第二讲：三角形一边的平行线性质定理解析
三角形一边的平行线(二)
第3讲三角形一边的平行线（二）知识框架本讲主要讲解三角形一边平行线判定定理及推论，以及平行线分线段成比例定理；重点是理清该判定定理及其推论之间的区别和联系，难点是灵活运用本节的三个定理及两个推论，并理解和掌握“作平行线”这一主要的作辅助线的方法，为学习相似三角形的性质和判定做好准备．3.1 三角形一边的平行线判定定理及推论我们来讨论三角形一边平行线性质定理的逆命题是否正确．如图，在ABC△中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD AEDB EC=，那么DE//BC吗？解析：要肯定上述问题结论的正确，只要证明有一个平行四边形的相对两边分别在直线DE和BC上．如图，过点C作平行于AB的直线CF，交直线DE于点F，得四边形BCFD．证明：∵CF//AB∵AD AECF EC=（三角形一边平行线性质定理的推论）又∵AD AE DB EC=∵ AD ADCF DB=，得CF DB=．由CF//DB，CF DB=，可知四边形BCFD是平行四边形∵ DF//BC，即DE//BC．根据比例的性质可知，在关系式∵AD AEDB EC=、∵AD AEAB AC=、∵BD CEAB AC=中，由其中一个可推出其余两个．因此，以关系式∵、∵、∵之一为已知条件，都可推出DE//BC．这样，就得到以下定理：三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，如果点D 、E 分别在边AB 、AC 的延长线或反向延长线上，且具备条件∵、∵、∵之一，那么也可以用上述同样的方法推出DE //BC ．由此由得到：三角形一边的平行线判定定理的推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．思考：如图，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果DE ADBC AB=，那么能否得到DE //BC ，为什么？例1. 如图，在ABC △中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，根据下列条件，试判断DE 与BC是 否平行． （1）3cm AD =，4cm DB =， 1.8cm AE =， 2.4cm CE =； （2）6cm AD =，9cm BD =，4cm AE =，10cm AC =； （3）8cm AD =，16cm AC =，6cm AE =，12cm AB =；（4）2AB BD =，2AC CE =．例2. 如图，::1:3AM MB AN NC ==，则:MN BC =__________．例1题图 例2题图例题分析例3. 如图，ABC △中，E 点在边AB 上，F 点在边AC 上，下列命题中不正确的是（ ）（A ）若EF //BC ，则AE AFEB FC=； （B ）若AE AFEB FC=，则EF //BC ； （C ）若EF //BC ，则AE EFAB BC=；（D ）若AE EFAB BC=，则EF //BC ． 例4. 如图，点D 、F 在ABC △的边AB 上，点E 在边AC 上，且DE //BC ，AF ADAD AB=．求证：EF //DC ．例5. 点D 、E 分别在ABC △的边AB 、AC 上，且DE //BC ，以DE 为一边作平行四边形DEFG ，延长BG 、CF 交于点H ，连接AH ，求证：AH //EF ．例6.如图，M为AB的中点，EF//AB，联结EM、FM分别交AF、BE于点C和点D．求证：CD//AB．例7.如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，BAF DAE∠=∠，AE与BD交于点G，又DF AD FC DF=．求证：四边形BEFG是平行四边形．3.2 平行线分线段成比例定理如图，已知ABC△，直线1l与边AB、AC分别相交于点D、E，直线2l与边AB、AC分别相交于点F、G，12////l l BC．那么所截得的线段是否成比例？解析：对于这个问题，只需讨论DF EGFB GC=是否成立即可．证明：如图，过点D作直线AC的平行线'l，设直线'l与BC、2l分别交于点'C、'G，则'DG EG=，''G C GC=.利用三角形一边的平行线的性质定理和等量代换，可得DF EGFB GC=．根据上述结论，在利用比例的性质，可知截得的线段成比例．如图，将ABC△的三边AB AC BC、、改为三条直线，则上述结论表述为：直线DB与EC被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．于是得到：平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例．如图5，当直线2l过DB中点M，即DM MB=时，则EN NC=．也就是说：两直线被三条平行线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等．这是平行线分线段成比例定理的特例，也称为平行线等分线段定理．例1.如图，1l//2l//3l，3AB=，8AC=，10DF=，则EF的长为__________．例1题图知识精讲例题分析例2. 如图，直线1l 、2l 、3l 分别交直线4l 于点A 、B 、C ，交直线5l 于点D 、E 、F ，且1l //2l //3l ．已知3AB =，5AC =，9DF =，则EF 的长为________．例3. 如图，ABC △中，90C ∠=︒，四边形EDFC 为内接正方形，5AC =，3BC =，则:AE DF =___________．例2题图 例3题图例4. 命题“梯形ABCD 中，AD //BC ，点E 、F 在AB 、CD 上，且::AE EB DF FC =，则EF //BC ”是__________命题．（填“真”或“假”） 例5. 已知线段a 、b 、c ，求作线段x ，使::a b c x =．例6. 如图，AB 、CD 、EF 都垂直于直线l ，12AB =，7EF =，:2:3BD DF =，求CD 的长．例7. 如图，ABC △中，M 为BC 中点，O 为AM 上一点，BO 的延长线交AC 于点D ，CO的延长线交AB 于点E ，PQ //BC ，且PQ 过点O 与AB 、AC 分别交于点P 和点Q ．求证：（1）PO OQ =；（2）DE //BC ．例8. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB //CD ，两对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 作EF//AB ，且10EF =，若:1:3AE ED =，求梯形ABCD 中位线的长．例9. 如图，已知点A 、C 、E 和点B 、F 、D 分别是O ∠两边上的点，且AB //ED ，BC//EF ．求证：AF //CD ．例10.如图，M、N分别是ABC△两边AB、AC的中点，P是MN上任一点，延长BP、CP交AC、AB于K、H，求AH AKHB KC+的值．例11.如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE BC⊥于点E．（1）连接DE交OC于点F，作FG BC⊥于点G，求证：点G是线段BC的一个三等分点；（2）请你仿照（1）的作法，在原图上作出BC的一个四等分点（要求保留作图痕迹,可不写作法及证明过程）．3.3 课堂检测1. 如图，ABC △中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，已知=3AD ，5AB =，2AE =，43EC =，由此判断DE 和BC 的位置关系是__________，理由是_________________________．2. 在ABC △中，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，以下能推出DE //BC 的条件是（ ）（A ）23AB AD =，12EC AE =； （B ）23AD AB =，23DE BC =；（C ）23AD DB =，23CE AE =； （D ）43AD AB =，43AE EC =．3. 在ABC △中，点D 、E 分别在边AB 和BC 上，2AD =，3DB =，10BC =，要使DE//AC ，则BE =__________． 4. 如图，ABC △中，DE //BC ，AF ADDF DB=，求证：EF //CD ．5. 如图，已知AD //BE //CF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．（1）如果6AB =，10BC =，8EF =，求DE 的长； （2）如果:3:5DE EF =，24AC =，求AB 、BC 的长．6. 如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，2AB =，3BC =，1AF =，BA的延长线交OF 的延长线于点E ，求AE ．7. 如图，在ABC △中，点E 、F 分别在AB 、AC 上，且EF //BC ，D 为BC 的中点，ED 、FD 的延长线分别交AC 、AB 的延长线于点H 、点G ，连接HG ，求证：EF //GH ．8. 如图1，在菱形ABCD 中，点G 是CD 边上的一点，联结BG 交AC 于F ，过F 作FH//CD 交BC 于H ，可以证明结论FH FGAB BG=成立（不必证明）． （1）如图2，上述条件中，若点G 在CD 的延长线上，其他条件不变时，结论FH FGAB BG=是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（2）在（1）的条件下，若已知4AB =，60ADC ∠=︒，9CG =，求线段BG 与FG 的长．BC=，在线段AB上9.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，4AB=，3取一点P，过点P作AC的平行线交BC于点E，连接EO，并延长交AD于点F，连接PF．（1）求证：PF//BD；（2）设的AP长为x，PEF△的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域．3.4 课后作业1. 在A ∠的一边上顺次有B 、C 两点，在另一边上顺次有D 、E 两点，下列条件能判断BD //CE 的个数是（）．（1）3cm AB =，4cm BC =， 1.8cm AD =， 2.2cm DE =； （2）:2:3AB AD =， 1.8cm AE =， 1.2cm AC =； （3）5cm AB =，6cm BC =， 4.4cm AE =， 2.4cm DE =； （4）10cm AB =，15cm AC =，10cm BD =，15cm EC =． （A ）1个；（B ）2个；（C ）3个；（D ）4个2.ADE △中，点B 和点C 分别在AD 、AE 上，且2AB BD =，2AC CE =，则:BC DE =_______．3. 已知点D 、E 分别是ABC △的边AB 、AC 的反向延长线上的点，如果25AD AB =， 当=AEAC_______时，BD //CE ． 4. 如图，在ABC △中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 上，且3DE =， 4.5BF =，25AD AE AC AB ==．求证：EF //AC ．5. 如图，在梯形ABCD 中，EF //AB //CD ，两对角线AC 和BD 相交于点O ，且分别与EF相交于点M 、N ，下列比例式中正确的是（ ）（A ）AO BO ABCO DO CD ==； （B ）AM BN MNCM DN AB ==； （C ）AE AB BF DE CD CF==；（D ）BD AC ABDN CM MN==． 6. 如图，1l //2l ，:2:5AF FB =，:4:1BC CD =，则不成立的是（ ）（A ）:2:1AE EC =； （B ）:2:5FG GD =； （C ）:2:5GF FD =；（D ）:1:2AG BC =第5题图 第6题图7. 如图，直线1l //2l //3l ，若5cm AB =，8cm BC =，2cm EG =，3cm GF =，求线段DE 与GC 的长．8. 如图，已知线段AB ，在线段AB 上求作一点C ，使得:1:2AC BC =．9. 如图，ABC △中，90C ∠=︒，点G 是三角形的重心，8AB =． （1）求GC 的长；（2）过点G 的直线MN //AB ，交AC 于点M ，交BC 于点N ，求MN 的长．AB10. 如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的点，且AE FD EB AF ⋅=⋅，BG HC GC DH ⋅=⋅，连接EH 、GF 相交于点O ．求证：OE GO FO OH ⋅=⋅．11. 如图，D 是线段BC 上一点，且23BD DC =，CE 交AB 于点F ，:1:3AE ED =， 求:AF BF 的值．12. 梯形ABCD 中，点E 在AB 上，点F 在CD 上，且AD a =，BC b =．（1）如图（a ），如果点E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求证：EF //BC 且2a bEF +=； （2）如图（b ），如果AE DF mEB FC n==，判断EF 和BC 是否平行，并证明你的结论，并用a 、b 、m 、n 的代数式表示EF ．图（a ） 图（b ）。
三角形一边的平行线-平行线分线段成比例定理
探索与思考
如果DE // FG // BC，那么DF EG ? FB GC
D
E
FM G
B
N
C
过点D作DN∥EC交 FG、BC于点M、N， 得到A字型
注意：这是不能得到与 DE、FG、BC有关的比例 线段。
DF EG DF EG FB GC FB GC DB EC DB EC
知识点回顾
1、三角形一边的平行线的性质定理的内容是什么? 平行于三角形一边的直线截其他两边所在
的直线，截得的对应线段成比例.
知识点回顾 2、三角形一边的平行线的判定定理的内容是什么? 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段 段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
AD DE AB BC
如图，已知线段AB, 在线段AB上 求作一点C,使AC : CB 1: 2.
A
B
例题1 已知:如图 l1 // l2 // l3 ，AB=3,AC=8,
DF=10.求DE,EF．
D l1
B
E
l2Biblioteka CFl3例题2、已知线段 a, b, c.求作线段 x, 使a : b c : x.
a
b
c
试一试：已知线段 a, b, c.求作线段 x, 使ax bc.
想一想：若已知ａ、ｂ、ｃ作第四比例项ｄ，下列作法正确的是＿
两条直线被三条平行的直线所截，如果 在一条直线上截得的线段相等，那么在另 一条直线上截得的线段也相等。
定理的应用：
如果DA //
BE
//
CF，那么 DE EF
AB
__B_C___,
AC BC
DF
三角形一边平行线性质
初三数学备课组教师班级学生日期上课时间主课题：三角形一边的平行线教学内容知识要点1.三角形一边得平行线性质定理及推论定理：平行于三角形一边得直线截其它两边所在的直线，截得得对应线段成比例.推论：平行于三角形一边得直线截其它两边所在的直线，截得的三角形三边与原三角形的三边对应成比例.1、如图，在ABC AB=10AC=8.V中，，（1）已知点D在边AB上，过点D作DE//BC交边AC于点E。
若BD=4，求AE的长；（2）已知点D在直线AB上，过点D作DE//BC，交直线AC于点E。
若BD=4，求AE的长。
2、如图所示，已知：在平行四边形ABCD的对角线AC上取一点G，过G做一直线分别交AB的延长线、BC和AD及CD的延长线于P、Q、E、S.求证：GP GQ GE GS=.3、如图所示，//DE BC，//EF AB，则下列比例式中不成立的是（）A.BF AE ADFC EC DB== B.BF AE ADBC AC AB==C.AD AE DEEF EC FC== D.AD AE DEAB AC FC==CBABA DCGPSQ4、如图，路灯A 的高度为7米，在距离路灯正下方点B20米处有一堵墙CD ，且CD BD ⊥。
有一身高为1.6米的学生EF 站立在线段BD 上（,F EF CD EF BD ⊥<垂足为，且），他的影子的总长度为3米。
试求该学生到路灯正下方点B 的距离BF 的长。
5、如图所示，ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上一点，且:1:3AF FD =，联接BF ，并延长交AC 于E .求证：:6:1CE EA =.6、如下图所示，在ABC 中，BF 为AC 边上中线，D 和E 为BC 边上的三等分点、AD 和AE 分别交BF 于点P 、Q .求::PB PQ QF 的值.2.三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对应中点的距离的两倍. 7.如上图所示，G 为ABC 重心，则下列关系成立的是（ ）A.12AG AF GD FB == B.12AG CG GD GF == C.2AG CG GD GF == D.1AE CE AF BF== A BCGFEDA CBFDEBF DE CA Q PDCB A8、如图，在ABC V 中，AD 是中线，G 是AD 上一点，//,//GE AB GF AC ，点E 、F 都在边BC 上，（1）求证: BE=CF （2）如果G 是ABC V 的重心，求EFBC的值。
第二讲 平行线分线段成比例
A B C DEFl 123l l 图3图5C B E F G A D第二讲 相似 平行线分线段成比例【知识点】1、平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
2、三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
3、三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4、三角形一边的平行线的性质定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
5、几种基本图形∵l 1∥l 2∥l 3 ∴DFEFAC BC DF DEAC AB EF DEBC AB === ①对应线段是指一条直线被两条平行直线截得的线段与另一条直线被这两条平行直线截得的线段对应。
②为了强调对应和记忆，可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式：EF DEBC AB = ， 可以说成“上比下等于上比下” DF DEAC AB = ， 可以说成“上比全等于上比全” DFEFAC BC = ， 可以说成“下比全等于下比全”等 6、三角形一边平行线的判定定理是平行线分线段成比例的推论的逆命题。
（1）这个定理可以用来判定两条直线平行。
（2）使用时，一定要注意这个定理的前提：截三角形的两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
7、三条直线截两条直线，截得的对应线段成比例，那么这三条直线平行。
它是一个假命题，如图3，其中AB=BC ，DE=EF ，则1==EF DE BC AB ，但L 1、L 2、L 3不平行。
L L L 图1-（1）CFA B EDFC 图1-（2）3E D 12B AF3L C图1-（3）2L L 1BE A 图1-（4）FL 3CL 2L 1B D A3L 2L L 1(D)(E)L L L 图1-（1）C F A B E D F C 图1-（2）3E D 12B A F 3L C 图1-（3）2L L 1B E A 图1-（4）F L 3C L 2L 1B D A 3L 2L L 1(D)(E)ABCDEF 图6【典型例题】例1如图5，在△ABC 中，D 是BC 上的点，E 是AC 上的点，AD 与BE 交于点F ，若AE:EC=3:4，BD:DC=2:3，求BF:EF 的值。
九年级数学上册24-3三角形一边的平行线(第2课时学习重心概念及其定理)教案沪教版五四制
二、新课学习
例题 1 已知：如图
是
的中线，交于点
求证 ：
.
重心的性质 ：三角形的重心到一个顶点的距 离，等于它到对边中点的距离的两倍.
例题 2 已知：在 Rt
中，∠
，
是中线交于 点，求
的长.
例题 3 已知：在 Rt
中，∠
，
的长.
是重心 ，
于 ，求
三、巩固练习 1.如图，在△ABC 中，DE∥BC，AE=2，EC=3，DE=4，求 B C 的长.
四、课堂小结 重心的性质中到顶点的距离是到对边中点距离的两倍，不要混淆。
五、作业布置： 练习册重心相关内容
九年级数学上册 24-3 三角形一边的平行线（第 2 课时学习重心概念及其 定理）教案沪教版五四制
教学内容分析
Байду номын сангаас
重心是一个很重要的概念，要使学生 熟练掌握.
教学目标
了解三角形的 重心的意义和性质并能应用它解题.
教学重点及难点
三角形的重心的性质.
教学用具准备
三角板、多媒体设备
教学过程
一、复习
提问：三角形一边的平行线的性 质定理及其推论。
2.如图：BD∥AC，CE=3，CD=5，AC=5，求 BD 的长.
3.已知，△ABC 中，∠C= ，G 是三角形的重心 ，AB=8， 求：① GC 的长； ② 过点 G 的直线 MN∥AB，交 AC 于 M，BC 于 N， 求 MN 的长.
第3题
第4题
4.已知，△ABC 中，G 是三角形的重心，AG⊥GC，AG=3，GC=4，求 BG 的 长.
三角形一边的平行线的判定及推论课件+2024-2025学年沪教版(上海)数学九年级第一学期
F
C
证明：过点C作CF//AB,交DE的延长线于点F
∵ CF//DB，CF=DB
=
∴ 四边形BCFD是□
∴ DF//BC
则 =
又∵
∴CF=DB
即: DE//BC
三角形一边的平行线判定定理
如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，
那么这条直线平行于三角形的第三边．
∵
=
∴DE∥BC
(或= 、 = )
【思考】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，
如果= ，那么能否推出DE∥BC，为什么？
由“三角形一边的平行线
A
性质定理推论”可知：
以D为圆心，DE的长为半径画弧，
交AC于另一点E’，可知DE=DE’，
24.3（3）三角形一边的平行线的判定及推论
复习回顾
三角形一边的平行线性质定理：
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例
∵ DE∥BC
∴=
=
8字型
=
A字型
【思考】“三角形一边的平行线性质定理”的逆命题正确吗？
=
求证
EF//DC
C
=
【例1】已知：如图，点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AB上，
且DE//BC ， = ．
求证： EF∥DC．
【问题1】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果 = ，
平行线的性质和三角形内角和定理
平行线的性质、三角形内角和定理【教学目标】1、熟练掌握平行线的判定、性质公理及定理；三角形的内角和定理2、能对平行线的判定、性质进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中．【重点难点】重点：平行线的判定性质及三角形内角和定理.难点：推理过程的规范化表达.【教学内容】一、平行线的性质1、两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同位角相等。
简称：两直线平行，同位角相等。
2、两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么内错角相等。
简称：两直线平行，内错角相等。
3、两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同旁内角互补。
简称：两直线平行，同旁内角互补。
注意：“同位角相等，两直线平行”的条件是同位角相等，结论是两直线平行，“两直线平行，同位角相等”的条件是两直线平行，结论是同位角相等。
要注意区分平行的判定和平行的性质。
二、平行线间的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线距离。
注意：①夹在这两条平行线间的线段必须与这两条平行线垂直；②线段是图形，而距离是长度，是一个数量。
典例剖析：例1 如图，已知DE ⊥AO 于E ，BO ⊥AO ，FC ⊥AB 于C ，∠1＝∠2，试证明DO ⊥AB 。
AO DE CF 132思路探索：由于FC⊥AB，要证明DO⊥AB，故只须证明CF∥DO，于是我们可证明∠1＝∠3，由于已知里面有条件∠1＝∠2，所以我们只需证明∠2＝∠3。
解析：∵DE⊥AO，BO⊥AO（已知）∴DE∥BO（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）又∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＝∠3（等量代换）∴CF∥DO（同位角相等，两直线平行）∵FC⊥AB（已知）∴DO⊥AB（如果一条直线垂直于平行线中的一条，那么它也垂直于另一条）规律总结：有时候证明两条直线垂直，可通过说明一条直线垂直于平行线中的一条，必垂直于平行线中的另一条。
三角形一边平行线性质定理题型+答案详解
基础知识点三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在直线，截得的对应线段成比例。
如图(1)，若DE//BC ，则AD AE DB EC =或AD AE AB AC =或DB CEAB AC =如图(2)，若DE//BC ，则AB AC AE AD =或AB AC EB DC =或EA DAEB DC=EDE（2）（1）CBADC BA三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
如图(1)已知：△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE//BC ，则AD DE AEAB BC AC==; 如图(2)已知：△ABC 中，点D 、E 分别在CA 、BA 的延长线上，且DE//BC ，则AB BC ACAE DE AD==. EDE（2）（1）CBADC BA同高(或等高)的两个三角形的面积之比等于对应底边的比（2）（1）DCBADCBA如图(1)：ABD ADCS BDSDC =如图(2)：若AD//BC,则ADC ABCS ADSBC=三角形重心(三中线交点)：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍。
1、三角形三条中线交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
2、三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点距离的两倍。
例题解析如图，在ABC ∆中，DE //BC ，下列各式中错误的是( ). A.AD AB AE AC = B.BD EC AD AE = C.AD DE DB BC = D.AE DEAC BC =答案：C变式：如图，已知在ABC ∆中，DE //BC ，EF //CD ，那么下列线段的比中与AEAC相等的有( )个。
①AF AB②AF AD ③FD FB④ADABA.0B.1C.2D.3答案：C,①和④例题讲解:在△ABC 中，DE//BC ，DE 与AB 相交于D ，与AC 相交于E 。
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第二讲：三角形一边的平行线性质定理
一、知识要点：
1复习、同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比，
（2）
（1）
D
C
B
A
D
C
B
A
如图（1）：
ABD ADC
S
BD
S
DC =
如图（2）：若A D ∥BC,则
ADC ABC
S AD
S
BC
=
2、三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例。
如图（1），若D E ∥BC ，则
AD AE DB EC =或AD AE AB AC =或DB CE
AB AC =
1
＝＝特殊地：EC AE
DB AD ，
如图（2），若D E ∥BC ，则
AB AC AE AD =或AB AC EB DC =或EA DA
EB DC
=
E
D
E
（2）
（1）
C
B
A
D
C B
A
3、三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
如图（1）已知：△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，则
AD DE AE
AB BC AC
==
; 如图（2）已知：△ABC 中，点D 、E 分别在CA 、BA 的延长线上，且DE ∥BC ，则
AB BC AC
AE DE AD
==
.
小试牛刀： 选择题
1、在“平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例”定理证明中，所用的思想方法是（ ）
A 、先证明特殊情况成立，再证得一般情况成立
B 、利用平行线性质
C 、利用三角形全等
D 、把线段的比转化为面积的比，再把面积比转化成线段的比 一、填空题
1、 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD=4BD,则AE=_______EC
2、 已知：D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，AE=6，AD=3,AB=5,则
AC=____________
3、 已知：△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别是边AB 、AC 上的点，若AD:AB=2:9,EC-AE=5
厘米，则AC=_______厘米。
4、 如图，已知：AC ∥BD ，AB 与CD 交于点O 。
若AC:BD=2:3,AO=1.2,则AB=___________.
5、 如图，点D 、E 分别在△ABC 边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，若AD:BD=3:4，BE 和CD
相交于点O ，则EO:OB=____________。
第1题
E D C
B
A
第4题
O
D
C
B
A
O
E
D
C
B
A
二、典型例题：
例1、 如图所示，D E ∥AB,EF ∥BC ，AF=5厘米，FB=3厘米，CD=2厘米。
求BD 。
F E
D
C
B
A
例2、如图所示，E为平行四边形ABCD边CD延长线上的一点，连接BE交AC于点O。
求证：
注意：（1）在证明时，常把等积式转化成比例式证明；（2）当证明的比例式中线段在同一直线上时，常采取用相等的线段、相等的比、相等的等积式来代换相应的量；
（3）证明比例式常利用中间比来转化。
O F
E
D
C
B
A
例3、如图，平行四边形ABCD，E是AB的中点，F是BC的三等分点，EF与BD交于O 点，求BO：OD的值。
A D
E
O
B F C
例4、如图，平行四边形ABCD，E是AB的中点，F是BC的三等分点，G是AD上的四等分点，EF与BG交于O点，求BO：OG的值
A G D
E
O
B F C
尖峰时刻
例5、如图所示，A B⊥BD于点D，连接AD、BC，它们交于点E，EF⊥BD于点F。
求证：
111
+=
AB CD EF
F
E
D
C
B
A
试一试：上题中，如将条件“AB⊥BD,EF⊥BD,CD⊥BD”改为“AB∥EF∥CD”那么原结论是否成立呢？
三、课堂练习
1、如下左图，AM:MB=AN:NC=1:3,则MN:BC=________
N
M
C
B
A
O
D
C
B
A
2、如上右图，四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，若AO DO
=
CO BO
,AO=8,CO=12,BC=15,则AD=______________。
3、 如图，四边形DECF 为菱形，AC=15,BC=10，则菱形的周长为___________
F E D
C
B
A
F
E
D C
B A
4、如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，AF ＝3，FD ＝2，求AB 的长。
5、如图平行四边形ABCD ，AD=12，P 、Q 是对角线BD 上的三等分点，延长CQ 交AD 于点S ，延长SP 交BC 于点R ，求BR 的值？ A S D
Q P
B R C
重心问题 一、知识要点
1、三角形三条中线交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
2、三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点距离的两倍。
数学表达：
如图，已知：AD 、BE 、CF 分别是△ABC 的中线，AD 、BE 、CF 交于点G,则
2
1
AG BG CG GD GE GF === G
F
E
D
C B
A
牛刀小试：
1、如图，已知：△ABC 的中线AD 、CE 相交于点G ，AD=6cm ，EG=3cm ，则AG=_____,EC=_______.
G
E
D
C
B
A
G
E
D
C
B
A
2、如图，已知：G 是△ABC 的重心，GE ∥AC ，则DE ：BD=__________
3、如图，已知：△ABC 中，AB=AC,A D ⊥BC.BE 是AC 上的中线，BE=15cm ，AG=12cm ，则ABC S ∆=————————。
G
E D
C
B
A D
C
B
A
4、如图△ABC 中，D 为重心，且△ABC 的面积为60。
则ABD S ∆=__________
二、典型例题
例1、如图△ABC中，G为重心GD∥AB，GE∥AC，求证：BD=DE=EC。
A
G
B D E C
学生姓名：
一、
填空题
1、如图，在△ABC 中，DE ∥BC,下列各式中错误的是（ ）
A 、
AD AB =AE AC B 、BD EC
=
AD AE C 、AD DE =DB BC D 、AE DE =
AC BC
2、如图，DE ∥BC,BD 和CE 相交于点O ，EO 1
=OC 3
，AE=3,则EB 为（ ） A 、6 B 、9 C 、12 D 、15
3、如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC,EF ∥CD,那么下列线段的比中与AE
AC
相等的有（ ）个。
①
AF AD ;②AF AB ;③FD FB
;④AD
AB A 、0 B 、1 C 、2 D 、3
第1题
E D C
B
A
第2题
O
E
D
C
B
A
第3题
F E
D
C
B
A
二、填空题
1、 如图，已知AB ∥DE ，AC ＝4，BC ＝3，CD ＝5，那么CE:CD ＝_______
E
D
C B
A
2、 在△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 的反向延长线上，DE ∥BC ，若AD:AB ＝3:4，EC ＝14厘
米，则AE:EC ＝______，AC ＝______，AE ＝______。
3、如图，已知△ABC中D为BC的中点，过D的一条直线，交AC于点F，交BA的延长线于点E，AGBC，交EF于点G，那么线段EG、ED、GF、FD之间有什么关系？
E
A G
F
B D C
思维拓展：
1、如图，△ABC中，四边形DECF是正方形，AC=5，BC=3，求AE：DF
A
E D
C F B
2、如图△ABC中，∠B的平分线BD交AC于D，过D作DE∥AB，交BC于E，AB=5，BE=3，求EC的值。
A
D
B C
3、在△ABC中，AD是中线，G是AD上一点，GE∥AB，GF∥AC，E、F都在边BC上（1）求证:BE=CF
EF
（2）如果G是△ABC的重心，求
BC
A
G
B E D F C
4、如图AD∥BC，DB与AC交于O，过O作OM∥AD，交AB于M点，AD=2，BC=5，求OM的值。
C
D
O
A M B
问题AB的长度发生改此题中OM的长度是否发生改变？。