浅谈无理函数不定积分的求解方法
不定积分求解方法
不定积分求解方法一、引言不定积分是微积分中的重要概念之一，它是求解函数的原函数的过程。
在实际中，很多问题需要对函数进行积分，而不定积分方法可以帮助我们快速求解这些问题。
本文将介绍不定积分的定义、基本性质以及几种常见的不定积分求解方法。
二、不定积分的定义不定积分，又称原函数或积分函数，是求解函数的导数反函数的过程。
给定函数f(x)，如果存在函数F(x)，使得F’(x) = f(x)，则称F(x)为f(x)的一个原函数。
记作F(x) = ∫f(x)dx。
在不定积分中，dx表示对x进行积分，∫表示积分符号，f(x)为被积函数，F(x)为原函数。
三、不定积分的基本性质不定积分具有以下几个基本性质：1.线性性质：设f(x)和g(x)是两个可积函数，k为常数，则有∫(kf(x)+g(x))dx = k∫f(x)dx + ∫g(x)dx。
2.常数项积分为0：∫kdx = kx + C，其中C为常数。
3.积分的和差规则：∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx。
4.乘法常数规则：∫kf(x)dx = k∫f(x)dx，其中k为常数。
5.递推性质：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+C也是f(x)的原函数，其中C为常数。
四、不定积分的求解方法1. 基本积分法基本积分法是通过基本积分公式表和积分运算的基本性质来求解不定积分的方法。
常用的基本积分公式有：•基本初等函数的积分公式：如幂函数、指数函数、对数函数等的积分公式。
•基本三角函数的积分公式：如正弦函数、余弦函数、正切函数等的积分公式。
使用基本积分公式和积分运算的基本性质，可以将复杂的积分转化为简单的积分，从而求解不定积分。
2. 分部积分法分部积分法是一种通过积分的乘法法则将不定积分转化为另一种形式的方法。
设有两个可导函数u(x)和v(x)，则有公式∫u(x)v’(x)dx = u(x)v(x) -∫v(x)u’(x)dx。
62_4简单无理式、三角函数积分法
12
三、三角函数有理式的不定积分
由三角函数和常数经过有限次四则运算构成 的函数称为三角函数有理式.
一般记为 R(sin x , cos x) .
令 u tan x , 2
则 x 2arctan u ,
(万能代换公式)
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
u2 u2
,
dx
1
2 u2
du
R(sin x,cos x)dx
1 dt
3
(
t
1
1
1
t
)
dt
3 1 t 2 t ln 1 t C
2
2020/6/5
3
例2 求积分
1 dx.
x13 x1
解 令 t 6 x 1 6t5dt dx,
原式
t3
1
t2
6t 5dt
6
t 3 dt t 1
6
(t
2
t
1
t
1
) 1
dt
2t 3 3t 2 6t 6ln | t 1 | C
原式
b2
1 sin 2
x
dx
1 b2
cot
x
C
,
2020/6/5
19
(3) 当 a 0 , b 0 时 ,
原式
a2
sec2 x b2 tan2
x
dx
u tan x du
a2 b2u2
1 arctan( bu) C 1 arctan( b tan x ) C .
ab
a
ab
第二节 不定积分的计算(Ⅳ)
无理函数不定积分求解技巧的探究
无理函数不定积分求解技巧的探究无理函数不定积分求解是微积分中的重要内容，也是学习者较为困难的部分之一。
无理函数的不定积分求解需要掌握一定的技巧和方法，才能较为轻松地解决问题。
本文将从无理函数不定积分概念入手，探究求解技巧，并给出一些解题方法和实际例题，帮助读者更好地理解和掌握无理函数不定积分的求解方法。
一、无理函数不定积分的概念所谓无理函数不定积分，就是指含有无理函数的函数的不定积分。
无理函数是指分子或分母含有开方、平方根、立方根等形式的函数。
y = √(x + 1)、y = 1/(x^2 + 1)等就是无理函数。
在求解这类函数的不定积分时，需要注意一些技巧和方法。
1. 恰当的代换在求解无理函数不定积分时，恰当的代换是非常重要的一步。
通常可以根据被积式的形式选择合适的代换方法。
常用的代换包括：倒代换、三角代换、根号下代换等。
对于形如∫(x√(x^2 + 2))dx的不定积分，可以进行代换u = x^2 + 2，从而化简被积式，然后进行求解。
2. 分部积分法在求解无理函数不定积分时，有时候可以采用分部积分法。
分部积分法是求不定积分的一种方法，其基本原理是将被积式进行分解，然后利用分部积分的公式求解。
通过多次分部积分，可以将复杂的被积式化为简单的形式进行求解。
3. 有理化有理化是指将无理函数通过一定的运算，化为有理函数的形式。
在求解无理函数不定积分时，可以通过有理化的方法，将无理函数的被积式化为有理函数的形式，进而采用常规的积分方法求解。
4. 注意积分限在进行无理函数不定积分的求解时，需要注意积分限的改变。
有时候可以通过对积分限的调整，使得被积式的形式更加简单，进而容易求解。
三、实际例题解析1. 求解∫(2x/(x^2 + 4))dx对于这个无理函数不定积分，我们可以采用简单的有理化方法。
首先对分母进行化简：x^2 + 4 = (x + 2i)(x - 2i)，然后引入i^2 = -1，得到x^2 + 4 = (x - 2i)(x + 2i) = (x - 2i)(x + 2i)。
不定积分方法总结
A(a cos x b sin x) B(a cos' x b sin' x) 来做。 a cos x b sin x
sin x cos x 或 cos x sin x
。再用待定系数
简单无理函数的积分
一般用第二类换元法中的那些变换形式。
1 5 2 3 t t t c 5 3 1 (8 4 x 2 3 x 4 ) 1 x 2 c 15
例4
求
1 dx x ( x 7 2)
解：令 x 1 dx 1 dt 2
t t
1 t 1 x( x7 2) dx 1 7 ( t 2 )dt ( ) 2 t
1 arctan( x 2 ) c 2
例5
求
1 1 e x dx
1 ex ex ex 1 e x dx (1 1 e x )dx 1 dx d (1 e x ) x ln(1 e x ) c x 1 e
解法一：
1 1 e x dx
2 a （ 1 sin 2 t） a costdt
a
2
cos2 tdt
1 cos 2t a2 a dt 2 2
a2 1dt 2
cos 2tdt
a2 a2 1 t ( sin 2t ) c 2 2 2
sin t cost
x a a2 x2 a x a2 x2 a2
f ( x)dx [ f [ g (t )]g ' (t )dt]
t g 1 ( x )
例1
无理函数不定积分求解技巧的探究
无理函数不定积分求解技巧的探究作者：吴春来源：《赤峰学院学报·自然科学版》2019年第04期然无理函数的积分比较复杂，但还是有一定的规律可循.本文针对无理函数的特点，提供了无理函数积分的几种解题技巧.结果表明：该技巧对无理函数的不定积分具有较高的实用性和有效性.关键词：无理函数;积分;技巧中图分类号：O172.2; 文献标识码：A; 文章编号：1673-260X（2019）04-0017-03在数学分析和高等数学中，不定积分问题一直是困扰我们的一个难点，而且这部分学习的好坏，直接影响到定积分的学习.而在不定积分的学习过程中，无理函数的不定积分又是高等数学竞赛和考研数学中的常见题型，因此无理函数的不定积分在数学分析和高等数学中占着举足轻重的作用，但是在解决这类问题时，一是费脑，面对众多的方法，根本就不知道用哪种方法，二是根本就没有记得那么多的方法，以至于见题不会，而且，数学这种东西环环相扣，只要不定积分的问题不会，定积分问题与微分方程问题也都不可能达到精通，这就会极大的打击我们学数学分析和高等数学的积极性，因此，关于如何求解无理函数的不定积分是教师和学生共同关心的问题.在这里，本文针对常见的无理函数的不定积分进行了分类型的梳理和总结，希望对广大同学有所帮助.2 结语利用上述技巧计算无理函数的不定积分十分快捷、简便.但是在学习过程中，还需要学习者多练习，多巩固，才能真正掌握如何求解无理函数的不定積分.参考文献：〔1〕复旦大学数学系.数学分析第三版（上册）[M].北京：高等教育出版社，2006.274-275.〔2〕高解，杨安春.谈无理函数的不定积分[J].苏州教育学院学报，1997（1）：58-60.〔3〕华东师范大学数学系.数学分析第四版（上册）[M].北京：高等教育出版社，2010.197.〔4〕刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义第三版（上册）[M].北京：高等教育出版社，1992.307-310.〔5〕菲赫金哥尔茨·格·马.数学分析原理：第1卷，第2分册[M].丁寿田译.北京：人民教育出版社，1979.168-171.。
不定积分计算方法的应用与拓展
不定积分计算方法的应用与拓展不定积分是微积分中的重要概念，用于求解函数的原函数。
在实际应用中，不定积分的计算方法既有基本法则，又有一些特定的拓展方法。
本文将介绍不定积分的基本求解方法，并探讨其在数学和物理等领域的应用与拓展。
一、基本不定积分的求解方法不定积分计算方法主要包括直接求解、换元法、分部积分法和特殊函数法等。
以下将对这些方法逐一进行介绍。
1. 直接求解法直接求解法也叫常数法，是指根据不定积分的基本性质直接得出积分结果。
例如，在不定积分的计算中，可以利用幂函数积分的基本公式、三角函数积分的基本公式和指数函数积分的基本公式等进行计算。
2. 换元法换元法是指通过变量代换，将被积函数转化为对于新变量的函数，从而求得不定积分。
这种方法适用于被积函数中含有复合函数的情况。
常用的换元方法有正弦换元法、余弦换元法、指数换元法等。
3. 分部积分法分部积分法用于求解积分中含有乘积的函数积分。
它是利用乘积求导的链式法则，将原函数分解成两个函数的乘积形式，然后反复应用积分的基本公式进行计算。
4. 特殊函数法特殊函数法是指通过一些特殊函数的积分性质，来求解不定积分。
典型的例子有利用对数函数的积分性质来计算积分、利用反双曲函数的积分性质等。
这类方法需要对特殊函数的性质有一定的了解。
二、不定积分的应用与拓展不定积分在数学和物理领域有广泛的应用，下面将从函数图像、面积计算和微分方程等方面进行介绍。
1. 函数图像不定积分可用于确定函数的图像。
通过对函数进行积分，可以求得原函数，在函数图像上，不定积分是找到曲线与横轴之间的面积，可以帮助我们分析函数的性质和特点。
2. 面积计算利用不定积分的概念，可以求得曲线与坐标轴围成的面积。
当我们需要计算复杂曲线的面积时，可以通过将曲线分解为多个简单部分，然后分别计算其面积，并将结果累加得到整个曲线所围成的面积。
3. 微分方程微分方程是自然科学中广泛存在的数学模型。
不定积分在求解微分方程中发挥着重要的作用。
简单无理函数的不定积分方法小结
ａ ｘ 』 丽 １ ｄ ｏ （ ２ ＋ ＋ ｓ ）
画 出辅 助 三 角 形 ． 如 图 ｌ ｎ ｌ ｓ ｅ ｃ ｔ ＋ ｔ ａ ｎ ｔ ［ ＋ ｃ ＝ ｌ ｎ Ｉ 、 干 干 ＋ ｘ ＋ １ Ｉ ＋ ｃ
～
ｆ
ｊ １
， 吉 高 ＋ ｃ
若感觉三 角代换 步骤 太繁 ．以 下 两种情 况可避免使 用三 角代换。 （ １ ） 如 果被 积 函数 中恰含 （ ＋ ｂ ｘ ＋ ｃ ） 作为 因式 ，即可 直接 用凑微 分 法 ，
令ｘ ＋ １ ＝ ｔ ａ Ｉ １ ｔ ， 即ｘ ＝ ｔ ａ ｍ一 １ ， ｄ ｘ － ｓ ｅ ｃ Ｚ ｔ ａ ｔ 则
』 厕
一
＝ 』 告
ｄ ｔ
・ ㈠ ｝ ） ｄ ｔ
Ｊ 、 ／ ｆ Ｘ ＋ １ ） 。 ＋ １ ＝ Ｊ — ｓ ｓ ｅ ｃ ２ ｔ ｄ Ｆ 『 Ｊ Ｓ ｅ ｃ ｔ ｄ ｔ ＝ ｌ ｎ ｌ ｓ ｅ ｃ ｔ ＋ ｔ ｍ ｔ ’ ｌ ＋ ｃ
１ ． １ 被积 函数 为Ｖ 而 方法 ： 令 Ｖ ＝ ｔ
型（ 即被开方数最 高次数 为 １ ）
解 ： ｆ 未ｉａ ｘ 一ｄ ｘ ｘ一１
２ 南
Ｘ
Ｎ ／ ４ 。 （ 。 ２ 。 ’ ‘ ｘ 。 ’ － 。 ） ’ １ 。 ） — ￣
［ ２ ］ 王志平 ． 高等数学［ Ｍ］ ． 上 海： 上海交通大学 出版社 ， ２ ０ １ ２ ． ［ ３ 】 刘 玉琏 ， 傅 沛仁 ． 数 学分析讲 义［ Ｍ］ ． 北京 ： 高等教 育 出版
例４ 求 ｆ —— ＿ Ｌ
（ ｂ （
、 ／ ｘ ＋ ４ ｘ ＋ ５
解 ： 』
３ ４ Ｉ 学法教法 研究
一
ｆ
浅谈无理函数不定积分的求解方法.docx
浅谈无理函数不定积分的求解方法摘要：我们将自变量包含在根式之下的函数称为无理函数。
这样的特点使得无理函数不定积分，在通常情况下求解较为复杂。
对于一个无理函数来说，大多数情况下，较常见的情况是同一个无理函数有多个求不定积分的方法，如何从多种不定积分求解方法中选出最优的解法，就是一个我们需要考虑的问题了。
本文旨在将以往的无理函数不定积分求解方法进行综述，探讨各个方法在求解上的应用与具体使用过程。
同时，总结了对一些常见的无理函数不定积分类型的常用解法。
为无理函数不定积分的求解提供一种思路。
关键字：无理函数不定积分计算方法Abstract: We usually call the function which have one or more arguments under the radical as irrational function. The feature of irrational function makes the irrational function integral become tough problem for we to solve. For an irrational function, in most cases, the more common situation is the same irrational function with multiple indefinite integral method. So, how to select an optimal solution from a variety of indefinite integral method, is a problem that we need to consider.This article aims to past the irrational function of indefinite integral solution method to carry on the summary, discusses the application of various methods on solving the use with specific process. At the same time, summarizes the irrational function of some common indefinite integral types of commonly used method. In order to provide a way to solve the irrational function indefinite integral problems.key words：irrational function indefinite integral method1. 无理函数不定积分的求解方法通常情况下，我们对无理函数不定积分的求解通常都会先对无理函数部分做前置处 理工作。
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浅谈无理函数不定积分的求解方法摘要：我们将自变量包含在根式之下的函数称为无理函数。
这样的特点使得无理函数不定积分，在通常情况下求解较为复杂。
对于一个无理函数来说，大多数情况下，较常见的情况是同一个无理函数有多个求不定积分的方法，如何从多种不定积分求解方法中选出最优的解法，就是一个我们需要考虑的问题了。
本文旨在将以往的无理函数不定积分求解方法进行综述，探讨各个方法在求解上的应用与具体使用过程。
同时，总结了对一些常见的无理函数不定积分类型的常用解法。
为无理函数不定积分的求解提供一种思路。
关键字：无理函数不定积分计算方法Abstract:We usually call the function which have one or more arguments under the radical as irrational function. The feature of irrational function makes the irrational function integral become tough problem for we to solve. For an irrational function, in most cases, the more common situation is the same irrational function with multiple indefinite integral method. So, how to select an optimal solution from a variety of indefinite integral method, is a problem that we need to consider.This article aims to past the irrational function of indefinite integral solution method to carry on the summary, discusses the application of various methods on solving the use with specific process. At the same time, summarizes the irrational function of some common indefinite integral types of commonly used method. In order to provide a way to solve the irrational function indefinite integral problems.key words:irrational function indefinite integral method1.无理函数不定积分的求解方法通常情况下，我们对无理函数不定积分的求解通常都会先对无理函数部分做前置处理工作。
对无理函数全体构成无理函数域，我们通常用大体两种思想进行变换求解：有理化，或分离法。
这两种思想，若即若离，经常混合使用。
在这之下细化为四种变形：1.由函数单调性，及其定义域直接求解；2.利用基本不等式限定求解；3.利用三角函数变换求解；4.利用转换给定区间二次函数值域问题求解；从这四种细分的无理函数值域问题求解方式上，我们不难看出：平方法和换远法，这两者都是将无理函数转化为有利函数来求解；分离常数法和分离有界变量法，这两者都是通过将无理函数积分分解为可知范围有理函数积分的方法来求解的。
那么，我们就来看，由这两种思想主导的这几种方法，在无理函数不定积分求解上的方法变形与延伸：1.1凑微分法凑微分法，根据字面意思来看，就是视图通过对现有可用积分（即已知结果的积分）的知识，来通过拼凑组合的方式来实现对原有积分格式的变形。
形成我们可以利用已知结果积分求解的格式。
此方法的关键是根据被积函数的特点来寻找合适于题目的积分，并通过适当的方式来凑出该积分的原函数变形。
例1：求解积分(0)x >解：21112d ⎛⎫- ⎪==原式C C x==-+上面这道例题，我们就通过将原式中的将式子中的3dx x 单独拿出来并与积分中的dx 共同构成3211dx dx d x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，使得我们能够将211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭看作一个整体，以便于使用已知积分111a a dx a C x x --=-+⎰来对原式进行求解。
1.2倒变换法倒变换法常用于解决一些能够通过自变量假设取反，即1x u -=这种形式，化成第一种解法的题目来使用。
这种变换其实可以认为是第一种方法，凑微分法的一种变形。
但是，需要注意的是，使用这种方法后，一定要将原式中的dx 也做相应的代换，否则，将会导致结果错误。
同时，使用这种方法还需要注意的是，在用替换后的变量计算得出结果后，不要忘记将原变量替换回来，否则也会造成结果错误。
例2：求解积分4dx x ⎰ 解：令1x u -=，则21dx du u =-()12241u udu u --==⎰原式()()()3221222111123u u d u C ----=-=+⎰()322313x C x-=-+上面这道题，我们发现单纯从原式来看，题目是比较难以解决的。
但是，如果我们使用1x u -=，将原函数中的自变量x 替换掉，则原式就变为了第一种情况的111a a dx a C x x --=-+⎰这中已知函数格式，那么，接下来的解题过程变不再麻烦。
所以，本例中首先使用自变量倒换，来实现原函数化简。
1.3根式变换法除了上面这两种换原积分思想外，我们在面对一些无理函数不定积分根式的时候，常常也会将有特点的根式进行换原代换，来完成简化原函数为已知有理函数不定积分形式。
这种方法常常会用于一些根式特点明显，且多次重复出现的情况，我们来看例题：例3：求解积分 解：令6x t =，则56dx t dt =523261611t dt t t dt t t t ⎛⎫=-+- ⎪+=⎝⎭=⎰⎰原式326ln 132t t t tC ⎛⎫-+-++ ⎪⎝⎭=(6ln 1C ++=很明显，这种方法也可以看作是凑微分法的变形。
的一系列运看作一个整体的话，将会明显简化原函数。
所以，我们假设6x t =，并依次来对原函数变形。
将原函数转化为5326t dt t t +⎰，结合分部积分的思想（即拆分，总结随后，此处只是利用分部积分的思想），来对原函数进行简单拆分，求解。
1.4分部积分法分部积分，顾名思义就是将原函数拆开为各个部分，来分别进行积分的过程。
分部积分法主旨，就是通过将原函数拆分为一个一个的可单独求解积分，通过对每一个小块的积分的求解求和，来得到原函数积分对应结果。
这种方法一般都会利用公式udv uv vdu =-⎰⎰，来完成需求。
通常用于分母中出现()2x a ±，且分子较为复杂的时候使用。
例4：求解积分1x +解：11x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=原式1d x +=ln 1x C =++ 例题4中，通过对原函数的观察，我们发现原函数具有分子复杂，分母满足()2x a ±形式。
由此，我们可以推断，该函数一定可以使用分部积分方法化简。
我们取u ()211v x =+，则11dv d x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭。
随后调用公式udv uv vdu =-⎰⎰即可。
1.5分项积分法所谓分项积分的方法，便是通过对被积函数各项的适当拆分，来将其化为分部积分的无理函数不定积分求解方法。
这种方法可以看作是分部积分方法的变形。
通常情况下，当分母仅仅含有一个因式，或者说近景是一个因式的幂方的时候，我们为了将其分子凑成该因式的组和，常常会对分子进行适当的操作（一般为加减，但不局限于加减）来对其进行变形，以便于分部积分。
例5：求解积分2解：2==原式1ln2x C ⎡=++⎢⎣上例中，我们发现原函数分母为根号中包含自变量幂方且与分子配套的形式，符合使用分项积分法的条件。
我们为了使分子构成分母根号下部分，我们对分子进行加减一个单位的操作，使得原式变为2。
进而进行拆分求解操作。
2.用欧拉代换法求解无理函数不定积分2.1欧拉代换法欧拉代换是一种比较复杂的代换思想及数学操作。
欧拉代换的一般形式主要是对常见二次三项式2ax bx c ++的运算。
通常情况下，我们将二次三项式2ax bx c ++分为一下几种情况进行讨论： 1.若0a >t =±；2.若0c >xt =3.若20ax bx c ++=有两个相异实根1x 和2x 时，我们设()21ax bx c t x x ++=-或()2t x x -，则t =或t = 根据这几种分法，我们一般解题时，首先需要做的一步就是判断对应复杂二次三项式2ax bx c ++无理函数不定积分的所属类型。
然后再根据具体的情况，选取三种类型中的合适者，进行解题。
下面，我们来看例题：例6：求解积分解：2223ax bx c x x ++=+-，其中10a =>，我们取第一种欧拉变换x t =-，则有()2321t x t +=-，()222321t t dx dt t --=- 则：()()()222332121t t t t t t --+=-=---()()()()()22223212132123t t t t dt t t t t ----=⋅⋅+----⎰原式223dt C t ==+⎰C =C =上面这种做法，是我们通过10a =>条件直接判断，采用第一种情况对应做法来完成该复杂二次三项式2ax bx c ++无理函数不定积分求解的。
但是，通过仔细观察我们发现，上面这道题目中2223ax bx c x x ++=+-可以拆分为()()31x x -+，即原二次三项式223x x +-有两个相异实根。
那么，除采用第一种情况下的解题技巧外，我们还可以使用第三种情况下的解题技巧。
下面，我们来看使用第三种情况下解题技巧，来解答本题：解：()()222331ax bx c x x x x ++=+-=-+有相异实根3x =与1x =-，我们取第三种欧拉变换。
令()22231ax bx c x x t x ++=+-=+，则t =2231t x t+=- 有：()2281tdx dt t =-241t t =- 则：()222222118123431t t t dt dt t t tt --=⋅⋅=++-⎰⎰原式C =+C =通过上面的运算，我们发现，欧拉变换法解决复杂无理函数不定积分，需要判断并使用对应方法这点，有些过于复杂。