人教版高中数学必修一《集合间的基本关系》ppt课件
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集合间的基本关系ppt课件
( B
A.2
)
B.3
C.4
【解析】集合M满足M ⫋ {1，2}，集合{1，2}的元素个数为2，
则满足题意的M的个数为22 − 1 = 3．
D.5
例3-7 已知集合A = {x ∈ | − 2 < x < 3}，则集合A的所有非空真子集的个数是
( A
)
A.6
B.7
C.14
D.15
【解析】A = {x ∈ | − 2 < x < 3} = {0，1，2}，
图形语言：
符号语言：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B
例如：A＝{x|x是两条边相等的三角形}
B＝{x|x是等腰三角形}
B (A)
2、集合相等
一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的
任何一个元素都是集合A的元素，此时集合A与集合B中的元素是一样的，那
么集合A与集合B相等，记作：A＝B．
【解析】B = {1，2，4，8}，可知集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，故
A ⫋ B.用Venn图表示更加直观，如图1.2-8.
图1.2-8
（2）A = {x| − 1 < x < 5}，B = {x|0 < x < 5};
【解析】在数轴上表示出集合A，B，如图1.2-9所示，由图可知B ⫋ A.
方法1 （列举法） 满足条件的集合有：{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，共6个.
方法2 （公式法） 集合A的元素个数为3，则集合A的所有非空真子集的个数为
23 − 2 = 6．
高考题型1 集合间关系的判断
例10 指出下列各组集合之间的关系：
（1）A = {1，2，4}，B = {x|x是8的正约数}；
A.2
)
B.3
C.4
【解析】集合M满足M ⫋ {1，2}，集合{1，2}的元素个数为2，
则满足题意的M的个数为22 − 1 = 3．
D.5
例3-7 已知集合A = {x ∈ | − 2 < x < 3}，则集合A的所有非空真子集的个数是
( A
)
A.6
B.7
C.14
D.15
【解析】A = {x ∈ | − 2 < x < 3} = {0，1，2}，
图形语言：
符号语言：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B
例如：A＝{x|x是两条边相等的三角形}
B＝{x|x是等腰三角形}
B (A)
2、集合相等
一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的
任何一个元素都是集合A的元素，此时集合A与集合B中的元素是一样的，那
么集合A与集合B相等，记作：A＝B．
【解析】B = {1，2，4，8}，可知集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，故
A ⫋ B.用Venn图表示更加直观，如图1.2-8.
图1.2-8
（2）A = {x| − 1 < x < 5}，B = {x|0 < x < 5};
【解析】在数轴上表示出集合A，B，如图1.2-9所示，由图可知B ⫋ A.
方法1 （列举法） 满足条件的集合有：{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，共6个.
方法2 （公式法） 集合A的元素个数为3，则集合A的所有非空真子集的个数为
23 − 2 = 6．
高考题型1 集合间关系的判断
例10 指出下列各组集合之间的关系：
（1）A = {1，2，4}，B = {x|x是8的正约数}；
高中数学人教A版必修一第一章1.1.2集合间的基本关系课件(共22张PPT)
我如们果就 A ⊆说B这，两但个存集在合x 有B包，含且关x系，A称，集称合集A合为A集是合集B合的B子的集真.子集. B(2=)、{1,A2=,3{1,4,5,5,7}；}, B={1,2,3,5,7}； B={2,4,6,8}； B(4=)、{2,A4=,6{1,8,4}；,5,6}, 判(2)断、下A=列{1两,5个,7集}, 合B之={间1,2的,3关,5系,7}.；
(3)、A={2,4,6,8}, B(4=)、{2,A4=,6{1,8,4}；,5,6},
B(2=)、{2,A4=,6{1,8,5}；,7}, B={1,2,3,5,7}； 集(2)合、AA中={任1,5意,7一}, 个B元=素{1,，2,都3,5是,7集}；合B中的元素，
B={2,4,6,8}； 判(3)断、下A=列{2两,4个,6集,8}合, 之间的关系.
(3)、A={2,4,6,8}, 我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集. 判断下列两个集合之间的关系. B={2,4,6,8}； 一个集合是它本身的子集. 若A ⊆B,B ⊆A,则A=B 思考：空集是不是任何集合的真子集？ (3)、A={2,4,6,8}, (3)、A={2,4,6,8}, B={2,4,6,8}； (3)、A={2,4,6,8},
(2)、A={1,5,7}, B={1,2,3,5,7}；
① A≠B
联系：AA⊆⊆BB 区别
② A=B
(3)、A={2,4,6,8}, B={2,4,6,8}；
(1)、 A={1,3,5,7}， B={1,2,3,4,5,6,7,} ；
(2)、A={1,5,7}, (3)、A={2,4,6,8}, B={1,2,3,5,7}；
(2)、A={1,5,7}, B={1,2,3,5,7}； (3)、A={2,4,6,8},
(3)、A={2,4,6,8}, B(4=)、{2,A4=,6{1,8,4}；,5,6},
B(2=)、{2,A4=,6{1,8,5}；,7}, B={1,2,3,5,7}； 集(2)合、AA中={任1,5意,7一}, 个B元=素{1,，2,都3,5是,7集}；合B中的元素，
B={2,4,6,8}； 判(3)断、下A=列{2两,4个,6集,8}合, 之间的关系.
(3)、A={2,4,6,8}, 我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集. 判断下列两个集合之间的关系. B={2,4,6,8}； 一个集合是它本身的子集. 若A ⊆B,B ⊆A,则A=B 思考：空集是不是任何集合的真子集？ (3)、A={2,4,6,8}, (3)、A={2,4,6,8}, B={2,4,6,8}； (3)、A={2,4,6,8},
(2)、A={1,5,7}, B={1,2,3,5,7}；
① A≠B
联系：AA⊆⊆BB 区别
② A=B
(3)、A={2,4,6,8}, B={2,4,6,8}；
(1)、 A={1,3,5,7}， B={1,2,3,4,5,6,7,} ；
(2)、A={1,5,7}, (3)、A={2,4,6,8}, B={1,2,3,5,7}；
(2)、A={1,5,7}, B={1,2,3,5,7}； (3)、A={2,4,6,8},
1.2 集合间的基本关系-(新教材人教版必修第一册)(38张PPT)
1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0} 关系的Venn图是( )
B [解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{ 0,1} ，易得N M，其对应的 Venn图如选项B所示．]
子集、真子集的个数问题 【例2】 已知集合M满足：{1,2} M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有 的可能情况．
[解] (1)若 A B，则集合 A 中的元素都在集合 B 中，且 B 中有不 在 A 中的元素，则 a>2.
(2)若 B⊆A，则集合 B 中的元素都在集合 A 中，则 a≤2. 因为 a≥1， 所以 1≤a≤2.
谢谢~
3．在具体情境中，了解空集的含义．(难 解，培养数学运算素养.
点)
自主预习 探新知
1．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观． (2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合．
2．子集、真子集、集合相等的相关概念
都是
A＝B
A⊆B
B⊇A
A≠B
AB
BA
思考1：(1)任何两个集合之间是否有包含关系？ (2)符号“∈”与“⊆”有何不同？ 提示：(1)不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就 没有包含关系． (2)符号“∈”表示元素与集合间的关系； 而“⊆”表示集合与集合之间的关系．
[思路点拨] B＝{x|m＋1≤x≤2m－1} ――分―B结＝―合― ∅和 数―B轴―≠―∅→ 列不等式组 ―→ 求m的取值范围
[解] (1)当B＝∅时， 由m＋1>2m－1，得m<2. (2)当B≠∅时，如图所示．
m＋1≥－2，
∴2m－1<5， 2m－1≥m＋1
m＋1>－2，
或2m－1≤5， 2m－1≥m＋1，
人教版高中数学必修一《集合间的基本关系》ppt课件
(6)对于集合A、B、C，如果 A B且B C，那么A C.
13
练习： 判断集合A是否为集合B的子集，若是则在（ ）里打 “√”，若不是则在（ ）里打“×”:
① A 1,3,5, B 1, 2,3, 4,5,(√ ) ② A 1,3,5, B 1,3,6,9 ( × )
m+1≥-2
2m-1≤7 ，解得2＜m≤4,
m+1＜2m-1
综上:m≤4.
22
1.本节课的知识网络：
子集 AB
空集 （）
相等 AB
真子集 A B
性质
性质
23
2.回顾本节课你有什么收获？ （1）子集：A B 任意x∈A，则x∈B.
（2）真子集: A B A B，
但存在 x0 ∈B且 x0 A. （3）集合相等：A＝B AB且BA.
解：A 1,3
(1)当 a 0时, B 满足 B A .
(2)当 a 0
时，B
1 a
.
若 B A ，则 1 1 或 1 3 .
a
a
即 a 1 或 a 1 .
综上
a
0或
1
3
或
1
.
3
18
设集合 A 1, a,b, B a, a2, ab ，
提升总结： 写集合子集的一般方法：先写空集，然后按照集合 元素从少到多的顺序写出来，一直到集合本身. 写集合真子集时除集合本身外其余的子集都是它的 真子集.
16
写出集合 a,b,c 的所有子集，并指出它的真子集.
解：集合{a,b,c}的所有子集为 ,a,b,c, a,b,
13
练习： 判断集合A是否为集合B的子集，若是则在（ ）里打 “√”，若不是则在（ ）里打“×”:
① A 1,3,5, B 1, 2,3, 4,5,(√ ) ② A 1,3,5, B 1,3,6,9 ( × )
m+1≥-2
2m-1≤7 ，解得2＜m≤4,
m+1＜2m-1
综上:m≤4.
22
1.本节课的知识网络：
子集 AB
空集 （）
相等 AB
真子集 A B
性质
性质
23
2.回顾本节课你有什么收获？ （1）子集：A B 任意x∈A，则x∈B.
（2）真子集: A B A B，
但存在 x0 ∈B且 x0 A. （3）集合相等：A＝B AB且BA.
解：A 1,3
(1)当 a 0时, B 满足 B A .
(2)当 a 0
时，B
1 a
.
若 B A ，则 1 1 或 1 3 .
a
a
即 a 1 或 a 1 .
综上
a
0或
1
3
或
1
.
3
18
设集合 A 1, a,b, B a, a2, ab ，
提升总结： 写集合子集的一般方法：先写空集，然后按照集合 元素从少到多的顺序写出来，一直到集合本身. 写集合真子集时除集合本身外其余的子集都是它的 真子集.
16
写出集合 a,b,c 的所有子集，并指出它的真子集.
解：集合{a,b,c}的所有子集为 ,a,b,c, a,b,
人教版高中数学新教材必修第一册课件：1.2 集合间的基本关系(共16张PPT)
1.2集合间的基本关系
新课引入
两个集合之间的关系
思考
实数有相等关系、大小关系， 如5＝5，5＜7，5＞3，等等， 类比实数之间的关系，你会想 到集合之间的什么关系？
讲
课
人
：
邢
启 强
2
新课引入
仔细观察，认真思考
观察下面几个例子，你能发现两个集合之间 的关系吗？集合之间的元素有怎样的关系?
⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5}; 若a∈A，则a∈B
④A={a,b,c,d},
B={d,b,c,a}
(√ )
启 强
11
深化应用
灵活应用，提升素养
例2、已知集合A＝{x|ax－1＝0}，B={1,2}，且
A B，求实数a的值。 a=0 或 a=1 或 a= 1 2
练习：设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x-a≥0} 若A是B的真子集，求实数a的取值范围。
BA
讲 课 人
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
：
邢
启 强
16
⑵设A为滕州一中高一女生的全体组成的集合,
B为滕州一中高一学生的全体组成的集合;
因为集合A是集合B的一部分,因此有:
若a∈A，则a∈B
⑶ 设A＝{x|x是两条边相等的三角形}，B={x|x是
等腰三角形}.
讲 课 人 ：
若a∈A，则a∈B，反之也成立
邢
启 强
3
学习新知
用心体会，理解记忆
1．子集的概念
讲
课
人
：
邢
启 强
10
当堂达标
练习巩固 提高能力
判断集合A是否为集合B的子集，
新课引入
两个集合之间的关系
思考
实数有相等关系、大小关系， 如5＝5，5＜7，5＞3，等等， 类比实数之间的关系，你会想 到集合之间的什么关系？
讲
课
人
：
邢
启 强
2
新课引入
仔细观察，认真思考
观察下面几个例子，你能发现两个集合之间 的关系吗？集合之间的元素有怎样的关系?
⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5}; 若a∈A，则a∈B
④A={a,b,c,d},
B={d,b,c,a}
(√ )
启 强
11
深化应用
灵活应用，提升素养
例2、已知集合A＝{x|ax－1＝0}，B={1,2}，且
A B，求实数a的值。 a=0 或 a=1 或 a= 1 2
练习：设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x-a≥0} 若A是B的真子集，求实数a的取值范围。
BA
讲 课 人
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
：
邢
启 强
16
⑵设A为滕州一中高一女生的全体组成的集合,
B为滕州一中高一学生的全体组成的集合;
因为集合A是集合B的一部分,因此有:
若a∈A，则a∈B
⑶ 设A＝{x|x是两条边相等的三角形}，B={x|x是
等腰三角形}.
讲 课 人 ：
若a∈A，则a∈B，反之也成立
邢
启 强
3
学习新知
用心体会，理解记忆
1．子集的概念
讲
课
人
：
邢
启 强
10
当堂达标
练习巩固 提高能力
判断集合A是否为集合B的子集，
高中必修一数学第一章集合间的基本关系ppt课件-人教版
高中数学
[导入新知] 子集的概念
任意一个
包含
A⊆B B⊇A
高中数学
⊆ ⊆
高中数学
[化解疑难] 对子集概念的理解
(1)集合 A 是集合 B 的子集的含义是：集合 A 中的 个元素都是集合 B 中的元素，即由 x∈A 能推出 x∈B.例 ⊆{－1,0,1}，则 0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．
(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与 列顺序无关.
高中数学
真子集 [提出问题] 给出下列集合： A＝{a，b，c}，B＝{a，b，c，d，e}． 问题1：集合A与集合B有什么关系？ 提示：A⊆B. 问题2：集合B中的元素与集合A有什么关系？ 提示：集合B中的元素a，b，c都在A中，但元素d，e不
高中数学
[导入新知] 集合相等的概念
如果集合 A 是集合 B 的 子集 (A⊆B)，且集合 B A 的 子集 (B⊆A)，此时，集合 A 与集合 B 中的元素 的，因此，集合 A 与集合 B 相等，记作 A＝B .
高中数学
[化解疑难] 对两集合相等的认识
(1)若 A⊆B，又 B⊆A，则 A＝B；反之，如果 A＝ ⊆B，且 B⊆A.这就给出了证明两个集合相等的方法，即 ＝B，只需证 A⊆B 与 B⊆A 同时成立即可．
(2)若 A 不是 B 的子集，则 A 一定不是 B 的真子集
高中数学
空集 [提出问题] 一个月有32天的月份组成集合T. 问题1：含有32天的月份存在吗？ 提示：不存在． 问题2：集合T存在吗？是什么集合？ 提示：存在，是空集．
高中数学
[导入新知]
空集的概念
定义 我们把 不含任何元素 的集合，叫做空
1 理解教 材新知
1.1.2
[导入新知] 子集的概念
任意一个
包含
A⊆B B⊇A
高中数学
⊆ ⊆
高中数学
[化解疑难] 对子集概念的理解
(1)集合 A 是集合 B 的子集的含义是：集合 A 中的 个元素都是集合 B 中的元素，即由 x∈A 能推出 x∈B.例 ⊆{－1,0,1}，则 0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．
(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与 列顺序无关.
高中数学
真子集 [提出问题] 给出下列集合： A＝{a，b，c}，B＝{a，b，c，d，e}． 问题1：集合A与集合B有什么关系？ 提示：A⊆B. 问题2：集合B中的元素与集合A有什么关系？ 提示：集合B中的元素a，b，c都在A中，但元素d，e不
高中数学
[导入新知] 集合相等的概念
如果集合 A 是集合 B 的 子集 (A⊆B)，且集合 B A 的 子集 (B⊆A)，此时，集合 A 与集合 B 中的元素 的，因此，集合 A 与集合 B 相等，记作 A＝B .
高中数学
[化解疑难] 对两集合相等的认识
(1)若 A⊆B，又 B⊆A，则 A＝B；反之，如果 A＝ ⊆B，且 B⊆A.这就给出了证明两个集合相等的方法，即 ＝B，只需证 A⊆B 与 B⊆A 同时成立即可．
(2)若 A 不是 B 的子集，则 A 一定不是 B 的真子集
高中数学
空集 [提出问题] 一个月有32天的月份组成集合T. 问题1：含有32天的月份存在吗？ 提示：不存在． 问题2：集合T存在吗？是什么集合？ 提示：存在，是空集．
高中数学
[导入新知]
空集的概念
定义 我们把 不含任何元素 的集合，叫做空
1 理解教 材新知
1.1.2
新教材人教A版第一章1.2集合间的基本关系课件(21张)
高中数学 必修第一册 RJ·A
课堂小结
1．对子集、真子集有关概念的理解 (1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是 判断A⊆B的常用方法． (2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时， 则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素． (3)在真子集的定义中，A、B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. 2．集合子集的个数 求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的 子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－ 1个真子集，有2n－2个非空真子集． 3．涉及字母参数的集合关系问题，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
✖✔✖✖ ✔
✔
✖
✔
✖✖✔✖ ✔
✖
✔
✔
✖✖✖✔ ✖
✔
✔
✔
∅{
{ { {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3}
1} 2} 3}
高中数学 必修第一册 RJ·A
随堂小测
1．集合A＝{－1,0,1}，A的子集中，含有元素0的子集共有( )
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个
解析 根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、
（1）A={1，2，3，4}，B={1，2，3} （2）集合A：高一全体学生，集合B：高一全体男生 （3）集合M：所有等腰三角形，集合N：所有等边三角形
可以发现，在（1）（2）（3）中的两个集合A和B，集合B中的 每一个元素都是集合A中的元素，我们就说集合A包含集合B，或者说 集合B包含于集合A。像这样，对于两个集合A，B，如果集合B中任意 一个元素都是集合A中的元素，就称集合B为集合A的子集，
【人教版】高中数学必修一：《集合间的基本关系》课件PPT
如果 A B，但存在元素 x B且x A ，则
称集合A是集合B的真子集.
思考4:如果集合A是集合B的真子集，我们怎 样用符号表示？
A B或 B A
思考5:若集合A是集合B的子集，则集合A一 定是集合B的真子集吗？若集合A是集合B的 真子集，则集合A一定是集合B的子集吗？
知识探究（二）
考察下列集合： （1）{x|x是边长相等的直角三角形}； （2）{x R | x2 1 0} ； （3）{x R || x | 2 0} .
14个
作业:
P7练习： P12习题1.1A组：
2. 5（2）,（3）.
思考题:已知集合A={x R | x2 ax 1 0} ,
B={x|x<0},若A B,求实数a的取值范围.
思1:上述三个集合有何共同特点？ 集合中没有元素
思考2:上述三个集合我们称之为空集，那么 什么叫做空集？用什么符号表示？
不含任何元素的集合叫做空集，记为
思考3:对于集合A={1，2}，空集是集合A的 子集吗？
规定：空集是任何集合的子集
思考4:空集与集合{0}相等吗？二者之间是
什么关系？ {0}
例2 设集合 A {x | mx 1 0}，B {1, 2}，若
A B，求实数m的值.
m=0或 1 或-1
2
例3 已知集合 A {x | 2x 1 1}，
3
B {x | x 2a 0} ,若A B，求实数a的取值范
围.
a 1
例4 已知集合A {x,1}，B {y,1, 2}，其 中 x, y {1, 2, ,9} ，设集合M {(x, y) | A B} 试确定集合M中共有多少个元素.
考察下列两组集合： （1）集合A={1，2，3，4}与 B {x N || x | 5}
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本的知识来发展和增进每个学习者的思考
力。
——列宁
25
B={x|m+1＜x＜2m-1}，若B⊆A,求实数m的取值范围. 分析：若B⊆A,则B=Ø或B≠Ø,故分两种情况讨论. 解：当B=Ø时,有m+1≥2m-1,得m≤2,
当B≠Ø时,有
m+1≥-2
2m-，1≤解7得2＜m≤4,
m+1＜2m-1
综上:m≤4.
22
1.本节课的知识网络：
子集 AB
空集 （）
A B (或B A )
读作：“A含于B”(或“B包含A”) 符号语言：任意x A，有x B, 则 A B
5
Venn图表示集合的包含关系
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表 集合，这种图称为Venn图.
A B
BA
6
探究点2 集合相等
（1)A＝｛x｜x是三条边相等的三角形｝，
B＝｛x｜x是三个内角相等的三角形｝.
相等 AB
真子集 A B
性质
性质
23
2.回顾本节课你有什么收获？ （1）子集：A B 任意x∈A，则x∈B.
（2）真子集: A B A B，
但存在 x0 ∈B且 x0 A. （3）集合相等：A＝B AB且BA. （4）性质: ①A，若A非空， 则 A.
②AA. ③AB，BCAC.
24
我们不需要死读硬记，我们需要用基
1.1.2 集合间的基本关系
1
1.了解集合间包含关系的意义； 2.理解子集、真子集的概念和意义；（重点） 3.理解空集的含义；（难点） 4.会判断简单集合的包含关系.（难点）
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集合与集合 之间呢？
实数有相等关系 如：5=5
实数有大小关系 如：5<7,5>3
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探究点1 子集
观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？ ①A={1,3,4}, B={1,2,3,4,5};
(6)对于集合A、B、C，如果 A B且B C，那么A C.
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练习： 判断集合A是否为集合B的子集，若是则在（ ）里打 “√”，若不是则在（ ）里打“×”:
① A 1,3,5, B 1, 2,3, 4,5,(√ ) ② A 1,3,5, B 1,3,6,9 ( × )
③A={0}, B x x2 2 0 ( × )
②A＝｛x｜x是两条边相等的三角形｝， B＝｛x｜x是等腰三角形｝；
③ A x x2 1 0 , B x x 2.
①、②中集合Ａ中的每一个元素都是集合Ｂ中的元素； ③中A集合中没有元素.
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子集 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一
个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包 含关系，称集合A为集合B的子集.记作：
Ü
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1.2.（教材P7第2，3题）
3.在以下六个写法中
①{0}∈{0，1}
② ⊆{0}
③{0，－1，1}{－1，0，1}
④ {1, 2} {1}，{2}，{1, 2}
⑤ ⊆{}
⑥{(0，0)}＝{0}.
错误个数为( A )
（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个
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4. (2012·锦州高一检测）已知集合A={x|-2≤x≤7},
解：A 1,3
(1)当 a 时0, B满足 . B A
(2)当 a 时0，
B
.
1 a
若 B ，A则 或1 1. 1 3
a
a
即 a 或1 a. 1
综上 a 或0 或1. 31
3
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设集合 A 1, a,b, B a, a2, ab ，
若 A B，求实数 a, b的值.
解：由
即： Ü B，(B )
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注意：1.任何集合都是它本身的子集，
即 A A 恒成立.
2.若 A B, B C ,那么 A C .
思考： A x x2 1 0 , B x x 2
集合A是集合B的子集吗？
是，因为A为∅，∴ A B
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子集的有关性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A. (2)对于集合A、B、C，如果A B且B C，那么A C. （3）对于集合A、B、C，如果A 苘B且B C，那么A ? C. （4）对于集合A、B、C，如果A 苘B且B C，那么A C. （5）对于集合A、B、C，如果A B且B 苘C，那么A C.
（2）集合B中含有不属于集合A的元素.
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探究点3 真子集
如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x A,我们称集
合A是集合B的真子集．
记作：A 茌B（或B A）.
读作：“A真含于B（或“B真包含A”).
BA
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空集
我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 ， 并规定：空集是任何集合的子集
空集是任何非空集合的真子集.
a2
或1,
ab b.
a2 b, ab 1.
得
a b
或1,
0.
（ba 舍11,去. ）.
所以 a 1,b 0.
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深化概念
1.包含关系 a A与属于关系 a A有什么区别？
前者为集合与集合之间的关系，后者为元素与集合之间的 关系.
2.集合 A Ü B与集合 A B 有什么区别 ？
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写出集合 a,b,c 的所有子集，并指出它的真子集.
解：集合{a,b,c}的所有子集为 ,a,b,c, a,b,
a, c,b, c,.a, b, c
真子集为 ,a,b,c, a,b, a, c,b, c.
一般地，若集合A含有n个元素，则A的子集共有2n个， A的真子集共有2n-1个.
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例2 已知 A x x2 2x 3 0 , B x ax 1 0 ，若B A, 求实数a的值．
④A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a} ( √ )
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例1 写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的 真子集.
解：集合{a，b}的所有子集为：，{a}，{b}，{a，b}. 真子集为： ,{a}，{b}.
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提升总结： 写集合子集的一般方法：先写空集，然后按照集合 元素从少到多的顺序写出来，一直到集合本身. 写集合真子集时除集合本身外其余的子集都是它的 真子集.中的元素和集合B中的元素相 同．
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集合相等
如果集合A是集合B的子集（A⊆B),且集合B是集
合A的子集（B⊆A），此时，集合A与集合B中的元素
是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作 A=B
符号语言：若A B, B A，则A B.
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探究点3
（2）A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5}; AB