有理数的混合运算C(教师)

(3)括号前带负号，去括号后要将括号内的各项都要变号，即 ．
5．科学记数法
把一个数写成 （其中 ， 是正整数）的形式，这种记数法称为科学记数法．
【注意】(1)科学记数法是一种特定的记数方法，应明白其中包含的基本原理及其结构，即要掌握 形式的结构特征： ， 为正整数，且 值等于原数的整数位数减1．
(2)在把用科学记数法表示的数还原为原数时，根据其基本原理和结构，把 的小数点向右移动 位， 中数字不够时，用 补足．
(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
【注意】(1)在加、减、乘、除、乘方这几种运算基本掌握的前提下，学习混含运算，首先应注意的就是运算顺序的问题．
(2)通常把六种基本的代数运算分成三级：第一级运算是加和减，第二级运算是乘和除，第三级运算是乘方和开方（以后学习）．运算顺序的规定是先算高级运算，再算低级运算，同级运算在一起，按从左到右的顺序计算．对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的．
教学内容
【知识点梳理】
1．有理数的乘方定义
求 个相同因数的积的运算，叫做乘方．乘方运算的结果叫幂．
一般地， ， 叫做底数， 叫做指数， 叫做幂。
读作“ 的 次幂”或读作“ 的 次方”．
【注意】(1)乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法运算），幂是乘方运算的结果．
(2)一个数可以看作是这个数本身的一次方，例如5就是 ， 就是 ，指数是1通常省略不写．
【方法总结】在实际问题中，经常对药对一些数位上的数进行取舍，有的要求进行四舍五入，有的则按生活及生产实际进行取舍，千万不能遇 及 以上的数就入，遇 以下的数就舍．
【随堂练习】
1．计算： ．
【答案】1．
2．计算： ．
【答案】原式＝ ．
3．若 ，则 ．
【答案】由题意知 得 ，代入原式可求结果为：0．
4．如果 那么 的值为．
(2)
【借题发挥】
比较下面各对数的大小：
___ ； ； ．
【解析】＜；＞；＞．
【例6】比较 与 的大小．
【分析】二者是用科学记数法表示的数，一方面可以把它们化成原数，通过比较原数大小来比较这两个数的大小；另一方面也可以把它化为相同指数，通过比较前面数（即 ）的大小来比较二者大小．
【解析】解法一： ，
7．（1） .（2） .
（3） .（4） .
（5） .
（6） .
【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6）
8．利用乘方的有关知识确定 的末两位数字．
【答案】
9．已知“三角” 表示运算“ ”，“正方形” 表示的运算是“ ”，试计算 的值．
【答案】原式＝ ．
9．计算： ．
【答案】原式＝ ．
10．光年是天文学中使用的距离单位，指的是光在真空中经历一年所走的距离，若真空中光的速度为 千米／秒，用科学记数法表示l光年是多少？（1年按 天计算）
2．有理数幂的符号法则
(1)正数的任何次幂都是正数．
(2)负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．
(3)特别地， ．
【注意】“负幂”与“负数的幂”区别：“负幂”例如 表示 的相反数，其结果为负数．“负数的幂”例如 ，结果要看指数，即负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数．
3．有理数的混合运算
一个算式里含有有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中的两种或两种以上的运算，称为有理数的混合运算．
学科教师辅导讲义
年 级：预初 科 目：数学 课时数：3
课 题
有理数的混合运算
教学目的
1．熟练应用有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，掌握有理数的运算顺序，正确地进行有理数的混合运算；
2．理解科学记数法的意义，会用科学记数法表示绝对值较大的数，并能比较大小；
3．能将所学知识联系起来应用，进行综合计算．
【答案】已知： 千米／秒， （秒）．
由 （千米）．
所以，l光年是 千米．
11．阅读下列解题过程：
计算：
解：
（第一步）
（第二步）
（第三步）
回答：
（1）上面的解题过程中有两个错误，第一处是第步，错误的原因是；
第二处是第步，错误原因是．
（2）正确的结果是．
【答案】（1）二，乘除为同一等级的计算，没有按照从前往后的顺序求解；（2）三，负数乘以负数得到正数，题中为负数．（2） ．
① ___ ；② ____ ；③ ；④ ____ ；⑤ ；…
(2)从第(1)题的结果经过归纳，可以猜想出 和 的大小关系是．
(3)根据上面归纳猜想后得到的一般结论，试比较下面两个数的大小：
．
【解析】经计算与分析可推出结论：当 时， ＜ ；当 时， ＞ ．
(1)①＜；②＜；③＞；④＞；⑤＞(2)当 时， ＜ ；当 时， ＞ (3)＞．
．
因为 ,所以
即 ．
【借题发挥】
1．试比较 的大小．
【解析】因为： ，则 ，即 ．
2．你能比较 和 的大小吗？
为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较 和 的大小（ 是自然数）．然后，我们从分析 …这些简单情形人手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．
(1)通过计算．比较下列各组中两个数的大小（填“>”，“<”或“ ”）．
【借题发挥】
的个位数是， 的个位数是，
的个位数是， 的个位数是．
【解析】3,9,7,1．
【例5】怎样比较 ， ， 的大小呢？
【解析】本题如果通过硬算，数字太大，不可能，因此要观察此三个数的特点，经观察，我们发现55、44、33存在着最大公因数11，不妨利用这一点以及乘方的定义来入手解题．具体过程如下：
【借题发挥】
计算： 、 ．
【解析】 ．
．
【例2】计算： ．
【分析】根据有理数的混合运算法则进行计算，分清计算的先后顺序，还要注意去括号的时候要注意符号．
【解析】
．
【借题发挥】
计算：
【解析】原式＝
【例3】已知 ， ，求 的值．
【分析】把 ， 的值分别代入要求的式子，按有理数混合运算顺序进行计算．
【解析】把 ， 代入 ，得
【分析】幂的个位上的数字3、9、7、l交错重复出现，即每隔四个数，个位数字就重复一次，所以用251除以4所得的余数来确定．
【解析】
(1)
9
27
81
(2)个位上的数字为3、9、7、1交错重复出现．
(3) 的个位数是7，因为 除以4的余数是3．是重复出现时的第三个数．
【方法总结】此类题一般都是通过写出一些简单的幂，通过这些幂的结果总结出末位出现数字的种类及循环规律，进一步把指数按循环数进行分解，通过剩余指数求得最后答案．
【课堂总结】
【课后作业】
一、填空题
1． ．
2． ．
3． ．
4． ．
5． ．
6． ．
7．若 、 互为倒数， 、 互为相反数， ，则 ．
8．一个数用科学记数法表示为 ，则它是位整数．
二、选择题
9．下列公式计算正确的是（）
A． B．
C． D．
10．计算 的值是（）
A．1 B． C． D．
11．下列各组数中，相等的一组是( )．
.
又 ,
．
解法二： ,
又 ，
．
【方法总结】解法一是常规方法，但书写起来很麻烦，易出现错误；方法二较巧妙地转化了 ，容易比较大小．
【借题发挥】
试比较： 和 ．
【解析】 ．
【例7】定义“ ”“ ”两种运算，对于任意的两个数 、 ，都有 ， ．求 [( ) ( )]的值．
【分解】按规定的“ ”与“ ”进行各自的运算，运算时先算士括号里的，再算中括号里的．
【解析】由 ， ，得
[( ) ( )]
[( ) ( )]
( ) ( )
．
【方法总结】此类题按规定的运算关系进行计算，首先要读懂表达式的含义，会套用公式，计算时注意符号关系及准确性外，还要注意运算的先后顺序．
【借题发挥】
“△”表示一种新的运算符号，其意义是对于任意 ， 都存在 △ ，如果 △ △ ,则 ．
【解析】由 △ ，得 △ △ ,即 ，则 ，所以 ．
【例8】若 尺布可做 件上衣，则 尺布能做多少件这样的上衣？
【解析】第题按计算 件，但实际情况是只能做 件，所以 只能舍，不能入；
【借题发挥】若每条船能载 个人，则 个人需要几条船？
【解析】按计算 ，但实际情况是 条船不够，需要4条船，所以 在这里应该入，取4．
(2)仿照第(1)小题的计算方法计算：
【答案】
1．－11 2．21 3．1 4．2 5．－281.2 6．－7 7．－1 8．
9．D 10．D 11．C
12．(1)
(2)
(3)
(4)
13．(1)
(2)
(3)
(4) .
14．(1)一昼夜 小时是 （秒）
(2) ＝
15．原式＝
【典型例题讲解】
【例1】计算： ．
【分析】直接进行各自的乘方运算非常困难，但根据乘方的意义可得 ．共2007个2相乘，
利用乘法交换律和结合律，把2007个2与 结合在一起相乘，利用互为倒数即可求出数值．
【解析】
．
【方法总结】此题主要应用互为倒数、乘法运算律及乘方的意义进行计算，事实上我们不难发现 ，当 与 互为倒数时，其值为1．计算时要注意符号的问题．多加理解与练习，最好能达到一看题目就可以得出结果的程度．
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
12．用合理的方法计算：
(1) ；(2) ；
பைடு நூலகம்(3) ；(4) ；
13．计算：
（1） ；（2） ；