2020年北京市十一学校高考数学一模试卷(含答案解析)
2020年北京市十一学校高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合，，且M，N都是全集R的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为A. B. 或C. D.2.下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为的是A. B. C. D.3.已知双曲线的一条渐近线倾斜角为，则A. 3B.C.D.4.下列不等式成立的是A. B. C. D.5.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是A. B. C. D.6.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，，则D. 若，，，则7.数列的通项公式为则“”是“为递增数列”的条件．A. 必要而不充分B. 充要C. 充分而不必要D. 即不充分也不必要8.设函数，则使得成立的x的取值范围是A. B.C. D.9.已知函数下列命题：函数的图象关于原点对称；函数是周期函数；当时，函数取最大值；函数的图象与函数的图象没有公共点．其中正确命题的序号是A.B. C. D.10. 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面，，两两互相垂直，点，点A 到，的距离都是3，点P 是上的动点，满足P 到的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到的距离的最小值是A.B. 3C.D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则______．12. 某高中共有1800人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取60人，那么高二年级被抽取的人数为______．13. 角的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是______ ． 14. 平面向量，，，且与的夹角等于与的夹角，则______．15. 以，为圆心的两圆均过，与y 轴正半轴分别交于，，且满足 ，则点的轨迹方程为______．16. 某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票．这3名候选人的得票数不考虑是否有效分别为总票数的，，，则______“我身边的榜样”评选选票 候选人 符号 注 同意画“”，不同意画“”．每张选票“”的个数不超过2时才为有效票． 甲 乙丙三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.如图所示，已知平面CDE，，为等边三角形，F为ED边上的中点，且，求证：面ABE；求证：面平面BDE；求该几何体ABECD的体积．18.在中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，，，且．求角A的大小；求的值域．19.某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了50名市民，他们月收入月收入单位：百元频数5c1055频率a b赞成人数4812521若所抽调的名市民中，收入在的有名，求，，的值，并完成频率分布直方图．若从收入单位：百元在的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，选中的2人中恰有X人赞成“楼市限购令”，求X的分布列与数学期望．从月收入频率分布表的6组市民中分别随机抽取3名市民，恰有一组的3名市民都不赞成“楼市限购令”，根据表格数据，判断这3名市民来自哪组的可能性最大？请直接写出你的判断结果．20.已知函数当时，求的单调递减函数；Ⅱ设直线l是曲线的切线，若l的斜率存在最小值，求a的值，并求取得最小斜率时切线l的方程；Ⅲ若分别在、处取得极值，求证：．21.已知椭圆的两个焦点分别为，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ已知点N的坐标为，点P的坐标为过点M任作直线l与椭圆C相交于A ，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为，，，若，试求m，n满足的关系式．22.对于非负整数集合非空，若对任意x，，或者，或者，则称S为一个好集合，以下记为S的元素个数．给出所有的元素均小于3的好集合，给出结论即可求出所有满足的好集合．同时说明理由若好集合S满足，求证：S中存在元素m，使得S中所有元素均为m的整数倍．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：由图象可知阴影部分对应的集合为，，或，，故选：C．图中阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算即可得到结论．本题主要考查韦恩图的应用，以及集合的基本运算，比较基础．2.答案：C解析：解：根据题意可画出的图象草图，则函数的定义域上不单调，故A错误．B.根据题意可画出函数的图象，由图象可知，在定义域上单调递增，且值域为，故B错误，C.根据题意画出的图象，由图象可知，在定义域上单调递增，且值域为，故C正确，D.根据题意画出的图象，由图象可知，此函数在定义域上不单调，故D错误．故选：C．分别结合函数的值域及函数的单调性分别对选项进行判断即可．本题主要考查了函数值域及单调性的判断，属于基础试题．3.答案：A解析：解：由双曲线，得其渐近线方程为，又双曲线的一条渐近线倾斜角为，，即．得．故选：A．由双曲线方程求得渐近线方程，结合题意可得，则a的值可求．本题考查双曲线的性质，考查双曲线的渐近线方程，是基础的计算题．4.答案：D解析：解：A．，，故A错误；B.，，故B错误；C.，，，故C错误；D.在R上单调递增，且，，故D正确．故选：D．根据正弦函数和余弦函数的图象即可判断选项A错误；根据指数函数和对数函数的单调性即可判断B，C都错误，从而只能选D．本题考查了正弦函数和余弦函数的图象，指数函数、对数函数和幂函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．5.答案：D解析：【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型，考查运算求解能力，是基础题．由题意得随机选取两个不同的数共有28种，随机选取两个不同的数，其和等于20有2种，由此能求出随机选取两个不同的数，其和等于20的概率．【解答】解：在不超过20的素数中有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，随机选取两个不同的数共有种，而和为20的有，这2种情况，故可得随机选取两个不同的数，其和等于20的概率，故选：D．6.答案：C解析：【分析】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题．根据空间线面位置关系的性质与判定判断．【解答】解：对于A，由可知，存在直线，故当m为内与n垂直的直线时，显然，，故A错误；对于B，设，则当m为内与a平行的直线时，，，故B错误；对于C，，，得到，又，所以，故C正确；对于D，设，则当m为内与a平行的直线时，，故D错误．故选C．7.答案：A解析：解：若为递增数列，则，可得：，化为：，又．，．“”是“为递增数列”的必要不充分条件．故选：A．若为递增数列，可得，解出c的范围，即可判断出结论．本题考查了数列的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：B解析：解：根据题意，函数，其定义域为R，有，即函数为偶函数，当时，，函数和函数都是上为增函数，则在上为增函数，，解可得或，即x的取值范围为；故选：B．根据题意，分析可得为偶函数且在上为增函数，据此可得，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的奇偶性与单调性，属于基础题．9.答案：C解析：解：函数定义域为R，且，即函数为奇函数，故正确；是周期函数，而不是周期函数，故不是周期函数，即错误；，，故不是最值，即错误；因为，当时，，故，；当时，，故，即函数的图象与函数的图象没有公共点，正确．故选：C．研究函数相应性质，逐一判断．本题考查了函数的奇偶性、周期性、最值与图象问题，属中档题，须逐一研究之．10.答案：D解析：解：如图，原题等价于在平面直角坐标系xOy中，点，P是第一象限内的动点，满足P到x轴的距离等于点P到A的距离，则点P的轨迹上的点到x轴的距离的最小值是多少．设，则，化简得．则，即．故点P的轨迹上的点到的距离的最小值为．故选：D．由题意画出图形，原题等价于在平面直角坐标系xOy中，点，P是第一象限内的动点，满足P到x轴的距离等于点P到A的距离，则点P的轨迹上的点到x轴的距离的最小值是多少．设出P 点坐标，由题意求得P点轨迹，求得y的范围得答案．本题考查轨迹方程的求法，考查数学转化思想方法，化空间问题为平面问题是关键，属难题．11.答案：解析：解：由图可知，，，．故答案为：．由图形得到复数，，代入，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．12.答案：20解析：解：高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，设分别为，a，，则，解得，若用分层抽样的方法从中抽取60人，那么高二年级被抽取的人数为人；故答案为：20；根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．13.答案：解析：解：由于角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，可得，，故答案为：．由条件利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．14.答案：2解析：解：向量，，，．，．，．与的夹角等于与的夹角，，，化为，解得．故答案为：2．利用向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式即可得出．本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式，属于基础题．15.答案：解析：解：，．和的中点坐标为，在线段AB的垂直平分线上，，得和的中点坐标为，在线段AC的垂直平分线上，，得，，即．由得，即，解得．点的轨迹方程为故答案为：由，得写出，的中点坐标为，结合在线段AB的垂直平分线上，可得同理得到结合，可得从而得到点的轨迹方程为．本题考查轨迹方程的求法，考查对数的运算性质，考查两直线垂直与斜率的关系，是中档题．16.答案：91解析：解：不妨设共有选票100张，投1票的x，投2票的y，投3票的z，则根据题意得，整理可得，即，由题意，若要投票有效率越高，则z需越小，故当时，z最小为9，此时，此时投票的有效率为，故答案为：91．假设总票数为100张，投1票的x，投2票的y，投3票的z，则可得，整理后得到当时z取最小值9，进而可计算出投票的有效率．本题考查了函数模型的选择，考查简单的逻辑推理，属于中档题．17.答案：解：取BE的中点G，连FG，，，，又CF不包含于面ABE，面ABE，面ABE，分为等边三角形，又，面BDE，面BDE，又平面ABE，面平面BDE，分几何体ABECD是四棱锥，面ABCD，分解析：取BE的中点G，连结FG，推导出，由此能证明面ABE．由为等边三角形，推导出面BDE，由此能证明面平面BDE．几何体ABECD是四棱锥，由此能求出该几何体ABECD的体积．本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查几何体体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．18.答案：解：由得，由正弦定理得，，，，，．，由得，．答：角A的大小；函数的值域为解析：用向量的共线的充要条件及三角形中的正弦定理求得角A．用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用正弦函数的图象求出范围．本题考查向量与三角函数相结合的综合问题，是高考中常出现的形式．19.答案：解：由频率分布表得，，，所抽调的50名市民中，收入在的有15名，，，，故，，．频率分布直方图如下所示，由表中数据可知，收入在中赞成人数为2，不赞成人数为3，的可能取值为0，1，2，，，．X 0 1 2P数学期望来自的可能性更大．解析：先根据频率和为1，得到，若所抽调的50名市民中，收入在的有15名，则，所以，，最后求出每组数据对应的频率组距即可画出频率分布直方图；由表中数据可知，收入在中赞成人数为2，不赞成人数为3，所以X的可能取值为0，1，2，然后根据超几何分布求概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；表中赞成人数最少的那组可能性更大．本题考查频率分布直方图、超几何分布、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．20.答案：解：因为函数的定义域为，当时，，，所以由，解得，即函数的单调递减区间为Ⅱ因为，所以，当且仅当时取等号．因为直线l的斜率存在最小值，所以，即．当l取得最小斜率时，因为，即切点为．从而切线方程l：，即：．Ⅲ，因为分别在、处取得极值，所以、是方程，即的两个不等正根．则解得，且．从而，因为，所以．即不等式成立．解析：当时，利用导数求的单调递减区间；Ⅱ利用导数的几何意义，由切线l的斜率存在最小值，求a的值，并求取得最小斜率时切线l 的方程；Ⅲ利用导数求出函数的极值，利用极值证明不等式．本题主要考查导数与函数的极值之间的关系，运算量较大．21.答案：解：Ⅰ依题意，，，所以．故椭圆C的方程为分Ⅱ当直线l的斜率不存在时，由解得．不妨设，，因为，又，所以，所以m，n的关系式为，即分当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为．将代入整理化简得，．设，，则，分又，．所以分所以，所以，所以m，n的关系式为分综上所述，m，n的关系式为分解析：Ⅰ依题意，，，求出a的值，即可得到椭圆C的方程；Ⅱ当直线l的斜率不存在时，将直线与椭圆方程联立，求得A，B的坐标，利用，可得m，n满足的关系式；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程代入整理化简，利用韦达定理及，可得的值从而可得m，n满足的关系式．本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率，利用，确定的值是关键．22.答案：解：，，，1，．设b，c，，其中，则有题意：，故，即，考虑出c，d可知，所以或，若，则考虑b，c，由，所以，因此，所以b，2b，，但此时考虑b，4b，但3b，，不满足题意，若，此时b，c，满足题意，所以b，c，，其中b，c为相异正整数．记，则，首先，，设，其中，分别考虑M和其他任一元素，由题意可得也在S中，而，所以，，所以，对于，考虑，，其和大于M，故其差，特别的，所以，由，且，所以，通过归纳可得，，所以，此时n，2m，，nm，，，故S中存在元素m，使得S中所有元素均为m的整数倍．解析：，，，1，．设b，c，，其中，由题意：，从而，或，由此能求出b，c，，其中b，c为相异正整数．记，则设，其中由题意可得也在S中．从而，进而推导出从而由，且，得，通过归纳可得：由此能求出S中存在元素m，使得S中所有元素均为m的整数倍．本题考查好集合的求法，考查S中存在元素m，使得S中所有元素均为m的整数倍的证明，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题．。
2020年北京市海淀区高考数学一模试卷(附答案详解)
2020年北京市海淀区高考数学一模试卷1.在复平面内，复数i(2−i)对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合A={x|0<x<3}，A∩B={1}，则集合B可以是()A. {1,2}B. {1,3}C. {0,1,2}D. {1,2,3}3.已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的离心率为√5，则b的值为()A. 1B. 2C. 3D. 44.已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是()A. b−a<c+aB. c2<abC. cb >caD. |b|c<|a|c5.在(1x−2x)6的展开式中，常数项为()A. −120B. 120C. −160D. 1606.如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚动．当圆M滚动到圆M′时，圆M′与直线l相切于点B，点A运动到点A′，线段AB的长度为3π2，则点M′到直线BA′的距离为()A. 1B. √32C. √22D. 127.已知函数f(x)=|x−m|与函数g(x)的图象关于y轴对称．若g(x)在区间(1,2)内单调递减，则m的取值范围为()A. [−1,+∞)B. (−∞,−1]C. [−2,+∞)D. (−∞,−2]8.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为()A. √5B. 2√2C. 2√3D. √139.若数列{a n}满足a1=2，则“∀p，r∈N∗，a p+r=a p a r”是“{a n}为等比数列”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.形如22n+1(n是非负整数)的数称为费马数，记为F n.数学家费马根据F0，F1，F2，F3，F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出F5不是质数，那么F5的位数是()(参考数据：lg2≈0.3010)A. 9B. 10C. 11D. 1211.已知点P(1,2)在抛物线C：y2=2px上，则抛物线C的准线方程为______．12.在等差数列{a n}中，a1=3，a2+a5=16，则数列{a n}的前4项的和为______．13.已知非零向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=|a⃗−b⃗ |，则(a⃗−12b⃗ )⋅b⃗ =______．14.在△ABC中，AB=4√3，∠B=π4，点D在边BC上，∠ADC=2π3，CD=2，则AD=；△ACD的面积为．15.如图，在等边三角形ABC中，AB=6.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P 到此三角形中心O距离的平方为f(x)，给出下列三个结论：①函数f(x)的最大值为12；②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9；③关于x的方程f(x)=kx+3最多有5个实数根．其中，所有正确结论的序号是______．16.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，AB=BB1=2BC=2，BC1=√3，点E为A1C1的中点．(Ⅰ)求证：C1B⊥平面ABC；(Ⅱ)求二面角A−BC−E的大小．17.已知函数f(x)=2cos2ω1x+sinω2x.(Ⅰ)求f(0)的值；(Ⅱ)从①ω1=1，ω2=2；②ω1=1，ω2=1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f(x)在[−π2,π6]上的最小值，并直接写出函数f(x)的一个周期．18.科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位：十亿元)．(Ⅰ)从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；(Ⅱ)从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；(Ⅲ)根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．19.已知函数f(x)=e x+ax．(Ⅰ)当a=−1时，①求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；②求函数f(x)的最小值；(Ⅱ)求证：当a∈(−2,0)时，曲线y=f(x)与y=1−lnx有且只有一个交点．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，A1(−a,0)，A2(a,0)，B(0,b)，△A1BA2的面积为2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q.求证：△BPQ为等腰三角形．21.已知数列{a n}是由正整数组成的无穷数列．若存在常数k∈N∗，使得a2n−1+a2n=ka n对任意的n∈N∗成立，则称数列{a n}具有性质Ψ(k)．(Ⅰ)分别判断下列数列{a n}是否具有性质Ψ(2)；(直接写出结论)①a n=1；②a n=2n．(Ⅱ)若数列{a n}满足a n+1≥a n(n=1,2,3,…)，求证：“数列{a n}具有性质Ψ(2)”是“数列{a n}为常数列”的充分必要条件；(Ⅲ)已知数列{a n}中a1=1，且a n+1>a n(n=1,2,3,…).若数列{a n}具有性质Ψ(4)，求数列{a n}的通项公式．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限．【解答】解：∵复数z=i(2−i)=−i2+2i=1+2i，∴复数对应的点的坐标是(1,2)，这个点在第一象限，故选A．2.【答案】B【解析】解：∵A={x|0<x<3}，A∩B={1}，∴集合B可以是{1,3}．故选：B．根据A={x|0<x<3}，A∩B={1}，即可得出集合B可能的情况．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】B=1(b>0)的离心率为√5，【解析】解：双曲线x2−y2b2可得√b2+1=√5，解得b=2，1故选：B．利用双曲线的离心率公式，列出方程，求解b即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．4.【答案】D【解析】解：(法1)根据数轴可得c<b<a<0且|c|>|b|>|a|，对于A：因为c<b，a<0，所以c+a<c，b−a>b，则c+a<c<b−a，即c+a< b−a，故A错误；对于B：因为c<b<a<0，|c|>|b|>|a|，所以c2>b2>a2，且b2>ab，所以c2> b2>ab，则c2>ab，故B错误；对于C：因为b<a<0，所以1b >1a，则cb<ca，故C错误；对于D：因为|b|>|a|，且c<0，所以|b|c<|a|c，故D正确，(法2)不妨令c=−5，b=−4，a=−1，则c+a=−6<b−a=−3，故A错误；c2=25>ab=4，故B错误；cb =54<ca=5，故C错误；故选：D．法1：根据数轴得到c<b<a<0且|c|>|b|>|a|，结合不等式基本性质逐一进行判断即可；法2：用特值法带入验证即可．本题考查不等式的相关应用，考查合情推理，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：由题意得：T k+1=(−2)k C6k x2k−6，令2k−6=0得k=3，故常数项为T4=(−2)3C63=−160．故选：C．先求出通项，然后令x的指数为零即可．本题考查二项式展开式通项的应用和学生的运算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：根据条件可知圆周长=2π，因为BA =32π=34×2π，故可得A’位置如图：∠A′M′B =90°，则△A′M′B 是等腰直角三角形， 则M′到A′M 的距离d =√22r =√22，故选：C ．根据条件可得圆旋转了34个圆，作图可得到△A′M′B 是等腰直角三角形，进而可求得M′到A′M 的距离．本题考查点到直线的距离，考查圆旋转的长度求法，数中档题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)=|x −m|与函数g(x)的图象关于y 轴对称．若g(x)在区间(1,2)内单调递减， 则f(x)在区间(−2,−1)上递增，而f(x)=|x −m|={x −m,x ≥m −x +m,x <m ，在区间(m,+∞)上为增函数，则有m ≤−2，即m 的取值范围为(−∞,−2]； 故选：D ．根据题意，分析可得f(x)在区间(−2,−1)上递增，将f(x)写成分段函数的形式，分析可得f(x)在区间(m,+∞)上为增函数，据此可得m 的取值范围．本题考查函数的单调性，涉及函数之间的对称性、不等式的解法，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为四棱锥体， 如图所示：所以最长的棱长AB =√22+22+22=2√3． 故选：C ．首先把三视图转换为直观图，进一步求出最大棱长．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的棱长的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：“∀p，r∈N∗，a p+r=a p a r”，取p=n，r=1，则a n+1=2a n，∴{a n}为等比数列，充分性成立．若{a n}为等比数列，则a p+r=2×q p+r−1，a p a r=22⋅q p+r−2，只有q=2时才能成立，必要性不成立．∴数列{a n}满足a1=2，则“∀p，r∈N∗，a p+r=a p a r”是“{a n}为等比数列”的充分不必要条件．故选：A．利用等比数列的定义、通项公式即可判断出结论．本题考查了等差数列的通项公式，充分必要条件的判断，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查指对数运算，考查学生阅读理解能力．根据所给定义表示出F5≈109.632×109，进而即可判断出其位数．【解答】解：根据题意，F5=225+1=232+1≈232=10lg232=1032lg2≈1032×0.3010= 109.632=100.632×109，因为1<100.632<10，所以F5的位数是10．故选：B．11.【答案】x=−1【解析】解：把点P(1,2)代入抛物线方程有，4=2p，∴p=2，=−1．∴抛物线的准线方程为x=−p2故答案为：x=−1．把点P的坐标代入抛物线的方程可求得p，而准线方程为x=−p2，从而得解．本题考查抛物线的方程、准线方程等，考查学生的运算能力，属于基础题．12.【答案】24【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=3，a2+a5=16，∴2×3+5d=16，解得d=2．则数列{a n}的前4项的和=4×3+4×32×2=24．故答案为：24．利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】0【解析】解：因为非零向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=|a⃗−b⃗ |，∴a⃗2=a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2⇒a⃗⋅b⃗ =12b⃗ 2；则(a⃗−12b⃗ )⋅b⃗ =a⃗⋅b⃗ −12b⃗ 2=0．故答案为：0．把所给条件平方整理得到a⃗⋅b⃗ =12b⃗ 2；代入数量积即可求解结论．本题考查向量的数量积以及模长的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．14.【答案】4√22√6【解析】【分析】本题主要考查正弦定理以及三角形的面积，属于基础题目．先根据正弦定理求得AD，进而求得三角形的面积．【解答】 解：如图：因为在△ABC 中，AB =4√3，∠B =π4，点D 在边BC 上，∠ADC =2π3，CD =2，所以：ADsin∠ABD =ABsin∠ADB ⇒AD =4√3×sinπ4sin π3=4√2；S △ACD =12⋅AD ⋅CD ⋅sin∠ADC =12×4√2×2×sin 2π3=2√6；故答案为：4√2，2√6．15.【答案】①②【解析】解：由题可得函数f(x)={3+(x −3)2,0≤x <63+(x −9)2,6≤x <123+(x −15)2,12≤x ≤18，作出图象如图：则当点P 与△ABC 顶点重合时，即x =0，6，12，18时，f(x)取得最大值12，故①正确； 又f(x)=f(18−x)，所以函数f(x)的对称轴为x =9，故②正确；由图象可得，函数f(x)图象与y =kx +3的交点个数最多为6个，故方程最多有6个实根，故③错误． 故答案为：①②．写出函数解析式并作出图象，数形结合进行逐一分析．本题考查命题的真假性判断，涉及函数的应用、图象与性质，数形结合思想，逻辑推理能力，属于难题．16.【答案】(Ⅰ)证明：因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，C 1B ⊂平面BB 1C 1C 所以AB ⊥C 1B .在△BCC 1中，BC =1，BC 1=√3，CC 1=2，所以BC 2+BC 12=CC 12． 所以CB ⊥C 1B .因为AB ∩BC =B ，AB ，BC ⊂平面ABC ， 所以C 1B ⊥平面ABC ．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，AB ⊥C 1B ，BC ⊥C 1B ，AB ⊥BC ， 如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B −xyz ．则B(0,0,0)，E(−12,√3,1)，C(1,0,0)．BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,√3,1)． 设平面BCE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{n⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即{x =0,−12x +√3y +z =0. 令y =√3则x =0，z =−3， 所以n ⃗ =(0,√3,−3)．又因为平面ABC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,1,0)， 所以cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=12． 由题知二面角A −BC −E 为锐角，所以其大小为π3．【解析】(Ⅰ)证明AB ⊥C 1B .CB ⊥C 1B .利用直线与平面垂直的判断定理证明C 1B ⊥平面ABC ．(Ⅱ)以B 为原点建立空间直角坐标系B −xyz.求出平面BCE 的法向量，平面ABC 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的大大小即可，本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由函数f(x)=2cos 2ω1x +sinω2x ，则f(0)=2cos 20+sin0=2；(Ⅱ)选择条件①，则f(x)的一个周期为π；由f(x)=2cos 2x +sin2x=(cos2x +1)+sin2x =√2(√22sin2x +√22cos2x)+1 =√2sin(2x +π4)+1；因为x ∈[−π2,π6]，所以2x +π4∈[−3π4,7π12]；所以−1≤sin(2x +π4)≤1， 所以1−√2≤f(x)≤1+√2； 当2x +π4=−π2，即x =−3π8时，f(x)在[−π2,π6]取得最小值为1−√2． 选择条件②，则f(x)的一个周期为2π； 由f(x)=2cos 2x +sinx=2(1−sin 2x)+sinx=−2(sinx −14)2+178；因为x ∈[−π2,π6]，所以sinx ∈[−1,12]；所以当sinx =−1，即x =−π2时，f(x)在[−π2,π6]取得最小值为−1．【解析】(Ⅰ)由函数f(x)的解析式求出f(0)的值； (Ⅱ)选择条件①时f(x)的一个周期为π，利用三角恒等变换化简f(x)，再求f(x)在[−π2,π6]的最小值． 选择条件②时f(x)的一个周期为2π，化简f(x)，利用三角函数的性质求出f(x)在[−π2,π6]的最小值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化与运算能力，是基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)设事件A 为“从2010年至2019年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超过10%”，从2010年至2019年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年， 所以P(A)=910．(Ⅱ)由图表信息，从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500亿元，所以X 的所有可能取值为0，1，2．且P(X =0)=C 52C 102=29；P(X =1)=C 51C 51C 102=59；P(X =2)=C 52C 102=29．所以X 的分布列为：故X 的期望E(X)=0×29+1×59+2×29=1．(Ⅲ)从两个方面可以看出，该公式是比较重视研发的：一、从2010年至2019年，每年的研发投入是逐年增加的(2018年除外)，并且增加的幅度总体上逐渐加大；二、研发投入占营收的比例总体上也是逐渐增加的，虽然2015年往后有些波动，但是总体占比还是较高的．【解析】(Ⅰ)按照古典概型概率计算公式计算即可；(Ⅱ)显然这是一个超几何分布，按照超几何分布的概率计算方法，分别算出随机变量X 取0，1，2时的概率，然后画出分布列，即可求期望；(Ⅲ)结合折线图从“每年的研发投入”“研发投入占营收比”的变化来分析即可． 本题考查离散型随机变量的分布列、期望的求法，注意对题意的理解需到位、准确．同时考查学生的数学建模的素养，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)①当a =−1时，f(x)=e x −x ，则 f′(x)=e x −1．所以f′(0)=0． 又f(0)=1，所以曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y =1； ②令f′(x)=0，得x =0，此时f′(x)，f(x)随x 的变化如下：可知f(x)min =f(0)=1，函数f(x)的最小值为1． (Ⅱ)证明：由题意可知，x ∈(0,+∞)，令g(x)=e x +ax +lnx −1，则g′(x)=e x +1x +a ， 由(Ⅰ)中可知e x −x ≥1，故 e x ≥1+x ，因为a ∈(−2,0)，则g′(x)=e x +1x+a ≥(x +1)+1x+a ≥2√x ⋅1x+a +1=3+a >0，所以函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增， 因为g(1e)=e 1e +ae−2<e 12−2<0，又因为g(e)=e e +ae >e 2−2e >0， 所以g(x)有唯一的一个零点．即函数y =f(x)与y =1−lnx 有且只有一个交点．【解析】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，函数的零点等问题，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．(Ⅰ)①将a =−1代入，求导，求出切线斜率及切点，利用点斜式方程即得解； ②求出函数函数f(x)的单调性情况，进而得出最值；(Ⅱ)即证函数g(x)=e x +ax +lnx −1仅有一个零点，利用导数可知函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增，结合零点存在性定理即得证．20.【答案】解：(Ⅰ)由题{ca=√32,ab =2,a 2=b 2+c 2.解得{a =2,b =1.所以椭圆方程为x 24+y 2=1．( II)解法1证明：设直线A 2M 方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)，直线A 1B 方程为y =12x +1 由{y =k(x −2),y =12x +1.解得点P(4k+22k−1,4k 2k−1)． 由{y =k(x −2),x 24+y 2=1.得(4k +1)x 2−16k 2x +16k 2−4=0， 则2x M =16k 2−44k 2+1．所以x M =8k 2−24k 2+1，y M =−4k4k 2+1．即M(8k 2−24k 2+1,−4k4k 2+1)．k A 1M =−4k 4k 2+18k 2−24k 2+1+2=−14k ．于是直线A 1M 的方程为y =−14k (x +2)，直线A 2B 的方程为y =−12x +1．由{y =−14k (x +2)y =−12x +1解得点Q(4k+22k−1,−22k−1)． 于是x P =x Q ，所以PQ ⊥x 轴． 设PQ 中点为N ，则N 点的纵坐标为4k 2k−1+−22k−12=1．故PQ 中点在定直线y =1上．从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以|BP|=|BQ|， 所以△BPQ 为等腰三角形． 解法2证明：设M(x 0,y 0)(x 0≠±2,y 0≠±1)则x 02+4y 02=4． 直线A 2M 方程为y =yx 0−2(x −2)，直线A 1B 方程为y =12x +1．由{y =y0x 0−2(x −2),y =12x +1.解得点P(2x 0+4y 0−42y 0−x 0+2,4y 02y0−x 0+2)．直线A 1M 方程为y =yx 0+2(x +2)，直线A 2B 方程为y =−12x +1．由{y =yx 0+2(x +2),y =−12x +1.解得点Q(2x 0−4y 0+42y 0+x 0+2,4y 02y0+x 0+2)．x P −x Q =2x 0+4y 0−42y 0−x 0+2−2x 0−4y 0+42y 0+x 0+2=2(x 0+2y 0−2)(2y 0+x 0+2)−2(x 0−2y 0+2)(2y 0−x 0+2)(2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=2[(x 0+2y 0)2−4)−(4−(x 0−2y 0)2](2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=0．于是x P =x Q ，所以PQ ⊥x 轴．y P +y Q =4y 02y0−x 0+2+4y 02y 0+x 0+2=4y 0(4y 0+4)(2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=4y 0(4y 0+4)(2y 0+2)2−x 02=2．故PQ 中点在定直线y =1上．从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以|BP|=|BQ|， 所以△BPQ 为等腰三角形．【解析】(Ⅰ)由题{ca=√32,ab =2,a 2=b 2+c 2.，求出a ，b ，即可得到椭圆方程．(II)解法1，设直线A 2M 方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)，直线A 1B 方程为y =12x +1，通过联立直线与椭圆方程组，求出M 坐标，Q 坐标，推出|BP|=|BQ|，即可证明△BPQ 为等腰三角形．(x−2)，解法2，设M(x0,y0)(x0≠±2,y0≠±1)则x02+4y02=4.直线A2M方程为y=y0x0−2x+1.通过联立直线与椭圆方程组，求出P，Q坐标，转化推出|BP|=直线A1B方程为y=12|BQ|，得到△BPQ为等腰三角形．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.【答案】解：(Ⅰ)①数列{a n}具有“性质Ψ(2)”；②数列{a n}不具有“性质Ψ(2)”．(Ⅱ)证明：先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ(2)”时，有a2n−1+a2n=2a n，又因为a n+1≥a n，所以0≤a2n−a n=a n−a2n−1≤0，进而有a n=a2n结合a n+1≥a n有a n=a n+1=⋯=a2n，即“数列{a n}为常数列”；再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，则有a2n−1+a2n=2a1=2a n，即“数列{a n}具有“性质Ψ(2)”．(Ⅲ)首先证明：a n+1−a n≥2．因为{a n}具有“性质Ψ(4)”，所以a2n−1+a2n=4a n．当n=1时，有a2=3a1=3．又因为a2n−1,a2n,a n∈N∗，且a2n>a2n−1，所以有a2n≥2a n+1，a2n−1≤2a n−1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1−1≤2a n+1−2，所以2(a n+1−a n)≥3，结合a n+1,a n∈N∗可得：a n+1−a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1−a n≤2．假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N∗满足：a2k+1−a2k≥3或a2k+2−a2k+1≥3，进而有4(a k+1−a k)=(a2k+2+a2k+1)−(a2k+a2k−1)=(a2k+2−a2k)+(a2k+1−a2k−1)=[(a2k+2−a2k+1)+(a2k+1−a2k)]+[(a2k+1−a2k)+(a2k−a2k−1)]≥12．又因为a k+1−a k∈N∗，所以a k+1−a k≥3依此类推可得：a2−a1≥3，矛盾，所以有a n+1−a n≤2．综上有：a n+1−a n=2，结合a1=1可得a n=2n−1，经验证，该通项公式满足a2n−1+a2n=4a n，所以：a n=2n−1．【解析】(Ⅰ)①②利用已知条件及其定义解验证判断出结论．(Ⅱ)先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ(2)”时，有a2n−1+a2n=2a n，根据a n+1≥a n，可得0≤a2n−a n=a n−a2n−1≤0，进而有a n=a2n，结合a n+1≥a n即可证明结论．再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，容易验证a2n−1+a2n=2a1= 2a n，即可证明．(Ⅲ)首先证明：a n+1−a n≥2.根据{a n}具有“性质Ψ(4)”，可得a2n−1+a2n=4a n.当n=1时，有a2=3a1=3.由a2n−1,a2n,a n∈N∗，且a2n>a2n−1，可得a2n≥2a n+1，a2n−1≤2a n−1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1−1≤2a n+1−2，可得2(a n+1−a n)≥3，可得：a n+1−a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1−a n≤2.假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N∗满足：a2k+1−a2k≥3或a2k+2−a2k+1≥3，进而有4(a k+1−a k)=(a2k+2+ a2k+1)−(a2k+a2k−1)=[(a2k+2−a2k+1)+(a2k+1−a2k)]+[(a2k+1−a2k)+(a2k−a2k−1)]≥12.又因为a k+1−a k∈N∗，可得a k+1−a k≥3，依此类推可得：a2−a1≥3，矛盾．综上有：a n+1−a n=2，结合a1=1可得a n=2n−1，本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系、反证法、转化方法、方程以不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2020年北京市十一学校高考数学一模试卷
2020年北京市十一学校高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知集合2{|3100}M x x x =--<，2{|9}N x y x ==-，且M ，N 都是全集R 的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{|35}x x <…B ．{|3x x <-或5}x >C ．{|32}x x --剟D ．{|35}x x -剟2．（4分）下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为(0,)+∞的是( ) A ．|(1)|y lg x =+B ．12y x =C ．2x y =D ．||y ln x =3．（4分）已知双曲线221x y a -=的一条渐近线倾斜角为56π，则(a = )A ．3B 3C ．3D ．3-4．（4分）下列不等式成立的是( )A ．11sin cos 22>B ．113211()()22>C ．112311log log 32<D ．113311()()23>5．（4分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是( ) A ．112B ．115C ．118D ．1146．（4分）设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥7．（4分）数列{}n a 的通项公式为||()n a n c n N +=-∈．则“2c <”是“{}n a 为递增数列”的( )条件． A ．必要而不充分B ．充要C ．充分而不必要D ．即不充分也不必要8．（4分）设函数21()(1||)1fx ln x x=+-+，则使得()f x f >（1）成立的x 的取值范围是( )A ．(1,)+∞B ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞C ．(1,1)-D ．(1-，0)(0⋃，1)9．（4分）已知函数2sin ()1xf x x =+．下列命题： ①函数()f x 的图象关于原点对称； ②函数()f x 是周期函数； ③当2x π=时，函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点． 其中正确命题的序号是( ) A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④10．（4分）空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，γ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是( ) A ．33-B ．3C ．33- D ．32二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA u u u r ，OB u u u r ，则12zz = ．12．（5分）某高中共有1800人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取60人，那么高二年级被抽取的人数为 ．13．（5分）角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则cos()πα-的值是 ．14．（5分）平面向量(1,2)a =r ，(4,2)b =r ，()c ma b m R =+∈r r r ，且c r 与a r 的夹角等于c r 与b r 的夹角，则m = ．15．（5分）以1(a ，0)，2(a ，0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于1(0,)y ，2(0,)y ，且满足120lny lny +=，则点1(a ，2)a 的轨迹方程为 ．16．（5分）某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票．这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88%，75%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为百分之 ．三、解答题（本大题共6小题，共80分）17．如图所示，已知AC ⊥平面CDE ，//BD AC ，ECD ∆为等边三角形，F 为ED 边上的中点，且22CD BD AC ===， （1）求证：//CF 面ABE ；。
2020年北京高考模拟试题(一卷)数学试卷答案
高考模拟试卷参考答案 第 7 页 共 7 页
高考模拟试卷参考答案 第 3 页 共 7 页
EX 0 7 1 31 2 6 11 --------------------------------------------11 分
50 50 25 10
（Ⅲ）
DY1
1 2
1 2
1 4
；
DY2
3 20
17 20
51 400
；
DY3
3 4
若 ,则前 4 项中有 2 项大于 3,因此
,矛盾.
即
且
,因此
.--(12 分)
假设当
时命题成立,则当
时,
构造数列 ,满足
,
可知
,
,同理
,
即
满足题设条件,由归纳假设可知
, ------(13 分)
因此
,
,
,
高考模拟试卷参考答案 第 6 页 共 7 页
即当
时命题成立,证毕.
-------(14 分)
连接 GH
GH AD, AD 2GH
…………1 分
底面 ABCD 是正方形，
AD BC, AD BC
…………2 分
BC=2EF ，BC EF
AD EF,AD=2EF EF HG,EF=HG
EFGH 是平行四边形 FG EH
…………4 分
FG 面ABE, EH 面ABE
40 40 50
PX 1 12 8 28 32 31
40 40 40 40 50
PX 2 12 32 6 --------------------------------------------9 分
2020年北京市第十一中学高三一模数学试卷(带答案)
一、选择题
（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 已知集合
，
，且 、 都是全集 ( 为
实数集)的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）．
A.
B.
或
C.
D.
2. 下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为
的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
3. 已知双曲线 A.
（ 3 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ） ，
，
，
．
（ 2 ）设
，其中
，
则由题意：
，故
，即
，
考虑 ， ，可知
，
所以
或
，
若
，则考虑 ， ，
由于
，
所以
，因此
，
所以
，但此时考虑 ， ，但 ，
，
不满足题意．
若
，此时
满足题意，
所以
，其中 ， 为相异正整数．
（ 3 ）记
，则
，
首先，
，设
，
其中
，
分别考虑 和其他任一元素 ，由题意可得
B. 充要 D. 即不充分也不必要
，则使得 C.
成立的 的取值范围是（ ）． D.
9. 已知函数
．下列命题：①函数 的图象关于原点对称；②函数 是周期函
数；③当
时，函数 取最大值；④函数 的图象与函数
的图象没有公共点，
其中正确命题的序号是（ ）．
A. ①④
B. ②③
C. ①③④
D. ①②④
10. 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点
2020届北京市东城区高三一模考试数学试题及答案
绝密★启用前2020届北京市东城区高三一模考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}10A x x =->，{}1,0,1,2B =-，那么A B =()A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．1,0,1,2D ．{}2答案：D先化简集合A ，再利用交集的定义求解. 解：∵{}1A x x =>，{}1,0,1,2B =-， ∴{}2A B ⋂=. 故选：D. 点评：本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．函数()f x =() A ．(]1,2- B ．[)2,+∞C ．()[),11,-∞-+∞D ．()[),12,-∞-+∞答案：B首先根据()f x =2201x x -≥+，再解不等式即可. 解：函数()f x =，令2201x x -≥+，得20x -≥， 解得2x ≥，所以()f x 的定义域为[)2,+∞.故选：B 点评：本题主要考查函数的定义域，属于简单题.3．已知()211i a R ai=-∈+，则a =（） A ．1B ．0C ．1-D ．2-答案：A利用复数的除法得出211ai i+=-，进而可求得实数a 的值. 解：211i ai=-+，()()()21211111i ai i i i i +∴+===+--+，因此，1a =. 故选：A. 点评：本题考查利用复数相等求参数，考查复数除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.4．若双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线与直线21y x =+平行，则b 的值为()A ．1 BC D ．2答案：D求出双曲线C 中斜率为正数的渐近线方程，根据该直线与直线21y x =+平行可求得b 的值. 解：双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线y bx =与直线21y x =+平行，可得2b =.故选：D. 点评：本题考查利用双曲线的渐近线与直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题.5．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A ．4B ．6C ．8D ．12答案：A利用三视图作出几何体的直观图，然后利用锥体的体积公式可求得该几何体的体积. 解：由三视图知，几何体是一个三棱锥1D BCD ，根据三棱锥的三视图的数据，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是4DC =，3BC =，12DD =，因此，三棱锥的体积是11432432⨯⨯⨯⨯=. 故选：A. 点评：本题考查利用三视图计算几何体的体积，解答的关键就是结合三视图还原几何体，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.6．已知1x <-，那么在下列不等式中，不成立的是() A ．210x ->B ．12x x+<- C ．sin 0x x -> D ．cos 0x x +>答案：D利用作差法可判断A 、B 选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C 、D 选项的正误.综合可得出结论. 解：1x <-，则()()21110x x x -=-+>，()22112120x x x x x x x+++++==<，又sin x 、[]cos 1,1x ∈-，sin 0x x ∴->，cos 0x x +<.可得：ABC 成立，D 不成立. 故选：D. 点评：本题考查不等式正误的判断，一般利用作差法来进行判断，同时也要注意正弦、余弦有界性的应用，考查推理能力，属于中等题.7．在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点M 的初始位置坐标为12⎛ ⎝⎭，则运动到3分钟时，动点M 所处位置的坐标是()A ．12⎫⎪⎪⎝⎭B ．1,22⎛-⎝⎭C ．221⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭D ．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭答案：C计算出运动3分钟时动点M 转动的角，再利用诱导公式可求得结果. 解：每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为32122ππ⨯=.设点M 的初始位置的坐标为()cos ,sin αα，则1cos 2α=，sin 2α=， 运动到3分钟时动点M 所处位置的坐标是cos ,sin 22M ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫'++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由诱导公式可得3cos sin 2παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，1sin cos 22παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， 所以，点M '的坐标为3,21⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C.点评：本题考查点的坐标的求解，考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题.8．已知三角形ABC ，那么“AB AC AB AC +>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B在不等式AB AC AB AC +>-两边平方并化简得0AB AC ⋅>，判断出角A 的属性，再结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 解：三角形ABC 中，“AB AC AB AC +>-”0AB AC ⇒⋅>，可得A 为锐角，此时三角形ABC 不一定为锐角三角形.三角形ABC 为锐角三角形A ⇒为锐角.∴三角形ABC ，那么“AB AC AB AC +>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件. 故选：B. 点评：本题考查必要而不充分条件的判断，同时也考查了平面向量数量积的应用，考查推理能力，属于中等题.9．设O 为坐标原点，点1,0A ，动点P 在抛物线22y x =上，且位于第一象限，M 是线段PA 的中点，则直线OM 的斜率的范围为() A ．(]0,1 B．⎛ ⎝⎭ C．⎛ ⎝⎦ D．⎫+∞⎪⎪⎣⎭答案：C设点2,2y P y ⎛⎫⎪⎝⎭，可得出线段PA 的中点M 的坐标，利用基本不等式可求得直线OM 的斜率的取值范围. 解：设2,2y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0y >，所以PA 的中点22,42y y M ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以222222224OMyy k y y y y ===+++，因为2y y +≥102y y<≤=+，所以0,2OM k ⎛∈ ⎝⎦， 故选：C. 点评：本题考查直线斜率取值范围的计算，涉及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题. 10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以()x t 表示，被捕食者的数量以()y t 表示.如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是（）A ．若在1t 、2t 时刻满足：()()12y t y t =，则()()12x t x t =B ．如果()y t 数量是先上升后下降的，那么()x t 的数量一定也是先上升后下降C ．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D ．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值 答案：C根据图形可判断A 选项的正误；根据曲线上半段中()y t 和()x t 的变化趋势可判断B 选项的正误；根据捕食者和被捕食者的最值情况可判断C 选项的正误；取()10x t =，()100y t =可判断D 选项的正误. 解：由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A 不正确；在曲线上半段中观察到()y t 是先上升后下降，而()x t 是不断变小的，故B 不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处， 同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C 正确； 当捕食者数量最大时在图象最右端，()()25,30x t ∈，()()0,50y t ∈，此时二者总和()()()25,80x t y t +∈，由图象可知存在点()10x t =，()100y t =，()()110x t y t +=，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值，故D 错误，故选：C. 点评：本题考查函数图象的性质，考查数据分析能力，比较抽象，属于中等题. 二、填空题11．已知向量(),1a m =，()1,2b =-，()2,3c =，若a b -与c 共线，则实数m =______. 答案：3求出向量a b -的坐标，利用共线向量的坐标表示可得出关于m 的等式，进而可求得m 的值. 解：向量(),1a m =，()1,2b =-，()2,3c =，()1,3a b m ∴-=-，a b -与c 共线，1323m -∴=，解得实数3m =. 故答案为：3. 点评：本题考查利用向量共线求参数，考查计算能力，属于基础题. 12．在622()x x+的展开式中，常数项为_____．（用数字作答） 答案：60根据二项式展开式的通项公式，利用x 项的指数为0，即可求出常数项. 解： 在622()x x+的展开式中,通项公式为： 66316622()2r r r r r r r T C x C x x--+== 令6302r r -=∴=所以展开式的常数项为：226260C = 故答案为：60 点评：本题考查了二项式定理的通项公式，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 13．圆心在x 轴上，且与直线1:l y x =和2:2l y x =-都相切的圆的方程为______.答案：()22112x y -+=设所求圆的方程为()()2220x a y r r -+=>，根据圆与直线1l 、2l 都相切可求得a 、r 的值，由此可得出所求圆的方程. 解：设所求圆的方程为()()2220x a y r r -+=>，因为圆()()2220x a y r r -+=>与直线1:l y x =和2:2l y x =-r ==，解得1a =，22r，所以圆的方程为()22112x y -+=.故答案为：()22112x y -+=. 点评：本题考查圆的方程的求解，同时也考查了直线与圆相切的处理，考查计算能力，属于中等题.14．设函数()()1,0,22,0.x a a xa x x f x x --⎧+<=⎨+≥⎩给出下列四个结论：①对0a ∀>，t R ∃∈，使得()f x t =无解；②对0t ∀>，a R ∃∈，使得()f x t =有两解；③当0a <时，0t ∀>，使得()f x t =有解；④当2a >时，t R ∃∈，使得()f x t =有三解.其中，所有正确结论的序号是______. 答案：③④取3a =，由一次函数的单调性和基本不等式，可得函数()f x 的值域，可判断①的正误；取0a =，判断函数()f x 的单调性，即可判断②；考虑0a <时，求得函数()f x 的值域，即可判断③；当2a >时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及函数()f x 的图象，即可判断④.综合可得出结论. 解：对于①，可取3a =，则()()3331,0,22,0.x xx x f x x --⎧+<=⎨+≥⎩， 当0x <时，()()()31,3f x x =+∈-∞；当0x ≥时，()3333222222x x x x f x ----=+≥⋅=，当且仅当3x =时，取得等号， 故3a =时，()f x 的值域为R ，t R ∀∈，()f x t =都有解，故①错误；对于②可取0a =时，()0,022,0x xx f x x -<⎧=⎨+≥⎩，可得()f x 在(0,)+∞上单调递增， 对0t ∀>，()f x t =至多一解，故②错误；对于③，当0a <时，0x <时，()()1f x a x =+单调递减，可得()f x a >； 又0x ≥时，0x a ->，即有21x a ->.可得222x a a x --+>，则()f x 的值域为(),a +∞，0t ∀>，()f x t =都有解，故③正确；对于④，当2a >时，0x <时，()()1f x a x =+递增，可得()f x a <；当0x ≥时，()222x a a x f x --=+≥，当且仅当x a =时，取得等号，由图象可得，当23t <<时，()f x t =有三解，故④正确. 故答案为：③④.点评：本题考查分段函数的应用，主要考查方程根的个数问题，注意运用反例法判断命题不正确，考查推理能力，属于中等题. 三、双空题15．ABC 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且3AD CD =，27BD =，则CD =______；sin ABD ∠=______.答案：2321由3AD CD =可得2AC CD =，在BCD 中利用余弦定理可求得CD 的长，在ABD △中，利用正弦定理可求得sin ABD ∠的值. 解：如图所示，等边ABC 中，3AD CD =，所以2AC CD =.又7BD =2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠，即(()22227222cos120CD CD CD CD +-⋅⋅⋅=，解得2CD =，所以6AD =；由sin sin AD BD ABD A =∠∠，即67sin sin 60ABD =∠，解得321sin 14ABD ∠=. 故答案为：2；32114. 点评：本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题. 四、解答题16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，AB AC ⊥，1AB AC ==，1PD =.（Ⅰ）求证：//AD 平面PBC ；（Ⅱ）求二面角D PC B --的余弦值的大小. 答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3-. （Ⅰ）根据四边形ABCD 是平行四边形得出//AD BC ，再利用线面平行的判定定理可证得//AD 平面PBC ；（Ⅱ）过D 作平行于AC 的直线Dx ，以D 为坐标原点，DC 、DP 所在直线分别为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角D PC B --的余弦值. 解： （Ⅰ）证明：底面ABCD 为平行四边形，//AD BC ∴，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，//AD ∴平面PBC ；（Ⅱ）解：过D 作平行于AC 的直线Dx ，AB AC ⊥，Dx DC ⊥，又PD ⊥面ABCD ，∴以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -.则()0,1,0C 、()0,0,1P 、()1,2,0B ，()1,1,0CB =，()0,1,1CP =-，设平面PCB 的一个法向量为(),,n x y z =，由00n CB x y n CP y z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩，取1y =，得()1,1,1n =-.取平面PCD 的一个法向量()1,0,0m =，则cos ,31m n m n m n⋅<>===-⨯⋅.由图可知，二面角D PC B --为钝角，∴二面角D PC B --的余弦值为3-点评：本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的余弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.17．已知函数()()2sin 22cos 066f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=--+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且满足_______. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x 的方程()1f x =在区间[]0,m 上有两个不同解，求实数m 的取值范围.从①()f x 的最大值为1，②()f x 的图象与直线3y =-的两个相邻交点的距离等于π，③()f x 的图象过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭.这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答. 答案：满足①或②或③；（Ⅰ）()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，最小正周期为π；（Ⅱ）47,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭； （Ⅰ）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式，根据①或②或③中的条件求得1a =，可得出()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；（Ⅱ）令()1f x =，得sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得3x k ππ=+，k Z ∈，可得出方程()1f x =在区间[]0,m 上的实数根，进而可得出实数m 的取值范围. 解：（Ⅰ）函数()2sin 22cos 66f x a x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos 2163a x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos 21662a x x πππ⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2sin 2166a x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1sin 216a x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，若满足①()f x 的最大值为1，则12a +=，解得1a =，所以()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为22T ππ==； （Ⅱ）令()1f x =，得sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得2262x k πππ-=+，k Z ∈，即3x k ππ=+，k Z ∈；若关于x 的方程()1f x =在区间[]0,m 上有两个不同解，则3x π=或43π； 所以实数m 的取值范围是47,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 若满足②，()f x 的图象与直线3y =-的两个相邻交点的距离等于π， 且()f x 的最小正周期为22T ππ==，所以()113a -+-=-，解得1a =； 以下解法均相同.若满足③，()f x 的图象过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则()1sin 1066f a ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得1a =；以下解法均相同. 点评：本题考查利用正弦型函数的基本性质求函数解析式，同时也考查了利用正弦型函数方程的根的个数求参数，考查计算能力，属于中等题.18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成.如图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“⋅”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值.（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率； （Ⅱ）从图中A ，B ，C ，D 四个点位中随机选出两个，记X 为其中纵坐标误差的值小于4-的点位的个数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小.（结论不要求证明） 答案：（Ⅰ）0.06；（Ⅱ）分布列见解析，1；（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代.（Ⅰ）通过图象观察，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，由古典概率的计算公式可得所求值；（Ⅱ）通过图象可得，A ，B ，C ，D 四个点位中纵坐标误差值小于4-的有两个点：C ，D ，则X 的所有可能取值为0，1，2，分别求得它们的概率，作出分布列，计算期望即可；（Ⅲ）通过观察它们的极差，即可判断它们的方差的大小．解：（Ⅰ）由图可得，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为30.06 50=；（Ⅱ）由图可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于4-的有两个点：C，D，所以X的所有可能取值为0，1，2，()022416CP XC===，()112224213C CP XC===，()2224126CP XC===，所以X的分布列为所以X的期望为()1210121636E X=⨯+⨯+⨯=；（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代.点评：本题考查古典概率的求法，以及随机变量的分布列和期望的求法，方差的大小的判断，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题.19．已知椭圆E：22221x ya b+=（0a b>>），它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为1F，2F ，若四边形12AF BF 为正方形，且面积为2.（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线1l ，2l ，它们与椭圆E 分别交于点C ，D ，M ，N ，且四边形CDMN 是菱形，求出该菱形周长的最大值.答案：（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）（Ⅰ）由题意可得22212222b c c b a b c=⎧⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎩，解出即可；（Ⅱ）设1l 的方程为1y kx m =+，2l 的方程为2y kx m =+，联立直线与椭圆方程并消元得韦达定理的结论，根据弦长公式可求得CD ，MN ，由四边形CDMN 为菱形可得0MC ND ⋅=，可得2213220m k --=，再根据基本不等式即可求出最值．解：解：（Ⅰ）∵四边形12AF BF 为正方形，且面积为2，∴22212222b cc b a b c =⎧⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆的标准方程2212x y +=；（Ⅱ）设1l 的方程为1y kx m =+，()11,C x y ，()22,D x y ， 设2l 的方程为2y kx m =+，()33,M x y ，()44,N x y ，联立12222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得()22211124220k x km x m +++-=， 由>0∆可得()()22221116412220k m km-+->，化简可得221210k m +->，①1122412km x x k -=++，211222212m x x k-+=，12CD x x-===，同理可得MN =， ∵四边形CDMN 为菱形，∴CD MN =，∴2212m m =，又∵12m m ≠，∴12m m =-，∴1l ，2l 关于原点对称，又椭圆关于原点对称， ∴,C M 关于原点对称，,D N 也关于原点对称，∴3131x x y y =-⎧⎨=-⎩且4242x x y y =-⎧⎨=-⎩，∴()112,2MC x y =，()222,2ND x y =， ∵四边形CDMN 为菱形，可得0MC ND ⋅=， 即12120x x y y +=，即()()1211210x x kx m kx m +++=， 即()()2121122110kx xkm x x m ++++=，可得()221111222224012121m km km m k kk -+=--++++=⋅， 化简可得2213220m k --=，∴菱形CDMN的周长为4l CD ==28312k=+()222122142312k k k +++≤=+ 当且仅当222214k k +=+，即212k =时等号成立， 此时211m =，满足①，∴菱形CDMN 的周长的最大值为 点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查椭圆的几何性质，考查一元二次方程根与系数的应用，考查基本不等式的应用，考查转化与划归思想，考查计算能力，属于难题． 20．已知函数()()ln f x x x ax =-（a R ∈）.（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若()f x 有两个极值点，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若1a >，求()f x 在区间(]0,2a 上的最小值.答案：（Ⅰ）y x =-；（Ⅱ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）()22ln 22a a a ⎡⎤-⎣⎦.由题意得()1ln 2f x x ax '=+-；（Ⅰ）当1a =时，求得()11f '=-，()11f =-，根据点斜式方程即可求出切线方程；（Ⅱ）由题意得1ln 2xa x +=两个不等的正根，令()1ln x g x x +=，则()2ln x g x x -'=，由此可得函数()g x 的单调性，由此可求出答案；（Ⅲ）由题意可得()12f x a x''=-，由二阶导的取值符号可得到f x 的单调性，得到()()max 1ln 202f x f a a ⎛⎫''==-< ⎪⎝⎭，由此可求出函数()f x 在(]0,2a 上单调递减，从而求出最值．解：解：∵()()ln f x x x ax =-， ∴()1ln 2f x x ax '=+-；（Ⅰ）当1a =时，()11f '=-，()11f =-，∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()11y x --=--， 即y x =-；（Ⅱ）∵若()f x 有两个极值点，∴()1ln 20f x x ax '=+-=有两个不等的正根，即1ln 2xa x+=两个不等的正根， 令()1ln xg x x +=，0x >，()2ln x g x x-'=， 令()01g x x ='⇒=，当()0,1x ∈时0g x，此时()g x 单调递增，01g e ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭()(,1)g x ∈-∞；当()1,x ∈+∞时0g x ，此时()g x 单调递减，()(0,1)g x ∈∴函数()g x 在1x =处取得极大值，也是最大值()11g =，因为1ln 2xa x+=两个不等的正根， ∴021a <<，得102a <<， ∴实数a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）∵()()ln f x x x ax =-，∴()1ln 2f x x ax '=+-，()12f x a x''=-， ∵1a >，(]0,2x a ∈，令()102f x x a''=⇒=， 当10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ''>，此时f x 单调递增，当1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ''<，此时f x 单调递减，故()()max 1ln 202f x f a a ⎛⎫''==-< ⎪⎝⎭， ∴()f x 在(]0,2a 上单调递减，故()f x 在(]0,2a 上的最小值为()()222ln 22f a a a a ⎡⎤=-⎣⎦．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于难题．21．数列A ：1x ，2x ，3x ，…，n x ，…，对于给定的t （1t >，t +∈N ），记满足不等式：()*n t x t x t n -≥-（n +∀∈N ，n t ≠）的*t 构成的集合为()T t ．（Ⅰ）若数列2:n A x n =，写出集合()2T ； （Ⅱ）如果()T t （t +∈N ，1t >）均为相同的单元素集合，求证：数列1x ，2x ，…，n x ，…为等差数列；（Ⅲ）如果()T t （t +∈N ，1t >）为单元素集合，那么数列1x ，2x ，…，n x ，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．答案：（Ⅰ）[]3,5；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）是等差数列，证明见解析．（Ⅰ）由题意得，()2*42n tn -≥-，分1n =和2n >两类讨论解出不等式，再根据()2T 的定义即可求出；（Ⅱ）由题意，若()T t 中均只有同一个元素，不妨设为a ，当1n t =+时，由题意可得1t t x x a +-≥，当1n t =-时，有1t t x x a --≤，则1t t x x a +-=成立，从而得出证明；（Ⅲ）不妨设(){}T i a =，(){}T j b =，1i j <<，a b ，由题意可得()j i x x a j i -≥-，()j i x x b j i -≤-，则()()j i a j i x x b j i -≤-≤-，则a b ≤；设(){}i T i t =，则23n t t t ≤≤≤≤，则i j t t ≤，首先证2t =时的情况，不妨设21x x >，由212x x t -≤，()2T 为单元素集，则212x x t -=；再证332t x x =-，由3t 和2t 的定义可证323x x t -=，则3322t x x t =->，则存在正整数4m ≥使得()222m m t x x -=-，而()()2112332m m m i i i i i x x x x t m t --==-=-≥>-∑∑，得出矛盾，从而32t t =，同理可证2345t t t t ====，由此可得结论． 解：（Ⅰ）解：由题意得，()2T 为满足不等式()*22n n x x t-≥-的*t 构成的集合，∵数列2:n A x n =， ∴()2*42n t n -≥-，即()()()*222n n n t ≥--+，当1n =时，上式可化为*3t ≤，当2n >时，上式可化为*2n t +≥，得*5t ≥，∴()[],235T =；（Ⅱ）证：对于数列A ：1x ，2x ，3x ，…，n x ，…，若()T t 中均只有同一个元素，不妨设为a ，下面证明数列A 为等差数列，当1n t =+时，有1t t x x a +-≥，①当1n t =-时，有1t t x x a --≤，②∵①②两式对任意大于1的整数均成立，∴1t t x x a +-=成立，∴数列1x ，2x ，…，n x ，…为等差数列；（Ⅲ）解：对于数列A ：1x ，2x ，…，n x ，…，不妨设(){}T i a =，(){}T j b =，1i j <<，a b ，由(){}T i a =，知()j i x x a j i -≥-，由(){}T j b =，知：()i j x x b i j -≥-，即()j i x x b j i -≤-，∴()()j i a j i x x b j i -≤-≤-，∴a b ≤；设(){}i T i t =，则23n t t t ≤≤≤≤，这说明1i j <<，则i j t t ≤，∵对于数列A ，()T t 中均只有一个元素，首先证2t =时的情况，不妨设21x x >，∵212x x t -≤，又()2T 为单元素集，∴212x x t -=，再证332t x x =-，证明如下：由3t 的定义可知：332t x x ≥-，3132x x t -≥，∴31332max 2,x x t x x -⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭， 由2t 的定义可知32221x x t x x -≥=-， ∴32213133222x x x x x x t x x -+--≥-≥=，∴323x x t -=， ∵32t t >，∴3322t x x t =->，则存在正整数()4m m ≥，使得()222m m t x x -=-，③∵212323431k k x x t x x t x x x x --=≤-≤≤-≤≤-≤， ∴()()2112332m m m i i i i i x x x x t m t --==-=-≥>-∑∑，这与③矛盾，∴32t t =，同理可证2345t t t t ====，即232314x x x x x x =-=--⋅⋅⋅， ∴数列1x ，2x ，…，n x ，…还是等差数列．点评：本题主要考查数列的新定义问题，考查定义法证明等差数列，考查计算能力与推理能力，考查分类讨论思想，考查转化与化归思想，属于难题．。
2020年北京市东城区高考数学一模试卷 (解析版)
2020年高考数学一模试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2}2．函数的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）3．已知，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣24．若双曲线的一条渐近线与直线y＝2x+1平行，则b的值为（）A．1B．C．D．25．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．4B．6C．8D．126．已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．C．sin x﹣x＞0D．cos x+x＞07．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是（）A．B．C．D．8．已知三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为（）A．（0，1]B．C．D．10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：（）A．若在t1，t2时刻满足：y（t1）＝y（t2），则x（t1）＝x（t2）B．如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量（m，1），（1，﹣2），（2，3），若与共线，则实数m ＝．12．在（x）6的展开式中常数项为．（用数字作答）13．圆心在x轴上，且与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切的圆的方程为．14．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，，则CD ＝，sin∠ABD＝．15．设函数给出下列四个结论：①对∀a＞0，∃t∈R，使得f（x）＝t无解；②对∀t＞0，∃a∈R，使得f（x）＝t有两解；③当a＜0时，∀t＞0，使得f（x）＝t有解；④当a＞2时，∃t∈R，使得f（x）＝t有三解．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．17．已知函数，且满足_______．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．从①f（x）的最大值为1，②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f（x）的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）19．已知椭圆，它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形，求出该菱形周长的最大值．20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈R）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．21．数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N+），记满足不等式：x n﹣x t≥t*（n﹣t）（∀n∈N+，n≠t）的t*构成的集合为T（t）．（Ⅰ）若数列A：x n＝n2，写出集合T（2）；（Ⅱ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；（Ⅲ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{2}．故选：D．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．函数的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，列不等式求出解集即可．解：函数，令0，得x﹣2≥0，解得x≥2，所以f（x）的定义域为[2，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了根据二次根式被开方数大于或等于0求函数定义域的问题，是基础题．3．已知，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求解a值．解：∵，∴2＝（1+ai）（1﹣i）＝1+a+（a﹣1）i，∴，即a＝1．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．4．若双曲线的一条渐近线与直线y＝2x+1平行，则b的值为（）A．1B．C．D．2【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到关系式，求解即可．解：双曲线的一条渐近线y＝bx与直线y＝2x+1平行，可得b＝2．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．4B．6C．8D．12【分析】几何体是一个三棱锥，根据三视图的数据，画出直观图，求解体积即可．解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，D1﹣BCD，根据三棱锥的三视图的面积，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是DC＝4，BC＝3，DD1＝2∴三棱锥的体积是4×3×2＝4故选：A．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原平面图形，是基础题．6．已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．C．sin x﹣x＞0D．cos x+x＞0【分析】根据x＜﹣1，利用函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性即可判断出结论．解：∵x＜﹣1，∴x2﹣1＞0，x2，又∵sin x，cos x∈[﹣1，1]，∴sin x﹣x＞0，cos x+x＜0．可得：ABC成立，D不成立．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出3分钟转过的角度，由此计算点M所处位置的坐标．解：每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为2π；点M的初始位置坐标为，运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是M′（，）．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．8．已知三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】三角形ABC，那么“”⇒•0，可得A为锐角．进而判断出结论．解：三角形ABC，那么“”⇒•0，可得A为锐角．此时三角形ABC不一定为锐角三角形．三角形ABC为锐角三角形⇒A为锐角．∴三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、简易逻辑的判定方法、三角形的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为（）A．（0，1]B．C．D．【分析】设P的坐标，看可得PA的中点M的坐标，进而求出OM的斜率，由均值不等式可得其取值范围．解：设P（，y），y＞0，所以PA的中点M（，），所以k OM，因为y，所以0，所以k OM∈（0，]，故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，及均值不等式的性质，属于中档题．10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：（）A．若在t1，t2时刻满足：y（t1）＝y（t2），则x（t1）＝x（t2）B．如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值【分析】根据图象数形结合，逐一进行分析即可解：由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确；在曲线上半段中观察到y（t）是先上升后下降，而x（t）是不断变小的，故B不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C正确；当捕食者数量最大时在图象最右端，x（t）∈（25，30），y（t）∈（0，50），此时二者总和x（t）+y（t）∈（25，80），由图象可知存在点x（t）＝10，y（t）＝100，x（t）+y（t）＝110，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值，故D错误，故选：C．【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质，本题比较抽象，理解起来有一定的难度．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量（m，1），（1，﹣2），（2，3），若与共线，则实数m ＝3．【分析】先求出（m﹣1，3），再由与共线，列方程能求出实数m．解：∵向量（m，1），（1，﹣2），（2，3），∴（m﹣1，3），∵与共线，∴，解得实数m＝3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则和向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．在（x）6的展开式中常数项为160．（用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解：在的展开式中的通项公式为T r+1•2r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得常数项为•23＝160，故答案为：160．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13．圆心在x轴上，且与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切的圆的方程为（x﹣1）2+y2．【分析】设所求圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，利用圆与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切，即可得出结论．解：设所求圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，因为圆与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切，则r，解得a＝1，r，所以圆的方程为（x﹣1）2+y2．故答案为：（x﹣1）2+y2．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．14．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，，则CD ＝2，sin∠ABD＝．【分析】根据题意画出图形，利用余弦定理求出CD的值，再利用正弦定理求出sin∠ABD 的值．解：如图所示，等边△ABC中，AD＝3CD，所以AC＝2CD；又，所以BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD，即（2CD）2+CD2﹣2•2CD•CD•cos120°，解得CD＝2，所以AD＝6；由，即，解得sin∠ABD．故答案为：2，．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．15．设函数给出下列四个结论：①对∀a＞0，∃t∈R，使得f（x）＝t无解；②对∀t＞0，∃a∈R，使得f（x）＝t有两解；③当a＜0时，∀t＞0，使得f（x）＝t有解；④当a＞2时，∃t∈R，使得f（x）＝t有三解．其中，所有正确结论的序号是③④．【分析】可取a＝3，由一次函数的单调性和基本不等式，可得f（x）的值域，即可判断①；取a＝0，判断f（x）的单调性，即可判断②；考虑a＜0时，求得f（x）的值域，即可判断③；当a＞2时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及f（x）的图象，即可判断④．解：对于①，可取a＝3，则f（x），当x＜0时，f（x）＝3（x+1）∈（﹣∞，3）；当x≥0时，f（x）＝2x﹣3+23﹣x≥22，当且仅当x＝3时，取得等号，故a＝3时，f（x）的值域为R，∀t∈R，f（x）＝t都有解，故①错误；对于②可取a＝0时，f（x），可得f（x）在R上单调递增，对∀t＞0，f（x）＝t至多一解，故②错误；对于③，当a＜0时，x＜0时，f（x）＝a（x+1）递减，可得f（x）＞a；又x≥0时，x﹣a＞0，即有2x﹣a＞1，可得2x﹣a+2a﹣x＞2，则f（x）的值域为（a，+∞），∀t＞0，f（x）＝t都有解，故③正确；对于④，当a＞2时，x＜0时，f（x）＝a（x+1）递增，可得f（x）＜a；当x≥0时，f （x）＝2x﹣a+2a﹣x≥2，当且仅当x＝a时，取得等号，由图象可得，当2＜t＜3时，f（x）＝t有三解，故④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查方程的解的个数，注意运用反例法判断命题不正确，以及数形结合思想，考查推理能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．【分析】（Ⅰ）由底面ABCD为平行四边形，得AD∥BC，再由直线与平面平行的判定可得AD∥平面PBC；（Ⅱ）过D作平行于AC的直线Dx，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz．分别求出平面PCB与平面PCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC；（Ⅱ）解：过D作平行于AC的直线Dx，∵AB⊥AC，∴Dx⊥DC，又PD⊥面ABCD，∴以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz．则C（0，1，0），P（0，0，1），B（1，2，0），（1，1，0），（0，﹣1，1），设平面PCB的一个法向量为，由，取y＝1，得；取平面PCD的一个法向量．则cos．由图可知，二面角D﹣PC﹣B为钝角，∴二面角D﹣PC﹣B的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．17．已知函数，且满足_______．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．从①f（x）的最大值为1，②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f（x）的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式和诱导公式化简函数f（x），若满足①，利用最大值求出a的值，写出f（x）的解析式，求出最小正周期；（Ⅱ）令f（x）＝1求得方程的解，根据方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解找出这两个解，从而写出实数m的取值范围．若满足②，利用三角函数的图象与性质列出方程求得a的值，以下解法均相同．若满足③，利用f（x）的图象过点，代入求出a的值，以下解法均相同．解：（Ⅰ）函数f（x）＝a sin（2x）﹣2cos2（x）＝a sin（2x）﹣cos（2x）﹣1＝a sin（2x）﹣sin（﹣2x）﹣1＝（a+1）sin（2x）﹣1，若满足①f（x）的最大值为1，则a+1＝2，解得a＝1，所以f（x）＝2sin（2x）﹣1；f（x）的最小正周期为Tπ；（Ⅱ）令f（x）＝1，得sin（2x）＝1，解得2x2kπ，k∈Z；即x kπ，k∈Z；若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，则x或；所以实数m的取值范围是[，）．若满足②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，且f（x）的最小正周期为Tπ，所以﹣（a+1）﹣1＝﹣3，解得a＝1；以下解法均相同．若满足③f（x）的图象过点，则f（）＝（a+1）sin1＝0，解得a＝1；以下解法均相同．【点评】本题考查了利用三角函数的基本性质求解析式问题，也考查了三角函数图象与性质的应用问题，是中档题．18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）【分析】（Ⅰ）通过图象观察，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，由古典概率的计算公式可得所求值；（Ⅱ）通过图象可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点：C，D，则X的所有可能取值为0，1，2，分别求得它们的概率，作出分布列，计算期望即可；（Ⅲ）通过观察它们的极差，即可判断它们的方差的大小．解：（Ⅰ）由图可得，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为0.06；（Ⅱ）由图可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点：C，D，所以X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），所以X的分布列为X12P所以X的期望为E（X）＝0121；（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代．【点评】本题考查古典概率的求法，以及随机变量的分布列和期望的求法，方差的大小的判断，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19．已知椭圆，它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形，求出该菱形周长的最大值．【分析】（Ⅰ）由题意可得b＝c，bc＝2，求得b，再由a，b，c的关系可得a，进而得到所求椭圆方程；（Ⅱ）设l1的方程为y＝kx+m1，C（x1，y1），D（x2，y2），设l2的方程为y＝kx+m2，M（x3，y3），N（x4，y4），分别联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，求得|CD|，|MN|，运用菱形和椭圆的对称性可得l1，l2关于原点对称，结合菱形的对角线垂直和向量数量积为0，可得3m12﹣2k2﹣2＝0，设菱形CDMN 的周长为l，运用基本不等式，计算可得所求最大值．解：（Ⅰ）因为四边形AF1BF2为正方形，且面积为2，所以b＝c，且•2c•2b＝2，解得b＝c＝1，a2＝2，所以椭圆的标准方程：y2＝1；（Ⅱ）设l1的方程为y＝kx+m1，C（x1，y1），D（x2，y2），设l2的方程为y＝kx+m2，M（x3，y3），N（x4，y4），联立可得（1+2k2）x2+4km1x+2m12﹣2＝0，由△＞0可得16k2m12﹣4（1+2k2）（2m12﹣2）＞0，化简可得2k2+1﹣m12＞0，①x1+x2，x1x2，|CD|•|x1﹣x2|•••，同理可得|MN|•，因为四边形CDMN为菱形，所以|CD|＝|MN|，所以m12＝m22，又因为m1≠m2，所以m1＝﹣m2，所以l1，l2关于原点对称，又椭圆关于原点对称，所以C，M关于原点对称，D，N也关于原点对称，所以且，（2x1，2y1），（2x2，2y2），因为四边形CDMN为菱形，可得•0，即x1x2+y1y2＝0，即x1x2+（kx1+m1）（kx2+m1）＝0，即（1+k2）x1x2+km1（x1+x2）+m12＝0，可得（1+k2）•km1•m12＝0，化简可得3m12﹣2k2﹣2＝0，设菱形CDMN的周长为l，则l＝4|CD|•4，当且仅当2+2k2＝1+4k2，即k2时等号成立，此时m12＝1，满足①，所以菱形CDMN的周长的最大值为4．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，主要考查化简运算能力和推理能力，属于难题．20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈一、选择题）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．【分析】（Ⅰ）先利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程；（Ⅱ）先把f（x）有两个极值点转化为方程2a有两个不等的正根，再利用数形结合求出a的取值范围；（Ⅲ）先利用导函数的符号判断f（x）在区间（0，2a]上的单调性，进而解决其最小值．解：∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax．（Ⅰ）当a＝1时，f′（1）＝﹣1，f（1）＝﹣1，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣1）＝﹣（x﹣1），即y＝﹣x；（Ⅱ）∵若f（x）有两个极值点，∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax＝0有两个不等的正根，即2a两个不等的正根．令g（x），x＞0，g′（x），令g′（x）＝0⇒x＝1，当x∈（0，1）时g′（x）＞0，此时g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时g′（x）＜0，此时g（x）单调递减；且g（1）＝1，故0＜2a＜1，解得：a∈（0，）．（Ⅲ）∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax，f″（x）2a，∵a＞1，x∈（0，2a]，令f″（x）＝0⇒x，当x∈（0，）时，f″（x）＞0，此时f′（x）单调递增；当x∈（，+∞）时，f″（x）＜0，此时f′（x）单调递减，故f′（x）max＝f′（）＝﹣ln（2a）＜0，∴f（x）在（0，2a]上单调递减，故f（x）在（0，2a]上的最小值为f（2a）＝2a[ln（2a）﹣2a2]．【点评】本题主要考查曲线的切线方程的求法及导数的综合应用，属于一道有难度的题．21．数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N+），记满足不等式：x n﹣x t≥t*（n﹣t）（∀n∈N+，n≠t）的t*构成的集合为T（t）．（Ⅰ）若数列A：x n＝n2，写出集合T（2）；（Ⅱ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；（Ⅲ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．【分析】（Ⅰ）推导出n2﹣4≥t*（n﹣2）（∀n∈N+，n≠t），当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，5≥t*，当n＝1时，上式可化为3≤t*，由此能求出T（2）为[3，5]．（Ⅱ）T（t）（∀t∈N+，t＞l）中均只有同一个元素，不妨设为a．当n＝t+1时，有x t+1﹣x t≥a，（∀t＞1），当n＝t﹣1时，有x t﹣x t﹣1≤a（∀t＞1），由此能证明数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．（Ⅲ）设T（i）＝{a}，T（j）＝{b}，1＜i＜j，a≠b，由T（i）＝{a}，知x j﹣x i≥a（j ﹣i），由T（j）＝{b}，知：x i﹣x j≥b（i﹣j），即x j﹣x i≤b（j﹣i），从而a（j﹣i）≤x j﹣x i≤b（j﹣i），a≤b．设T（i）＝{t i}，则t2≤t3≤…≤t n≤…，1＜i＜j，则t i≤t j，推导出t2＝t3＝t4＝t5＝…，由此能证明数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列．解：（Ⅰ）由于A：，T（2）为满足不等式（n﹣t）（∀n∈N+）的t*构成的集合，∴n2﹣4≥t*（n﹣2）（∀n∈N+，n≠t），当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，∴5≥t*，当n＝1时，上式可化为3≤t*，∴T（2）为[3，5]．（Ⅱ）证明：对于数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，若T（t）（∀t∈N+，t＞l）中均只有同一个元素，不妨设为a，下面证明数列A为等差数列，当n＝t+1时，有x t+1﹣x t≥a，（∀t＞1），①当n＝t﹣1时，有x t﹣x t﹣1≤a（∀t＞1），②∵①②两式对任意大于1的整数均成立，∴x t+1﹣x t＝a（∀t＞1）成立，∴数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．（Ⅲ）对于数列A：x1，x2，…，x n，…，不妨设T（i）＝{a}，T（j）＝{b}，1＜i＜j，a≠b，由T（i）＝{a}，知x j﹣x i≥a（j﹣i），由T（j）＝{b}，知：x i﹣x j≥b（i﹣j），即x j﹣x i≤b（j﹣i），∴a（j﹣i）≤x j﹣x i≤b（j﹣i），∴a≤b．设T（i）＝{t i}，则t2≤t3≤…≤t n≤…，这说明1＜i＜j，则t i≤t j，∵对于数列A：x1，x2，…，x n，…，T（t）（∀t∈N+，t＞1）中均只有一个元素，首先考察t＝2时的情况，不妨设x2＞x1，∵x2﹣x1≤t2，又T（2）为单元素集，∴x2﹣x1＝t2，再证t3＝x3﹣x2，证明如下：由t3＝x3﹣x2，证明如下：由t3的定义可知：t3≥x3﹣x2，，∴，由t2的定义可知x3﹣x2≥t2＝x2﹣x1，∴t3≥x3﹣x2，∴x3﹣x2＝t3，∵t3＞t2，∴t3＝x3﹣x2＞t2，则存在正整数m（m≥4），使得（m﹣2）t2＝x m﹣x2，③∵x2﹣x1＝t2≤x3﹣x2≤t3≤x4﹣x3≤…≤x k﹣x k﹣1≤…∴x m﹣x2（m﹣2）t2，这与③矛盾，∴t3＝t2，同理可证t2＝t3＝t4＝t5＝…，∴数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列．【点评】本题考查集合的求法，考查等差数列的证明，考查等比数列的判断与证明，考查推理论主能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．。
2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．i是虚数单位，=（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．﹣1+i2．已知全集U=R，函数y=ln（x﹣1）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}，则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）3．“”是“e a＞e b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．42 B．19 C．8 D．35．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A．B．或C．D．或6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余=收入﹣支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3：1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．1 D．8．若圆x2+（y﹣1）2=r2与曲线（x﹣1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（）A．0＜r＜B．0＜r＜C．0＜r＜D．0＜r＜二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是_______（用数字作答）．10．已知等差数列{a n}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，则数列{a n}的通项公式a n=_______；a2+a6+a10+…+a4n+10=_______．11．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y2=2，曲线C2的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为_______．12．不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则实数a的取值范围是_______．13．已知M为△ABC所在平面内的一点，且．若点M在△ABC的内部（不含边界），则实数n的取值范围是_______．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i（i=1，2，…，12）项能力特征用x i表示，，若学生A，B的十二项能力特征分别记为A=（a1，a2，…，a12），B=（b1，b2，…，b12），则A，B两名学生的不同能力特征项数为_______（用a i，b i表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为_______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数，ω＞0．（Ⅰ）若ω=1，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求f（x）的最小正周期T的表达式并指出T的最大值．16．为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如表．1 2 3 4 5男生 1 4 3 2 2女生0 1 3 3 1（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．17．如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2．直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点．（Ⅰ）求证：A1C1⊥AP；（Ⅱ）当点P是线段BB1中点时，求二面角P﹣AM﹣B的余弦值；1（Ⅲ）是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由．18．已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；（Ⅲ）试问过点P（1，3）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．19．已知点和椭圆C：．（Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，试求△PF1F2的周长及椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线l：与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线PA，PB 与x轴分别交于M，N两点，求证：|PM|=|PN|．20．已知等差数列{a n}的通项公式．设数列{b n}为等比数列，且．（Ⅰ）若b1=a1=2，且等比数列{b n}的公比最小，（ⅰ）写出数列{b n}的前4项；（ⅱ）求数列{k n}的通项公式；（Ⅱ）证明：以b1=a2=5为首项的无穷等比数列{b n}有无数多个．2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．i是虚数单位，=（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．﹣1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．【解答】解：===1+i，故选C．2．已知全集U=R，函数y=ln（x﹣1）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}，则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别解出关于M，N的范围，然后判断即可．【解答】解：由x﹣1＞0，解得：x＞1，故函数y=ln（x﹣1）的定义域为M=（1，+∞），由x2﹣x＜0，解得：0＜x＜1，故集合N={x|x2﹣x＜0}=（0，1），∴∁U N={x|x≥1或x≤0}，∴M⊆（∁U N），故选：D．3．“”是“e a＞e b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“”等价于a＞b，可得“e a＞e b”，反之不成立，例如取a=2，b=﹣1．即可判断出结论．【解答】解：∵“”⇔a＞b⇒“e a＞e b”，反之不成立，例如取a=2，b=﹣1．∴“”是“e a＞e b”的充分不必要条件．故选：A．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．42 B．19 C．8 D．3【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=4时不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为19．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=1满足条件i＜4，S=3，i=2满足条件i＜4，S=8，i=3满足条件i＜4，S=19，i=4不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为19．故选：B．5．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A．B．或C．D．或【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cosB，整理后代入已知等式，利用同角三角函数间基本关系化简，求出sinB的值，即可确定出B的度数．【解答】解：∵cosB=，∴a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知等式得：2ac•cosBtanB=ac，即sinB=，则B=或．故选：B．6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余=收入﹣支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3：1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据折现统计图即可判断各选项．【解答】解：由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：1，故A正确，由图可知，结余最高为7月份，为80﹣20=60，故B正确，由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确，由图可知，前6个月的平均收入为（40+60+30+30+50+60）=45万元，故D错误，故选：D．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．1 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB⊥侧面PAB．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB⊥侧面PAB．该几何体的体积V=××1=．故选：A．8．若圆x2+（y﹣1）2=r2与曲线（x﹣1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（）A．0＜r＜B．0＜r＜C．0＜r＜D．0＜r＜【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】求得圆的圆心和半径，设圆与曲线y=相切的切点为（m，n），代入曲线的方程，求出函数的导数和切线的斜率，由两点的斜率公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得切点，进而得到此时圆的半径，结合图象即可得到所求范围．【解答】解：圆的圆心为（0，1），半径为r，设圆与曲线y=相切的切点为（m，n），可得n=，①y=的导数为y′=﹣，可得切线的斜率为﹣，由两点的斜率公式可得•（﹣）=﹣1，即为n﹣1=m（m﹣1）2，②由①②可得n4﹣n3﹣n﹣1=0，化为（n2﹣n﹣1）（n2+1）=0，即有n2﹣n﹣1=0，解得n=或，则有或．可得此时圆的半径r==．结合图象即可得到圆与曲线没有公共点的时候，r的范围是（0，）．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是10（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】先求出二项式（x2+）5的展开式中通项公式，令x的系数等于4，求出r的值，即可求得展开式中含x4的项的系数．【解答】解：二项式（x2+）5的展开式中通项公式为T r+1=x10﹣2r x﹣r=x10﹣3r．令10﹣3r=4，可得r=2，∴展开式中含x4的项的系数是=10，故答案为10．10．已知等差数列{a n}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，则数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；a2+a6+a10+…+a4n+10=（n+3）（4n+11）．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式求出首项和公差，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，∴a4=1+3d=7，解得d=2，∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴a2=1+2=3，a6=1+5×2=11，a6﹣a2=8，∴a2+a6+a10+…+a4n+10=×3+×8=（n+3）（4n+11）．故答案为：2n﹣1，（n+3）（4n+11）．11．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y2=2，曲线C2的参数方程为（t 为参数）．以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为（，）．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．【分析】将曲线C2的参数方程代入曲线C1的方程，可得t=1，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=，求得ρ，θ，即可得到所求坐标．【解答】解：将曲线C2的参数方程（t为参数）代入曲线C1的方程为x2+y2=2，可得（2﹣t）2+t2=2，解得t=1，可得交点的直角坐标为（1，1），由x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=，可得ρ==，tanθ=1，0＜θ＜，可得θ=．可得交点的极坐标为（，）．故答案为：（，）．12．不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则实数a的取值范围是．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域图示：因为y=a（x+1）过定点C（﹣1，0）．当a≤0时，直线y=a（x+1）与区域D有公共点，满足条件．当a＞0时，当直线y=a（x+1）过点A时，由公共点，由得，即A（3，3），代入y=a（x+1）得4a=3，a=，又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．此时0＜a≤．综上所述，a≤．故答案为：．13．已知M为△ABC所在平面内的一点，且．若点M在△ABC的内部（不含边界），则实数n的取值范围是（0，）．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据题意可作出图形，将，带入并进行向量的数乘运算便可以得出，这样根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义便可得到，从而便可得出实数n的取值范围．【解答】解：如图，由得：；∴；∴；∴；∴；∴实数n的取值范围是．故答案为：．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i（i=1，2，…，12）项能力特征用x i表示，，若学生A，B的十二项能力特征分别记为A=（a1，a2，…，a12），B=（b1，b2，…，b12），则A，B两名学生的不同能力特征项数为（用a i，b i表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为22．【考点】函数模型的选择与应用；分段函数的应用．【分析】根据A，B两名学生的每一项的特征数是否相同，进行求解计算即可．【解答】解：若第i（i=1，2，…，12）项能力特征相同，则差为0，特征不相同，绝对值为1，则用x i表示A，B两名学生的不同能力特征项数为=|a1﹣b1|+|b2﹣c2|+…+|c12﹣a12|=，设第三个学生为C=（c1，c2，…，c12），则d i=|a i﹣b i|+|b i﹣c i|+|c i﹣a i|，1≤i≤12，∵d i的奇偶性和（a i﹣b i）+（b i﹣c i）+（c i﹣a i）=0一样，∴d i是偶数，3名学生两两不同能力特征项数总和为S=d1+d2+…+d12为偶数，又S≥7×3=21．则S≥22，取A=（0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1），B=（1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1），C=（1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，1），则不同能力特征数总和恰好为22，∴最小值为22，故答案为：，22三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数，ω＞0．（Ⅰ）若ω=1，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求f（x）的最小正周期T的表达式并指出T的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当ω=1时，利用两角和与差以及二倍角公式化简函数的解析式，然后求解函数的单调区间．（Ⅱ）化简函数的解析式为：f（x）=．通过，求出．然后求解T的最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当ω=1时，==．令．解得．所以f（x）的单调递增区间是．…（Ⅱ）由==．因为，所以．则，n∈Z．解得．又因为函数f（x）的最小正周期，且ω＞0，所以当ω=时，T的最大值为4π．…16．为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如表．1 2 3 4 5男生 1 4 3 2 2女生0 1 3 3 1（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；极差、方差与标准差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设事件A：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4．由此能求出这两名学生阅读名著本数之和为4的概率．（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．（Ⅲ）．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4．由题意可知，．…（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4．由题意可得，，，，．所以随机变量X的分布列为X 0 1 2 3 4P随机变量X的均值．…（Ⅲ）．…17．如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2．直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点．（Ⅰ）求证：A1C1⊥AP；（Ⅱ）当点P是线段BB1中点时，求二面角P﹣AM﹣B的余弦值；1（Ⅲ）是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）证明AC⊥AB．结合AC⊥AA1，证明AC⊥平面AA1B1B．推出A1C1⊥平面AA1B1B．即可证明A1C1⊥AP．（Ⅱ）以AC，AB，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABM的一个法向量，平面APM的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角P﹣AM﹣B的余弦值．（Ⅲ）存在点P，使得直线A1C∥平面AMP．设P（x1，y1，z1），求出平面AMP的一个法向量，求出，利用．求出λ，即可证明结果．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：由已知∠A1AB=∠A1AC=90°，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，所以∠BAC=90°，即AC⊥AB．又因为AC⊥AA1且AB∩AA1=A，所以AC⊥平面AA1B1B．由已知A1C1∥AC，所以A1C1⊥平面AA1B1B．因为AP⊂平面AA1B1B，所以A1C1⊥AP．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AC，AB，AA1两两垂直．分别以AC，AB，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示．由已知AB=AC=AA1=2A1B1=2A1C1=2，所以A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），B1（0，1，2），A1（0，0，2）．因为M为线段BC的中点，P为线段BB1的中点，所以．易知平面ABM的一个法向量=（0，0，1）．设平面APM的一个法向量为=（x，y，z），由，得取y=2，得=（﹣2，2，﹣3）．由图可知，二面角P﹣AM﹣B的大小为锐角，所以===．所以二面角P﹣AM﹣B的余弦值为．…（Ⅲ）存在点P，使得直线A1C∥平面AMP．设P（x1，y1，z1），且，λ∈[0，1]，则（x1，y1﹣2，z1）=λ（0，﹣1，2），所以x1=0，y1=2﹣λ，z1=2λ．所以．设平面AMP的一个法向量为=（x0，y0，z0），由，得取y0=1，得（显然λ=0不符合题意）．又，若A1C∥平面AMP，则．所以．所以．所以在线段BB1上存在点P，且时，使得直线A1C∥平面AMP．…18．已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；（Ⅲ）试问过点P（1，3）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，函数的导函数，通过（1）当a≥0时，（2）当a ＜0时，当0＜x＜﹣a时，当x＞﹣a时，导函数的符号，判断函数的单调性．（Ⅱ）（1）当﹣a≤1时，（2）当1＜﹣a＜2时，（3）当﹣a≥2时，分别求解函数的最值．（Ⅲ）设切点为（x0，x0+alnx0），则切线斜率，求出切线方程，切线过点P（1，3），推出关系式，构造函数（x＞0），求出导函数，（1）当a＜0时，判断g（x）单调性，说明方程g（x）=0无解，切线的条数为0．（2）当a＞0时，类比求解，推出当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线．（3）当a=0时，f（x）=x，说明不存在过点P（1，3）的切线．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}．．（1）当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）当a＜0时，令f′（x）=0，得x=﹣a．当0＜x＜﹣a时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；当x＞﹣a时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数．综上所述，当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．当a＜0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，﹣a），单调递增区间为（﹣a，+∞）．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当﹣a≤1时，即a≥﹣1时，函数f（x）在区间[1，2]上为增函数，所以在区间[1，2]上，f（x）min=f（1）=1，显然函数f（x）在区间[1，2]上恒大于零；（2）当1＜﹣a＜2时，即﹣2＜a＜﹣1时，函数f（x）在[1，﹣a）上为减函数，在（﹣a，2]上为增函数，所以f（x）min=f（﹣a）=﹣a+aln（﹣a）．依题意有f（x）min=﹣a+aln（﹣a）＞0，解得a＞﹣e，所以﹣2＜a＜﹣1．（3）当﹣a≥2时，即a≤﹣2时，f（x）在区间[1，2]上为减函数，所以f（x）min=f（2）=2+aln2．依题意有f（x）min=2+aln2＞0，解得，所以．综上所述，当时，函数f（x）在区间[1，2]上恒大于零．…（Ⅲ）设切点为（x0，x0+alnx0），则切线斜率，切线方程为．因为切线过点P（1，3），则．即．…①令（x＞0），则．（1）当a＜0时，在区间（0，1）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增；在区间（1，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以函数g（x）的最大值为g（1）=﹣2＜0．故方程g（x）=0无解，即不存在x0满足①式．因此当a＜0时，切线的条数为0．（2）当a＞0时，在区间（0，1）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以函数g（x）的最小值为g（1）=﹣2＜0．取，则．故g（x）在（1，+∞）上存在唯一零点．取，则=．设，u（t）=e t﹣2t，则u′（t）=e t﹣2．当t＞1时，u′（t）=e t﹣2＞e﹣2＞0恒成立．所以u（t）在（1，+∞）单调递增，u（t）＞u（1）=e﹣2＞0恒成立．所以g（x2）＞0．故g（x）在（0，1）上存在唯一零点．因此当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线．（3）当a=0时，f（x）=x，显然不存在过点P（1，3）的切线．综上所述，当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线；当a≤0时，不存在过点P（1，3）的切线．…19．已知点和椭圆C：．（Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，试求△PF1F2的周长及椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线l：与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线PA，PB 与x轴分别交于M，N两点，求证：|PM|=|PN|．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的方程，求出a，b，c．通过椭圆的定义求解三角形的周长，求解椭圆的离心率．（Ⅱ）联立，利用直线l与椭圆C有两个交点，求出﹣4＜m＜0或0＜m＜4．设A（x1，y1），B（x2，y2），结合韦达定理，求解AB坐标，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，推出k1+k2=0，即可证明|PM|=|PN|．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，a2=4，b2=2，所以c2=2．因为是椭圆C上的点，由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=4．所以△PF1F2的周长为．易得椭圆的离心率．…（Ⅱ）证明：由得．因为直线l与椭圆C有两个交点，并注意到直线l不过点P，所以解得﹣4＜m＜0或0＜m＜4．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，．显然直线PA与PB的斜率存在，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，则======．因为k1+k2=0，所以∠PMN=∠PNM．所以|PM|=|PN|．…20．已知等差数列{a n}的通项公式．设数列{b n}为等比数列，且．（Ⅰ）若b1=a1=2，且等比数列{b n}的公比最小，（ⅰ）写出数列{b n}的前4项；（ⅱ）求数列{k n}的通项公式；（Ⅱ）证明：以b1=a2=5为首项的无穷等比数列{b n}有无数多个．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）（ⅰ）写出数列{a n}的前若干项，观察可得等比数列{b n}的公比最小为4，即可得到所求；（ⅱ）由（ⅰ）可知{b n}的通项公式，由等差数列的通项公式可得．证明k n为正整数即可；（Ⅱ）设数列{c n}是数列{a n}中包含的一个无穷等比数列，求出c1，c2，求得公比q，只要证是数列{a n}的项，运用归纳法，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）观察数列{a n}的前若干项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…．因为数列{a n}是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然最小公比不能是，最小公比是4．（ⅰ）以2为首项，且公比最小的等比数列的前四项是2，8，32，128．（ⅱ）由（ⅰ）可知b1=2，公比q=4，所以．又，所以，即．再证k n为正整数．显然k1=1为正整数，n≥2时，，即，故为正整数．所以，所求通项公式为；（Ⅱ）证明：设数列{c n}是数列{a n}中包含的一个无穷等比数列，且，，所以公比．因为等比数列{c n}各项为整数，所以q为整数．取k2=5m+2（m∈N*），则q=3m+1，故．只要证是数列{a n}的项，即证3k n﹣1=5•（3m+1）n﹣1．只要证（n∈N*）为正整数，显然k1=2为正整数．又n≥2时，，即，又因为k1=2，5m（3m+1）n﹣2都是正整数，故n≥2时，k n也都是正整数．所以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，其公比q=3m+1有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故数列{a n}所包含的以a2=5为首项的不同无穷等比数列有无数多个．2020年9月12日。
2020年北京市西城区高考数学一模试卷（二）（有答案解析）
2020年北京市西城区⾼考数学⼀模试卷（⼆）（有答案解析）2020年北京市西城区⾼考数学⼀模试卷（⼆）⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，共40.0分）1.设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={-3，-1，1，3}，则集合（?U A）∩B=（）A. {-3，-1}B. {-3，-1，3}C. {1，3}D. {-1，1}2.若复数，则在复平⾯内z对应的点位于（）A. 第⼀象限B. 第⼆象限C. 第三象限D. 第四象限3.执⾏如图所⽰的程序框图，则输出的k值为（）A. 4B. 5C. 7D. 94.下列直线中，与曲线C：没有公共点的是（）A. 2x+y=0B. 2x+y-4=0C. 2x-y=0D. 2x-y-4=05.设a，b，m均为正数，则“b＞a”是“”的（）A. 充分⽽不必要条件B. 必要⽽不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.如图，阴影表⽰的平⾯区域W是由曲线x-y=0，x2+y2=2所围成的．若点P（x，y）在W内（含边界），则z=4x+3y的最⼤值和最⼩值分别为（）A. ，-7B. ，C. 7，D. 7，-77.购票⼈数1~5051~100100以上门票价格13元/⼈11元/⼈9元/⼈现某单位要组织其市场部和⽣产部的员⼯游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需⽀付门票费为1290元；若两个部门合在⼀起作为⼀个团体，同⼀时间购票游览公园，则需⽀付门票费为990元，那么这两个部门的⼈数之差为（）A. B. C. D.8.如果把⼀个平⾯区域内两点间的距离的最⼤值称为此区域的直径，那么曲线围成的平⾯区域的直径为（）A. B. C. D.⼆、填空题（本⼤题共6⼩题，共30.0分）9.在等⽐数列{a n}中，a2=1，a5=8，则数列{a n}的前n项和S n=______．10.设F1，F2为双曲线的两个焦点，若双曲线C的两个顶点恰好将线段F1F2三等分，则双曲线C的离⼼率为______．11.函数f（x）=sin2x+cos2x的最⼩正周期T=______；如果对于任意的x∈R都有f（x）≤a，那么实数a的取值范围是______．12.某四棱锥的三视图如图所⽰，那么该四棱锥的体积为______．13.能说明“若sinα=cosβ，则α+β=k?360°+90°，其中k∈Z”为假命题的⼀组α，β的值是______．14.如图所⽰，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表⽰数2，右侧的每个算珠表⽰数1（允许⼀侧⽆珠），记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c．例如，图中上档的数字和a=9．若a，b，c成等差数列，则不同的分珠计数法有______种．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共80.0分）15.在△ABC中，已知a2+c2-b2=mac，其中m∈R．（Ⅰ）判断m能否等于3，并说明理由；（Ⅱ）若m=-1，，c=4，求sin A．16.如图，在多⾯体ABCDEF中，梯形z与平⾏四边形D-xyz所在平⾯互相垂直，AF∥DE，DE⊥AD，AD⊥BE，，．（Ⅰ）求证：BF∥平⾯CDE；（Ⅱ）求⼆⾯⾓B-EF-D的余弦值；（Ⅲ）判断线段BE上是否存在点Q，使得平⾯CDQ⊥平⾯BEF？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．17.为培养学⽣的阅读习惯，某校开展了为期⼀年的“弘扬传统⽂化，阅读经典名著”活动．活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、⼄两组各10名学⽣的阅读量（单位：本），统计结果⽤茎叶图记录如下，⼄组记录中有⼀个数据模糊，⽆法确认，在图中以a表⽰．（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值⼤于⼄组阅读量的平均值，求图中a的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、⼄两组中阅读量超过15本的学⽣称为“阅读达⼈”．设a=3，现从所有“阅读达⼈”⾥任取3⼈，求其中⼄组的⼈数X的分布列和数学期望．（Ⅲ）记甲组阅读量的⽅差为s02．在甲组中增加⼀名学⽣A得到新的甲组，若A 的阅读量为10，则记新甲组阅读量的⽅差为s12；若A的阅读量为20，则记新甲组阅读量的⽅差为s22，试⽐较s02，s12，s22的⼤⼩．（结论不要求证明）18.设函数f（x）=me x-x2+3，其中m∈R．（Ⅰ）当f（x）为偶函数时，求函数h（x）=xf（x）的极值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-2，4]上有两个零点，求m的取值范围．19.已知椭圆W：的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P（n，0）的直线与椭圆W相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合）．（Ⅰ）当n=0，且直线CD⊥x轴时，求四边形ACBD的⾯积；（Ⅱ）设n=1，直线CB与直线x=4相交于点M，求证：A，D，M三点共线．20.如图，设A是由n×n（n≥2）个实数组成的n⾏n列的数表，其中a ij（i，j=1，2，…，ij∈{1，-1}．a11a12 (1)a21a22 (2)…?a n1a n2…a nn定义p st=a s1a t1+a s2a t2+…+a sn a tn（s，t=1，2，…，n）为第s⾏与第t⾏的积．若对于任意s，t（s≠t），都有p st=0，则称数表A为完美数表．（Ⅰ）当n=2时，试写出⼀个符合条件的完美数表；（Ⅱ）证明：不存在10⾏10列的完美数表；（Ⅲ）设A为n⾏n列的完美数表，且对于任意的i=1，2，…，l和j=1，2，…，k，都有a ij=1，证明：kl≤n．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：根据题意，全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，则?U A={x|x≤0或x≥2}⼜由B={-3，-1，1，3}，则集合（?U A）∩B={-3，-1，3}；故选：B．根据题意，由补集的定义求出集合?U A，进⽽由交集的定义分析可得答案．本题考查集合的混合运算，关键是掌握集合交、并、补集的定义，属于基础题．2.答案：D解析：解：∵=，∴在复平⾯内z对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．直接利⽤复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表⽰法及其⼏何意义，是基础题．3.答案：D解析：解：当k=1时，S==-3，k=3，S＜2成⽴，S==-，k=5，S＜2成⽴，S=，k=7，S＜2成⽴，S=，k=9，S＜2不成⽴，输出，k=9，故选：D．根据程序框图进⾏模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利⽤模拟运算是解决本题的关键．4.答案：C解析：解：曲线C参数⽅程为：，①×2-②得，2x-y-4=0，故曲线C为斜率为2的直线，选项中斜率为2的直线为C，D．⽽D与曲线C重合，有⽆数个公共点，排除．故选：C．通过C的参数⽅程，得到C的普通⽅程2x-y-4=0，再根据直线与直线的位置关系，可得．本题考查了直线的参数⽅程，直线与直线的位置关系，为基础题．5.答案：C解析：解：∵a，b，m均为正数，∴由得b（a+m）＞a（b+m），即ab+bm＞ab+am，即bm＞am，∵m是正数，∴b＞a，反之也成⽴，所以“b＞a”是“”的充要条件，故选：C．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进⾏判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式关系是解决本题的关键．6.答案：A解析：解：由题意可知直线平移直线0=4x+3y，当直线经过A上取得最⼩值，平移到与x2+y2=2相切于B时，取得最⼤值，B（-1，-1），最⼩值为：-7；由可得：25x2-8zx+z2-18=0，△=64z2-4（z2-8）×25=0，解得z=5，z=（舍去），所以则z=4x+3y的最⼤值和最⼩值分别为：5；-7．故选：A．利⽤已知条件平移直线0=4x+3y，判断最优解，求解⽬标函数的最值即可．本题考查线性规划的简单应⽤，考查转化思想以及计算能⼒．7.答案：B解析：解：∵990不能被13整除，∴两个部门⼈数之和：a+b≥51，（1）若51≤a+b≤100，则11 （a+b）=990得：a+b=90，①由共需⽀付门票费为1290元可知，11a+13b=1290 ②解①②得：b=150，a=-60，不符合题意．（2）若a+b≥100，则9 （a+b）=990，得a +b=110 ③由共需⽀付门票费为1290元可知，1≤a≤50，51≤b≤100，得11a+13b=1290 ④，解③④得：a=70⼈，b=40⼈故两个部门的⼈数之差为70-40=30⼈，故选：B．根据990不能被13整除，得两个部门⼈数之和：a+b≥51，然后结合门票价格和⼈数之间的关系，建⽴⽅程组进⾏求解即可．本题主要考查函数的应⽤问题，结合门票价格和⼈数之间的关系，建⽴⽅程是解决本题的关键．考查学⽣分析问题的能⼒．8.答案：B解析：解：曲线x4+y2=2围成的平⾯区域，关于x，y轴对称，设曲线上的点P（x，y），可得|OP|==≤．所以曲线x4+y2=2围成的平⾯区域的直径为：3．故选：B．利⽤曲线的对称性，设出点的坐标，通过距离公式以及⼆次函数的性质求解最值即可．本题考查曲线与⽅程的应⽤，新定义的应⽤．考查转化思想以及计算能⼒．9.答案：解析：解：∵a2=1，a5=8∴a5=a2q3，即q3==8，即q=2，⾸项a1=，则数列{a n}的前n项和S n==2n-1-，故答案为：2n-1-．根据等⽐数列的通项公式，求出⾸项和公⽐，结合等⽐数列的前n项和公式进⾏计算即可．本题主要考查等⽐数列前n项和的计算，结合通项公式求出⾸项和公⽐是解决本题的关键．10.答案：3解析：解：双曲线C的两个顶点恰好将线段F1F2三等分，可得2a=?2c，则c=3a，即e==3．故答案为：3．由题意可得2a=?2c，结合离⼼率公式，可得所求值．本题考查双曲线的⽅程和性质，主要是离⼼率的求法，考查运算能⼒，属于基础题．11.答案：π解析：解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），即函数的周期T==π，若对于任意的x∈R都有f（x）≤a，则a≥f（x）max，即当sin（2x+）=1时，f（x）取得最⼤值，最⼤值为，即f（x）max=，则a≥，故答案为：π，a≥．利⽤辅助⾓公式，结合周期公式进⾏求解，不等式f（x）≤a等价为a≥f（x）max，进⾏求解即可．本题主要考查三⾓函数的性质的应⽤，利⽤辅助⾓公式进⾏化简是解决本题的关键．12.答案：解析：【分析】本题考查三视图求解⼏何体的体积，判断⼏何体的形状是解题的关键，属于基础题．画出⼏何体的直观图，利⽤三视图的数据，求解⼏何体的体积．【解答】解：⼏何体的直观图如图：是底⾯是长为2，宽为1的长⽅形，⾼为2的四棱锥，故四棱锥的体积为：×1×2×2=．故答案为．13.答案：α=110°，β=20°解析：解：若sinα=cosβ，则α=k?360°+90°±β（k∈Z），命题中α=k?360°+90°-β，（k∈Z），要否定命题，只须从α=k? 360°+90°+β（k∈Z）中找⼀个反例即可，如α=110°，β=20°，（答案不唯⼀，再如α=120°，β=30°等，只要满⾜α=k? 360°+90°+β（k∈Z）且α≠k?360°+90°-β（k∈Z）即可作为反例．故填：α=110°，β=20°．若sinα=cosβ，则α=k?360°+90°±β（k∈Z），⽽命题中只给出了α=k?360°+90°-β（k∈Z）的情况，故可从另⼀种情况中找反例．本题考查了三⾓函数的值及三⾓函数的性质、诱导公式等知识，属于基础题．14.答案：32解析：解：根据题意，a，b，c的取值范围都是从7～14共8个数字，故公差d范围是-3到3，①当公差d=0时，有=8种，②当公差d=±1时，b不取7和14，有2=12种，③当公差d=±2时，b不取7，8，13，14，有2=8种，④当公差d=±3时，b只能取10或11，有2=4种，综上共有8+12+8+4=32种，故填：32a，b，c的取值范围都是从7～14，可以根据公差d的情况进⾏讨论．本题考查排列、组合的应⽤，要表⽰的有3项，做题时容易找不到切⼊点，本题应考虑等差中项的选取⽅法，属于中档题．15.答案：解：（Ⅰ）当m=3时，由题可知a2+c2-b2=3ac，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得．这与cos B∈[-1，1]⽭盾，所以m不可能等于3．（Ⅱ）由（Ⅰ），得，所以．因为，c=4，a2+c2-b2=-ac，所以a2+16-28=-4a，解得a=-6（舍）或a=2.在△ABC中，由正弦定理，得．解析：本题考查了正弦定理余弦定理的应⽤，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．（Ⅰ）当m=3时，由题可知a2+c2-b2=3ac，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，化简求得cos B，即可判断出结论．（Ⅱ）由（Ⅰ），得，可得B．由，c=4，a2+c2-b2=-ac，解得a，再利⽤正弦定理即可得出．16.答案：解：（Ⅰ）由底⾯ABCD为平⾏四边形，知AB∥CD，⼜因为AB?平⾯CDE，CD?平⾯CDE，所以AB∥平⾯CDE．………………（2分）同理AF∥平⾯CDE，⼜因为AB∩AF=A，所以平⾯ABF∥平⾯CDE．……………（3分）⼜因为BF?平⾯ABF，所以BF∥平⾯CDE．………………（4分）（Ⅱ）连接BD，因为平⾯ADEF⊥平⾯ABCD，平⾯ADEF∩平⾯ABCD=AD，DE⊥AD，所以DE⊥平⾯ABCD．则DE⊥DB．⼜因为DE⊥AD，AD⊥BE，DE∩BE=E，所以AD⊥平⾯BDE，则AD⊥BD．故DA，DB，DE两两垂直，所以以DA，DB，DE所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，如图建⽴空间直⾓坐标系，………………（6分）则D（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（-1，1，0），E（0，0，2），F （1，0，1），所以，，=（0，1，0）为平⾯DEF的⼀个法向量．设平⾯BEF的⼀个法向量为=（x，y，z），由=0，?=0，得令z=1，得=（1，2，1）．………………（8分）所以cos＜，＞==．如图可得⼆⾯⾓B-EF-D为锐⾓，所以⼆⾯⾓B-EF-D的余弦值为．………………（10分）（Ⅲ）结论：线段BE上存在点Q，使得平⾯CDQ⊥平⾯BEF．………………（11分）证明如下：设，所以．设平⾯CDQ的法向量为=（a，b，c），⼜因为，所以，=0，即………………（12分）若平⾯CDQ⊥平⾯BEF，则=0，即a+2b+c=0，………………（13分）解得．所以线段BE上存在点Q，使得平⾯CDQ⊥平⾯BEF，且此时．……（14分）解析：（Ⅰ）根据⾯⾯平⾏的性质定理先证明平⾯ABF∥平⾯CDE即可证明BF∥平⾯CDE；（Ⅱ）建⽴空间坐标系，求出两个平⾯的法向量，利⽤向量法求⼆⾯⾓B-EF-D的余弦值；（Ⅲ）根据⾯⾯垂直与向量之间的关系转化为向量进⾏求解．本题主要考查空间直线和平⾯，平⾯和平⾯位置关系的判定，利⽤相应定理或者建⽴空间坐标系，利⽤向量法是解决本题的关键．17.答案：（本⼩题满分13分）解：（Ⅰ）甲组10名学⽣阅读量的平均值为，⼄组10名学⽣阅读量的平均值为．………………（2分）由题意，得，即a＜2．………………（3分）故图中a的取值为0或1．………………（4分）（Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达⼈”有2⼈，⼄组“阅读达⼈”有3⼈．由题意，随机变量X的所有可能取值为：1，2，3．………………（5分）且，，．……（8分）所以随机变量X的分布列为：X123P………………（9分）所以．………………（10分）（Ⅲ）．………………（13分）解析：（Ⅰ）由茎叶图分别求出甲组10名学⽣阅读量的平均值和⼄组10名学⽣阅读量的平均值，由此能求出图中a的取值．（Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达⼈”有2⼈，⼄组“阅读达⼈”有3⼈．随机变量X的所有可能取值为：1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．（Ⅲ）．本题考查实数值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、⽅差等基础知识，考查运算求解能⼒，是中档题．18.答案：解：（Ⅰ）由函数f（x）是偶函数，得f（-x）=f（x），即me-x-（-x）2+3=me x-x2+3对于任意实数x都成⽴，所以m=0．此时h（x）=xf（x）=-x3+3x，则h'（x）=-3x2+3．由h'（x）=0，解得x=±1,当x变化时，h'（x）与h（x）的变化情况如下表所⽰：x（-∞，-1）-1（-1，1）1（1，+∞）h'（x）-0+0-h（x）↘极⼩值↗极⼤值↘所以（）在（，），（，）上单调递减，在（，）上单调递增,所以h（x）有极⼩值h（-1）=-2，h（x）有极⼤值h（1）=2．（Ⅱ）由f（x）=me x-x2+3=0，得．所以“f（x）在区间[-2，4]上有两个零点”等价于“直线y=m与曲线，x∈[-2，4]有且只有两个公共点”．对函数g（x）求导，得．由g'（x）=0，解得x1=-1，x2=3．当x变化时，g'（x）与g（x）的变化情况如下表所⽰：x（-2，-1）-1（-1，3）3（3，4）g'（x）-0+0-g（x）↘极⼩值↗极⼤值↘所以g（x）在（-2，-1），（3，4）上单调递减，在（-1，3）上单调递增．⼜因为g（-2）=e2，g（-1）=-2e，，，所以当或时，直线y=m与曲线，x∈[-2，4]有且只有两个公共点．即当或时，函数f（x）在区间[-2，4]上有两个零点.解析：（Ⅰ）先求出m的值，再求函数的导数，得到函数的单调区间，从⽽求出函数的极值；（Ⅱ）由已知可得，命题等价于“直线y=m与曲线，x∈[-2，4]有且只有两个公共点”．对g（x）求导，得到函数的单调区间，分类讨论即可得解．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应⽤，考查换元思想、分类讨论思想，解题时仔细谨慎，属于中档题．19.答案：解：（Ⅰ）由题意，得a2=4m=4，解得m=1．所以椭圆W⽅程为．当n=0，及直线CD⊥x轴时，易得C（0，1），D（0，-1）．且A（-2，0），B（2，0）．所以|AB|=4，|CD|=2，显然此时四边形ACBD为菱形，所以四边形ACBD的⾯积为．（Ⅱ）当直线CD的斜率k不存在时，由题意，得CD的⽅程为x=1，代⼊椭圆W的⽅程，得，，易得CB的⽅程为．则，，，所以，即A，D，M三点共线．当直线CD的斜率k存在时，设CD的⽅程为y=k（x-1）（k≠0），C（x1，y1），D（x2，y2），联⽴⽅程消去y，得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0．由题意，得△＞0恒成⽴，故，．直线CB的⽅程为．令x=4，得．⼜因为A（-2，0），D（x2，y2），则直线AD，AM的斜率分别为，，所以．上式中的分⼦===0，所以k AD-k AM=0．所以A，D，M三点共线．解析：（Ⅰ）当n=0，及直线CD⊥x轴时，易得C（0，1），D（0，-1）．且A（-2，0），B（2，0）．所以|AB|=4，|CD|=2，显然此时四边形ACBD为菱形，可得⾯积．（Ⅱ）分斜率是否存在讨论，①当直线CD的斜率k不存在时，求出A，M，C，D坐标，⽤向量法易证A，D，M三点共线．②当直线CD的斜率k存在时，设CD的⽅程为y=k（x-1）（k≠0），C（x1，y1），D（x2，y2），联⽴⽅程消去y，得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0．将k AM，k AD表⽰为含有k的算式，可以证k AM，k AD相等．故A，D，M 三点共线．本题考查椭圆的⽅程和性质，主要考查椭圆⽅程的运⽤，注意联⽴直线⽅程，运⽤韦达定理，同时考查向量的共线的坐标运算，证明时需对直线CD斜率是否存在讨论，属于中档题．20.答案：（Ⅰ）解：由题意，可写出如下的完美数表：11-11+a12a22=1×（-1）+1×1=0，121121∴此完美数表符合条件．（Ⅱ）证明：假设存在10⾏10列的完美数表A．根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何⼀列的数变为其相反数（即+1均变为-1，⽽-1均变为+1），得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表．完美数表A反复经过上述两个结论的变换，前三⾏可以为如下形式：1...11...11...11 (1)1…11…1-1…-1-1…-11…1-1…-11…1-1…-1在这个新数表中，设前三⾏中的数均为1的有x列，前三⾏中“第1，2⾏中的数为1，且第3⾏中的数为-1”的有y列，前三⾏中“第1，3⾏中的数为1，且第2⾏中的数为-1”的有z列，前三⾏中“第1⾏中的数为1，且第2，3⾏中的数为-1”的有w列（如上表所⽰），则x+y+z+w=10①由p12=0，得x+y=z+w；②由p13=0，得x+z=y+w；③由p23=0，得x+w=y+z．④解⽅程组①，②，③，④，得．这与x，y，z，w∈N⽭盾，所以不存在10⾏10列的完美数表．（Ⅲ）证明：记第1列前l⾏中的数的和a11+a21+…+a l1=X1，第2列前l⾏中的数的和a12+a22+…+a l2=X2，……，第n列前l ⾏中的数的和a1n+a2n+…+a ln=X n，∵对于任意的i=1，2，…，l和j=1，2，…，k，都有a ij=1，∴．⼜∵对于任意s，t（s≠t），都有p st=0，∴．⼜∵，∴ln≥l2k，即kl≤n．解析：本题第（Ⅰ）题可根据题⽬的意思先写出⼀个完美数表，然后⽤P12是否等于0来验证；第（Ⅱ）题可先假设这样的10⾏10列的完美数表是存在的，然后根据完美数表的特点进⾏适当变换，观察完美数表中1与-1的个数再与题⼲中的验证公式去验证，最终得到⽭盾的结论，命题得证；第（Ⅲ）题先设出每⾏中1的个数，然后根据题⼲中结论的任意性来证明结论成⽴．本题第（Ⅰ）题主要考查对题意的阅读理解能⼒；第（Ⅱ）题主要考查联系矩阵的特点对完美数表的规律的认识；第（Ⅲ）题主要考查对完美数表元素1的个数特点证明．本题是⼀道较难的偏难题．。
2020届北京市第十一中学高三一模数学试题(解析版)
2020届北京市第十一中学高三一模数学试题一、单选题1．已知集合{}2|3100M x x x =--<，{}29N x y x ==-，且M 、N 都是全集R （R 为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}35x x <≤ B ．{3x x <-或}5x >C ．{}32x x -≤≤- D ．{}35x x -≤≤【答案】C【解析】根据韦恩图可确定所表示集合为()R N M I ð，根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合,M N ，根据补集和交集定义可求得结果. 【详解】由韦恩图可知：阴影部分表示()R N M I ð，()(){}{}52025M x x x x x =-+<=-<<Q ，{}{}29033N x x x x =-≥=-≤≤， (){}32R N M x x ∴⋂=-≤≤-ð.故选：C . 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所求集合.2．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（ ） A ．()lg 1y x =+ B ．12y x =C ．2x y =D ．ln y x =【答案】B【解析】分别作出各个选项中的函数的图象，根据图象观察可得结果. 【详解】对于A ，()lg 1y x =+图象如下图所示：则函数()lg 1y x =+在定义域上不单调，A 错误； 对于B ，12y x x ==的图象如下图所示：则y x =在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞，B 正确；对于C ，2xy =的图象如下图所示：则函数2xy =单调递增，但值域为()0,∞+，C 错误；对于D ，ln y x =的图象如下图所示：则函数ln y x =在定义域上不单调，D 错误. 故选：B . 【点睛】本题考查函数单调性和值域的判断问题，属于基础题.3．已知双曲线221x y a+=的一条渐近线倾斜角为56π，则a =（ ）A ．3 B． C．D ．3-【答案】D【解析】由双曲线方程可得渐近线方程，根据倾斜角可得渐近线斜率，由此构造方程求得结果. 【详解】由双曲线方程可知：0a <，渐近线方程为：y x =， Q 一条渐近线的倾斜角为56π，5tan 63π==-，解得：3a =-. 故选：D . 【点睛】本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题，关键是明确直线倾斜角与斜率的关系；易错点是忽略方程表示双曲线对于a 的范围的要求. 4．下列不等式成立的是（ ）A ．11sin cos 22>B ．11231122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．112311log log 32<D ．11331123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误. 【详解】 对于A ，1024π<<Q ，11sin cos 22∴<，A 错误； 对于B ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭Q 在R 上单调递减，11231122⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；对于C ，1221log log 313=>Q ，1331log log 212=<，112311log log 32∴>，C 错误； 对于D ，13y x =Q 在R 上单调递增，11331123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎭∴⎝，D 正确.故选：D . 【点睛】本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A ．114B ．112C ．328D ．以上都不对【答案】A【解析】首先确定不超过20的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果. 【详解】不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，从这8个素数中任选2个，有2828C =种可能；其中选取的两个数，其和等于20的有()3,17，()7,13，共2种情况， 故随机选出两个不同的数，其和等于20的概率212814P ==． 故选：A . 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.6．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥ 【答案】C【解析】根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果. 【详解】对于A ，当m 为α内与n 垂直的直线时，不满足m α⊥，A 错误；对于B ，设l αβ=I ，则当m 为α内与l 平行的直线时，//m β，但m α⊂，B 错误； 对于C ，由m β⊥，n β⊥知：//m n ，又n α⊥，m α∴⊥，C 正确； 对于D ，设l αβ=I ，则当m 为β内与l 平行的直线时，//m α，D 错误. 故选：C . 【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础题.7．数列{}n a 的通项公式为()n a n c n N *=-∈．则“2c <”是“{}na 为递增数列”的（ ）条件． A ．必要而不充分 B ．充要 C ．充分而不必要 D ．即不充分也不必要 【答案】A【解析】根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得12c n <+，由此得到若{}n a 是递增数列，则32c <，根据推出关系可确定结果. 【详解】若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->， 即()()221n c n c +->-，化简得：12c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32c ∴<， 则2c <¿{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．故选：A . 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.8．设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）． A ．()1,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞U C ．()1,1- D ．()()1,00,1-U【答案】B【解析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由单调性的性质可知()f x 在[)0,+∞上单调递增，由此知()f x 在(],0-∞上单调递减，从而将所求不等式化为1x >，解绝对值不等式求得结果. 【详解】由题意知：()f x 定义域为R ，()()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x xx -=+--=+-=++-Q ，()f x ∴为偶函数， 当0x ≥时，()()21ln 11f x x x =+-+， ()ln 1y x =+Q 在[)0,+∞上单调递增，211y x=+在[)0,+∞上单调递减， ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，则()f x 在(],0-∞上单调递减，由()()1f x f >得：1x >，解得：1x <-或1x >，x \的取值范围为()(),11,-∞-+∞U .故选：B . 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式. 9．已知函数2sin ()1xf x x =+．下列命题：①函数()f x 的图象关于原点对称；②函数()f x 是周期函数；③当2x π=时，函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ） A ．①④ B ．②③C ．①③④D ．①②④【答案】A【解析】根据奇偶性的定义可判断出①正确；由周期函数特点知②错误；函数定义域为R ，最值点即为极值点，由02f π⎛⎫'≠ ⎪⎝⎭知③错误；令()()1g x f x x =-，在0x >和0x <两种情况下知()g x 均无零点，知④正确. 【详解】由题意得：()f x 定义域为R ，()()()()22sin sin 11x xf x f x x x --==-=-+-+Q ，()f x ∴为奇函数，图象关于原点对称，①正确；sin y x =Q 为周期函数，21y x =+不是周期函数，()f x ∴不是周期函数，②错误；()()()2221cos2sin1x xx xf xx+-'=+Q，02fπ⎛⎫'∴≠⎪⎝⎭，2fπ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭不是最值，③错误；令()()221sin1sin111x xx xg x f xx x x x--=-=-=++，当0x>时，sin x x<，1x>，()0g x∴<，此时()f x与1yx=无交点；当0x<时，sin x x>，1x<，()0g x∴>，此时()f x与1yx=无交点；综上所述：()f x与1yx=无交点，④正确.故选：A.【点睛】本题考查函数与导数知识的综合应用，涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的求解；本题综合性较强，对于学生的分析和推理能力有较高要求.10．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点Aα∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P是α上的动点，满足P到β的距离与P到点A的距离相等，则点P的轨迹上的点到β的距离的最小值是（）A．33-B．3 C．33-D．32【答案】D【解析】建立平面直角坐标系，将问题转化为点P的轨迹上的点到x轴的距离的最小值，利用P到x轴的距离等于P到点A的距离得到P点轨迹方程，得到()26399y x=-+≥，进而得到所求最小值.【详解】如图，原题等价于在直角坐标系xOy中，点()3,3A，P是第一象限内的动点，满足P到x轴的距离等于点P到点A的距离，求点P的轨迹上的点到x轴的距离的最小值．设(),P x y ，则()()2233y x y =-+-，化简得：()23690x y --+=，则()26399y x =-+≥，解得：32y ≥， 即点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是32. 故选：D . 【点睛】本题考查立体几何中点面距离最值的求解，关键是能够准确求得动点轨迹方程，进而根据轨迹方程构造不等关系求得最值.二、填空题11．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA u u u r ，OB uuu r，则12z z =_______.【答案】12i -+【解析】试题分析：由坐标系可知122,z i z i =--=12212z ii z i--∴==-+ 【考点】复数运算12．某高中共有1800人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取60人，那么高二年级被抽取的人数为________． 【答案】20【解析】由三个年级人数成等差数列和总人数可求得高二年级共有600人，根据抽样比可求得结果. 【详解】设高一、高二、高三人数分别为,,a b c ，则2b a c =+且1800a b c ++=， 解得：600b =，用分层抽样的方法抽取60人，那么高二年级被抽取的人数为60060201800⨯=人． 故答案为：20. 【点睛】本题考查分层抽样问题的求解，涉及到等差数列的相关知识，属于基础题.13．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则的值是 ．【答案】25【解析】试题分析：由三角函数定义知5cos 5α==，又由诱导公式知5cos()cos παα-=-=-，所以答案应填：．【考点】1、三角函数定义；2、诱导公式．14．平面向量(1,2)a =r ，(4,2)b =r ，c ma b =+r r r （m ∈R ），且c r 与a r 的夹角等于c r 与b r的夹角，则m = .【答案】2【解析】试题分析：()()()1,24,24,22c ma b m m m =+=+=++r r r ，c r 与a r的夹角等于c r 与b r的夹角，所以··2520a c b c m a c b c===r r rr r r r r 【考点】向量的坐标运算与向量夹角15．以()1,0a ，()2,0a 为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于()10y ,，()20,y ，且满足12ln ln 0y y +=，则点()12,a a 的轨迹方程为_________．【答案】21xy x =- 【解析】根据圆的性质可知()1,0a 在线段AB 的垂直平分线上，由此得到21112y a =-，同理可得22212y a =-，由对数运算法则可知121y y =，从而化简得到12121a a a =-，由此确定轨迹方程. 【详解】()1212ln ln ln 0y y y y +==Q ，121y y ∴=，()1,0A Q 和()10,B y 的中点坐标为11,22y ⎛⎫⎪⎝⎭，且()1,0a 在线段AB 的垂直平分线上，11121112y y a ∴⋅=---，即21112y a =-，同理可得：22212y a =-， ()()()2121212121a a y y ∴--==，12121a a a ∴=-，∴点()12,a a 的轨迹方程为21xy x =-． 故答案为：21xy x =-． 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够利用圆的性质和对数运算法则构造出12,a a 满足的方程，由此得到结果.16．某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票．这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88%，75%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为百分之________．【答案】91【解析】设共有选票100张，且1,2,3票对应张数为,,x y z ，由此可构造不等式组化简得到9z x =+，由投票有效率越高z 越小，可知min 9z =，由此计算可得投票有效率. 【详解】不妨设共有选票100张，投1票的有x ，2票的有y ，3票的有z ，则由题意可得：23887546209100,,x y z x y z x y z N ++=++=⎧⎪++=⎨⎪∈⎩，化简得：9z x -=，即9z x =+， 投票有效率越高，z 越小，则0x =，9z =，故本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为1009100%91%100-⨯=．故答案为：91%. 【点睛】本题考查线性规划的实际应用问题，关键是能够根据已知条件构造出变量所满足的关系式.三、解答题17．如图所示，已知AC ⊥平面CDE ，BD AC P ，ECD V 为等边三角形，F 为边ED 上的中点，且22CD BD AC ===.(Ⅰ)求证：CF P 面ABE ； (Ⅱ)求证：平面ABE ⊥平面BDE ； (Ⅲ)求该几何体E ABDC -的体积．【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ3【解析】（I ）取BE 的中点G ，连接,AG FG ，通过证明四边形AGFC 为平行四边形，证得//CF AG ，由此证得//CF 平面ABE .（II ）利用CF ED CF BD ⊥⊥，，证得CF ⊥平面BDE ，从而得到AG ⊥平面BDE ，由此证得平面ABE ⊥平面BDE .（III ）作EH CD ⊥交CD 于点H ，易得EH ⊥面ABDC ，利用棱锥的体积公式，计算出棱锥的体积. 【详解】(Ⅰ)取BE 的中点G ，连接,AG FG ，则12FG BD P ，12AC BD P ， 故四边形AGFC 为平行四边形. 故CF AG P .又CF ⊄面ABE ，AG ⊂平面ABE ，所以CF P 面ABE .(Ⅱ)ECD V 为等边三角形，F 为DE 中点，所以CF ED ⊥.又CF BD ⊥， 所以CF ⊥面BDE .又CF AG P ，故AG ⊥面BDE ，所以面ABE ⊥平面BDE .(Ⅲ)几何体ABECD 是四棱锥E ABDC -，作EH CD ⊥交CD 于点H ，即EH ⊥面ABDC ，()1112232E ABDC V -=⋅⋅+⋅=【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查四棱锥体积的求法，考查空间想象能力，所以中档题.18．在锐角ABC V 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，()2,cos m b c C =-r，(),cos n a A =r ，且//m n r r ．（1）求角A 的大小；（2）求函数22sin cos 23y B B π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的值域． 【答案】（1）3A π=；（2）3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】（1）由向量平行的坐标表示、正弦定理边化角和两角和差正弦公式可化简求得cos A ，进而得到A ；（2）利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简函数为1sin 26y B π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据B 的范围可确定26B π-的范围，结合正弦函数图象可确定所求函数的值域.【详解】（1）//m n r rQ ，()2cos cos 0b c A a C ∴--=，由正弦定理得：()2sin sin cos sin cos 0B C A A C --=， 即()2sin cos sin 2sin cos sin 0B A A C B A B -+=-=，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，sin 0B ∴≠，1cos 2A ∴=，又0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3A π∴=.（2）在锐角ABC V 中，3A π=，62B ππ∴<<．2132sin cos 21cos 2cos 2sin 2322y B B B B Bπ⎛⎫∴=+-=-++ ⎪⎝⎭311sin 2cos21sin 226B B B π⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭． 62B ππ<<Q，52666B πππ∴<-<，1sin 2126B π⎛⎫∴<-≤ ⎪⎝⎭，322y ∴<≤，∴函数2sin 2cos 23y B B π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的值域为3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】本题考查三角恒等变换、解三角形和三角函数性质的综合应用问题；涉及到共线向量的坐标表示、利用三角恒等变换公式化简求值、正弦定理边化角的应用、正弦型函数值域的求解等知识.19．某市调硏机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了50名市民，他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表：月收入（单位：百元） [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) 频数 5 c10 5 5 频率 0.1 ab0.2 0.1 0.1 赞成人数 4812521（1）若所抽调的50名市民中，收入在[35,45)的有15名，求a ，b ，c 的值，并完成频率分布直方图．（2）若从收入（单位：百元）在[55,65)的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，选中的2人中恰有X 人赞成“楼市限购令”，求X 的分布列与数学期望．（3）从月收入频率分布表的6组市民中分别随机抽取3名市民，恰有一组的3名市民都不赞成“楼市限购令”，根据表格数据，判断这3名市民来自哪组的可能性最大？请直接写出你的判断结果．【答案】（1）0.2,0.3,10a b c ===，频率分布直方图见解析；（2）分布列见解析，()45EX =；（3）来自[)65,75的可能性最大． 【解析】（1）由频率和为1可知0.5a b +=，根据1550b =求得,a b ，从而计算得到频数c ，补全频率分布表后可画出频率分布直方图；（2）首先确定X 的所有可能取值，由超几何分布概率公式可计算求得每个取值对应的概率，由此得到分布列；根据数学期望的计算公式可求得期望； （3）根据[)65,75中不赞成比例最大可知来自[)65,75的可能性最大. 【详解】（1）由频率分布表得：0.10.20.10.11a b +++++=，即0.5a b +=．Q 收入在[)35,45的有15名，150.350b ∴==，0.2a ∴=，0.25010c ∴=⨯=， 则频率分布直方图如下：（2）Q 收入在[)55,65中赞成人数为2，不赞成人数为3，X ∴可能取值为0,1,2，则()23253010C P X C ===；()113225315C C P X C ===；()22251210C P X C ===， X ∴的分布列为： X12P31035110()3314012105105E X ∴=⨯+⨯+⨯=． （3）来自[)65,75的可能性更大． 【点睛】本题考查概率与统计部分知识的综合应用，涉及到频数、频率的计算、频率分布直方图的绘制、服从于超几何分布的随机变量的分布列与数学期望的求解、统计估计等知识；考查学生的运算和求解能力.20．已知函数2()2ln 4f x x mx x =-++． （1）当5m =时，求()f x 的单调区间．（2）设直线l 是曲线()y f x =的切线，若l 的斜率存在最小值-2，求m 的值，并求取得最小斜率时切线l 的方程．（3）已知()f x 分别在1x ，()212x x x ≠处取得极值，求证：()()122f x f x +<． 【答案】（1）单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞；单调递减区间为1,22⎛⎫⎪⎝⎭；（2）6m =，210x y +-=；（3）证明见解析．【解析】（1）由()f x '的正负可确定()f x 的单调区间；（2）利用基本不等式可求得1x =时，()f x '取得最小值4m -，由导数的几何意义可知42m -=-，从而求得m ，求得切点坐标()()1,1f 后，可得到切线方程； （3）由极值点的定义可知12,x x 是2220x mx -+=的两个不等正根，由判别式大于零得到m 的取值范围，同时得到韦达定理的形式；化简()()12f x f x +为264m-+，结合m 的范围可证得结论. 【详解】（1）由题意得：()f x 的定义域为()0,∞+， 当5m =时，()252ln 4f x x x x =-++，()()21222252225x x x x f x x x x x⎛⎫-- ⎪-+⎝⎭'∴=-+==，∴当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和()2,+∞时，()0f x '>；当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x ∴的单调递增区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，()2,+∞；单调递减区间为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）0x Q >，所以()224f x x m m m x '∴=+-≥=-（当且仅当22x x =，即1x =时取等号），Q 切线l 的斜率存在最小值2-，42m ∴-=-，解得：6m =，()16141f -+∴=-=，即切点为()1,1-，从而切线方程():121l y x +=--，即：210x y +-=．（3）()22222x mx f x x m x x-+'=+-=，()f x Q 分别在1x ，()212x x x ≠处取得极值，1x ∴，()212x x x ≠是方程2220x mx x-+=，即2220x mx -+=的两个不等正根．则2160m ∆=->，解得：216m >，且1202mx x +=>，121=x x ． ()()()()221212121282ln f x f x x x m x x x x ∴+=+-+++()()()212121212282ln x x x x m x x x x =+--+++222182ln16224m m m m ⎛⎫=-⨯-⨯++=-+ ⎪⎝⎭，216m >Q ，2624m ∴-+<， 即不等式()()122f x f x +<成立． 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的单调区间、导数几何意义的应用、利用导数证明不等式等知识；本题中证明不等式的关键是能够通过极值点的定义将问题转变为一元二次方程根的分布问题.21．已知椭圆C:22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1，0）、F 2，0）.点M （1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点N 的坐标为（3，2），点P 的坐标为（m ，n ）（m≠3）.过点M 任作直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设直线AN 、NP 、BN 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，若k 1＋k 3＝2k 2，试求m ，n 满足的关系式.【答案】（1）2213x y +=；（2）m －n －1＝0 【解析】试题分析：（1）利用M 与短轴端点构成等腰直角三角形，可求得b 的值，进而得到椭圆方程；（2）设出过M 的直线l 的方程，将l 与椭圆C 联立，得到两交点坐标关系，然后将k 1＋k 3表示为直线l 斜率的关系式，化简后得k 1＋k 3＝2，于是可得m ，n 的关系式.试题解析：（1）由题意，c，b ＝1，所以a=故椭圆C 的方程为2213x y +=（2）①当直线l 的斜率不存在时，方程为x ＝1，代入椭圆得，y ＝不妨设A （1），B （1） 因为k 1＋k 3＝223322-++＝2 又k 1＋k 3＝2k 2，所以k 2＝1 所以m ，n 的关系式为23n m --＝1，即m －n －1＝0 ②当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝k （x －1）将y ＝k （x －1）代入2213x y +=，整理得：（3k 2＋1）x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则22121222633,3131k k x x x x k k -+==++ 又y 1＝k （x 1－1），y 2＝k （x 2－1）所以k 1＋k 3＝121221121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x x x x x ----+--+=----＝12211212[2(1)](3)[2(1)](3)3()9k x x k x x x x x x ---+----++ ＝121212122(42)()6123()9kx x k x x k x x x x -++++-++＝222222223362(42)6123131336393131k k k k k k k k kk k -⨯-+⨯++++--⨯+++ ＝222(126)126k k ++＝2 所以2k 2＝2，所以k 2＝23n m --＝1 所以m ，n 的关系式为m －n －1＝0 综上所述，m ，n 的关系式为m －n －1＝0. 【考点】椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，22．对于非负整数集合S （非空），若对任意,x y S ∈，或者x y S +∈，或者x y S -∈，则称S 为一个好集合．以下记S 为S 的元素个数． （1）给出所有的元素均小于3的好集合．（给出结论即可） （2）求出所有满足4S =的好集合．（同时说明理由）（3）若好集合S 满足2019S =，求证：S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍．【答案】（1）{0}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}．（2）{0,,,}b c b c +；证明见解析．（3）证明见解析．【解析】（1）根据好集合的定义列举即可得到结果；（2）设{},,,S a b c d =，其中a b c d <<<，由0S ∈知0a =；由0d c S <-∈可知d c c -=或d c b -=，分别讨论两种情况可的结果；（3）记1009n =，则21S n =+，设{}1220,,,,n S x x x =⋅⋅⋅，由归纳推理可求得()1i x im i n =≤≤，从而得到22n M x nm ==，从而得到S ，可知存在元素m 满足题意. 【详解】（1）{}0，{}0,1，{}0,2，{}0,1,2．（2）设{},,,S a b c d =，其中a b c d <<<， 则由题意：d d S +∉，故0S ∈，即0a =，考虑,c d ，可知：0d c S <-∈，d c c ∴-=或d c b -=， 若d c c -=，则考虑,b c ，2c b c c d <+<=Q ，c b S ∴-∈，则c b b -=，{},,2,4S a b b b ∴=，但此时3b ，5b S ∉，不满足题意；若d c b -=，此时{}0,,,S b c b c =+，满足题意，{0,,,}S b c b c ∴=+，其中,b c 为相异正整数．（3）记1009n =，则21S n =+，首先，0S ∈，设{}1220,,,,n S x x x =⋅⋅⋅，其中1220n x m x x M <=<<⋅⋅⋅<=， 分别考虑M 和其他任一元素i x ，由题意可得：i M x -也在S 中，而212210,n n M x M x M x M --<-<-<⋅⋅⋅<-<，()21i n i M x x i n -∴-=≤≤，2n M x ∴=， 对于1i j n ≤<≤，考虑2n i x -，2n j x -，其和大于M ，故其差22n i n j j i x x x x S ---=-∈， 特别的，21x x S -∈，2122x x m ∴==，由31x x S -∈，且1313x x x x <-<，3213x x x m ∴=+=， 以此类推：()1i x im i n =≤≤，22n M x nm ∴==，此时(){}0,,2,,,1,,2S n m nm n m nm =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，故S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍． 【点睛】本题考查集合中的新定义问题的求解，关键是明确已知中所给的新定义的具体要求，根据集合元素的要求进行推理说明，对于学生分析和解决问题能力、逻辑推理能力有较高的要求，属于较难题.。
2020北京西城区一模高考数学试卷及答案
2020北京西城区高三一模数学 2020.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页,共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设集合A={x|x<3},B={x|x<0,或x>2},则A∩B=(A)(−∞,0) (B)(2,3)(C)(−∞,0)∪(2,3)(D)(−∞,3)2.若复数z=(3−i)(1+i),则|z|=(A)2√2(B)2√5(C)√10(D)203.下列函数中,值域为R且为奇函数的是(A)y=x+2(B)y=sinx(C)y=x−x3(D)y=2x4.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=2,a1+a4=5,则S6=(A)10 (B)9 (C)8 (D)75.设A(2,−1),B(4,1),则以线段AB为直径的圆的方程是(A)(x−3)2+y2=2(B))(x−3)2+y2=8(C)(x+3)2+y2=2(D) (x+3)2+y2=86.设a,b,c为非零实数,且a>c,b>c,则(A)a+b>c(B)ab>c2(C)a+b2>c(D)1a+1b>2c7.某四棱锥的三视图如图所示,记S 为此棱锥所有棱的长度的集合,则 (A)2√2∉S,且2√3∉S (B)2√2∉S,且2√3∈S (C)2√2∈S,且2√3∉S (D)2√2∈S,且2√3∈S8.设a,b 为非零向量,则“|a +b|=|a|+|b|”是“a 与b 共线”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件9.已知函数f(x)=sinx1+2sinx的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有①绕着x 轴上一点旋转180°; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. (A)①③(B)③④(C)②③(D)②④10.设函数f(x)={x 2+10x +1,x ≤0|lgx |, x >0若关于x 的方程f(x)=a(a ∈R)有四个实数解x i (i =1,2,3,4),其中x 1<x 2<x 3<x 4,则(x 1+x 2)(x 3−x 4)的取值范围是 (A)(0,101] (B)(0,99](C)(0,100](D)(0,+∞)第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.在(x +1x )6的展开式中,常数项为.(用数字作答)12.若向量a =(x 2,2),b =(1,x)满足a ·b <3,则实数x 的取值范围是. 13.设双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)的一条渐近线方程为y =√22x ,则该双曲线的离心率为.)的最小正周期为;若函数f(x)在区间(0,α)上单调递增,则α的最大值为14.函数f(x)=sin(2x+π4.15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试,给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中,所有正确结论的序号是.三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,底面ABCD满足AD∥BC,且AB=AD=AA1=2,BD= DC=2√2.(Ⅰ)求证:AB⊥平面ADD1A1;(Ⅱ)求直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值.17.(本小题满分14分),求sinC的值及△ABC的面积.已知△ABC满足,且b=√6,A=2π3从①B=π,②a=√3,③a=3√2sinB这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.4注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取m个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出m的最小值.(结论不要求证明)19.(本小题满分14分)设函数f(x)=alnx+x2−(a+2)x,其中a∈R.,求a的值;(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线的倾斜角为π4(Ⅱ)已知导函数f′(x)在区间(1,e)上存在零点,证明:当x∈(1,e)时,f(x)>−e2.设椭圆E:x 22+y2=1,直线l1经过点M(m,0),直线l2经过点N(n,0),直线l1∥直线l2,且直线l1,l2分别与椭圆E相交于A,B两点和C,D两点.(Ⅰ)若M,N分别为椭圆E的左、右焦点,且直线l1⊥x轴,求四边形ABCD的面积;(Ⅱ)若直线l1的斜率存在且不为0,四边形ABCD为平行四边形,求证:m+n=0;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形ABCD能否为矩形,说明理由.21.(本小题满分14分)对于正整数n,如果k(k∈N∗)个整数a1,a2,…,a k满足1≤a1≤a2≤⋯≤a k≤n,且a1+a2+⋯+a k=n,则称数组(a1,a2,…,a k)为n的一个“正整数分拆”.记a1,a2,…,a k均为偶数的“正整数分拆”的个数为f n,a1,a2,…,a k均为奇数的“正整数分拆”的个数为g n.(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数n(n≥4),设(a1,a2,…,a k)是n的一个“正整数分拆”,且a1=2,求k的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n,证明:f n≤g n;并求出使得等号成立的n的值.(注:对于n的两个“正整数分拆”(a1,a2,…,a k)与(b1,b2,…,b m),当且仅当k=m且a1=b1,a2=b2,…,a k=b m 时,称这两个“正整数分拆”是相同的.)2020北京西城区高三一模数学参考答案一、选择题：（本题满分40份）16.（本小题满分14份）（1）证明：在∆ABD中，AB=AD=2，BD=2√2有勾股定理得，∠BAD=90°∴AB⊥ADAA1⊥平面ABCD，AB⊆平面ABCD，∴AA1⊥AB又∵AA1∩AD=A∴AB⊥平面ADD1A1（2）解：由（1）知，AB，AD，AA1两两垂直，分别以AB，AD，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0),B (2,0,0),C (2,4,0),B 1(2,0,2),D 1(0,2,2)∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−2),B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)设平面B 1CD 1的法向量为n ⃗ =(x,y,z) ∴{n ⃗ ·B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n ⃗ ·B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即{4y −2z =0−2x +2y =0令x =1,则y =1,z =2∴n ⃗ =(1,1,2)设直线AB 与平面B 1CD 1所成角为θ，∴sinθ=|cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n ⃗ ||=|22×√6|=√6617.（本小题满分14份） 当选择条件①时：∵B =π4，A =2π3， sinC =sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB =√32×√22−12×√22=√6−√24由正弦定理得，a sinA =b sinB ,即√32=√6√22得，a =3∴S ∆ABC =12absinC =9−3√34当条件选择②时： 已知a =√3,b =√6,A =2π3∵a <b,A <B,且A 为钝角，所以无解。