11 用导数—极限法解一类求参数取值范围的高考题

用导数—极限法解一类求参数取值范围的高考题
虽说在现行高中数学教材中没有给出极限的定义(只是在导数的定义中使用了极限符
号)，但在教材中从多方位多角度的渗透了极限思想：在研究双曲线的渐近线、求似值、二分法求方程近似解、幂指对函数增长速度的快慢、介绍无理数指数幂的意义以及在统计中研究密度曲线等等都渗透了极限思想.
在即将出台的高中数学课标及教材中均会给出极限的定义，所以这里先由函数极限的δ-ε定义给出函数极限的保号性的相关结论，再给出该结论在求解函数问题中的应用. 函数极限的δ-ε定义 若存在实数b ，0,0εδ∀>∃>，当0x a δ<-<时，()f x b ε-<，则当x a →时，函数()f x 存在极限，且极限是b ，记作lim ()x a
f x b →=. 由该定义，还可得
函数极限的保号性 (1)①若0)(lim >=→b x f a x ，则
{}0)(,,,0>≠+<<-∈∀>∃x f a t a t a t x 且δδδ；
②若0)(lim >=+→b x f a
x ，则0)(),,(,0>+∈∀>∃x f a a x δδ； ③若0)(lim >=-→b x f a
x ，则0)(),,(,0>-∈∀>∃x f a a x δδ. (2)①若0)(lim <=→b x f a x ，则{}
0)(,,,0<≠+<<-∈∀>∃x f a t a t a t x 且δδδ； ②若0)(lim <=+→b x f a
x ，则0)(),,(,0<+∈∀>∃x f a a x δδ； ③若0)(lim <=-→b x f a
x ，则0)(),,(,0<-∈∀>∃x f a a x δδ. 题1 (2006年高考全国卷II 理科第20题)设函数)1ln()1()(++=x x x f .若对所有的0≥x ，都有ax x f ≥)(成立，求实数a 的取值范围. (答案：]1,(-∞.)
题2 (2007年高考全国卷I 理科第20题)设函数x x x f --=e
e )(，若对所有的0≥x ，都有ax x
f ≥)(，求实数a 的取值范围. (答案：]2,(-∞.)
题 3 (2008年高考全国卷II 理科第22(2)题)设函数x
x x f cos 2sin )(+=，若对所有的0≥x ，都有ax x f ≤)(，求实数a 的取值范围.(答案：⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞,31.) 题4 (2010年高考新课标全国卷文科第21(2)题)设函数2
)1e ()(ax x x f x --=，若当
0≥x 时，都有0)(≥x f ，求a 的取值范围.(答案：]1,(-∞.)
题5 (2010年高考新课标全国卷理科第21(2)题)设函数2
1e )(ax x x f x ---=，若当0≥x 时，0)(≥x f ，求a 的取值范围.(答案：⎥⎦⎤ ⎝
⎛∞-21,.) 题1的解 令ax x f x g -=)()(，得0)1ln()1()(≥-++=ax x x x g 在),0[+∞上恒成立.考虑到0)0(=g ，只需)(x g 在),0[+∞上单调递增.
问题转化为：01)1ln()(≥-++='a x x g 在),0[+∞上恒成立.
所以1]1)1[ln(min =++≤x a .
可见1≤a 满足题设.
若1>a ，则01]1)1[ln(lim )(lim 0
0<-=-++='++→→a a x x g x x .
由函数极限的定义得：存在0>δ，当),0(δ∈x 时，0)(<'x g ，所以)(x g 在),0(δ上单调递减.
所以当),0(δ∈x 时，ax x f g x g <=<)(,0)0()(，这与题设矛盾！
因此，所求a 的取值范围是]1,(-∞.
对于题2、3，也可这样简洁求解.这就是文献[1]给出的解法(实际上，由下文的定理3知，题4、5也可这样求解)，本文就把这种解法叫做导数—极限法，下面给出这种解法的一般结论.
定理 1 设函数)(x f 满足“当0x x ≥时，函数)(x f 可导，)(x f '的最小值是1a ，且001)(,)(lim 0ax x f a x f x x =='+→”.若0x x ≥∀时都有ax x f ≥)(，则a 的取值范围是],(1a -∞.
证明 设ax x f x g -=)()(，得a x f x g -'=')()(.
当1a a ≤时，可得“0x x ≥∀时都有a a x f ≥≥'1)(”，所以“0x x ≥∀时都有0)(≥'x g ”，所以0x x ≥∀时都有0)()()(000=-=≥ax x f x g x g ，即ax x f ≥)(.
当1a a >时，得0])([lim )(lim 10
0<-=-'='++→→a a a x f x g x x x x ，所以存在0>δ，当
),(00δ+∈x x x 时，0)(<'x g ，)(x g 是减函数，得ax x f x g x g <=<)(0)()(0，，这与题设矛盾！所以a 的取值范围是],(1a -∞.
推论 设函数)(x f 满足“当0≥x 时，函数)(x f 可导，)(x f '的最小值是1a ，且0)0(,)(lim 10=='+→f a x f x ”.若0≥∀x 时都有ax x f ≥)(，则a 的取值范围是],(1a -∞.
定理 2 设函数)(x f 满足“当0x x ≤时，函数)(x f 可导，)(x f '的最小值是1a ，且001)(,)(lim 0ax x f a x f x x =='-→”
.若0x x ≤∀时都有ax x f ≤)(，则a 的取值范围是],(1a -∞. 证明 设ax x f x g -=)()(，得a x f x g -'=')()(.
当1a a ≤时，可得“0x x ≤∀时都有a a x f ≥≥'1)(”，所以“0x x ≤∀时都有0)(≥'x g ”，所以0x x ≤∀时都有0)()()(000=-=≤ax x f x g x g ，即ax x f ≤)(.
当1a a >时，得0])([lim )(lim 10
0<-=-'='--→→a a a x f x g x x x x ，所以存在0>δ，当
),(00x x x δ-∈时，0)(<'x g ，)(x g 是减函数，得ax x f x g x g >=>)(0)()(0，，这与题设矛盾！所以a 的取值范围是],(1a -∞.
定理 3 设函数)(x f 满足“当0x x ≥时，函数)(x f 可导，)(x f '的最大值是1a ，且001)(,)(lim 0ax x f a x f x x =='+→”.若0x x ≥∀时都有ax x f ≥)(，则a 的取值范围是)[1∞+，a .
证明 在定理1中令)()(x g x f -=可证.
定理 4 设函数)(x f 满足“当0x x ≤时，函数)(x f 可导，)(x f '的最大值是1a ，且001)(,)(lim 0ax x f a x f x x =='-→”.若0x x ≤∀时都有ax x f ≥)(，则a 的取值范围是)[1∞+，a .
证明 类似于定理2的证明可证.(以下定理6,8的证明均同此.)
定理5 设函数)(x f 满足“当0x x ≥时，函数)()(x f x f '、均可导，)(x f ''的最小值是2a ，且0020022)(,)(,)(lim 0ax x f ax x f a x f x x ='==''+→”.若0x x ≥∀时都有2
)(ax x f ≥，则a 的取值范围是⎥⎦
⎤ ⎝⎛
∞-2,2a . 证明 设2)()(ax x f x g -=，得a x f x g x g ax x f x g 2)()())((,2)()(-''=''=''-'='. 当2
2a a ≤时，可得“0x x ≥∀时都有022)()(2≥-≥-''=''a a a x f x g ”，所以0x x ≥∀时都有02)()()(000=-'='≥'ax x f x g x g ，所以0x x ≥∀时都有
0)()()(2000=-=≥ax x f x g x g ，即2)(ax x f ≥. 当2
2a a >时，得02]2)([lim )(lim 200<-=-''=''++→→a a a x f x g x x x x ，所以存在0>δ，当
),0(δ∈x 时，0)(<''x g ，)(x g '是减函数，得0)()(0='<'x g x g ，)(x g 是减函数，所
以20)(,0)()(ax x f x g x g <=<，这与题设矛盾！所以a 的取值范围是⎥⎦
⎤ ⎝⎛
∞-2,2a . 定理6 设函数)(x f 满足“当0x x ≤时，函数)()(x f x f '、均可导，)(x f ''的最小值是2a ，且0020022)(,)(,)(lim 0ax x f ax x f a x f x x ='==''-→”.若0x x ≤∀时都有2
)(ax x f ≥，则a 的取值范围是⎥⎦
⎤ ⎝⎛
∞-2,2a .。