上 同理也在线段BF 上．因此线段EC 与BF 的交点即为ABC 的费马点．（方法不唯一 正确即可）【点睛】本题考查了等边三角形的性质 三角形全等的判定与性质,掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．11．已知：△ABC 与△BDE 都是等腰三角形．BA ＝BC BD ＝BE （AB ＞BD ）且有∠ABC ＝∠DBE ．（1）如图1 如果A 、B 、D 在一直线上 且∠ABC ＝60° 求证：△BMN 是等边三角形； （2）在第（1）问的情况下 直线AE 和CD 的夹角是 °；（3）如图2 若A 、B 、D 不在一直线上 但∠ABC ＝60°的条件不变则直线AE 和CD 的夹角是 °； （4）如图3 若∠ACB ＝60° 直线AE 和CD 的夹角是 °．【答案】（1）证明见解析；（2）60；（3）60；（4）60；【解析】【分析】（1）根据题意 得∠ABC ＝∠DBE ＝60° 从而得ABE DBC ∠=∠；通过证明ABE CBD ≌ 得BAE BCD ∠=∠；通过证明BAM BCN ≌ 得BM BN = 根据等边三角形的性质分析 即可完成证明；（2）结合题意 通过证明ABC 为等边三角形 得60BAC BCA ∠=∠=︒；结合（1）的结论 根据三角形外角性质 推导得120AOD ∠=︒ 从而完成求解；（3）同理 通过证明ABC 为等边三角形 得60BAC BCA ∠=∠=︒；通过证明ABE CBD ≌ 得BAE BCD ∠=∠；根据三角形外角性质 推导得120AOD ∠=︒ 从而完成求解；（4）根据题意 通过证明ABC 为等边三角形 推导得ABE CBD ∠=∠ 通过证明ABE CBD ≌ 得BAE BCD ∠=∠ 结合三角形外角的性质计算 即可得到答案．【详解】（1）∵∠ABC ＝∠DBE ＝60°∴18060MBN ABC DBE ∠=︒-∠-∠=︒ ABE ABC MBN ∠=∠+∠ DBC DBE MBN ∠=∠+∠ ∴ABE DBC ∠=∠∵BA ＝BC BD ＝BEABE △和CBD 中BA BC ABE DBC BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE CBD ≌∴BAE BCD ∠=∠ BAM 和BCN △中60BAE BCD AB BC ABC MBN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴BAM BCN ≌∴BM BN =∴BMN △为等边三角形；（2）∵∠ABC ＝∠DBE ＝60°, BA ＝BC∴ABC 为等边三角形；∴60BAC BCA ∠=∠=︒根据题意 AE 和CD 相交于点O∵BAE BCD ∠=∠∴AOD OAC ACO OAC BCA BCD OAC BCA BAE ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠∵OAC BAE BAC ∠+∠=∠∴120AOD BAC BCA ∠=∠+∠=︒∴18060AOC AOD ∠=︒-∠=︒ 即直线AE 和CD 的夹角是60︒故答案为：60；（3）∵∠ABC ＝∠DBE ＝60°, BA ＝BC∴ABC 为等边三角形；∴60BAC BCA ∠=∠=︒∵ABE ABC MBN ∠=∠+∠ DBC DBE MBN ∠=∠+∠ ∠ABC ＝∠DBE ＝60°∴ABE DBC ∠=∠∵BA ＝BC BD ＝BEABE △和CBD 中BA BC ABE DBC BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE CBD ≌∴BAE BCD ∠=∠如图 延长AE 交CD 于点O∴AOD OAC ACO OAC BCA BCD OAC BCA BAE ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠∵OAC BAE BAC ∠+∠=∠∴120AOD BAC BCA ∠=∠+∠=︒∴18060AOC AOD ∠=︒-∠=︒ 即直线AE 和CD 的夹角是60︒故答案为：60；（4）∵BA ＝BC∴ACB CAB ∠=∠∵∠ACB ＝60°∴60ACB CAB ∠=∠=︒∴ABC 为等边三角形∵BD ＝BE ∠ABC ＝∠DBE∴60DBE ∠=︒∵ABE ABC CBE ∠=∠-∠ CBD DBE CBE ∠=∠-∠∴ABE CBD ∠=∠ABE △和CBD 中BA BC ABE DBC BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE CBD ≌∴BAE BCD ∠=∠分别延长CD 、AE 相较于点O 如下图：∴AOF OAC ACO OAC BCA BCD OAC BCA BAE ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠∵OAC BAE BAC ∠+∠=∠∴120AOF BAC BCA ∠=∠+∠=︒∴18060AOC AOF ∠=︒-∠=︒ 即直线AE 和CD 的夹角是60︒故答案为：60．【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形、全等三角形、补角、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、全等三角形、三角形外角的性质 从而完成求解．12．如图 已知点B （-2 0） C （2 0） A 为y 轴正半轴上一点 点D 为第二象限内的一个动点 M 在BD 的延长线上 CD 交AB 于点F 且∠ABD =∠ACD ．（1）求证：∠BDC =∠BAC ；（2）求证：DA平分∠CDM；（3）若在D点运动的过程中始终有DC=DA+DB在此过程中∠BAC的度数是否变化？如果变化请说明理由；如果不变请求出∠BAC的度数？【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）∠BAC的度数不变化；理由见详解．【解析】【分析】（1）由三角形的内角和定理以及对顶角相等即可得到结论成立；（2）过点A作AH⊥CD于点H作AG⊥BM于点G．运用“AAS”证明△ACH≌△ABG得AH=AG．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；（3）运用截长法在CD上截取CP=BD连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形从而求∠BAC的度数．【详解】解：（1）由题意在△ACF和△BDF中ACD AFC CAB ABD BFD BDC∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒180∵∠ABD=∠ACD∠AFC=∠BFD∴∠BDC=∠BAC；（2）过点A作AH⊥CD于点H作AG⊥BM于点G如图：则∠AHC=∠AGB=90°∵OB=OC OA⊥BC∴AB=AC∵∠ABD=∠ACD∴△ACH≌△ABG（AAS）∴AH=AG．∴AD平分∠CDM．（3）∠BAC的度数不变化．在CD上截取CP=BD连接AP．∵CD=AD+BD∴AD=PD．∵AB=AC∠ABD=∠ACD BD=CP∴△ABD≌△ACP．∴AD=AP；∠BAD=∠CAP．∴AD=AP=PD即△ADP是等边三角形∴∠DAP=60°．∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法综合性较强．。
全等三角形证明条件归类
全等三角形证明条件归类初学三角形全等证明，根据已知条件找到证明全等的三个条件是难点。
如何才能找到证明全等证明的三个条件呢？从三角形全等证明的四种证明方法（边角边、角边角、角角边、边边边）来看:已知两边对应相等，第三个条件可以找已知两边的夹角对应相等，或找第三边对应相等；如果告诉了两个角对应相等，第三个条件找两个角的夹边对应相等,或是已知的两个角中的某个角的对应边相等；已知一边和一角对应相等，第三个条件可能是对应相等角的另一边对应相等，或是另一角对应相等。
分析以上这些情况，找第三个条件分两种情况：一是再找一组对应边相等，二是再找一组对应角相等.对应边相等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况： 一是公共边是第三个条件例1：如图,在ABD ABC ∆∆与中,AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ∆≌ABD ∆ 证明：△ABD 和△BAC 中：∵ BD=ACBC=ADAB=BA(公共边)∴ ABC ∆≌ABD ∆（SSS ）二是相等对应边+公共边的和对应相等是第三个条件例1：如图2，已知AC=DF ， ∠A=∠D ，AE=BD, 求证：ΔABC ≌Δ证明：∵AE=BD ∴ AE+EB=BD+EB （即AB=DE ）在△ABC 和△DEF 中∵AC=DF ∠A=∠D AB=DE ∴ΔABC ≌ΔDEF （SAS ）例2如图：AB=CD ，AE=DF,CE=FB 。
求证:AF=DE 。
∵CE=FB ∴CE+EF=EF+FB （即CF=BE) ∵AB=DC AE=DF CF=BE ∴△ABE ≌△CDF(SSS ） ∴AF=DE三是相等对应边-公共边的差对应相等是第三个条件例1：如图:DF=CE ，AD=BC,∠D=∠C 。
求证：△AED ≌△BFC 。
证明：∵DF=CE ，∴DF —EF=CE —EF ，即DE=CF, 在△AED 和△BFC 中,∵ AD=BC, ∠D=∠C ，DE=CF第2图FEDCFEDCBA∴△AED≌△BFC（SAS）四是等边三角形的三边相等（等腰三角形两腰相等）是第三个条件例1：如图5，△ABC和△CDE都是等边三角形，求证：△ACD≌△BCE。
中考数学 专题17 四川中考填空题压轴专题(解析版)
专题17 四川中考填空题压轴专题【典例1】（2019•眉山）如图，反比例函数y =kx （x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别交AB ，BC 于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为12，则k 的值为 4 ．【点拨】本题可从反比例函数图象上的点E 、M 、D 入手，分别找出△OCE 、△OAD 、▱OABC 的面积与|k |的关系，列出等式求出k 值．【解答】解：由题意得：E 、M 、D 位于反比例函数图象上，则S △OCE =12|k |，S △OAD =12|k |， 过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，作MN ⊥x 轴于点N ，则S ▱ONMG ＝|k |， 又∵M 为矩形ABCO 对角线的交点，则S 矩形ABCO ＝4S ▱ONMG ＝4|k |， 由于函数图象在第一象限， ∴k ＞0，则k2+k 2+12＝4k ，∴k ＝4．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k |．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．【典例2】（2019•凉山州）如图，正方形ABCD 中，AB ＝12，AE =14AB ，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为 4 ．【点拨】先证明△BPE ∽△CQP ，得到与CQ 有关的比例式，设CQ ＝y ，BP ＝x ，则CP ＝12﹣x ，代入解析式，得到y 与x 的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值． 【解答】解：∵∠BEP +∠BPE ＝90°，∠QPC +∠BPE ＝90°， ∴∠BEP ＝∠CPQ ． 又∠B ＝∠C ＝90°， ∴△BPE ∽△CQP ． ∴BE PC=BP CQ．设CQ ＝y ，BP ＝x ，则CP ＝12﹣x ． ∴912−x=xy ，化简得y =−19（x 2﹣12x ），整理得y =−19（x ﹣6）2+4， 所以当x ＝6时，y 有最大值为4． 故答案为4．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想．【典例3】（2019•自贡）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos （α+β）＝√217．【点拨】给图中相关点标上字母，连接DE ，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝30°，同理，可得出：∠CDE ＝∠CED ＝30°＝∠α，由∠AEC ＝60°结合∠AED ＝∠AEC +∠CED 可得出∠AED ＝90°，设等边三角形的边长为a ，则AE ＝2a ，DE =√3a ，利用勾股定理可得出AD 的长，再结合余弦的定义即可求出cos （α+β）的值．【解答】解：给图中相关点标上字母，连接DE ，如图所示． 在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝BC ， ∴∠α＝30°．同理，可得出：∠CDE ＝∠CED ＝30°＝∠α． 又∵∠AEC ＝60°，∴∠AED ＝∠AEC +∠CED ＝90°．设等边三角形的边长为a ，则AE ＝2a ，DE ＝2×sin60°•a =√3a ， ∴AD =√AE 2+DE 2=√7a ， ∴cos （α+β）=DE AD =√217． 故答案为：√217．【点睛】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．【典例4】（2019•雅安）已知函数y ={−x 2+2x(x ＞0)−x(x ≤0)的图象如图所示，若直线y ＝x +m 与该图象恰有三个不同的交点，则m 的取值范围为 0＜m ＜14 ．【点拨】直线与y ＝﹣x 有一个交点，与y ＝﹣x 2+2x 有两个交点，则有m ＞0，x +m ＝﹣x 2+2x 时，△＝1﹣4m ＞0，即可求解．【解答】解：直线y ＝x +m 与该图象恰有三个不同的交点， 则直线与y ＝﹣x 有一个交点， ∴m ＞0，∵与y＝﹣x2+2x有两个交点，∴x+m＝﹣x2+2x，△＝1﹣4m＞0，∴m＜1 4，∴0＜m＜1 4；故答案为0＜m＜1 4．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；能够根据条件，数形结合的进行分析，可以确定m的范围．【典例5】（2019•广元）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0），（0，2），且顶点在第一象限，设M＝4a+2b+c，则M的取值范围是﹣6＜M＜6．【点拨】将（﹣1，0）与（0，2）代入y＝ax2+bx+c，可知b＝a+2，利用对称轴可知：a＞﹣2，从而可知M的取值范围．【解答】解：将（﹣1，0）与（0，2）代入y＝ax2+bx+c，∴0＝a﹣b+c，2＝c，∴b＝a+2，∵−b2a＞0，a＜0，∴b＞0，∴a＞﹣2，∴﹣2＜a＜0，∴M＝4a+2（a+2）+2 ＝6a+6＝6（a+1）∴﹣6＜M＜6，故答案为：﹣6＜M＜6；【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．【典例6】（2019•巴中）如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．则S△ABP+S△BPC＝24+16√3．【点拨】将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，根据旋转的性质可得∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′，可得△BPP′为等边三角形，可得BP′＝BP＝8＝PP'，由勾股定理的逆定理可得，△APP′是直角三角形，由三角形的面积公式可求解．【解答】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′，根据旋转的性质可知，旋转角∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′，∴△BPP′为等边三角形，∴BP′＝BP＝8＝PP'；由旋转的性质可知，AP′＝PC＝10，在△BPP′中，PP′＝8，AP＝6，由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，∴S△ABP+S△BPC＝S四边形AP'BP＝S△BP'B+S△AP'P=√34BP2+12×PP'×AP＝24+16√3故答案为：24+16√3【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，作辅助线构造出等边三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．【典例7】（2019•内江）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为2π3+√3．【点拨】连接OE ，作OF ⊥DE ，先求出∠COE ＝2∠D ＝60°、OF =12OD ＝1，DF ＝OD cos ∠ODF =√3，DE ＝2DF ＝2√3，再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求解可得． 【解答】解：如图，连接OE ，作OF ⊥DE 于点F ，∵四边形ABCD 是平行四边形，且∠A ＝150°， ∴∠D ＝30°，则∠COE ＝2∠D ＝60°， ∵CD ＝4， ∴CO ＝DO ＝2，∴OF =12OD ＝1，DF ＝OD cos ∠ODF ＝2×√32=√3， ∴DE ＝2DF ＝2√3， ∴图中阴影部分的面积为60⋅π⋅22360+12×2√3×1=2π3+√3， 故答案为：2π3+√3．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、平行四边形的性质，掌握扇形面积公式：S =nπr 2360是解题的关键．【典例8】（2019•泸州）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝15，点E 在边CB 上，CE ＝2EB ，点D 在边AB 上，CD ⊥AE ，垂足为F ，则AD 的长为 9√2 ．【点拨】过D 作DH ⊥AC 于H ，根据等腰三角形的性质得到AC ＝BC ＝15，∠CAD ＝45°，求得AH ＝DH ，得到CH ＝15﹣DH ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过D 作DH ⊥AC 于H ， ∵在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝15， ∴AC ＝BC ＝15， ∴∠CAD ＝45°， ∴AH ＝DH ， ∴CH ＝15﹣DH ， ∵CF ⊥AE ，∴∠DHA ＝∠DF A ＝90°， ∴∠HAF ＝∠HDF ， ∴△ACE ∽△DHC ， ∴DH AC=CH CE，∵CE ＝2EB ， ∴CE ＝10， ∴DH 15=15−DH 10，∴DH ＝9， ∴AD ＝9√2， 故答案为：9√2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【典例9】（2019•乐山）如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝30°，直线l ⊥AB ．当直线l 沿射线BC 方向，从点B 开始向右平移时，直线l 与四边形ABCD 的边分别相交于点E 、F ．设直线l 向右平移的距离为x ，线段EF 的长为y ，且y 与x 的函数关系如图2所示，则四边形ABCD 的周长是 ．【点拨】根据题意和函数图象中的数据，可以得到AB、BC、AD的长，再根据平行线的性质和图形中的数据可以得到CD的长，从而可以求得四边形ABCD的周长．【解答】解：∵∠B＝30°，直线l⊥AB，∴BE＝2EF，由图可得，AB＝4cos30°＝4×√32=2√3，BC＝5，AD＝7﹣4＝3，由图象可得，AN＝5﹣4＝1，ND＝CM＝7﹣5＝2，DM＝2，∵∠B＝30°，EF⊥AB，∴∠M＝60°，又∵DM＝MC＝2，∴△DMC是等边三角形，∴DC＝DM＝2，∴四边形ABCD的周长是：AB+BC+AD+CD＝2√3+5+3+2＝10+2√3，故答案为：10+2√3．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【典例10】（2019•攀枝花）正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上．已知点A1（0，1），点B1（1，0），则C5的坐标是（47，16），．【点拨】由题意可知A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8，…，即可得到C1，C2，C3，C4，C5的纵坐标，根据图象得出C1（2，1），C2（5，2），C3（11，4），即可得到C1，C2，C3，C4，C5…在一条直线上，直线的解析式为y=13x+13，把C5的纵坐标代入即可求得横坐标．【解答】解：由题意可知A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8，…，∵A1和C1，A2和C2，A3和C3，A4和C4的纵坐标相同，∴C1，C2，C3，C4，C5的纵坐标分别为1，2，4，8，16，…∴根据图象得出C1（2，1），C2（5，2），C3（11，4），∴直线C1C2的解析式为y=13x+13，∵A5的纵坐标为16，∴C5的纵坐标为16，把y＝16代入y=13x+13，解得x＝47，∴C5的坐标是（47，16），故答案为（47，16）．【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、等腰直角三角形和正方形的性质．此题难度适中，属于规律型题目，注意掌握数形结合思想的应用．【典例11】（2019•广安）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt △OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为（﹣22017，22017√3）．【点拨】通过解直角三角形，依次求A1，A2，A3，A4，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．【解答】解：由题意得，A1的坐标为（1，0），A2的坐标为（1，√3），A3的坐标为（﹣2，2√3），A4的坐标为（﹣8，0），A5的坐标为（﹣8，﹣8√3），A6的坐标为（16，﹣16√3），A7的坐标为（64，0），…由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣2√3，与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣2√3，与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2√3，与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2√3，∵2019÷6＝336…3，∴点A2019的方位与点A3的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，纵坐标为22017√3，故答案为：（﹣22017，22017√3）．【点睛】本题主点的坐标的规律题，主要考查了解直角三角形的知识，关键是求出前面7个点的坐标，找出其存在的规律．【典例12】（2019•南充）如图，矩形硬纸片ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴及原点上滑动，顶点B 在x 轴的正半轴及原点上滑动，点E 为AB 的中点，AB ＝24，BC ＝5．给出下列结论：①点A 从点O 出发，到点B 运动至点O 为止，点E 经过的路径长为12π；②△OAB 的面积最大值为144；③当OD 最大时，点D 的坐标为（25√2626，125√2626）．其中正确的结论是 ②③ ．（填写序号）【点拨】①由条件可知AB ＝24，则AB 的中点E 的运动轨迹是圆弧，最后根据弧长公式即可计算出点E 所经过的路径长；②当△OAB 的面积最大时，因为AB ＝24，所以△OAB 为等腰直角三角形，即OA ＝OB ，可求出最大面积为144；③当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大，过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，可求出OD ＝25，证明△DF A ∽△AOB 和△DFO ∽△BOA ，可求出DF 长，则D 点坐标可求出． 【解答】解：∵点E 为AB 的中点，AB ＝24， ∴OE =12AB =12，∴AB 的中点E 的运动轨迹是以点O 为圆心，12为半径的一段圆弧， ∵∠AOB ＝90°， ∴点E 经过的路径长为90×12×π180=6π，故①错误；当△OAB 的面积最大时，因为AB ＝24，所以△OAB 为等腰直角三角形，即OA ＝OB ， ∵E 为AB 的中点，∴OE ⊥AB ，OE =12AB =12，∴S △AOB =12×24×12=144，故②正确；如图，当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大，过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，∵AD ＝BC ＝5，AE =12AB =12， ∴DE =√AD 2+AE 2=√52+122=13， ∴OD ＝DE +OE ＝13+12＝25， 设DF ＝x ，∴OF =√OD 2−DF 2=√252−x 2， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠DAB ＝90°， ∴∠DF A ＝∠AOB ， ∴∠DAF ＝∠ABO ， ∴△DF A ∽△AOB ∴DF OA =DA AB ，∴x OA=524，∴OA =24x5， ∵E 为AB 的中点，∠AOB ＝90°， ∴AE ＝OE ， ∴∠AOE ＝∠OAE ， ∴△DFO ∽△BOA ， ∴OD AB =OF OA，∴2524=√252−x 224x 5，解得x =25√2626，x =−25√2626舍去，∴OF=125√26 26，∴D(25√2626，125√2626)．故③正确．故答案为：②③．【点睛】本题考查四边形综合题、直角形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．【典例13】（2019•绵阳）如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2√2．将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，当点E′恰好落在线段AD′上时，则CE′＝√2+√6．【点拨】如图，连接CE′，根据等腰三角形的性质得到AB＝BC＝2√2，BD＝BE＝2，根据性质的性质得到D′B＝BE′＝BD＝2，∠D′BE′＝90′，∠D′BD＝∠ABE′，由全等三角形的性质得到∠D′＝∠CE′B＝45°，过B作BH⊥CE′于H，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：如图，连接CE′，∵△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2√2，∴AB＝BC＝2√2，BD＝BE＝2，∵将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，∴D′B＝BE′＝BD＝2，∠D′BE′＝90°，∠D′BD＝∠ABE′，∴∠ABD′＝∠CBE′，∴△ABD′≌△CBE′（SAS），∴∠D′＝∠CE′B＝45°，过B作BH⊥CE′于H，在Rt△BHE′中，BH＝E′H=√22BE′=√2，在Rt△BCH中，CH=√BC2−BH2=√6，∴CE′=√2+√6，故答案为：√2+√6．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．【典例14】（2019•宜宾）如图，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且点A 、C 、E 在同一直线上，AD 与BE 、BC 分别交于点F 、M ，BE 与CD 交于点N ．下列结论正确的是 ①③④ （写出所有正确结论的序号）．①AM ＝BN ；②△ABF ≌△DNF ；③∠FMC +∠FNC ＝180°；④1MN=1AC+1CE【点拨】①根据等边三角形性质得出AC ＝BC ，CE ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝60°，求出∠BCE ＝∠ACD ，根据SAS 推出两三角形全等即可；②根据∠ABC ＝60°＝∠BCD ，求出AB ∥CD ，可推出△ABF ∽△DNF ，找不出全等的条件； ③根据角的关系可以求得∠AFB ＝60°，可求得MFN ＝120°，根据∠BCD ＝60°可解题； ④根据CM ＝CN ，∠MCN ＝60°，可求得∠CNM ＝60°，可判定MN ∥AE ，可求得MN AC=DN CD=CD−CN CD，可解题．【解答】证明：①∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形， ∴AC ＝BC ，CE ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝60°， ∴∠ACB +∠ACE ＝∠ECD +∠ACE ， 即∠BCE ＝∠ACD ， 在△BCE 和△ACD 中， {BC =AC∠BCE =∠ACD CE =CD，∴△BCE ≌△ACD （SAS ），∴AD ＝BE ，∠ADC ＝∠BEC ，∠CAD ＝∠CBE ， 在△DMC 和△ENC 中， {∠MDC =∠NEC DC =BC ∠MCD =∠NCE =60°， ∴△DMC ≌△ENC （ASA ）， ∴DM ＝EN ，CM ＝CN ，∴AD ﹣DM ＝BE ﹣EN ，即AM ＝BN ； ②∵∠ABC ＝60°＝∠BCD ， ∴AB ∥CD ， ∴∠BAF ＝∠CDF ， ∵∠AFB ＝∠DFN ，∴△ABF ∽△DNF ，找不出全等的条件；③∵∠AFB +∠ABF +∠BAF ＝180°，∠FBC ＝∠CAF ， ∴∠AFB +∠ABC +∠BAC ＝180°， ∴∠AFB ＝60°， ∴∠MFN ＝120°， ∵∠MCN ＝60°， ∴∠FMC +∠FNC ＝180°； ④∵CM ＝CN ，∠MCN ＝60°， ∴△MCN 是等边三角形， ∴∠MNC ＝60°， ∵∠DCE ＝60°， ∴MN ∥AE ， ∴MN AC=DN CD=CD−CN CD，∵CD ＝CE ，MN ＝CN ， ∴MN AC =CE−MN CE ，∴MNAC=1−MNCE ，两边同时除MN 得1AC=1MN−1CE，∴1MN=1AC+1CE．故答案为①③④【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，考查了平行线的运用，考查了正三角形的判定，本题属于中档题．【典例15】（2019•资阳）如图，在△ABC 中，已知AC ＝3，BC ＝4，点D 为边AB 的中点，连结CD ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，将△ACE 沿直线AC 翻折到△ACE ′的位置．若CE ′∥AB ，则CE ′＝95．【点拨】如图，作CH ⊥AB 于H ．首先证明∠ACB ＝90°，解直角三角形求出AH ，再证明CE ′＝AH 即可．【解答】解：如图，作CH ⊥AB 于H ．由翻折可知：∠AE ′C ＝∠AEC ＝90°，∠ACE ＝∠ACE ′， ∵CE ′∥AB ， ∴∠ACE ′＝∠CAD ， ∴∠ACD ＝∠CAD ， ∴DC ＝DA ， ∵AD ＝DB ， ∴DC ＝DA ＝DB ， ∴∠ACB ＝90°， ∴AB =√AC 2+BC 2=5， ∵12•AB •CH =12•AC •BC ，∴CH =125，∴AH =√AC 2−CH 2=95， ∵CE ′∥AB ，∴∠E ′CH +∠AHC ＝180°， ∵∠AHC ＝90°， ∴∠E ′CH ＝90°， ∴四边形AHCE ′是矩形， ∴CE ′＝AH =95， 故答案为95．【点睛】本题考查翻折变换，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．【典例16】（2019•达州）如图，抛物线y ＝﹣x 2+2x +m +1（m 为常数）交y 轴于点A ，与x 轴的一个交点在2和3之间，顶点为B ．①抛物线y ＝﹣x 2+2x +m +1与直线y ＝m +2有且只有一个交点；②若点M （﹣2，y 1）、点N （12，y 2）、点P （2，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 2＜y 3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y ＝﹣（x +1）2+m ； ④点A 关于直线x ＝1的对称点为C ，点D 、E 分别在x 轴和y 轴上，当m ＝1时，四边形BCDE 周长的最小值为√34+√2．其中正确判断的序号是 ①③④ ．【点拨】①把y ＝m +2代入y ＝﹣x 2+2x +m +1中，判断所得一元二次方程的根的情况便可得判断正确； ②根据二次函数的性质进行判断；③根据平移的公式求出平移后的解析式便可；④因BC 边一定，只要其他三边和最小便可，作点B 关于y 轴的对称点B ′，作C 点关于x 轴的对称点C′，连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，求出B′C′便是其他三边和的最小值．【解答】解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故此小题结论正确；②∵抛物线的对称轴为x＝1，∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），∵a＝﹣1＜0，∴当x＜1时，y随x增大而增大，又∵﹣2＜0＜12，点M（﹣2，y1）、点N（12，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，∴y2＞y3＞y1，故此小题结论错误；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故此小题结论正确；④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC最小，为：√B′M2+C′M2+√BM2+CM2=√32+52+√12+12=√34+√2，故此小题结论正确；故答案为：①③④．【点睛】本题考查二次函数的应用、二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、求线段和的最小值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．【典例17】（2019•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段OA上一点，将△OCG沿CG翻折，O点恰好落在对角线AC上的点P处，反比例函数y=12x经过点B．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（0，3）、G、A三点，则该二次函数的解析式为y=12x2−114x+3．（填一般式）【点拨】点C （0，3），反比例函数y =12x 经过点B ，则点B （4，3），由勾股定理得：（4﹣x ）2＝4+x 2，故点G （32，0），将点C 、G 、A 坐标代入二次函数表达式，即可求解．【解答】解：点C （0，3），反比例函数y =12x经过点B ，则点B （4，3）， 则OC ＝3，OA ＝4， ∴AC ＝5，设OG ＝PG ＝x ，则GA ＝4﹣x ，P A ＝AC ﹣CP ＝AC ﹣OC ＝5﹣3＝2， 由勾股定理得：（4﹣x ）2＝4+x 2， 解得：x =32，故点G （32，0），将点C 、G 、A 坐标代入二次函数表达式得：{c =394a +32b +c =014a +4b +c =0，解得：{ a =12b =−114c =3，故答案为：y =12x 2−114x +3．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到矩形基本性质、反比例函数基本性质与应用，其中用勾股定理求OG 的长度，是本题解题的关键．【典例18】（2018•凉山州）△AOC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA ＝4，将△AOC 绕O 点，逆时针旋转90°得到△A 1OC 1，A 1C 1，交y 轴于B （0，2），若△C 1OB ∽△C 1A 1O ，则点C 1的坐标 （43，83） ．【点拨】如图作C 1H ⊥x 轴于H ．由△C 1OB ∽△C 1A 1O ，推出OC 1A 1C 1=OB OA 1=12，由tan ∠C 1A 1H =OBOA 1=C 1K A 1H =12，设C 1H ＝m ，则A 1H ＝2m ，OH ＝2m ﹣4，构建方程即可解决问题； 【解答】解：如图作C 1H ⊥x 轴于H ．∵△C 1OB ∽△C 1A 1O ， ∴OC 1A 1C 1=OB OA 1=12，∵tan ∠C 1A 1H =OBOA 1=C 1HA 1H =12，设C 1H ＝m ，则A 1H ＝2m ，OH ＝2m ﹣4，∴A 1C 1=√5m ，OC 1=√m 2+(2m −4)2， ∴√5m ＝2√m 2+(2m −4)2， 解得m =83或85（舍弃），∴C 1（43，83）．（本题也可以证明tan ∠OC 1H =OH HC 1=12，S 设C 1（m ，2m ），根据A 1H ＝4m ，构建方程）【点睛】本题考查相似三角形的性质、坐标与图形的旋转等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．【精练1】（2019秋•河东区期末）如图，在反比例函数y =−6x (x ＜0)的图象上任取一点P ，过P 点分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，那么四边形PMON 的面积为 ．【点拨】设出点P 的坐标，四边形PMON 的面积等于点P 的横纵坐标的积的绝对值，把相关数值代入即可．【解答】解：设点P 的坐标为（x ，y ），∵点P 的反比例函数解析式上， ∴xy ＝﹣6，易得四边形PMON 为矩形， ∴四边形PMON 的面积为|xy |＝6， 故答案为6．【点睛】考查反比例函数的比例系数的意义；用到的知识点为：在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．注意面积应为正值．【精练2】（2016秋•江阴市校级月考）如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，M 、N 分别是BC 、CD 上两个动点，且始终保持AM ⊥MN ，则△ADN 的最小面积为 ．【点拨】设BM ＝xcm ，则MC ＝（1﹣x ）cm ，当AM ⊥MN 时，利用互余关系可证△ABM ∽△MCN ，利用相似比求CN ，根据三角形的面积公式表示出△ADN 的面积，用二次函数的性质求面积的最小值． 【解答】解：设BM ＝xcm ，则MC ＝（1﹣x ）cm ， ∵∠AMN ＝90°，∴∠AMB +∠NMC ＝90°，∠NMC +∠MNC ＝90°， ∴∠AMB ＝∠MNC ， 又∵∠B ＝∠C ， ∴△ABM ∽△MCN ，则AB MC=BM CN，即11−x=x CN，解得：CN =x(1−x)1=x （1﹣x ）， ∴S △ADN ＝S 正方形ABCD =12×1×[1﹣x （1﹣x ）]=12x 2−12x +12， ∵12＜0，∴当x =12cm 时，S △ADN 最小，最小值是4×12×12−(−12)24×12=38（cm 2）．故答案是：38cm 2．【点睛】本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式．【精练3】（2019秋•香坊区期末）等边△ABC 中，点P 是BC 所在直线上一点，且PC ：BC ＝1：4，则tan ∠APB 的值是 ．【点拨】过A 作AD ⊥BC 于D ，设等边△ABC 的边长为4a ，则DC ＝2a ，AD ＝2√3a ，PC ＝a ，分类讨论：当P 在BC 的延长线上时，DP ＝DC +CP ＝2a +a ＝3a ；当P 点在线段BC 上，即在P ′的位置，则DP ′＝DC ﹣CP ′＝a ，然后分别利用正切的定义求解即可． 【解答】解：如图，过A 作AD ⊥BC 于D ，设等边△ABC 的边长为4a ，则DC ＝2a ，AD ＝2√3a ，PC ＝a ， 当P 在BC 的延长线上时，DP ＝DC +CP ＝2a +a ＝3a ， 在Rt △ADP 中，tan ∠APD =AD DP =2√3a 3a =2√33； 当P 点在线段BC 上，即在P ′的位置，则DP ′＝DC ﹣CP ′＝a ， 在Rt △ADP ′中，tan ∠AP ′D =AD DP′=2√3aa =2√3．故答案为2√3或2√33．【点睛】本题考查了解直角三角形：利用三角函数和勾股定理求三角形中未知的边或角的过程叫解直角三角形．也考查了分类讨论思想的运用．【精练4】（2019秋•长清区期中）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC =√2，点D 、E 分别在BC 、AC 上（点D 不与点B 、C 重合），且∠ADE ＝45°，若△ADE 是等腰三角形，则CE ＝ ．【点拨】可得∠B ＝∠C ＝45°，可证得△DCE ∽△ABD ，由于D 与B 、C 不重合，显然∠ADE ＝∠AED＝45°不符合题意，即AD≠AE，所以此题分两种情况讨论：①AD＝DE，此时（2）的相似三角形全等，由此可求得CD、BD的长，进而可得CE、AE的值．【解答】解：∵点D不能与B点重合，∴AD＝AE不能成立，（或：∵∠ADE＝45°，若AD＝AE，则∠AED＝ADE＝45°，从而∠DAE＝90°，即B与D重合，这与已知条件矛盾）．①当AE、DE为腰，即AE＝DE时（如图1），∠EAD＝∠EDA＝45°，此时，AD平分∠BAC，∴D为BC边的中点（“三线合一”性质），且E也为AC边的中点，∴CE＝AE=√2 2；②当AD、DE为腰，即AD＝DE时（如图2），∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°．∵∠ADE＝45°，∴∠B＝∠C＝∠ADE．∵∠ADB＝∠C+∠DAC，∠DEC＝∠ADE+∠DAC，∴∠ADB＝∠DEC．∵∠ADC +∠B +∠BAD ＝180，∠DEC +∠C +∠CDE ＝180°， ∴∠ADC +∠B +∠BAD ＝∠DEC +∠C +∠CDE ， ∴∠EDC ＝∠BAD ， ∴△ABD ∽△DCE 此时AD 与DE 为对应边，∴△ABD ≌△DCE ，DC ＝AB =√2， CE ＝BD ＝BC ﹣CD ＝2−√2． 因此CE 的长为2−√2或√22． 故答案为：2−√2或√22． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，解答时证明三角形相似是关键． 【精练5】（2019秋•江岸区校级月考）我们把函数y ={x 2−2x −3(x ≥0)x 2+2x −3(x ≤0)的图象记为C ，若直线y ＝x +b与图象C 有且只有三个公共点，则b 的取值是 ．【点拨】画出分段函数的图象，结合图象找到直线与该图象有三个交点的两端情况：直线经过点（0，﹣3）时；直线y ＝x +b 与y ＝x 2+2x ﹣3（x ≤0）部分只有一个交点时． 【解答】解：根据函数解析式分别画出函数图象，如图所示： 当直线经过点（0，﹣3）时，此时函数与直线y ＝x +b 恰有三个交点， ∴b ＝﹣3，当直线y ＝x +b 与y ＝x 2+2x ﹣3（x ≤0）部分只有一个交点时， ∴x 2+2x ﹣3＝x +b ， ∴b =−134； ∴b ＝﹣3或b =−134时两图象有三个交点； 故答案为−134或﹣3．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．【精练6】（2018秋•越秀区期末）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④6a﹣2b+c＜0；⑤若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2，其中正确的判断是（填写所有正确判断的序号）【点拨】根据抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与x轴的交点情况，二次函数图象上点的坐标特征判断即可．【解答】解：∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），∴−b2a=−1，a+b+c＝0，∴b＝2a，c＝﹣3a，∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；∵抛物线与x轴交于（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，故③正确；∵9a﹣3b+c＝0，b＝2a，c＝﹣3a，∴6a﹣2b+c＝6a﹣4a﹣3a＝﹣a＜0，故④正确；∵抛物线对称轴x＝﹣1，∴x＝﹣0.5与x＝﹣1.5的函数值相等，∵﹣1.5＞﹣2，∴则y1＜y2；故⑤错误；故答案为：②③④．【点睛】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，灵活运用数形结合思想．【精练7】（2019春•东海县期中）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°，得到线段AQ，连接BQ，若P A＝3，PB＝4，PC＝5，则四边形APBQ的面积为【点拨】连结PQ，如图，根据等边三角形的性质得∠BAC＝60°，AB＝AC，再根据旋转的性质得AP＝AQ＝3，∠P AQ＝60°，则可判断△APQ为等边三角形，所以PQ＝AP＝3，接着证明△APC≌△ABQ得到PC＝QB＝5，然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用S＝S△BPQ+S△APQ进行计算．四边形APBQ【解答】解：连结PQ，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，∴AP＝AQ＝3，∠P AQ＝60°，∴△APQ为等边三角形，∴PQ＝AP＝3，∵∠CAP+∠BAP＝60°，∠BAP+∠BAQ＝60°，∴∠CAP＝∠BAQ，且AC＝AB，AP＝AQ∴△APC≌△ABQ（SAS），∴PC＝QB＝5，在△BPQ中，∵PB2＝42＝16，PQ2＝32＝9，BQ2＝52＝25，∴PB2+PQ2＝BQ2，∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ＝90°，∴S四边形APBQ＝S△BPQ+S△APQ=12BP×PQ+√34×PQ2＝6+9√34故答案为：6+9√3 4【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理以及逆定理，证明△APQ为等边三角形是本题的关键．【精练8】（2019•吉林）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°．D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的▱ODCE的顶点C在AB̂上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是（结果保留π）．【点拨】连接OC，根据同样只统计得到▱ODCE是矩形，由矩形的性质得到∠ODC＝90°．根据勾股定理得到OC＝10，根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OC，∵∠AOB＝90°，四边形ODCE是平行四边形，∴▱ODCE是矩形，∴∠ODC＝90°．∵OD＝8，OE＝6，∴OC＝10，∴阴影部分图形的面积=90⋅π×102360−8×6＝25π﹣48．故答案为：25π﹣48．【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．【精练9】（2019•虞城县一模）如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．设P、Q出发ts时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系如图2所示（其中曲线OM为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）当点P在ED上运动时，连接QD，若QD平分∠PQC，则t的值为．【点拨】根据题意和函数图象可以得到BE和BC的长，然后根据当t＝5时，y＝10可以得到AB的长，然后根据QD平分∠PQC，可得DG＝DC，进而可以求得相应的t的值．【解答】解：由题意可得，BE ＝5，BC ＝12， ∵当t ＝5时，S ＝10， ∴10=5×AB2，得AB ＝4， 作EH ⊥BC 于点H ，作EF ∥PQ ，P 1Q 2∥EF ，作DG ⊥P 1Q 2于点G ， 则EH ＝AB ＝4，BE ＝BF ＝5， ∵∠EHB ＝90°， ∴BH =√52−42=3， ∴HF ＝2，∴EF =√42+22=2√5， ∴P 1Q 2＝2√5，设当点P 运动到P 1时，Q 2D 平分∠P 1Q 2C ，则DG ＝DC ＝4，P 1D ＝17﹣AE ﹣EP 1＝12﹣3﹣（t ﹣5）＝14﹣t ， ∴(14−t)×42=2√5×42，解得，t ＝14﹣2√5， 故答案为：14﹣2√5．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【精练10】（2018秋•市中区期末）将正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2按如图所示方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y ＝x +1和x 轴上，则点B 2019的横坐标是 ．【点拨】根据直线y＝x+1可求与x轴、y轴的交点坐标，得出第一个正方形的边长，得出点B1的横坐标，根据第二个正方形与第一个正方形的关系，可求出第二个正方形的边长，进而确定B2的横坐标，依此类推，可得出B2019的横坐标．【解答】解：当x＝0时，y＝x+1＝1，∴A（0，1），当y＝0时，x＝﹣1，∴直线与x轴的交点（﹣1，0）∴B1（1，1），易得△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、△A4B4A5……均是等腰直角三角形，可得：每一个正方形的边长都是它前一个正方形边长的2倍，因此：B2的横坐标为1+1×2＝1+2＝20+21＝3＝22﹣1，B3的横坐标为1+1×2+2×2＝1+2+4＝20+21+22＝7＝23﹣1，B4的横坐标为24﹣1，B5的横坐标为25﹣1，……B2019的横坐标为22019﹣1，故答案为：22019﹣1．【点睛】此题主要考查了一次函数图形上的点与坐标特征，规律型问题常用的方法是，分别求出前几个数据，然后依据变化规律，得出一般的结论．本题就是先求出B1的横坐标为21﹣1，B2的横坐标为22﹣1，B3的横坐标为23﹣1，B4的横坐标为24﹣1，……进而得到B n的横坐标为2n﹣1．【精练11】（2019•鄂尔多斯模拟）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），根据这个规律探索可得，第56个点的坐标为．【点拨】根据题意和图象中的点的坐标，可以发现这些点的变化规律，从而可以求得第56个点的坐标．【解答】解：由题意可得，横坐标是1的点有1个，横坐标是2的点有2个，横坐标是3的点有3个，…，∵56＝（1+2+3+…+10）+1，∴第56个点的坐标为（11，10），故答案为：（11，10）【点睛】本题考查规律性：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，发现题目中点的变化规律，求出相应的点的坐标．【精练12】（2019春•徐州期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝3cm，现有一根长为2cm的棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P 在运动过程中所经过的路径长度为cm．【点拨】根据题意可以判断出点P的运动轨迹是4段弧长和2段线段的长度．【解答】解：连接BP，如图所示：∵P是EF的中点，∴BP=12EF=12×2＝1，如图所示，点P的运动轨迹是4段弧长+2段线段的长度，即4×90π×1180+2×1＝2π+2．故答案为：2π+2．【点睛】本题考查了轨迹、矩形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及弧长的计算．判断出点的P运动的轨迹是解题的关键．【精练13】（2018秋•雨花区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是AC的中点，直角∠EDF的两边分别交AB、BC于点E、F，给出以下结论：①AE＝BF；②S四边形BEDF=12S△ABC；③EF＝BD；④∠BFE＝∠CDF；⑤△DEF是等腰直角三角形，当∠EDF在△ABC内绕顶点D旋转时（点E不与点A、B重合），上述结论始终成立的有个．。
考点08 等边三角形的性质和判定(解析版)
考点08 等边三角形的性质和判定一．选择题（共10小题）1．（2020·山东莱州期末）如图，在ABC 中，点D ，E 分别在边上，DE //BC ，若ADE 是等边三角形，AD=2，BD=3，则ABC 的周长为（ ）A ．6B ．9C ．15D ．18【答案】C【解析】 解：∵∵ADE 是等边三角形，∵∵ADE=∵AED=∵A=60°，∵DE∵BC ，∵∵B=∵ADE=60°，∵C=∵AED=60°，∵∵ABC 是等边三角形，∵∵ABC 的周长为3AB=3×（2+3）=15．故选：C ．2．（2020·四川成都）如图，ABE △是等边三角形，C 为BE 的中点，CD AB 于D ，则BD AD的值为（ ）A．3B．13C．4D．14【答案】B【解析】解：作EF∵AB于F，∵∵ABC是等边三角形，∵BF=AF=12 AB，∵CD∵AB，EF∵AB，∵CD∵EF，∵C为BE的中点，∵D是BF的中点，∵BD=DF=12BF=14AB，∵AD=DF+AF=34 AB，∵BD AD=13故选B．3．（2020·银川期中）如图所示，在等边三角形ABC中，AD∵BC，E为AD上一点，∵CED ＝50°，则∵ABE等于（）A．10°B．15°C．20°D．25°【答案】C【解析】解：∵等边三角形ABC中，AD∵BC，∵BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∵BE=CE，∵∵EBC=∵ECB，∵∵CED=50°，∵∵ECB=40°=∵EBC，∵∵ABC是等边三角形，∵∵ABC=60°，∵∵ABE=∵ABC-∵EBC=20°，故选：C．4．（2020·陕西扶风期末）如图所示，ΔABC是等边三角形，且BD=CE，∵1=15°，则∵2的度数为( )A．15°B．40°C．45°D．60°【答案】D【解析】在∵ABD 和∵BCE 中，AB BC ABD BCE BD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∵∵ABD∵∵BCE(SAS)，∵∵1=∵CBE ，∵∵2=∵1+∵ABE ，∵∵2=∵CBE+∵ABE=∵ABC=60°．故选：D ．5．（2020·湖北黄石月考）如图，ABC 是等边三角形，点D E 、分别是AC 、AB 边上的点，CD AE =，BD 、CE 交于点P ,则BPC ∠等于（ ）A ．135°B ．150°C ．120°D ．130°【答案】C【解析】解：∵∵ABC 是等边三角形，∵AB=BC=AC ，∵A=∵ACB=60°．在∵ACE 和∵CDB 中AC CB A BCD AE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵ACE∵∵CBD （SAS ），∵∵ACE=∵CBD ．∵∵DPC=∵CBP+∵PCB ，∵∵DPC=∵ACE+∵PCB=60°，∵∵BPC=120°．故选C ．6．（2020·甘肃永登期中）如图，等边ABC ∆中，BD CE =，AD 与BE 相交于点P ，则APE ∠的度数是（ ）A ．45︒B ．55︒C ．60︒D ．75︒【答案】C【解析】 解：∵∵ABC 是等边三角形，∵AB ＝BC ，∵ABD ＝∵C ，又∵BD ＝CE ，∵∵ABD∵∵BCE （SAS ），∵∵BAD ＝∵CBE ，∵∵ABE ＋∵CBE ＝60°，∵∵ABE ＋∵BAD ＝60°，∵∵APE ＝∵ABE ＋∵BAD ＝60°，故选：C ．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，关键是利用等边三角形的性质来为三角形全等的判定创造条件，是中考的常考题．7．（2020·山东张店期中）如图，P Q 、为ABC △的边BC 上的两点，并且BP PQ QC AP AQ ====，则BAC ∠=（ ）A ．100B ．110C ．120D ．150【答案】C【解析】 ∵BP=PQ=QC=AP=AQ ，∵∵PAQ=∵APQ=∵AQP=60°，∵B=∵BAP ，∵C=∵CAQ ．又∵∵BAP+∵ABP=∵APQ ，∵C+∵CAQ=∵AQP ，∵∵BAP=∵CAQ=30°．∵∵BAC=120°．故∵BAC 的度数是120°．故选：C ．8．（2020·河北保定师范附属学校期中）如图，是一个等边三角形木框，甲虫P 在边框AC 上爬行（A ，C 端点除外），设甲虫P 到另外两边的距离之和为d ，等边三角形ABC 的高为h ，则d 与h 的大小关系是（ ）A ．d h >B ．d h <C ．d h =D ．无法确定【答案】C【解析】解：如图，连接BP ，过点P 做PD∵BC ，PE∵AB ，分别交BC ，AB 于点D ，E ，∵S ∵ABC =S ∵BPC +S ∵BPA =12BC•PD+12AB•PE =12BC•PD+12BC•PE =12BC （PD+PE ） =12d•BC =12h•BC ∵d=h故答案选C．9．（2020·山东肥城开学考试）如图，D、E、F分别是等边∵ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则∵DEF的形状是（）．A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形【答案】A【解析】∵∵ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，∵AE=BF=CD，又∵∵A=∵B=∵C=60°，∵∵ADE∵∵BEF∵∵CFD（SAS），∵DF=ED=EF，∵∵DEF是等边三角形，故选A.10．（2020·湖南长沙期中）已知，如图，等腰∵ABC，AB＝AC，∵BAC＝120°，AD∵BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下列结论：∵AC平分∵PAD；∵∵APO＝∵DCO；∵∵OPC是等边三角形；∵AC＝AO+AP；其中正确的序号是（）A．∵∵∵B．∵∵C．∵∵∵D．∵∵【答案】A【解析】解：∵∵AB＝AC，∵BAC＝120°，AD∵BC；∵∵CAD＝12∵BAC＝60°，∵PAC＝180°﹣∵CAB＝60°，∵∵PAC＝∵DAC，∵AC平分∵PAD，故∵正确；∵由∵知：∵APO＝∵ABO，∵DCO＝∵DBO，∵点O是线段AD上一点，∵∵ABO与∵DBO不一定相等，则∵APO与∵DCO不一定相等，故∵不正确；∵∵∵APC+∵DCP+∵PBC＝180°，∵∵APC+∵DCP＝150°，∵∵APO+∵DCO＝30°，∵∵OPC+∵OCP＝120°，∵∵POC＝180°﹣（∵OPC+∵OCP）＝60°，∵OP＝OC，∵∵OPC是等边三角形；故∵正确；∵如图，在AC上截取AE＝PA，∵∵PAE＝180°﹣∵BAC＝60°，∵∵APE是等边三角形，∵∵PEA＝∵APE＝60°，PE＝PA，∵∵APO+∵OPE＝60°，∵∵OPE+∵CPE＝∵CPO＝60°，∵∵APO＝∵CPE，∵OP＝CP，在∵OPA和∵CPE中，PA PEAPO CPE OP CP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵OPA∵∵CPE（SAS），∵AO＝CE，∵AC＝AE+CE＝AO+AP；故∵正确．故选：A．二．填空题（共5小题）11．（2020·石家庄月考）如图，AB＝AC＝8cm，DB＝DC，若∵ABC＝60°，则BE＝________cm.【答案】4【解析】∵AB=AC，∵ABC=60°，∵∵ABC是等边三角形，A在BC的垂直平分线上，∵BC=AB=8cm．∵DB=DC，∵点D在BC的垂直平分线上，∵AD垂直平分BC，∵BE=12BC=4cm．故答案为：4．12．（2020·平阳县西湾乡中学一模）如图，在等边∵ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至E，使AE＝AC，∵BAE的平分线交∵ABC的高BF于点O，则∵E＝_____．【答案】30°【解析】解：∵OA平分∵BAE，∵∵BAO＝∵EAO，∵三角形ABC是等边三角形，AE＝AC，∵AE＝AC=AB，在∵ABO 和∵AEO 中AB AE BAO AEO AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵ABO∵∵AEO ，∵∵ABO ＝∵AEO ，∵BF 为等边∵ABC 的高，∵BF 平分∵ABC ，∵∵ABF ＝30°，∵∵AEO ＝30°．故答案为30°．13．（2020·陕西西安）如图，过边长为3的等边∵ABC 的边AB 上一点P ，作PE ∵AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当P A ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为_____．【答案】32． 【解析】过P 作PF ∵BC 交AC 于F ，∵PF∵BC，∵ABC是等边三角形，∵∵PFD=∵QCD，∵APF=∵B=60°，∵AFP=∵ACB=60°，∵A=60°，∵∵APF是等边三角形，∵AP=PF=AF．∵PE∵AC，∵AE=EF．∵AP=PF，AP=CQ，∵PF=CQ，在∵PFD和∵QCD中，∵PFD QCDPDF CDQ PF CQ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵PFD∵∵QCD（AAS），∵FD=CD．∵AE=EF，∵EF+FD=AE+CD，∵AE+CD=DE12=AC．∵AC=3，∵DE32 =．故答案为：32．14．（2020·山东临邑三模）如图，在ABE△中，AE的垂直平分线MN交BE于点C ，30E∠=︒，且AB CE=，则BAE∠的度数为__________【答案】90°【解析】解：∵MN垂直平分线段AE，∵CE=CA，∵∵E=∵CAE=30°，∵∵ACB=∵E+∵CAE=60°，∵AB=CE=AC，∵∵ACB是等边三角形，∵∵CAB=60°，∵∵BAE=∵CAB+∵CAE=90°，故答案为：90°．15．（2020·广东深圳中学期中）如图，在等腰∵ABC中，AB=AC，BC=8，∵BAC=120°，作AD∵BC于点D，AD=12AB，点E为边AC上的中点，点P为BC上一动点，则PA+PE的最小值为_______．【答案】4【解析】解：∵AB=AC ，BC=8，AD∵BC ，∵BD=CD=4，∵120,BAC ∠=︒ ∵∵B=C ∠=30°，∵∵BAD=∵CAD=60°，延长AD 至A'，使AD=A'D ，连接A'E ，交BC 于P ，此时PA+PE 的值最小，就是A'E 的长， ∵AD=12AB ，AA′=2AD ， ∵AA'=AB=AC ，∵CAA'=60°，∵∵AA'C 是等边三角形，∵E 是AC 的中点，∵A'E∵AC ，∵A'E=CD=4，即PA+PE 的最小值是4，故答案为：4．三．解析题（共5小题）16．（2020·重庆南开中学期末）如图，ABC 为等边三角形，点D ，点E 分别在BA ，AB 的延长线上，AD BE =.（1）求证：CD CE =；（2）若EF 平分DEC ∠交CD ，CA 于点F ，点G ，ACD CEF ∠=∠，求证：EF AC AD =+.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解【解析】解：（1）证明：∵∵ABC 为等边三角形，∵∵BAC=∵ABC=∵ACB=60°，AB=BC=AC ，∵∵DAC=∵EBC=120°，∵AD=BE ，∵∵ACD∵∵BCE （SAS ），∵CD=CE ；（2）∵∵ACD∵∵BCE∵∵ACD=∵BCE ，AD=BE ，∵BF 平分∵DEC ，∵∵DEF=∵CEF ，∵∵ACD=∵CEF，∵∵ACD=∵CEF=∵ACD=∵BCE，∵∵EGC=∵AEG+∵BAC=∵AEG+60°，∵ECG=∵BCE+∵ACB=∵BCE+60°，∵∵EGC=∵ECG，∵EC=EG，∵∵EGC=∵AEG+∵BAC=∵AEG+60°=∵EFC+∵ACD，∵∵BAC=∵EFC，即∵EAG=∵EFC，∵∵EFC∵∵EAG（ASA），∵EF=AE，∵AE=AB+BE=AC+AD，∵EF=AC+AD．17．（2020·酒泉市第二中学期中）如图，在∵ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D 作DE∵AB，DF∵AC，垂足分别为点E，F．（1）求证：∵BED∵∵CFD．（2）若∵A＝60°，BE＝1，求∵ABC的周长．【答案】（1）详见解析；（2）12【解析】（1）证明：∵AB＝AC，∵∵B＝∵C．∵DE∵AB，DF∵AC，∵∵DEB＝∵DFC＝90°．∵D是BC边的中点，∵BD＝CD．在∵BED与∵CFD中，∵∵DEB＝∵DFC，∵B＝∵C，BD＝CD，∵∵BED∵∵CFD(AAS)．（2）解：∵AB＝AC，∵A＝60°，∵∵ABC是等边三角形．∵AB＝BC＝CA，∵B＝60°．又∵DE∵AB，∵∵EDB＝30°．∵在R t∵BED中，BD＝2BE＝2．∵BC＝2BD＝4．∵∵ABC的周长为AB＋BC＋AC＝3BC＝12．18．（2020·上海月考）如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且∠=︒，以D为顶点作一个60︒角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，BDC120连接MN，求AMN的周长．【答案】AMN的周长为6．【解析】解：∵∵BDC是等腰三角形，且∵BDC=120°∵∵BCD=∵DBC=30°∵∵ABC是边长为3的等边三角形∵∵ABC=∵BAC=∵BCA=60°∵∵DBA=∵DCA=90°延长AB至F，使BF=CN，连接DF，在Rt∵BDF和Rt∵CND中，BF=CN，DB=DC∵∵BDF∵∵CDN，∵∵BDF=∵CDN，DF=DN∵∵MDN=60°∵∵BDM+∵CDN=60°∵∵BDM+∵BDF=60°，∵FDM=60°=∵MDN，DM为公共边∵∵DMN∵∵DMF，∵MN=MF∵∵AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．19．（2020·四川成华期末）已知：如图，点B在线段AD上，ABC和BDE都是等边三角形，且在AD同侧，连接AE交BC于点G，连接CD交BE于点H，连接GH．（1）求证：AE=CD；（2）求证：AG=CH；（3）求证：GH∵AD．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）∵∵ABC 、∵BDE 均为等边三角形， ∵AB=AC=BC ，BD=BE ，∵ABC=∵EBD=60°， ∵180°﹣∵EBD=180°﹣∵ABC ，即∵ABE=∵CBD ，在∵ABE 与∵CBD 中，AC BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵ABE∵∵CBD （SAS ），∵AE=CD ；（2）∵∵ABE∵∵CBD ，∵∵BAG=∵BCH ，∵∵ABC=∵EBD=60°，∵∵CBH=180°﹣60°×2=60°，∵∵ABC=∵CBH=60°，在∵ABG 与∵CBH 中，BAG BCH AB BC ABG CBH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∵∵ABG∵∵CBH （ASA ），∵AG=CH ；（3）由（2）知：∵ABG∵∵CBH ，∵BG=BH ，∵∵CBH=60°，∵∵GHB 是等边三角形，∵∵BGH=60°=∵ABC ，∵GH∵AD ．20．（2020·山西翼城期末）已知：ABC 是等边三角形，D 是直线BC 上一动点，连接AD ，在线段AD 的右侧作射线DP 且使∵ADP=30°，作点A 关于射线DP 的对称点E ，连接DE 、CE ．（1）当点D 在线段BC 上运动时，如图，请用等式表示线段AB 、CE 、CD 之间的数量关系，并证明；（2）当点D 在直线BC 上运动时，请直接写出AB 、CE 、CD 之间的数量关系，不需证明．【答案】（1）AB=CE+CD ，见解析；（2）当点D 在线段CB 上时，AB=CE+CD ；当点D在CB的延长线上时，AB=CD-CE,当点D在BC延长线上时，AB=CE-CD．【解析】【分析】（1）由对称可得DP垂直平分AE,则AD=DE,由∵ADP=30°可得∵ADE是等边三角形,进而可得∵ABC是等边三角形,可得AB=AC=BC，∵BAC=60°,进而可得∵BAD=∵CAE,由SAS可得∵BAD∵∵CAE,得BD=CE,进而可证得结论;（2）数量关系又三种，可分三种情况讨论：∵当点D在线段BC上时，（1）中已证明；∵当点D在CB的延长线上时，如图所示，易知∵ADE是等边三角形，可得AD=AE,DAE ADE︒∠=∠=,由∵ABC是等边三角形,可得AB=AC=BC，∵BAC=60°,进而可得60∵BAD=∵CAE,由SAS可得∵BAD∵∵CAE,可得BD=CE,进而可得此种情况的结论；∵当点D 在BC延长线上时，如图所示，易知∵ADE是等边三角形，可得AD=AE,∠=∠=,由∵ABC是等边三角形,可得AB=AC=BC，∵BAC=60°,进而可得60DAE ADE︒∵BAD=∵CAE,由SAS可得∵BAD∵∵CAE，可得BD=CE,进而可得此种情况的结论.【详解】解：（1）AB=CE+CD证明：∵点A关于射线DP的对称点为E，∵DP垂直平分AE,∵AD=DE,又∵∵ADP=30°,∵∵ADE=60°,∵∵ADE是等边三角形,∵AD=AE，∵DAE=∵ADE=60°,又∵∵ABC是等边三角形,∵AB=AC=BC ，∵BAC=60°,∵∵BAC -∵DAC=∵DAE -∵DAC,即：∵BAD=∵CAE,在∵BAD 和∵CAE 中,AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∴∠=∠⎨⎪=⎩∵∵BAD∵∵CAE,∵BD=CE,∵AB=BC=BD+CD=CE+CD;（2）AB=CE+CD ，AB=CE -CD ，AB=CD -CE.∵当点D 在线段BC 上时，AB=CE+CD,证明过程为（1）；∵当点D 在CB 的延长线上时，如下图所示，AB=CD -CE,证明过程如下：由（1）得，∵ADE 是等边三角形，∵AD=AE, 60DAE ADE ︒∠=∠=,又∵∵ABC 是等边三角形,∵AB=AC=BC ，∵BAC=60°,∵∵BAC -∵BAE=∵DAE -∵BAE,即：∵BAD=∵CAE,在∵BAD 和∵CAE 中,AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∴∠=∠⎨⎪=⎩∵∵BAD∵∵CAE,∵BD=CE,∵AB=BC=CD -BD=CD -CE;∵当点D 在BC 延长线上时，如图所示，AB=CE -CD,证明过程如下：由（1）得，∵ADE 是等边三角形，∵AD=AE, 60DAE ADE ︒∠=∠=,又∵∵ABC 是等边三角形,∵AB=AC=BC ，∵BAC=60°,∵∵BAC+∵DAC=∵DAE+∵DAC,即：∵BAD=∵CAE,在∵BAD 和∵CAE 中, AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∴∠=∠⎨⎪=⎩∵∵BAD∵∵CAE, ∵BD=CE,∵AB=BC=BD -CD=CE -CD.。
2021年中考数学压轴题专项训练三角形含解析2
20XX年复习资料教学复习资料班级：科目：2021年中考数学压轴题专项训练《三角形》1．已知，△ABC是等边三角形，过点C作CD∥AB，且CD＝AB，连接BD交AC于点O．（1）如图1，求证：AC垂直平分BD；（2）如图2，点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，且ND＝NM，连接BN．求证：NB ＝NM．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，∵CD∥AB，且CD＝AB，∴CD＝CA＝BC，∠ACD＝∠ACB＝60°，∴BO＝DO，CO⊥BD，∴AC垂直平分BD；（2）由（1）知AC垂直平分BD，∴NB＝ND，∵ND＝NM，∴NB＝NM．2．等腰Rt△ABC，点D为斜边AB上的中点，点E在线段BD上，连结CD，CE，作AH⊥CE，垂足为H，交CD于点G，AH的延长线交BC于点F．（1）求证：△ADG≌△CDE．（2）若点H恰好为CE的中点，求证：∠CGF＝∠CFG．证明：（1）在等腰Rt△ABC中，∵点D为斜边AB上的中点，∴CD＝AB，CD⊥AB，∵AD＝AB，∴AD＝CD，∵CD⊥AB，∴∠ADG＝∠CDE＝90°，∵AH⊥CE，∴∠CGH+∠GCH＝90°，∵∠AGD+∠GAD＝90°，又∵∠AGD＝∠CGH，∴∠GAD＝∠GCH，在△△ADG和△CDE中∵∠ADG＝∠CDE＝90°，AD＝CD，∠GAD＝∠GCH∴△ADG≌△CDE（ASA），（2）∵AH⊥CE，点H为CE的中点，∴AC＝AE，∴∠CAH＝∠EAH，∵∠CAH+∠AFC＝90°，∠EAH+∠AGD＝90°，∴∠AFC＝∠AGD，∵∠AGD＝∠CGH，∴∠AFC＝∠CGH，即∠CGF＝∠CFG．3．如图，在△ABC中，AD⊥BC且BD＝DE，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E．（1）若∠BAE＝32°，求∠C的度数；（2）若AC＝6cm，DC＝5cm，求△ABC的周长．解：（1）∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC∴AB＝AE＝EC∴∠C＝∠CAE，∵∠BAE＝32°∴∠AED＝（180°﹣32°）＝74°；∴∠C＝∠AED＝37°；（2）由（1）知：AE＝EC＝AB，∵BD＝DE，∴AB+BD＝EC+DE＝DC，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC，＝AB+BD+DC+AC，＝2DC+AC＝2×5+6＝16（cm）．4．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D．（1）求证：∠AOB＝90°+∠C；（2）求证：AE+BF＝EF；（3）若OD＝a，CE+CF＝2b，请用含a，b的代数式表示△CEF的面积，S△CEF＝ab（直接写出结果）．证明：（1）∵OA，OB平分∠BAC和∠ABC，∴，，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝＝＝＝（2）∵EF∥AB，∴∠OAB＝∠AOE，∠ABO＝∠BOF又∠OAB＝∠EAO，∠OBA＝∠OBF，∴∠AOE＝∠EAO，∠BOF＝∠OBF，∴AE＝OE，BF＝OF，∴EF＝OE+OF＝AE+BF；（3）∵点O在∠ACB的平分线上，∴点O到AC的距离等于OD，∴S△CEF＝（CE+CF）•OD＝•2b•a＝ab，故答案为：ab．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：BD•AD＝DE•AC．（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．（3）在（2）的条件下，求cos∠BDE的值．证明：（1）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD．∴，∴BA•AD＝DE•CA；（2）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，∵•AD•BD＝•AB•DE，∴DE＝．（3）∵∠ADB＝∠AED＝90°，∴∠BDE＝∠BAD，∴cos∠BDE＝cos∠BAD＝．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．（1）求证：BD＝CD．（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．（3）过点D作DF⊥AB于点F，若BC＝8，AF＝3BF，求弧BD的长．（1）证明：如图，连接AD．∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BD．又∵AB＝AC，∴BD＝CD．（2）解：∵弧DE＝50°，∴∠EOD＝50°．∴∠DAE＝∠DOE＝25°．∵由（1）知，AD⊥BD，则∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°．∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABD＝65°．（3）∵BC＝8，BD＝CD，∴BD＝4．设半径OD＝x．则AB＝2x．由AF＝3BF可得AF＝AB＝x，BF＝AB＝x，∵AD⊥BD，DF⊥AB，∴BD2＝BF•AB，即42＝x•2x．解得x＝4．∴OB＝OD＝BD＝4，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD＝60°．∴弧BD的长是：＝．7．阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．经过讨论，同学们得到以下两种思路：思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．完成下面问题：（1）①思路一的辅助线的作法是：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②思路二的辅助线的作法是：作BG＝BF交AD的延长线于点G．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下：∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②．理由如下：∵BG＝BF，∴∠G＝∠BFG，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，∵∠EFA＝∠BFG，∴∠G＝∠EAF，在△ADC和△GDB中，，∴△A DC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∴AC＝BF；故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示：则∠G＝∠CAD，∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．8．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE∥OC交y轴于点E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n满足n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点D为AB中点，求OE的长；（3）如图2，若点P（x，﹣2x+4）为直线AB在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△PEF，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标．解：（1）∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0，∴（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0，∵（n﹣4）2≥0，|n﹣2m|≥0，∴（n﹣4）2＝0，|n﹣2m|＝0，∴m＝2，n＝4，∴点A为（2，0），点B为（0，4）；（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG＝DF，连接BG，设OE＝x，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC＝∠AOC＝45°，∵DE∥OC，∴∠EFO＝∠FEO＝∠BEG＝∠BOC＝∠AOC＝45°，∴OE＝OF＝x，在△ADF和△BDG中，，∴△ADF≌△BDG（SAS），∴BG＝AF＝2+x，∠G＝∠AFE＝45°，∴∠G＝∠BEG＝45°，∴BG＝BE＝4﹣x，∴4﹣x＝2+x，解得：x＝1，∴OE＝1；（3）如图2，分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点E为（0，m），∵点P的坐标为（x，﹣2x+4），∴PN＝x，EN＝m+2x﹣4，∵∠PEF＝90°，∴∠PEN+∠FEM＝90°，∵FM⊥y轴，∴∠MFE+∠FEM＝90°，∴∠PEN＝∠MFE，在△EFM和△PEN中，，∴△EFM≌△PEN（AAS），∴ME＝NP＝x，FM＝EN＝m+2x﹣4，∴点F为（m+2x﹣4，m+x），∵F点的横坐标与纵坐标相等，∴m+2x﹣4＝m+x，解得：x＝4，∴点P为（4，﹣4）．9．在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD 的下方作等边△CDE，连结BE．（1）若点D在线段AM上时（如图1），则AD＝BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM ＝30 度；（2）设直线BE与直线AM的交点为O．①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由．解：（1））∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DC E＝60°∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE∴∠ACD＝∠BCE．在△ADC和△BEC中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．∵线段AM为BC边上的中线∴∠CAM＝∠BAC，∴∠CAM＝30°．故答案为：＝，30；（2）①AD＝BE，理由如下：∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴AB＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE．②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，理由如下：当点D在线段AM上时，如图1，由①知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，又∠ABC＝60°，∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°，∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线∴AM平分∠BAC，即，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．当点D在线段AM的延长线上时，如图2，∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE∴∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠CAD＝30°，同理可得：∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．10．数学课上，王老师出示了如下框中的题目．小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况•探索结论：在等边三角形ABC中，当点E为AB的中点时，点D在CB点延长线上，且ED＝EC；如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论AE ＝DB；（2）特例启发，解答题目王老师给出的题目中，AE与DB的大小关系是：AE＝DB．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在△ABC中，AB＝BC＝AC＝1；点E在AB的延长线上，AE＝2；点D在CB的延长线上，ED ＝EC，如图3，请直接写CD的长1或3 ．解：（1）如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，∴∠EDB＝∠FEC，在△BDE和△FEC中，，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD，故答案为：＝；（2）解答过程如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，∴∠EDB＝∠FEC，在△BDE和△FEC中，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD．故答案为：AE＝DB．（3）解：分为四种情况：如图3，∵AB＝AC＝1，AE＝2，∴B是AE的中点，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝1，△ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），∴∠ACE＝90°，∠AEC＝30°，∴∠D＝∠ECB＝∠BEC＝30°，∠DBE＝∠ABC＝60°，∴∠DEB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，即△DEB是直角三角形．∴BD＝2BE＝2（30°所对的直角边等于斜边的一半），即CD＝1+2＝3．如图4，过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，∵等边三角形ABC，EC＝ED，∴BN＝CN＝BC＝，CM＝MD＝CD，AN∥EM，∴△BAN∽△BEM，∴，∵△ABC边长是1，AE＝2，∴，∴MN＝1，∴CM＝MN﹣CN＝1﹣＝，∴CD＝2CM＝1；如图5，∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC＝120°），而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，∴此时不存在EC＝ED；如图6，∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，又∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ECD＞∠EDC，即此时ED≠EC，∴此时情况不存在，答：CD的长是3或1．故答案为：1或3．11．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，求证：△ABC是倍角三角形；（2）若△ABC是倍角三角形，∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，AC＝，求△ABC面积；（3）如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE＝AB，若AB+AC＝BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝36°，∴∠B＝∠C＝72°，∴∠A＝2∠C，即△ABC是倍角三角形，（2）解：∵∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，①当∠B＝2∠C，得∠C＝15°，过C作CH⊥直线AB，垂足为H，可得∠CAH＝45°，∴AH＝CH＝AC＝4．∴BH＝，∴AB＝BH﹣AH＝﹣4，∴S＝．②当∠A＝2∠B或∠A＝2∠C时，与∠A＞∠B＞∠C矛盾，故不存在．综上所述，△ABC面积为．（3）∵AD平分∠BAE，∴∠BAD＝∠EAD，∵AB＝AE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠ADE＝∠ADB，BD＝DE．又∵AB+AC＝BD，∴AE+AC＝BD，即CE＝BD．∴CE＝DE．∴∠C＝∠BDE＝2∠ADC．∴△ADC是倍角三角形．12．如图，在平面直角坐标系中，OA＝OB，AC＝CD，已知两点A（4，0），C（0，7），点D 在第一象限内，∠DCA＝90°，点B在线段OC上，AB的延长线与DC的延长线交于点M，AC与BD交于点N．（1）点B的坐标为：（0，4）；（2）求点D的坐标；（3）求证：CM＝CN．解：（1）∵A（4，0），∴OA＝OB＝4，∴B（0，4），故答案为：（0，4）．（2）∵C（0，7），∴OC＝7，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，∴∠DEC＝∠AOC＝90°，∵∠DCA＝90°，∴∠ECD+∠BCA＝∠ECD+∠EDC＝90°∴∠BCA＝∠EDC，∴△DEC≌△COA（AAS），∴DE＝OC＝7，EC＝OA＝4，∴OE＝OC+EC＝11，∴D（7，11）；（3）证明：∵BE＝OE﹣OB＝11﹣4＝7 ∴BE＝DE，∴△DBE是等腰直角三角形，∴∠DBE＝45°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝45°，∴∠DBA＝90°，∴∠BAN+∠ANB＝90°，∵∠DCA＝90°，∴∠CDN+∠DNC＝90°，∵∠DNC＝∠ANB，∴∠CDN＝∠BAN，∵∠DCA＝90°，∴∠ACM＝∠DCN＝90°，∴△DCN≌△ACM（ASA），∴CM＝CN．13．如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为C，且∠A＜∠C，点E是一动点，其在BC上移动，连接DE，并过点E作EF⊥DE，点F在AB的延长线上，连接DF交BC于点G．（1）请同学们根据以上提示，在上图基础上补全示意图．（2）当△ABD与△FDE全等，且AD＝FE，∠A＝30°，∠AFD＝40°，求∠C的度数．解：（1）补全示意图如图所示，（2）∵DE⊥EF，BD⊥AC，∴∠DEF＝∠ADB＝90°．∵△ABD与△DEF全等，∴AB＝DF，又∵AD＝FE，∴∠ABD＝∠FDE，∴BD＝DE．在Rt△ABD中，∠ABD＝90°﹣∠A＝60°．∴∠FDE＝60°．∵∠ABD＝∠BDF+∠AFD，∵∠AFD＝40°，∴∠BDF＝20°．∴∠BDE＝∠BDF+∠FDE＝20°+60°＝80°．∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠BED＝（180°﹣∠BDE）＝50°．在Rt△BDC中，∠C＝90°﹣∠DBE＝90°﹣50°＝40°．14．如图．CP是等边△ABC的外角∠ACE的平分线，点D在边BC上，以D为顶点，DA为一条边作∠ADF＝60°，另一边交射线CP于F．（1）求证．AD＝FD；（2）若AB＝2，BD＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式；（3）联结AF，当△ADF的面积为时，求BD的长．证明：（1）如图1，连接AF，∵∠ACB＝60°，∴∠ACE＝120°，∵CP平分∠ACE，∴∠ACP＝∠PCE＝60°，∴∠ADF＝∠ACP＝60°，∴A、D、C、F四点共圆，∴∠AFD＝∠ACB＝60°，∴∠ADF＝∠AFD＝60°，∴∠DAF＝60°，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝FD；（2）如图2，过点A作AH⊥BC，∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，AB＝2，∴BH＝1，AH＝BH＝，∴HD＝BD﹣BH＝x﹣1，∵DF＝＝，∴y＝（3）∵△ADF是等边三角形，且△ADF的面积为，∴DF2＝，∴DF2＝＝x2﹣2x+4∴x＝∴BD＝或15．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点．以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．（1）如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN ＝BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．解：（1）结论BM+CN＝BD成立，理由如下：如图②，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°，∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN；（2）上述结论不成立，BM，CN，BD之间的数量关系为：BM﹣CN＝BD；理由如下：如图③，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠NCD＝120°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠MED＝∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°，∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN，∴BM﹣CN＝BD．。
关于两个等边三角形的问题
有这么一个关于两个等边三角形的问题，俗称拉手模型. 该问题可以衍生出很多有趣的结论，在学习该模型的过程中综合运用了多次三角形全等、相似、等边三角形判定、截长补短、四点共圆的性质与判定等较难初等几何问题，是一个复习的好载体.下面将本问题进行简单阐述并说明证明思路，详细证明过程请读者自己摸索（亦可通过邮件讨论）.已知：ΔABC和ΔCDE均为等边三角形，并且B、C、D三点共线，如图I.求证以下几个结论：（1）三组三角形全等：Δ BCE ≌Δ ACD；Δ BCF ≌Δ ACG；Δ ECF ≌Δ DCG；如图II.证明思路：第一组全等利用两个等边三角形边相等及每个角都是60°的性质，根据SAS证明全等；由第一组全等可以得到∠GAC=∠FBC和∠FEC=∠GDC，根据ASA证明后两组全等.（2）两组角相等：∠GAC=∠FBC；∠FEC=∠GDC.两组边相等：BE=AD；CF=CG.证明思路：由（1）的三组全等引申出来的结论.（3）ΔFCG是等边三角形, 如图III. 从而FG//BD.证明思路：由（2）有CF=CG，又易得∠FCG=60°，得证.由∠FGC=∠GCD，得FG//BD. （4）∠AHF=∠EHG=60°. 如图IV.证明思路：由（2）已有∠HAF=∠CBF，对顶角相等有∠AFH=∠BFC，由三角形内角和定理易得∠AHF = ∠BCF= 60°，同理可证∠EHG=60°.（5）两组相似三角形：ΔAFH ∽ΔBFC；ΔHGE ∽ΔCGD证明思路：由（4）易得上述两组相似.（6）A、H、C、B四点共圆，E、D、C、H四点共圆.证明思路：由（4）或者（5）易得上述结论.（7）连结CH，则CH平分∠BHD. 如图V.证明思路：此结论有较多证明方法，下面介绍较容易三种证法：（证法V-1：角平分线的判定）过点C作CX⊥BE于X，CY⊥AD于Y. 由（1）有ΔBCE≌ΔACD，利用面积法易得CX=CY，从而平分线得证.（证法V-2：相似三角形）由（5）ΔAFH ∽ΔBFC，则AF:BF=HF:CF，又由对顶角相等，可以得到ΔAFB ∽ΔHFC，从而对应角∠CHF=∠BFA=60°，同理可证∠CHG=∠DGE=60°. 得证. （证法V-3：四点共圆）由（6） A、H、C、B四点共圆，故∠CHF=∠BFA=60°；同理可证∠CHG=∠DGE=60°. 得证.（8）证明HD=HC+HE；HB=HC+HA. 如图VI.证明思路：（截长法）在线段HD上取一点Z，使得HZ=HC.第一步：由（7）易证ΔHCZ为等边三角形，故CZ=CH. 如图VI(1)；第二步：证明ΔCHE≌ΔCZD，故HE=ZD. 如图VI(2)；第三步：HD= HZ+ZD=HC+HE.第二个结论证明过程与第一个结论的相仿.文章写得匆忙，如果有错误请指正，有新的结论也欢迎留言或者邮箱联系，谢谢.。
13.3.2 第1课时 等边三角形的性质与判定
13．3.2第1课时等边三角形的性质与判定知识点1等边三角形的性质1．下面关于等边三角形的说法不正确的是()A．等边三角形的三条边都相等B．等边三角形的三个内角都相等且都等于60°C．等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴D．等边三角形与等腰三角形具有相同的性质2．如图13－3－29，△ABC为等边三角形，AC∥BD，则∠CBD的度数为()图13－3－29A．30°B．60°C．120°D．180°3．如图13－3－30，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一条直线上，点G，F分别在AC，GD上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________°.图13－3－304．如图13－3－31所示，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，E为AC上的一点，且AE＝AD，求∠EDC的度数．图13－3－315．如图13－3－32所示，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BFD的度数．图13－3－32知识点2等边三角形的判定6．下列四个说法中，正确的有()①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于60°的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．A．0个B．1个C．2个D．3个7．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图13－3－33①，衣架杆OA＝OB＝18 cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图②，则此时A，B两点之间的距离是________ cm.图13－3－338．2018·嘉兴已知：如图13－3－34，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．图13－3－349．如图13－3－35，D是等边三角形ABC的边AC上的一点，E是等边三角形ABC外一点，若BD＝CE，∠1＝∠2，则对△ADE的形状描述最准确的是()图13－3－35A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．三边都不相等的三角形10．已知直线l1∥l2，将等边三角形按图13－3－36所示的方式放置．若∠α＝40°，则∠β＝________°.图13－3－3611．如图13－3－37，用圆规以直角顶点O为圆心，适当长为半径画一条弧交两直角边于A，B两点，若再以点A为圆心，OA长为半径画弧，与弧AB交于点C，则∠AOC＝________°.图13－3－3712．如图13－3－38，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE.求证：AE∥BC.图13－3－3813．如图13－3－39所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AC延长线上的一点，且CE＝CD，AD＝DE.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)如果把AD改为△ABC的中线或高(其他条件不变)，请你判断(1)中的结论是否依然成立．(不要求证明)图13－3－3914．如图13－3－40，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点P的速度是1 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动．设运动时间为t(s)，当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由．图13－3－40教师详解详析1．D2．C [解析] 在等边三角形ABC 中，∠ACB ＝60°.∵AC ∥BD ，∴∠CBD ＋∠ACB ＝180°.∴∠CBD ＝120°.3．15 [解析] ∵△ABC 为等边三角形，∴∠ACB ＝60°.∵CG ＝CD ，∴∠CDG ＝12∠ACB＝30°.∵DE ＝DF ，∴∠E ＝12∠CDG ＝15°.4．[解析] 先求出∠DAE ＝30°，∠AED ＝∠ADE ＝75°，结合∠EDC ＝∠AED －∠C 可求．解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC ＝∠C ＝60°. ∵AD 是BC 边上的中线， ∴∠DAE ＝12∠BAC ＝12×60°＝30°.∵AE ＝AD ，∴∠ADE ＝∠AED ＝12×(180°－∠DAE)＝12×(180°－30°)＝75°. ∵∠AED ＝∠EDC ＋∠C ，∴∠EDC ＝∠AED －∠C ＝75°－60°＝15°. 5．解：(1)证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC ＝∠C ＝60°，AB ＝CA.在△ABE 和△CAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CA ，∠BAE ＝∠C ，AE ＝CD ，∴△ABE ≌△CAD. (2)∵△ABE ≌△CAD ， ∴∠ABE ＝∠CAD.∵∠BFD ＝∠ABE ＋∠BAD ，∴∠BFD ＝∠CAD ＋∠BAD ＝∠BAC ＝60°. 6．D7．18 [解析] ∵OA ＝OB ＝18 cm ，∠AOB ＝60°， ∴△AOB 是等边三角形． ∴AB ＝OA ＝OB ＝18 cm.8．证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ， ∴∠AED ＝∠CFD ＝90°. ∵D 为AC 的中点， ∴AD ＝CD.在Rt △ADE 和Rt △CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，DE ＝DF ，∴Rt △ADE ≌Rt △CDF(HL)． ∴∠A ＝∠C. ∴BA ＝BC.又∵AB ＝AC ， ∴AB ＝BC ＝AC. ∴△ABC 是等边三角形．9．C [解析] ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝AC.在△ABD 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠1＝∠2，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS)． ∴AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°. ∴△ADE 是等边三角形．10．20 [解析] 如图，过点A 作AD ∥l 1，则∠BAD ＝∠β.∵l 1∥l 2，∴AD ∥l 2. ∴∠DAC ＝∠α＝40°. ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC ＝60°，∴∠β＝∠BAD ＝∠BAC －∠DAC ＝60°－40°＝20°.11．60 [解析] ∵用圆规以直角顶点O 为圆心，适当长为半径画一条弧交两直角边于A ，B 两点，∴OA ＝OB.∵以点A 为圆心，OA 长为半径画弧，与弧AB 交于点C ， ∴OA ＝OC ＝AC.∴OA ＝OB ＝OC ＝AC.∴△AOC 为等边三角形．∴∠AOC ＝60°.12．证明：∵△ABC 和△CDE 均是等边三角形，∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠BCA ＝∠DCE ＝60°.∴∠BCA －∠ACD ＝∠DCE －∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE.在△DBC 和△EAC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，DC ＝EC ，∴△DBC ≌△EAC(SAS)．∴∠DBC ＝∠EAC.又∵∠DBC ＝∠ACB ＝60°，∴∠ACB ＝∠EAC.∴AE ∥BC.13．解：(1)证明：∵CD ＝CE ，∴∠E ＝∠CDE.∴∠ACB ＝2∠E.∵AD ＝DE ，∴∠E ＝∠DAC.∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAC＝2∠DAC＝2∠E.∴∠ACB＝∠BAC.∴AB＝BC.又∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC.∴△ABC是等边三角形．(2)当AD为△ABC的中线或高时，(1)中的结论依然成立．14．解：△BPQ是等边三角形．理由：当t＝2时，AP＝1×2＝2(cm)，BQ＝2×2＝4(cm)．∴BP＝AB－AP＝6－2＝4(cm)．∴BQ＝BP.∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.∴△BPQ是等边三角形．。