浅谈无理函数不定积分的求解方法

摘要：我们将自变量包含在根式之下的函数称为无理函数。这样的特点使得无理函数不定积分，在通常情况下求解较为复杂。对于一个无理函数来说，大多数情况下，较常见的情况是同一个无理函数有多个求不定积分的方法，如何从多种不定积分求解方法中选出最优的解法，就是一个我们需要考虑的问题了。

本文旨在将以往的无理函数不定积分求解方法进行综述，探讨各个方法在求解上的应用与具体使用过程。同时，总结了对一些常见的无理函数不定积分类型的常用解法。为无理函数不定积分的求解提供一种思路。

关键字：无理函数不定积分计算方法

Abstract:We usually call the function which have one or more arguments under the radical as irrational function. The feature of irrational function makes the irrational function integral become tough problem for we to solve. For an irrational function, in most cases, the more common situation is the same irrational function with multiple indefinite integral method. So, how to select an optimal solution from a variety of indefinite integral method, is a problem that we need to consider.

This article aims to past the irrational function of indefinite integral solution method to carry on the summary, discusses the application of various methods on solving the use with specific process. At the same time, summarizes the irrational function of some common indefinite integral types of commonly used method. In order to provide a way to solve the irrational function indefinite integral problems.

key words:irrational function indefinite integral method

1.无理函数不定积分的求解方法

通常情况下，我们对无理函数不定积分的求解通常都会先对无理函数部分做前置处理工作。对无理函数全体构成无理函数域，我们通常用大体两种思想进行变换求解：有理化，或分离法。这两种思想，若即若离，经常混合使用。在这之下细化为四种变形：

1.由函数单调性，及其定义域直接求解；

2.利用基本不等式限定求解；

3.利用三角函数变换求解；

4.利用转换给定区间二次函数值域问题求解；

从这四种细分的无理函数值域问题求解方式上，我们不难看出：平方法和换远法，这两者都是将无理函数转化为有利函数来求解；分离常数法和分离有界变量法，这两者都是通过将无理函数积分分解为可知范围有理函数积分的方法来求解的。

那么，我们就来看，由这两种思想主导的这几种方法，在无理函数不定积分求解上的方法变形与延伸：

1.1凑微分法

凑微分法，根据字面意思来看，就是视图通过对现有可用积分（即已知结果的积分）的知识，来通过拼凑组合的方式来实现对原有积分格式的变形。形成我们可以利用已知结果积分求解的格式。此方法的关键是根据被积函数的特点来寻找合适于题目的积分，并通过适当的方式来凑出该积分的原函数变形。

例1：求解积分

(0)x >

解：21112d ??- ?

==原式

C C ==+

上面这道例题，我们就通过将原式中的

将式子中的3dx x 单独拿出来并与积分中的dx 共同构成3211dx dx d x x ??

=- ???

，使得我们能够将

211x ??- ???

看作一个整体，以便于使用已知积分111a a dx a C x x --=-+?来对原式进行求解。 1.2倒变换法

倒变换法常用于解决一些能够通过自变量假设取反，即1x u -=这种形式，化成第一种解法的题目来使用。这种变换其实可以认为是第一种方法，凑微分法的一种变形。但是，需要注意的是，使用这种方法后，一定要将原式中的dx 也做相应的代换，否则，将会导致结果错误。同时，使用这种方法还需要注意的是，在用替换后的变量计算得出结果后，不要忘记将原变量替换回来，否则也会造成结果错误。

例2

：求解积分

解：令1x u -=，则21

dx du u =-

()1

241u udu u --==?原式

()()()3

1222

111123

u u d u C ----=-=+?

()3

13x C x

-=-

上面这道题，我们发现单纯从原式来看，题目是比较难以解决的。但是，如果我们使用1x u -=，将原函数中的自变量x 替换掉，则原式就变为了第一种情况的11

1a a dx a C x x --=-+?这中已知函数格式，那么，接下来的解题过程变不再麻烦。所以，本例中首先使用自变量倒换，来实现原函数化简。 1.3根式变换法

除了上面这两种换原积分思想外，我们在面对一些无理函数不定积分根式的时候，常常也会将有特点的根式进行换原代换，来完成简化原函数为已知有理函数不定积分形式。这种方法常常会用于一些根式特点明显，且多次重复出现的情况，我们来看例题：

例3

：求解积分解：令6x t =，则56dx t dt =

523261611t dt t t dt t t t ?

?=-+- ?+=??

=??原式

6ln 132t t t t

C ??

-+-++ ???

(6ln 1C ++=

很明显，这种方法也可以看作是凑微分法的变形。

x t =，并依次来对原函数变形。将原函数转化为5326t dt t t +?，结合分部积分的思想（即拆

分，总结随后，此处只是利用分部积分的思想），来对原函数进行简单拆分，求解。 1.4分部积分法

分部积分，顾名思义就是将原函数拆开为各个部分，来分别进行积分的过程。分部积分法主旨，就是通过将原函数拆分为一个一个的可单独求解积分，通过对每一个小块的积分的求解求和，来得到原函数积分对应结果。这种方法一般都会利用公式

udv uv vdu =-??，来完成需求。通常用于分母中出现()2

x a ±，且分子较为复杂的时候使用。

例4：求解积分

1x +

解：11x ??

- ?+??

=原式

1d x +=

ln 1x C =++ 例题4中，通过对原函数的观察，我们发现原函数具有分子复杂，分母满足()

x a ±形式。由此，我们可以推断，该函数一定可以使用分部积分方法化简。我们取

u ()2

11v x =+，则11dv d x ??

=- ?+??。随后调用公式udv uv vdu =-??即可。

1.5分项积分法

所谓分项积分的方法，便是通过对被积函数各项的适当拆分，来将其化为分部积分的无理函数不定积分求解方法。这种方法可以看作是分部积分方法的变形。通常情况下，当分母仅仅含有一个因式，或者说近景是一个因式的幂方的时候，我们为了将其分子凑

成该因式的组和，常常会对分子进行适当的操作（一般为加减，但不局限于加减）来对其进行变形，以便于分部积分。

例5：求解积分2

解：

原式

x C ?

=++

上例中，我们发现原函数分母为根号中包含自变量幂方且与分子配套的形式，符合使用分项积分法的条件。我们为了使分子构成分母根号下部分，我们对分子进行加减一

个单位的操作，使得原式变为2

。进而进行拆分求解操作。

2.用欧拉代换法求解无理函数不定积分

2.1欧拉代换法

欧拉代换是一种比较复杂的代换思想及数学操作。欧拉代换的一般形式主要是对常见二次三项式2ax bx c ++的运算。

通常情况下，我们将二次三项式2ax bx c ++分为一下几种情况进行讨论： 1.若0a >

t ±；

2.若0c >

xt ；

3.若20ax bx c ++=有两个相异实根1x 和2x 时，我们设()21ax bx c t x x ++=-或

()2t x x -

，则t =

t =根据这几种分法，我们一般解题时，首先需要做的一步就是判断对应复杂二次三项式2ax bx c ++无理函数不定积分的所属类型。然后再根据具体的情况，选取三种类型中的合适者，进行解题。

下面，我们来看例题：

例6

：求解积分解：2223ax bx c x x ++=+-，其中10a =>，我们取第一种欧拉变换

x t =-，则有()2321t x t +=-，()22

2321t t dx dt t --=- 则：

()()()

222332121t t t t t t --+=-=---

()()()()()

23212132123t t t t dt t t t t ----=??+----?原式

223dt C t ==++?

C =

上面这种做法，是我们通过10a =>条件直接判断，采用第一种情况对应做法来完成该复杂二次三项式2ax bx c ++无理函数不定积分求解的。但是，通过仔细观察我们发

现，上面这道题目中2223ax bx c x x ++=+-可以拆分为()()31x x -+，即原二次三项式

223x x +-有两个相异实根。那么，除采用第一种情况下的解题技巧外，我们还可以使

用第三种情况下的解题技巧。

下面，我们来看使用第三种情况下解题技巧，来解答本题：

解：()()222331ax bx c x x x x ++=+-=-+有相异实根3x =与1x =-，我们取第三

种欧拉变换。

令()2

231ax bx c x x t x ++=+-=+

，则t =22

31t x t +=- 有：

()

281t

dx dt t =

41t

t =

- 则：

()2222221181

23431t t t dt dt t t t

t --=??=++-??原式

C =+

C =

通过上面的运算，我们发现，欧拉变换法解决复杂无理函数不定积分，需要判断并使用对应方法这点，有些过于复杂。经过我们的分析，这是由于我们对具体的欧拉变换过程中，涉及的各个参数过于细化所造成的。那么，我们能够找得到一种统一的方法来描述欧拉变换法解决二次三项式2ax bx c ++，就是简化欧拉变换法解决问题的关键了。

2.2欧拉代换法的变式解法

为了使格式统一，我们这里重新假设变量：

当2ax bx c ++有两个相异实根1x 和2

x 时，()1t x x =-或()2t x x -；当2ax bx

c ++xt c

=±

t =

+；

(R x dx ?

型无理函数不定积分积分都是可以使用欧拉代换，化为对应有理函数积分来解决的。从本质上来讲，这两个式子是统一则通式的不同表现而已，本质都是有欧拉变换推广而来。由此，我们下面给出证明：

(

R x dx ?

，任意一点0x ，200..0s t ax bx c ?=++≥，将

?带入原式，有：

()0t x x =- (1)

对(1)两边同时平方，我们有：

(

)()()2

2220000ax bx c t x x x x ax bx c ++=-±-+++

经过整理后，我们有：

(

)200

x t b ax x x t a t ±---==

- (2) 那么，我们将整理好后的(2)式带入原式中，则有：

(()

(()'R x dx R x t x t dt =??

为t 的相应有理函数积分形式。

由(1)可知：

当2ax bx c ++有两个相异实根1x 和2x 时，我们取0x 为这两个实根中的一个。则代入(1)式中我们会发现，(2)式和才用欧拉代换所得相异实根抢矿下结果一致；

当2ax bx c ++无实根时，我们取00x =。则代入(1)式中我们会发现，(2)式所对应变换化简结果与欧拉变换对应无实根情况下结果一致；

由上我们可得，(1)(2)式即为通用代换公式，为我们在解题过程中提供了一种不用分析对应情况的统一解题方法。

例

7：求解积分

解：当1x =时， 22110x -=>

()11t t =-+，对它做两边平方，并整理代换有： 222

2224122t t t x t t -+--==+--

224

12t x t --=-，()()22

2422t t dx dt t -+

422t t t -+=-

则：

()()222

2222422224422t t t t dt t t t t -+--=??--+-?原式 ln 22

t C t ==-+-?

C =+

我们发现，如果用原本的欧拉代换法的话，本题在解决上会较为繁琐。通过本例，我们也发现了改进后统一欧拉代换法的必要性。

例8：求解积分

解：当1x =时，

10=>

()1t t =- 对它做两边平方，并整理代换，有：

t t c x a t -++-=-

()()

()22

221t c a a dx dt a t ---+=-

()()22

111t c a t a

t t a t

+--+=-+=- 则：

()()()222222221211t c a t a a t a t dt t t c t c a t a a t ??+--+--??=??

-++-+--+-?原式

()

21dt c t =--?

当0

c >

时，'c =+原式当0c =时，2

'1c t =+-原式当0c <

时，'c =+原式其中：

)

t x =

上例中原函数?

，我们发现其中的a 、c 均为未知数。且如果

采用原有欧拉代换法，由()21ax a c c +--+推出的判别式()2

14a c ac ?=---符号无法确定。

当1a =，且1c =时，()2

1430a c ac ?=---=-<；当1a =，且1c =-时，()21450a c ac ?=---=>；

所以，单纯的判断，是无法判断出到底该选取欧拉代换法中的哪一种情况。因此，导致无法不经过讨论就直接选取到合适的情况解题。这时，就体现出了改进欧拉代换法的有点。改进欧拉代换法不需要复杂判断，涵盖了以上标准欧拉代换法中的各种情况，

()0t x x =-±对原式进行替换，化简了求解过程。

3.常见无理函数不定积分

综上所述，总结了常用的无理函数不定积分求解方法，以及两种思路：有理化，分离法。在前文基础上，提供了一些常见无理函数不定积分的解题技巧。

常见的无理函数不定积分，我们主要有三类：

我们依次来看：

3.1

方法：令t()()

x t t b

==-，经过代换后带入，即可。

例9

：求解积分

t=，则

，

()2

tdt

有：

()

()()

t t

t t dt dt

=--?=-

原式

212ln1

dt x C

????

=-+=-+

-??

???

例10

：求解积分

t=，则61

t x

=+，5

dx t dt

有：

t d dt

t t t

=?=

原式

311

()

232

6162366ln1

t t dt dt t t t t C

=-+-=+++++

)

6ln1C

3.2

方法：令t =()n

n b dt x t ct a ?-==-，经过代换后带入，即可。

例11

：求解积分

解：设1sec 22t x +=，则211x t =-，()

2221tdt

dx t =- 有：

原式

1122x ==

又=

()211sec 1122sec tan sec sec 122tan 2t t tdt t t dt t +

=+??

ln 212

x C =+

代入原式，得：

ln 2124x x C =-

+++原式 3.3

第一种方法，欧拉变换法：

这种方法也是此类体最常用的方法，由于前文中详细阐述了该方法的应用，这里就不再赘述了。我们主要来看一下第二种不常见的取巧方法，该方法在有些情况下能够收到奇效。

第二种方法，配方法：

424b ac b ax bx c a x a a ??-??++=++?? ???????

记2b u x a =±，22

44ac b k a

-= 则代入2ax bx c ++，可使其化简为一下三种格式的其中一种：

()22a u k +、()22a u k -、()22a k u -

则，我们对应无理函数不定积分也可以转换为下列三种格式中的一种：

(R u du ?

、(R u du ?

我们对上述三种化简方式有着不同的处理过程分别设：

tan u k t =、sec u k t =、sin u k t =

然后带入对应格式中，即可化为有理函数不定积分求解。这里，我们拿前文中出现过的一道例题（例6），来比较说明一下这种方法：例12

：求解积分解：

1u x =-==原式

()2sec 2sec tan 2sec 12tan 2cos u

d d θθθθ

θθθθ==

=++??

tan

22222

11321t t dt dt t t t θ

=+==-++

+??

2C C θ?==+??

C =

通过采用配方法（凑微分和换元思想的具体应用）对上面这道例题的再次计算，我们发现，和原有欧拉变换法比较而言，这种方法从字面上看相对简练，但是需要用到多次换远，因此容易混淆。建议在可行的情况下，还是采取欧拉变换法进行计算。

致谢：

此文得以完成，凝聚了许许多多老师、同学、朋友，亲人的心血和关爱！在我即将完成学业之际，谨向五年来给与我无私帮助、支持，关心和呵护过我的所有老师、同学、朋友、亲人致以最诚挚的谢意！

感谢罗永贵老师，罗老师作为我的论文指导老师在本文的撰写过程中给予我大量的指导和帮助，花费了很多心血.尤其是在调研报告、方法研究、论文撰写等各个环节给予我的指导和帮助。

感谢我的同窗好友们，四年来朝夕共处的日子里，是他们给了我最大的温暖和感动，感谢他们在我论文写作过程中提出的宝贵建议和帮助。论文写作过程中借鉴和引用了许多学界前辈的观点和论据，向他们表示感谢！最后，特别感谢参加论文评审的各位老师！参考文献

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不定积分解题方法及技巧总结

不定积分解题方法及技巧总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

? 不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。关键词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分）设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1111)'ln )1(ln(+-=-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2)ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 ) ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法：

常见不定积分的求解方法

常见不定积分的求解方法的讨论马征指导老师：封新学摘要介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法，并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。关键词不定积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。 The discussion of common indefinite integral method of calculating Ma Zheng Abstract there are four solutions of indefinite integration in this discourse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly. Key words Indefinite integration,exchangeable integration, parcel integration.

0引言不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 ?-x k dx 22sin 1（其中10<

几种特殊类型函数的积分

几种特殊类型函数的积分一、有理函数的不定积分 1.化有理函数为简单函数两个多项式的商所表示的函数)(x R 称为有理函数，即 m m m m m n n n n n b x b x b x b x b a x a x a x a x a x Q x P x R ++++++++++= =------122110122110)()()( （1）其中n 和m 是非负整数；n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 都是实数，并且 0,000≠≠b a ．当（1）式的分子多项式的次数n 小于其分母多项式的次数m ，即m n <时，称为有理真分式；当m n ≥时，称为有理假分式．对于任一假分式，我们总可以利用多项式的除法，将它化为一个多项式和一个真分式之和的形式．例如 1 2)1(11222 4+++-=+++x x x x x x ．多项式的积分容易求得，下面只讨论真分式的积分问题．设有理函数（1）式中m n <，如果多项式)(x Q 在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积： μλβα)()()()()(220s rx x q px x b x a x b x Q ++++--= ．其中s r q p b a ,,,,,,, 为实数；042<-q p ，…，042<-s r ；,,,βα μλ,, 为正整数，那末根据代数理论可知，真分式) () (x Q x P 总可以分解成如下部分分式之和，即 β ααα)()()()() (1121b x B a x A a x A a x A x Q x P -++-++-+-=- λ ββ) ()(21 112q px x N x M b x B b x B ++++-++-+ - μλλλ)()(21121222s rx x S x R q px x N x M q px x N x M ++++ ++++++++++ - s rx x S x R s rx x S x R +++++++++ -2 122 2)(μμμ ．（2）

不定积分的解题方法与技巧

不定积分的解题方法与技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

一．直接积分法（公式法）利用不定积分的运算性质和基本积分公式直接求出不定积分二．第一类换元法 1.当遇到形如? ++c bx ax dx 2 的不定积分，可分为以下三种情况：（1）当0>?时，可将原式化为()()21x x x x --，其中，21,x x 为c bx ax ++2的两个解，则原不定积分为： ()()()()()?? ? ?? ?------=--??? 221112211 x x x x d x x x x d x x x x x x dx ()C x x x x x x +---= 2 1 12ln 1 （2）当0=?时，可利用完全平方公式，化成() () ? --2 k x k x d 。然后根据基本积分公式即可解决。（3）当0

浅谈无理函数不定积分的求解方法

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不定积分求解方法毕业论文设计

学号 14121401576 Hunan Institute of Science and Technology 本科毕业论文题目：关于不定积分解题思路的探讨作者何宇届别2017 系别数学学院专业数学与应用数学指导教师罗德仁职称讲师完成时间2017年5月

关于不定积分解题思路的探讨 On the resolving idea of indefinite integral 专业:数学与应用数学作者:何宇指导老师:罗德仁湖南理工学院数学学院二○一七年五月岳阳

摘要不定积分是求定积分的基础, 在一元微积分学中占有重要地位. 学好不定积分, 对于导数和微分学中其他相关知识的巩固很有帮助. 求解不定积分常用的方法主要有: 基本公式法, 换元积分法, 分部积分法, 有理函数的积分法. 如何快速找到解题的突破口, 灵活使用各类方法是关键. 我们从被积函数的特点出发, 从易到难, 对不定积分进行多角度的观察和分析, 比较各类积分法, 发现和总结规律, 提高不定积分解题能力. 关键词: 不定积分; 基本公式法; 换元积分法; 分部积分法; 有理函数的积分法

Abstract Indefinite integral is the foundation of definite integral, i t occupies an important position in unitary differential calculus. Grasp the solving methods of indefinite integral is helping to derivative and other relevant knowledge. S everal methods of solving i ndefinite integral are f requently used, such as basic formula method, change the variable, integration by parts, primitives of rational functions. What matters is how to quickly find the ideas of subject and flexibly use various method. We observed and analysised the indefinite integral multi-angle, on the characteristics of integrand, from simple to difficult, compare various methods, sum up the laws, improve solving ability of the indefinite integral problem . Keywords:indefinite integral; basic formula method; change the variable; integration by parts;integration by parts primitives of rational functions

不定积分求解方法及技巧

不定积分求解方法及技巧小汇总摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。一．不定积分的概念与性质定义1如果F（x）是区间I上的可导函数，并且对任意的x∈I，有F’(x)=f(x)dx则称F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数。定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即存在可导函数F（x），使得F（x）=f(x)（x∈I）简单的说就是，连续函数一定有原函数定理2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，则（1）F（x）+C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数；（2）f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。定义2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F（x）+C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为?f(x)d(x),即?f(x)d(x)=F(x)+C 其中记号?称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数。性质1设函数f(x)和g(x)存在原函数，则?[f(x)±g(x)]dx=?f(x)dx±?g(x)dx. 性质2设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，则?kf(x)dx=k?

f(x)dx. 二．换元积分法的定理如果不定积分?g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[?(x)] ?’(x). 做变量代换u=?(x),并注意到?‘（x）dx=d?(x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分，于是有?g(x)dx=?f[?(x)] ?’(x)dx=?f(u)du. 如果?f(u)du可以积出，则不定积分?g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。定理1 设F(u)是f(u)的一个原函数，u=?(x)可导，则有换元公式?f[?(x)] ?’(x)dx=?f(u)du=F(u)+C=F[?(x)]+C. 第一类换元法是通过变量代换u=?(x),将积分?f[?(x) ?’(x)dx化为?f(u)du.但有些积分需要用到形如x=?(t)的变量代换，将积分?f(x)dx化为?f[?(t)] ?’(t).在求出后一积分之后，再以x=?(t)的反函数t=?1-(X)带回去，这就是第二类换元法。即 . ?f(x)dx={?f[?(t)] ?’(t)dt})(1X =? t- 为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数t=?1-（x）存在的条件，给出下面的定理。定理2 设x=?(t)是单调，可导的函数，并且?‘（t）≠0.又设f[?(t)] ?’(t)具有原函数F（t）,则?f(x)dx=?f[?(t)] ?’(t)dt=F(t)+C=F[?1-(x)]+C

74简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分

§7.4简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分一、简单无理函数的不定积分对被积函数带有根号的不定积分，它的计算是比较麻烦的。但对某些特殊情况，我们可通过作变量替换，将其转化为有理函数的不定积分，这样就可以用上述的方法计算。下面总假设),(y x R 表示关于变量y x ,的有理函数。 1．??? ? ??++n d cx b ax x R ,型函数的不定积分。其中0≠-bc ad 解法：作变量替换n d cx b ax t ++=，即dt t dx t ct a b dt x n n )(,)(φφ'==--=,于是 []??'=??? ? ??++dt t t t R dx d cx b ax x R n )(),(,φφ，转化为有理函数的不定积分。例1．求 ?++dx x x x x 14 158217 1 分析：要把被积函数中的几个根式化为同次根式。 ()2 14 7 7 1x x x = = ，()7 14 2 1x x x = =，() 16 14 7 8 7 8x x x = = ，() 15 14 14 15x x = 作变量替换14x t =，即dt t dx t x 1314 14,==，就可以把原不定积分化为有理函数的不定积分。解：作变量替换14x t =，即dt t dx t x 1314 14,==，则 =++=?++=++???dt t t dt t t t t t dx x x x x 111414513 15167214 1582 1 71 例2．求 ? -?+-dx x x x 2 3 ) 2(1 22 解：设,223t x x =+- 则33122t t x +-=，dt t t dx 2 32 ) 1(12+-=，所以 ??? =-=+-???? ? ??+--?=-?+- dt t dt t t t t t dx x x x 323223323 1 43) 1(1212221)2(122 2．() c bx ax x R ++2,型函数的不定积分，其中042≠-ac b （即方程02 =++c bx ax 无重根）分两种情况讨论：（1）042 >-ac b 时，方程02 =++c bx ax 有两个不等的实数根α、β

不定积分求解方法

探讨不定积分的解题方法班级学号 20124111 2012411151 洁珊摘要在数学分析中，不定积分占有非常重要的地位，是高等数学教学的难点和重点．具有很高的灵活性，可以开拓学生的思路，培养学生灵活的思维能力，同时还存在一题多解的方法使学生能过做到举一反三、触类旁通的教学效果。为了正确使用各种积分方法求解不定积分，我们必须掌握它的概念和性质以及积分的基本公式，才能够在以后的解题中做题自如，进行同类迁移。研究不定积分要重在提高自己的逻辑思维能力、科学分析能力、运用数学语言能力、联想运算能力以及应用能力。求解不定积分的过程对学生的科学思维和文化素质的培养所起的作用极为明显。求解不定积分的方法主要有直接积分法（即直接利用积分公式求解）、换元积分法（第一换元积分法、第二换元积分法）、分部积分法。关键词不定积分、直接积分法、换元积分法、分部积分法、分解积分法。前言正如假发有逆运算减法，乘法有其逆运算除法一样，微分法也有它的逆运算——积分法。我们已经知道微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，相反：求一个未知函数使其导函数恰好是某

一已知函数。提出这个逆问题，首先是因为它出现在许多实际问题之中，如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点处的，求曲线方程等等这些都是积分在生活中的应用，特别是在物理学中的应用，变力做功，质点做变速直线运动的路程以及引力问题。所以掌握不定积分的求法，在我们的数学物理科学研究工作中显得尤为重要。标题一、直接积分法我们已经知道积分法是微分的逆运算，即直接积分法就是利用最基本的积分公式求解积分。要掌握这一方法首先就应该熟记，并懂得灵活运用。下面的基本积分表就必须掌握 1.0dx c =? 2adx ax c =+? 3. ()1 0,01 a a x x dx c a x a +=+≠>+? 4()1ln ||0dx x c x x =+≠? 5.x x e e c =+? 6.(0,1)ln x x a a dx c a a x =+>≠?

不定积分计算的各种方法论文.doc

不定积分计算的各种方法广东石油化工学院高州师范学院312数学（1）班梁多彬【摘要】本论文将要介绍常见的不定积分的各种计算方法以及某些特殊不定积分的求解方法，如：直接积分法（公式法）、分部积分法、换元积分法（第一换元积分法和第二换元积分法）、以及一些特殊函数的积分技巧与方法（有理函数的不定积分以及简单无理函数与三角函数的不定积分），并将结合例题探讨快捷方便的解题方法。【关键词】不定积分直接积分法分部积分法换元积分法有理函数不定积分简单无理函数与三角函数有理式的不定积分一、引言不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分，瑕积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的基础，掌握不定积分的计算方法对于学习这些后续内容具有重要意义。不定积分的解法不像微分运算有一定的法则，它需要根据不同的题型特点采用不同的解法，因此积分运算比起微分运算来，方法更多样，技巧性更强。下面将不定积分的各种计算方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。二、不定积分的概念定义：函数f(x)在区间I的所有的原函数()()R F∈ x C C +称为函数f(x)的不 ? 定积分，表为

?+=C x F dx x f )()( （)()('x f x F =，C 为积分常数）, 其中∫称为积分符号，x 称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，C 称为积分常数。在这里要特别注意：一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。列如： at at =??? ? ??' 221，而?+=C at atdt 221； () x x cos sin ' =,而?+=C x xdx sin cos ； 2 ' 331x x =??? ? ??，而?+=C x dx x 3231. 这也就是说： ()?)(d x f dx 和?dx x f )(' 是不相等的，即前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。三、不定积分的计算方法 1.直接积分法既然积分运算是微分运算的逆运算，那么自然地可以从导数公式得到相应的积分公式，并且我们把一些基本的积分公式列成一个表，这个表通常叫作基本积分表：（1）、?+=C ax adx ,其中a 是常数. ?+=C x dx . （2）、?++= +C x dx 11 1 x ααα，其中α是常数，且α≠-1. （3）、? +=C x x dx ln ,x ≠0. （4）、C a a dx a x x +=?ln 1 ,其中a>0，且a ≠1.

[全]高等数学之不定积分的计算方法总结[下载全]

高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:

樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶整 I—炉叶严山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法题型一:利用第一换元积分法求不定积分

分析: 1-3 ? - IK ）-忑.旦r x 二）祝成）；网＞＜可久切二2氐化如（長）寸 a 花不直押、朱 J 、解： 2少弋協“尤十C__

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当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx

不定积分公式

Ch4、不定积分 §1、不定积分的概念与性质 1、原函数与不定积分定义1：若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的原函数。 ① 连续函数一定有原函数； ② 若)(x F 为)(x f 的原函数，则C x F +)(也为)(x f 的原函数；事实上，())()()('' x f x F C x F ==+ ③ )(x f 的任意两个原函数仅相差一个常数。事实上，由[]0)()()()()()('2'1' 11=-=-=-x f x f x F x F x F x F ，得C x F x F =-)()(21 故C x F +)(表示了)(x f 的所有原函数，其中)(x F 为)(x f 的一个原函数。定义2：)(x f 的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为?dx x f )(，?-积分号，-)(x f 被积函数，-x 积分变量。显然C x F dx x f +=?)()( 例1、求下列函数的不定积分 ①?+=C kx kdx ②??????-=+-≠++=+1 ln 11 11 μμμμμ C x C x dx x 2、基本积分表（共24个基本积分公式） 3、不定积分的性质 ①[]???±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ②??≠=)0()()(k dx x f k dx x kf 例2、求下列不定积分 ①? ? +-=++-==+--C x C x dx x x dx 11)2(11 )2(22

②? ?+=++-= =+--C x C x dx x x dx 21 )21(1 1)21(21 ③?+-=??? ? ??+--C x x dx x x arctan 3arcsin 5131522 ④()()()C x e e x dx dx e dx x e x x x x +-=-=??? ? ?-???ln 21ln 2121ππππ ⑤()???++-=-=-C x x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 2 ⑥????++-=+=+=C x x xdx xdx dx x x x x x x dx tan cot sec csc cos sin cos sin cos sin 2 2222222 ⑦() ??+--=-=C x x dx x dx x cot 1csc cot 22 ⑧???++-=??? ? ?++-=++-=+C x x x dx x x dx x x dx x x arctan 3111111113222424 §2、不定积分的换元法一、第一类换元法（凑微分法） 1、()()()()b ax d a dx b ax d b ax f a dx b ax f +=++= +??1 ,1即例1、求不定积分 ①()C x udu u x x xd xdx +-===???)5cos(5 1 sin 51555sin 515sin ②()()()()??+--=+-+? -=---=-+C x C x x d x dx x 8177 72116 12117121)21(212121 ③()())20(arctan 111222C a x a a x a x d a x a dx +?? ? ??=+=+?? ④()() )23(arcsin 12 2 2 C a x a x a x d x a dx +?? ? ??=-=-? ? 2、()()n n n n n n dx dx x dx x f n dx x x f == --??11,1即例2、求不定积分 ①( )() () () C x C x x d x dx x x +--=+-+?-=---=-+??2 32 12 12 212 2 12 2 13 1 11 121112 1 1

不定积分解题方法及技巧总结剖析

? 不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。关键词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分）设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1 111)'ln )1(ln(+- =-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2 )ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 )ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法：设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式 ??=dt t t f dx f )(')]([x)(??

简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分

简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分一、简单无理函数的不定积分对被积函数带有根号的不定积分，它的计算是比较麻烦的。但对某些特殊情况，我们可通过作变量替换，将其转化为有理函数的不定积分，这样就可以用上述的方法计算。下面总假设),(y x R 表示关于变量y x ,的有理函数。 1．??? ? ??++n d cx b ax x R ,型函数的不定积分。其中0≠-bc ad 解法：作变量替换n d cx b ax t ++=，即dt t dx t ct a b dt x n n )(,)(φφ'==--=,于是 []??'=??? ? ??++dt t t t R dx d cx b ax x R n )(),(,φφ，转化为有理函数的不定积分。例1．求 ?++dx x x x x 14 158217 1 分析：要把被积函数中的几个根式化为同次根式。 ()2 14 7 7 1x x x = = ，()7 14 2 1x x x = =，() 16 14 7 8 7 8x x x = = ，() 15 14 14 15x x = 作变量替换14x t =，即dt t dx t x 1314 14,==，就可以把原不定积分化为有理函数的不定积分。解：作变量替换14x t =，即dt t dx t x 1314 14,==，则 =++=?++=++???dt t t dt t t t t t dx x x x x 111414513 15167214 1582 1 71 例2．求 ? -?+-dx x x x 2 3 ) 2(1 22 解：设,223t x x =+- 则33122t t x +-=，dt t t dx 2 32 ) 1(12+-=，所以 ??? =-=+-???? ? ??+--?=-?+- dt t dt t t t t t dx x x x 323223323 1 43) 1(1212221)2(122 2．() c bx ax x R ++2,型函数的不定积分，其中042≠-ac b （即方程02 =++c bx ax 无重根）分两种情况讨论：（1）042 >-ac b 时，方程02 =++c bx ax 有两个不等的实数根α、β

有理函数的不定积分

§7.3 有理函数的不定积分 (一) 教学目的：会求有理函数的不定积分． (二) 教学内容：化有理假分式为有理真分式, 拆分为分项分式, 有理函数的不定积分． (三) 教学建议：通过讲练结合,掌握拆分分项分式, 从而掌握求有理函数不定积分的方法. 有理函数是指两个多项式的商表示的函数 m m m n n n b x b x b a x a x a x Q x P ++++++=-- 110110)()( 其中n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 为常数，且00≠a ，00≠b 。如果分子多项式)(x P 的次数n 小于分母多项式)(x Q 的次数m ，称分式为真分式；如果分子多项式)(x P 的次数n 大于分母多项式)(x Q 的次数m ，称分式为假分式。利用多项式除法可得，任一假分式可转化为多项式与真分式之和。例如： 1 111223++=+++x x x x x 因此，我们仅讨论真分式的积分。先介绍代数学中两个定理：定理1 （多项式的因式分解定理）任何实系数多项式)(x Q 总那个可以唯一分解为实系数一次或二次因式的乘积： v s l k h rx x q px x b x a x b x Q )()()()()(220++++--= 定理2 （部分分式展开定理） v v v s l l k k h rx x H x R h rx x H x R h rx x H x R q px x Q x P q px x Q x P q px x Q x P b x B b x B b x B a x A a x A a x A x Q x P )()() ()()()()()()()()()(222222112112222211221221++++++++++++++++++++++++++++-++-+-++-++-+-=

不定积分求解方法

探讨不定积分的解题方法班级学号姓名 20124111 2012411151 杨洁珊摘要在数学分析中，不定积分占有非常重要的地位，是高等数学教学的难点和重点．具有很高的灵活性，可以开拓学生的思路，培养学生灵活的思维能力，同时还存在一题多解的方法使学生能过做到举一反三、触类旁通的教学效果。为了正确使用各种积分方法求解不定积分，我们必须掌握它的概念和性质以及积分的基本公式，才能够在以后的解题中做题自如，进行同类迁移。研究不定积分要重在提高自己的逻辑思维能力、科学分析能力、运用数学语言能力、联想运算能力以及应用能力。求解不定积分的过程对学生的科学思维和文化素质的培养所起的作用极为明显。求解不定积分的方法主要有直接积分法（即直接利用积分公式求解）、换元积分法（第一换元积分法、第二换元积分法）、分部积分法。关键词不定积分、直接积分法、换元积分法、分部积分法、分解积分法。前言正如假发有逆运算减法，乘法有其逆运算除法一样，微分法也有它的逆运算——积分法。我们已经知道微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，相反：求一个未知函数使其导函数恰好是某

一已知函数。提出这个逆问题，首先是因为它出现在许多实际问题之中，如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点处的，求曲线方程等等这些都是积分在生活中的应用，特别是在物理学中的应用，变力做功，质点做变速直线运动的路程以及引力问题。所以掌握不定积分的求法，在我们的数学物理科学研究工作中显得尤为重要。标题一、直接积分法我们已经知道积分法是微分的逆运算，即直接积分法就是利用最基本的积分公式求解积分。要掌握这一方法首先就应该熟记，并懂得灵活运用。下面的基本积分表就必须掌握 1.0dx c =? 2 adx ax c =+? 3. ()1 0,01 a a x x dx c a x a +=+≠>+? 4()1 ln ||0dx x c x x =+≠? 5.x x e e c =+? 6.(0,1)ln x x a a dx c a a x =+>≠?

不定积分的解题方法与技巧

一．直接积分法（公式法）利用不定积分的运算性质和基本积分公式直接求出不定积分二．第一类换元法 1.当遇到形如 ? ++c bx ax dx 2 的不定积分，可分为以下三种情况：（1）当0>?时，可将原式化为 ()()21x x x x --，其中，21,x x 为c bx ax ++2 的两个解，则原不定积分为： ()()()()()?? ? ???------=--??? 221112211 x x x x d x x x x d x x x x x x dx ()C x x x x x x +---= 2 1 12ln 1 （2）当0=?时，可利用完全平方公式，化成 () () ?--2 k x k x d 。然后根据基本积分公式即可解决。（3）当0

三．分部积分法口诀：反对幂指三，谁后谁先微。意思是：反三角函数，对数函数，幂函数，指数函数，三角函数，谁在后面谁先被微分。分部积分法一般用于两个函数相乘且两个函数属于口诀中五种函数中的两个。四．有理函数的积分 1.形如 () k a -x 1 的有理函数，它所对应的部分分式是 ()()() k k 221a -x A a -x A a -x A +??++ 2.形如 () k q px ++2 x 1 的有理函数，它所对应的的部分分式是 ( )( ) () k 2 k k 2 22 2211x x x q px C x B q px C x B q px C x B ++++ ??+++++ +++ 3.非以上二者形式的有理函数，采取固定分项步骤（其实，就是上述两种方法的综合）：部分分式项数为原有理函数的分母整体的次数和。当部分分式分母次数为1时（指的是x 的次数，并非整体次数），拆开时，分子所设x 的次数相应减一。例如：当部分分式分母x 次数为1时，分子所设应为A ；当部分分式分母x 次数为2时，分子所设应为Ax+B 。上述三种方法解题时可用待定系数法或者特殊值法确定各未知量。 3.不能拆的时候，可采用凑微分的方法，将分子凑出分母的微分，再拆开求解。（这样的题用到arctan 和ln 很多）。 4．类似二次多项式常数形式，分母配方，使用arctan 。 5.带根号的，想办法无理化有理，要么三角代换，要么根号整体分式代换。 6.对于分母是多项式平方的有理分式，依然要配方，再凑微分。然后一步三角换元，所得各个三角量利用三角形，找出表达式。

不定积分解题方法及技巧总结

不定积分解题方法及技巧总结 Prepared on 24 November 2020

? 不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。关键词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分）设f(μ)具有原函数F(μ)。则其中)(x ?可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1111)'ln )1(ln(+-=-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2)ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 ) ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= 3.第二类换元法：设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。但当根号内出现高次幂时可能保留根号，（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。但当根号内出现高次幂时可能保留根号， 4.分部积分法. 公式：??-=νμμννμd d 分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取νμ、时，通常基于以下两点考虑：（1）降低多项式部分的系数（2）简化被积函数的类型举两个例子吧~！例3：dx x x x ? -?2 31arccos 【解】观察被积函数，选取变换x t arccos =,则例4：?xdx 2arcsin 【解】 ? ?--=dx x x x x x xdx 2 2 211arcsin 2sin arcsin 上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在??-=νμμννμd d 中，νμ、的选取有下面简单的规律：将以上规律化成一个图就是： ν